(4) Matrizes e Álgebra Matricial

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CAPÍTULO 4
MATRIZES E ÁLGEBRA MATRICIAL
4.1 EXEMPLOS DE MATRIZES.
Uma informação numérica é muitas vezes, fornecida em tabelas denominadas de matrizes.
Exemplo 1: Número de horas, por disciplina, estudadas por uma pessoa durante os dias da semana (Tabela 4-1)
TABELA 4-1: Número de horas estudadas por disciplina, por dia da semana.
	
	SEG
	TER
	QUA
	QUI
	SEX
	SAB
	DOM
	MAT.
	2
	1
	2
	0
	3
	0
	1
	ING.
	2
	0
	1
	3
	1
	0
	1
	QUI.
	1
	3
	0
	0
	1
	0
	1
	FIS.
	1
	2
	4
	1
	0
	0
	2
Abstraindo-se as legendas podemos representar essa tabela pela matriz:
	
Além de descrever informações tabulares, as matrizes são úteis para descrever conexões entre objetos, por exemplo: conexões entre cidades por linhas aéreas, conexões entre elementos de um circuito, etc. Neste caso os objetos conectados são representados geometricamente por vértices ou nós, e a conexão entre eles, por retas ou arcos orientados (com setas). O diagrama assim obtido é denominado de grafo.
Exemplo 2: A figura 1-1 mostra um grafo que descreve as linhas aéreas existentes entre quatro cidades. As setas nas arestas distinguem entre conexões de ida e de volta ou só de ida. Esse tipo de grafo (com setas) é dito grafo orientado. 
	Um grafo orientado pode ser descrito por uma matriz n(n denominada matriz de adjacência ou matriz de incidência, onde o elemento aij = 1 se existir uma conexão do vértice i para o vértice j, caso contrário aij = 0. 
				 (a)				 (b)
Fig. 1-1 (a) Grafo orientado; (b) Matriz de adjacência.
Matrizes também são usadas, por exemplo, para resolver sistemas lineares, para armazenar e manipular informações num computador ou ainda como ferramentas na representação e transmissão de imagens e sons digitalizados.
	Neste capítulo consideraremos matrizes como objetos matemáticos próprios e definiremos algumas operações básicas sobre elas.
NOTAÇÃO E TERMINOLOGIA:
	Matriz é um arranjo retangular de números, denominados de entradas, de dimensão m(n, onde m é o número de linhas e n é o número de colunas. Alguns exemplos são mostrados a seguir:
Exemplo 3: Exemplos de matrizes de diversas dimensões.
 
 
 
 
	 Matriz 2(3	 Matriz 3(2	 Matriz 1(4 Matriz 4(1 Matriz 3(3.
Em geral, uma matriz A, de dimensão m(n é denotada conforme equação (4-1), onde aij representam as entradas da matriz.
�� EMBED Equation.3 						 (4-1)
Ou abreviadamente por
	A = [aij], onde i = 1,2,..., m e j = 1, 2, ..., n.
Se m = n, a matriz é dita quadrada. Neste caso, as entradas: a11, a22, ..., ann formam o que denominamos de diagonal principal. A quinta matriz do exemplo 3 é uma matriz quadrada 3(3 (ou de ordem 3) onde a diagonal principal é formada pelas entradas: 0,5; 0,75; 3.
	Também utilizamos o símbolo (A)ij para denotar o valor da entrada na linha i e coluna j. Assim, considerando a primeira matriz do exemplo 3 temos:
	(A)11 = 1, (A)12 = –4, (A)13 = 5, (A)21 = 0, (A)22 = 3 e (A)23 = –2.
MATRIZ NULA:
Uma matriz, de qualquer ordem, cujas entradas são todas nulas é denominada de matriz nula e denotada por 0.
MATRIZ-LINHA E MATRIZ-COLUNA:
	Uma matriz-linha é uma matriz com uma linha e n colunas, também vista como um vetor-linha. Uma matriz-coluna é uma matriz com m linha e uma coluna, também vista como um vetor-coluna.
Exemplo 4: Dada a matriz a seguir:
	
podemos ver essa matriz como uma lista de vetores-linha ou uma lista de vetores-coluna, ou seja, A pode ser subdividida em vetores-linha e representada por:
 onde: r1 = [1 2 –3 4], r2 = [–2 0 2 5] e r3 = [0 3 –1 7]
ou A pode ser subdividida em vetores-coluna e representada por:
onde:	
4.2 OPERAÇÕES COM MATRIZES.
IGUALDADE DE MATRIZES:
Duas matrizes são iguais se elas têm as mesmas dimensões e suas entradas correspondentes são iguais. Em notação matricial temos:
	Se A = [aij] e B = [bij], então, A = B se e só se aij = bij para todo i = 1,2,..., m e j = 1,2,...,n.
Exemplo 5: Dadas as matrizes a seguir, encontre os valores de x, y, z e w para que A = B.
 
Solução: Se A = B, então igualando as entradas correspondentes temos:
	x + y = 3; 2z + w = 7, x – y = 1 e z – w = 5. Donde tiramos:
	x = 2, y = 1, z = 4 e w = –1.
 
ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO:
Se A e B são matrizes de mesmas dimensões, então, as matrizes resultantes da soma ou da subtração terão as seguintes entradas:
	(A + B)ij = (A)ij + (B)ij = aij + bij. Para a adição. 			 		(4-2)
	(A – B)ij = (A)ij – (A)ij = aij – bij. Para a subtração. 			 		(4-3)
MULTIPLICAÇÃO POR UM ESCALAR:
Se A é uma matriz e ( é um escalar, então a matriz (A é uma matriz com entradas:
	((A)ij = ((A)ij = (aij.								 (4-4)
Exemplo 6: Dadas as tabelas 4-2 e 4-3 a seguir, monte uma tabela que dê a produção por produto e por região nos anos de 2006 e 2007 conjuntamente. Se a previsão para a safra de 2008 é o triplo da produção de 2006, monte também uma tabela para mostrar a estimativa para 2008.
TABELA 4-2: Produção de grãos (em toneladas) – Ano 2006.
	
	Soja
	Feijão
	Arroz
	Milho
	Região A
	3000
	200
	400
	600
	Região B
	700
	350
	700
	100
	Região C
	1000
	100
	500
	800
 
TABELA 4-3: Produção de grãos (em toneladas) – Ano 2007.
	
	Soja 
	Feijão
	Arroz
	Milho
	Região A
	5000
	50
	200
	0
	Região B
	2000
	100
	300
	300
	Região C
	2000
	100
	600
	600
Solução: A produção conjunta dos anos 2006 e 2007 será a soma das duas matrizes:
E a estimativa para 2008 será:
	
Exercício: Dadas as matrizes a seguir, encontre: (a) A + B, (b) 2A – 3B.
 	 
Propriedades: Se A, B e C são matrizes e ( e ( são escalares, então:
	(I) (A + B) + C = A + (B + C)
	(II) A + 0 = 0 + A = A		
	(III) A + (–A) = (–A) + A = 0	
	(IV) A + B = B + A		
	(V) ((A + B) = (A + (B
	(VI) (( + ()A = (A + (A
	(VII) ((A = (((A)
	(VIII) 1A = A 
MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES: 
Multiplicar duas matrizes de mesmas dimensões, do mesmo modo como se fez com a adição, ou seja, multiplicando as entradas correspondentes não traz muita utilidade prática. Uma definição que é mais adequada a várias aplicações, porém mais complexa, vem do contexto de sistemas lineares. Começaremos sua definição por um caso particular que é o produto de uma matriz linha, A = [aj] de n entradas, por uma matriz coluna, B = [bi] de m entradas, com n = m. O resultado será um escalar (ou uma matriz 1(1) dado por:
				 
	AB = 
 = a1b1 + a2b2 + ... anbn = 
.		(4-5)
				 
Observe que esse produto é idêntico a um o produto escalar onde A e B são os vetores. Entretanto, se invertermos a ordem do produto, isto é, se multiplicarmos uma matriz coluna por uma matriz linha, o resultado não é mais um escalar.
Exercício: Encontrar o produto da matriz-linha cujas entradas são: 7, –4, 5, pela matriz-coluna cujas entradas são: 3, 2, –1.
Resposta: [8].
 	Agora, vamos definir o caso geral de multiplicação de matrizes. Sejam as matrizes A = [aij]m(p e B = [bij]p(n tais que o número de colunas de A é igual ao número de linhas de B, ou seja, A tem dimensão m(p e B tem dimensão p(n. Então, o produto C = AB (nesta ordem) é a matriz de dimensão m(n cujas entradas cij são obtidas multiplicando-se a linha i de A pela coluna j de 
, isto é:
					
	C = [cij], cij = ai1b1j + ai2b2j + ... + aipbpj = 
				 (4-6)
						
Observe, portanto, que só é possível multiplicar duas matrizes se o número de colunas da 1ª matriz for igual ao número de linhas da 2ª matriz.
	Se AB = 0, não implica que A = 0 ou B = 0.
Exemplo 7: Encontrar o produto AB das seguintes matrizes:
 
 Solução: (AB)11 = 1(2) + 3(5) = 17	(AB)12 = 1(0) + 3(–2) = –6(AB)13 = 1(–4) + 3(6) = 14	(AB)14 = 1(1) + 3(–1) = –2
	 (AB)21 = 2(2) + (–1)5 = –1	(AB)22 = 2(0) + (–1)(–2) = 2
	 (AB)23 = 2(–4) + (–1)6 = –14	(AB)24 = 2(1) + (–1)(–1) = 3.
Logo, temos:
Note que é possível encontrar qualquer entrada da matriz produto sem efetuar o produto matricial completo. Observe também que, neste exemplo, não é possível efetuar o produto BA. Por quê?
Exercício: Encontre o produto da matriz coluna de entradas 1, 2, –3 e 4 pela matriz linha de entradas 
–1, 0, 3 e 2, nessa ordem. 
Exemplo 8: A tabela 4-4 nos fornece a quantidade das vitaminas x, y e z contidas em cada unidade dos alimentos I e II. Se ingerirmos 5 unidades do alimento I e 2 unidades do alimento II, quanto consumiremos de cada tipo de vitamina?
TABELA 4-4: Consumo de vitaminas por alimento.
	
	x
	y
	z
	Alimento I
	4
	3
	0
	Alimento II
	5
	0
	1
Solução: Podemos representar o consumo dos alimentos I e II (nesta ordem) pela matriz consumo: (5 2). Então, a quantidade de cada vitamina ingerida será o produto:
	
Isto é, serão ingeridas 30 unidades de vitamina x, 15 de y e 2 de z.
Exercício:
1) Considerando o exemplo anterior, se os custos dos alimentos dependerem somente do seu conteúdo vitamínico e soubermos que os preços por unidade de vitamina x, y e z são, respectivamente, R$1,50; R$3,00 e R$5,00, quanto pagaríamos pela porção de alimentos indicada anteriormente?
Resposta: R$100,00.
2) Encontre a matriz produto AB sendo 
Resposta: AB = 0.
 
Teorema: Se A é uma matriz m(n, então vale as seguintes relações para quaisquer vetores-coluna u e v em Rn e qualquer escalar (:
	(a) A((u) = ((Au)	(b) A(u + v) = Au + Av.
Propriedades do produto matricial: Sejam A, B e C matrizes e ( um escalar, então:
	(I) (AB)C = A(BC)
	(II) A(B + C) = AB +AC	(IV) ((A)B = A ((B)
	(III) (B + C)A = BA + CA.
MATRIZ TRANSPOSTA:
	A transposta da matriz A, denotada por AT é a matriz obtida quando se permutam as linhas e colunas.
Exemplo 9: A transposta da matriz 
 é a matriz 
Propriedades: Se A e B são matrizes e ( um escalar, então:
	(I) (A + B)T = AT +BT(III) ((A)T = (AT
	(II) (AT)T = A
	(III) ((A)T = (AT
	(IV) (AB)T =BTAT.
TRAÇO DE UMA MATRIZ
	Se A é uma matriz quadrada, então o traço de A, denotado por tr(A), é a soma das entradas da diagonal principal, ou seja:
	tr(A) = a11 + a22 + ... + ann.							 (4-7)
Exemplo 10: Considerando a matriz A do exemplo 9, encontramos:
	tr(A) = 1 + 5 + 9 = 15.
Propriedades: Se A e B são matrizes quadradas de mesmo tamanho e λ é um escalar, então:
	(I) tr(AT) = tr(A)
		
	(II) tr(λA) = λtr(A)
	(III) tr(A + B) = tr(A) + tr(B)
	(IV) tr(A – B) = tr(A) – tr(B)
	(V) tr(AB) = tr(BA)
PRODUTO INTERNO E EXTERNO:
Sejam u e v vetores-coluna em Rn, então o produto uTv é denominado de produto interno de u com v enquanto que o produto uvT é denominado de produto externo de u com v.
Exemplo 11: Sejam u e v vetores-coluna com entradas: –1, 3 e 2, 5, respectivamente, então:
Propriedades: Se u e v são vetores-coluna de mesmo tamanho, então:
	(I) uTv = tr(uvT), ou seja, o produto interno é igual ao traço do produto externo.
	(II) uTv = u.v = v.u = vTu
	(III) tr(uvT) = tr(vuT) = u.v
4.2 MATRIZ QUADRADA.
	A matriz onde o número de linhas é igual ao número de colunas é dita matriz quadrada. Algumas matrizes quadradas especiais serão vistas a seguir.
MATRIZ IDENTIDADE E MATRIZ ESCALAR:
	A matriz identidade n(n ou matriz unitária, denotada por I, é a matriz com entrada 1 na diagonal principal e zero nas demais entradas. A matriz escalar é a matriz que resulta do produto da matriz unitária com um escalar qualquer. O exemplo a seguir mostra cada uma delas.
 
	 Matriz		Matriz
	 Identidade		Escalar.
Propriedades: Se A e B são matrizes, λ um escalar e I a matriz identidade, então:
	(I) Se A é uma matriz quadrada de mesma dimensão de I, então:
AI = IA = A. (Por isso, I é denominada de matriz identidade).
		(λI)A = λ(IA) = λA.
	(II) Se B é uma matriz m(n, então:
		
BIn =ImB = B.
4.3 MATRIZ INVERTÍVEL (NÃO SINGULAR):
	Uma matriz quadrada A é chamada de invertível ou não singular se existe uma matriz B tal que:
	AB = BA = I.								 (4-8)
Tal matriz B, se existir, é única e é dita a inversa de A e a denotamos por A-1. Observe que a equação (4-8) é simétrica, isto é, se B é a inversa de A, então A é a inversa de B.
Exemplo 12: Suponha as seguintes matrizes: 
 e 
. Então:
 e 
Assim, A e B são inversas uma da outra. 
Observe que AB = I se e só se BA = I. Assim, é necessário testar apenas um dos produtos para saber se duas matrizes são ou não uma inversa da outra.
INVERSA DE UMA MATRIZ 1(1
	Se A = [a], é fácil mostrar que A-1 = [1/a]
 
INVERSA DE UMA MATRIZ 2(2:
	Seja A uma matriz qualquer 2(2, com vetores-linha r1 = (a,b) e r2 = (c,d). Queremos deduzir uma fórmula para a inversa A-1, com entradas x1, y1, x2 e y2, tais que:
	
 ou, em forma de um sistema linear:
	ax1 + by1 =1,	ax2 + by2 = 0
	cx1 + dy1 = 0,	cx2 + dy2 = 1.	
Esses dois sistemas quando resolvidos nos fornecem:
	
ou
	
Onde det(A) = ad – bc é denominado de determinante da matriz A.
Assim, a matriz inversa de A será:
	
							 (4-9)
Em resumo, se det(A) ≠ 0, a inversa de uma matriz de 2ª ordem pode ser obtida da seguinte forma:
	(1) Troque de posição os dois elementos da diagonal principal.
	(2) Mude o sinal dos dois outros elementos.
	(3) Divida cada um dos elementos da nova matriz por det(A).
Caso det(A) = 0, a matriz A não é invertível. Neste caso ela é chamada de matriz singular.
Exemplo 13: Determine a inversa das matrizes 
 e 
Solução: det(A) = 2(5) – 3(4) = –2 . Como det(A) ≠ 0, a matriz A é invertível. Então:
	det(B) = 1(6) – 3(2) = 0. Como det(B) = 0, a matriz B não possui inversa, ou seja, a matriz B é singular.
Exemplo 14: A figura 4-2 mostra o diagrama simplificado de um robô industrial. Ele consiste de um braço e um antebraço que podem ser flexionados independentemente por ângulos α e β e cujos comprimentos podem variar independentemente por L1 e L2. Para α e β fixados, quais deveriam ser os comprimentos do braço e antebraço para poder colocar a ponta do robô na posição (x,y) mostrada na figura.
Solução: Usando trigonometria básica escrevemos:
	
Fig. 4-2 Braço simplificado de um robô.
x = L1cos(α) + L2cos(β)
	y = L1sen(α) + L2sen(β). 
O problema é resolver esse sistema nas incógnitas L1 e L2 dado um ponto (x,y). Na forma matricial escrevemos:
	
Agora, se multiplicarmos ambos os membros dessa equação pela matriz inversa dos coeficientes, obtemos:
	
Donde tiramos:
	
 e 
Teorema: Se A e B são matrizes invertíveis de mesmo tamanho, então AB é invertível e:
	(AB)-1 = B-1A-1.								 (4-10)
4.4 UM MÉTODO PARA OBTER A-1
	Nesta seção desenvolveremos um algoritmo que pode ser usado para encontrar a inversa de uma matriz de qualquer tamanho.
MATRIZES ELEMENTARES:
	Definimos uma matriz elementar como uma matriz que resulta da aplicação de uma única operação elementar sobre as linhas de uma matriz identidade.
Teorema: Se A é uma matriz m(n e se a matriz elementar E é o resultado de certa operação sobre as linhas efetuadas na matriz identidade m(m, então o produto EA é a matriz que resulta quando a mesma operação sobre as linhas é efetuada em A.
Exemplo 15: Considere a matriz 
. 
Encontre uma matriz elementar E tal que EA é a matriz que resulta substituindo a terceira linha pela soma desta linha com 4 vezes a primeira. 
Solução: A matriz E deve ser 3(3 para combinar com o produto EA. Assim, obtemos E substituindo a terceira linha de I3 pela soma desta linha com 4 vezes a primeira. Isto dá:Conferindo o produto EA, temos:
	
Portanto, a multiplicação por E soma 4 vezes a primeira linha de A à terceira linha.
Teorema: Uma matriz elementar é invertível e a inversa também é uma matriz elementar.
Teorema: Se A é uma matriz n(n, então as seguintes afirmações são equivalentes, ou seja, são todas verdadeiras ou todas falsas:
	(a) A forma escalonada reduzida por linha de A é In
	(b) A pode ser expressa como um produto de matrizes elementares.
	(c) A é invertível.
Matematicamente escrevemos:
	Ek ... E2E1A = In.
Ou 	A = E1-1E2-1 ... Ek-1In = E1-1E2-1 ... Ek-1.					 (4-11)
UM ALGORITMO PARA INVERSÃO DE MATRIZES:
	Suponha que a matriz A esteja reduzida a In por uma seqüência de operações elementares sobre as linhas e que a correspondente seqüência de matrizes elementares é: E1, E2, ..., Ek. Então, tomando a inversa de ambos os lados da equação (4-11) e baseando-se no teorema anterior, obtém-se:
	 A-1 = Ek ... E2E1.
Que também pode ser escrita como:
	A-1 = Ek ... E2E1In.
Isso nos diz que a mesma seqüência de operações elementares sobre linhas que reduz A a In também fornece A-1 a partir de In. Assim, temos o seguinte:
Algoritmo de inversão: Para encontrar a inversa de uma matriz A, encontre a seqüência de operações elementares que reduz A a I e então efetue a mesma seqüência de operações em I para obter A-1.
Exemplo 16: Encontre a inversa da matriz 
Solução: Uma maneira prática de seguir o algoritmo é colocar a matriz identidade I ao lado da matriz A e executar as operações elementares simultaneamente em A e em A. Acompanhe a seqüência de operações:
	 
	 
	
	
Assim: 
Aplicando o algoritmo de inversão a uma matriz não invertível, em alguma etapa do processo obtemos uma linha de zeros do lado esquerdo. Quando isso acontece, podemos parar o processo e concluir que a matriz não é invertível.
OUTRA MANEIRA:
	Suponha que A é uma matriz qualquer n(n. Determinar sua inversa A-1 se reduz a determinar a solução de uma coleção de sistemas lineares n(n, como mostraremos no exemplo a seguir, resultante do sistema matricial:
	AA-1 = I.
Exemplo 17: Seja 
. Calcule 
Solução: Multiplique A por A-1 e iguale as nove entradas do produto com as entradas correspondentes da matriz identidade, obtendo os três sistemas lineares em três incógnitas como a seguir:
	x1 + y1 + z1 = 1	x2 + y2 + z2 = 0	x3 + y3 + z3 = 0
	 y1 + 2z1 = 0	 y2 + 2z2 = 1	 y3 + 2z3 = 0
	x1 + 2y1 + 4z1 = 0	x2 + 2y2 + 4z2 = 0	x3 + 2y3 + 4z3 = 1
Resolvendo os três sistemas, obtemos as nove incógnitas:
x1 = 0; y1 = 2; z1 = –1		x2 = –2; y2 = 3; z2 = –1		x3 = 1; y3 = –2; z3 = 1
Portanto, a matriz inversa será:
	
4.5 TIPOS ESPECIAIS DE MATRIZES QUADRADAS
	Esta seção descreve certos tipos especiais de matrizes quadradas que serão úteis daqui para frente.
MATRIZ DIAGONAL
	Uma matriz quadrada D = [dij] é diagonal se todos os elementos fora de sua diagonal principal são nulos. Tal matriz pode ser denotada por:
	D = diag(d11, d22, ... dnn).
Exemplo 18: As seguintes matrizes são diagonais que podem ser representadas respectivamente por:
 diag(3,-7,2)		diag(4,-5)	 diag(6,0,-9,8).
		
	
MATRIZ TRIANGULAR
	Uma matriz quadrada A = [aij] é triangular superior (também chamada de matriz U) se todas as suas entradas abaixo da diagonal principal são iguais a 0, isto é, aij = 0 para i > j.
	Uma matriz triangular inferior (também chamada de matriz L) é uma matriz quadrada cujas entradas acima da diagonal principal são todas nulas.
Exemplos 19: As matrizes A e B são triangulares superiores enquanto C e D são triangulares inferiores:
 	 
 	 
 	
Teorema: Sejam A = [aij] e B = [bij] duas matrizes triangulares (ambas superiores ou ambas inferiores) n(n. Então:
	(i) A + B, kA e AB são triangulares (superiores ou inferiores) e suas diagonais são, respectivamente,
	 (a11 + b11, ..., ann + bnn),	(ka11, ..., kann),	 (a11b11, …, annbnn).
	(ii) A é invertível se, e só se, para cada elemento diagonal temos aii ≠ 0, e, se A-1 existe, ela também é triangular.
	(iii) A transposta de uma matriz triangular inferior é uma matriz triangular superior e vice-versa.
Observação: Este teorema vale também para a matriz diagonal já que ela também é triangular.
 
Exercício : Baseado apenas no teorema anterior, quais matrizes do exemplo 19 não são invertíveis?
MATRIZ SIMÉTRICA E MATRIZ ANTI-SIMÉTRICA
	(a) Matriz simétrica: uma matriz A é simétrica se AT = A. Isto acontece se aij = aji, ou seja seus elementos simétricos são espelhados pela diagonal principal.
	(b) Uma matriz é anti-simétrica se AT = –A. Isto implica que aij = –aji e aii = 0 (as entradas da diagonal principal são nulas). 
Exemplo 20: Considerando as matrizes a seguir, A é simétrica, B é anti-simétrica e C não é nem simétrica nem anti-simétrica, até porque C não é quadrada.
		
		
	
Teorema: Se A e B são matrizes simétricas de mesmo tamanho e se λ é qualquer escalar, então:
	(i) AT é simétrica
	(ii) (A + B) e (A – B) são simétricas.
	(iii) λA é simétrica.
	(iv) O produto de duas matrizes simétricas é uma matriz simétrica se, e só se, as matrizes
 comutam, ou seja, se AB = BA.
	(v) Se A é uma matriz simétrica invertível, então A-1 é simétrica.
MATRIZ ORTOGONAL
Uma matriz A é ortogonal se:
AT = A-1
 isto é, se
 
AAT = ATA =I.
Portanto, A precisa ser quadrada e invertível.
Exemplo 21: Seja 
. Multiplicando A por AT temos I. Assim, AT = A-1, ou seja, A é ortogonal.
	
Suponha que A é uma matriz ortogonal 3(3 cujas linhas são representadas pelos vetores-linhas
		r1 = (a1,a2,a3), r2 = (b1,b2,b3) e r3 = (c1,c2,c3).
Estes vetores-linhas são também vetores-colunas da matriz transposta AT. Logo, fazendo o produto das duas matrizes e igualando à matriz identidade teremos:
	
Assim, r1.r1 = r2.r2 = r3.r3 = 1 e ri.rj = 0 se i ≠ j. Ou seja, os vetores r1, r2 e r3 são unitários e ortogonais dois a dois. 
	Portanto, a condição AAT = I implica que as linhas de A formam um conjunto ortonormal de vetores. Do mesmo modo, a condição ATA = I implica que as colunas de A também formam um conjunto ortonormal de vetores.
Teorema: Seja A uma matriz real de tamanho n(n. As afirmativas abaixo são equivalentes:
	
(a) A é ortogonal
	(b) As linhas de A formam um conjunto ortonormal
	(c) As colunas de A formam um conjunto ortonormal. 
Teorema: Seja A uma matriz 2(2 real e ortogonal. Então, para algum número θ essa matriz pode ser representada por: 
	
 ou 
Exercício : Construa uma matriz ortogonal 2(2 cujo elemento a11 vale 1/2.
MATRIZ NORMAL
	Uma matriz real A é normal se comuta com sua transposta AT. Isto é, se AAT = ATA. Se A é simétrica, ou ortogonal ou anti-simétrica então A é normal. Existem, porém, outras matrizes normais como é mostrado no exemplo a seguir.
Exemplo 22: Seja a matriz 
. Então
	
 e
	
Como AAT = ATA, a matriz A é normal.
4.6 MATRIZES POR BLOCO
	Já vimos que podemos subdividir uma matriz em vetores-linha ou vetores-coluna. Nesta seção veremos outras formas de subdividir uma matriz com o objetivo de isolar partes da matriz que podem ser importantes em problemas particulares ou para quebrar uma matriz em pedaços menores que serão utilizados em cálculos de grande escala.
MATRIZES EM BLOCOS ARBITRÁRIOS:
	
Usando um sistema de linhas pontilhadas horizontais e verticais pode-se criar partições arbitrárias em uma matriz A, chamadas blocos ou células de A, conforme exemplificado a seguir.
		
 
	Dividindo matrizes, digamos A e B, em blocos, podemos realizar operações em A e B tratando seus blocos como se fossem entradas das matrizes. Por exemplo, suponhaque A = [Aij] e B = [Bij] são matrizes em blocos (denotados por Aij e Bij) com a mesma quantidade de blocos em suas linhas e colunas e que os blocos correspondentes são do mesmo tamanho. Então, as seguintes operações são possíveis:
	
e
	
	O produto AB também é válido contanto que o número de colunas de cada bloco Aik seja igual ao número de linhas de cada bloco Bkj. Desta forma, tanto o produto AB quanto o produto AikBkj são definidos. Assim
	
 onde Cij = Ai1B1j + Ai2B2j + ... + AipBpj.
MATRIZES QUADRADAS POR BLOCOS:
	Seja M uma matriz por bloco. M é chamada de matriz quadrada por bloco se:
	(i) M é uma matriz quadrada
	(ii) Os blocos formam uma matriz quadrada
	(iii) Os blocos da diagonal são também matrizes quadradas.
Exemplo 23: Considere as duas matrizes por bloco a seguir:
	 
A matriz A não é quadrada por bloco, pois o segundo e o terceiro blocos da diagonal não são quadrados. Por outro lado, a matriz B é quadrada por blocos.
MATRIZES DIAGONAIS POR BLOCO:
	Uma matriz A = [Aij] quadrada por blocos é uma matriz diagonal por bloco se todos os blocos fora da diagonal são matrizes nulas. Podemos denotá-la por:
	A = diag(A11,A22, ..., Arr)
Propriedade:
	Se A é uma matriz diagonal por bloco então A é invertível se, e só se, cada bloco Aii é invertível e, neste caso, A-1 é uma matriz diagonal por blocos.
	As matrizes quadradas por blocos também podem ser triangular por blocos.
Exemplo 24: Determinar quais das seguintes matrizes quadradas por blocos são triangulares superiores, triangulares inferiores ou diagonais.
	
	
(a) A é triangular superior por blocos
	(b) B é triangular inferior por blocos
	(c) C é diagonal por blocos
	(d) D não é nenhuma das três coisas.
Muitos algoritmos de computador para operar com matrizes grandes usam estruturas em bloco para quebrar os cálculos em pedaços menores. Por exemplo, considere uma matriz triangular superior em blocos da forma:
	
na qual A11 e A22 são matrizes quadradas. Então, pode-se mostrar que se A11 e A22 são invertíveis, então A é invertível e
	
							(4-12)
Esta fórmula permite que o trabalho de inverter A, seja realizado por processamento paralelo, ou seja, utilizando processadores individuais que trabalham simultaneamente para calcular as inversas das matrizes menores A11 e A22 que depois são usadas na equação (4-12).
Note que se a matriz é diagonal por bloco, então pela equação (4-12) sua inversa é
	
Exercício:
1) Confirme que a matriz 
é uma matriz triangular superior em blocos invertível e então encontre sua inversa usando a fórmula da equação (4-12).
Resposta: 
2) Encontre a inversa da matriz 
4.7 SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES
	No capítulo 3 mostramos como resolver um sistema linear pela redução da matriz aumentada à forma escalonada por linha (eliminação de Gauss). Contudo existem outros métodos importantes de resolver sistemas lineares que são baseados na idéia de expressar as m equações na forma matricial conforme equação (3-1).
RESOLUÇÃO POR INVERSÃO DE MATRIZES:
	Conforme equação (3-1), podemos expressar um sistema linear na forma matricial:
	
ou simplesmente como
	AX = B									(4-13)
Onde A é a matriz dos coeficientes, X é a matriz coluna das incógnitas e B é a matriz coluna das constantes.
Vamos nos ocupar principalmente com o caso em que o número de equações é igual ao número de incógnitas e, portanto a matriz de coeficientes A é quadrada. Se, além disso, A é invertível, então podemos resolver a equação (4-13) multiplicando essa equação por A-1 para obter a solução única:
	X = A-1B.									(4-14)
Exemplo 25: Considere o sistema linear
	 x1 + 2x2 + 3x3 = 5
	2x1 + 5x2 + 3x3 = 3
	 x1 	 + 8x3 = 17.
Esse sistema pode ser escrito na forma da equação (4-14), onde
	
	
	
e como 
A solução do sistema linear é
	
Ou, equivalentemente, x1 = 1, x2 = –1 e x3 = 2.
SISTEMA HOMOGÊNEO
	Se o sistema linear é homogêneo, com m equações e também m incógnitas e, se a matriz de coeficientes A, é invertível então o sistema AX = 0, tem somente a solução trivial. 
SISTEMAS LINEARES COM UMA MATRIZ DE COEFICIENTES COMUM:
	Em muitas aplicações precisamos resolver vários sistemas lineares com a mesma matriz de coeficientes. Um método seria resolver cada sistema separadamente. Mas como a matriz de coeficientes é comum podemos aplicar um procedimento melhor formando a matriz aumentada:
	M = [A|B1|B2| ... |Bk]
na qual B1, B2, ..., Bk são juntadas a A para em seguida reduzir a matriz obtida à forma escalonada por linha pela eliminação de Gauss. Com isso resolvemos todos os k sistemas de uma só vez.
Exemplo 26: Considere os sistemas
	(a) x1 + 2x2 + 3x3 = 4		(b) x1 + 2x2 + 3x3 = 1
	 2x1 + 5x2 + 3x3 = 5		 2x1 + 5x2 + 3x3 = 6
	 x1 + 8x3 = 9		 x1 + 8x3 = –6.
Então, construindo a matriz aumentada pela junção dos dois sistemas, e depois encontrando a forma reduzida por linha temos:
	
Das duas últimas colunas tiramos as soluções dos sistemas como sendo:
	(a) x1 = 1, x2 = 0 e x3 = 1	(b) x1 = 2, x2 = 1 e x3 = –1.
CONSISTÊNCIA DE SISTEMAS LINEARES:
	O problema é: dada uma matriz A, encontrar todas as matrizes B para os quais o sistema linear AX = B é consistente.
	Se A é uma matriz invertível n(n, então o sistema AX = B é consistente para qualquer vetor B de Rn. Se A não é quadrada ou se A é quadrada, mas não invertível, então o sistema geralmente é consistente para alguns vetores e o problema consiste em determinar esses vetores.
Exemplo 27: Quais condições devem satisfazer b1, b2 e b3, para que o seguinte sistema linear seja consistente?
	 x1 + x2 + 2x3 = b1
	 x1 + x3 = b2
	2x1 + x2 + 3x3 = b3.
Solução: A matriz aumentada é 
que pode ser reduzida à forma escalonada por linha como segue:
	
Da terceira linha da última matriz, é evidente que o sistema tem uma solução se e só se:
	b3 – b2 – b1 = 0 ou b3 = b1 + b2.
Assim, AX = B é consistente se e só se B pode ser expresso na forma:
	
onde b1 e b2 são arbitrários, ou seja, AX = B é consistente é para todas as combinações lineares dos vetores:
	
 e 
4.8 SUBESPAÇOS E INDEPENDÊNCIA LINEAR
	Às vezes, é necessário detectar, dentro de um espaço vetorial V, subconjuntos W que sejam eles próprios espaços vetoriais “menores”. Tais conjuntos serão chamados de subespaços de V. Isto acontece, por exemplo, em: V = R2, onde W é uma reta deste plano, que passa na origem”.
SUBESPAÇOS DE Rn:
	Um conjunto não vazio de vetores em Rn é dito um subespaço de Rn se é fechado na multiplicação por um escalar e na soma.
	Definição: Dado um espaço vetorial V, um subconjunto W, não vazio, será um subespaço vetorial de V se:
	
	(i) Para quaisquer u, v ( W tivermos (u + v) ( W.
 
	(ii) Para quaisquer α ( R, u ( W tivermos αu ( W.
	Da definição acima podemos fazer três observações:
	a) Ela garante que ao operarmos em W (soma e multiplicação por escalar) não obteremos um vetor fora de W.
	b) Qualquer subespaço W de V precisa necessariamente conter o vetor nulo (por causa da condição (ii) quando α = 0).
	c) Todo espaço vetorial admite pelo menos dois subespaços (chamados de triviais), o conjunto formado somente pelo vetor nulo e o próprio espaço vetorial.
Teorema: Se S = {v1, v2, ..., vs} é um conjunto de vetores em Rn, então o conjunto de todas as combinações lineares
	x = t1v1 + t2v2 + ... + tsvs							(4-15)
é um subespaço de Rn.
Exemplo 28: V = R4 e W = {(0, b, c, d) | b, c e d ( R}. Isto é, W é o conjunto dos vetores de R4, cujo primeiro componente é nulo. Verifiquemos as condições (i) e (ii).
(i) u = (0, b1, c1, d1), v = (0, b2, c2, d2) ( W
Então u + v = (0, b1 + b2, c1 + c2, d1 + d2) (W, pois tem o primeiro componente nulo.
(ii) ku = (0, kb1, kc1, kd1) ( W, pois a primeira coordenada é nula para todo k ( R.
Portanto, W é um subespaço de R5. 
Exercício: Verifique que uma reta na origem é um subespaço do R2 e que um plano na origem é um subespaço do R3.
DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR:
	Em álgebra linear é fundamental sabermos se um vetor é uma combinação linear de outros, pois se for, este vetor é desnecessário para descrever o espaço gerado pelos demais que não são combinação linear.
Independência linear: Sejam V um espaço vetorial e v1, ..., vn ( V. Dizemos que o conjunto {v1, ..., vn} é linearmente independente (LI), ou que os vetores v1, ..., vn são LI, se a equação
	a1v1 + ... + anvn = 0
implica que a1 = a2 = ... = an = 0. No caso em que exista algum ai ( 0 dizemos que o conjunto ou os vetores desse conjunto são linearmente dependente (LD).
Teorema: {v1, v2, ..., vn} é LD se, e somente se, um destes vetores for uma combinação linear dos outros.
Exemplo 29: V = R3. Sejam v1 e v2 ( V. Então {v1, v2} é LD se e só se v1 e v2 estiverem na mesma reta, que passa pela origem. (v1 = (v2). Figura 4-3.
Fig. 4-3.
Exemplo 30: V = R3. Sejam v1, v2 e v3 ( V. Então {v1,v2,v3} é LD se e só se estes três vetores estiverem no mesmo plano, que passa na origem. Figura 4-4.
Fig. 4-4.
Exemplo 31: V = R3. i = (1,0,0), j = (0,1,0) e k = (0,0,1). Então i, j e k são LI, pois:
	a1(1,0,0) + a2(0,1,0) + a3(0,0,1) = (0,0,0)
	(a1,a2,a3) = (0,0,0)
	a1 = 0, a2 = 0 e a3 = 0.
Exercício: Dado V = R2, verificar se {(1,-1), (1,0), (1,1)} é LD ou LI.
Teorema: Se Ax = b é um sistema linear não-homogêneo consistente e se W é o espaço-solução do sistema homogêneo associado Ax = 0, então o conjunto solução de Ax = b é o subespaço transladado
 xo + W, onde xo é uma solução qualquer do sistema não-homogêneo. 
Exemplo 32: Seja o sistema não-homogêneo:
	 x1 + x2 – 2x3 + 4x4 = 5
	2x1 + 2x2 – 3x3 + x4 = 3
	3x1 + 3x2 – 4x3 – 2x4 = 1
cujo espaço solução é 
	x1 = -9 – t1 + 10t2
	x2 = t1
	x3 = -7 + 7t2
	x4 = t2
que pode ser representado em forma de vetores coluna como
	
Então, o espaço solução do sistema homogêneo associado é:
	
Ou seja, o espaço solução do sistema não-homogêneo é uma translação do espaço solução do sistema homogêneo pelo vetor solução particular xo do sistema não-homogêneo onde
	
 
4.9 FATORAÇÃO DE MATRIZES
	Nosso objetivo principal nesta seção é desenvolver um método para fatorar uma matriz quadrada A na forma
	A = LU.									(4-16)
onde L é a matriz triangular inferior e U é a matriz triangular superior.
RESOLVENDO SISTEMAS LINEARES POR FATORAÇÃO:
	Para resolver um sistema linear quadrado Ax = b, siga os seguintes passos:
Passo 1: Reescreva o sistema Ax = b como
	LUx = b.									(4-17)
Passo 2: Defina a nova variável y por
y = Ux.										(4-18)
e reescreva (4-17) como Ly = b.
Passo 3: Resolva o sistema Ly = b na variável y.
Passo 4: Substitua o agora conhecido y em (4-18) e resolva (4-18) na variável x.
Esse procedimento é denominado decomposição LU. Embora ele consista em resolver dois sistemas em vez de um ele não dá mais trabalho do que resolver um só. Vejamos um exemplo:
	Seja a matriz A dos coeficientes de um sistema decomposta conforme segue
	
					(4-19)
		A	 =	 L		U
	
		A	 x = b
De (4-19) podemos reescrever esse sistema como
	
�� EMBED Equation.DSMT4 					(4-20)
		L	 U	 x = b
Conforme especificado no passo 2, vamos definir y1, y2 e y3 pela equação:
	
							(4-21)
 	 U x = y
O que nos permite reescrever (4-20) como:
	
		L	 y = b
Ou, equivalentemente, como:
	 2y1 = 2
	–3y1 + y2 = 2
	 4y1 – 3y2 + 7y3 = 3.
Usando a substituição de cima para baixo (chamada de substituição para frente), encontramos:
	y1 = 1, y2 = 5, y3 = 2.
E conforme indicado no passo 4, substituímos esse valores em (4-21), obtendo o sistema linear:
	 x1 + 3x2 + x3 = 1
	 x2 + 3x3 = 5
		 x3 = 2.
Resolvendo esse sistema por retro substituição encontramos:
	x1 = 2, x2 = –1, x3 = 2.
ENCONTRANDO DECOMPOSIÇÕES LU:
	O exemplo anterior mostra que, uma vez fatorada a matriz A em matrizes triangulares, inferior e superior, o sistema Ax = b pode ser resolvido com uma substituição de cima para baixo e outra de baixo para cima. Vamos ver agora como obter tal fatoração.
Teorema: Se uma matriz quadrada A pode ser reduzida à forma escalonada por linhas com eliminação gaussiana sem permuta de linhas, então A tem uma decomposição LU. Para encontrá-la, siga os seguintes passos:
	Passo1: Reduza A à forma escalonada por linhas U sem usar permutação de linhas e mantendo a contabilidade dos multiplicadores que foram utilizados para introduzir os pivôs e os multiplicadores que foram utilizados para introduzir os zeros abaixo dos pivôs.
	Passo 2: Em cada posição ao longo da diagonal principal de L coloque o recíproco do multiplicador que introduziu o pivô naquela posição de U.
	Passo 3: Em cada posição abaixo da diagonal principal de L coloque o negativo do multiplicador que introduziu o zero naquela posição deU.
	Passo 4: Forme a decomposição A = LU.
Exemplo 33: Encontre uma decomposição LU da matriz 
Solução: Reduziremos A, a forma escalonada por linha U e, em cada passo, preencheremos uma entrada de L, de acordo com os passos descritos acima.
	
	
	
	
	
	
Note que, como já temos um pivô na terceira linha de L, nenhuma operação a mais precisa ser realizada, portanto:
	A = LU.
Exemplo 34: Vejamos a eliminação Gaussiana efetuada como uma decomposição LU. Para isso tomaremos como exemplo o sistema linear
	
O procedimento utilizado permite encontrar tanto a decomposição LU quanto o vetor y de (4-23) usando operações sobre as linhas da matriz aumentada desse sistema. Assim, temos:
	
		 
		 
		 
	
Assim, tudo que resta agora é resolver o sistema Ux = y por retrosubstituição para encontrar x como sendo:
	x = (2, -1, 2)T.
INVERSÃO MATRICIAL USANDO DECOMPOSIÇÃO LU:
Muitos dos melhores algoritmos para inverter matriz utilizam a fatoração LU. Seja, pois A uma matriz invertível n(n e seja A-1 = [x1 x2 ... xn] a sua inversa desconhecida, subdividida em vetores coluna e seja I = [e1 e2 ... en] a matriz identidade subdividida em vetores coluna. Então a equação matricial AA-1 = I pode ser expressa por
A[x1 x2 ... xn] = [e1 e2 ... en]
Ou então
	[Ax1 Ax2 ... Axn] = [e1 e2 ... en].
Que nos diz que os vetores-coluna desconhecidos de A-1 podem ser obtidos resolvendo os n sistemas lineares
	Ax1 = e1, Ax2 = e2, ... Axn = en.
Como todos estes sistemas têm a mesma matriz de coeficientes, uma decomposição em LU desta matriz pode ser usada para todos os sistemas, acelerando assim a solução deles.
�
PROBLEMÁTICA
1) Dada as matrizes abaixo calcule as seguintes matrizes, quando for possível.
(a) A + 2B	 (b) 4D – 3CT	(c) EG	 (d) AE	 (e) ATG (f) (7C – D) + B (g) BBT.
 
 
 
 
 
 
2) Sem realizar o produto das matrizes F e G do problema 1, encontre:
a) (FG)23	b) (GF)21	c) O 1o vetor-linha de FG.	 d) O 2o vetor-coluna de FG. 
 3) Considerando as matrizes C, D, F e G do problema 1, encontre:
	a) tr(F)	b) tr(D)	c) tr(CD) d) tr(GF) e) tr(FG) – tr(F)tr(G) f) tr(FT).
4) Dada a matriz M abaixo, encontre os valores de x, y, z e w para que esta matriz seja simétrica.
	
5) Se u e v são vetores-coluna com entradas (3, –4, 5) e (2, 7, 0), respectivamente, encontre:
	a) O produto interno matricial de u comv.
	b) O produto externo matricial de u com v.
6) Sejam C, D e E as matrizes usadas no problema 1. Usando o menor número possível de operações, encontre a entrada na linha 2 e coluna 3 da matriz produto C(DE).
7) Encontre a matriz A = [aij] de tamanho 4(4 cujas entradas satisfazem a condição:
aij = i + j
aij = (-1)i+j	
	c) aij = 1 se |i – j| > 1 e aij = -1 se |i – j| < 1.
8) Encontre uma matriz A não nula de tamanho 2(2 tal que a matriz-produto AA tem todas as entradas nulas.
9) Sabendo-se que o produto AB é uma matriz 6(8, o que pode ser dito sobre os tamanhos de A e B.
10) Determine se a matriz dada abaixo é ou não elementar.
a) 
 		b) 
 		 c) 
 		 d) 
11) Para as matrizes do problema 10 que forem elementares, encontre uma operação elementar sobre as linhas que retorne a matriz identidade.
12) Dada as matrizes abaixo, encontre uma matriz elementar E que satisfaz a equação:
	a) EA = B	b) EB = A	c) EA = C	 d) EC = A.
	
 
 
13) Encontre a inversa, se houver das matrizes C, D e G do problema 1.
14) Considere a matriz 
	a) Encontre matrizes elementares E1 e E2 tais que E2E1A = I.
	b) Escreva A-1 como um produto de duas matrizes elementares
	c) Escreva A como um produto de duas matrizes elementares.
15) Considere que (r(s) denota as dimensões de uma matriz. Determine o tamanho dos seguintes produtos, quando for possível.
	a) (2(3)(3(4)	b) (4(1)(1(2)	c) (4(4)(3(3)	d) (1(2)(3(1)	e) (5(2)(2(3).
16) Seja a matriz 
Descreva todos os vetores colunas, u = (x, y)T, tal que Au = 3u.
17) Mostre que as matrizes 
 e 
 são inversas uma da outra.
18) Calcule a inversa, se possível, de cada matriz a seguir:
	
	
	 
19) Calcule a inversa da matriz 
20) Sejam as matrizes A = diag(2, 3, 5) e B = diag(7, 0, –4). Calcule:
	a) AB, A2, B2	b) A-1 e B-1.
21) Determine uma matriz A(2(2) tal que A2 é diagonal, mas A não.
22) Determine uma matriz triangular superior A tal que 
23) Calcule x e B sabendo que 
 é simétrica.
24) Calcule uma matriz ortogonal 2(2 cuja primeira linha é um múltiplo positivo de (3, 4).
25) Calcule uma matriz ortogonal 3(3 cujas duas primeiras linhas são múltiplos de u1 = (1, 1, 1) e 
u2 = (0, –1, 1), respectivamente.
26) Calcule AB usando a multiplicação por bloco, onde:
	 
27) Seja M = diag(A, B, C) onde 
, 
, 
. Calcule M2.
28) Dada a matriz 
 encontre a inversa da matriz diagonal em blocos usando a equação (4-12).
29) Use a equação (4-12) para encontrar a inversa da matriz triangular superior em blocos A dada por
	
30) Use a decomposição LU dada para resolver o sistema Ax = b por substituição para frente seguida de retrosubstituição.
	
31) Encontre uma decomposição LU da matriz de coeficientes A para resolver o sistema Ax = b.
	
32) Usando a decomposição LU do problema 30, encontre a inversa de A resolvendo três sistemas lineares apropriados.
33) Seja o espaço vetorial V = R2 e o subconjunto W = {(x, y) ( R2 | y = 2x}. Verificar se W é um subespaço de V.
34) Seja o espaço vetorial V = R2 e o subconjunto W = {(x, y) ( R2 | y = 4 – 2x}. Verificar se W é um subespaço de V.
35) Seja o espaço vetorial V = R2 e o subconjunto W = {(x, y) ( R2 | y = |x|}. Verificar se W é um subespaço de V.
36) Verificar se os vetores v1 = (6, 2, 3) e v2 = (0, 5, 3) são LI ou LD.
37) Para cada um dos itens a seguir use as propriedades de fechamento de subespaço para determinar se o conjunto dado é um subespaço do R3. Se não é um subespaço, indique qual propriedade falha. 
Todos os vetores da forma (a, 0, 0).
Todos os vetores com componentes inteiros.
Todos os vetores (a, b, c) para os quais b = a + c.
Todos os vetores (a, b, c) para os quais a + b + c = 1.
38) A tabela a seguir mostra as notas de sete estudantes em três testes. Considere as colunas no corpo da tabela como vetores c1, c2 e c3 no R7 e considere as linhas como vetores r1, r2, ..., r7 no R3.
Encontre os escalares k1, k2 e k3 tais que os componentes do vetor x = k1c1 + k2c2 + k3c3 são as médias aritméticas dos três testes para cada estudante.
Encontre os escalares k1, k2 e k7 tais que os componentes do vetor x = k1r1 + k2r2 + ... + k7r7 são as notas médias de todos estudantes em cada teste.
Dê uma interpretação do vetor x = c1/4 + c2/4 + c3/2.
	
	Teste 1
	Teste 2
	Teste 3
	João
	90
	75
	60
	Carlos
	54
	92
	70
	Romeu
	63
	70
	81
	José
	70
	71
	72
	Samuel
	46
	90
	63
	Ricardo
	87
	72
	69
	Silvio
	50
	77
	83
39) Encontre o valor de k na equação:
	
 
40) Encontre a matriz A sabendo que sua inversa é 
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