Seja S0 = 0, e para n ≥ 1, seja Sn = Y1 + ... + Yn a soma de n v.a.’s i.i.d. com distribuição exponencial com média

A) Xn é um processo? Qual o espaço de estados? Sim, Xn é um processo. O espaço de estados é o conjunto dos números reais. B) Calcule E(Xn), Var(Xn) e Cov(Xm, Xn) para m > n. As variáveis Xn e Xm são independentes? Para calcular E(Xn), utilizamos a propriedade de linearidade da esperança: E(Xn) = E(2Sn) = 2E(Sn) A média de uma variável aleatória exponencial com média 1 é igual a 1, então temos: E(Sn) = n * E(Y1) = n * 1 = n Portanto, E(Xn) = 2n. Para calcular Var(Xn), utilizamos a propriedade de linearidade da variância: Var(Xn) = Var(2Sn) = 4Var(Sn) A variância de uma variável aleatória exponencial com média 1 é igual a 1, então temos: Var(Sn) = n * Var(Y1) = n * 1 = n Portanto, Var(Xn) = 4n. A covariância entre Xn e Xm é dada por: Cov(Xm, Xn) = Cov(2Sm, 2Sn) = 4Cov(Sm, Sn) Como as variáveis Sn e Sm são independentes para m ≠ n, temos: Cov(Sm, Sn) = 0 Portanto, Cov(Xm, Xn) = 0 e as variáveis Xn e Xm são independentes. C) Xn tem incrementos independentes e estacionários? Sim, Xn tem incrementos independentes e estacionários, pois as variáveis Sn são independentes e estacionárias. D) Existe distribuição limite para Xn? Sim, existe uma distribuição limite para Xn. Pelo Teorema do Limite Central, quando n tende ao infinito, a distribuição de Xn se aproxima de uma distribuição normal com média 2n e variância 4n.