APLICABILIDADE DE MÉTODOS ESTATÍSTICOS PARA CÁLCULO DE PRAZOS DE EXECUÇÃO DE OBRAS UTILIZANDO O MÉTODO MONTE CARLO

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APLICABILIDADE DE MÉTODOS ESTATÍSTICOS PARA CÁLCULO DE PRAZOS DE 
EXECUÇÃO DE OBRAS UTILIZANDO O MÉTODO MONTE CARLO 
APPLICABILITY OF STATISTICAL METHODS FOR CALCULATION OF WORKS 
EXECUTION TIME USING THE MONTE CARLO METHOD 
Júnior, Roberto Pimentel de Sousa; UNB, Brasília, Brasil, eng.robertopimentel@gmail.com 
Macêdo, Ígor Siqueira; UNB, Brasília, Brasil, igorsm86@hotmail.com 
Schimidt, Leonardo; UNB, Brasília, Brasil, eng.schimidt@gmail.com 
RESUMO 
Na Engenharia Civil, é reconhecido que se tem grande problema em relação a previsão dos prazos de 
execução de obras, haja visto que diversas variáveis de difícil quantificação podem interferir no prazo 
final. Variáveis como: divergências entre as propriedades geotécnicas adotadas no projeto e as 
verificadas in loco ou erros operacionais. Estas podem alterar consideravelmente o cronograma 
inicialmente estipulado, chegando a inviabilizar o empreendimento. A utilização do método determinístico 
para estimativa de prazo tem onerado obras e diminuído a confiabilidade na engenharia civil. Desta 
maneira este artigo objetiva definir alguns conceitos básicos sobre gerenciamento de risco e identificação 
dos mesmos, além de demonstrar a aplicabilidade de métodos estatísticos para o cálculo de prazos de 
execução de obras de engenharia civil, através de ferramentas gráficas e eletrônicas, como parte de um 
processo de análise do gerenciamento de riscos. 
ABSTRACT 
In Civil Engineering, it is recognized that forecasting works execution time is often a problem, given the 
fact that many variables difficult to quantify can interfere with the deadline. Variables such as differences 
in the geotechnical properties adopted in the design and verified on the spot or operational errors. These 
can significantly change the schedule originally set out, getting the project to derail. The use of the 
deterministic method for time estimation has increased the cost of works and decreased reliability in civil 
engineering. Thus this article aims to define and identify some basic concepts of risk management, and 
demonstrate the applicability of statistical methods to the calculation of civil engineering lead times 
through graphic and electronic tools, as part a risk management analysis process. 
1 - INTRODUÇÃO 
Na Engenharia Civil, mais precisamente nas grandes obras, como as de Infraestrutura, é reconhecido que 
a previsão dos prazos de execução total da obra está sujeita a variáveis de difícil quantificação temporal, 
como as variações das condições climáticas, divergências entre as propriedades geotécnicas adotadas no 
projeto e as verificadas in loco, erros operacionais, entre outras, variáveis estas que podem alterar 
consideravelmente os prazos de execução, podendo inclusive inviabilizar o empreendimento. Neste 
sentido o emprego de ferramentas de gerenciamento de risco, via utilização de métodos estatísticos, 
possibilita uma previsibilidade desta variação temporal, oportunizando ao gestor a tomada de decisões 
prévias que reduzam as perdas e/ou minimize os seus efeitos. 
O Gerenciamento de Risco surgiu como técnica nos Estados Unidos, no ano de 1963, com a publicação do 
livro Risk Management in the Business Enterprise, de Robert Mehr e Bob Hedges. Na Engenharia Civil as 
técnicas começaram a ser utilizadas nas últimas duas décadas. No Brasil nos últimos 15 anos essa área 
passou a ser objeto de estudos e análise nas obras de engenharia civil, passando a ser empregada como 
um elemento auxiliar ao construtor, projetista ou pessoa envolvida no processo construtivo. 
2 - CONCEITOS BÁSICOS 
2.1 - Risco 
A palavra “risco” deriva do italiano antigo rischiare, que significa “ousar”. 
A gestão do risco envolve o estudo das variáveis Oportunidades (O), que são variáveis que tem potencial 
de gerar ganhos, Ameaças (A), que tem potencial de gerar perdas, Consequências (C), que podem ser 
interpretados como os ganhos ou as perdas e o Risco (R) em si, que pode ser expresso pela seguinte 
relação: 
 R = (P[A] ou P[O]) x C [1] 
Da relação verifica-se que o risco está diretamente relacionado às probabilidades de 
oportunidades/ameaças e a suas consequências, ou seja, não basta a análise de apenas uma parcela, 
pode-se ter uma grande probabilidade de ameaça, que possui pequenas consequências, ou ameaças com 
pequenas probabilidades que possuem grandes consequências, como exemplo temos os acidentes 
aéreos, que têm pequena probabilidade de acontecer, porém, podem acarretam grandes consequências 
humanas e materiais. 
2.2 - Gerenciamento de riscos 
Conforme o Guia de Gerenciamento de Riscos de Obras Rodoviárias - Fundamentos, do Departamento 
Nacional de Infraestrutura de Transportes/DNIT o gerenciamento de riscos, sendo este uma oportunidade 
ou ameaça, envolve algumas etapas, como: identificação, análise e desenvolvimento de estratégias para 
aumentar as oportunidades e reduzir as ameaças aos objetivos do empreendimento. 
O Guide to Risk Assessment and Allocation for Highway Construction Management (FHWA, 2006) sugere 
as seguintes etapas para o gerenciamento de risco: identificação, avaliação, análise, mitigação, alocação, 
monitoramento e atualização. Já o Guia de Conhecimento em Gerenciamento de Projetos (PMI, 2014) 
identifica os seguintes processos principais: 
 Planejamento; 
 Identificação; 
 Análise qualitativa; 
 Análise quantitativa; 
 Planejamento de respostas; e 
 Monitoramento e controle. 
3 - CONCEITOS ESPECÍFICOS 
3.1 - Identificação dos riscos 
Segundo o PMBOK (PMI, 2009), na identificação dos riscos, pode-se utilizar as seguintes ferramentas, 
para os dados de entrada: 
 Estimativas de custos; 
 Estimativas de cronograma; 
 Documentos de projeto; 
 Estudos do setor; 
 Informações públicas; e 
 Estudos acadêmicos. 
Para análise dos dados de entrada, o Guia recomenda, o emprego de: 
 Revisão dessas documentações; 
 Técnicas de coleta de informações (brainstorming, técnica delphi, entrevistas, análise de causa-
raiz); 
 Análise de premissas; e 
 Técnicas de diagramas (diagrama de causa e efeito, fluxogramas, diagramas de influência). 
Para análise dos dados de entrada, foi utiliza a técnica de diagrama por meio de fluxogramas para 
identificação de rede de atividades e consequentemente os possíveis caminhos críticos. Já para os dados 
de entrada sugere-se como estimativa de parâmetros iniciais os estudos do setor e informações públicas, 
mediante entrevistas com especialistas e partes interessadas no empreendimento. 
3.2 - Técnicas de diagramas 
A avaliação dos prazos para execução de uma obra não pode ser feita apenas pelo mero somatório dos 
prazos de execução dos serviços, assim como ocorre na avaliação de custos. Para os prazos deve-se ter 
atenção às atividades dependentes, aquelas que para ter início necessitam que outras atividades 
antecedentes tenham iniciado ou até mesmo que já tenham sido finalizadas. Desta forma, para o auxílio 
na quantificação de prazos de execução de obras, lança-se mão de ferramentas, como: diagramas de 
causa-efeito, fluxogramas, diagramas de influência. 
A ferramenta da rede de atividade consiste na representação gráfica do projeto e suas respectivas 
relações de precedência, sendo esta a representação mais utilizada para obtenção do caminho crítico das 
atividades de um projeto. 
Através da rede atividades é possível a identificação do caminho crítico, que consiste no caminho de 
maior duração da rede de atividades representativa do empreendimento. A Figura 1 apresenta a rede de 
atividades de um projeto. 
 
Figura 1 – Rede de atividades de um projeto 
Através da representação gráfica apresentada na Figura 1 pode-se identificar as interdependências 
temporais das atividades e obter o caminho crítico,que neste caso, se considerarmos que todas as 
atividades possuem o mesmo prazo de execução, pode ser identificado pelas setas na cor laranja. 
Para o cálculo do tempo de execução total utiliza-se a fórmula: 
 T.T. = TA + TH + “Maior valor entre (TB + TE ),(TC + TF + TG) e TD” [2] 
Utilizando a planilha eletrônica Excel, pode-se reescrever esta fórmula da seguinte forma: 
 TT = TA + TH + MáximoA ( TB + TE; TC + TF + TG ; TD ) [3] 
3.3 - Modelos Estatísticos 
A escolha do modelo estatístico consiste em descobrir a distribuição probabilística que melhor representa 
a probabilidade de custo e/ou prazo. O melhor caminho é através da coleta de dados históricos de riscos 
de projetos similares, para que, de posse destes dados, possa-se utilizar métodos estatísticos como 
testes de aderência ou software de ajuste de curvas para encontrar a distribuição probabilística que 
melhor representa os dados. 
Caso não seja possível a obtenção dos dados históricos ou estes sejam insuficientes deve-se investigar 
dentre as modelagens tradicionais qual deles pode ser empregado. Dentre as principais modelagens 
pode-se citar: 
 Exponencial; 
 Normal; 
 Lognormal; 
 Gama; 
 Beta; 
 Uniforme. 
Na ausência de dados históricos pode-se proceder a consulta a especialistas, onde é solicitado uma 
estimativa de 3 valores para cada um dos itens a serem analisados, ou seja, para cada item de 
custo/prazo é obtido o seu valor mínimo (Mmín), valor mais provável (Mp) e valor máximo (Mmáx), esses 
valores serviram de base para definição de uma função distribuição de probabilidade Triangular ou Beta-
PERT. 
A distribuição triangular é a distribuição de probabilidade contínua que possui um valor mínimo a, um 
valor máximo b e uma moda c, de modo que a função densidade de probabilidade é zero para os 
extremos (a e b), e afim entre cada extremo e a moda, de forma que o gráfico dela é um triângulo. 
A 
 
C 
 
B 
 
D 
 
E 
 
F 
 
H 
 
G 
 
 
Figura 2 – Representação gráfica da distribuição triangular 
Quadro 1 – Estimativa de prazos para construção de uma rodovia 
 
3.4 - O método Monte Carlo 
Se existisse uma certeza dos prazos de execução de todas as etapas de construção da obra, teríamos 
condição de afirmar, sem dúvida, qual seria o prazo final de execução da obra, este cenário representa 
um modelo determinístico, porém existem variáveis que tendem a acontecer gerando incertezas e 
variações nos prazos, a saber: clima/chuvas, alterações de áreas de empréstimo, inovações tecnológicas, 
normas/fiscalização de órgão ambientais, falta de mão de obra qualificada, retrabalho, acidentes de 
trabalho, atrasos por parte de fornecedores de equipamentos e materiais, alterações no escopo, 
incompatibilidade entre os projetos e a execução, erro na execução, falha nos projetos, especificações 
desatualizadas, surgimento de materiais alternativos, entre outras tantas. Tais variáveis transformam os 
prazos em variáveis aleatórias e não mais determinísticas, cada um deles com uma distribuição 
probabilística própria, tornando também o prazo total uma variável aleatória. 
Para resolução deste problema e descobrir qual a distribuição de probabilidade adequada, neste exemplo 
iremos lançar mão da abordagem conhecida com Método Monte Carlo. 
De acordo com Alencar & Schmitz (2006), o Método de Monte Carlo é baseado na ideia de conseguir, 
utilizando um sorteio, um subconjunto de todos os cenários possíveis (ou conjunto universo), chamado 
de amostra de cenários. Usando técnicas estatísticas podemos inferir, a partir da amostra de cenários, 
qual será o comportamento do universo de cenários. Quanto mais elementos o conjunto amostral 
contiver, maior será a confiança de que ele é representativo do universo. Em termos matemáticos, a 
distribuição de frequência da amostra da população nos permite inferir a distribuição em frequência do 
universo. 
 
Min Mp Max
Mobilização 1 2 3
Instalação do 
Canteiro
1 1 2
Escavações 2 3 4
Terraplenagem 3 5 7
Pavimentação 6 8 10
Obras 
Complementares
3 4 5
Obras de arte 
especial
4 5 7
Drenagem 3 4 5
Obras de arte 
corretente 3 4 5
Proteção Ambiental 1 3 5
Sinalização 2 3 4
Fase
Estimativa (meses)
3.5 - O @Risk 
O @Risk é um simulador do Método Monte Carlo vinculado a planilha eletrônica Microsoft Excel (Palisade, 
2014). O programa efetua os cálculos, matemática e objetivamente, e permite rastrear diversos possíveis 
cenários futuros, em seguida, ele informa as probabilidades e riscos associados a cada cenário. Isso 
significa que você, então, tem condições de avaliar que riscos deseja tomar ou evitar, e com base nisso 
tomar as melhores decisões possíveis em situações de incerteza. 
Uma das grandes vantagens do simulador é o fato de estar ligado à planilha eletrônica “Microsoft Excel”, 
que atualmente é uma das planilhas mais utilizada e disseminada, tanto no meio profissional, quanto no 
acadêmico, tornando o programa bem familiar aos usuários. 
No tocante as possibilidades ofertadas pelo @Risk pode-se citar a possibilidade de escolha de diversas 
distribuições probabilísticas, a saber: Binomial, Discreta, Poisson, Beta, PERT, Triangular, Uniforme, 
Normal, Lognormal. 
Além das facilidades referentes à manipulação dos dados de entrada o programa oferece, ainda, uma 
gama grande no que se refere aos outputs (dados de saída ou resultados), gerando relatórios com 
parâmetros que vão desde os mais básicos como média, desvio padrão, outlines variáveis (manipulados 
pelo usuário), quadro resumo de cenários associados as suas respectivas probabilidades, além de 
representações gráficas como os histogramas e curvas de frequência cumulativas ascendentes e 
descendentes e histograma mesclado com curvas de frequência. 
O software tem como desvantagem o fato de ser um programa comercial pago, cerca de $2.200,00, 
comercializado pela Palisade, sendo, porém, disponibilizado gratuitamente para teste por um período de 
15 dias. 
 
Figura 3 – Interface do @Risk em funcionamento no Excel 
 
 
 
 
4 - EXEMPLO PRÁTICO 
4.1 - Parâmetros 
Para o exemplo foi utilizado uma adaptação de proposta de problema sugerido no livro Análise de Risco 
em Gerência de Projetos (Alencar e Schmitz, 2012) conforme Quadro 2. 
Quadro 2 – Dados para um projeto de construção (Adaptado de Alencar e Schmitz, 2012) 
 
A partir dos dados propostos é possível a confecção da rede de atividades da obra, conforme suas 
precedências. 
 
Figura 4 – Rede de atividades da obra 
De posse da rede de atividades da obra pode-se confeccionar a função tempo para o prazo final da obra, 
com o possível caminho crítico, que para a obra em estudo pode ser escrita como: 
 P.F. =maior valor entre(A;B;C) + D + E + maior valor entre[F+I; maior valor entre(F;G) + H] + J [4] 
Utilizando o “Excel” temos: 
P.F. = maximoA(A;B;C) + D + E + maximoA(F+I; maximoA(F;G) + H)+ J [5] 
obtendo-se os resultados, conforme Quadro 3, caso a solução do problema fosse resolvida 
deterministicamente. 
Quadro 3 – Prazo mínimo, mais provável e máximo da obra obtido deterministicamente 
 
Conforme descrito anteriormente, por ser um problema não determinístico, para analise probabilística do 
prazo de execução da obra foi utilizada a ferramenta @Risk juntamente com a planilha eletrônica Excel. 
O primeiro passo é a definição do tipo de distribuição. No exemplo em estudo foi escolhida a triangular, 
por ser a distribuição que melhor se enquadra aos dados de entrada fornecidos, sendo definidos, em 
seguidas os parâmetros: mínimo (Min.), mais prováveis (Mp) e máximo (Max.), conforme apresentado no 
Quadro 2.O passo seguinte é a definição dos Outputs (valores de saída, os seja, os resultados), que no caso em 
estudo é apenas um, o “Prazo da Final da Obra”, descrito na equação 5. 
O último ponto a ser definido é o número de iterações, para o exemplo, por ser um trabalho acadêmico, a 
título de estudo, foram realizados cálculos com 1.000, 10.000, 100.000 e 1.000.000 de iterações, sendo 
apresentados, neste trabalho, apenas os resultados obtidos com 1.000.000 de iterações. 
Após a definição de todos os parâmetros supracitados, procede-se ao início da simulação para obtenção 
dos resultados. 
Min. Mp Max
A Obter materiais - 2 4 18
B Obter mão de obra - 5 9 19
C Escavar - 4 10 28
D Colocar fundação A,B,C 8 13 36
E Construir estrutura B,D 44 60 100
F Instalação Hidáulica E 30 40 74
G Instalação Elétrica E 9 20 43
H Acabamento interior F,G 24 30 48
I Acabemto exterior F,G 28 29 96
J Limpez Local H,I 10 10 12
Tarefa Descrição Precedência
Duração (Semanas)
Min. Mp Max
125 163 346Prazo da Obra
Duração (Semanas)
B 
 
C 
 
D 
 
E 
 
F 
 
G 
 
J 
 
H 
 
I 
 
A 
 
4.2 - Resultados 
O software apresentou os seguintes resultados (Figuras 5, 6 e 7). 
 
Figura 5 – Histograma do prazo da obra 
 
Figura 6 – Frequência cumulativa do prazo da obra 
 
Figura 7 – Frequência cumulativa do prazo da obra sobreposta ao histograma 
 
Além dos gráficos o @Risk também apresenta os seguintes parâmetros tabelados como resultados 
(Quadros 4 e 5). 
 
 
 
Quadro 4 – Parâmetros obtidos 
Mínimo 140,06 
Máximo 323,45 
Média 212,81 
Moda 205,34 
Mediana 211,48 
Desv. Pad. 22,62 
Assimetria 0,299 
Curtose 2,8427 
Valores 1.000.000 
Erros 0 
Filtrado 0 
X esquerdo 172,8 
P esquerdo 2,50% 
X direito 260 
P direito 97,50% 
Dif. X 87,25 
Dif. P 95,00% 
Apresenta ainda o quadro resumo da distribuição de probabilidade. 
Quadro 5 – Quadro resumo de distribuição de probabilidade 
1% 167,19 
5% 177,94 
10% 184,41 
15% 189,07 
20% 192,98 
25% 196,41 
30% 199,63 
35% 202,7 
40% 205,62 
45% 208,55 
50% 211,48 
55% 214,42 
60% 217,48 
65% 220,7 
70% 224,11 
75% 227,85 
80% 232,01 
85% 236,95 
90% 243,16 
95% 252,27 
99% 268,85 
5 - CONCLUSÕES 
Verificou-se que com um total de 1.000.000 de iterações foi obtida uma estabilidade na distribuição, 
conforme pode ser visto pela forma do histograma resultante, apresentado na Figura 5. Destaca-se que 
esta estabilidade também pode ser aferida pela pequena variação entre a média apresentada no cálculo 
com 100.000 iterações igual a 212,82 meses e 1.000.000 igual a 212,81 meses. 
Conforme pode ser verificado foi obtido um intervalo entre 172,8 e 260 meses de prazo para execução da 
obra, com uma confiança de 95,00%, conforme Figura 7. Deve-se destacar que este intervalo encontra-
se acima do valor mais provável, encontrado pelo método determinístico, conforme pode ser verificado no 
Quadro 4; isto ocorre devido ao fato de existirem atividades cujo prazo máximo chega a ser 4 vezes 
maior do que o mais provável, como a “obtenção de material” e atividade cujo prazo mínimo é 
praticamente o mesmo ou até igual ao do mais provável, como “acabamento exterior” ou “limpeza local”, 
que puxam a tendência para o prazo máximo. 
Para uma boa estimativa do prazo sugere-se adotar o valor de 211,48 semanas que corresponde à 
probabilidade igual a 50%. Porém essa escolha cabe ao gestor de risco, que de posse dos resultados 
obtidos com o auxílio de ferramentas de cálculo de risco, deve verificar qual o nível de risco está disposto 
a assumir. 
Para decisão o gestor deve utilizar o Quadro 5 apresentado, em que estão relacionados os prazos 
calculados para cada risco associado, ou seja, no exemplo que o gestor desejar uma confiança de 80% 
para o seu empreendimento, que corresponde a um risco de 20%, ele deve estipular um prazo final de 
232,01 semanas. 
REFERÊNCIAS 
Alencar, A.J., Schmitz, E.A. (2012). Análise de Risco em Gerência de Projetos, 3ª Edição. Rio de Janeiro. Brasport. 
DNIT (2013). Guia de Gerenciamento de Riscos de Obras Rodoviárias – Fundamentos. Departamento Nacional de 
Infraestrutura de Transportes. 
Fernandes, C.A.B.A. (2005). Gerenciamento de riscos em projetos: como usar o Microsoft Excel para realizar a 
simulação Monte Carlo. 
FWHA (2006) Guide to Risk Assessment and Allocation for Highway Construction Management. U.S. Department of 
Transportation, Federal Highway Administration. 
Palisade (2014). Decision Tools Suite, Versão 6.3.1. 
PMI (2009). Practice Standard for Project Risk Management. 
PMI (2014). Um Guia do Conhecimento em Gerenciamento de Projeto (Guia PMBOK®), 5ª edição.