####FUNÇÃO QUADRÁTICA - RESUMO TEÓRICO E EXERCÍCIOS - CELSO BRASIL

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FUNÇÃO QUADRÁTICA 
Celso do Rozário Brasil 
 
1 
 
 
Resumo teórico e exercícios 
 
Função quadrática 
 
Definição: É toda função do tipo f (x) = ax² + bx + c, (com a, b e c números reais e a ≠ 0). 
 
Gráfico: É uma parábola. 
 
 
 
 
 
Concavidade: É a abertura da curva. A concavidade pode estar voltada para cima ou para baixo. O que 
determina o sentido da concavidade é o valor de a. 
Assim temos: 
Se a > 0, a concavidade está voltada para cima. 
Se a < 0, a concavidade está voltada para baixo. 
 
Zeros ou raízes da função quadrática 
 
A interseção da parábola f(x) = ax² + bx + c, com o eixo x, ocorre nos pontos (x1,0) e (x2,0), onde x1 e x2 são 
zeros da parábola. 
 
Os zeros são valores de x tais que f (x) = 0. Então: 
 
ac4b
a2
b
x0cbxax
2
2
−=
−
==++
. 
 
A fórmula de Bhaskara, por meio do discriminante, nos conduz imediatamente às raízes (zeros) da função. 
Assim para  > 0, a fórmula fornece dois zeros, para  = 0, apenas um zero e  < 0 não fornece zero real. 
 
OBS.: A interseção da parábola com o eixo y acontece no ponto (0,c). 
 
 
FUNÇÃO QUADRÁTICA 
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2 
 
 
Eixo de simetria e vértice 
 
A função quadrática apresenta um eixo de simetria, que é uma reta paralela ao eixo das ordenadas. O eixo de 
simetria intercepta a parábola no ponto V(xv, yv) denominado vértice. Esse ponto é o extremo da função. V é 
ponto máximo quando a < 0 e mínimo quando a > 0. As coordenadas de V podem ser obtidas por meio das 
relações: 
 
 a2
b
x V −=
 e a4
y V

−=
 
 
Gráficos da função quadrática f(x) = a.x² + b.x + c 
 
1º caso: a > 0: 
 
 
 
2º caso: a < 0: 
 
 
 
Conjunto Imagem da Função Quadrática 
 
 
 
 
FUNÇÃO QUADRÁTICA 
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Exercícios resolvidos 
 
 
Construa um esboço dos gráficos das funções quadráticas a seguir e indique o domínio e a imagem: 
 
a) f(x) = x2 – 4x + 3 
 
b) f(x) = x2 – 6x + 8 
 
c) f(x) = – x2 + 2x + 3 
 
d) f(x) = x2 – 2x 
 
e) f(x) = – x2 + 8x 
 
f) f(x) = – 2x2 
 
Solução 
 
Para o esboço identifica-se: f(x) = 0 (zeros da função), f(0) (intersecção com o eixo Y) e as coordenadas do 
vértice. 
 
a) f(x) = x2 – 4x + 3 
 
 
( )



+−=
=










−=





−
−
−=




 
−−=
=+−=



=
=


=
−
==
+−=
[,1[)f(IM
IR)f(D
1;2
)1(4
4
;
)1(2
)4(
a4
;
a2
b
V
33)0(4)0()0(f
3x
1x
2
24
2
)3)(1(4164
x0)x(f
:3x4x)x(f 2
2
1
2
. 
 
Gráfico: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) f(x) = x2 – 6x + 8 
 
( )



+−=
=










−=





−
−
−=




 
−−=
=+−=



=
=


=
−
==
+−=
[,1[)f(IM
IR)f(D
1;3
)1(4
4
;
)1(2
)6(
a4
;
a2
b
V
88)0(6)0()0(f
4x
2x
2
26
2
)8)(1(4366
x0)x(f
:8x6x)x(f 2
2
1
2 
FUNÇÃO QUADRÁTICA 
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4 
 
 
Gráfico: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) f(x) = – x2 + 2x + 3 
 
( )



−=
=










=





−
−
−
−=




 
−−=
=++−=



=
−=

−
−
=
−
−−−
==
++−=
]4,])f(IM
IR)f(D
4;1
)1(4
16
;
)1(2
)2(
a4
;
a2
b
V
33)0(2)0()0(f
3x
1x
2
42
2
)3)(1(442
x0)x(f
:3x2x)x(f 2
2
1
2
. 
 
Gráfico: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) f(x) = x2 – 2x 
 
( )



+−=
=










−=





−
−
−=




 
−−=
=−=



=
=
=−=
−=
[,1[)f(IM
IR)f(D
1;1
)1(4
4
;
)1(2
)2(
a4
;
a2
b
V
0)0(2)0()0(f
2x
0x
0)2x(x0)x(f
:x2x)x(f 2
2
1
2
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Gráfico: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) f(x) = – x2 + 8x 
 
 
( )



−=
=










=





−
−
−
−=




 
−−=
=+−=



=
=
=+−=
+−=
]16,])f(IM
IR)f(D
16;4
)1(4
64
;
)1(2
)8(
a4
;
a2
b
V
0)0(8)0()0(f
8x
0x
0)8x(x0)x(f
:x8x)x(f 2
2
1
2
. 
 
Gráfico: 
 
 
f) f(x) = – 2x2 
 
( )



−=
=










=





−
−
−
−=




 
−−=
=−=
===
−=
]0,])f(IM
IR)f(D
0;0
)2(4
0
;
)2(2
)0(
a4
;
a2
b
V
0)0(2)0(f
0x0x0)x(f
:x2)x(f 2
2
2
. 
 
 
 
 
 
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Gráfico: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A função f(x) = ax2 + bx + c passa pela origem. Sabendo que f(–2) = 0, calcule o valor de: 
 ab
babca 22 ++
 
 
Solução. 
 
Se o gráfico de f(x) passa pela origem, f(0) = 0. 
 
Utilizando a informação que f(– 2) = 0 vem: 
 
)0a(
2
5
a2
a5
a2
a4a
)a2(a
)a2()0)(a2(aa
ab
babca
)iii
a2ba4b20b2a40)2.(b)2.(a0)2(f)ii
0c0c)0.(b)0.(a0)0(f)i
2
2
2
222222
2
2
→==
+
=
++
=
++
===−=−+−−−
==++=
. 
 
 
(F.C. CHAGAS) Seja a função f, de R em R, definida por f(x) = 2x2 – 24x +1. O valor mínimo de f é: 
 
a) 73 
b) 71 
c) –71 
d) –73 
e) –79 
 
Solução. 
 
O valor mínimo da função é a segunda coordenada do vértice. Utilizando a fórmula, temos: 
 
71
8
568
8
8576
)2.(4
)1).(2.(4)24(
a4
y
2
V −=−=
−
−=
−−
−=

−=
. 
 
Resposta: C 
 
(PUC) Considere um terreno retangular que pode ser cercado com 50 m de corda. A área desse terreno 
expressa como função do comprimento x de um dos lados é: 
 
a) A(x) = -x2 + 25x para x  0 
b) A(x) = -x2 + 25x para 0 < x < 25 
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c) A(x) = -3x2 + 50x para x  0 
d) A(x) = -3x2 + 50x para 0 < x < 50/3 
 
Solução 
 
 
 
 
 
 
A área do terreno é calculada pela fórmula: 
A = x.y 
e o perímetro (P) utilizando a fórmula: 
 
P = 2x + 2y. 
 
A corda de comprimento 50 m corresponde a esse perímetro. Logo: 
 
2x + 2y = 50 => 
x + y = 25. 
 
Expressando a área em função de x, temos: 
 
A(x) = x.y 
 
y = 25 – x. 
 
Logo: 
 
A(x) = x.(25 – x) 
 
A(x) = – x2 + 25x. 
 
Cálculo das raízes: 
 
-x² + 25x = 0 
x(-x + 25) = 0 
x = 0 
ou 
-x + 25 = 0 
-x = = -25 
x = 25 
 
O valor de y não pode ser 25, pois nesse caso x = 0, nem negativo, pois é dimensão. 
 
Logo: 
 
25 – x > 0 => 
 
25 > x ou x < 25 e x > 0. 
 
Resposta: B 
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8 
 
 
 
(PUC) A função quadrática y = (m2 – 4)x2 – (m + 2)x – 1 está definida quando: 
a) m  4 
b) m  2 
c) m  -2 
d) m = -2 ou +2 
e) m   2 
 
Solução. 
 
A função será quadrática quando o coeficiente de x2 for diferente de zero. 
 
Temos: 
 
m2 – 4 ≠ 0 => 
m2 ≠ 4 => 
m ≠ ±2. 
 
Resposta: D 
 
(MACK) O ponto (k, 3k) pertence à curva dada por; então, k pode ser: 
 
a) -2 
b) -1 
c) 2 
d) 3 
e) 4 
 
Solução. 
 
Substituindo as coordenadas (k, 3k) na função, temos: 
 
y = x2 – 2x + k 
 
3k = k2 – 2k + k => 
 
3k = k2 – k => 
 
k2 – 4k = 0 => 
 
k(k – 4) = 0 => 
 
k = 0 
Ou 
k = 4. 
 
Resposta: E 
 
(F.C. CHAGAS) Uma função quadrática f, de R em R, tem raízes, nos pontos (-1,0) e (1,0) e assume o 
valor mínimo –1 se x = 0. Essa função é dada por: 
 
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a) f(x) = x2 – 1 
b) f(x) = x2 + 1 
c) f(x) = x2 – 2x + 1 
d) f(x) = x2 – 2x – 2 
e) f(x) = x2 – x + 1 
 
Solução 
 
Utilizando a expressão da função quadrática e a fórmula das coordenadas do vértice, temos: 
 
( ) ( )
( ) ( )



−=
=
=+−=−=
−
−
−
−−
−=−

−=



−=
=
=+=+



=++
=+−





++=++=
+−=+−+−=−
++=
1c
0c
0)1c(c4c4c41
c4
c4
)c(4
)c)(c(4)0(
1
a4
y)ii
ca
0b
0ca0c2a2
0cba
0cbacba0c)1(b1a1f
cba0c)1(b1a1f
)i
cbxax)x(f
2
22
V
2
2
2
. 
 
Repare que c ≠ 0, pois a = - c e a ≠ 0. 
 
Logo, c = –1 e a = 1. 
 
Logo: 
 
f(x) = x2 – 1. 
 
Resposta: A 
(UFRRJ) O custo de produção de um determinado artigo é dado por C(x) = 3x2 – 15x + 21. Se a venda 
de x unidades é dada por V(x) = 2x2 + x, para que o lucro L(x) = V(x) – C(x) seja máximo, devem ser 
vendidas: 
 
a) 20 unidades 
b) 16 unidades 
c) 12 unidades 
d) 8 unidades 
e) 4 unidades 
 
Solução. 
A expressão do lucro será: 
 
L(x) = V(x) – C(x) 
 
L(x) = 2x2 + x – (3x2 – 15x + 21) 
L(x) = 2x2 + x – 3x2 + 15x – 21 
L(x) = – x2 + 16x – 21. 
 
A quantidade máxima é o valor da primeira coordenada do vértice: 
 
8
2
16
)1(2
16
a2
b
x V =
−
−=
−
−=−=
. 
 
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10 
 
 
Resposta: D 
 
(UNICAMP) Determine o número m de modo que o gráfico da função y = x2 + mx + 8 – m seja tangente 
ao eixo dos X. 
 
Solução. 
 
O gráfico da função quadrática é tangente ao eixo x se o discriminante for nulo. Logo: 
 
( )






−=
−
=
−−
=
==
+−
=

−
=
+−
=

−−−
==−+=−−=
8
2
16
2
124
m
4
2
8
2
124
m
2
1444
2
128164
m
)1(2
)32)(1(4164
m032m4m0)m8)(1(4m0 2
2
. 
 
. (UNESP) A expressão que define a função quadrática f(x), cujo gráfico está esboçado, é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução 
 
Os pontos (-2,0), (1,0) e (0,-4) satisfazem à equação quadrática. 
 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
4x2x2)x(f2242)2(22a2b)ii
2a6a3
4ba
2ba2
04ba
04b2a4
4cc)0(b0a0f
0cbac)1(b1a1f
0cb2a4c)2(b2a2f
)i
2
2
2
2
−+==−=−=−=
==




=+
=−




=−+
=−−







−=++=
=++++=
=+−+−+−=−
. 
 
Resposta: D 
 
(UFPE) Suponha que o consumo de um carro, para percorrer 100 km com velocidade de x km/h, seja 
dado por C(x) = 0,006x² - 0,6x + 25. Para qual velocidade esse consumo é mínimo? 
a) 46 km/h 
b) 47 km/h 
c) 48 km/h 
d) 49 km/h 
e) 50 km/h 
 
Solução 
 
a) f(x) = -2x2 - 2x + 4 
b) f(x) = x2 + 2x – 4 
c) f(x) = x2 + x - 2 
d) f(x) = 2x2 + 2x - 4 
e) f(x) = 2x2 + 2x - 2 
 
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11 
 
 
 
 
 
 
(UFRGS) As raízes da equação 2x2 + bx + c = 0 são 3 e − 4. Nesse caso, o valor de b - c é: 
 
(a) −26. 
(b) −22. 
(c) −1. 
(d) 22. 
(e) 26. 
 
Solução 
 
As raízes de uma equação do 2º grau correspondem aos valores de x em que o resultado da equação é igual a 
zero. 
Portanto, substituindo o x pelos valores das raízes poderemos encontrar o valor de b e c. Fazendo isso, 
ficaremos com o seguinte sistema de equações: 
 
 
 
Subtraindo os valores encontrados, temos: 
 
b - c = 2 - (-24) = 26 
 
Resposta: E 
 
 
 
 
 
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12 
 
 
(PUC) Ao levantar dados para a realização de um evento, a comissão organizadora observou que, se cada 
pessoa pagasse R$6,00 por sua inscrição, poderia contar com 460 participantes, arrecadando um total de 
R$2760,00. Entretanto, também estimou que, a cada aumento de R$1,50 no preço de inscrição, receberia 10 
participantes a menos. Considerando tais estimativas, para que a arrecadação seja a maior possível, o preço 
unitário, em reais, da inscrição em tal evento deve ser: 
 
a) 15,00 b) 24,50 c) 32,75 d) 37,50 e) 42,50 
 
Solução. 
 
Descrevendo a situação na tabela até uma generalização, temos: 
 
Número de participantes Preço do ingresso (R$) Arrecadação (R$) 
460 6 460.(6) 
460 – 1.(10) 6 + 1.(1,50) (460 – 1.10).( 6 + 1.(1,50)) 
460 – 2.(10) 6 + 2.(1,50) (460 – 2.10).( 6 + 2.(1,50)) 
460 – 3.(10) 6 + 3.(1,50) (460 – 3.10).( 6 + 3.(1,50)) 
... ... ... 
460 – x.(10) 6 + x.(1,50) (460 – x.10).( 6 + x.(1,50)) 
 
A expressão, então da arrecadação é: 
 
A(x) = (460 – 10x).(6 + 1,50x) = 2760 + 690x – 60x – 15x2 = – 15x2 + 630x + 2760. Uma função quadrática. 
 
A maior arrecadação ocorrerá com máximo número de aumentos x dados. 
 
Esse valor corresponde à abscissa do vértice da função: 
 
 
21
)30(
)630(
)15(2
)630(
a2
b
x V =
−
−=
−
−=−=
. 
 
Com 21 aumentos de R$1,50 o preço do ingresso será: P = 6 + 21.(1,50) = 6 +31,50 = R$37,50. 
 
(PUC) Usando uma unidade monetária conveniente, o lucro obtido com a venda de uma unidade de 
certo produto é x – 10, sendo x o preço de venda e 10 o preço de custo. A quantidade vendida, a cada 
mês, depende do preço de venda e é, aproximadamente, igual a 70 – x. Nas condições dadas, o lucro 
mensal obtido com a venda do produto é, aproximadamente, uma função quadrática de x, cujo valor 
máximo, na unidade monetária usada, é: 
 
a) 1200 b) 1000 c) 900 d) 800 e) 600 
 
Solução. 
 
De acordo com as informações, o custo total da produção é C(x) = 10.(70 – x), pois 10 é o preço unitário e 
(70 – x) a quantidade produzida. O total obtido pela venda do produto será V(x) = x.(70 – x). Sendo o lucro a 
diferença entre o valor arrecadado na venda e o custo, temos: 
 
( ) ( )
900
4
3600
4
]28006400[
)1(4
)]700)(1(46400[
a4
y)máximo(L
700x80xx10700xx70x70.10x70.x)x(L
V
22
==
−
−
−=
−
−−−
−=

−==
−+−=+−−=−−−=
. 
 
FUNÇÃO QUADRÁTICA 
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13 
 
 
(VUNESP) Num terreno, na forma de um triângulo retângulo com catetos com medidas 20 e 30 metros, deseja-
se construir uma casa retangular de dimensões x e y, como indicado na figura. 
 
a) Exprima y em função de x. 
 
Solução. 
 
Observando a semelhança nos triângulos assinalados, temos: 
 
3
x260
y
30
x20600
y0x20y30600xyxyx20y30600
y20
x
y
x30
−
=

−
==−−=+−−
−
=
−
. 
 
 
b) Para que valores de x e de y a área ocupada pela casa será máxima? 
 
Solução. 
 
A área ocupada será A(x) = (x.y). Será máxima para um valor máximo das medidas. Substituindo e calculando 
a abscissa do vértice, temos: 
 
 
( )
10
3
30
3
3060
3
)15(260
y,Logo
15
4
60
4
3
).20(
3
4
20
3
22
)20(
xx20
3
x2
3
x2x60
3
x260
.xy.xA V
22
==
−
=
−
=
==





−−=
−
−
=
−
−
=+−=
−
=




 −
==
. 
 
A área será máxima se as dimensões ocupadas forem x = 15m e y = 10m. 
 
(VUNESP) Um retângulo possui perímetro é 10cm e a medida de um dos lados é x. Determine: 
 
a) a área do retângulo em função de x; 
b) o valor de x para o qual a área do retângulo seja máxima. 
 
Solução. 
 
Considere a outra medida do retângulo como y. Temos: 
 
 
a) 
 
 ( ) x5xx5.xy.xA)ii
x5y5yx10y2x2
y2x2P2
10P2
)i
2 +−=−==
−==+=+



+=
=
. 
 
Note que x não pode ser nulo, nem maior ou igual a 5. 
 
 
 
FUNÇÃO QUADRÁTICA 
Celso do Rozário Brasil 
 
14 
 
 
b) 
 
 
cm5,2
2
5
)1(2
)5(
x)máxima(A
x5xA
V
2
==
−
−=
+−=
. 
 
(UNIRIO) Em uma fábrica, o custo de produção de x produtos é dado por c(x) = – x2 + 22x + 1. Se que 
cada produto é vendido por R$10,00, o número de produtos que devem ser vendidos para se ter um 
lucro de R$44,00 é: 
a) 3 b) 10 c) 12 d) 13 e) 15 
 
Solução. 
 
O arrecadado com a venda é V(x) = 10x. O lucro será a diferença entre a venda e o custo. Temos: 
 
( )






=

=
−=
−
=


=

=
+
=
−
=
=−−=−−



=
−−=−−+=++−−=
15
2
1812
x
03
2
1812
x
2
1812
2
32412
2
18014412
2
)45)(1(414412
x
045x12x441x12x
44)x(L
1x12x1x22xx101x22xx10)x(L
2
1
22
222
. 
 
A quantidade de produtos não pode ser negativa. Logo, x = 15. 
 
(UFC) No triângulo ABC a seguir, a é a base, h a altura relativa a esta base, e b o lado oposto ao ângulo 
de 45°. Se a + h = 4, calcule o valor mínimo de b2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução. 
 
Se a + h = 4, então a = 4 – h. Utilizando as relações métricas, vem: 
 
2hh2yh2yhhy)i 222222 ===+=
. 
 
Aplicando a lei dos cossenos no triângulo relacionando o lado b opostoao ângulo de 45º, temos: 
 
FUNÇÃO QUADRÁTICA 
Celso do Rozário Brasil 
 
15 
 
 
( ) ( )
5
16
20
64
20
]64[
20
]320256[
)5(4
)]16)(5(4)16[(
a4
)b(Mínimo)iii
16h16h5bh2h8h816h3)hh4.(2h816h3b
2
2
).hh4.(22hh816h2º45cos).h4.(2h.2)h4(2hb)ii
2hh2yh2yhhy)i
2
2
2222222
2222
2
2
222222
==
−
−=
−
−=
−−
−=

−=
+−=+−−+=−−−+=
−−+−+=−−−+=
===+=
 
 
(Enem) A igreja de São Francisco de Assis, obra arquitetônica modernista de Oscar Niemeyer, 
localizada na Lagoa da Pampulha, em Belo Horizonte, possui abóbadas parabólicas. A seta na Figura 
1 ilustra uma das abóbadas na entrada principal da capela. A figura 2 fornece uma vista frontal desta 
abóbada, com medidas hipotéticas para simplificar os cálculos. 
 
Qual a medida da altura H, em metro, indicada na Figura 2? 
a) 16/3 
b) 31/5 
c) 25/4 
d) 25/3 
e) 75/2 
 
Solução 
 
Nesta questão precisamos calcular o valor da altura. Para isso, vamos representar a parábola no eixo cartesiano, 
conforme figura abaixo. 
 
FUNÇÃO QUADRÁTICA 
Celso do Rozário Brasil 
 
16 
 
 
Escolhemos o eixo de simetria da parábola coincidindo com o eixo y do plano cartesiano. Assim, notamos que 
a altura representa o ponto (0, yH). 
Observando o gráfico da parábola, percebemos ainda, que o 5 e o -5 são as duas raízes da função e que o ponto 
(4,3) pertence a parábola. 
Com base em todas essas informações, vamos utilizar a forma fatorada da equação do 2º grau, ou seja: 
y = a,(x - x1).(x - x2) 
Onde: 
a: coeficiente 
x1 e x2: raízes da equação 
 
Para o ponto x = 4 e y = 3, temos: 
 
y = a,(x - x1).(x - x2) 
 
 
Conhecendo o valor de a, podemos calcular o valor da altura (yH) usando novamente a forma fatorada da 
equação do 2º grau. Para isso, consideramos x = 0, conforme indicado no gráfico acima: 
 
 
Resposta: D 
 
(UNESP) Uma função quadrática f é dada por f(x) = x2 + bx + c, com b e c reais. 
Se f(1) = –1 e f(2) – f(3) = 1, o menor valor que f(x) pode assumir, quando x varia no conjunto dos 
números reais, é igual a 
 
(a) –12. 
(b) –6. 
(c) –10. 
(d) –5. 
(e) –9. 
 
Solução 
 
O gráfico da função apresentada é uma parábola com a concavidade voltada para cima, pois a = 1 (positivo). 
Sendo assim, o menor valor da f(x) será a coordenada y do seu vértice. 
Sendo yv encontrado através da fórmula: 
 
 
Assim, para encontrar o vértice é necessário conhecer os valores de b e c. Para tal, iremos utilizar as 
informações, substituindo os valores de x e y na função. Ou seja: 
 
Expressão I : f(1) = - 1 ⇒ 12 + 1 . b + c = - 1 ⇒ b + c = - 2 
 
FUNÇÃO QUADRÁTICA 
Celso do Rozário Brasil 
 
17 
 
 
Expressão II : f(2) - f(3) = 1 ⇒ 22+ 2 . b + c - (32 + 3 . b + c) = 1 ⇒ 4 + 2b +c - 9 - 3b - c = 1 
⇒ - 5 - b = 1⇒ b = - 6 
 
Substituindo o valor encontrado de b, na expressão I, temos: 
 
- 6 + c = - 2 ⇒ c = - 2 + 6 ⇒ c = 4 
 
Portanto, a função é: f(x) = x2 - 6x + 4. Calculando o yv desta função, encontramos: 
 
 
 
Resposta: D 
 
(UERJ) Observe a função f, definida por: 
 
 
 
Se f(x) ≥ 4, para todo número real x, o valor mínimo da função f é 4. 
 
Assim, o valor positivo do parâmetro k é: 
(a) 5 
(b) 6 
(c) 10 
(d) 15 
(e) 8 
 
Solução 
 
Como o coeficiente a da função é positivo (1) seu gráfico será uma parábola com a concavidade voltada para 
cima. Logo, o vértice da parábola será o ponto em que o valor da função é mínimo. 
No enunciado é informado que esse valor é igual a 4, ou seja, que o yv = 4. Sendo assim, usaremos a expressão 
do yv para calcular o valor do parâmetro k. 
 
 
 
Como a questão pede o valor positivo do parâmetro k, então iremos desprezar o valor de k = - 5 
 
FUNÇÃO QUADRÁTICA 
Celso do Rozário Brasil 
 
18 
 
 
Resposta: A 
 
(UFSM) A água é essencial para a vida e está presente na constituição de todos os alimentos. Em regiões 
com escassez de água, é comum a utilização de cisternas para a captação e armazenamento da água da 
chuva. Ao esvaziar um tanque contendo água da chuva, a expressão: 
 
 
 
representa o volume (em m3) de água presente no tanque no instante t (em minutos) 
Qual é o tempo, em horas, necessário para que o tanque seja esvaziado? 
 
(a) 360. 
(b) 180. 
(c) 120. 
(d) 6. 
(e) 3. 
 
Solução 
 
O instante que o tanque ficará vazio pode ser calculado, considerando V(t) = 0. Então, vamos igualar a 
função dada a zero e calcular o valor de t. 
 
 
Precisamos ainda passar o valor encontrado para horas. Lembrando que 1 hora é igual a 60 min, então 360 
min será igual a 6 h. 
 
Resposta: D 
 
(FUVEST)A trajetória de um projétil, lançado da beira de um penhasco sobre um terreno plano e 
horizontal, é parte de uma parábola com eixo de simetria vertical, como ilustrado na figura. 
 
FUNÇÃO QUADRÁTICA 
Celso do Rozário Brasil 
 
19 
 
 
 
 
O ponto P sobre o terreno, pé da perpendicular traçada a partir do ponto ocupado pelo projétil, 
percorre 30 m desde o instante do lançamento até o instante em que o projétil atinge o solo. A altura 
máxima do projétil, de 200 m acima do terreno, é atingida no instante em que a distância percorrida 
por P, a partir do instante do lançamento, é de 10 m. Quantos metros acima do terreno estava o projétil 
quando foi lançado? 
 
a) 60 
b) 90 
c) 120 
d) 150 
e) 180 
 
Solução 
 
Vamos começar representando a situação no plano cartesiano, conforme figura abaixo: 
 
 
No gráfico, o ponto de lançamento do projétil pertence ao eixo y. Já o ponto (10, 200) representa o vértice da 
parábola. 
FUNÇÃO QUADRÁTICA 
Celso do Rozário Brasil 
 
20 
 
 
Como o projétil atinge o solo em 30 m, essa será uma das raízes da função. Note que a distância entre esse 
ponto e a abscissa do vértice é igual a 20 (30 - 10). 
Por simetria, a distância do vértice para a outra raiz também será igual a 20. Sendo assim, a outra raiz foi 
assinalada no ponto - 10. 
Conhecendo os valores das raízes (- 10 e 30) e um ponto pertencente a parábola (10, 200), podemos usar a 
forma fatorada da equação do 2º grau, ou seja: 
 
y = a . (x - x1) . (x - x2) 
 
Substituindo os valores, temos: 
 
 
 
Conhecendo o valor de a, podemos agora calcular o valor da altura h de lançamento do projétil. Para isso, 
basta identificar que no ponto de lançamento x = 0 e y = h. 
Substituindo esses valores na fórmula fatorada, encontramos: 
 
 
 
Resposta: D 
 
(Enem) Para evitar uma epidemia, a Secretaria de Saúde de uma cidade dedetizou todos os bairros, de 
modo a evitar a proliferação do mosquito da dengue. Sabe-se que o número f de infectados é dado pela 
função f(t) = - 2t2 + 120t (em que t é expresso em dia e t = 0 é o dia anterior à primeira infecção) e que 
tal expressão é válida para os 60 primeiros dias da epidemia. 
A Secretaria de Saúde decidiu que uma segunda dedetização deveria ser feita no dia em que o número 
de infectados chegasse à marca de 1 600 pessoas, e uma segunda dedetização precisou acontecer. 
A segunda dedetização começou no 
 
(a) 19º dia. 
(b) 20º dia. 
(c) 29º dia. 
(d) 30º dia. 
(e) 60º dia. 
 
Solução 
 
A dedetização será feita quando a f(t) = 1600, então substituindo esse valor na função, encontraremos o valor 
de t. 
 
1600 = - 2.t2 + 120 . t 
2.t2 - 120t + 1600 = 0 
 
Podemos dividir toda a equação por 2 para simplificar as contas. Assim, a equação ficará: 
 
FUNÇÃO QUADRÁTICA 
Celso do Rozário Brasil 
 
21 
 
 
t2 - 60t + 800 = 0 
 
Para encontrar as raízes da equação, usaremos a fórmula de Bhaskara: 
 
 
 
Portanto, a segunda dedetização ocorrerá no 20º dia, que é quando chegará a 1600 infectados após a primeira 
dedetização. 
 
Resposta: B 
 
 
 
 
 
(ENEM) A parte interior de uma taça foi gerada 
pela rotação de uma parábola em torno de um 
eixo z, conforme mostra a figura. 
 
 
A função real que expressa a parábola, no plano cartesiano da figura, é dada pela lei: 
f(x) = 3/2 x2 – 6x + C, onde C é a medida da altura do líquido contido na taça, em centímetros. Sabe-se 
que o pontoV, na figura, representa o vértice da parábola, localizado sobre o eixo x. Nessas condições, 
a altura do líquido contido na taça, em centímetros, é: 
 
(a) 1. 
(b) 2. 
(c) 4. 
(d) 5. 
(e) 6. 
 
Solução 
 
Pela imagem da questão, observamos que a parábola apresenta apenas um ponto que corta o eixo x (ponto 
V), ou seja, ela possui raízes reais e iguais. 
 
Da equação: 3/2 x2 – 6x + C, temos: 
 
a = 3/2, b = -6 e “c” é o valor que queremos calcular. Logo: 
FUNÇÃO QUADRÁTICA 
Celso do Rozário Brasil 
 
22 
 
 
 
Sabemos que Δ = 0, ou seja: 
 
Δ = 0 
b2 – 4.a.c = 0 
 
Substituindo os valores da equação, temos: 
 
 
 
Portanto, a altura de líquido será igual a 6 cm. 
 
Resposta: E 
 
 
1) Para as funções abaixo, determine: 
a) a concavidade; 
b) os zeros; 
c) as coordenadas do vértice (máximo ou mínimo); 
d) interseção com o eixo y; 
e) esboço do gráfico; 
f) o conjunto imagem; 
g) o estudo de sinal. 
 
 
1º) f(x) = x² - 4x + 3 
2º) y = -x² + 6x 
3º) y = x² - 2x + 5 
4º) y = -x² + 2x – 1 
 
2) (UFMG) Sendo f : R → R uma função definida por f(x) = x2 –1, calcule: 
 
(a) 
 






2
1
f
 
 
(b) 
 
( )21f − 
 
Solução 
 
(a) 
 
De acordo com o enunciado, a função é: 
FUNÇÃO QUADRÁTICA 
Celso do Rozário Brasil 
 
23 
 
 
 
f(x) = x2 –1 
 
Fazendo x = 1/2 e substituindo na função acima, temos: 
 
f (
1
2
) = (
1
2
)
2
− 1 
 
f (
1
2
) =
1
4
− 1 
 
𝐟 (
𝟏
𝟐
) =
𝟑
𝟒
 
 
(b) 
 
Fazendo x = 1 - √2 e substituindo na função, temos: 
 
f(x) = x2 –1 
 
f(1 − √2) = (1 − √2)
2
− 1 
 
f(1 − √2) = 12 − 2.1. √2 + (√2)
2
 
 
f(1 − √2) = 1 − 2√2 + 2 
 
𝐟(𝟏 − √𝟐) = 𝟑 − 𝟐√𝟐 
 
 
3) Para que valores reais de k a função f(x) = 2x² + 5x + k + 3 admite duas raízes reais e distintas? 
 
Solução: 
 
Condição: ∆> 0 
 
b2 − 4ac > 0 
 
52 − 4.2(k + 3) > 0 
 
25 − 8(k + 3) > 0 
 
25 − 8k − 24 > 0 
 
1 − 8k > 0 
 
 1 > 8k 
 
 𝐤 < 𝟏/𝟖 
 
4) O gráfico da função f(x) = ax² + bx + c está representado abaixo. Determinar os valores de a, b e c. 
FUNÇÃO QUADRÁTICA 
Celso do Rozário Brasil 
 
24 
 
 
 
 
Solução 
 
O valor de “c” corresponde ao ponto em que o gráfico intercepta o eixo das ordenadas (o eixo y). Então, 
c = 2. 
 
O gráfico intercepta o eixo das abscissas (o eixo x) nos pontos 1 e 4. Então, essas são as raízes da equação. 
No ponto (1, 0), temos: 
 
y = ax² + bx + c 
0 = a.1² + b.1 + 2 
a + b + 2 = 0 
a + b = - 2 (i) 
 
 
No ponto (4, 0), temos: 
 
y = ax² + bx + c 
0 = a.4² + b.4 + 2 
0 = 16a + 4b + 2 
16a + 4b = - 2 (ii) 
 
 
As equações (i) e (ii) formam um sistema, logo: 
 
a + b = - 2 . (- 4) 
16a + 4b = - 2 
 
 
FUNÇÃO QUADRÁTICA 
Celso do Rozário Brasil 
 
25 
 
 
-4a - 4b = 8 
16a + 4b = - 2 + 
12a = 6 
a = 6/12 : 6/6 
a = 1/2 
 
Agora, o valor de b: 
 
a + b = - 2 
1/2 + b = - 2 
b = -2 – 1/2 
b = - 5/2 
 
Resposta: a = 1/2; b = - 5/2; c = 2 
 
A função é: 𝒇(𝒙) =
𝟏
𝟐
𝒙𝟐 −
𝟓
𝟐
𝒙 + 𝟐 ou x² -5x + 4 = 0 
 
5) O gráfico da função y = ax² + bx + c está representado abaixo. Determine: 
 
(a) Os valores de a, b e c. 
(b) f(8). 
 
 
Solução 
 
(a) 
 
A parábola passa pelo ponto 0,0 então f(0) = 0, então c = 0 
As coordenadas do vértice são (2,1), se o x do vértice se encontra no meio do gráfico, então se eu dobrar o 
valor encontrarei a outra raiz, ou seja, 4, então f(4)=0 
 
ax² + bx + c = 0 
a(4)² + b.4 + 0 = 0 
16a + 4b = 0 : (4) 
4a + b = 0 
-b = 4a (1) 
 
Sendo: f(2) = 1, temos: 
ax² + bx + c = 0 
a.2² + b.2 + 0 = 1 
FUNÇÃO QUADRÁTICA 
Celso do Rozário Brasil 
 
26 
 
 
4a + 2b = 1 (2) 
Substituindo (1) em (2), temos: 
 
 
 
Como: 
 
-b = 4a (1) 
-1 = 4a 
a = -1/4 
 
 
Agora que já temos os valores de a, b e c, nossa função ficará assim: 
 
f(x) = ax² + bx +c 
𝐟(𝐱) = −
𝟏
𝟒
𝒙𝟐 + 𝒙 
(b) 
 
Vamos calcular f(8): 
 
f(8) = −
1
4
(8)2 + 8 
 
𝑓(8) = −
64
4
+ 8 
 
𝑓(8) = −
32
4
 
 
𝒇(𝟖) = −𝟖 
 
 
6) Determinar o conjunto imagem da função f:[-2,2[→IR tal que f(x) = x² - 2x - 3. 
 
Solução 
 
A imagem da função quadrática é dada pelo “y” do vértice. Assim: 
 
𝑦𝑣 = −
∆
4𝑎
 
 
 𝑦𝑣 = −
𝑏2 − 4𝑎𝑐
4𝑎
 
 
 𝑦𝑣 = −
[(−2)2 − 4.1. (−3)]
4.1
 
 
𝑦𝑣 = −
4 + 12
4
 
 
FUNÇÃO QUADRÁTICA 
Celso do Rozário Brasil 
 
27 
 
 
𝑦𝑣 =
−16
4
 
 
 𝒚𝒗 = −𝟒 
 
Observe o gráfico da função dada: 
 
 
 
Como a concavidade da parábola é voltada para cima, pois, a > 0, a função tem ponto de mínimo igual ao y 
do vértice, 𝑦𝑣 = −4, logo: 
 
𝐈𝐦(𝐟) = {𝐲 ∈ ℝ/𝐲 ≥ −𝟒} 
 
 
7) O gráfico da função y = a.x² + bx + c está representado abaixo: 
 
Classifique as afirmações abaixo como verdadeiras (V) ou falsas (F). 
a) ( V ) O número real c é negativo. 
b) ( V ) O número real a é positivo. 
c) ( ) O número real b é positivo. 
d) ( F ) A abscissa do vértice V é negativa. 
e) ( F ) A ordenada do vértice V é positiva. 
f) ( F ) O discriminante () da equação f(x) = 0 é nulo. 
 
8) (FUVEST) O gráfico de f(x) = x2 + bx + c, onde b e c são constantes, passa pelos pontos (0,0) e (1,2). 
Então f(-2/3) vale: 
FUNÇÃO QUADRÁTICA 
Celso do Rozário Brasil 
 
28 
 
 
a) 9
2
−
 b) 9
2
 c) 4
1
−
 d) 4
1
 e) 4 
 
Solução 
 
Para o ponto (0, 0) temos: 
 
y = x² + bx + c 
0 = 0² + b.0 + c 
c = 0 
 
Para o ponto (1, 2), temos: 
 
y = x² + bx + 0 
2 = 1² + b.1 + 0 
2 = 1 + b 
b = 1 
 
Logo, a função é: 
 
f(x) = x² + x 
 
Vamos calcular f(-2/3): 
 
f (−
2
3
) = (−
2
3
)
2
+ (−
2
3
) 
 
 f (−
2
3
) =
4
9
−
2
3
 
 
 f (−
2
3
) =
4 − 6
9
 
 
𝐟 (−
𝟐
𝟑
) = −
𝟐
𝟗
 
 
Resposta: A 
9) Encontre os possíveis valores de k tais que o conjunto imagem da função 𝐲 = −𝐱𝟐 + 𝐤𝐱 −
𝟏
𝟐
 seja 
Im = {y  IR/ y ≤ 2}. 
 
Solução 
 
A função é: 𝑦 = −𝑥2 + 𝑘𝑥 −
1
2
 
Como a < 0, a concavidade será voltada para baixo. E a função terá ponto de máximo expresso no y do vértice. 
 
𝑦𝑣 = −
∆
4𝑎
 
 
 𝑦𝑣 = −
𝑏2 − 4𝑎𝑐
4𝑎
 
FUNÇÃO QUADRÁTICA 
Celso do Rozário Brasil 
 
29 
 
 
 
2 = −
[(𝑘2 − 4(−1). (−
1
2)]
4(−1)
 
 
−
(𝑘2 − 2)
−4
 = 2 
 
 −𝑘2 + 2
−4
= 2 
 
−𝑘2 + 2 = −8 
 
−𝑘2 = −10 
 
𝑘2 = 10 
 
𝐤 = √𝟏𝟎 
 
 
10) O gráfico da função f(x)=x² + x + 2k – 3, k  IR, não intercepta o eixo das abscissas. Determine os 
possíveis valores de k. 
 
Solução 
 
Quando o gráfico não intercepta o eixo das abscissas o discriminante deve ser negativo, então Δ < 0. Assim 
sendo: 
b² - 4ac < 0 
1² - 4.1.(2k - 3) < 0 
1 -4.(2k - 3) < 0 
1 - 8k + 12 < 0 
-8k + 13 < 0 
-8k < -13 (-1) 
8k > 13 
k > 13/8 
 
 
11) (UCMG) O valor máximo da função f(x) = -x2 + 2x + 2 é: 
 
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 
 
Solução 
 
O valor máximo da função é dado pelo y do vértice, logo: 
 
𝑦𝑣 = −
∆
4𝑎
 
 
 𝑦𝑣 =
−(𝑏2 − 4𝑎𝑐)
4𝑎
 
 
FUNÇÃO QUADRÁTICA 
Celso do Rozário Brasil 
 
30 
 
 
 𝑦𝑣 =
−[(2)² − 4. (−1). 2]
4(−1)
 
 
 𝑦𝑣 =
−(4 + 8)
−4
 
 
𝑦𝑣 =
−12
−4
 
 
𝒚𝒗 = 𝟑 
 
Resposta: B 
 
 
12) Um golfinho realiza um salto cuja trajetória é uma parábola como a que está representada no 
gráfico abaixo: 
 
A altura h atingida pelo golfinho no ponto máximo do seu salto, em metros, é igual a: 
 
(a) 2,5 (b) 2,25 (c) 2,0 (d) 1,75 (e) 2,10 
 
Solução 
 
A altura máxima da trajetória está no vértice da parábola, cujas coordenadas são dadas pelas expressões: 
 
 
 
Temos que encontrar a equação da parábola. 
 
Note que os valores 0 e 3 são as raízes da equação (estão no eixo x) 
 
Se o vértice é metade da distânciaentre as raízes, então, x do vértice vale: 
 
𝑥𝑣 =
0 + 3
2
 
 
𝑥𝑣 =
3
2
 
 
−
𝑏
2𝑎
=
3
2
 
 
−𝑏 = 3𝑎 (−1) 
 
FUNÇÃO QUADRÁTICA 
Celso do Rozário Brasil 
 
31 
 
 
𝐛 = −𝟑𝐚 
 
Note que a função passa pela origem, então o coeficiente c = 0 
 
Logo, a equação é da forma y = -ax² + bx (Concavidade voltada para baixo, pois, a < 0) 
 
Substituindo o ponto (1, 2) que é x = 1 e y = 2 e o valor de b = -3a, temos: 
2 = a.1² - 3a.1 
2 = a - 3a 
2 = -2a 
a = 2/-2 
a = -1 
 
Como: 
 
b = -3a 
b = -3(-1) 
b = 3 
 
 
Logo, a equação é: 
 
y = −𝑥² + 3 𝑥 
 
A altura h atingida pelo golfinho no ponto máximo do seu salto é dada pelo y do vértice. Logo 
 
𝑦𝑣 = −
∆
4𝑎
 
 
 𝑦𝑣 =
−(𝑏2 − 4𝑎𝑐)
4𝑎
 
 
 yv =
− [(9)2 − 4. (−
1
2) . 0]
4(−1)
 
 
yv =
(−9)
−4
 
 yv =
9
4
 
 
𝐲𝐯 = 𝟐, 𝟐𝟓 𝐦𝐞𝐭𝐫𝐨𝐬 
 
Resposta: B 
 
 
13) Uma bola é lançada ao ar. A sua altura h (metros) está relacionada com o tempo (segundos) de 
lançamento por meio da expressão h(t) = - t² + 4t + 5. 
 
(a) Em que instante a bola atinge a altura máxima? 
 
(b) Qual a altura máxima atingida pela bola? 
FUNÇÃO QUADRÁTICA 
Celso do Rozário Brasil 
 
32 
 
 
 
(c) Faça um esboço gráfico da trajetória da bola. 
 
Solução 
 
(a) O instante que a bola atinge a altura máxima é dado pelo x do vértice. Logo: 
 
xv = −
b
2a
 
 
xv =
−4
2(−1)
 
 
xv =
−4
−2
 
 
𝐱𝐯 = 𝟐 𝐬𝐞𝐠𝐮𝐧𝐝𝐨𝐬 
 
Resposta: a bola atinge a altura máxima em 2 segundos 
 
(b) 
 
Substituindo t = 2 na função encontraremos a altura máxima atingida pela bola: 
 
h(t) = - t² + 4t + 5 
 
h(2) = -2² + 4.2 + 5 
 
h(2) = -4 + 8 + 5 
 
h(2) = 9 m 
 
Observação: A altura máxima também pode ser calculada pelo y do vértice. Observe: 
 
yv =
−∆
4a
 
 
yv =
−(b2 − 4ac)
4a
 
 
yv = 
−[(−4)2 − 4.1. (−5)]
4(−1)
 
 
yv =
−[16 + 20]
−4
 
 
yv = 
−36
−4
 
 
𝒚𝒗 = 𝟗 𝒎 
 
Zeros ou raízes da função: 
FUNÇÃO QUADRÁTICA 
Celso do Rozário Brasil 
 
33 
 
 
 
Fazendo h(t) = 0, temos: 
 
- t² + 4t + 5 = 0 (-1) 
 
t² - 4t – 5 = 0 
∆ = b2 − 4ac 
∆ = (−4)2 − 4.1(−5) 
∆ = 16 + 20 
∆ = 𝟑𝟔 
 
t = 
−𝑏 ± √∆
2𝑎
 
 
t =
−(−4) ± √36
2
 
t = 
4 ± 6
2
 
 
𝑡′ = 5 
 
𝑡" = −1 
 
 
(c) Com os pontos: (-1, 5), (0, 5) e V(2, 9) podemos esboçar o gráfico da função: 
 
 
 
14) (UFRJ) Oscar arremessa uma bola de basquete cujo centro segue uma trajetória plana vertical de 
equação: 
 
2
7
8
7
1 2 ++−= xxy
 
FUNÇÃO QUADRÁTICA 
Celso do Rozário Brasil 
 
34 
 
 
na qual os valores de x e y são dados em metros. Oscar acerta o arremesso, e o centro da bola passa pelo 
centro da cesta, que está a 3 m de altura. 
 
Determine a distância do centro da cesta ao eixo y. 
 
Solução 
 
Temos: 
 
y = −
1
7
𝑥2 +
8
7
𝑥 + 2 
 
Se a altura é 3m, significa que y = 3. 
 
3 = −
1
7
𝑥2 +
8
7
𝑥 + 2 
 
Multiplicando a equação por 7: 
 
3.7 = 7 (−
1
7
𝑥2 +
8
7
𝑥 + 2) 
 
21 = −𝑥2 + 8𝑥 + 14 
 
x² - 8x + 21 -14 = 0 
 
x² - 8x + 7 = 0 
 
∆ = b2 − 4ac 
 
∆ = (−8)2 − 4.1.7 
 
∆ = 64 − 28 
 
∆ = 𝟑𝟔 
 
x =
−b ± √∆
2a
 x =
−(−8) ± √36
2.1
 x =
8 ± 6
2
 x′ = 7 x" = 1 (Não convém) 
 
Logo, a distância do centro da cesta ao eixo y vale 7 metros. 
 
15) (UFRRJ) O custo de produção de um determinado artigo é dado por C(x) = 3x2 – 15x + 21. Se a 
venda de x unidades é dada por V(x) = 2x2 + x, para que o lucro L(x) = V(x) – C(x) seja máximo, devem 
ser vendidas: 
 
a) 20 unidades b) 16 unidades c) 12 unidades d) 8 unidades e) 4 unidades 
 
FUNÇÃO QUADRÁTICA 
Celso do Rozário Brasil 
 
35 
 
 
Solução 
 
Note que: 
 
Lucro = Venda - Custo. 
 
Venda = 2x²+x 
Custo = 3x²-15x+21 
 
Venda - Custo = Lucro 
 
(2x² + x) - (3x²-15x+21) = Lucro 
 
(2x² + x) -3x² + 15x -21 = Lucro 
 
-x² + 16x - 21 = Lucro 
Para descobrirmos o valor máximo utilizamos a formula da função quadrática. 
 
Lucro Máximo de x = - (b/2a) 
 
Luco Máximo de x = - (16/2.-1) 
 
Luco Máximo de x = - (16/-2) 
 
Luco Máximo de x = - (-8) 
 
Luco Máximo de x = 8 
 
Resposta: D 
 
 
16) (FGV) Uma parede de tijolos será usada como um dos lados de um muro retangular. Para os outros 
lados iremos usar 400 m de tela de arame, de modo a produzir uma área máxima. Qual o quociente do 
lado menor pelo maior? 
 
Solução 
 
x é a medida do comprimento e y é a medida do retângulo 
 
Área do retângulo 
 
A = Comprimento x largura 
 
A = x . y 
 
Quantidade de tela a ser utilizada 
 
2x + y = 400 
y = 400 - 2x 
 
Logo 
 
FUNÇÃO QUADRÁTICA 
Celso do Rozário Brasil 
 
36 
 
 
A = x. y 
 
A = x.(400 - 2x) 
 
A(x) = 400x - 2x² 
 
A equação do 2* grau acima possui ponto de máximo no vértice , logo a área é máxima nesse ponto. 
 
𝑥𝑣 = −
𝑏
2𝑎
 
 
𝑥𝑣 =
−400
2(−2)
 
 
𝑥𝑣 =
−400
−4
 
𝐱𝐯 = 𝟏𝟎𝟎 
 
Como: 
 
y = 400 - 2x 
 
y = 400 – 2.100 
y = 400 – 200 
 
y = 200 
 
Lado menor
Lado maior
=
100
200
 =
𝟏
𝟐
 
 
 
 
17) (UFSCAR) Uma bola ao ser chutada num tiro de meta por um goleiro, numa partida de futebol, 
teve sua trajetória descrita pela equação h(t) = – 2t² + 8t (t  0), onde t é o tempo medido em segundos 
e h(t) é a altura em metros da bola no instante t. 
 
Determine, após o chute: 
 
a) o instante em que a bola retornará ao solo. 
 
b) a altura máxima atingida pela bola. 
 
Solução 
 
(a) O instante será o x do vértice: 
 
𝑥𝑣= -b/2a 
 
𝑥𝑣 = -8/2(-2) 
 
𝑥𝑣 = -8/-4 
 
FUNÇÃO QUADRÁTICA 
Celso do Rozário Brasil 
 
37 
 
 
𝒙𝒗 = 2 segundos 
 
(b) a altura máxima é dada pelo y do vértice: 
 
Δ = b² - 4ac 
Δ = 8² - 4.(-2).0 
Δ = 64 
𝑦𝑣 = - Δ/4a 
𝑦𝑣 = - 64/4(-2) 
𝑦𝑣 = -64/-8 
𝒚𝒗 = 8 metros 
 
 
Gráfico da função: 
 
 
 
 
18) (UERJ) Numa operação de salvamento marítimo, foi lançado um foguete sinalizador que 
permaneceu aceso durante toda sua trajetória. Considere que a altura h, em metros, alcançada por este 
foguete, em relação ao nível do mar, é descrita por: 
 
 
2tt510h −+= , 
 
em que t é o tempo, em segundos, após seu lançamento. A luz emitida pelo foguete é útil apenas a partir 
de 14m acima do nível do mar. 
 
O intervalo de tempo, em segundos, no qual o foguete emite luz útil é igual a: 
 
(a) 3 (b) 4 (c) 5 (d) 6 
 
Solução 
 
O enunciado nos forneceu a função que descreve o deslocamento do foguete: 
FUNÇÃO QUADRÁTICA 
Celso do Rozário Brasil 
 
38 
 
 
 
 , 
 
Queremos saber, a partir de quantos segundos o foguete começa a emitir luz útil, temos a informação de que 
isso ocorre quando o foguete está a uma altura de 14m, então podemos substituir os dados e encontrar o 
tempo: 
 
 
 
Resposta: B 
 
19) (UERJ) As trajetórias A e B de duas partículas lançadas em um plano vertical XOY estão 
representadas. Suas equações são, respectivamente, 
 
x3x
2
1
y 2 +−=
 
xx
2
1
y 2 +−=
, 
 
 nas quais x e y estão em uma mesma unidade u. Essas partículas atingem, em um mesmo instante t, o 
ponto mais alto de suas trajetórias. A distância entre essas partículas, neste instante t, na mesma 
unidade u, equivale a: 
 
a) 6 b) 8 c) 10 d) 20 
 
 
Solução 
 
Devemos ter: 
FUNÇÃO QUADRÁTICA 
Celso do Rozário Brasil 
 
39 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Encontrando as coordenadas dos respectivos vértices, temos: 
(i) {
𝐴: 𝑥𝑉 = −
3
2(−1 2⁄ )
= 3; 𝑦𝑉 = −
(3)2−4(−1 2⁄ ).(0)
4(−1 2⁄ )
=
9
2
𝐵: 𝑥𝑉 = −
1
2(−1 2⁄ )
= 1; 𝑦𝑉 = −
(1)2−4(−1 2⁄ ).(0)
4(−1 2⁄ )
=
1
2
; 
 
(𝑖𝑖) 𝑑(𝑉𝐴, 𝑉𝐵) = √(3 − 1)² + (
9
2
−
1
2
) ² = √4 + 16 = √𝟐𝟎. 
Resposta: D 
 
20) (UERJ) Uma bola de beisebol é lançada de um ponto 0 e, em seguida, toca o solo nospontos A e B, 
conforme representado no sistema de eixos ortogonais. Durante sua trajetória, a bola descreve duas 
parábolas com vértices C e D. A equação de uma dessas parábolas é: 
5
x2
75
x
y
2
+−=
. 
 
Se a abscissa de D é 35m, a distância do ponto 0 ao ponto B, em metros, é igual a: 
 
 
 
a) 38 b) 40 c) 45 d) 50 
 
Solução 
 
Encontrando o xV na equação informada, temos: 
 
 
( )
15
2
75
.
5
2
75
12
5/2
xV =




 −






−=
−
−=
. 
 
FUNÇÃO QUADRÁTICA 
Celso do Rozário Brasil 
 
40 
 
 
Essa abscissa xV corresponde à parábola maior e está no ponto médio de d(0, A). Logo, A = 30. 
 
Como (35 – A) = (B – 35)  (35 – 30) = (B – 35) 5 = B – 35  B = 40. Logo, a distância de 0 a 40 = 40. 
 
Resposta: B 
 
Sejam a e b as raízes da equação x² + 5x + 8 = 0. Determine o valor da expressão ab2ba
abba
22
22
++
+
. 
 
Solução. 
 
Simplificando a expressão temos: 
 
( )
)²ba(
baab
ab2ba
abba
22
22
+
+
=
++
+
. 
 
 
Utilizando as relações de Girard, para a equação ax² + bx + c = 0, temos: 
 
( )
5
8
)²5(
58
ab2ba
abba
8
1
8
a
c
:odutoPr
5
1
5
a
b
:Soma
22
22
−=
−
=
++
+







==
−=−=−
. 
 
Determine o valor de y na função y = ax² + bx + c, cujo gráfico passa pelos pontos: (-1,0), (5,0) e (1,-8), 
quando x = 2. 
 
Solução. 
 
Substituindo os pontos na equação e resolvendo o sistema temos: 
 
.91345845)2(4)²2(y2xSe.5x4²xy,Logo
.5)1(4a4c,Então
.1a24a24
20ca25
4ca
20ca25
)1(x4ca
0c)4(5a25
0c)4(a
0cb5a25
4b8b2
8cba
0cba
0cb5a25
8cba
)1(x0cba
c)1(b)²1(a8
c)5(b)²5(a0
c)1(b)²1(a0
−=−=−−=−−==−−=
−=−−=−−=
==



=+
=−−




=+
−→−=+




=+−+
=+−−






=++
−=−=



−=++
=−+−






=++



−=++
−→=+−






++=−
++=
+−+−=
 
 
 
(UERJ) Considere a função: 
 
 
IRx,18x2
2
3x
f 23 −=







 +
. 
(a) Determine os zeros da função. 
 
(b) Calcule: 
 
FUNÇÃO QUADRÁTICA 
Celso do Rozário Brasil 
 
41 
 
 
 2
)1(f)1(f −+
 
 
Solução. 
 
Escrevendo a função na variável “y” com a substituição indicada, temos: 
 
( ) ( )
³y24y8)y(f1818³y24y8)y(f
189³y12y42)y(f18²3³y22)y(f3³y2x³y
2
3x
y
2
3x
66
63
−=−+−=
−+−=−−=−==
+
=
+
. 
 
(a) ( )



==−
=
=−=−=
3
6
3y03³y
0y
03³y³y80³y24y80)y(f . 
 
(b) 8
2
16
2
)32()16(
2
)1(f)1(f
32248)³1(24)1.(8)1(f
16248)³1(24)1.(8)1(f
6
6
==
+−
=
−+




=+=−−−=−
−=−=−=
. 
(UERJ) A figura mostra um anteparo parabólico que é representado pela função: 
 
 
.x32x
3
3
)x(f 2 +−=
 
 
Uma bolinha de aço é lançada da origem e segue uma trajetória 
retilínea. Ao incidir no vértice de anteparo é refletida e a nova 
trajetória é simétrica à inicial, em relação ao eixo da parábola. O 
valor do ângulo de incidência corresponde a: 
 
a) 30º b) 45º c) 60º d) 
75º 
 
Solução. 
 
Encontrando as coordenadas do vértice, temos: 
 
( )
( )
33
3
3
.
3
9
3
9
34
3
).12(
3
34
12
3
34
)0.(
3
3432
y;3
3
3
.3
3
32
32
x
2
VV ===
−
−=
−
=





−





−−
−==





−−=





−
−=
. 
 
A tangente do ângulo α é a razão entre xV e yV: 
 
º30
3
3
3
1
33
3
tg ====
. 
 
Na parede da sala de aula de Manolito, que tem 4m de altura e 6m de largura, será pintado um painel, 
conforme a figura apresentada. 
 
FUNÇÃO QUADRÁTICA 
Celso do Rozário Brasil 
 
42 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O valor de x para que a área hachurada seja máxima é: 
 
a) 1/4 b) 1/2 c) 1 d) 2 e) 4 
 
Solução. 
 
O valor da área pedida será a diferença entre a área total e a soma das áreas dos triângulos retângulos não 
hachurados. 
 
( )
1
)2(2
)4(
x)hachurada(A
18x4²x2x46²x224)hachurada(A
x46²x2:Soma
x46
2
)x46).(2(
)2T(A
²x2
2
)x4).(x(
)1T(A
²m24)4).(6()total(A
VMÁXIMA
=
−
−=→
++−=−+−=
−+






−=
−
=
==
==
. 
 
Um pequeno pomar com 40 árvores plantadas produz 25 cestas de frutas por árvores. Devido à 
disputa de nutrientes no solo, a cada árvore que é plantada a mais, cada uma das árvores produz 1/4 
de cestas a menos. Podemos dizer que o número de árvores que devem estar no pomar para que a 
produção seja máxima é: 
 
a) 30 b) 40 c) 50 d) 60 e) 70 
 
Solução. 
 
Observando o que acontece em cada caso para generalizar, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Repare que a cada plantio não diminui 1/4 do total. E sim a quantidade 1/4. 
 
FUNÇÃO QUADRÁTICA 
Celso do Rozário Brasil 
 
43 
 
 
Logo a função da produção é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Já estão 40 e podem ser plantadas mais 30. Logo, Devem estar 70. 
 
 
(ENEM) Um posto de combustível vende 10.000 litros de álcool por dia a R$ 1,50 cada litro. Seu 
proprietário percebeu que, para cada centavo de desconto que concedia por litro, eram vendidos 100 
litros a mais por dia. Por exemplo, no dia em que o preço do álcool foi R$ 1,48, foram vendidos 10.200 
litros. 
 
Considerando x o valor, em centavos, do desconto dado no preço de cada litro, e V o valor, em R$, 
arrecadado por dia com a venda do álcool, então a expressão que relaciona V e x é: 
a) V = 10.000 +50x -x2 
 
b) V = 10.000 +50x +x2 
 
c) V = 15.000 -50x -x2 
 
d) V = 15.000 +50x -x2 
 
e) V = 15.000 -50x +x2 
 
Solução 
 
‘p’ é o preço do litro. 
 
Inicialmente p = 1,5. 
 
Se o proprietário der um desconto de x centavos o preço do litro será p = 1,5 -x. 
 
Considerando que x é um número inteiro, nós precisamos convertê-lo para centavos, para isso basta dividi-lo 
por 100: 
 
 
 
A quantidade de litros vendidos é ‘l’: 
 
Inicialmente l = 10.000 
 
Para cada centavo de desconto são vendidos 100 l a mais, então l = 10.000 +100x 
 
 
( ) ( )
30)2).(15(
2
1
)15(
4
12
)15(
x)x(P
4
x
x151000
4
x
x25
4
x40
1000
4
x
25).x40()x(P
MáximoMáximo
22
=−−=
−
−
=
−
−
=→
−+=−+−=





−+=
FUNÇÃO QUADRÁTICA 
Celso do Rozário Brasil 
 
44 
 
 
 
O valor arrecadado no dia é o preço x a quantidade de litros vendidos 
 
 
 
Resposta: D 
 
 
(EFOMM) Examine a função real f(x) = 2x -3x2 quanto à existência de valores e pontos de máximos e 
mínimos. Analise o problema e assinale a alternativa CORRETA. 
 
 
 
a) A função atinge o valor máximo de 2/3, no ponto x = 1/3 
 
b) A função atinge o valor mínimo de 1/3, no ponto x = 1/3 
 
c) A função atinge o valor máximo de 1/3, no ponto x = 2/3 
 
d) A função atinge o valor mínimo de 2/3, no ponto x = 1/3 
 
e) A função atinge o valor máximo de 1/3, no ponto x = 1/3 
 
Solução 
 
O valor máximo de uma função do 2º grau é conhecido como y do vértice, e pode ser calculado da seguinte 
maneira: 
 
 
 
Δ é conhecido como discriminante, sendo que Δ = b2 -4ac. 
a: coeficiente do x2 
b: coeficiente do x 
c: termo independente, se ele não aparecer na função nós podemos considerá-lo igual à 0 
 
Logo 
 
Δ = 22 -4.(-3).0 
 
FUNÇÃO QUADRÁTICA 
Celso do Rozário Brasil 
 
45 
 
 
 
Δ = 4 
 
Substituindo Δ na equação do y do vértice 
 
 
 
 
O x correspondente do y do vértice é o x do vértice, que pode ser calculado como segue 
 
 
 
Então: 
 
 
 
O valor máximo da função é 1/3, no ponto x = 1/3 
 
Resposta: E 
 
(CESMAC) O custo total do dia de trabalho de uma empresa pode ser descrito pela expressão C(x) = 
3x2 +11x, em que x representa a quantidade de clientes atendidos. O valor recebido pela empresa em 
um dia pode ser descrito pela igualdade V(x) = 83x. O lucro diário da empresa é dado por: 
L(x) = V(x) –C(x). Para que o lucro seja máximo em um dia,quantos clientes devem ser atendidos? 
 
 
a) 12 
 
b) 13 
 
c) 14 
 
d) 15 
 
e) 16 
 
Solução 
FUNÇÃO QUADRÁTICA 
Celso do Rozário Brasil 
 
46 
 
 
 
O lucro diário é: 
 
L(x) = 83x -(3x2 +11x) 
 
L(x) = -3x2 +72x 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: A 
 
 
(ENEM) A empresa WQTU Cosmético vende um determinado produto x, cujo custo de fabricação de 
cada unidade é dado por 3x2 +232, e o seu valor de venda é expresso pela função 180x −116. A 
empresa vendeu 10 unidades do produto x, contudo a mesma deseja saber quantas unidades precisa 
vender para obter um lucro máximo. 
 
A quantidade máxima de unidades a serem vendidas pela empresa WQTU para a obtenção do maior 
lucro é 
 
a) 10 
 
b) 30 
 
c) 58 
 
d) 116 
 
e) 232 
 
Solução 
 
O custo do produto é c(x) = 3x2 +232 
 
E a arrecadação com a venda de x unidades do produto é a(x) = 180x -116 
 
O lucro de uma empresa é a arrecadação com as vendas -os gastos 
 
l(x) = a(x) -c(x) 
FUNÇÃO QUADRÁTICA 
Celso do Rozário Brasil 
 
47 
 
 
 
 
l(x) = 180x -116 -(3x2 +232) 
 
 
l(x) = -3x2 +180x -348 
 
Nós queremos descobrir o x que maximiza o l(x), o x do vértice, que pode ser calculado da seguinte 
maneira: 
 
 
 
 
Resposta: B 
 
(PUC) Quando presa a duas paredes paralelas, certa rede toma a forma do gráfico da 
função y=x2−6x+10, conforme a figura: 
 
 
 
Considerando que o eixo x está no solo, é correto afirmar que a distância entre o ponto mais baixo dessa 
rede e o solo (distância entre os pontos M e P), em unidades de comprimento, é igual a: 
 
a) 1 
 
b) √3 
 
c) 2 
FUNÇÃO QUADRÁTICA 
Celso do Rozário Brasil 
 
48 
 
 
 
d) √5 
 
e) √7 
 
Solução 
 
Considerando que o eixo x está no solo, é correto afirmar que a distância entre o ponto mais baixo dessa 
rede e o solo (distância entre os pontos M e P), em unidades de comprimento, é igual a: 
 
 
 
Vamos reescrever a função, digamos que g(x) = x2 -6x +10, portanto y = √g(x). 
 
Veja, mesmo que g(x) esteja dentro de uma raiz quadrada, ela continua sendo uma função do 2º grau, não 
deixe a questão lhe confundir. 
O mínimo de uma função do 2º grau é conhecido como y do vértice, e pode ser calculado da seguinte 
maneira: 
 
 
 
 
 
Logo 
 
Δ = (-6)2 -4.1.10 
 
Δ = -4 
 
Substituindo Δ na equação do y do vértice 
 
 
 
FUNÇÃO QUADRÁTICA 
Celso do Rozário Brasil 
 
49 
 
 
 
portanto, a distância de M a P é 1 
 
Resposta: A 
 
 
(FUVEST) A dona de uma lanchonete observou que, vendendo um combo a R$ 10,00, 200 deles são 
vendidos por dia, e que, para cada redução de R$ 1,00 nesse preço, ela vende 100 combos a mais. 
Nessas condições, qual é a máxima arrecadação diária que ela espera obter com a venda desse combo? 
 
 
 
a) R$ 2.000,00 
 
b) R$ 3.200,00 
 
c) R$ 3.600,00 
 
d) R$ 4.000,00 
 
e) R$ 4.800,00 
 
Solução 
 
Seja ‘a’ é a arrecadação diária. 
 
‘p’ o preço do combo. 
 
E ‘c’ a quantidade de combos vendidos. 
 
Inicialmente p = 10. 
 
Se x é o valor do desconto no preço do combo, então p = 10 -x 
 
Inicialmente c = 200. 
 
Para cada R$ 1,00 de desconto ela vende 100 combos a mais, portanto c = 200 +100x 
FUNÇÃO QUADRÁTICA 
Celso do Rozário Brasil 
 
50 
 
 
 
Assim sendo a arrecadação é o preço x a quantidade de combos vendidos 
 
a = pc 
 
 
a = (10 -x).(200 +100x) 
 
 
a = 2000 +800x -100x2 
 
O valor máximo de uma função do 2º grau é conhecido como y do vértice e pode ser calculado da seguinte 
maneira: 
 
 
 
 
Logo Δ = 8002 -4.(-100).2000 
 
 
 
Resposta: C 
 
(UEG) As raízes da função quadrática y = ax2 +bx +c são -1 e 3. Sabendo-se que o vértice é o ponto (1, 
-4), os valores de a, b e c são, respectivamente: 
 
a) -1, -2 e -3 
 
b) 1, -2 e -3 
 
c) -1, 2 e 3 
 
d) 1, 2 e 3 
 
e) -1, -2 e 3 
 
Solução 
 
FUNÇÃO QUADRÁTICA 
Celso do Rozário Brasil 
 
51 
 
 
As raízes de uma função do 2º grau são os valores de x que resultam em 0, ou seja, quando x = -1 ou x = 3 y 
= 0, assim sendo 
 
0 = a(-1)2 +b(-1) +c 
 
a -b +c = 0 (eq1) 
 
Temos também que 
 
0 = a(3)2 +b(3) +c 
 
9a +3b +c = 0 (eq2) 
 
Ainda segundo a questão (1, -4) é o vértice da função, isto significa que o ponto (1, -4) pertence a ela, ou 
seja quando x = 1 y = -4 
 
-4 = a(1)2 +b(1) +c 
 
a +b +c = -4 (eq3) 
 
Com 2 ou + equações nós podemos montar um sistema, é o que faremos 
 
 
 
 
Vamos subtrair eq3 -eq1 
 
a +b +c = -4 
- a -b +c = 0 
------------------ 
2b = -4 
 
b = -2 
 
Vamos substituir b em eq2 
 
9a +3.(-2) +c = 0 
 
 
9a +c = 6 (eq4) 
 
e eq3 
 
a -2 +c = -4 
 
 
a +c = -2 (eq5) 
FUNÇÃO QUADRÁTICA 
Celso do Rozário Brasil 
 
52 
 
 
 
Vamos subtrair eq4 -eq5 
 
9a +c = 6 
- a +c = -2 
---------------- 
8a = 8 
 
a = 1 
E finalmente vamos substituir “a” em eq5 
 
1 +c = -2 
 
c = -3 
 
Então a = 1, b = -2 e c = -3 
 
Resposta: B 
 
 
(FATEC) Uma empresa trabalha com fretamento de ônibus para o litoral. O valor cobrado por 
passageiro, no caso dos 50 lugares disponíveis serem todos ocupados, é de R$ 40,00. No caso de não 
ocorrer a lotação máxima, cada passageiro deverá pagar R$ 2,00 a mais por assento vazio. 
 
O valor máximo arrecadado por essa empresa, numa dessas viagens, é 
 
 
 
a) R$ 2.000,00 
 
b) R$ 2.200,00 
 
c) R$ 2.350,00 
 
d) R$ 2.450,00 
 
e) R$ 2.540,00 
 
Solução 
 
p é a quantidade de passageiros. 
 
V(x) é o valor arrecadado. 
 
E x é a quantidade de lugares vagos. 
 
O valor cobrado é R$ 40,00 por passageiro, então o valor arrecadado é 
V(x) = 40p 
 
Mas veja, p é a capacidade máxima da van menos a quantidade de lugares vagos 
 
p = 50 -x 
FUNÇÃO QUADRÁTICA 
Celso do Rozário Brasil 
 
53 
 
 
 
Então: 
 
V(x) = 40(50 -x) 
 
São cobrados R$ 2,00 a mais por passageiro por lugar vago. 
 
Vamos com calma, R$ 2,00 por passageiro é 2p. 
 
Por lugar vago, a quantidade de lugares vagos é x, sendo assim 2px. 
 
Logo o valor arrecadado é 
 
V(x) = 40(50 -x) +2px 
 
V(x) = 40(50 -x) +2x(50 -x) 
 
V(x) = 2000 +60x -2x 
O valor máximo de uma função do 2º grau, que neste caso é a arrecadação máxima, é conhecido como y do 
vértice, e pode ser calculado da seguinte maneira: 
 
 
 
 
Logo Δ = 602 -4.(-2).2000 
 
Substituindo Δ na equação do y do vértice 
 
 
Resposta: D 
 
 
(FPS) O desenvolvimento de gestação de certa criança entre a 30ª e a 40ª semanas de vida foi modelado 
pelas funções M(t) = 0,01t2 –0,49t +7 e H(t) = t +10, onde t indica as semanas transcorridas, 30 ≤ t ≤40, 
H(t) o comprimento em cm, e M(t) a massa em kg. Admitindo o modelo, qual o comprimento do feto, 
quando sua massa era de 2,32 kg? 
 
a) 42 cm 
 
b) 44 cm 
FUNÇÃO QUADRÁTICA 
Celso do Rozário Brasil 
 
54 
 
 
 
c) 46 cm 
 
d) 48 cm 
 
e) 50 cm 
 
Solução 
 
Se a massa era 2,32 kg, então: 
 
2,32 = 0,01t2 -0,49t +7 
 
0,01t2 -0,49t +4,68 = 0, vamos multiplicar a equação por 100 
 
t2 -49t +468 = 0 
 
Nós precisamos encontrar os valores de t que satisfazem a equação 
Para determinar as raízes de uma função do 2º grau nós utilizamos Bhaskara: 
 
 
 
Δ é conhecido como fator discriminante da função de segundo grau e seu valor é: Δ = b2 -4ac 
a: coeficiente do x2 
b: coeficiente do x 
c: termo independente, se ele não aparecer na função nós podemos considerá-lo igual à 0 
 
Vamos começar calculando o delta: 
 
Δ = (-49)2 -4.1.468 
 
Δ = 529 
 
Substituindo em Bhaskara 
 
 
 
 
Este valor não nos interessa, pois segundo a própria questão t ≥ 30. 
 
FUNÇÃO QUADRÁTICA 
Celso do Rozário Brasil 
 
55 
 
 
 
 
Quando t = 36, o comprimento do feto é 
 
H(36) = 36 +10 
 
 
 
Resposta: C 
 
 
 
 
 
(IFF) Em uma partida de futebol, uma falta será cobrada próximo à grande área. Supondo que a 
trajetória da bola até o gol, no momento da cobrança da falta, será uma parábola com concavidade 
voltada para baixo, e sabendo quea bola parte do ponto (9, 0) e alcança a maior altura no ponto (0, 4), 
então a expressão que representa essa trajetória é: 
 
 
Solução 
 
 
FUNÇÃO QUADRÁTICA 
Celso do Rozário Brasil 
 
56 
 
 
 
 
 
 
 
 
Temos, então: 
 
y = a.x² + b.x + c ---> 
 
Xv = 0 
 
 Yv = 4 
 
 
Raízes: 
 
𝑥′ = 9 
𝑥" = −9 
 
Xv = −
b
2a
 
 
FUNÇÃO QUADRÁTICA 
Celso do Rozário Brasil 
 
57 
 
 
−
b
2a
= 0 
 
−b = 2a. 0 
 
−b = 0 
 
 𝐛 = 𝟎 
 
Logo, a função terá a seguinte forma: 
 
y = ax² + 0.x + c 
 
y = ax² + c (i) 
 
Fazendo: 
 
x = 0 e y = 4 e substituindo em (i), temos: 
 
4 = a.0² + c 
 
c = 4 
 
Finalmente, fazendo: 
 
x = 9 (zero da função) 
y = 0 
 
E substituindo na função, temos: 
 
y = ax² + c 
 
y = ax² + 4 
 
0 = a(9)² + 4 
 
0 = 81a + 4 
 
-81a = 4 (-1) 
 
a = - 4/81 
 
Temos os seguintes valores: 
 
a = -4/81 
b = 0 
c = 4 
 
Substituindo na forma geral da função, resulta em> 
 
y = ax² + bx + c 
 
FUNÇÃO QUADRÁTICA 
Celso do Rozário Brasil 
 
58 
 
 
𝑦 = −
4
81
𝑥2 + 0. 𝑥 + 4 
 
Logo, a função é: 
 
𝐲 = −
𝟒
𝟖𝟏
𝒙𝟐 + 𝟒 
 
Resposta: D 
 
 
(SSA1 2019) Em um mesmo sistema de coordenadas cartesianas, considere as representações das 
funções f(x) = x2 -4 e g(x) = -x -2. Em quantas regiões, essas representações dividem o plano ? 
 
 
a) 1 
 
b) 2 
 
c) 3 
 
d) 4 
 
e) 5 
 
Solução 
 
Vamos esboçar os gráficos das funções. 
 
Para traçarmos o gráfico de uma função do 2º grau, nós precisamos das suas raízes. 
 
As raízes de f(x) = x2 -4 são -2 e +2 
 
 
 
 
(as raízes de uma função do 2º grau, são os valores de x tais de f(x) = 0) 
 
FUNÇÃO QUADRÁTICA 
Celso do Rozário Brasil 
 
59 
 
 
E também precisamos do vértice. 
 
Como o coeficiente de x2 é positivo, o gráfico de f(x) é uma parábola com a concavidade voltada para cima: 
 
o menor valor de f(x), conhecido como y do vértice, pode ser calculado da seguinte maneira: 
 
 
 
Assim 
 
Δ = 02 -4.1(-4) 
 
Δ = 16 
 
 
Substituindo Δ na equação do y do vértice 
 
 
 
 
Marcando no gráfico o ponto (0, 4) fica: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FUNÇÃO QUADRÁTICA 
Celso do Rozário Brasil 
 
60 
 
 
O esboço do gráfico é: 
 
 
 
Agora vamos esboçar o gráfico de g(x) = -x -2. 
 
Para traçarmos o gráfico de uma reta, nós só precisamos de 2 pontos quaisquer por onde ela passa. 
 
Comecemos fazendo x = -2. 
 
Quando x = -2 
 
g(-2) = -(-2) -2 
 
g(-2) = 0 
 
(-2,0) já está marcado no plano cartesiano, vamos prosseguir. 
 
Quando g(x) = 0, x igual a … 
 
0 = -x -2 
 
x = -2 
 
Nós já marcamos (-2,0) no plano cartesiano. Traçando uma reta que passa por eles, temos: 
 
FUNÇÃO QUADRÁTICA 
Celso do Rozário Brasil 
 
61 
 
 
 
 
 
De posse do esboço dos gráficos das funções nós podemos identificar as regiões do plano. 
 
 
 
Resposta: E 
 
 
(UFSM) A água é essencial para a vida e está presente na constituição de todos os alimentos. Em 
regiões com escassez de água, é comum a utilização de cisternas para a captação e armazenamento da 
água da chuva. 
 
Ao esvaziar um tanque contendo água da chuva, a expressão: 
 
 
 
representa o volume (em m3) de água presente no tanque no instante t (em minutos). Qual é o tempo, 
em horas, necessário para que o tanque seja esvaziado? 
 
a) 360 
 
FUNÇÃO QUADRÁTICA 
Celso do Rozário Brasil 
 
62 
 
 
b) 180 
 
c) 120 
 
d) 6 
 
e) 3 
 
Solução 
 
 
 
360 minutos = 6 horas 
 
Resposta: D 
 
(UNESP) Em relação a um sistema cartesiano 
de eixos ortogonais com origem em O(0, 0), 
um avião se desloca, em linha reta, de O até o 
ponto P, mantendo sempre um ângulo de 
inclinação de 45º com a horizontal. A partir 
de P, o avião inicia trajetória parabólica, 
dada pela função f(x) = –x2 +14x –40, com x e 
f(x) em quilômetros. Ao atingir o ponto mais 
alto da trajetória parabólica, no ponto V, o 
avião passa a se deslocar com altitude 
constante em relação ao solo, representado na 
figura pelo eixo x. 
 
 
Em relação ao solo, do ponto P para o ponto V, a altitude do avião aumentou 
 
 
a) 2,5 km 
 
b) 3 km 
 
c) 3,5 km 
 
FUNÇÃO QUADRÁTICA 
Celso do Rozário Brasil 
 
63 
 
 
d) 4 km 
 
e) 4,5 km 
 
Solução 
 
Vamos supor que as coordenadas de P sejam (x, y). Teremos, então: 
 
 
Note o triângulo retângulo OPx: 
 
 
 
 
 
 
 
Px mede y e Ox mede x: 
 
FUNÇÃO QUADRÁTICA 
Celso do Rozário Brasil 
 
64 
 
 
 
 
Sabemos que: 
 
 
 
Logo a tangente de 45° é: 
 
 
 
 
Logo: 
 
 
 
 
 
Ora, se y = x então: 
 
FUNÇÃO QUADRÁTICA 
Celso do Rozário Brasil 
 
65 
 
 
y = –x2 +14x –40 
 
x = -x2 +14x -40 
 
-x² +13x -40 = 0 (-1) 
 
x² - 13x + 40 = 0 
 
Resolvendo por soma e produto: 
 
Soma: 8 + 5 = 13 
Produto: 8.5 = 40 
 
Isto significa que, se y = x, temos: 
 
 
 
Calculando as coordenadas do vértice encontramos o ponto: V (0,9), Logo: 
 
 
 
Logo, De P a V o avião subiu 4 km: 
 
FUNÇÃO QUADRÁTICA 
Celso do Rozário Brasil 
 
66 
 
 
 
 
Resposta: D 
 
(UNINASSAU) Admita que a probabilidade de chover em cada dia da semana, na cidade de Gramado 
seja dada pela função p(x) = - 0,05𝑥2 +0,3x +0,45, em que x representa o dia da semana, sendo x = 1 
representa o domingo, x = 2 a segunda feira, e assim por diante. Considerando a função como 
verdadeira, em qual dia da semana ocorrerá a maior probabilidade de chover em Gramado? 
 
 
a) Domingo, com probabilidade 70% 
 
b) Segunda-feira, com probabilidade 85% 
 
c) Terça-feira, com probabilidade 90% 
 
d) Quarta-feira, com probabilidade 90% 
 
e) Quinta-feira, com probabilidade 88% 
 
Solução 
 
O maior valor de uma função do 2º é conhecido como y do vértice, e pode ser calculado da seguinte maneira: 
 
 
Logo: 
 
Δ = 0,32 -4.(-0,05).0,45 
 
Δ = 0,18 
 
Substituindo Δ na equação do y do vértice 
 
FUNÇÃO QUADRÁTICA 
Celso do Rozário Brasil 
 
67 
 
 
 
 
A maior probabilidade de chover em Gramado é 0,9 que equivale a: 
 
 
 
Mas qual é o dia da semana? 
 
O x correspondente do y do vértice é o x do vértice, que pode ser calculado como segue 
 
 
Então, 
 
 
 
 
 
Portanto, o dia da semana no qual a probabilidade de chover é o 3º dia da semana, terça-feira. 
 
Resposta: C 
 
 
(ENEM) Um meio de transporte coletivo que vem ganhando espaço no Brasil é a van, pois realiza, 
com relativo conforto e preço acessível, quase todos os tipos de transportes: escolar e urbano, 
intermunicipal e excursões em geral. 
 
O dono de uma van, cuja capacidade máxima é de 15 passageiros, cobra para uma excursão até a 
capital de seu estado R$ 60,00 de cada passageiro. Se não atingir a capacidade máxima da van, cada 
passageiro pagará mais R$ 2,00 por lugar vago. 
 
Sendo x o número de lugares vagos, a expressão que representa o valor arrecadado V(x), em reais, 
pelo dono da van, para uma viagem até a capital é: 
 
 
FUNÇÃO QUADRÁTICA 
Celso do Rozário Brasil 
 
68 
 
 
Solução 
 
p é a quantidade de passageiros. 
 
Se ele cobra R$ 60,00 por passageiro, então o valor arrecadado é 
V(p) = 60p 
 
Mas veja, p é igual a capacidade máxima da van menos a quantidade de lugares vagos 
 
 
 
Então 
V(x) = 60(15 -x) 
 
Ele cobra + R$ 2,00 por passageiro por lugar vago. 
 
Vamos com calma, R$ 2,00 por passageiro é 2p. 
 
Por lugar vago, a quantidade de lugares vagos é x, sendo assim 2px. 
 
 
Logo o valor arrecadado é 
 
V(x) = 60(15 -x) +2px 
 
 
V(x) = 60(15 -x) +2x(15 -x) 
 
 
V(x) = 900 -60x +30x -2x2 
 
 
Resposta: E 
 
(INSPER) A figura a seguir representa a evolução dos milhares de unidades vendidas de um produto 
em função do tempo, dado em meses, desde seu lançamento. 
 
 
FUNÇÃO QUADRÁTICA 
Celso do Rozário Brasil 
 
69 
 
 
O trecho correspondente ao intervalo [0, t1] pode ser representado pela expressão y = 0.05x2 e o trecho 
correspondente ao intervalo ]t1,t2]por y = -0,05x2 +4x -40. O valor de t1 é: 
 
a) 5 
 
b) 10 
 
c) 15 
 
d) 20 
 
e) 25 
 
Solução 
 
Segundo a própria questão o intervalo [0, t1] pertence a função y = 0,05x2 
 
Uma coisa que eu quero que você fique atento é que o intervalo [0, t1] é fechado, isto significa que o ponto 
(t1,20). Logo, pertence a y = 0,05x2 
 
 
 
Então nós só precisamos substituir o y para encontrar o x correspondente 
 
20 = 0,05x2 
 
x = 20 
 
Resposta: D 
 
 
(UCS) A relação entre a quantidade em oferta de determinado produto e o seu preço, quando este for x 
reais por unidade, é dada pela equação q = x2 +3x -70. Já a procura per esse produto (quantidade que 
os consumidores estão dispostos a comprar), quando o preço for x reais, é dada pela equação: 
d = 410 -x. O equilíbrio no mercado ocorre quando q e d são iguais. Sendo x0 o preço e y0 a quantidade 
quando ocorre o equilíbrio, o valor de y0 -x0 é: 
 
a) 366 
 
b) 370 
 
FUNÇÃO QUADRÁTICA 
Celso do Rozário Brasil 
 
70 
 
 
c) 390 
 
d) 410 
 
e) 414 
 
Solução 
 
Quando ocorre o equilíbrio q = d, assim sendo 
 
x2 +3x -70 = 410 -x 
 
 
 
Resolvendo esta equação, encontramos as seguintes raízes: 
 
x' = -24 
x” = 20 
 
O valor não nos interessa, pois x é o preço de um produto, e claro, ele não pode ser negativo. Logo: 
 
x = 20 
 
O que este resultado nos informa? Que o equilíbrio no mercado ocorre quando o preço do produto é R$ 20,00 
 
Nós podemos descobrir a quantidade ofertada pela equação da demanda, já que a procura e a oferta são 
iguais: 
 
d = 410 -x 
 
y0 = 410 - 20 
 
y0 = 390 
 
Assim sendo 
 
y0 -x0 = 390 - 20 
 
y0 - x0 = 370 
 
Resposta: B 
 
 
(Enem 2015) Um estudante está pesquisando o desenvolvimento de certo tipo de bactéria. Para essa 
pesquisa, ele utiliza uma estufa para armazenar as bactérias. A temperatura no interior dessa estufa, 
em graus Celsius, é dada pela expressão T(h) = -h2 +22h -85, em que h representa as horas do dia. Sabe-
se que o número de bactérias é o maior possível quando a estufa atinge sua temperatura máxima e, 
nesse momento, ele deve retirá-las da estufa. A tabela associa intervalos de temperatura, em graus 
Celsius, com as classificações: muito baixa, baixa, média, alta e muito alta. 
 
FUNÇÃO QUADRÁTICA 
Celso do Rozário Brasil 
 
71 
 
 
 
 
Quando o estudante obtém o maior número possível de bactérias, a temperatura no interior da estufa 
está classificada como: 
 
a) muito baixa 
 
b) baixa 
 
c) média 
 
d) alta 
 
e) muito alta 
 
Solução 
 
Quando o estudante obtém o maior número possível de bactérias, a temperatura no interior da estufa está 
classificada como muito alta: T > 43. 
 
Veja “o número de bactérias é o maior possível quando a estufa atinge sua temperatura máxima”, ou seja, 
quanto maior a temperatura maior é a quantidade de bactérias. 
 
Mas qual é a temperatura máxima que a estufa atinge? 
 
 
 
Δ = 222 -4.(-1).(-85) 
 
Δ = 144 
 
Substituindo Δ na equação do y do vértice: 
 
FUNÇÃO QUADRÁTICA 
Celso do Rozário Brasil 
 
72 
 
 
 
 
 
 
Esta é a maior temperatura que a estufa atinge. 
 
Em 36° C a temperatura está classificada como alta. 
 
Resposta: D 
 
 
(ENEM) Nos processos industriais, como na indústria de cerâmica, é necessário o uso de fornos capazes 
de produzir elevadas temperaturas e, em muitas situações, o tempo de elevação dessa temperatura deve 
ser controlado, para garantir a qualidade do produto final e a economia no processo. Em uma indústria 
de cerâmica, o forno é programado para elevar a temperatura ao longo do tempo de acordo com a 
função: 
 
 
 
Em que T é o valor da temperatura atingida pelo forno, em graus Celsius, e t é o tempo, em minutos, 
decorrido desde o instante em que o forno é ligado. Uma peça deve ser colocada nesse forno quando a 
temperatura for 48 °C e retirada quando a temperatura for 200 °C. O tempo de permanência dessa 
peça no forno é, em minutos, igual a: 
 
a) 100 
 
b) 108 
 
c) 128 
 
d) 130 
 
e) 150 
 
Solução 
 
O que a questão está perguntando é quanto tempo leva para o forno sair dos 48º C para 200º C. 
 
Qual a temperatura do forno após os 100 primeiros minutos? 
 
 
FUNÇÃO QUADRÁTICA 
Celso do Rozário Brasil 
 
73 
 
 
 
 
Portanto de 48º C até 160, a temperatura do forno é controlada pela função: 
 
 
 
Então quanto tempo leva para o forno atingir 48º C? 
 
 
 
E quanto tempo leva para o forno atingir 200º C? 
 
 
 
Vamos encontrar os valores de x que satisfazem a equação. 
 
Para determinar as raízes de uma função do 2º grau nós utilizamos Bhaskara: 
 
 
 
Logo: 
 
 
 
Substituindo em Bhaskara: 
 
 
FUNÇÃO QUADRÁTICA 
Celso do Rozário Brasil 
 
74 
 
 
 
 
 
Ora, se o forno leva 100 minutos para atingir 160º C, como ele poderia chegar nos 200º C em 50 minutos? 
Claramente isto é uma contradição, portanto nós podemos desconsiderar este valor de x. 
 
Este resultado indica que o forno leva 150 minutos para atingir 200º C. 
150 – 20 = 130’ 
Então de 48°C para 200º C são 130 minutos. 
Resposta: D 
 
(UEG) Um lava-jato tem 50 clientes fixos por semana e cada lavagem custa R$ 20,00. Sabe-se que a cada 
um real que o dono desse lava-jato aumenta no preço da lavagem, ele perde 2 clientes. O valor do 
aumento que maximiza a arrecadação semanal desse lava-jato é de: 
 
a) R$25,00 
 
b) R$20,00 
 
c) R$2,50 
 
d) R$10,00 
 
e) R$2,00 
Solução 
A arrecadação do lava jato é “a”. 
 
A quantidade de clientes é c. 
 
E o preço da lavagem é p. 
FUNÇÃO QUADRÁTICA 
Celso do Rozário Brasil 
 
75 
 
 
 
A arrecadação é a quantidade de clientes x o preço da lavagem a = cp 
Se x é o aumento do preço da lavagem, então p = 20 + x 
 
Para cada 1 real de aumento, ele perde 2 clientes, portanto a quantidade de clientes é c = 50 - 2x 
 
Assim sendo 
 
a = (50 -2x).(20 +x) 
 
a = -2x2 +10x +1000 
 
Nós queremos descobrir o x que maximiza o “a”, o x do vértice, que pode ser calculado da seguinte maneira: 
 
Logo: 
 
 
O aumento que maximiza a arrecadação é de R$ 2,50. 
Resposta: C 
 
(UNICAMP) Sejam a e b números reais positivos. Considere a função quadrática f(x) = x(ax +b), 
definida para todo número real x. No plano cartesiano, qual figura corresponde ao gráfico de y = f(x)? 
 
 
 
 
FUNÇÃO QUADRÁTICA 
Celso do Rozário Brasil 
 
76 
 
 
Solução 
Nós sabemos que o gráfico de uma função do 2º grau cujo coeficiente do x2 é positivo, é uma parábola com 
a concavidade para cima. 
Então nós já podemos eliminar as alternativas c e d. 
 
Agora olhe para o gráfico da letra a: 
 
considere um x > 0, por exemplo: 
 
o produto ‘ax’ é positivo, lembre-se, segundo a questão a > 0. 
 
Então (ax +b) também é positivo. 
 
Logo, o produto x(ax +b) só pode ser positivo. 
Mas se nós olharmos no gráfico, o y correspondente é negativo: 
 
o que não é possível. 
 
Portanto, sobrou apenas 1 alternativa. 
Resposta: B 
 
 
 
FUNÇÃO QUADRÁTICA 
Celso do Rozário Brasil 
 
77 
 
 
(EEAR) Seja a função quadrática f(x) = ax2 +bx +1. Se f(1) = 0 e f(–1) = 6, então o valor de a é: 
 
 
a) 5 
 
b) 4 
 
c) 3 
 
d) 2 
 
Solução 
 
Se f(1) = 0 então 
 
0 = a.12 +b.1 +1 
 
 
Temos também que f(-1) = 6, assim sendo 
 
6 = a.(-1)2 +b.(-1) +1 
 
 
 
Pela eq1 nós sabemos que 
 
a +b +1 = 0 
 
b = -a -1 
 
 
 
Substituindo -b em eq2 
 
a +(a +1) -5 = 0 
 
 
 
Resposta: D 
 
(UEG) Em um jogo de futebol, um jogador chuta uma bola parada, que descreve uma parábola até cair 
novamente no gramado. Sabendo-se que a parábola é descrita pela função y = 20x - x2, a altura máxima 
atingida pela bola é: 
 
 
FUNÇÃO QUADRÁTICA 
Celso do Rozário Brasil 
 
78 
 
 
a) 100 m 
 
b) 80 m 
 
c) 60 m 
 
d) 40 m 
 
e) 20 m 
 
Solução 
 
O valor máximo de uma função do 2º grau, que neste caso é a altura máxima que a bola atinge, é conhecido 
como y do vértice,e pode ser calculado da seguinte maneira: 
 
 
Logo: 
 
Δ = 202 -4.(-1).0 
 
 
Substituindo Δ na equação do y do vértice: 
 
 
 
 
Resposta: A 
 
 
(IFAL) Certo fabricante, segundo levantamentos estatísticos, percebe que seus clientes não têm 
comprado mais de 10 de seus produtos por compras. Para incentivar as compras em maior quantidade, 
ele estabelece um preço unitário p por produto dado pela função p(x) = 400 –x, onde x é a quantidade 
de produtos comprados, considerando uma compra de, no máximo, 300 produtos. 
 
Sabendo-se que a receita de uma empresa é o valor arrecadado com a venda de uma certa quantidade 
de produtos, qual a receita máxima que essa empresa pode ter quando fechar uma venda com um 
determinado cliente, na moeda corrente no Brasil? 
 
a) R$ 200,00 
 
b) R$ 400,00 
 
c) R$ 20.000,00 
 
FUNÇÃO QUADRÁTICA 
Celso do Rozário Brasil 
 
79 
 
 
d) R$ 40.000,00 
 
e) R$ 80.000,00 
 
Solução 
 
A receita do fabricante é a quantidade de produtos que ele vende R(x) = x 
 
vezes o preço do produto R(x) = xp(x). 
 
Sabendo que p(x) = 400 -x 
 
R(x) = x(400 -x) 
 
 
 
O valor máximo de uma função do 2º grau, que neste caso é a receita de um fabricante, é conhecido como y 
do vértice, e pode ser calculado da seguinte maneira: 
 
 
 
Logo: 
 
Δ = 4002 -4.(-1).0 
 
 
 
 
Resposta: D 
 
 
 
(CMRJ) A cantina do Colégio Militar do Rio de Janeiro vende 96 kg de comida por dia, a 29 reais o 
quilo. Uma pesquisa de opinião revelou que, para cada real de aumento no preço, a cantina perderia 6 
clientes, com o consumo médio de 500 g cada um. Qual deve ser o valor do quilo de comida para que a 
cantina tenha a maior receita possível? 
 
FUNÇÃO QUADRÁTICA 
Celso do Rozário Brasil 
 
80 
 
 
a) R$ 31,00 
 
b) R$ 30,50 
 
c) R$ 30,00 
 
d) R$ 29,50 
 
e) R$ 29,00 
 
Solução 
 
Seja ‘r’ é a receita da cantina. 
 
‘p’ o preço do quilo de comida. 
 
E ‘q’ a quantidade de comida vendida. 
 
A receita é a quantidade de comida vendida x o preço: 
 
 
Inicialmente p = 29. 
 
Se x é o valor do aumento no preço do quilo, então o preço da comida é: 
 
 
 
Inicialmente p = 29. 
 
Se x é o valor do aumento no preço do quilo, então o preço da comida é: 
 
 
 
Inicialmente q = 96. 
 
Para cada aumento de R$ 1,00 ela perde 6 clientes. Se cada cliente consome 1/2 kg, ela deixa de vender 3 
kg. 
 
Portanto a quantidade de comida que ela vende é: 
 
 
Assim sendo 
 
r = qp 
 
 
FUNÇÃO QUADRÁTICA 
Celso do Rozário Brasil 
 
81 
 
 
a = (96 -3x).(29 +x) 
 
 
 
Nós queremos descobrir o x que maximiza o “r”, o x do vértice, que pode ser calculado da seguinte maneira: 
 
 
 
 
 
 
 
x é o aumento no preço da comida, se inicialmente o preço era R$ 29,00, com um aumento de R$ 1,50, o 
preço passará a ser R$ 30,50. 
 
Resposta: B 
 
 
(ETEC) Em um famoso jogo eletrônico de arremessar pássaros, a trajetória do lançamento corresponde 
a parte de uma parábola, como a da figura. 
 
 
 
Considere que um jogador fez um lançamento de um pássaro virtual cuja trajetória pode ser descrita 
pela função h(x) = −x2 +4x, com x variando entre 0 e 4. 
 
O gráfico mostra essa trajetória. O ponto de lançamento do pássaro coincide com a origem do plano 
FUNÇÃO QUADRÁTICA 
Celso do Rozário Brasil 
 
82 
 
 
cartesiano. 
 
Analisando o gráfico, é correto afirmar que o pássaro começa a: 
 
a) cair a partir do ponto (2, 4) 
 
b) cair a partir do ponto (4, 2) 
 
c) subir a partir do ponto (2, 4) 
 
d) subir a partir do ponto (4, 2) 
 
e) subir a partir do ponto (3, 3) 
 
Solução 
 
Vamos analisar as afirmações 
 
a) cair a partir do ponto (2,4) ✔ 
Correta. 
 
Em (2,4) o pássaro atinge o ponto máximo 
 
 
 
 
 
FUNÇÃO QUADRÁTICA 
Celso do Rozário Brasil 
 
83 
 
 
e então começa a cair 
 
 
 
 
b) cair a partir do ponto (4,2) ✘ 
Falso. 
 
No ponto (4,2) o pássaro já tá no chão 
 
 
 
c) subir a partir do ponto (2,4) ✘ 
Falso. 
 
 
d) subir a partir do ponto (4,2) ✘ 
Falso. 
 
 
e) subir a partir do ponto (3,3) ✘ 
Falso. 
 
No ponto (3,3) ele está caindo 
 
FUNÇÃO QUADRÁTICA 
Celso do Rozário Brasil 
 
84 
 
 
 
 
ele começa a subir em (0,0) 
 
 
 
 
Resposta: A 
 
 
(CESMAC) Uma pequena editora planeja vender livros de seu mais famoso autor. Se 200 livros forem 
colocados à venda, o valor cobrado será de R$ 60,00 por exemplar. Entretanto, se a editora imprimir 
mais de 200 exemplares, terá condições de baixar em R$ 0,20 o preço unitário, para cada livro adicional; 
por exemplo, se são impressos 202 livros, o preço do exemplar será de R$ 59,60. Quantos livros a editora 
deve colocar à venda de modo a maximizar o valor arrecadado com a venda dos livros? 
 
a) 240 
 
b) 250 
 
c) 260 
 
d) 270 
 
e) 280 
 
Solução 
FUNÇÃO QUADRÁTICA 
Celso do Rozário Brasil 
 
85 
 
 
Seja ‘a’ a arrecadação com a venda dos livros. 
 
‘p’ é o preço de um exemplar. 
 
E ‘q’ a quantidade total de exemplares vendidos. 
 
A arrecadação é a quantidade de exemplares vendidos x o preço: 
 
 
 
x é a quantidade de exemplares adicionais imprimidos. 
 
Inicialmente p = 60 
 
Se a editora der um desconto de R$ 0,20 centavos por adicionais imprimidos o preço do exemplar é: 
 
 
 
 E a quantidade total de livros vendidos será: 
 
 
 
O valor arrecadado com os livros é então 
 
v = (200 +x)(60 -0,2x) 
 
 
 
Nós queremos descobrir o x que maximiza o “a”, o x do vértice, que pode ser calculado da seguinte maneira: 
 
 
 
 
 
 
Esta é a quantidade de livros adicionais que deve ser impressa, com os 200 primeiros dá um total de 250 
livros. 
 
Resposta: B 
 
 
FUNÇÃO QUADRÁTICA 
Celso do Rozário Brasil 
 
86 
 
 
(CESMAC) João tem um serviço de aluguel de bicicletas. Quando o preço diário do aluguel é de R$ 
12,00 por bicicleta, ele aluga 36 bicicletas por dia. Uma pesquisa entre os usuários do serviço revelou 
que, a cada aumento (diminuição) de cinquenta centavos no preço diário do aluguel, o número de 
bicicletas alugadas por dia diminuía (aumentava, respectivamente) de duas. Qual o valor máximo 
diário, em reais, que João pode obter com o aluguel de bicicletas? 
 
a) R$ 440,00 
 
b) R$ 441,00 
 
c) R$ 442,00 
 
d) R$ 443,00 
 
e) R$ 444,00 
 
Solução 
 
Seja ‘a’ a arrecadação diária. 
 
‘p’ o preço do aluguel. 
 
E ‘b’ a quantidade de bicicletas alugadas. 
 
A arrecadação é a quantidade de bicicletas alugadas x o preço: 
 
 
 
 
Inicialmente p = 12. 
 
Após x descontos de 50 centavos o preço é: 
 
 
 
Para cada desconto de 50 centavos, a quantidade de bicicletas alugadas aumenta em 2, portanto: 
 
 
 
Assim sendo 
 
a = (36 +2x)(12 -0,5x) 
 
 
 
O valor máximo de uma função do 2º grau, que neste caso é a arrecadação com aluguel de bicicletas, é 
conhecido como y do vértice, e pode ser calculado da seguinte maneira: 
FUNÇÃO QUADRÁTICA 
Celso do Rozário Brasil 
 
87 
 
 
 
 
 
 
Substituindo Δ na equação do y do vértice: 
 
 
 
 
 
Bem, esta é apenas uma das possibilidades, ele também pode aumentar o preço do aluguel para tentar uma 
maior arrecadação, vamos explorar esta alternativa: 
 
Após aumentar o preço em 0,5x o aluguel será: 
 
 
 
Contudo para cada aumento de R$ 0,50, ele perde 2 clientes, assim a quantidade de bicicletas alugadas é: 
 
 
 
A função da arrecadação é 
 
a = (36 -2x)(12 +0,5x) 
 
 
 
O discriminante é: 
 
 
 
Substituindo-o na equação do y do vértice: 
 
 
 
 
 
FUNÇÃO QUADRÁTICA 
Celso do Rozário Brasil 
 
88 
 
 
O valor máximo arrecadado nas 2 situações é o mesmo R$ 441,00. 
 
Resposta: B 
 
 
(CESMAC) O efeito de determinada substância na variação da população de certos micro-organismos 
está representado no gráfico a seguir, em que N(t) denota o número de dezenas de milhares de 
organismos sobreviventes, passados t dias do primeiro contato com a substância, ocorrido em t = 0. Os 
pontos (t,