Lajes_02

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Prof. Roldão Araújo – M.Sc. Estruturas 1 
Exemplos de Dimensionamento de Lajes 
1) Dimensionar e detalhar as lajes de uma escola representadas na figura baixo. 
Considerar a resistência do concreto igual a 200 kgf/cm2, hlaje=10cm e bviga=15cm . 
 
L2L1
 
 
 
L1=7/3=2,33 (1 direção) 
 
 
L2=6/2,5=2,4 (1 direção) 
 Carregamento nas lajes (L1= L2): 
 Peso próprio (pp) ................ 2500 x 0,10 = 250 kgf/m2 
 Revestimento (rev.) .....................................100 kgf/m2 
 Sobrecarga (sob.) ........................................ 300 kgf/m2 
Carregamento total ........................................... 650 kgf/m2 
 Critério para engastamento de lajes: 7 x 0,7 = 4,9 m (pode engastar) 
 Cálculo dos momentos: 
L1) 
650
3,15 m
+
-
 
M = qL2/14,22 = 650x3,152/14,22 
M = 454 kgfm (positivo) 
X = -qL2/8 = -650x3,152/8 
X = -806 kgfm (negativo) 
L2) 
650
2,65 m
+
-
 
M = qL2/14,22 = 650x2,652/14,22 
M = 321 kgfm (positivo) 
X = -qL2/8 = -650x2,652/8 
X = -571 kgfm (negativo) 
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 Cálculo das flechas: 
Laje L1: cm
L
f 05,1
300
315
300
 (flecha limite) 
EI
qL
f
384
2 4
 
MPaE 96,25043205600  
E = 250439,6 kgf/cm2 
I = bh3/12  b = 1m, h = 0,1m 
34
4
10,0106,250439384
12)15,3(6502


f 
f = 0,0016 m = 0,16 cm (ok!) 
Laje L2: cm
L
f 88,0
300
265
300
 (flecha limite) 
EI
qL
f
384
2 4
 
34
4
10,0106,250439384
12)65,2(6502


f 
f = 0,0008 m = 0,08 cm (ok!) 
L2L1
454
8
0
6
5
7
1
321
 
Equilíbrio de Momento Negativo (utilizar o maior momento) 
a) (806+571)/2 = 689 kgfm 
b) 80% do maior momento = 0,8806 = 645 kgfm 
O momento de equilíbrio utilizado no cálculo: 689 kgfm 
 
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Obs. 1: Cobrimento das armaduras (recomendações da NBR 6118/2014). 
- Ver material de apoio sobre classe de agressividade ambiental. 
 
 
 
O esquema: 
ah
av
Pastilha de argamassa
ou espaçador plástico
c
c
 
 
 Como informação adicional dão-se valores mínimos de: 
ah
2 cm
1 
1,2 dagregado
 
av
2 cm
1 
0,5 dagregado
 
 
 
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 Determinação da armadura positiva: 
Conhecendo a resistência do concreto fck = 20MPa e o tipo de aço, CA 50, 
determina-se o valor de k6 através da equação: 
M
db
k
2
6

 . 
onde: 
b = 100 cm (cálculo por metro) 
d = distância da borda mais comprimida ao centro de gravidade da armadura 
em cm. 
d = h -2cm para maior momento positivo 
d = h -2,5cm para menor momento positivo 
d = h -2cm para momentos negativos 
M = momento em tfcm 
d centro de
gravidade da
armadura
metro
M
borda mais comprimida
c 
obs1.: As tabelas que serão utilizadas, já incorporam os coeficientes de minoração de 
resistência dos materiais e os coeficientes de majoração de cargas. 
M = 45,4 tfcm (L1) 
d = 8,0 cm 
97,140
4,45
0,8100 2
6 

k (tabela) 
336,03 k 
M = 32,1 tfcm (L2) 
d = 8,0 cm 
38,199
1,32
0,8100 2
6 

k (tabela) 
332,03 k 
Encontrados os valores de k3, determina-se a seção de aço em cm
2/m através 
da equação: 
d
Mk
As

 3 
 
 
 
 
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Laje L1: 
0,8
4,45336,0 
sA  1,91A s  cm
2/m 
Armadura Principal  5.0mm c/10cm 
Laje L2: 
0,8
1,32332,0 
sA  1,33A s  cm
2/m 
norma  )10100(
100
15,0
)%(15,0min  hbAs 
501,As  cm
2/m (adotada) 
Armadura Principal  5.0mm c/13cm 
Armadura Secundária  5.0mm c/22cm Armadura Secundária  5.0mm c/22cm 
 
obs2.: De um modo geral o diâmetro das barras utilizadas em lajes é de 5 a 10mm. 
Obs3.: Para lajes, as barras são dispostas com espaçamentos que deverão obedecer: 
 espaçamento mínimo = 7cm; 
 espaçamento máximo = 20cm (armada em cruz); 
 = 2xh (armada em uma direção). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Detalhe da Armadura Positiva 
 
 c/10-2,55 





 c/
2
2
-7
,1
5
 
 c/13-2,15 





 c/
2
2
-6
,1
5
 
armadura de 
complemento 
 
obs4.: Critérios para contrafiamento de armadura positiva (gera economia). 
1. Se a  utilizada for de 5.0 mm, e estando espaçada acima de 13cm, não deve ser 
contrafiada; 
2. Se a  utilizada for de 5.0 mm, e estiver espaçada de 13cm ou abaixo, deve 
contrafiar, sendo que o comprimento da barra deve ser 80% da medida de eixo a eixo 
do apoio; 
3. Se a  utilizada for de 6.3 mm ou mais grossa, deve-se contrafiar, independente do 
espaçamento, sendo o comprimento da barra 80% da medida de eixo a eixo de apoio. 
obs5.: Critérios para armadura mínima. 
1. A armadura mínima de tração deve possuir área igual ou maior que 0,15% de bwh; 
2. O diâmetro máximo da barras das armaduras não deve ser superior a 10% da 
espessura da laje; 
3. Nas regiões centrais das lajes, onde agem os máximos momentos fletores, o 
espaçamento das barras da armadura principal não deve ser superior a 20cm. No caso 
de lajes armadas numa direção, esse espaçamento, além de atender a exigência 
acima, também não deve ser superior a 2h; 
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4. A armadura secundária de flexão deve corresponder à percentagem de armadura 
igual ou superior a 20% da armadura principal ou 0,9cm2/m, prevalecendo a maior taxa 
de armadura, mantendo-se, ainda, um espaçamento entre barras de no máximo 33cm. 
 Determinação da armadura Negativa: o mesmo procedimento da armadura positiva. 
M = 689 kgfm , d = 8 cm 
02,93
9,68
8100 2
6 

k (tabela) 
344,03 k 
d
Mk
As

 3 
8
9,68344,0 
sA  2,96As  cm
2/m 
Armadura Negativa  6.3mm c/10cm 
Detalhe da Armadura Negativa 
 
 c/10-1,42 
 
3,15/4  0,80 
0,80/3  30 
ancoragem = h-4 
10-4 = 6 cm 
Detalhe: 
 
130 
6 6 
 
 
 
 
 
 
 
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2) Dimensionar e detalhar as lajes de uma lavanderia industrial representadas na figura 
abaixo. Considerar a resistência do concreto igual a 200 kgf/cm2, hlaje=10cm, 
bviga=15cm e o revestimento em granito. 
LAJE 1
LAJE 2
LAJE 3
 
 Classificação: 
L1   = 6,0/4,0 = 1,5 (armada em 2 direções) 
L2   = 5,0/4,0 = 1,25 (armada em 2 direções) 
L3   = 7,0/3,0 = 2,33 (armada em 1 direção) 
 Carregamento nas lajes (L1=L2= L3): 
 Peso próprio (pp) .................. 2500 x 0,10 = 250 kgf/m2 
 Revestimento (rev.) ......................................150 kgf/m2 
 Sobrecarga (sob.) .........................................200 kgf/m2 
Carregamento total ............................................600 kgf/m2 
 
 
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 Condição de engastamento: 
 
LAJE 1 
LAJE 2 
LAJE 3 
X 
X 
 
 Cálculo dos momentos e das reações: 
L1) Laje armada em duas direções: Utilizar o Processo de Marcus 
O processo de Marcus faz a divisão da laje por uma grelha de vigas e depois aplica 
adequados coeficientes que levam em conta o aspecto de continuidade da laje, que 
solidariza toda a malha de vigas.As tabelas de Marcus já fazem os cálculos 
diretamente permitindo facilmente os cálculos dos momentos positivos e os negativos. 
 
1. Escolha das direções principal e secundária. 
Direção principal: Lx 
Direção secundária: Ly 
 
 
 
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Ex.: 
4
6
 
4
6
 4
6
 
4
6
 
Lx = 6 
Ly = 4 
Lx = 4 
Ly = 6 
Lx = 6 
Ly = 4 
Lx = 4 
Ly = 6 
4
6
 4
6
 
 
Lx = 4 
Ly = 6 
Lx = 4 
Ly = 6 
 
obs.: 
 Para o mesmo número de engastes, Lx será o menor vão; 
 Para número de engastes diferentes o Lx corta o maior número de engastes. 
 
2. Utilizar as fórmulas para os cálculos dos momentos: 
O dado de entrada nas tabelas é a relação entre lados, Ly/Lx. Das tabelas retiram-
se os coeficientes: mx, my, nx e ny que permitem calcular os momentos. 
 
Momento positivo Momento negativo 
Direção x: 
x
2
x
m
qlx
M  
x
2
x
n
qlx
X  
Direção y: 
y
2
y
m
qlx
M  
y
2
n
qlx
Xy  
 
 
 
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4,15 
6,15 
 
67,0
15,6
15,4

Lx
Ly
 
335,0Xk 
0,66Xm 
7,35ym 
9,23Xn 
 
Momento Positivo: 
mkgf343,8
mx
qlx
Mx
2



66
)15,6(600 2
 
Momento Negativo: 
mkgfXx 

 5,949
9,23
)15,6(600 2
 
mkgf635,7
my
qlx
My
2



7,35
)15,6(600 2
 
0Xy  
 
Carregamento na direção X: 
qkqx
X
 
6000qx  335, 
kgf201qx  
Carregamento na direção Y: 
qx-qqy 
201-600qy  
kgfqy 399 
 
Reações na direção X: 
 
201 kgf 
 
ql
8
5
R
engaste
 
kgf/m
5
R engaste 73315,6201
8
 
ql
8
3
R
apoio
 
kgf/m
3
R apoio 46415,6201
8
 
Carregamento na direção Y: 
 399 kgf 
 
2
ql
RR
21
 
kgf/m
4,15
RR 21 828
2
399


 
 
 
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L2) Laje armada em duas direções 
5,15
4,15
 
81,0
15,5
15,4
Lx
Ly
 
518,0k
X
 
6,43m
X
 
4,15n
X
 
3,34m
y
 
 
 Momento Positivo: 
m365kgf
6,43
)15,5(600
mx
qlx
Mx
22


 
Momento Negativo: 
mkgf1033
4,15
)15,5(600
Xx
2


 
m464kgf
3,34
)15,5(600
my
qlx
My
22


 
0Xy  
 
Carregamento na direção X: 
qkqx
X
 
600518,0qx  
311kgfqx  
Carregamento na direção Y: 
qx-qqy 
311-600qy  
kgf289qy  
 
Reações na direção X: 
311 kgf
 
ql
8
5
R
engaste
 
kgf/m100115,5113
8
5
R
engaste
 
ql
8
3
R
apoio
 
kgf/m60115,5113
8
3
R
apoio
 
Reações na direção Y: 
289 kgf
 
2
ql
RR
21
 
kgf/m600
2
4,15289
RR
21


 
 
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L3) Laje armada em uma direção 
7,15
3,15
7/3 = 2,33 (01 direção) 
Reações 
600 kgf
 
kgf/m
3
ql
3
R apoio 70915,3600
88
 kgf/m
5
ql
5
R engaste 118115,3600
88
 
X = -qL2/8 = 600x3,152/8 
X = 744 kgfm (negativo) 
M = qL2/14,22 = 600x3,152/14,22 
M = 419 kgfm (positivo) 
 Equilíbrio dos Momentos Negativos: (utilizar o maior momento) 
 
LAJE 1 
LAJE 2 
LAJE 3 
744 744 
949,5 
0
 
1
0
3
3
 
0 
 
L1/L2 = 1033 
L1/L3 = 949,5/744 
L1/L3 = 846,75 
L2/L3 = 744 
 
 
6,15 3,15 
1,55 
 
1,54
6,15

4
< 3,15/2 (certo) 
0,80
4
3,15
 (errado) 
 
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 Cálculo das flechas: 
L1) 
 
4,15 
6,15 
 
67,0
15,6
15,4

Lx
Ly
 2mkgfqx /201 
384EI
2ql
f
4
 
2mkgfqy /399 
384EI
5ql
f
4
 
Flecha na direção X: (flecha limite) 
f  L/300 = 615/300 = 2,05 cm 
MPa96,25043205600E  
E = 25043,96105 kgf/m2 
I = bh3/12  b = 1x0,13/12 = 8,3310-5 m4 
55
4
1033,81096,25043384
15,62012



384EI
2qxlx
fx
4
cm0,7mfx  007,0 Ok! 
Flecha na direção Y: (flecha limite) 
f  L/300 = 415/300 = 1,38 cm 
55
4
1033,81096,25043384
15,43995



384EI
5qyly
fy
4
 
cm0,7mfy  007,0 Ok! 
L2) 
5,15
4,15
 
81,0
15,5
15,4
Lx
Ly
 
2m/kgf311qx  
2m/kgf289qy  
f  L/300 = 515/300 = 1,72 cm (flecha limite) 
Flecha na direção X: 
55
4
33,81096,25043384
15,53112



384EI
2qxlx
fx
4
 
cm0,54mfx  0054,0 Ok! 
Flecha na direção Y: 
55
4
33,81096,25043384
15,42895



384EI
5qyly
fy
4
 
cm0,54mfy  0054,0 Ok! 
L3) 
7,15
3,15
 
f  L/300 = 315/300 = 1,05 cm (flecha limite) 
2m/kgf600q  
55
4
33,81096,25043384
15,36002



384EI
2ql
f
4
 
cm0,15mf  0015,0 Ok! 
 
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 Determinação da armadura positiva: 
Conhecendo a resistência do concreto fck = 20MPa e o tipo de aço, CA 50, determina se 
a seção de aço através das seguintes equações: 
M
db
k
2
6

 , 
d
M
kAs
3
 
Laje 1 Laje 2 Laje 3 
Direção X 
cmtfMx  4,34 
Direção Y 
cmtfMy  6,63 
Direção X 
cmtf5,36Mx  
Direção Y 
cmtf4,46My  
Uma direção 
cmtf9,41M  
34,4
8100
k
2
6


05,186k 6  
63,6
8100
k
2
6


63,100k 6  
36,5
8100
k
2
6


34,175k 6  
46,4
8100
k
2
6


93,137k 6  
41,9
8100
k
2
6

 
74,152k 6  
333,0k 3  343,0k 3  334,0k 3  337,0k 3  335,0k 3  
8
34,4
333,0As  
8
63,6
343,0As  
8
36,5
334,0As  
8
46,4
337,0As  
8
41,9
335,0As  
m
cm
43,1As
2
 
m
cm
73,2As
2
 
m
cm
52,1As
2
 
m
cm
95,1As
2
 
m
cm
75,1As
2
 
Asmin = 1,5cm
2
/m 
5.0mm c/13cm 5.0mm c/7cm 5.0mm c/13cm 5.0mm c/10cm 5.0mm c/11cm 
Detalhe da Armadura Positiva 
 





 c/
1
3
-4
,9
5
 
 c/7-3,35 
 c/13-4,15 





 c/
1
0
-3
,3
5
 





 c/
1
1
-2
,5
5
 
 c/22-7,15 
 
 
Prof. Roldão Araújo – M.Sc. Estruturas 16 
 Determinação da armadura Negativa: o mesmo procedimento da armadura positiva. 
L1/L2 – cmtfM  3,103 L1/L3 – cmtfM  7,84 
103,3
8100
k
2
6

  96,61k 6  
84,7
8100
k
2
6

  56,75k 6  
tabela  360,0k 3  tabela  352,0k 3  
8
103,3
360,0As  
m
cm
65,4As
2
 
8
84,7
352,0As   
m
cm
73,3As
2
 
8.0mm c/10cm 8.0mm c/13cm 
Detalhe da Armadura Negativa 
 
viga contínua 
viga biapoiada 
 c/10-2,35 





 c
/1
3
-2
,7
5
 
armadura de canto 
armadura de canto 
0
,5
5
 
1
,5
5
 
 
5,15/4  1,30 m 
1,30/3  0,45 m 
ancoragem = h-2 
10-2 = 8 cm 
252,5/10  25 bar. 
Detalhe: 
 
215 
8 8 
 
6,15/4  1,55 m 
1,55/3  0,55 m 
ancoragem = h-2 
10-2 = 8 cm 
700/13  54 bar. 
Detalhe: 
 
255 
8 8 
 
obs1.: Critérios para a interrupção de armadura negativa. 
1. Se o cruzamento for de duas vigas biapoiadas ou de duas contínuas, a que tiver 
maior momento tem prioridade para prosseguir; 
2. Se o cruzamento for entre uma viga contínua e uma biapoiada, a armadura que 
prosseguirá será aquela que estiver por cima da viga contínua. 
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 Determinação da armadura de canto. 
Em cada canto das lajes retangulares livremente apoiadas (articuladas) nas quatro 
bordas, quando não for calculada armadura para resistir os momentos volventes, 
deverá ser colocada uma armadura superior na direção da bissetriz e uma na direção 
perpendicular à bissetriz, possuindo cada uma área não inferior à metade da área daarmadura máxima no centro da laje. 
Armadura Superior Armadura Inferior 
1/5 do menor
vão
1/5 do menor
vão
 
1/5 do menor
vão
1/5 do menor
vão
 
 O vão escolhido será o maior dos menores das lajes que precisem de armadura de 
canto; 
 A armadura de canto utilizada será aquela da laje que apresentar maior momento 
positivo (das lajes que precisem da armadura de canto); 
 Armadura de canto somente em lajes armadas em duas direções; 
 Somente em lajes acima de 12 m2; 
 A armadura será única para todos os cantos; 
 
0,80 
0,80 
 
barras16
0,07
1,13
 
2x165.0-c/7-variado 
colocados em apenas dois cantos, 
onde não há armadura negativa. 
 
 
 
 
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3. Dimensionar e detalhar a laje de uma sacada representada na figura abaixo, 
sabendo-se que o parapeito é de alvenaria acabada de tijolos furados, com largura 
de 10cm. Considerar a resistência do concreto igual a 200 kgf/cm2, hlaje=10cm e 
bviga=10cm. 
Obs.: Ao longo de parapeitos e balcões deve ser considerada uma carga horizontal de 
0,80 kN/m na altura do corrimão e uma carga vertical mínima de 2 kN/m. 
 Parapeito: 0,11,01300 = 130 kgf/m 
 
1,45 m 
200 kgf/m 
80 kgf/m 
1,0 m 
 
Peso-próprio: 25000,1 = 250 kgf/m2 
Revestimento de piso: 100 kgf/m2 
Forro de gesso: 50 kgf/m2 
Sobrecarga (residência): 150 kgf/m2 
Total da carga distribuída: 550 kgf/m2 
LAJE
ENGASTADA
SACADA
PLANTA BAIXA
 
 
550kgf/m
2 
1,45 m 
R 
M 
80x1=80 kgf·m/m 
200 + 130 = 330 kgf/m 
 
Reações: 
kgf/m5,1127)45,1550(330R  
80
2
45,1
55045,1330M
2
 
m/mkgf7,1136M   arm. negativa 
 Determinação da armadura negativa: 
 
CORTE 
 c/8,5-3,0 
 
 
 
M
db
k
2
6

 
113,7
5,7100
k
2
6

 
47,49k 6   373,0k 3  
m
cm
65,5
5,7
113,7
373,0As
2
 
 8.0-c/8,5 
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obs1.: O comprimento da armadura que se deve colocar para dentro da laje vizinha é o 
mesmo comprimento do balanço, e não pode ser contrafiada. 
 Armadura para absorver esforço de retração do concreto “Positiva”. 
 Armadura secundária nas duas direções, pois não existe momento positivo. 
Armadura secundária: 0,9 cm2/m 
emáx. = 33 cm 
 





 c
/2
2
-1
,3
5
 
 c/22-2,97