Exercicios de Derivadas e Integrais

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Lista de Exercícios de Fundamentos de Cálculo – 2018 2 
Derivadas e Integrais 
 
1. Usando a tabela e as propriedades operatórias, calcule a derivada de cada 
uma das seguintes funções: 
a) ℎ(𝑥) = 𝑥 
b) ℎ(𝑥) = 𝑥3 
c) ℎ(𝑥) = 3. 𝑥 
d) ℎ(𝑥) = 3 + 𝑥 
e) ℎ(𝑥) = 3𝑥5 − 5𝑥2 − 15 
f) ℎ(𝑥) = 3𝑥 
g) ℎ(𝑥) = 33 
h) ℎ(𝑥) = 𝑥 
i) ℎ(𝑥) = √ 𝑥 
j) ℎ(𝑥) = √ 3 
k) ℎ(𝑥) = 
𝑥
3
 
l) ℎ(𝑥) = 
3
𝑥
 
m) ℎ(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛𝑥 
n) ℎ(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛3 
o) ℎ(𝑥) = 
𝑥−2
𝑥2+4
 
p) ℎ(𝑥) = ln( 𝑥4 + 2) 
q) ℎ(𝑥) = (𝑥 + 5)6 
r) ℎ(𝑥) = 𝑒4𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑥 
s) ℎ(𝑥) = 
1
𝑥2+8
 
 
2. Calcule a derivada da função dada. Depois, apresente o valor dessa 
derivada no ponto de abscissa 𝑎 indicada: 
a) ℎ(𝑥) = 𝑥2 𝑎 = 5 
b) ℎ(𝑥) = 2𝑥 + 3 𝑎 = 3 
c) ℎ(𝑥) = 𝑥2 − 5𝑥 + 6 𝑎 = 2 
d) ℎ(𝑥) =
𝑥−1
𝑥+3
 𝑎 = 3 
e) ℎ(𝑥) = 𝑥2 − 5𝑥 𝑎 = 1 
 
 
3. A derivada de uma função num ponto do interior do seu domínio 
corresponde à inclinação da reta tangente ao seu gráfico naquele ponto. 
Uma reta é descrita pela seguinte equação: 
 𝑦 − 𝑦0 = 𝑚. (𝑥 − 𝑥0) 
 
onde 𝑚 é o coeficiente angular da reta e (𝑥0; 𝑦0) são coordenadas 
conhecidas de um ponto da reta. 
Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função dada, no 
ponto indicado, para cada item da questão 2. 
 
4. A derivada de uma função também é uma função, então podemos falar 
sobre derivada da derivada. Desta forma, uma função pode ter “primeira 
derivada (𝑓’(𝑥))”, “segunda derivada (𝑓’’(𝑥))”, “terceira derivada (𝑓’’’(𝑥))”, 
e assim por diante. 
Calcule a primeira derivada (𝑓’(𝑥)) e a segunda derivada (𝑓’’(𝑥)) de cada 
uma das funções a seguir. 
a) 𝑓(𝑥) = 3𝑥5 − 6𝑥4 − 15𝑥 
b) 𝑓(𝑥) = 3 − 4𝑥6 − 6𝑥4 − 15𝑥2 
c) 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 . 𝑠𝑒𝑛𝑥 
__________________________ 
As videoaulas a seguir explicam sobre máximos e mínimos de funções e 
vão ajuda-lo(a) a resolver os exercícios que seguem. 
Vídeos sobre máximos e mínimos: 
https://www.youtube.com/watch?v=qb8fO9udclo 
https://www.youtube.com/watch?v=ayHI8LuZGuU 
https://www.youtube.com/watch?v=feq19AaD00I 
https://www.youtube.com/watch?v=rg6rROw0BH4 
 
5. Uma empresa fabrica um produto e obtém um lucro mensal dado por 
𝐿(𝑥) =
−1
3
𝑥3 + 2𝑥2 + 4𝑥 − 20, onde 𝑥 é a quantidade produzida e vendida 
no mês. Qual a quantidade que deve ser produzida e vendida para dar o 
máximo lucro mensal? 
R.: Devem ser produzidas e vendidas 4,8 u.m. no mês para que o lucro 
seja máximo. 
 
6. Dada a função receita 𝑅(𝑥) = −2𝑥2 + 10𝑥, obtenha o valor de 𝑥 que a 
maximiza. 
R.: A receita será máxima para 𝑥 = 2,5. 
 
7. O custo mensal de fabricação de 𝑥 unidades de um produto é 
 𝐶(𝑥) = 0,1𝑥2 + 3𝑥 + 4000. 
a) A função custo médio é definida por 𝐴(𝑥) =
𝐶(𝑥)
𝑥
, para 𝑥 > 0. Obtenha 
a função custo médio. 
b) Para que valor de 𝑥 o custo médio é mínimo? 
R.: a) 𝐴(𝑥) = 0,1𝑥 + 3 +
4000
𝑥
 , para 𝑥 > 0. 
b) Para 𝑥 = 200. 
 
8. Deseja-se construir uma piscina retangular com 900 metros quadrados de 
área. Quais as dimensões para que o perímetro seja mínimo? 
R.: x.y = 900 e P = 2x+2y 
Devemos ter um quadrado de lados de medida 30 metros. 
 
9. Obtenha dois números cuja soma seja 100 e cujo produto seja máximo. 
R.: x+y=100 e P = x.y 
Os números são iguais a 50. 
 
10. Um fabricante de conservas usa latas cilíndricas cujos volumes devem ser 
iguais a 500 𝑐𝑚3. Quais devem ser as dimensões (altura e raio das bases) 
mais econômicas das latas (isto é, aquelas que dão a menor área de 
superfície (área lateral + áreas das bases)? 
R.: Temos que 𝑉 = 𝜋. 𝑟2. ℎ e 𝐴 = 2. 𝜋. 𝑟. ℎ + 2. 𝜋. 𝑟2 = 2. 𝜋. 𝑟. (𝑟 + ℎ) 
Segue que: 
𝐴 = 2. 𝜋. 𝑟. (𝑟 +
500
𝜋.𝑟2
) = 2. 𝜋. 𝑟. (
𝜋.𝑟3+500
𝜋.𝑟2
) = 2. (
𝜋.𝑟3+500
𝑟
) = 
2.𝜋.𝑟3+1000
𝑟
 = 
2. 𝜋. 𝑟2 +
1000
𝑟
. 
Logo: 
𝐴’( 𝑟) = 4. 𝜋. 𝑟 −
1000
𝑟2
 = 0 → 𝑟 = 4,3 ou 𝑟 = −4,3 
𝐴′′(𝑟) = 4. 𝜋 +
1000
𝑟3
 
𝑅𝑒𝑠𝑝𝑜𝑠𝑡𝑎 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙: 𝑟 = 4,3 𝑐𝑚 e ℎ = 8,6 𝑐𝑚. 
 
11. Qual o número real positivo que, somado a seu inverso, dá o menor 
resultado possível? 
O inverso de x é 1/x. 
R.: 1 
 
12. Um homem deseja construir um galinheiro com formato retangular, 
usando como um dos lados uma parede de sua casa. Quais as dimensões 
que devem ser utilizadas para que a área seja máxima, sabendo-se que 
ele pretende usar 20 metros de cerca? 
R.: 2x+y = 20 e A = x.y 
As dimensões do galinheiro devem ser 5 metros por 10 metros. 
 
13. Deve-se construir uma caixa de base retangular, com uma folha de 
cartolina de 40 cm de largura e 52 cm de comprimento, retirando-se um 
quadrado de cada canto da cartolina e dobrando-se perpendicularmente 
os lados resultantes. Determine o tamanho do lado do quadrado que 
permite construir uma caixa de volume máximo. 
 
 
𝑅. : 𝑥 = 7,47 𝑐𝑚 
 
14. Apresente a(s) função(ões) cuja derivada é dada por: 
 
a) ℎ′(𝑥) =
𝑥3
4
 
b) ℎ′(𝑥) = 𝑥5 
c) ℎ′(𝑥) = 8 
d) ℎ′(𝑥) = 2𝑥2 + 4𝑥 − 3 
e) ℎ′(𝑥) =
3
𝑥
 
f) ℎ′(𝑥) = 𝑒𝑥 + 5𝑥 − 2 
g) ℎ′(𝑥) = 𝑒2𝑥 
 
 
Ref.: MORETTIN, P. HAZZAN, S. , BUSSAB. Introdução ao Cálculo para 
administração, economia e contabilidade. São Paulo: Saraiva, 2009.