Lista1_SME0805_ProcEstoc

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Lista 1
SME0805 - Processos Estocásticos
Prof. Pablo Martín Rodríguez
2◦ Semestre de 2012
• Entregar os exercícios 3, 7 e 10 no dia 04/09/12.
• A lista pode ser entregue em dupla ou individualmente.
1. Considere um passeio aleatório em {0, 1, 2, 3, 4, 5}. A partícula pula de acordo ao lançamento
de uma moeda honesta: se a moeda da cara a partícula pula à direita e se a moeda da corõa a
partícula pula à esquerda. Por outro lado, se a partícula pula até um dos valores da fronteira, 0
e 5, então no seguinte passo ela pula para 1 e 4 respectivamente. Escreva a matriz de transição
para esse passeio aleatório.
2. Uma cadeia de Markov (Xn)n≥0 com conjunto de estados {0, 1, 2} tem matriz de transição de
probabilidades
P =
 0.1 0.2 0.70.9 0.1 0
0.1 0.8 0.1

e distribuição inicial p0 = P (X0 = 0) = 0.3, p1 = P (X0 = 1) = 0.4 e p2 = P (X0 = 2) = 0.3.
Determine P (X0 = 0, X1 = 1, X2 = 2).
3. Uma cadeia de Markov (Xn)n≥0 com conjunto de estados {0, 1, 2} tem matriz de transição de
probabilidades
P =
 0.7 0.2 0.10 0.6 0.4
0.5 0 0.5

Determine as probabilidades P (X2 = 1, X3 = 1|X0 = 0) e P (X1 = 1, X2 = 1|X0 = 0).
4. Uma cadeia de Markov (Xn)n≥0 com conjunto de estados {0, 1, 2} tem matriz de transição de
probabilidades
P =
 0.1 0.1 0.80.2 0.2 0.6
0.3 0.3 0.4

Determine as probabilidades P (X1 = 1, X2 = 1|X0 = 0) e P (X2 = 1, X3 = 1|X0 = 0).
5. Apresente a representação gráfica das cadeias de Markov dos exercícios anteriores.
6. Suponha que i e j são da mesma classe recorrente. Mostre que
P (Ti <∞|X0 = j) = 1.
7. Considere os Exemplos 1 (Passeio aleatório em Z), 2 (Passeio aleatório no círculo) e 3 (Processo
de ramificação). Qual destas cadeias é irredutível? Note que a resposta pode depender dos
parâmetros p (passeio aleatório) ou pi (ramificação).
8. Suponha que em um grupo de 6 pessoas está subdividido em ignorantes (pessoas que não sabem
da informação) e informantes (pessoas que sabem da informação). Suponha que em cada instante
de tempo ocorre uma interação entre um par destas pessoas, e que cada par tem a mesma pro-
babilidade de interagir. Se uma das pessoas do par é um informante e a outra é um ignorante, o
informante conta a informação com probabilidade p e neste caso o ignorante vira informante. Em
qualquer outra situação nada acontece. Seja Xn o número de informantes no grupo no n-ésimo
instante de tempo. Determine a matriz de probabilidades de transição da cadeia (Xn)n≥0.
9. Considere a cadeia de Markov (Xn)n≥0 com conjunto de estados {0, 1, 2, 3, 4, 5} e matriz de tran-
sição
P =

1/6 5/6 0 0 0 0
1/3 2/3 0 0 0 0
0 0 1/2 0 1/2 0
1/4 1/4 0 0 1/4 1/4
0 0 1/2 0 1/2 0
0 1/6 0 1/6 1/6 1/2

Encontre todas as classes e determine quais são transientes e quais são recorrentes.
10. Considere a cadeia de Markov (Xn)n≥0 com conjunto de estados {0, 1, 2, 3, 4, 5} e matriz de tran-
sição
P =

1/3 1/3 0 1/3 0 0
0 2/3 0 1/3 0 0
0 0 1 0 0 0
1/4 1/4 0 0 1/2 0
1/2 0 0 1/2 0 0
0 1/4 0 1/4 0 1/2

Encontre todas as classes e determine quais são transientes e quais são recorrentes.
11. Considere o Exemplo 2 de aula (Passeio aleatório no círculo). Encontre todas as classes e determine
quais são recorrentes e quais são transientes.
12. Considere uma cadeia de Markov em {0, 1, 2, . . .} para a qual 0 é uma armadilha, isto é, p(0, 0) = 1.
Suponha que {1, 2, . . .} é outra classe e que p(i, 0) > 0 para algum i ≥ 1.
(a) O que pode dizer sobre a recorrência de cada classe?
(b) Você pode supor algo com relação da possível evolução desta cadeia?