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PREFÁCIO
Antes que você faça cara feia para o estudo da Álgebra, comecemos com um trecho extraído do livro “O Romance das Equações Algébricas” escrito por Gilberto G. Garbi, onde diz : ... Sim, o mundo pode ser compreendido e a Matemática é o meio de comunicação que temos com ele. Seria necessário algum outro motivo para amarmos a Rainha das Ciências, para querermos aprendê-la, para admirarmos as descobertas de Newton, Gauss, Euler e tantos outros? No entanto, muitas pessoas imaginam que detestam a Matemática. Na realidade não a detestam: simplesmente a desconhecem e não são culpadas disso. Escolas, professores, livros, em algum momento, traumatizaram-nas ou, então, jamais tiveram reais oportunidades de aprendê-la e isto as impossibilitou de saborear uma porção riquíssima dos prazeres da mente.
Uma parte importantíssima da matemática, chamada de Álgebra Linear nunca esteve tão presente como nos dias de hoje, tanto na informática como nas comunicações, onde a manipulação de Vetores e Matriz é fundamental. Só para se ter uma idéia, o método de eliminação de Gauss criado no século XVII, é hoje utilizado em computadores, com alguns aprimoramentos, para solucionar sistemas de equações lineares, resolver determinantes e matriz inversa. Matrizes e vetores são utilizados na representação de sons e imagens digitais facilitando o seu processamento posterior. Na computação gráfica não deixa de ser diferente. 
Problemas da matemática, da física, da engenharia, da economia, etc. também são solucionados através da Álgebra, já que a maioria deles quase sempre recai na resolução de um sistema de equações. 
Esta apostila, que logicamente não substitui o livro, é voltada para a disciplina Álgebra Linear, do curso de Engenharia Elétrica. Nela vamos tentar expor (sem traumatizá-los), da forma mais simples possível, vários problemas envoltos com a Álgebra, começando com uma abordagem sobre Vetores e Espaços Vetoriais, que eu diria ser uma das bases para compreendermos a Geometria Analítica e as Transformações Lineares.
Outros tópicos serão abordados como a Álgebra Matricial e o estudo de Determinantes, um pouco mais elaborados em relação aquilo que é visto no ensino médio. 
Para encerrar, gostaria de animá-los nesse estudo citando algumas frases famosas.
“O Universo é um grande livro que não pode ser compreendido a menos que antes se aprenda a entender a linguagem e a ler as letras nas quais ele está composto. Ele está escrito na linguagem matemática.” [Galileu Galilei].
“Se enxerguei mais longe é porque me apoiei nos ombros de gigantes” [Isaac Newton].
“É no meio da dificuldade que está a oportunidade” [Albert Einstein].
“Nem todas as verdades podem ser provadas; algumas delas, as mais elementares, devem ser admitidas sem demonstrações” [Euclides (300 a. C.)]. 
“O fato mais incompreensível do universo é que ele pode ser compreendido” [Albert Einstein].
E ele só pode ser compreendido por nós porque somos o único dos seres vivos capaz de falar sua língua, a Matemática. Então, vamos ao estudo que vai valer a pena!
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CAPÍTULO 1
VETORES
1.1 INTRODUÇÃO
	Há dois modos de se apresentar a noção de vetor:
Lista de números indexados: Por exemplo, a lista de dados sobre a localização e o clima de um povoado, dada por 17, 23, 25, 14, 70, nessa ordem, pode ser simbolicamente representada por:
d = (d1, d2, d3, d4, d5) = (17, 23, 25, 14, 70).
Onde d1, d2, d3, d4 e d5 representam, respectivamente, latitude, longitude, temperatura, pressão e umidade relativa do ar. Uma lista desse tipo é chamada de lista indexada, tabela linear ou vetor.
	(2) Vetores na física: Muitas grandezas físicas como temperatura, massa e corrente elétrica, são representadas apenas por um número real e são chamadas de escalares. Por outro lado, há grandezas como força, velocidade e campo elétrico que requerem não só um valor numérico, mas também uma direção e um sentido para sua descrição completa. Por exemplo, a figura 1-1 mostra um vetor força de mesma intensidade (10 N) provocando efeitos diferentes pelo fato de atuarem em direções e/ou sentidos diferentes. Portanto, são forças diferentes, embora tenham a mesma intensidade.
Fig. 1-1 Vetor na física.
1.2 VETORES NA FÍSICA E NA MATEMÁTICA
REPRESENTAÇÃO DE UM VETOR:
No espaço bi-dimensional ou tri-dimensional, os vetores podem ser representados geometricamente por setas: o comprimento da seta é proporcional à magnitude (parte numérica sem sinal) do vetor, denominado de norma ou módulo do vetor, e a direção e o sentido da seta indica a direção e o sentido do vetor. A origem da seta é denominada de ponto inicial e a ponta da seta é denominada de ponto final. A figura 1-2 mostra a representação geométrica de um vetor onde
A é o ponto inicial ou origem
B é o ponto final ou extremidade
||v||ou |v| é a norma do vetor, que equivale ao comprimento AB da seta.
Fig. 1-2 Representação geométrica de um vetor.
Nas aplicações distinguimos dois tipos de vetores:
	(1) Vetor fixo ou físico: é um vetor cujo efeito físico depende do ponto de aplicação, além da magnitude, direção e sentido. A figura 1-3 ilustra essa situação. 
Fig. 1-3 Vetor físico.
(2) Vetor livre ou geométrico: é um vetor que só depende da magnitude, direção e sentido. Ele não é afetado pelo processo de translação que possa experimentar. Apenas este tipo de vetor será considerado no nosso estudo.
VETORES EQUIVALENTES
Geometricamente falando, dois ou mais vetores livres são ditos iguais (ou equivalentes) se eles forem representados por setas paralelas de mesmo sentido e mesmo comprimento. Então escrevemos v = u para indicar que os vetores u e v são equivalentes.
» NOTA: O vetor cujo ponto inicial e final coincide tem comprimento zero e o denominamos de vetor nulo e o representamos por 0. «
ADIÇÃO DE VETORES:
As operações geométricas efetuadas com vetores são todas originárias das leis da física. Para a adição de forma geométrica existem basicamente duas regras: 
	(1) Regra do paralelogramo: Se dois vetores u e v têm o mesmo ponto inicial então eles são vistos como lados adjacentes de um paralelogramo e a sua soma u + v é o vetor representado pela seta que une os pontos iniciais de u e v ao vértice oposto do paralelogramo. A figura 1-4(a) ilustra essa situação.
			(a)					 (b)
Fig. 1-4 Adição de vetores: (a) Regra do paralelogramo; (b) Regra do triângulo.
	(2) Regra do triângulo: Se dois vetores u e v estão posicionados de modo que o ponto inicial de v coincide com o ponto final de u, então u + v será dado pela seta que une o ponto inicial de u ao ponto final de v, como mostrado na figura 1-4(b).
	
Estas duas regras tornam evidentes que
	u + v = v + u
SUBTRAÇÃO DE VETORES:
A subtração entre dois vetores consiste na soma entre um vetor e o oposto do outro, ou seja:
	u – v = u + (–v).
onde –v é o vetor oposto ao vetor v, ou seja, tem a mesma magnitude, a mesma direção, porém sentido contrário a v. A figura 1-5 exemplifica a subtração entre dois vetores u e v.
Fig. 1-5 Subtração de vetores.
	Para somar geometricamente mais de dois vetores, a maneira mais simples é fazer coincidir o ponto final do 1º com o ponto inicial do 2º, o ponto final do 2º com o ponto inicial do 3º e assim sucessivamente. O vetor resultante será representado pela seta com origem no ponto inicial do 1º vetor e extremidade no ponto final do último vetor.
MULTIPLICAÇÃO POR UM ESCALAR:
Se u é um vetor não nulo e α é um número real (escalar) não nulo, então αu é um vetor tal que
(1) ||αu|| = |α|.||u||, onde ||u|| é a norma (comprimento) de u. 
(2) se α > 0, αu tem mesma direção e mesmo sentido de u.
(3) se α < 0, αu tem mesma direção de u porém, sentido contrário.
VETORES EM SISTEMAS DE COORDENADAS:
A localização de um vetor no espaço bi ou tridimensional fica facilitada se adotarmos um sistema de coordenadaspara tal.
	(1) No espaço bidimensional (R2) adotam-se dois eixos ortogonais, x e y, conforme mostra a figura 1-6. Os escalares v1 e v2 são os componentes escalares do vetor v nas direções x e y respectivamente, equivalendo às projeções ortogonais sobre esses eixos, e representamo-lo por v = (v1, v2). Neste caso, como o ponto inicial do vetor coincide com a origem do sistema de eixos, a dupla ordenada (v1,v2) pode estar representando também o ponto (x, y) no plano; só depende da conotação que queiramos dar.
Fig. 1-6 Vetor no plano.
	(2) No espaço tridimensional (R3): Usam-se três eixos: x, y e z, ortogonais entre si adotando-se o sistema de mão direita para indicar o sentido positivo de cada eixo, conforme mostra a figura 1-7. Os escalares v1, v2 e v3 são os componentes escalares do vetor v nas direções x, y e z, respectivamente, equivalendo às projeções ortogonais sobre esses eixos, e representamo-lo por v = (v1, v2, v3). A tripla ordenada (v1, v2, v3) pode estar representando o ponto (x, y, z) ou um vetor no espaço com ponto inicial na origem, conforme a conotação que queiramos dar. 
Fig. 1-7 Vetor no R3.
	Observe que, se o componente de um vetor é nulo numa dada direção, então o vetor é ortogonal a essa direção.
	
Para somarmos ou subtrairmos vetores, algebricamente, conhecidos os seus componentes, basta somarmos ou subtrairmos os componentes de mesma direção. Por exemplo, sejam dois vetores no R3 dados por u = (1, 2, 3) e v = (–4, 5, –6), então temos:
	u + v = (1, 2, 3) + (–4, 5, –6) = (1 – 4, 2 + 5, 3 – 6) = (–3, 7, –3)
	u – v = (1, 2, 3) – (–4, 5, –6) = (1 + 4, 2 – 5, 3 + 6) = (5, –3, 9). 
O mesmo vale para a multiplicação por um escalar. Assim:
	2u = 2(1, 2, 3) = (2, 4, 6)
	3v = 3(–4, 5, –6) = (–12, 15, –18). 
Exercícios: 
1) Dados os vetores u = (4, 1) e v = (2, 6), calcular u + v e 2u. Faça um esboço gráfico dos vetores resultantes dessas operações.
2) Dados os vetores: u = (–1, 2, 1), v = (–2, 3, 4) e w = (3, 1, –2), encontrar os seguintes vetores:
	a) 2u – 2v – w		b) 2u – (v + w)		c) u + v + w.
3) Um vetor no R3 de comprimento igual a 3 unidades tem a mesma direção e sentido do eixo y. Quais os componentes desse vetor? Represente-o na forma algébrica.
4) Qual o comprimento, a direção e o sentido dos seguintes vetores? Quais eixos são ortogonais a cada um desses vetores?
	a) u = (1, 0, 0)		b) v = (0, –2, 0)		c) w = (0, 0, –5)
Se o ponto inicial do vetor não está na origem dos eixos e sim num ponto qualquer P1(x1, y1, z1) enquanto que o ponto final está em P2(x2, y2, z2) então o vetor v exemplificado na figura 1-8 será dado por
	v = P1P2 = P2 – P1 = (x2, y2, z2) – (x1, y1, z1) = (x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1).
Onde P1 indica a origem e P2 indica a extremidade.
Observe também que o vetor v é a diferença entre os vetores OP2 e OP1, ou seja, v = OP2 – OP1.
Fig. 1-8 Vetor com sua origem num ponto qualquer.
Exemplo 1: Dados os pontos P1(1, 4, 2) e P2(3, 1, 4), encontrar um vetor que aponta de P1 para P2.
Solução: P1P2 = P2 – P1 = (3, 1, 4) – (1, 4, 2) = (2, –3, 2).
Exercício; Dados os pontos P1(2, 5) e P2(4, 1), esboce o vetor P1P2 definido por esses dois pontos bem como o vetor equivalente a P1P2 que passa na origem.
VETOR EM Rn:
Embora não possamos ver um espaço de quatro ou mais dimensões ainda assim é possível estender idéias geométricas de duas e três dimensões trabalhando com as propriedades algébricas dos n componentes de um vetor cujo conjunto formado por eles constitui o que chamamos de ênuplas. Desta forma podemos ter um vetor, pertencente ao espaço n-dimensional dado por:
	v = (v1, v2, v3,..., vn)
Onde v1, v2, v3,..., vn são as ênuplas ordenada do vetor v.
Exemplo 2: Imagens digitalizadas: as imagens na tela de um monitor são constituídas de “pixel” (pontos endereçáveis na memória de um computador) que podem ser representados por um vetor de cinco componentes: v = (x, y, c, s, b), onde x, y são as coordenadas do ponto na tela; c é a cor; s é a saturação e b é o brilho.
PRINCIPAIS PROPRIEDADES DE VETORES NO Rn:
Se u, v, w são vetores no Rn e se α e β são escalares, então:
	(a) u + v = v + u			(e) (α + β)v = αv + βv
	(b) (u + v) + w = u + (v + w)		(f) α(v + w) = αv + αw
	(c) u + 0 = 0 + u = u			(g) α(βu) = (αβ)u
	(d) u + (–u) = 0				(h) (1)u = u
VETORES PARALELOS E VETORES COLINEARES:
Dois vetores de Rn são ditos paralelos ou colineares se pelo menos um dos dois vetores é um múltiplo escalar do outro, ou seja:
	v1 = αv2.
Isso implica dizer que a razão entre os componentes de mesma direção dos dois vetores é constante.
» NOTA: - O vetor nulo, 0, é paralelo a qualquer vetor do Rn.
 - Não se faz distinção entre vetor colinear e paralelo já que o vetor geométrico não sofre mudanças ao experimentar uma translação, conforme mostra a figura 1-9. «
Fig. 1-9: Vetores paralelos ou colineares.
Exemplo 3: Verificar se são paralelos os vetores u = (–2, 3, –4) e v = (–4, 6, –8).
Solução: verificar que os componentes de mesma direção são proporcionais, isto é:
	(–2)/( –4) = 3/6 = (–4)/( –8) = 1/2.
Portanto, u = ½v ou v = 2u. Então os vetores são paralelos (ou colineares). 
COMBINAÇÃO LINEAR:
Um vetor w é uma combinação linear dos vetores v1, v2, ..., vn, se w puder ser expresso na forma:
	w = c1v1 + c2v2 + ... + cnvn							(1-1)
Onde os escalares c1, c2, ..., cn são denominados de coeficientes da combinação linear.
Exemplo 4: Composição de cores RGB: as cores primárias de uma imagem colorida: vermelha-R (“Red”), Verde-G (“Green”) e azul-B (“Blue”) podem ser representadas pelos vetores r = (1,0,0), g = (0,1,0) e b = (0,0,1) respectivamente. Qualquer outra cor pode ser obtida pela combinação linear dessas três cores como segue:
	c = c1r + c2g + c3b = c1(1, 0, 0) + c2(0, 1, 0) + c3(0, 0, 1) = (c1, c2, c3). 
Onde 0 < ci < 1 são os coeficientes que representam a porcentagem de cada cor primária (pura) na mistura. A figura 1-10 mostra o cubo de cores cujos vértices representam algumas das cores resultantes.
Fig. 1-10 Cubo de cores.
Exercício: Encontre os escalares c1 e c2 de modo que o vetor w = (–12, 6) seja uma combinação linear dos vetores u = (2, –4) e v = (–5, 1).
Resposta: c1 = –1 e c2 = 2. 
NOTAÇÕES ALTERNATIVAS PARA VETORES:
A notação que acabamos de ver, ou seja, v = (v1, v2, ..., vn) expressa o vetor por uma lista ordenada de ênuplas. Como um vetor no Rn é somente uma lista de n números (componentes) ordenados de uma maneira conveniente, então qualquer notação que exiba os seus componentes em sua ordem correta é uma alternativa válida. Assim, por exemplo, podemos ter as seguintes formas
	(1) Vetor linha: 
	(2) Vetor coluna: 
1.3 PRODUTO ESCALAR E ORTOGONALIDADE
NORMA DE UM VETOR:
No sentido geométrico, norma ou magnitude é o comprimento do vetor, ou seja, é a distância entre o ponto inicial e o ponto final desse vetor calculado da seguinte forma:
	No R2: 
							
	No R3: 
	No Rn: 
							(1-2)
Exemplo 5: Encontrar a norma do vetor v = (1, –2, –5). 
Solução: 
Com as seguintes propriedades:
||v|| > 0
||v|| = 0 se, e somente se, v = 0
||αv|| = |α| ||v||
Exercício: Dado os vetores u = (1, 2, –1), v = (–3, 4, –2) e w = (–1, 0, –3), encontre as seguintes normas:
	a) ||u||	b) ||v||	c) ||w||	d) ||u + v + w||	e) ||u|| + ||v|| + ||w||	f) ||2u – 3v + w||.
Resposta: 2,44; 5,38; 3,16; 9; 10,98; 12,84.
VETOR UNITÁRIO:
Um vetor de comprimento 1 é dito unitário, ou seja, ||v|| = 1. Se v ≠ 0, então podemos obter um vetor unitário com mesma direção e sentido de v, denominado de versor de v, fazendo:
									(1-3)
Exemplo 6: Encontrar o versor do vetor v = (2, 1, –2).
	 
Solução: ||v|| = 
.
	
av = (1/3)v = (2/3, 1/3, –2/3).
BASE CANÔNICA:
Num sistema de coordenadas no R2 ou R3, os vetoresunitários nas direções de x, y e z, representados por ax, ay e az, respectivamente, formam uma base ortonormal (os vetores são ortogonais e unitários) denominada de base canônica do R3. Desta forma temos que:
	ax = (1, 0, 0)	ay = (0, 1, 0)	az = (0, 0, 1).
E qualquer vetor no R2 ou R3 pode ser escrito como uma combinação linear destes três vetores unitários.
Por exemplo, se v = (2, –3, 4), então podemos escrever:
	v = 2ax – 3ay + 4az. 
» NOTA: usa-se também a notação i, j e k, para indicar, respectivamente, os vetores canônicos na direções x, y e z. «
Exercício:
a) Duas cargas elétricas geram num dado ponto do espaço os campos elétricos dados em V/m
	E1 = 3ax – 2ay + az	e	E2 = ax + 5ay – 4az
Encontre o campo elétrico resultante nesse ponto.
b) Encontre a intensidade do campo elétrico resultante do item (a)
NORMA DE UM VETOR DADO POR DOIS PONTOS:
Se P1(x1, y1, z1) e P2(x2, y2, z2) são pontos no R2 ou R3, então a norma do vetor P1P2 ou P2P1 será dada por:
	
				(1-4)
PRODUTO ESCALAR DE DOIS VETORES:
É um tipo de multiplicação que será muito útil para encontrar ângulos entre vetores e para determinar se dois vetores são ortogonais. Definimos da seguinte forma: se u = (u1, u2, ..., un) e v = (v1, v2, ..., vn), então o produto escalar (também denominado de produto interno), representado por u·v, será dado pela equação:
	u·v = u1v1 + u2v2 + ... + unvn.							(1-6)
Note que o resultado desse produto é um número (escalar).
Aplicação: Cálculo dos dígitos verificadores do CPF.
Exemplo 7: O cálculo usa a multiplicação escalar de vetores, seguindo os seguintes procedimentos:
Tomando como exemplo o CPF: 043 725 161 – d1d2 vamos determinar os dígitos d1 e d2.
1º Passo: definimos o vetor a com os dígitos do CPF: a = (0, 4, 3, 7, 2, 5, 1, 6, 1) e o vetor b com os números naturais de 1 a 9: b = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9).
2º Passo: fazemos o produto escalar: a·b = 149.
3º Passo: calculamos o primeiro dígito: d1 = 
.
4º Passo: eliminamos o primeiro dígito do CPF e acrescentamos d1 no final.
Assim, definimos o nove vetor: c = (4,3,7,2,5,1,6,1,6) e b = (1,2,3,4,5,6,7,8,9). E repetimos os passos 2 e 3 para encontrar:
	d2 = 
Portanto, o CPF completo será: 043 725 161 – 69.
Exercício: Dado os vetores u = (4, m, –1), v = (m, 2, 3) e os pontos A(4, –1, 2) e B(3, 2, –1), determinar o valor de m tal que u · (v + BA) = 5.
Resposta: m = 7/3.
PROPRIEDADES DO PRODUTO ESCALAR:
Considere os vetores u, v, w e o escalar α. Então temos:
	
u · v = v · u
v · v = ||v||2.
u · (v + w) = u · v + u · w.
α(u · v) = (αu) · v.
v · v > 0, e v · v = 0 se, e somente se, v = 0.
0 · v = v · 0 = 0
Exercício:
1) Provar que ||u + v||2 = ||u||2 + 2u · v + ||v||2
 
2) Provar que (u + v) · (u – v) = ||u||2 – ||v||2.
ÂNGULO ENTRE VETORES:
Se u e v são dois vetores não nulos então definimos o ângulo entre eles como o menor ângulo não negativo, θ, dado por:
	
								(1-7)
Demonstração: considerando a figura 1-11, temos, usando a lei dos cosenos:
	||v – u||2 = ||u||2 + ||v||2 – 2||u|| ||v||cosθ.						(1-8)
Também, sabendo que o produto escalar de um vetor com ele mesmo é sua norma ao quadrado temos:
	||v – u||2 = (v – u) · (v – u)
		= (v – u) · v – (v – u) · u
		= v · v – u · v – v · u + u · u
		= ||v||2 – 2u·v + ||u||2.							(1-9)
Igualando as equações (1-9) e (1-8), tiramos que:
	u · v = ||u|| ||v||cosθ.								(1-10)
da equação (1-10) então tiramos o cosθ para obtermos a equação (1-7).
Observações:
 
	a) Geometricamente, a equação (1-10) também serve para definir o produto escalar de dois vetores. 
	b) Se u · v > 0, então cosθ > 0, o que implica em 0o < θ < 90º. [Figura 1-11(a)].
	c) Se u · v < 0, então cosθ < 0, o que implica em 90º < θ < 180º. [Figura 1-11(b)].
			 (a)					(b)
Fig. 1-11: ângulo entre dois vetores.
Exemplo 8: encontre o ângulo entre a diagonal de um cubo e uma de suas arestas de tamanho a.
Solução: localizando um dos vértices do cubo na origem do sistema de eixos coordenados, então as arestas que concorrem nesse vértice podem ser representadas pelos vetores:
	v1 = (a, 0, 0) no eixo x, v2 = (0, a, 0) no eixo y e v3 = (0, 0, a) no eixo z
Portanto, a diagonal que parte desse vértice será representada pelo vetor d = (a, a, a), logo, o ângulo dessa diagonal com uma das arestas será:
cosθ = (d · v1)/||d|| ||v1|| = 
 	ou θ ≈ 54,7º
 
Exemplo 9: Calcular o ângulo entre os vetores u = (2, 1, –5) e v = (5, 0, 2)
Solução: ||u|| = 
. 	
	 
u · v = 2(5) + 1(0) + (-5)2 = 0
Substituindo esses valores na equação (1-7), encontramos:
	Cosθ = 0 ou θ = 90º.
Exercício: Os pontos A, B e C são vértices de um triângulo eqüilátero cujo lado mede 10 cm. Calcule o produto escalar dos vetores AB e AC.
Resposta: 50.
ORTOGONALIDADE:
Dois vetores u e v no Rn são ditos ortogonais se o produto escalar entre eles for nulo, isto é:
	u · v = 0.									(1-11)
No sentido geométrico, ou seja, no R2 ou R3, isto implica dizer que os vetores formam entre si um angulo de 90o.
Um conjunto não vazio de vetores no Rn é denominado conjunto ortogonal se cada par de vetores distintos do conjunto é ortogonal. Além disso, se todos os vetores desse conjunto forem unitários, o conjunto é dito conjunto ortonormal.
Exercício: Mostre que o conjunto de vetores dados a seguir forma um conjunto ortonormal.
	v1 = (1/5, 2/5, 2/5, 4/5), v2 = (–2/5, 1/5, –4/5, 2/5), v3 = (–4/5, 2/5, 2/5, –1/5).
DESIGUALDADE DE CAUCHY-SCHWARTZ.
	Essa desigualdade nos diz que o módulo do produto escalar de dois vetores nunca é maior que o produto das normas desses dois vetores, ou seja
	|u · v| < ||u|| ||v||.								(1-12) 
DESIGUALDADE TRIANGULAR.
Seja um triângulo qualquer formado pelos vetores u, v e u + v, conforme mostra a figura 1-12(b). Então, como em qualquer triângulo, o lado maior nunca é maior que a soma dos outros dois, então podemos escrever que
	||u + v|| < ||u|| + ||v||.								(1-13)
Desse teorema conclui-se que a menor distância entre dois pontos é a linha reta. Por exemplo, na figura 1-12(b), se o ponto C está fora da reta AB, isso significa que:
	AB < AC + CB.									(1-14)
Portanto, a única condição para que a igualdade seja satisfeita (AB = AC + CB) é que o ponto C esteja sobre AB. Isso implica na condição de alinhamento dos pontos A, B e C.
		 (a)					 (b)
Fig. 1-12.
 
PROJEÇÃO DE UM VETOR:
Sejam os vetores u e v dois vetores não nulos e θ o ângulo entre eles. Pretendemos calcular o vetor w que representa a projeção de u sobre v. A figura 1-13 ilustra duas situações possíveis.
			(a)					 (b)
Fig. 1-13: projeção de um vetor sobre outro.
Do triângulo retângulo da figura 1-13 tiramos:
	||w|| = ||u||cosθ = 
					(1-15)
	w = kv ou ||w|| = |k| ||v|| ou |k| = 
						(1-16)
Substituindo (1-15) em (1-16) encontramos:
	k = 
, então:
	w = kv = 
								(1-17)
Exemplo 10: determine o vetor projeção de u = (2, 3, 4) sobre o vetor v = (1, –1, 0).
Solução: u · v = (2, 3, 4)·(1, –1, 0) = 2 – 3 + 0 = –1.
	
||v||2 = 12 + (–1)2 + 02 = 2.
Substituindo na equação (1-17) encontramos:
	w = (–1/2, 1/2, 0).
 Exemplo 11: Dados os pontos A(1, 2, –1), B(–1, 0, –1) e C(2, 1, 2), pede-se:
 
Mostrar que o triângulo ABC é retângulo em A.
Calcular a medida da projeção do cateto AB sobre a hipotenusa BC.
Determinar o pé da altura do triângulo relativa ao vértice A.
Solução (a): Considerando a figura 1-14 temos, com A = 90º, que AB·AC = 0, ou seja:
	
(–2, –2, 0) · (1, –1, 3) = 0. Então, AB e AC são perpendiculares em A.
Solução (b): Fazendo BA = u, BC = v e BH = w, então w é a projeção de u sobre v, logo utilizando a equação (1-17) encontramos:
						 
	w = (24/19,8/19, 24/19) e ||w|| = BH = 
.
Fig. 1-14.
Solução (c): Seja H(x, y, z), então do item (b) tiramos:
	H – B = (x, y, z) – (–1, 0, –1) = w = (24/19, 8/19, 24/19). Logo:
	
x + 1 = 24/19, y = 8/19, z + 1 = 24/19.
x = 5/19, y = 8/19, z = 5/19. Então H(5/19, 8/19, 5/19).
1.4 PRODUTO VETORIAL E PRODUTO MISTO.
PRODUTO VETORIAL:
Um produto específico do R3, chamado de produto vetorial, é definido da seguinte maneira: seja u = x1ax + y1ay + z1az e v = x2ax + y2ay + z2az, então chamamos de produto vetorial e representamos por u(v (ou u(v) ao vetor:
	u(v = (y1z2 – y2z1)ax – (x1z2 – x2z1)ay + (x1y2 – x2y1)az.				(1-18)
Cada componente desse vetor pode também ser expresso na forma de um determinante de 2ª ordem de forma que:
	
					(1-19)
Ou compactamente pelo determinante de 3ª ordem:
	
								(1-20)
Exemplo 12: dados os vetores u = 5ax + 4ay + 3az e v = ax + az, encontre o produto vetorial u(v.
Solução: Utilizando a equação (1-19) ou (1-20) ou (1-21) encontramos:
	u(v = (4 – 0)ax – (5 – 3)ay + (0 – 4)az = 4ax – 2ay – 4az.
Note que, se trocarmos a ordem desse produto tem-se:
	v(u = (0 – 4)ax – (3 – 5)ay + (4 – 0)az = – 4ax + 2ay + 4az.
O que resulta num vetor oposto ao anterior, ou seja: u(v = – (v(u).
PROPRIEDADES DO PRODUTO VETORIAL:
Algumas das propriedades do produto vetorial estão diretamente relacionadas com as propriedades dos determinantes. Assim temos:
	(I) u(u = 0, para qualquer u.
É fácil verificar pela equação (1-20) que, neste caso, o determinante terá duas linhas iguais, resultando assim num determinante nulo. Como conseqüência dessa propriedade tem-se:
	ax(ax = ay(ay = az(az = 0.
	(II) u(v = –(v(u).
Isso equivale a trocar a posição de duas linhas no determinante da equação (1-20), o que implica na troca do sinal do determinante.
	(III) u((v + w) = u(v + u(w.
	(IV) mu(v = m(u(v), onde m é um escalar.
	(V) u(v = 0 se, e somente se, um dos vetores é nulo ou se u e v são colineares ou paralelos. 
	(VI) u(v é simultaneamente ortogonal a u e v, isto é, u(v é ortogonal ao plano formado por
 u e v.
Para demonstrar essa propriedade basta verificar que: u·(u(v) = v·(u(v) = 0.
	(VII) O sentido de u(v é dado pela regra da mão direita ou do parafuso de rosca direita conforme sugere a figura 1-15. Conseqüentemente tem-se:
	ax ( ay = az, ay ( az = ax, az ( ax = ay.
Fig. 1-15: direção e sentido do produto vetorial.
	(VIII) ||u(v||2 = ||u||2 ||v||2 – (u · v)2.						 (1-21)
Essa equação é conhecida como identidade de Lagrange que também pode ser expressa como:
	(u(v) · (u(v) = (u · u)(v · v) – (u · v)2.						 (1-22)
	(IX) ||u(v|| = ||u|| ||v||senθ, onde θ é o ângulo entre u e v.			 (1-23)
	
Para demonstrar essa propriedade usa-se a identidade de Lagrange e a equação (1-10).
	(X) O produto vetorial não é associativo, ou seja, em geral:
	u((v(w) ≠ (u(v)(w.
INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DO PRODUTO VETORIAL:
Geometricamente, a norma do produto vetorial entre u e v é igual a área do paralelogramo formado por esses dois vetores. Para a demonstração vamos considerar a figura 1-16.
Fig. 1-16: Paralelogramo formado por u e v.
A demonstração é muito fácil. Sabemos que a área de um paralelogramo é dada pelo produto entre base e altura. Então temos da figura 1-16:
	Base = ||u||, Altura = h = ||v||senθ, então:
	Área = ||u|| ||v||senθ.
Mas pela propriedade IX, ||u|| ||v||senθ = ||u(v||. Logo:
	Área = ||u(v||.									(1-24)
Exemplo 13: Determinar um vetor unitário ortogonal aos vetores u = (2, –6, 3) e v = (4, 3, 1).
Solução: Pela propriedade (VI), o vetor ortogonal, w é dado por:
	w = u(v ou – w = v(u.
Então, usando a equação (1-20) encontramos:
	w = –15ax + 10ay +30az ou –w = 15ax – 10ay – 30az.
Logo, o vetor unitário na direção de w, com ||w|| = 35, será:
	aW = w / ||w|| = (–3/7, 2/7, 6/7) ou aW = –w / ||w|| = (3/7, –2/7, –6/7).
Exemplo 14: Dado os vetores u = (1, 2, –1) e v = (0, –1, 3), calcular a área do paralelogramo formado por 3u e v – u.
Solução: 3u = (3, 6, –3) e v – u = (–1, –3, 4). Então, a área do paralelogramo será dada pela equação (1-24):
3u((v – u) = (15, –9, –3).
 	 ________________ __
Área = √152 + (–9)2 + (–3)2. = 3√35. 
Exemplo 15: Calcular a área do triângulo cujos vértices são: A(1, –2, 1), B(2, –1, 4) e C(–1, –3, 3).
Solução: Raciocinando sobre a figura 1-16 vemos que a área do triângulo ABC é metade da área do paralelogramo ABCD. Portanto temos:
	Área = ½ ||AB(AC||
Onde AB = B – A = (1, 1, 3), AC = C – A = (–2, –1, 2) e AB(AC = (5, –8, 1). Logo:
 _____________ __
	Área = ½ √52 + (–8)2 + 12. = (3/2)√10.
Exercício: Mostrar que o quadrilátero de vértices consecutivos A(1, –2, 3), B(4, 3, –1), C(5, 7, –3) e 
D(2, 2, 1) é um paralelogramo e calcular sua área.
Resposta: Área = 9,43 ua.
PRODUTO MISTO:
Dados os vetores u = x1ax + y1ay + z1az, v = x2ax + y2ay + z2az e w = x3ax + y3ay + z3az, tomados nessa ordem, chama-se de produto misto, denotado por (u,v,w), ao número real:
	(u,v,w) = u · (v(w).								(1-25)
Pode-se verificar facilmente que
	
								(1-26)
	
Exemplo 16: Calcular o produto misto dos vetores: u = (2, 3, 5), v = (–1, 3, 3) e w = (4, –3, 2), nessa ordem.
Solução: Usando a equação (1-26) encontramos:
	(u,v,w) = 27.
PROPRIEDADES DO PRODUTO MISTO: 
	(I) (u,v,w) = 0 se um dos vetores é nulo, ou se dois deles são colineares, ou se os três são coplanares.
	(II) O produto misto independe da ordem circular dos vetores, isto é:
	(u,v,w) = (v,w,u) = (w,u,v).
Entretanto, o produto misto muda de sinal se trocar as posições de dois vetores consecutivos. Resulta dessa propriedade, denominada propriedade cíclica, que os sinais · e ( permutam entre si no produto misto, isto é:
	u · (v(w) = (u(v) · w.
	(III) (u,v,w + r) = (u,v,w) + (u,v,r).
	(IV) (u,v,mw) = (u,mv,w) = (mu,v,w) = m(u,v,w).
» NOTA: O produto vetorial e o produto misto são definidos apenas no R3. «
Exemplo 17: Verificar se são coplanares os vetores: u = (3, –1, 4), v = (1, 0, –1) e w = (2, –1, 0).
Solução: Eles serão coplanares se o produto misto entre eles for zero. Então, usando a equação (1-26) encontramos que:
	(u,v,w) = u · (v(w) = –5
Como (u,v,w) ≠ 0, então os vetores u, v, w não são coplanares.
 Exemplo 18: Verificar se os pontos A(1, 2, 4), B(–1, 0, –2), C(0, 2, 2) e D(–2, 1, –3) estão no mesmo plano.
Solução: os quatros pontos estarão no mesmo plano se forem coplanares os vetores: AB, AC e AD. Então temos:
	AB = (–2, –2, –6), AC = (–1, 0, –2), AD = (–3, –1, –7).
Usando a equação (1-26) encontramos que:
	(AB,AC,AD) = 0.
Logo, os quatros pontos estão no mesmo plano.
INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DO PRODUTO MISTO:
Geometricamente, o produto misto u·(v(w) tem módulo igual ao volume do paralelepípedo de arestas determinadas por u, v e w. Para demonstração, considere a figura 1-17.
Fig. 1-17 Interpretação do produto misto.
	Volume de um paralelepípedo = Área da base x Altura
	Área da base = Ab = ||v(w||, Altura = h = ||u||cosθ. Então:
	Volume = Abxh = ||v(w|| ||u||cosθ, ou seja:
	Volume = |u·(v(w)|.								 (1-27)
 
Exemplo 19: Dados os vetores u = (x, 5, 0), v = (3, –2, 1) e w = (1, 1, –1), calcular o valor de x para que o volume do paralelepípedo determinado por u, v e w seja igual a 24.
Solução: fazendo o produto misto dos três vetores através da equação (1-26), encontramos a equação:
	(u,v,w) = x + 20.
	Volume = |x + 20| = 24
	x + 20 = 24 ou –x – 20 = 24
Donde tiramos:
	x = 4 ou x = –44.
�
PROBLEMÁTICA 
1) Dado os vetores da figura P1-1, mostrar, num gráfico em escala, um representantedo vetor:
a) u – v b) v – u c) –v – 2u d) 2u – 3v.
Fig. P1-1.
2) Determinar o vetor w na igualdade 3w + 2u = (1/2)v + w. sendo dados u = (3, –1) e v = (–2, 4).
	
3) Encontrar os escalares a1 e a2 tais que w = a1u + a2v, sendo u = (1, 2), v = (4, –2) e w = (–1, 8).
4) Dado os pontos A(–1, 2), B(3, –1) e C(–2, 4), determinar, usando vetores, o ponto D(x, y) de modo que CD = ½AB.
	
5) Dado os pontos P(1, 2, 4), Q(2, 3, 2) e R(2, 1, –1), determinar as coordenadas de um ponto S tal que P, Q, R e S sejam vértices de um paralelogramo.
6) Determine os valores de m e n para que sejam paralelos os vetores:
u = (m+1, 3, 1) e v = (4, 2, 2n – 1).
7) Encontrar, usando vetores, as expressões das coordenadas do ponto médio do segmento de reta de extremidades A(x1, y1) e B(x2, y2).
8) Usando a desigualdade triangular e também usando produto vetorial verificar se são colineares os pontos:
A(–1, –5, 0), B(2, 1, 3) e C(–2, –7, –1)
A(2, 1, –1), B(3, –1, 0) e C(1, 0, 4).
9) Dado os vetores u = 4ax – 2ay – az, v = 3ax – ay + 2az e w = 5ay – 3az, encontre
	a) u . v		b) v . (u – w)	c) os ângulos entre u e v e u e w. 
10) Sabendo que a distância entre os pontos A(–1, 2, 3) e B(1, –1, m) é 7, calcular m.
11) Calcular o ângulo entre os vetores u = (1, 1, 4) e v = (–1, 2, 2).
12) Determinar, usando vetores, os ângulos internos do triângulo ABC, sendo A(3, –3, 3), B(2, –1, 2) e C(1, 0, 2).
	
13) Provar que o triângulo de vértices A(2, 3, 1), B(2, 1, –1) e C(2, 2, –2) é um triângulo retângulo.
14) Determinar um vetor ortogonal aos vetores v1 = (1, –1, 0) e v2 = (1, 0, 1).
15) Encontre o versor de cada um dos vetores abaixo e em seguida calcule a norma de cada versor obtido.
	a) u = (3, –4), b) v = (0, 2, 0), c) w = (4, –2, –3, 8).
16) Dados u = 3ax – 4ay + 2az, v = 2ax + 5ay – 3az e w = 4ax + 7ay + 2az, onde ax, ay e az são os vetores da base canônica, calcule:
	a) 2u – 3v, b) 3u + 4v – 2w, c) u·v, d) ||u||, ||v|| e ||w||.
17) Dado os vetores u = (2, –2, 3), v = (1, –3, 4) e w = (3, 6, –4), encontre o valor de cada uma das expressões abaixo.
	a) ||u + v|| b) ||u|| + ||v|| c) ||u – v|| d) ||u|| – ||v|| e) ||3u – 5v + w||
18) Seja v = (–2, 3, 0, 6). Encontre todos os escalares k tais que ||kv|| = 5.
19) Considerando os vetores do problema 17, encontre o volume do paralelepípedo formado por eles.
20) Considerando os vetores do problema 17, encontre os ângulos formados entre eles.
21) Um vetor a do plano xy tem comprimento de 9 unidades e aponta na direção e sentido que está a 120º anti-horário a partir do eixo x positivo e um vetor b naquele plano tem um comprimento de 5 unidades e aponta na direção y positiva. Encontre a · b.
22) Resolva a equação 5x – 2v = 2(w – 5x) em x, sabendo que v = (1, 2, –4, 0) e w = (–3, 5, 1, 1).
23) Verifique a validade da desigualdade de Cauchy-Schwartz para os pares de vetores:
	a) u = (3,2) e v = (4, –1), b) u = (–3, 1, 0) e v = (2, –1, 3)
24) Para quais valores de k, se houver, são u e v ortogonais?
 
	a) u = (2, k, k) e v = (1, 7, k) b) u = (k, k, 1) e v =( k, 5, 6)
25) Use vetores para encontrar os co-senos dos ângulos internos do triângulo de vértices A(0, –1), B(1, –2) e C(4, 1).
26) Os campos magnéticos atuando num dado ponto do espaço são dados por
	H1 = –2ax + 3ay +az,	H2 = 5ax – 4ay + az,	H3 = –2H1.
Encontre o campo magnético resultante, bem como a sua intensidade. 
27) Determinar o vetor projeção de u = (2, 3, 4) sobre o vetor v = (1, –1, 0).
28) Determinar um vetor unitário simultaneamente ortogonal aos vetores u = (2, –6, 3) e v = (4, 3, 1).
29) Sejam os vetores: u = (3, 1, –1) e v = (a, 0, 2). Calcular o valor de a para que a área do paralelogramo determinado por u e v seja igual a 2√6.
30) Determinar o valor de k para que os seguintes vetores sejam coplanares:
u = (2, –1, k), v = (1, 0, 2) e w = (k, 3, k)
u = (2, 1, 0), v = (1, 1, –3) e w = (k, 1, –k).
31) Dado os pontos A(1, –2, 3), B(2, –1, –4), C(0, 2, 0) e D(–1, m, 1), determinar o valor de m para que seja de 20 o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores AB, AC e AD.
32) Dados os pontos A(1, –2, 3), B(2, –1, –4), C(0, 2, 0), encontre
AB, AC e BC.
||AB||, ||AC|| e ||BC||.
||AB|| + ||AC|| + ||BC||.
||AB + AC + BC||.
33) Determinar um vetor unitário ortogonal aos vetores u = (2, –1, 1) e v = (0, 2, 0).
34) O paralelogramo ABCD é determinado pelos vetores AB e AD. Sendo M e N os pontos médios de DC e AB, respectivamente, calcule:
	a) AD + AB	b) BA + DA	c) AC – BC	d) NA + BC	
	e) MD + MB	f) BM – ½ DC.
35) A direção de propagação de um onda eletromagnética é muitas vezes perpendicular aos campos elétrico e magnético que compõem essa onda. Se as direções dos campos elétrico e magnético de certa onda é dada, respectivamente, pelos vetores E = 2ax –ay + az e H = –ax + 3ay + 2az, encontre um vetor que dá a direção de propagação dessa onda
36) Verifique se os CPF dados abaixo são CPF validos.
044 474 842 – 37.
159 842 375 – 20.
37) Encontre a + b + c considerando os vetores da figura P1-2.
Fig. P1-2.
38) Considere o triângulo da figura P2-1 e mostre que a(b = b(c = c(a.
39) Considerando o resultado do problema 38, deduza a lei dos senos para a trigonometria plana.
40) Prove que se ||u + v||2 = ||u||2 + ||v||2, então u e v são ortogonais.
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