UNIDADE 10 - TENSÕES (Parte 2); CÍRCULO DE MOHR

Prévia do material em texto

MECÂNICA DOS SOLOS – I 
UNIDADE 02: Tensões (parte 02) 
Tensões verticais devidas a cargas aplicadas na superfície do terreno e 
Círculo de Mohr 
 
Prof: Helena Paula Nierwinski 
helnier@gmail.com 
 
Introdução 
• As experiências realizadas nos primeiros tempos da Mecânica 
dos Solos mostraram que ao se aplicar uma carga na superfície 
do terreno, numa área bem definida, os acréscimos de tensão 
numa certa profundidade, não se limitam à projeção da área 
carregada. Nas laterais da área carregada também ocorrem 
aumentos de tensões, que se somam as anteriores devidas ao 
peso próprio. 
 
• Sabe-se que a somatória das tensões verticais, nos planos 
horizontais em qualquer profundidade, e sempre constante. 
Sendo assim, os acréscimos de tensões abaixo da carga aplicada, 
diminuem com a profundidade, pois a área atingida aumenta. 
Introdução 
 
Tensões – carga aplicada 
• Distribuição de tensões no solo devido à carga aplicada à 
superfície do solo: 
• Quando ocorre um carregamento sobre a superfície do solo há 
uma transferência de carga ao maciço, que ocorre em 
percentuais constantes para cada profundidade. A linha que une 
os pontos que apresentam os mesmos acréscimos de tensões 
(mesmo percentual de carga aplicada na superfície) é chamada 
de isóbara. O conjunto de isóbaras formado pela aplicação de 
uma carga qualquer é chamado de bulbo de tensões. 
Tensões – carga aplicada 
• Distribuição de tensões no solo devido à carga aplicada à 
superfície do solo: 
1 
1/2 1/2 
1/2 1/4 1/4 
1/8 1/8 3/8 3/8 
1/16 1/4 3/8 1/4 1/16 
1/32 3/32 5/16 5/16 4/32 1/32 
P 
Diferentes percentuais de 
carga ao longo da 
profundidade. Tensões 
diminuem com a 
profundidade e área de 
abrangência aumenta. 
Tensões – carga aplicada 
• Distribuição de tensões no solo devido à carga aplicada à 
superfície do solo: 
0,1 
0,2 
0,3 
0,4 
0,5 
P 
Isóbaras e bulbo de 
tensões. 
A propagação de tensões 
no interior de um maciço 
ocorre teoricamente até 
o infinito, mas para fins 
práticos de engenharia, 
os valores de tensões 
menores que 10% do 
valor de P não causam 
deformações 
consideráveis no subsolo 
de fundações. 
 
Tensões – carga aplicada 
• Tensões no solo devidas à carga aplicada à superfície do solo: 
• Foram propostas algumas metodologias simplificadas para o 
cálculo das tensões devidas à carga aplicada à superfície do solo. 
Algumas consideravam um mesmo valor de tensão 
uniformemente distribuído, aumentando-se apenas a área de 
abrangência e outros consideravam a sobreposição de cargas. 
Ambos os métodos forneciam resultados inaceitáveis à prática 
da Engenharia. 
Tensões – carga aplicada 
• Tensões no solo devidas à carga aplicada à superfície do solo: 
• Solução de Boussinesq, 1985 
• Boussinesq determinou as tensões, deformações e 
deslocamentos no interior de uma massa elástica, homogênea e 
isotrópica, num espaço infinito de superfície horizontal, devido a 
uma carga pontual aplicada ao solo. 
r 
z 
R 
z 
Tensões – carga aplicada 
• Tensões no solo devidas à carga aplicada à superfície do solo: 
• Solução de Boussinesq, 1985 
r 
z 
R 
z 
2/5
2
2
1
1
2
3
















z
rz
P
z 
A solução de Boussinesq não considera os 
parâmetros elásticos do solo. 
Tensões – carga aplicada 
• Tensões no solo devidas à carga aplicada à superfície do solo: 
• No dia a dia da Engenharia observa-se que as cargas pontuais 
são raras. Trabalha-se rotineiramente com cargas distribuídas 
(sapatas). 
 
• Seguindo-se a teoria de Boussinesq, se uma área de forma 
qualquer, está carregada na superfície do semi-espaço infinito 
com uma carga “q” a intensidade do acréscimo de tensões no 
ponto “P”, no interior da massa, pode ser calculado dividindo-se 
a área carregada em pequenas partes “dA”, cada uma 
suportando uma carga pontual. 
Tensões – carga aplicada 
• Tensões no solo devidas à carga aplicada à superfície do solo: 
“q” 
dA 
z 
R 
r 
dz 
DQ = q dA 
Tensões – carga aplicada 
• Tensões no solo devidas à carga aplicada à superfície do solo: 
• Essa carga é considerada concentrada no centro de gravidade da 
área elementar dA. De acordo com a equação de Boussinesq, 
cada carga concentrada produz, no ponto “P” um acréscimo 
diferencial de tensões vertical igual a “dΔσz”. 
 
 
dA
zrz
q
d z 2/522 )/(1
1
2
3


Tensões – carga aplicada 
• Tensões no solo devidas à carga aplicada à superfície do solo: 
• A intensidade da variação de tensão no ponto “P” é calculada 
pela integração da equação apresentada anteriormente 
(solução complexa)  ábacos que possibilitam a determinação 
de Δσz. 
 
 
 
Tensões – carga aplicada 
• Tensões no solo devidas à carga aplicada à superfície do solo: 
• Solução de Newmark, 1942  carregamentos em áreas 
retangulares. 
• Determinação das tensões num ponto abaixo da vertical que passa 
pelo vértice da área retangular. Verificou-se que a solução era a 
mesma para situações em que os lados da área retangular e a 
profundidade fossem as mesmas. 
 
 
 
a 
b 
z 
Entrada do gráfico: 
m = a/z 
n = b/z 
Tensões – carga aplicada 
• Tensões no solo devidas à carga aplicada à superfície do solo: 
• Solução de Newmark, 1942  carregamentos em áreas 
retangulares. 
• Como a solução de integração da equação de Boussinesq é bastante 
complexa, Newmark introduziu um ábaco que permite o cálculo do 
coeficiente de influência (I) que depende apenas de m e n e 
permite o cálculo no acréscimo de tensões provocada por um 
carregamento retangular naquela profundidade. 
 
• σz = I ∙ σ0 
 
 
• Tensões no solo 
devidas à carga 
aplicada à superfície 
do solo: 
• Solução de Newmark, 
1942  
carregamentos em 
áreas retangulares. 
 
 
 
Tensões – carga aplicada 
• Tensões no solo devidas à carga aplicada à superfície do 
solo: 
• Solução de Newmark  carregamentos em áreas 
retangulares. 
• Para cálculo do acréscimo de tensões para qualquer outro 
ponto que não seja abaixo da aresta da área retangular, 
divide-se a área carregada em retângulos com uma aresta na 
posição do ponto considerado e considera-se separadamente 
o efeito de cada retângulo. 
 
 
 
Tensões – carga aplicada 
• Tensões no solo devidas à carga aplicada à superfície do solo: 
• Solução de Newmark  carregamentos em áreas retangulares. 
• Para ponto central de área retangular carregada 
 
 
 
a b c 
d 
e f 
g h i 
)()()()()( efcbehifedghebade zzzzz 
Tensões – carga aplicada 
• Tensões no solo devidas à carga aplicada à superfície do solo: 
• Solução de Newmark  carregamentos em áreas retangulares. 
• Para ponto forade área retangular carregada 
 
 
 
a b c 
d 
e f 
g h i 
)()()()()( cbefcbhicadfcagic zzzzz 
Tensões – carga aplicada 
• Tensões no solo devidas à carga aplicada à superfície do solo: 
• Área circular carregada: 
 
 
 
X/R 
Z
/
R 
0 
1 
3 
4 
2 
2 3 
X 
Z 
R 
q
z
z 
Tensões – carga aplicada 
• Tensões no solo devidas à carga aplicada à superfície do solo: 
• Ábaco dos “quadradinhos” – área carregada qualquer 
• Este ábaco foi proposto também por Newmark, 1942. Esta solução 
consiste em desenhar uma área carregada qualquer na mesma 
escala do gráfico e contar o número de quadradinhos ocupados 
pela área. Cada quadradinho provoca 0,5% da tensão aplicada pelo 
carregamento. Assim, para se saber o acréscimo de tensão vertical 
multiplica-se o número de quadradinhos por 0,005 e pela tensão 
aplicada.• Princípio do ábaco: quando a área carregada é muito irregular e 
aplicada em todo extensão do terreno, em qualquer ponto, a 
qualquer profundidade, o acréscimo de tensão é igual ao acréscimo 
aplicado à superfície. 
 
 
 
Tensões – carga aplicada 
• Tensões no solo devidas à carga aplicada à superfície do solo: 
• Ábaco dos “quadradinhos” – área carregada qualquer 
 
 
 
Tensões – carga aplicada 
• Tensões no solo devidas à carga aplicada à superfície 
do solo: 
• Carga distribuída sobre faixa infinita - Em se tratando 
de uma placa retangular em que uma das dimensões é 
muito maior que a outra, como por exemplo, no caso 
de sapatas corridas e muros, os esforços introduzidos 
na massa de solo podem ser calculados por meio da 
formula desenvolvida por Terzaghi e Carothers, 
considerando-se o cálculo de pressões em um ponto 
qualquer, a uma profundidade Z, e ângulos em 
radianos. 
 
 
 
Tensões – carga aplicada 
• Tensões no solo devidas à carga aplicada à superfície do 
solo: Carga distribuída sobre faixa infinita 
 
 
 
B=2b 
 
 
q x 
z 
y 
Tensões – carga aplicada 
• Tensões no solo devidas à carga aplicada à superfície do solo: 
Carga distribuída sobre faixa infinita. 
 
 
 
 
 
)2sen( sen
 
2
)2cos( sen
)2cos( sen
x
















q
q
q
q
y
z
 = coef. de Poisson 
Tensão Geostática horizontal 
• Ao contrário da tensão vertical a tensão horizontal pode variar 
bastante em diferentes tipos de solo, e é obtida através de um 
coeficiente, como indicado abaixo: 
 
 
 
• Onde: 
• Ko é denominado de coeficiente de empuxo em repouso e pode 
variar de 1/3 até 3. 
• O valor de Ko para uma determinada camada de solo, a uma 
determinada profundidade, depende do tipo de solo e das tensões 
que essa camada já sofreu em épocas passadas. 
 
''
vooho K 
Tensão Geostática horizontal 
• Valores típicos de K0: 
 
Solo Ko 
Areia fofa 0,55 
Areia densa 0,40 
Argila de baixa plasticidade 0,50 
Argila de alta plasticidade 0,65 
Argila pré-adensada  1 
Argila Normalmente Adensada  1 
Tensão Geostática Horizontal 
• Define-se como argila pré-adensada a argila que, no passado, 
sofreu tensões maiores das que está submetidas na atualidade, e 
como argilas normalmente adensadas aquelas em que as maiores 
tensões já suportadas pela argila atuam na atualidade. 
 
• Assim sendo o valor de Ko, a uma determinada profundidade 
depende: 
- Do tipo de solo; 
- Da história de tensões 
 
Tensões em um Plano Genérico 
• Em um plano genérico no interior do subsolo, a tensão atuante não 
é necessariamente normal ao plano. Esta tensão pode ser 
decomposta numa componente normal e outra paralela ao 
plano. A componente normal é chamada de tensão normal (σ) e 
a componente tangencial de tensão cisalhante (τ). 
σ 
τ 
Tensões em um Plano Genérico 
CONVENÇÕES: 
• Tensões normais  são consideradas positivas quando são de 
compressão 
 
• Tensões de cisalhamento  são consideradas positivas quando 
atuam no sentido anti-horário 
 
• Ângulos positivos são considerados no sentido anti-horário. 
Tensões em um Plano Genérico 
• Em qualquer ponto do solo, a tensão atuante e a sua inclinação em 
relação à normal ao plano variam conforme o plano considerado. 
 
• Existem três planos em que a tensão atuante é normal ao próprio 
plano, não existindo a componente de cisalhamento. Estes planos 
são ortogonais entre si e recebem o nome de planos de tensão 
principal ou planos principais, e as tensões neles atuantes são 
chamadas de tensões principais. 
Tensões em um Plano Genérico 
• TENSÕES PRINCIPAIS: 
’1 
’3 
’1 
σ1 = Tensão principal maior 
σ3 = Tensão principal menor 
σ2 = Tensão principal intermediária 
Para a Engenharia de Solos interessam 
apenas os valores de σ1 e σ3, pois a 
resistência depende das tensões de 
cisalhamento e estas são fruto da 
diferença entre as tensões principais, 
sendo a maior diferença dada entre σ1 e 
σ3. 
’3 
Círculo de Mohr 
• O estado de tensões em um ponto pode ser representado 
graficamente, através do círculo de Mohr. 
 
• O Círculo de Mohr é a representação gráfica do estado de tensões 
no entorno de um ponto, sendo esta representação realizada num 
sistema de coordenadas onde as abscissas são as tensões normais e 
as ordenadas as tensões cisalhantes. 
Círculo de Mohr 
’3 
’1 
 
’3 
’1 
’3 
’1 
 
Círculo de Mohr 
Círculo de Mohr 
 
 
 
Tem-se a necessidade de se conhecer as tensões em um plano 
qualquer. 
Círculo de Mohr 
’3 
’1 
 
 
’3 
’1 
’3 
’1 
’ 
 
 2  
’ 
Círculo de Mohr 
• Propriedades do círculo de Mohr: 
- A máxima tensão de cisalhamento em módulo ocorrem em planos 
que formam 45° com os planos principais; 
- A máxima tensão de cisalhamento é dada por (σ1-σ3)/2; 
- As tensões de cisalhamento em planos ortogonais são 
numericamente iguais, mas de sinal contrário; 
- Em dois planos que formam o mesmo ângulo com o plano principal 
maior, de sentido contrário, ocorrem tensões normais iguais, e 
tensões de cisalhamento numericamente iguais, mas de sentido 
contrário. 
Círculo de Mohr 
• Polo  é ponto do círculo de Mohr que partindo dele com uma 
reta esta intercepta o circulo de Mohr no ponto que indica as 
tensões num plano paralelo a esta reta. 
 
Círculo de Mohr 
)2(
2
)2cos(
22
31
3131








sen






Círculo de Mohr 
• Tensões totais e efetivas: 
- O círculo de tensões efetivas está deslocado para a esquerda, em 
relação ao círculo de tensões totais, de um valor igual a pressão 
neutra; 
- As tensões de cisalhamento em qualquer plano são independentes 
da poropressão.