incerteza de medição

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Incerteza 
- Incerteza: parâmetro associado ao resultado de uma medição, que caracteriza a dispersão de 
valores que poderiam ser razoavelmente atribuídas ao mensurando, com um dado nível de 
confiança. 
 
- Todas as peças e produtos utilizados na indústria devem atender, individualmente ou em 
conjunto, a certas especificações – tolerâncias geométricas, dimensionais, rugosidade, etc. 
 
- Logo, se faz necessário adotar Sistemas de Medição (SM) confiáveis. “Mas como assegurar, 
através de medições, que os componentes e produtos comercializados atendam as tolerâncias 
de projeto, se todo SM apresenta incertezas?”. 
 
- Através do Controle de Qualidade, que tem como função medir e comparar a peça produzida 
com as especificações do projeto. E, a partir disso, classificar se a peça será: APROVADA ou 
REPROVADA. 
 
Exemplo: Num sistema de medição, uma balança é utilizada para medir pacotes de café com 
500 ±10g. Adotando uma incerteza igual a ±5g, para o SM, e caso um dos pacotes indique 
493g, é possível afirmar que este pacote atende a tolerância? 
 LIT = Limite inferior de tolerância; 
 LST = Limite superior de tolerância. 
 
O resultado da medição (RM) será: RM = 493 ±5g logo, não é possível assegurar 
que o pacote atende a tolerância especificada, pois o sistema de medição é inadequado, já que 
apresenta incerteza que excede os valores toleráveis. 
 
 
 Incerteza confiabilidade e custo 
 
Sendo assim, deve-se buscar um ponto de equilíbrio técnico-econômico entre a 
incerteza e a confiabilidade requerida. Na prática, um razoável valor da incerteza de medição 
(IM) é obtido quando: 
1010
LITLSTTolerIM −== 
 
Aplicando no exemplo: gLITLSTTolerIM 2
10
20
10
490510
1010
==
−
=
−
== 
 
Ou seja, para o mesmo pacote de café teríamos: RM = 493 ±2g , sendo possível 
afirmar c/ segurança que a tolerância foi obedecida. 
 2 
Obs.: Mas, e se durante as medições surgisse um pacote c/ 491 ±2g, novamente apresentaria 
falta de confiabilidade devido às “zonas de dúvida” ou “faixas de incertezas”, representadas 
abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: Um eixo deve apresentar 22 ±0,3mm. Especifique um sistema de medição 
apropriado. 
mm
LITLSTTolerIM ideal 06,010
6,0
10
7,213,22
1010
==
−
=
−
== 
 
A máxima incerteza para o processo de medição deverá ser 0,06mm. Nesse sentido, e 
considerando apenas o erro de indicação dada pela resolução de um paquímetro digital 
(desconsiderando qualquer outra fonte de incerteza), seria possível utilizar um paquímetro 
com resolução de 0,05mm, logo: mmIM processo 05,0= , o que resultaria em: 
 
LIA = 21,75mm 
LSA = 22,25mm 
 
Ou seja, para ser aprovada, e considerando apenas a fonte de incerteza resultante da 
resolução do equipamento, a peça medida deverá apresentar como indicação (I) valores dentro 
do intervalo: 21,75 ≤ I ≤ 22,25mm. 
 
- Mas, logicamente, existem diversas fontes e tipos de incertezas, que devem ser consideradas 
na estimativa da incerteza de um sistema de medição. 
 
 3 
Estimativa das incertezas e suas fontes 
- Toda medição envolve: ensaios, ajustes, condicionamento e registro de indicações de 
instrumentos e/ou conjunto destes, manipulação de instrumentos, condições ambientais, etc. 
 
- Logo, o valor de saída (Y) de uma grandeza (mensurando) é obtido a partir de diversas 
grandezas de entrada influentes (X1, X2, X3, ..., Xn), e através de uma função/modelo 
matemático (f), ou seja: Y = f (X1, X2, X3,..... Xn). 
 
- Alguns fatores que tem influência sobre a incerteza são apresentados abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
- As regras e definições para estimativa da incerteza e suas fontes, visando seu uso em 
normalizações, calibrações, aceitação de laboratórios e serviços de metrologia, se encontra no 
Guia para a Expressão da Incerteza de Medição (ou Guide to the Expression of Uncertainty in 
Measurement - GUM) publicado pela ISO em 1993 (c/ versão brasileira a partir de 1997). 
 
- As fontes da incerteza podem ser agrupadas em duas categorias, de acordo com o método de 
avaliação utilizado para estimar seu valor numérico: 
 
 Avaliação do TIPO A: que considera a distribuição estatística do resultado de uma 
série de medições, caracterizando desvios padrões experimentais, através da repetitividade de 
um processo de medição. 
 
 Avaliação TIPO B: qualquer método que não seja o estatístico. O julgamento 
científico pode ter como referência a experiência adquirida, informações e especificações de 
fabricantes, certificados de calibração e ensaio, etc. 
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Etapas para o Cálculo da Incerteza de Medição 
1º) Modelagem matemática, descritivo da relação entre o 
mensurando definido como grandeza de saída (Y), e todas 
as outras grandezas envolvidas, que são conhecidas como 
grandezas de entradas ou de influência (Xi, ...., Xn); 
 
2º) Avaliação das grandezas de entrada ou outros dados, 
através da busca de informações sobre o processo de 
medição e das condições de medição; 
 
3º) Avaliação do resultado da medição e das incertezas padrão, 
obtido a partir das medições e da relação matemática entre as 
grandezas de influência (considerando avaliação Tipo A e B); 
 
4°) Calcular a incerteza combinada (uc(y)) a partir das contribuições das incertezas 
padronizadas e seus respectivos coeficientes de sensibilidade (Cs); 
 
5°) Calcular a incerteza expandida (U(y)) por meio da multiplicação da incerteza combinada 
(uc(y)), associada à grandeza de saída, por um fator de abrangência (K); 
 
6º) O resultado final da medição (RM) é expresso a partir do valor verdadeiro convencional 
(VVC) do mensurando, que para fins estatísticos consiste na média dos resultados das 
medições ( X ). Também, se faz necessário, aplicar a correção combinada dos erros sistêmicos 
(Cc), obtendo portanto: Y= X +Cc , além da incerteza expandida (U(y)) associada a este valor. 
 
Sugere-se, conforme GUM, a elaboração de uma tabela do balanço de incertezas, com 
o memorial de cálculo e o registro de todas as decisões e considerações realizadas ao SM. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 5 
- A estatística mostra que a qualquer grandeza medida ou estimada pode ser associada uma 
distribuição de probabilidade, o que permite calcular a dispersão e a expectativa de seu valor. 
 
 
 
 
Obs.: Quando não há informação disponível sobre a distribuição de probabilidade utiliza-se a 
distribuição retangular. Esta distribuição, quando aplicada para a resolução dos instrumentos 
possui outro valor de divisor. 
 
- Incerteza padronizada (u(y)): seu valor é obtido através de fórmulas e definições que são 
decorrentes da distribuição de probabilidade escolhida para uma dada grandeza de entrada, 
que interfere na medição (ex.: temperatura, histerese, erros geométricos, etc). 
 
- Coeficiente de sensibilidade (Cs): descreve quanto o valor de saída depende dos valores de 
entrada. Logo, seu valor é atribuído às grandezas de entrada, sendo multiplicado em cada 
incerteza padronizada já calculada. Para medições diretas considerar Cs = 1. 
 
- Incerteza combinada (uc(y)): consiste na relação de todas as incertezas padronizadas 
calculadas juntamente com seus coeficientes de sensibilidade, a partir da fórmula: 
 
nnyc CsuCsuCsuu ⋅++⋅+⋅=
2
2
2
21
2
1)( )(....)()( 
 
- Correção combinada dos erros sistêmicos (Cc): considera os possíveis erros sistêmicos de 
todas as incertezas consideradas. Seu valor consiste no somatório dos erros, e pode ser + ou - . 
 
- Fator de abrangência (K): número que ao ser multiplicado pela incerteza combinada fornece 
um intervalo maior (a incerteza expandida “U(y)”). Neste intervalo existiráalta probabilidade 
do valor verdadeiro convencional do mensurando estar contido, logo, a escolha deste fator 
depende do nível de confiança requerido. 
O valor de “K” deve ser escolhido da tabela de “t” de Student conforme o nível de 
confiança desejado (adotar 95,45%), e em função dos graus de liberdade efetivos (νeff), a 
partir da fórmula abaixo. Caso o valor de “νeff ” não coincida com os valores tabelados, deve-
se interpolar ou escolher o valor inteiro inferior mais próximo. 
 Onde: cu = valor da incerteza combinada; 
 iu = valor de cada incerteza padronizada; 
iν
 = graus de liberdade de cada incerteza (caso a distribuição 
seja conhecida o grau de liberdade desta é infinito). 
 6 
Coeficiente “t” de Student para probabilidade = 95,45% (valores arredondados). 
ν = νeff 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 
t = K 13,97 4,53 3,31 2,87 2,65 2,52 2,43 2,37 2,32 2,28 2,25 
ν = νeff 12 13 14 15 20 25 30 40 50 100 ∞ 
t = K 2,23 2,21 2,19 2,18 2,13 2,10 2,09 2,06 2,05 2,02 2,00 
 
Outra maneira de definir o valor de “K”, com uma aproximação razoável, e 
considerando uma distribuição normal com 95,45% de confiança, é adotar K=2. Para 
situações mais críticas em que se exijam 99,73% de confiança, adota-se K=3. 
 
Algumas fórmulas para as incertezas padronizadas (u(y)) conforme sua fonte 
 
- Para padrões de referência e instrumentação: 
Distribuição: normal 
Fórmula: 
Ke
Ueyu =)( 
 
- Para resolução dos instrumentos: 
a) Instrumentos digitais 
Distribuição: retangular (possui exceção no divisor de sua fórmula). 
Fórmula: 
32
Re)( syu = 
 
b) Instrumentos analógicos 
Distribuição: triangular 
Fórmula: 
6
10
Re
)(
s
yu = 
 
- Para calibração dos instrumentos: 
a) Instrumentos que tenham calibração direta (ex. paquímetros, micrômetros, etc.) 
Distribuição: retangular 
Fórmula: 
3
Re)( syu = 
 
b) Instrumentos que tenham calibração indireta (ex. relógios, manômetros, etc.) 
Distribuição: triangular 
Fórmula: 
6
10
Re
)(
s
yu = 
Sendo: 
Ue = incerteza expandida herdada do padrão de referência. 
Ke = fator de abrangência herdado do padrão de referência. 
 
Sendo: 
Res = valor da resolução do instrumento de medição. 
 
Sendo: 
Res = valor da resolução do instrumento de medição. 
Sendo: 
Res = valor da resolução do instrumento de medição. 
 
Sendo: 
Res = valor da resolução do instrumento de medição. 
 7 
- Para erros sistemáticos (Es): - Para desvio padrão experimental de “n” medições: 
Distribuição: retangular Distribuição: normal (c/ exceção no divisor) 
Fórmula: 
3
)( Esyu = Fórmula: 
n
s
yu x)()( = 
 
 
 
- Para linearidade de uma curva de correção: quando se utiliza uma equação de curva ideal e 
não a real: Distribuição: retangular 
Fórmula: 
3
)( Lyu = 
 
- Para histerese: 
Distribuição: retangular 
Fórmula: 
3
)( hyu = 
 
- Para deformação elástica: 
Distribuição: retangular 
Fórmula: 
3
)( Lyu ∆= 
 
- Para temperatura: 
Distribuição: retangular 
Fórmula: 
3
)( Lyu ∆= 
 
- Para erro de cosseno (ou do alinhamento): verificação do alinhamento entre o mensurando e 
o sistema de medição. 
Distribuição: retangular 
Fórmula: 
3
)( Ecyu = 
 
- Para erro geométrico: 
Distribuição: retangular 
Fórmula: 
3
)( Egyu = 
Sendo: 
Es = valor dos erros sistemáticos. 
 
Sendo: 
L = valor da linearidade, dada pelo desvio entre a 
equação real e a ideal. 
Sendo: 
h = valor da histerese. 
 
Sendo: 
∆L = variação da dimensão devido à deformação 
elástica. 
 
Sendo: 
∆L = variação da dimensão devido à temperatura. 
∆L = L . ∆α . ∆T 
 
Sendo: 
Ec = valor do desalinhamento. 
Sendo: 
Eg = valor do erro geométrico. 
Sendo: 
Es = valor dos erros sistemáticos. 
 
Sendo: 
s(x) = desvio padrão das “n” medições. 
 8 
- Principais fontes de incertezas para alguns tipos de análise 
a) análise dimensional: 
• Incerteza do sistema de calibração ou padrão; 
• Estabilidade temporal do mensurando e/ou padrão; 
• Resolução do mensurando e/ou padrão; 
• Efeito da temperatura no mensurando e/ou padrão; 
• Erros de alinhamento (erro de cosseno); 
• Erros geométricos e matemáticos (arredondamento, ajuste de curva, tabelas de 
interpolação, etc.); 
• Incerteza do coeficiente de expansão do mensurando e/ou do padrão; 
• Incerteza das grandezas de influência que afetam a medição; 
• Sistema de fixação, vibração, etc. 
 
b) análise envolvendo pressão: 
• Incerteza do sistema de calibração ou padrão; 
• Incerteza do sistema de calibração e/ou do padrão; 
• Estabilidade temporal do sistema de calibração ou do padrão; 
• Resolução do sistema de calibração e/ou do padrão; 
• Efeito da temperatura no mensurando e/ou padrão; 
• Histerese do mensurando e/ou do padrão; 
• Erros matemáticos (arredondamento, ajuste de curva, tabelas de interpolação, etc.); 
• Incerteza na coluna líquida; 
• Simplificação do procedimento de medição, etc. 
 
c) análise envolvendo temperatura: 
• Incerteza do sistema de calibração e/ou do padrão; 
• Estabilidade temporal do mensurando e/ou do padrão; 
• Resolução do sistema de calibração e/ou do padrão; 
• Aquecimento (termoresistores); 
• Cabos de compensação e juntas de referência; 
• Estabilidade e uniformidade térmica do mensurando e/ou padrão; 
• Imersão parcial ou efeito da coluna emergente; 
• Erros matemáticos (arredondamento, ajuste de curva, tabelas de interpolação, etc.); 
• Interpolação matemática (curvas de ajuste, tabelas de referência), etc. 
 
d) análise envolvendo eletricidade: 
• Incerteza do sistema de calibração e/ou do padrão; 
• Estabilidade temporal do sistema de calibração e/ou do padrão; 
• Resolução do sistema de calibração e/ou do padrão; 
• Estabilidade do sistema de calibração em função das condições de operação; 
• Interconexão dos módulos do sistema de calibração; 
• Voltagens termo-elétricas; 
• Repetitividade devido aos conectores elétricos; 
• Erros matemáticos (arredondamento, ajuste de curva, tabelas de interpolação, 
truncamento); 
• Efeitos da impedância, etc. 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercícios resolvidos: 
1- Obtenha o resultado da medição (RM) e a incerteza expandida ( )( yU ) para um processo 
onde foram consideradas apenas 3 fontes de incertezas, que não apresentavam erros 
sistemáticos, e cujas respectivas incertezas padrão e número de graus de liberdade estão 
especificados abaixo. A média dos resultados das medições é igual a 120mm: 
 
 Fonte de incerteza 1: u1 = 0,012mm e ν1 = 12 
 Fonte de incerteza 2: u2 = 0,006mm e ν2 = ∞ 
 Fonte de incerteza 3: u3 = 0,008mm e ν3 = ∞ 
 
1°) 2°) 
 
 
 
 
 
3°) 4°) 5°) 
 
 
 
 
 
2- Complete a tabela obtendo, a partir das fontes de incertezas listadas, o resultado da 
medição (RM) e a incerteza expandida ( )( yU ), para o seguinte processo: 
 Medição de um padrão com comprimento de 75mm (parâmetros de calibração: Ke=2, 
Ue=0,025mm e ν=4), utilizando um paquímetro digital cuja resolução é igual a 0,001mm 
(histórico de calibração: Ke=2, Ue=0,001mm e ν=9). Foram realizadas 15 medições, 
resultando numa média de 75,170mm para o valor do mensurando. 
 
 
mmU
U
uKU
y
y
ycy
033,0
0156,009,2
)(
)(
)(%45,95)(
=
⋅=
⋅=
09,227,34
008,0006,0
12
012,00156,0
%45,95
4444
=→=
∞
+
∞
+=
Keff
eff
ν
ν
mmu
u
CsuCsuCsuu
yc
yc
yc
0156,0
1)008,0(1)006,0(1)012,0(
)()()(
)(
222
)(
3
2
32
2
21
2
1)(
=
⋅+⋅+⋅=
⋅+⋅+⋅=
mmRM
UYRM y
033,0120
)(
±=
±=
mmY
CcXY
120=
±=
Resolução do paquímetro 
Incerteza herdada do paquímetro 
0,001 
 Ue=0,001 
Erro do paquímetro(toler.) 0,001 
Diferença de temp. refer./meio 
Diferença de temp. padrão/paquím. 
Incerteza herdada do padrão 
Desvio padrão da média normal 
 retang. 
 retang. 
 retang. 
normal Ke=2 
 retang. 
normal Ke=2 1,0 
 1,0 
 1,0 
 1,0 
 1,0 
 1,0 
 1,0 
infinito 
infinito 
infinito 
infinito 
ν=14 
ν =4 
ν=9 
 Ue=0,025 
0,005 
0,003 
0,02 
3
32
15
3
3
 
 mm 
 mm 
 0,0003 
 0,0005 
 0,0006 
 0,0125 
 0,0029 
 0,0017 
 0,0052 
 0,014 
 NÃO ESPEC. 
 6,24 ≈ 6 
 2,52 
 
0,035 
 
mmRM
UYRM y
035,0170,75
)(
±=
±=