Dimensionamento de Vigas de Concreto

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CONCRETO ARMADO
Prof.ª Bruna Bassoli M. Pelissari 
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b
h
Viga de 3 metros com seção de
19x40 cm (exemplo).
Seção 
transversal
b
h
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Compressão
Tração
Tensão é o resultado da ação de cargas externas sobre
uma unidade de área da seção analisada na estrutura
submetida a solicitações mecânicas:
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As tensões máximas de Compressão e Tração, 
são causadas pelo Momento Fletor;
As tensões máximas de cisalhamento são 
causadas pelas forças cortantes;
Estrutura submetida a solicitações mecânicas
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Esforços solicitantes 
– equação 
(Resistência dos 
materiais)
Tensão normal devida a flexão: σ = MI ∙y ou σ = 
M
W
Onde:
M é o momento fletor;
I é o momento de inércia;
y é a distância da linha neutra até o ponto que se quer calcular a 
tensão;
W: módulo resistente;
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Qual a melhor posição para se construir uma viga de madeira biapoiada com
dois metros de vão que irá receber uma solicitação de 30 kN/m para que as
tensões normais de tração e compressão no ponto mais crítico sejam as menores?
Momento máximo: 1.500,00 kN.cm
#Conclusão: Para vencermos vãos, devemos
colocar a peça em posição tal que gere
maiores momentos de inércia e, com isso, as
tensões que ocorrerão serão menores do que
colocada a peça em outra posição.
Base: 20 cm
Altura: 30 cm
Base: 30 cm
Altura: 20 cm
σ = 0,50 kN/cm²
σ = 0,75 kN/cm²
Base: 20 cm
Altura: 30 cm
Base: 30 cm
Altura: 10 cm
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Vamos imaginar que vamos projetar
uma viga, mas ainda não existe a técnica
do concreto armado, apenas o concreto
“simples”
Qual o maior vão que uma viga de concreto
simples de 20x30 cm (b x h) pode vencer
recebendo apenas o peso próprio?
Adotar:
௖, ௔ௗ௠ = 0,80 kN/cm²
௧, ௔ௗ௠ = 0,10 kN/cm²
= 24,00 kN/m³
W = b ∙ h²6 (para seção retangular)
σ = MW
Solução:
Para suportar as tensões de compressão: L=11,37 m
Para suportar as tensões de tração: L=4,00 m
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#Conclusão: As limitações de tração é que limitam
as vigas de concreto simples.
Vemos aqui a razão para colocar uma barra de aço
na parte inferior da viga, e que o aço responda pela
tração, permitindo, assim vencer grandes vão.
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Vigas são “elementos
lineares em que a flexão é
preponderante” (NBR 6118/2014, item
14.4.1.1).
Elementos lineares são
aqueles em que o comprimento
longitudinal supera em pelo
menos três vezes a maior
dimensão da seção transversal,
sendo também denominada
barras.
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As: área de armadura necessária,
localizada na seção tracionada.
As
As: área de armadura necessária,
localizada na seção tracionada.
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As: área de armadura necessária, localizada na
seção tracionada.
As
As: área de armadura necessária,
localizada na seção tracionada.
As’: área de armadura necessária, localizada na
seção comprimida.
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𝒚𝒌 Tensão de escoamento
mínimo ou valor característico.
NBR 7480/1996
AÇO 𝒇𝒚𝒌 (𝒌𝑵 𝒄𝒎²⁄ ) 𝒇𝒚𝒌 (𝑴𝑷𝒂) 𝒇𝒚𝒅 =
𝒇𝒚𝒌
𝜸𝒔
(𝒌𝑵 𝒄𝒎²⁄ ) 𝜺𝒚𝒅 =
𝒇𝒚𝒅
𝑬𝒔
ȉ 𝟏𝟎𝟎 (%) 
CA 25A 25 250 21,74 0,1035
CA 50A 50 500 43,48 0,207
CA 60B 60 600 52,17 0,2484
𝛾௦ coeficiente de minoração para aço = 1,15 (NBR7480 e NBR6118);
𝐸௦ o módulo de elasticidade do aço é de 21.000,00 kN/cm²;
Propriedades mecânicas dos aços.
𝒚𝒅 Deformação específica de cálculo no
início do patamar com escoamentos definidos.
𝒚𝒅 Tensão de cálculo.
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εs: Deformação específica do aço;
εc: Deformação específica do concreto;
Relação Linear: σ ε característica de
cada material, chama-se “Módulo de
Elasticidade”.
Excesso de deformação plástica do aço da
armadura (ocorre em peças submetidas à
tração ou à flexão com quantidades
pequenas de armadura εs →1%);
O aço é um material dúctil e o limite de
trabalho é seu escoamento.
Patamar de escoamento
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O dimensionamento de estruturas de concreto armado é feito no estado limite último de ruína,
impondo que na seção mais solicitada sejam alcançadas as deformações específicas limites dos
materiais, ou seja, o estado limite último pode ocorrer tanto pela ruptura do concreto comprimido
quanto pela deformação excessiva da armadura tracionada.
Os conjuntos de deformações específicas do concreto e do aço ao longo de uma seção
transversal retangular com armadura simples (só tracionada) submetidas a ações normais definem
os domínios de deformação, que representam as diversas possibilidades de ruína da seção. A cada
par de deformações específicas de cálculos Ec e Es correspondem ao esforço.
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0,35%
x =
1,00%
d−x
x=0,259∙d βx ou ε =
x
d =0,259
0<βx<0,259
εs=1,00 % e εc<0,35%
Sub-armadas: Aço no máximo da deformação e o concreto com deformação 
antes do limite.
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i 0,35
xy =
௬ௗ
d−xy βx ௟௜௠ ou ε =
x
d = 0,628
Para o CA 50, 
௬ௗ=0,207% 
xy=
0,35%∙d
0,207%+0,35% = 0,628∙d
0,259 ≤ βx ≤ βx lim
εyd ≤ εs ≤1,00%
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“NBR 6118:2014 (item 14.6.4.3) apresenta limites para a posição da linha
neutra que visam dotar as vigas e lajes de ductilidade. Para tanto quanto menor o
x maior será a ductilidade. Para concretos com fck ≤ 50 MPa o limite é x ≤ 0,45.
Como conclusão pode-se afirmar que as vigas e lajes devem ser projetadas à
flexão simples nos domínios 2 ou 3; no domínio 3, somente até a posição x = 0,45,
e portanto não devem ser projetadas no domínio 4”.
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βx lim < βx< 1,00 0 ≤ εs < εyd
Super-armadas: aço não trabalha e o concreto no máximo da deformação.
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1) Dimensionar uma viga de 20 cm de largura, apta a receber um momento de 120 kN.m, para um
concreto de 20 MPa e aço CA50. Considerar d’ = 5 cm, ø estribo = 5 mm e cobrimento igual a 3
cm.
a) Altura total da seção transversal de 80 cm;
b) Altura total da seção transversal de 40 cm;
c) Altura mais econômica (solução com armadura simples).
K6 = 105∙ 
b ∙ d²
M
As = 
k3
10 ∙ 
M
d
Conhecido o momento fletor, calcula-se o valor de K6:
Através da tabela K, com o valor de K6 , obtém-se o valor de K3.
Obs.: Unidades em kN e metro
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1) A linha neutra está sempre mais próxima da borda superior do que a inferior. A causa disso é
a presença do aço, numa seção de concreto. Como o Es (Módulo de elasticidade do aço) é muito
maior que Ec e não se considera a resistência do concreto à tração, isso tende a jogar a linha
neutra para cima. Para materiais homogêneos, a linha neutra coincidia com o eixo de geométrico (a
linha neutra fica à igual distância das bordas). No concreto armado, a linha neutra, em geral, se
afasta do aço.
2) A conclusão que se chega é que o uso do concreto de maior qualidade (fck=30 Mpa) leva a
menos consumo de aço, no caso específico, é desprezível, mas a conclusão não.
A linha neutra subiu de posição, indicando menos seção de concreto terá de resistir ao momento
fletor. Por que menos seção de concreto? Exatamente porque o concreto agora é mais forte,
teremos de usar menos aço, a viga terá menor parte comprimida queo outro caso. Se fizéssemos o
cálculo com menor fck, mantendo o momento e as dimensões das vigas, veríamos que mais aço
seria necessário, e a linha neutra ficaria mais baixo.
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O valor de As, min visa prevenir uma ruptura brusca na borda tracionada de vigas com seção
transversal muito superior àquela necessária no dimensionamento. Os valores de ρmin estão
apresentados no quadro abaixo (tabela 17.3 –Taxas mínimas de armadura de flexão para vigas da
ABNT NBR 6118:2014):
Forma da 
Seção
Valores de ρmin
𝒂 (%)
20 25 30 35 40 45 50
Retangular 0,150 0,150 0,173 0,201 0,230 0,259 0,288
a) Os valores de ρmin estabelecidos nesta tabela pressupõem o uso de aço CA-50, d/h= 0,80 e 
γc=1,4 e γs=1,15. Caso esses fatores sejam diferentes, ρmin deve ser recalculado. 
ρs = 
As
bw∙h ρmin = 
As, min
bw∙h
As, min= 
ρmin
100,00 ∙bw∙h
TABELA ÁREA DE AÇO
Diam.
∅ (mm) 5,00 6,30 8,00 10,00 12,50 16,00 20,00 22,00 25,00 32,00
Diam.
∅ (Pol.) 
3
16ൗ
1
4ൗ
5
16ൗ
3
8ൗ
1
2ൗ
5
8ൗ
3
4ൗ
7
8ൗ
1,00 1 1 4ൗ
Área 
(cm²) 0,20 0,32 0,50 0,80 1,25 2,00 3,15 3,80 5,00 8,00
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Distância entre armaduras na horizontal:
ah≥ ൞
2,0 cm
∅barra
1,20 ∙dimensão máx. do agregado graúdo
Dimensões máximas dos agregados graúdos: Brita 1 – d= 0,85 a 1,90 cm; Brita 2 – d= 1,90 a 2,50 cm; Brita 3 – d= 2,50 a
5,00 cm; OBS.: Usar no cálculo valor médio de 2,5 cm.
Distância entre armaduras na vertical:
av≥ ൞
2,0 cm
∅barra
0,5 ∙dimensão máx. do agregado graúdo
A NBR 6118:2014, item 17.2.4.1, define um limite para altura do CG das
armaduras tracionadas: “Os esforços nas armaduras podem ser considerados
concentrados no centro de gravidade correspondente, se a distância deste centro
ao ponto da seção de armadura mais afastada da linha neutra, medida
normalmente a esta, for menor que 10% de h “.
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Fora da região de emenda a taxa máxima de armadura ρmax deve ser inferior ou igual
a 4%.
ρmax = 
AS,adot+As,adot
′
Ac,total
≤4,00%
dreal = h − c − t − 
L
2 ≥ dadot
d′ = cobrimento + est+ 
barra
2 ≤ d
′adot
Altura útil é a distancia da borda comprimida ao centro de gravidade da armadura de
tração.
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1) Dimensionar uma viga de 20 cm de largura, apta a receber um momento de 120 kN.m, para um
concreto de 20 MPa e aço CA50. Considerar d’ = 5 cm, ø estribo = 5 mm e cobrimento igual a 3
cm.
b) Altura total da seção transversal de 40 cm; Solução com armadura dupla
Obs.: Unidades em kN e metro
M lim = 
bw ∙ d² ∙105
K6 lim
∆M = Mtotal − M lim
Asᇱ = 
K7
10 ∙
∆M
d
As= 
K3 lim
10 ∙
M lim
d +
K7
10 ∙
∆M
d
Tabela para vigas duplamente armadas
Aço
Valores de K7 e K8
Fck = 20 MPa Fck = 25 MPa Fck = 30 MPa
K7 K8 K7 K8 K7 K8
CA 25 0,716 0,716 0,716 0,716 0,716 0,716
CA 50 0,358 0,358 0,358 0,358 0,358 0,358
CA 60 0,302 0,403 0,302 0,403 0,302 0,403
(Analista – IBGE – FGV – 2016) Levando-se em consideração os procedimentos e requisitos
referentes a projetos de estrutura e de concreto estabelecidos em norma, analise as afirmativas a
seguir:
I) O estado limite de abertura de fissuras do concreto armado está relacionado ao colapso, ou a qualquer
forma de ruína estrutural, que determina a paralisação do uso da estrutura.
II) O concreto a ser empregado em elementos estruturais deve possuir resistência característica à
compressão mínima de 20 MPa.
III) A teoria de flexão simples adota o conceito de altura útil da seção transversal, que vai do bordo mais
comprimido da seção até a armadura longitudinal tracionada.
Está correto o que se afirma em:
a) Somente a I.
b) Somente a II.
c) Somente a I e III.
d) Somente a II e III.
e) I, II e III.
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(Engenheiro Civil – Aeronáutica – EAOEAR – 2010) Informe se é verdadeiro (V) ou falso (F) o que se afirma
abaixo e em seguida assinale a alternativa que apresenta a sequência correta.
I) No cálculo estrutural devem-se ter sempre vigas subarmadas e nunca superarmadas.
II) Seções em que o concreto comprimido é abundante em relação ao aço são denominadas subarmadas.
III) Seções em que o aço é abundante em relação ao concreto comprimido chama-se de seção superarmadas.
Está correto o que se afirma em:
a) V – V – V.
b) F – V – V.
c) F – F – F.
d) V – F – F.
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(Engenheiro Civil – Pref. Nova Venécia/ES – FUNCAB – 2016) A resistência característica de
escoamento (valor mínimo de tração), em kN/cm², do aço CA – 60 é:
a) 6.
b) 60.
c) 600.
d) 6000.
Referências 
■ CARVALHO, R. C., FIGUEIREDO FILHO, J. R. Cálculo e Detalhamento de Estruturas Usuais de
Concreto Armado: segundo a NBR 6118:2014. 4ª ed. São Carlos: EdUFSCar, set. 2014.
■ BOTELHO, M. H. C., MARCHETTI, O. Concreto Armado Eu Te Amo, vol 1. 8 ed. Revista. São
Paulo: Blucher, mar. 2015.
■ REBELLO, Y. C. Estruturas de Aço, Concreto e Madeira: atendimento da expectativa
dimensional. 6 ª ed. São Paulo: Zigurate Editora, 2005.
Normas Técnicas
■ ABNT NBR 6118:2014: Projeto de estruturas de concreto – procedimento.
■ ABNT NBR 6120:1980 (versão corrigida de 2000): cargas para cálculo de estruturas de
edificações – procedimentos.
■ ABNT NBR 6123:1988 (versão corrigida 2 de 2013): forças devidas ao vento em edificações –
procedimentos.
■ ABNT NBR 8681:2003 (versão corrigida de 2004): ações e segurança nas estruturas –
procedimentos .