Aula 6 Compressibilidade

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Volume 
inicial 
Volume 
final 
Compressibilidade dos Solos 
’v 
’h 
Carregamento: 
> ’h 
> ’v 
> ΔV 
Variação 
volumétrica 
O solo diminui de volume 
com o aumento das 
tensões efetivas 
solo 
Compressibilidade dos Solos 
Processo tridimensional 
Prática: processo unidimensional 
’v 
 H 
Deformação lateral nula !!! 
’h = K0 . ’v 
> ’v  > ’h  > V 
Deformação lateral nula  somente Vvertical 
Define-se: 
vvm
V
V
'

Coeficiente de variação volumétrica 
(propriedade do solo) 
Compressibilidade Unidimensional 
Analogia mecânica de Terzaghi  modelo físico 
Taylor (1948) 
t = 0 
15 N 
0 
t1 
10 N 
5 N 
t2 
5 N 
10 N 
t =  
0 
15 N 
Carga suportada: 
Água: 
Mola: 
F 
Solo saturado  Sistema Água + Mola 
Mola  esqueleto sólido 
Água  água intersticial 
Válvula  permeabilidade 
H 
águamola FFF 
HkF molamola 
Deslocamento 
pistão 
AuFágua .
Pistão (área 
A) 
F 
t = 0 
AuFágua .
umáxima 
Qualquer variação na tensão 
total (ou na força total) 
corresponderá a uma variação 
na tensão da água 
u
t = 0 
águamola FFF 
0molaF
• Toda carga suporta 
pela água 
• Mola não se 
deforma (H = 0) 
Válvula fechada: 
F H 
t > 0 
águamola FFF 
Válvula aberta: 
• Quantidade de água expulsa provoca deformação na mola 
0molaF
t > 0 
Ocorrerá transferência de carga 
da água para mola 
'  u
AuFágua .
u < umáxima 
0H
t =  
águamola FFF 
Válvula aberta: 
• Expulsão de toda água pelo êmbolo 
• Toda carga suportada pela mola 
0águaF
0u
molaFF 
(máxima) 
t =  
Completa transferência de carga 
da água para mola (sistema em 
equilíbrio) 
' 
F 
máxHH 
Hmáx 
Compressibilidade Unidimensional 
SOLO 
• Amostra de solo saturada e com k 
baixo (argila). 
• Constituída por partículas de solo 
envolvidas por água. 
• Manômetro permite a medição da 
pressão de água. 
 = ’ + u 
solo água 
SOLO (t = 0) 
Toda tensão aplicada é suportada pela água. 
(verificada por um aumento no manômetro) 
 = u ’ = 0 
(só variações na ’ provocam deformações) 
V = 0 
SOLO (t > 0) 
Percolação da água em direção às áreas mais 
permeáveis ex. pedra porosa (ensaio); areia (campo). 
Compressibilidade Unidimensional 
SOLO (t > 0) 
Saída de água  redução do índice de vazios 
 = ’ + u 
 = ’ 
(ocorrem deformações) 
u = 0 
SOLO (t = ) 
O excesso de poro-pressão gerado pelo carregamento já foi 
dissipado. 
 
Transferência de tensão para o esqueleto sólido 
’> 0 
Compressibilidade Unidimensional 
Fenômeno através do qual as deformações ocorrem com 
expulsão da água dos vazios do solo  ADENSAMENTO 
 Carregamento gera inicialmente acréscimo na tensão de 
água (excesso de poro-pressão); 
 Esse acréscimo é dissipado através da expulsão da água 
dos vazios do solo e transferência de tensão da água para o 
esqueleto sólido; 
 A tensão efetiva aumenta e o solo deforma-se; 
A tensão efetiva aumenta na mesma magnitude que o 
excesso de poro-pressão diminui. 
Compressibilidade Unidimensional 
Teoria de Adensamento Unidimensional 
(Terzaghi) 
 Solo saturado e homogêneo; 
 Compressão unidimensional; 
 Fluxo segundo Lei de Darcy (na vertical); 
 Água e partículas sólidas são incompressíveis; 
 Índice de vazios (e) varia linearmente com o 
aumento da tensão (). 
 As propriedades do solo não variam no processo 
de adensamento. 
Hipóteses: 
Teoria de Adensamento Unidimensional 
Dedução da teoria: 
Objetivo da teoria é determinar, para qualquer 
instante e em qualquer posição da camada que 
está adensando, o grau de adensamento (Uz), ou 
seja, as deformações, os índices de vazios, as 
tensões efetivas e as pressões neutras 
correspondentes. 
Teoria de Adensamento Unidimensional 
(Terzaghi) 
 Solo saturado; 
 Permeabilidade baixa; 
Caso particular da compressibilidade unidimensional, 
quando: 
 Camada deste solo limitada por outra(s) camada(s) 
de alta permeabilidade; 
Solos argilosos 
Neste caso: • V (e  H) dependem do tempo 
• Teoria de Terzaghi 
Teoria de Adensamento 
Unidimensional 
1) Antes de p 
2) p 
- t = 0 ue (máx) = p 
- t > 0 piezômetros 
- t =  ue = 0 
O que acontece com o 
N.A. nos 
piezômetros? 
Piezômetros 
Argila 
Rocha 
impermeável 
Areia 
p 
NA 
2 1 3 4 
ue (máx) ue 
excesso 
Teoria de Adensamento Unidimensional 
t = 0 : p = ue (máximo) ue = he . w 
t > 0 : p = u + ’ u < ue (máximo) 
t =  : ue = 0 p = ’ 
Após p: 
Para a camada argilosa: 
A 
permeável 
argila 
h 
ha 
NT 
NA 
NR 
impermeável 
• Carga hidrostática em A é h em relação ao NR 
v 
z 
A 
wahhu )( 
• No elemento A, antes de aplicar p: 
(Bernoulli) 
Para a camada argilosa: 
v 
A 
permeável 
argila 
he 
h 
ha 
NT 
NA 
NR 
impermeável 
 p 
A 
• Após aplicar p: 
he 
v 
Caso unidimensional: 
pv 
u + u 
• se S < 100%, teríamos V > 0 
• como S = 100%, V = 0 
vwehu   .
0'  uvv 
t = 0 
Sobre pressão neutra 
inicial 
he (inicial) 
v 
ewee uhu  .
fluxo de água 
é vertical 
• havendo perda de carga he ao longo de z, surge velocidade de fluxo v 
vhe 
t > 0 
he 
Dissipação de ue em progresso: 
(inicial) 
v 
Equação Diferencial do Adensamento 
dz 
Em t + dt: 
dz
z
v
vv .'



'v
 A água expulsa do elemento 
durante a compressão (dV) no 
intervalo de tempo (dt) aumenta a 
velocidade de fluxo (v) ao longo do 
comprimento dz. 
Elemento de 
solo argiloso 
saturado 
 
D
ir
eç
ã
o
 d
o
 f
lu
x
o
 
ventrada = v’ < vsaída = v 
dt
t
V
V .



Equação Diferencial do Adensamento 
Lei de Darcy 
z
h
kv
ikv
e




.
.
k = coeficiente de condutividade hidráulica 
he = altura piezométrica correspondente ao 
u 
w
e
e
u
h


Como: z
uk
v e
w 

 .

Nota: em areias e pedregulhos k alto, v alta 
Adensamento  instantâneo 
(-): significa que ocorre diminuição de carga 
durante fluxo de água 
Equação Diferencial do Adensamento 
Pode-se escrever: 
dtAdz
z
v
dVw 







 ..
Volume de água 
expulsa do 
elemento durante dt 
vazão 
dt
t
V
dV .



Redução de volume 
do elemento 
durante dt 
Solo saturado: 
dVdVw 
Equação Diferencial do Adensamento 
z
uk
v e
w 

 .

Derivando Darcy: 
Assim: 
2
2
.
z
uk
z
v e
w 





t
V
z
v





Temos: 
2
2
.
z
uk
t
V e
w 





dtAdz
z
v
dt
t
V











Volume unitário 
dVdVw 
Mas: 
t
m
t
V v
v




 '
.

2
2
.
'
.
z
uk
t
m e
w
v
v








t
u
tt
evv







  '
2
2
.
. z
u
m
k
t
u e
vw
e






2
2
.
z
uk
t
V e
w 





Coeficiente de variação 
volumétrica 
Equação Diferencial do Adensamento 
2
2
.
. z
u
mk
t
u e
vw
e






cv 
2
2
.
z
u
c
t
u e
v
e





O adensamento unidimensional (caso 
mais simples de adensamento) é 
descrito pela Equação Diferencial 
desenvolvida por Terzaghi. 
cv = coeficiente de adensamento 
ou consolidação 
(determinado do ensaio de adensamento) 
u = f (cv, z, t, drenagem) 
cv dado em cm
2/s 
wv
v
m
k
c
.

 
wv
v
a
ek
c
.
1

mv = Coeficiente de variação volumétrica 
2
2
.
z
u
c
t
u e
v
e





Para problema de adensamento unidimensional 
Condições limites da equação: 
• a tensão total é constante com o tempo 
• existe drenagem completa nas duas extremidades da camada 
que está sendo adensada 
• a sobre pressão neutra inicial (ue), é uniforme com a 
profundidade e é igual ao acréscimo de pressão aplicada 
pu iniciale )(
0


t
v
2
2
.
z
u
c
t
u e
v
e





• Solução complicada 
• Usar gráficos (adimensionais) 
 Grau de adensamento – Uz 
 Fator tempo (adimensional) – T 
 Distância a partir do topo da camada adensada – Z 
 Altura de drenagem - Hd 
Indica a variação da pressão 
neutra (variação das 
deformações), ao longo da 
profundidade, através do tempo 
)(
)(
iniciale
einiciale
z
u
uu
U


Poro-pressão adimensional: grau de 
adensamento ao longo da profundidade 
~ grau de dissipação da pressão neutra 
2
.
d
v
H
tc
T 
Tempo adimensional: correlaciona 
tempos de recalques às características 
do solo, através do cv, e às condições 
de drenagem do solo, através do Hd. 
2
H
H
HH
d
d


Drenagem simples 
Drenagem dupla 
Indica a maior distância de percolação 
dH
Espessura da amostra ou camada H
dH
z
Z 
2
2
.
z
u
c
t
u e
v
e





Solução complicada !!! 
Na integração, a variável tempo (t) aparece sempre 
associada ao coeficiente de adensamento (cv) e à maior 
distância de percolação (Hd), pela seguinte expressão: 
2
.
d
v
H
tc
T 
TM
dm
z e
H
zM
sen
M
U
2
.
.2
1
0









 
 1.2
2
 mM

Resultado para as condições limites: 
T
u
Z
u ee





2
2
Isócronas (mesmo tempo) 
Solução da 
equação de Uz 
para diversos 
tempos após o 
carregamento 
 
u
u
U
iniciale
z 1
Isócronas: 
• indicam o desenvolvimento do adensamento com a 
profundidade para certo fator tempo; 
• mostram como a dissipação da pressão neutra e as 
deformações ocorrem muito mais rapidamente nas 
proximidades das faces de drenagem do que no interior da 
camada; 
• exemplo T = 0,3  no centro da camada (drenagem simples: 
Z=1) estará ocorrendo 40% de adensamento, enquanto que 
a ¼ de profundidade (Z=0,5), Uz terá sido de 57% e, a um 
oitavo da profundidade (Z=0,125), de 77%. 
Grau de adensamento - Uz 
Definição: relação entre a deformação ocorrida num 
elemento numa certa posição (), caracterizada pela sua 
profundidade z, num determinado tempo e a deformação 
deste elemento quando todo o processo de adensamento 
tiver ocorrido (f): 
f
zU



• Deformação final devida 
ao acréscimo de tensão: 
• Num instante t qualquer, o índice 
de vazios será e e a deformação 
ocorrida em t: 
1
21
1 e
ee
f



1
1
1 e
ee



f
zU



1
21
1 e
ee
f



1
1
1 e
ee



21
1
1
21
1
1
1
1
ee
ee
e
ee
e
ee
U z








A 
B 
C 
D 
E 
e1 
e2 
e 
’1 ’2 ’ 
ui 
u 
’2 = ’1 + ’ 
Semelhança dos triângulos ABC e ADE: 
12
1
21
1
''
''








DE
BC
AD
AB
ee
ee
U z
Inclinação da reta  
Coeficiente de Compressibilidade 
12
12
12
21
''''  





eeee
av
'd
de
av 
wv
v
a
ek
c
.
)1( 

Exemplo 1 (livro p.207): 
A construção de um aterro com 2,5 m de altura sobre um terreno constituído 
de uma camada de 4 m de argila mole, sobre areia, apresentaria um recalque 
de 50 cm. Para estudar a evolução dos recalques com o tempo, precisa-se do 
coeficiente de adensamento. Sabendo que o coeficiente de compressibilidade 
é de 0,06 kPa-1 e o coeficiente de permeabilidade é de 3x10-8 m/s e o índice de 
vazios igual a 3, qual é o valor de cv? 
 = H = 50 cm 
av = 0,06 kPa
-1 
k = 3x10-8 m/s 
e = 3 
wv
v
a
ek
c
.
)1( 

aterro 
argila mole 
areia 
NA 0 
-4 m 
+2,5 m 
scmxsmx
x
cv /102/102
10.06,0
)31(103 2327
8





Exemplo 2: 
Um aterro de grande extensão será construído sobre o depósito de 
argila saturada abaixo. Calcular o grau de adensamento, Uz, o 
excesso de poro-pressão e a poro-pressão nas profundidades de 
0,3, 6, 9 e 12 m, após 5 anos. 
100 kN/m2 
NA 
H = 12 m 
permeável 
argila 
cv = 10
-8 m2/s 
t = 16 kN/m
3 
colchão 
drenante 
2
H
H d 
mH d 6
2
12

• Havendo drenagem dupla: 
• Fator tempo: 
04,0
6
155520000.10
2
8


T
2
.
d
v
H
tc
T 
t = 5 anos = 155.520.000 segundos 
• Para z = 3 m: 
z / Hd = 3/6 = 0,5 
T = 0,044 
Uz ~ 0,1 gráfico 
ue (inicial) = p = 100 kN/m
2 
)(
)(
iniciale
einiciale
z
u
uu
U


100
100
1,0 e
u

ue = 90 kN/m
2   
Logo: 
u final = u + ue 
u = w . z 
u = 10.3 = 30 kN/m2 
u final = 30 + 90 = 120 kN/m
2 
z / Hd = 3/6 = 0,5 
T = 0,044 
• para as demais profundidades: 
z 
(m) 
z/Hd Uz 
ue 
(kN/m2) 
u 
(kN/m2) 
0 0 1 0 0 
3 0,5 0,1 90 120 
6 1,0 0,005 99,5 159,5 
9 1,5 0,1 90 180 
12 2 1 0 120 
A dissipação do excesso de poro-
pressão é mais rápida junto às 
camadas drenantes 
0
3
6
9
12
15
0 50 100 150 200 250
u (kN/m
2
)
z (
m)
0
3
6
9
12
15
0 50 100 150
ue (kN/m
2
)
z (
m)
u (t = 5) 
u (t = 0) 
ue (t = 5) 
ue (t = 0) 
u 
Recalcular o problema anterior para a condição de 25 anos após 
o carregamento. 
Exemplo 3: 
• Fator tempo: 
220,0
6
788400000.10
2
8


T
2
.
d
v
H
tc
T 
t = 25 anos = 788.400.000 segundos 
> 0,044 
mH d 6
2
12

• Para z = 3 m: 
z / Hd = 3/6 = 0,5 
T = 0,22 
Uz ~ 0,48 gráfico 
)(
)(
iniciale
einiciale
z
u
uu
U


100
100
48,0 e
u

ue = 52 kN/m
2   
Logo: 
u final = u + ue 
u = w . z 
u = 10.3 = 30 kN/m2 
u final = 30 + 52 = 82 kN/m
2 
< 120 kN/m2 
• para as demais profundidades: 
z 
(m) 
z/Hd Uz 
ue 
(kN/m2) 
u 
(kN/m2) 
0 0 1 0 0 
3 0,5 0,48 52 82 
6 1,0 0,28 72 132 
9 1,5 0,48 52 142 
12 2 1 0 120 
Houve dissipação de ue entre 5 e 25 
anos após a construção do aterro 
0
3
6
9
12
15
0 50 100 150
ue (kN/m
2
)
z (
m)
ue (t = 25) 
ue (t = 0) 
0
3
6
9
12
15
0 50 100 150 200 250
u (kN/m
2
)
z (
m)
u (t = 25) 
u (t = 0) u 
Para os problemas anteriores, calcular ’v nas 
profundidades de 0, 3, 6, 9 e 12 m, no momento do 
carregamento e decorridos 5 e 25 anos. 
Exemplo 4: 
• Para z = 3 m: 
t = 0 anos 
v = v . z + v 
v = 16 . 3 + 100 = 148 kN/m
2 
u final = u + ue 
u final = 10 . 3 + 100 = 130 kN/m
2 
’v = 148– 130 = 18 kN/m
2 
t = 5 anos 
u final = 120 kN/m
2 
’v = 148 – 120 = 28 kN/m
2 
t = 25 anos 
u final = 82 kN/m
2 
’v = 148 – 82 = 66 kN/m
2 
Hipótese: 
p = v (total) 
Lembrar: 
carregamento provoca ’v 
• para as demais profundidades: 
z 
(m) 
’v 
(kN/m2) 
t = 0 t = 5 t = 25 
0 100 100 100 
3 18 28 66 
6 36 36,5 64 
9 54 64 102 
12 172 172 172 
> t  > T  > Uz 
  < ue  > ’v 
0
3
6
9
12
15
0 50 100 150 200 250
'v (kN/m
2
)
z (
m)
’v antes de 
aplicar p 
t = 5 t = 25 t = 0 t =  
Ensaio de Adensamento 
v
v
d
de
a
'

v
v
v
d
d
m



  vv mea 01
 1
1
0
1 e
H
H


1
0
2
2 






H
H
e
 01 e
de
d v


 
 21
1
1
1
ee
e
H



50
2
.197,0
t
H
c dv 
 500.5,0 HHH d 
 
 12
21
'log'log  


ee
Cc
  








1
2
1
1
'
'
log
1
.


e
HCc
 
 12
21
'log'log  


ee
Ccr
  








1
2
1
1
'
'
log
1
.


e
HCcr
  









vm
c
vm
cr CC
e
H
'
'
log.
'
'
log.
1
2
11
1




2
.
d
v
H
tc
T 
)(
)(
iniciale
einiciale
z
u
uu
U


t
HT
c dv
2
.

 1
1
1
.
e
H
av

 
1.. Hmv 