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1.1- Generalidades 
1.2- Estruturas Comuns de Edifícios: 
lajes;
b) vigas – vigas principais e vigas secundárias;
 c) pilares.
 
 1.3- Regras para a escolha da estrutura de um prédio:
 a) a escolha da estrutura de um prédio começa pelo pavimento-tipo;
 b) verificar se a posição dos pilares não afeta a estética do prédio;
 c) verificar se a posição dos pilares não afeta o tráfego na garagem.
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1.4- Detalhes Construtivos
Unidade I
1) Classificação das lajes: ג = Ly → Maior vão
 Lx → Menor vão 
 a) lajes armadas em 1 direção: ג > 2 
 b) lajes armadas em 2 direções ou armadas em cruz: ג ≤ 2 
2) Carga por metro quadrado – Carregamento:
a) Carga útil ou Sobrecarga: constituída pelo peso dos móveis, pessoas e objetos que carregam sobre a laje:
a.1) forros não destinados a depósitos → 50 kgf/m2;
a.2) compartimentos destinados a dormitórios, salas, copa, cozinha 
 e banheiro → 150 kgf/m2;
a.3) despensa, área de serviço, lavanderia e dependências de
 escritórios → 200 kgf/m2;
a.4) compartimentos destinados a reuniões ou ao acesso 
 público → 300 kgf/m2;
a.5) compartimentos destinados a bailes, ginástica ou esportes → 500 kgf/m2
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b) Peso próprio da laje: PP = Peso Específico do Concreto x altura da laje
 (2500 kgf/m³)
c) Peso de revestimento → 50 kgf/m² para residências comuns
d) Peso de paredes: Dados:
 P/m² = e x PD x JP x L e → Espessura da parede 
 Área da laje PD → Pé direito da Parede
 JP → Peso Específico do tijolo: 1600 kgf/m³ (tijolo maciço) 1200 kgf/m³ 
 (tijolo furado)
e) Peso do Enchimento: 
P.E = Altura do Enchimento x Peso Específico do material
J = 1000 kg/m³ (escoria, pedaço de tijolo com argamassa, aterro)
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q
l
q l
 2
q l
2
 b) lajes com 1 apoio e 1 engate:
q
M = q l2 
 8 
c) lajes com 2 engates: 
3) Momentos nas lajes armadas em uma direção:
a) lajes em 2 apoios:
l
q
l
x = 0 
M = q l2 
 14,22 
x = - q l2
 8
3q l
 8
5q l
 8
q l
 2
q l
 2
M = q l2 
 24 
x = - q l2
 12
*
4) Momentos nas lajes em cruz pelo Processo de Marcus: 
 Momentos Positivos Mx = q lx²
 mx
 Mx = q lx²
 my
 Momentos Negativos Xx = - q lx²
 nx
 Xy = - q lx²
 ny
Flechas no Centro de Peças Sujeitas a Cargas Uniformemente distribuídas
 a) vigas em 2 apoios f = 5q l4 
 384EI 
 b) vigas com 1 apoio e 1 engate 
 
 c) vigas com 2 engates
f = 2q l4
 384EI
f = q l4
 384EI
Dados: 
f = ≤ l 
 300
E = 2100
I = b h3 ; b= 1,0m 
 12 
*
Exercício
- Calcular as lajes da Figura abaixo com carga de 600 kgf/m² na laje 1 e 300 kgf/m² na laje 2.
6,00
3,00
4,00
*
Laje 1
ג= 4 = 0,67 
 6
mx = 65,28
Mx = q l x2 = 600 x 6,02 = 331 kgfm 
 mx 65,28
my = 35,67 
My = q l x2 = 600 x 6,02 = 605 kgfm
 my 35,57 
nx = 23,88
Xx = -q l x2 = -600 x 6,02 = -904kgfm 
 nx 23,88
Laje 2 
ג= 4 = 1,33
 3
kx = 0,889
mx = 20,82
my = 48,34
nx = 8,99
Mx = q l x2 = 130 kgfm
 mx
My = q l x2 = 56 kgfm 
 my
Xx = -qlx2 = -301 kgfm
 nx
*
 Equilíbrio dos Momentos Negativos
Xm = 904 + 301 = - 603 kgfm
 2
Xe = -904 x 0,8 = -724 kgfm
 Correção dos Momentos no Centro da laje
Laje 1 
-603 – (-904) = +301 kgfm ג = 6,00 = 1,50 
 4,00
 
ΔMx = 301(-0,015) = -4,52 kgfm
ΔMy = 301(0,109) = 33 kgfm
Jx = -0,015
Jy = 0,109
Mx = 331 – 5,0 = 326 kgfm
My = 605 + 33 = 638 kgfm
*
Laje 2 
-603 - (-301) = +302 kgfm ג = 4,00 = 1,33 
 3,00
 
ΔMx = 302 x 0,161 = 49 kgfm
ΔMy = 302 x 0,133 = 41 kgfm
5) Lajes dotadas de Balanço
Exercício – Calcular a laje da figura abaixo sob a ação de uma carga uniforme de 500kgf/m2 e um grande balanço sujeito à uma carga distribuída de 400kgf/m2 
e uma concentrada de 300kgf/m.
Jx = 0,161
 Jy = 0,133
Mx = 130 + 49 = 179 kgfm
My = 56 + 41 = 97 kgfm
3,00
2,00
4,20
ג = 4,20 = 1,40 
 3,00
mx = 15,21 
my = 29,82
Mx = q l x2 = 500 x 3,02 = 296 kgfm
 mx 15,21
My = q l x2 = 500 x 3,02 = 181 kgfm
 my 29,82
*
Momento no Balanço
Momento Senoidal
X = Xb x 4 = -1400 x 4 = -1780 kgfm
 π π 
Correção dos Momentos no Centro da laje
ג = 4,20 = 1,40 
 3,00
Jx = 0,161
Jy = 0,133
ΔMx = -1780 x 0,161 = - 286 kgfm
ΔMy = -1780 x 0,133 = - 237 kgfm
Xb = - (300 x 2,0 + 400 x 2,0²) = -1400 kgfm 
Mx = 296 – 286 = 10 kgfm
My = 151 – 237 = -86 kgfm
*
 Vigas
Flexão Simples de Secção Retangulares de Concreto Armado com Armadura
 Simples:
q
l
RC
RT
1- Propriedades da Combinação do Material:
Boa Aderência entre o ferro e o concreto que permite que os materiais se 
 liguem de forma a resistirem aos esforços tendentes a provocação de deslizamento da armadura ;
b) Boa proteção de concreto contra o enferrujamento da armadura;
c) Igualdade aproximada entre os coeficientes de dilatação do ferro e do concreto.
*
2 - Estádios
2.1 – Estádio I – O concreto resiste tudo (anti-econômico);
2.2 – Estádio II – O concreto obedece a lei de Hooke – Errado;
2.3 – Estádio III – Estado limite último.
 Md = M.Jf
 
Md 
Dados:
Momento de Ruptura
Jf 
Coeficiente de Segurança = 1,4
As Secções transversais se conservam planas até a ruptura;
O encurtamento de ruptura do concreto à compressão é de 3,5 mm/m 
 na flexão simples;
c) O alongamento máximo permitido ao longo da armadura de tração é de
 10 mm/m a fim de evitar a deformação plástica excessiva;
d) As tensões adotadas no estado limite último são as de ruptura;
A distribuição das tensões do concreto secção se faz de acordo
com o
 diagrama
*
Parábola – retângulo fig s. Permite-se substituir este diagrama por outro
retangular com altura 0,80 vezes a distância da linha neutra.
Para o concreto Tensão de cálculo
 
fcd = fck
 Jc
Dados: fck = Tensão Mínima da ruptura
 obtida nos ensaios
 Jc = Coeficiente de minoração = 1,40
Para o aço Tensão de Cálculo
 
 
fyd = fyk
 Js
Dados: fck = Tensão de escoamento obtido nos ensaios
 Js = Coeficiente de minoração = 1,15
*
Obs.: Para levar em conta o chamado efeito de Rüsch, definido como a tendência
Que a resistência do concreto tem de se reduzir sob a ação da carga permanente,
A tensão máxima na fibra mais comprimida é multiplicada por 0,85.
h
d
.
.
As
b
x
Ecd = 3,5 mm/m
Es
0,85 fcd
0,85 fcd
Rt
Rc
Z
*
3) Tipos de Aço
 
 Aços Comuns 
CA - 25
CA - 32
Limite de Escoamento
em kgf/mm² = tensão 
a partir do qual um aço
se deforma. 
Aços Especiais
CA-40A, CA-50A, CA-60A
CA-40B, CA-50B, CA-60B
 Com Patamar de 
 Escoamento
Sem Patamar de
Escoamento
*
 Aço com Patamar de Escoamento 
Tensão de Escoamento
fyd = fyk
 1,15
 Aço sem patamar de Escoamento
Tensão de Escoamento
Alongamento do Aço
Eyd = fyd
 Es
Fyd = fyk
 1,15
Alongamento do aço
Eyd = 0,002 + fyd
 Es
Módulo de Elasticidade do Aço
*
4) Tipo de Ruptura 
a) Secção normalmente armada: a ruptura se dá com o esmagamento do 
Concreto realizado no preciso momento em que é atingido o limite de
 escoamento da armadura;
b) Secção super armada: ocorre o esmagamento do concreto sem que a
armadura tenha escoado;
c) Secção sub armada: a ruptura se inicia com o escoamento da armadura.
5) Fórmulas Gerais para o cálculo das secções retangulares com armadura
 simples:
X = Ecd . d = E.d
 Ecd+Eyd
Y = 0,8x
Y = 0,8 E..d
Y = S.d 
Z = d – y
 2
Z = d – S.d
 2
Z = d(1 –S)
 2
Z = φ.d
Md = Rc.z
Md = 0,85fcd.Ac.Z
Md = 0,85fcd.S.d.b.φ.d
Md = 0,85fcd. φ.s.b.d²
Md = μ.fcd.b.d²
d = 1 
d = k . 
Altura Mínima para
Armadura Simples
Md = Rt.Z
Md = fyd.As.φ.d
 
As = Md
 α.d
Armadura de
 Tração
*
6) Dimensionamento de secções retangulares com armadura dupla:
.
.
As
.
.
A’s
d’
x
E’S
Eyd
Ecd = 3,5mm/m
y
Rc2 = A’sf’yd
Rc1 = 0,85fcd.b.y
A distância da linha Neutra
X = Ecd . d
 Acd+Eyd
Ecd = 3,5 mm/m
E0 = fyd
 Es
Encurtamento da Armadura de Compressão: Ecd = E’s
 x x-d’ 
E’s = x-d’ . Ecd
 x
Alongamento da Armadura de Tração: Es = Ecd
 d-x x
Es = d-x . Ecd
 x
A’s = M2d
 f’yd . cα
Armadura de Compressão
As = M1 + M2d
 αd fyd . cα
Armadura de Tração
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Valores de Es em função de E0 = fyd/Es (mm/m)
Js para o Aço A
Coeficiente de correção
Para o Aço B 
Para Es ≤ 0,7E0
Para 0,70E0 ≤ Es ≤ E0
Para E0 ≤ Es ≤ 2 + E0
Para Es ≥ 2 + E0
Es . Es
Es . Es
 fyd
 fyd
Kf = 1
Kf = 1,35-Es
 2E0 
Kf = 0,85+0,075 (Es-E0)
Kf = 1 
 
M1d = µ . fcd . b. d²
Md = M . 1,40
M2d = Md - M1d
M2d = Rc2 . cf
M2d = f’yd . A’s . cf
 A’s = M2d
 f’yd . cf
Armadura de Compressão
M1d = Rt1 . Z
M1d = f’yd . As1 . φ . d
M1d = α . As1.d
 As1 = M1d
 α . d
M2d = Rt2 . cf
M2d = fyd . As2 .cf 
 As2 = M2d
 fyd . cf
AsTotal = As1 + As2
AsTotal = M1d + M2d
 α . d fyd . cf 
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