VT DE CALCULO

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1) Determine a derivada das funções abaixo: (valor: até 5 pontos) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 2) Determine a equação da reta tangente à curva y = x² -3x +2 , no ponto x = 3. (valor: até 2 pontos) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) f(x) = �²��
�²��
 
�′����′
�²
 
f'(x) = �	�
��
���
�	�����
�	�
��²��
²
 
f'(x) = �	�
��
���
�	�����
�	�
��²��
²
 
f'(x) = �	�³���
�	�	���	�
��²��
²
 
f'(x) = 	�³����		���	�
��²��
²
 
f'(x) = ��
��²��
²
 
b) f(x) = (3x+2)² (x²-1) (uv' + u'v) 
f(x) =(3x+2)(3x+2)(x²-1) 
f(x) =(9x²+6x+6x+4)(x²-1) 
f(x) =(9x²+12x+4)(x²-1) 
f'(x) = (9x²+12x+4)(2x)+(18x+12)(x²-1) 
f'(x) = 18x³+24x²+8x+18x³-18x.12x²-12 
f'(x) = 36x³+36x²-10x-12 
 
c) f(x) = √4 − X 
f'(x) =(4-x) 1/2 
f'(x) = �
	
 (4-x) -1/2 * (-1) 
f'(x) = - �
�
 (4-x) -1/2 
 
 
 
	d) y =	sen5x ∗ cos3x (uv' + u'v) 
y'= (sen5x) (-sen3x*3) + (cos5x*5) (cos3x) 
y'= (sen5x) (-3sen3x) + (5cos5x) (cos3x) 
y'= -sen5x 3sen3x + 5cos5x cos3x 
 
e) y = 3e4x (eu*u') 
y' = 3e4x * 4 
y' = 12e4x 
 y = x² - 3x + 2 
y = 3² - (3*3) + 2 
y = 9 - 9 +2 
y = 2 
Inclinação: m=3 
y = x² - 3x + 2 
y'=2x - 3 (para x=3) 
y' = 2 * 3 - 3 
y' = 3 
 
y - y¹ = m(x - x¹) 
y - 2 = 3(x - 3) 
y = 3x - 9 + 2 
Equação da reta: y = 3x -7 
y - y¹ = m( x - x¹) 
 
x¹ = 3 
y¹ = 2 
m = 3 
 
 x,y 
(3,2) 
 3) Pesquise sobre as aplicações da derivada (aplicações na Física, Economia, administração, estatística, geometria 
etc, por exemplo) e selecione duas destas aplicações, ilustrando com um exercício cada uma delas. (valor: até 3 
pontos). 
 
1. Aplicações de derivadas 
1.1. Aplicação na física 
Pode-se usar derivada para calcular a velocidade e aceleração de uma partícula em relação à função espaço 
x(t). 
 
Exercício: 
Uma partícula desloca-se sobre o eixo x com função de posição (espaço) x(t)=3 + 2t – t2 , com t<=0. 
a) Qual a velocidade no instante t? 
b) Qual a aceleração no instante t? 
 
Respostas: 
a) #
#$
 (3 + 2t - t²) = 0 + 2 - 2t => v(t) = 2 - 2t 
 
b) #
#$
 (2 - 2t) = 0 - 2 => a(t) = -2m/s² 
 
 
1. 2.Aplicação das derivadas na quimica 
Uma das aplicações de derivadas na quimica serve para calculo da Lei dos gases, a Lei de Boyle (ou também Lei de 
Boyle-Mariotte). esta lei afirma que à temperatura constante para uma quantidade fixa de massa, a pressão absoluta 
e o volume de um gás são inversamente proporcionais. A lei também pode ser definida de uma maneira um pouco 
diferente: que o produto entre volume e pressão é sempre constante. 
Ela estabelece a relação da pressão P e o volume V quando a temperatura K permanece constante em uma 
amostra de gás em um recipiente 
PV = K ou também que V= 
%
&
 . 
Perceba que a pressão e o volume são inversamente proporcionais, visto que seu produto permanece constante, 
assim, quando queremos encontrar a taxa de variação do volume em relação a pressão tem-se a derivada, ou seja, 
#'
#&
 = 
�%
&²
 
Exercício: 
 
A Lei de Boyle para os gases afirma que PV=K , onde P é a pressão, V o volume e K uma constante do gás. 
Suponhamos que a pressão dependa do tempo através da expressão: 
 p (t) = (20 + 2t)g /cm
3
para 0 ≤ t ≤ 10. 
Se o volume em t = 0 é 45cm
3
, determine: 
 
a) a constante k, 
b) a taxa de variação do volume em função do tempo, 
c) a taxa de variação do volume em t = 5. 
 
Respostas: 
(a) 900 g .cm (b) 
#'�$
#$
 =450(10+t)
-2 (c) -2 cm3/s