CN Aula 06 a 10 TC v1

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CÁLCULO NUMÉRICO CCE1178_SM_V.1 
1ª Questão) O número binário (10000111101)2 tem representação na base decimal igual a: 
Resposta: 1085 
 
2ª Questão) Em cálculo numérico é necessário o conhecimentos de várias funções. Por exemplo, que 
função é definida pela sentença: função f definida de R em R na qual a todo x pertencente ao domínio R 
associa o elemento y de valor igual a ax2+bx+cx (onde a e R*, b e c e R) 
Resposta: Função quadrática 
 
3ª Questão) Suponha um polinômio P(x) = x18 - 3x6 + 1. Sobre a equação P(x) = 0, é possível afirmar que 
existe ao menos uma raiz real em qual dos intervalos abaixo? 
Resposta: (0; 1) 
 
4ª Questão) Analisando a função y = 3x4 - 1 , usando o teorema de Bolzano, a conclusão correta sobre 
suas raízes no intervalo [ -1, 0 ] é: 
Resposta: tem nº ímpar de raízes pois f(-1) .f(0) < 0 
 
5ª Questão) O método de Newton-Raphson utiliza a derivada f´(x) da função f(x) para o cálculo da raiz 
desejada. No entanto, existe um requisito a ser atendido: 
Resposta: A derivada da função não deve ser nula em nenhuma iteração intermediária. 
 
6ª Questão) Dentre os métodos numéricos para encontrar raízes (zeros) de funções reais, indique o gráfico 
que corresponde aos MÉTODO DO PONTO FIXO 
Resposta: 
 
7ª Questão) Marque o item correto sobre o Método Eliminação de Gauss: 
Resposta: É utilizado para a resolução de sistema de equações lineares 
 
8ª Questão) Resolva o sistema de equações abaixo e encontre x e y: 
3x - 2y = - 12 
5x + 6y = 8 
Resposta: x = -2 ; y = 3 
 
9ª Questão) Os valores de x1,x2 e x3 são: 
 
Resposta: -1, 3, 2 
 
10ª Questão) Durante a coleta de dados estatísticos referente ao número médio de filhos das famílias de 
uma comunidade em função do tempo, verificamos a obtenção dos seguintes pontos (x,y), nos quais "x" 
representa o tempo e "y" representa o número de filhos: (1, 2), (2, 4), (3,5) e (4,6). Caso desejemos 
representar estes pontos através de uma função, que ramo do Cálculo Numérico deveremos utilizar? 
Assina a opção CORRETA. 
Resposta: Interpolação polinomial. 
 
CÁLCULO NUMÉRICO CCE1178_SM_V.2 
1ª Questão) Arredonde para quatro casas decimais, o valor x= 3,1415926536 
Resposta: 3,1416 
 
2ª Questão) Sendo f uma função de R em R, definida por f(x) = 2x - 7, calcule f(2). 
Resposta: -3 
 
3ª Questão) Deseja-se buscar a raiz de uma equação f(x) =0 no intervalo [1,5] . Pelo método da bisseção 
o intervalo a ser testado para a raiz na 1ª iteração deve ser escolhido como: 
Resposta: [1,3] se f(1). f(3) < 0 
 
4ª Questão) Seja h uma função contínua, real de variável real. Sabe-se que h(-1) = 4; h(0) = 0; h(1) = 8. Seja 
uma função g definida como g(x) = h(x) - 2. Sobre a equação g(x) = 0 pode-se afirmar que: 
Resposta: pode ter duas raízes 
 
5ª Questão) Dentre os métodos numéricos para encontrar raízes (zeros) de funções reais, indique o gráfico 
que corresponde aos MÉTODO DO PONTO FIXO: 
Resposta: 
 
6ª Questão) O método do ponto fixo, é um método que permite encontrar as raízes de uma equação f(X) 
através de: 
Resposta: Uma expressão fi(x) baseada em f(x). 
 
7ª Questão) Considere um sistema linear 2 x 2, isto é, duas equações e duas incógnitas. Ao fazer a 
representação no plano cartesiano xy tem-se duas retas concorrentes. A respeito deste sistema podemos 
afirmar que: 
Resposta: apresenta uma única solução 
 
8ª Questão) Em Cálculo Numérico possuímos o Método de Lagrange para a interpolação polinomial de 
funções quando conhecemos alguns pontos das mesmas. Considerando este método como referência, 
determine o "polinômio" que melhor representa os pontos (1,3), (4,9), (3,7) e (2,5). 
Resposta: y=2x+1 
 
9ª Questão) A interpolação polinomial consiste em encontrar um polinômio de grau igual ou menor que n 
que melhor se ajuste aos n +1 pontos dados. Existem várias maneiras de encontrá-lo, dentre as quais 
podemos citar: 
Resposta: o método de Lagrange 
 
10ª Questão) Considere o gráfico de dispersão abaixo. 
 
 
Analisando o gráfico acima, qual a curva que os pontos acima melhor se ajustam? 
Resposta: Y = a.2-bx 
 
CÁLCULO NUMÉRICO CCE1178_SM_V.3 
1ª Questão) Em cálculo numérico é necessário o conhecimentos de várias funções. Por exemplo, que 
função é definida pela sentença: função f definida de R em R na qual a todo x pertencente ao domínio R 
associa o elemento y de valor igual a ax2+bx+cx (onde a e R*, b e c e R) 
Resposta: Função quadrática. 
 
2ª Questão) Sendo f uma função de R em R, definida por f(x) = 2x - 7, calcule f(2). 
Resposta: -3 
 
3ª Questão) Deseja-se buscar a raiz de uma equação f(x) =0 no intervalo [1,5] . Pelo método da bisseção 
o intervalo a ser testado para a raiz na 1ª iteração deve ser escolhido como: 
Resposta: [1,3] se f(1). f(3) < 0 
 
4ª Questão) Seja h uma função contínua, real de variável real. Sabe-se que h(-1) = 4; h(0) = 0; h(1) = 8. Seja 
uma função g definida como g(x) = h(x) - 2. Sobre a equação g(x) = 0 pode-se afirmar que: 
Resposta: pode ter duas raízes 
 
5ª Questão) Abaixo tem-se a figura de uma função e várias tangentes ao longo da curva. 
 
Resposta: Newton Raphson 
 
6ª Questão) Considere a descrição do seguinte método iterativo para a resolução de equações. " a partir 
de um valor arbitrário inicial x0 determina-se o próximo ponto traçando-se uma tangente pelo ponto (x0, 
f(x0)) e encontrando o valor x1 em que esta reta intercepta o eixo das abscissas." Esse método é conhecido 
como: 
Resposta: Método de Newton-Raphson 
 
7ª Questão) Resolva o sistema de equações abaixo e enconte x1 e x2: 
5x1 + 4x2 = 180 
4x1 + 2x2 = 120 
Resposta: x1 = 20 ; x2 = 20 
 
8ª Questão) O sistema de equações lineares abaixo pode ser representado em uma matriz estendida 
como: 
2x+3y-z = -7 
x+y+z = 4 
-x-2y+3z = 15 
Resposta: 
2 3 -1 | -7 
 1 1 1 | 4 
-1 -2 3 | 15 
 
9ª Questão) Em um experimento, foram obtidos os seguintes pontos (0,1), (4,9), (2,5), (1,3) e (3,7) que 
devem fornecer uma função através dos métodos de interpolação de Cálculo Numérico. Das funções 
descritas a seguir, qual é a mais adequada? 
Resposta: Função linear. 
 
10ª Questão) A sentença "valor do módulo do quociente entre o erro absoluto e o número exato" expressa 
a definição de: 
Resposta: Erro relativo 
 
CCE1178 - CÁLCULO NUMÉRICO – A6 V1 
1) Considere o conjunto de pontos apresentados na figura abaixo que representa o esforço ao longo de 
uma estrutura de concreto. 
 
A interpolação de uma função que melhor se adapta aos dados apresentados acima é do tipo 
Resposta: Y = ax2 + bx + c 
 
2) Calcular pela regra do Trapézio, usando 5 pontos e sabendo-se que 
 
Resposta: 3,985 
 
3) Dados os pontos ( (x0,f(x0)), (x1,f(x1)),..., (x20,f(x20)) ) extraídos de uma situação real de engenharia. 
Suponha que se deseje encontrar o polinômio P(x) interpolador desses pontos. A respeito deste polinômio 
são feitas as seguintes afirmativas: 
 I - Pode ser de grau 21 
II - Existe apenas um polinômio P(x) 
III - A técnica de Lagrange permite determinar P(x). 
Desta forma, é verdade que: 
Resposta: Apenas II e III são verdadeiras 
 
4) Considere o conjunto de instruções: If A > B then C = A x B Else C = A/B Se os valores de A e B são, 
respectivamente, 10 e 2, determine o valor de C após esse conjunto de instruções ser executado. 
Resposta: 20 
 
5) Experimentos laboratoriais visando a obtenção de pares ordenados (x,y) e posterior interpolação de 
funções é uma das aplicações do Cálculo Numérico. Por exemplo, empiricamente foram obtidos os 
seguintes pontos (-3,9), (-2,4), (0,0), (3,9), (1,1) e (2,4) que devem fornecer uma função através dos 
métodos de interpolação de Cálculo Numérico. Das funções descritas a seguir, qual é a mais adequada? 
Resposta: Função quadrática 
 
6) Se u = (5,4,3) e v = (3,5,7), calcule u + 2v 
Resposta: (11,14,17) 
 
7) Muitas situações de engenharia necessitam do cálculo de integrais definas. Porvezes devemos utilizar 
métodos numéricos para esta resolução. Considere o método numérico de integração conhecido como 
regra dos trapézios. A aplicação deste método consiste em dividir o intervalo de integração (de a a b) em 
trapézios com mesma altura h = (b + a)/n. Quando se aumenta n, ou seja, o número de trapézios, o valor 
da integral definida: 
Resposta: Varia, aumentando a precisão 
 
8) Dada a função f através do tabelamento a seguir, complete a tabela, e calcule, aproximadamente, o 
valor de usando o método dos trapézios com 3 casas decimais. 
 
Resposta: 13,900 
 
CCE1178 - CÁLCULO NUMÉRICO – A6 V2 
1) Se u = (5,4,3) e v = (3,5,7), calcule u + 2v 
Resposta: (11,14,17) 
 
2) A dedução do método da secante utiliza qual método para encontrar a raiz de uma função? 
Resposta: Semelhança de triângulos. 
 
3) Considere o conjunto de instruções: If A > B then C = A x B Else C = A/B Se os valores de A e B são, 
respectivamente, 10 e 2, determine o valor de C após esse conjunto de instruções ser executado. 
Resposta: 20 
 
4) Experimentos laboratoriais visando a obtenção de pares ordenados (x,y) e posterior interpolação de 
funções é uma das aplicações do Cálculo Numérico. Por exemplo, empiricamente foram obtidos os 
seguintes pontos (-3,9), (-2,4), (0,0), (3,9), (1,1) e (2,4) que devem fornecer uma função através dos 
métodos de interpolação de Cálculo Numérico. Das funções descritas a seguir, qual é a mais adequada? 
Resposta: Função quadrática. 
 
5) Se u = (5,4,3) e v = (3,5,7), calcule u + 2v 
Resposta: (11,14,17) 
 
6) Muitas situações de engenharia necessitam do cálculo de integrais definas. Por vezes devemos utilizar 
métodos numéricos para esta resolução. Considere o método numérico de integração conhecido como 
regra dos trapézios. A aplicação deste método consiste em dividir o intervalo de integração (de a a b) em 
trapézios com mesma altura h = (b ¿ a)/n. Quando se aumenta n, ou seja, o número de trapézios, o valor 
da integral definida: 
Resposta: Varia, aumentando a precisão 
 
7) Dada a função f através do tabelamento a seguir, complete a tabela, e calcule, aproximadamente, o 
valor de usando o método dos trapézios com 3 casas decimais. 
 
Resposta: 13,900 
 
8) Dados os pontos ( (x0,f(x0)), (x1,f(x1)),..., (x20,f(x20)) ) extraídos de uma situação real de engenharia. 
Suponha que se deseje encontrar o polinômio P(x) interpolador desses pontos. A respeito deste polinômio 
são feitas as seguintes afirmativas: 
 I - Pode ser de grau 21 
II - Existe apenas um polinômio P(x) 
III - A técnica de Lagrange permite determinar P(x). 
Desta forma, é verdade que: 
Resposta: Apenas II e III são verdadeiras 
 
CCE1178 - CÁLCULO NUMÉRICO – A7 V1 
1) Ao medir uma peça de 100cm o técnico anotou com erro relativo de 0,3% . Qual o valor do erro 
absoluto? 
Resposta: 0,3 cm 
Explicação: 
Erro relativo = erro absoluto / valor real 
0,3% = erro absoluto / 100 , então erro absoluto = 0,3% . 100 = 0.3/100 . 100 = 0,3 cm 
 
2) Trunque para quatro casas decimais, o valor x= 3,1415926536 
Resposta: 3,1415 
 
3) Considere uma função f: de R em R tal que sua expressão é igual a f(x) = a.x + 8, sendo a um número real 
positivo. Se o ponto (-3, 2) pertence ao gráfico deste função, o valor de a é: 
Resposta: 2 
 
4) Suponha que tenhamos um valor aproximado de 16700 para um valor exato de 16650. Marque o item 
que possui o erro absoluto, relativo e percentual respectivamente, 
Resposta: 50 , 0.003 , 0.3% 
 
5) Ao realizar uma medida o técnico anotou o valor 135 cm, mas o valor correto era 125 cm. Qual o erro 
relativo desta medição? 
Resposta: 8 % 
Explicação: 
Erro absoluto = módulo (135 - 125) = 10 cm 
Erro relativo: = 10 / 125 = 0,08 = 8% 
 
6) Suponha que uma pessoa esteja realizando a medição de um terreno utilizando uma fita métrica à Laser. 
Marque a opção que contém os erros que ela poderá cometer na execução desta atividade, na seguinte 
sequencia: ERRO DO OPERADOR, ERRO DO SISTEMA (PROCESSO) e ERRO ALEATÓRIO, respectivamente. 
Resposta: mal posicionamento da trena, marcação errada por baterias fracas, marcação errada por 
radiação solar intensa. 
 
7) Ao realizar uma medida o técnico anotou o valor 124 cm, mas o valor correto era 114 cm. Qual o erro 
relativo desta medição? 
Resposta: 8,8 % 
Explicação: 
Erro absoluto = módulo (124 - 114) = 10 cm 
Erro relativo: = 10 / 114 = 0,088 = 8,8 % 
 
8) Ao realizar uma medida o técnico encontrou o valor 12 cm, mas o valor correto era 13 cm. Qual o erro 
relativo desta medição? 
Resposta: 7,7% 
Explicação: 
Erro absoluto = módulo (13 - 12) = 1 cm 
Erro relativo: = 1 / 13 = 0,077= 7,7% 
 
CCE1178 - CÁLCULO NUMÉRICO – A7 V2 
1) Considere o valor exato x = 3,1415926536 e o valor aproximado x¿ = 3, 14, o erro absoluto neste caso é: 
Resposta: 0.0015926536 
 
2) Um aluno no Laboratório de Física fez a medida para determinada grandeza e encontrou o valor 
aproximado de 1,50 mas seu professor afirmou que o valor exato é 1,80. A partir dessas informações, 
determine o erro relativo 
Resposta: 0,1667 
 
3) O valor da integral de f(x) = 2/x3, variando no intervalo de 1 a 2, é igual a 7,5. Utilizando um método de 
integração numérica qualquer, foi encontrado o valor aproximado de 7,75. Determine, respectivamente, 
os erros absoluto e relativo desta aproximação 
Resposta: 0,25 e 0,03 
 
4) Muitas situações de engenharia necessitam do cálculo de integrais definas. Por vezes devemos utilizar 
métodos numéricos para esta resolução. Considere o método numérico de integração conhecido como 
regra dos retângulos, isto é, a divisão do intervalo [a,b] em n retângulos congruentes. Aplicando este 
método para resolver a integral definida cujos limites de integração são 0 e 3, n = 10, cada base h do 
retângulo terá que valor? 
Resposta: 0,3 
 
5) A sentença: "Valor do modulo da diferença numérica entre um numero exato e sua representação por 
um valor aproximado" apresenta a definição de: 
Resposta: Erro absoluto 
 
6) Ao medir uma peça de 100cm o técnico anotou com erro relativo de 0,5% . Qual o valor do erro 
absoluto? 
Resposta: 0,5 cm 
Explicação: 
Erro relativo = erro absoluto / valor real 
0,5% = erro absoluto / 100 , então erro absoluto = 0,5% . 100 = 0.5/100 . 100 = 0,5 cm 
 
7) Com respeito a propagação dos erros são feitas trê afirmações: 
I - o erro absoluto na soma, será a soma dos erros absolutos das parcelas; 
II - o erro absoluto da multiplicação é sempre nulo. 
III - o erro absoluto na diferença é sempre nulo. 
É correto afirmar que: 
Resposta: apenas I é verdadeira 
 
8) Ao realizar uma medida o técnico encontrou o valor 12 cm, mas o valor correto era 13 cm. Qual o erro 
relativo desta medição? 
Resposta: 7,7% 
Explicação: 
Erro absoluto = módulo (13 - 12) = 1 cm 
Erro relativo: = 1 / 13 = 0,077= 7,7% 
 
CCE1178 - CÁLCULO NUMÉRICO – A8 V1 
1) Aprendemos que a Matemática é a linguagem que utilizamos para expressar o conhecimento de várias 
ciências como a Física, a Química, a Economia e diversas outras. Associadas a Matemática estão as técnicas 
numéricas que nos facilitam a obtenção de soluções, inserindo os computadores na execução de rotinas de 
cálculo. Com relação ao cálculo numérico, podemos afirmar as seguintes sentenças, com EXCEÇÃO de: 
Resposta: Em cálculo numérico, erro é a diferença entre dois valores gerados por métodos não analíticos 
de obtenção do resultado. 
 
2) Uma técnica importante de integração numérica é a de Romberg. Sobre este método é correto afirmar 
que: 
Resposta: Tem como primeiro passo a obtenção de aproximações repetidas pelo método do trapézio 
 
3) Para analisar um fenômeno um engenheiro fez o levantamento experimental em um laboratório. Nesta 
análise concluiu que que as duas variáveis envolvidas x e y se relacionam linearmente, ou seja, através de 
um polinômio P(x) do primeiro grau. Qual o número mínimode pontos que teve que obter no ensaio para 
gerar o polinômio P9x) por interpolação polinomial? 
Resposta: 2 
 
4) No método de Romberg para a determinação de uma integral definida de limites inferior e superior 
iguais a a e b, respectivamente, o intervalo da divisão é dado por hk = (a-b)/2 ^(k-1). . Se a = 1, b = 0 e k =2, 
determine o valor de h. 
Resposta: 1/2 
 
5) Existem diversos métodos para a obtenção de uma integral definida, porém um deles aplica a regra do 
trapézio de forma repetida e "refina" a expressão obtida através da extrapolação de Richardson. 
Identifique nas opções a seguir o método que MAIS SE ADÉQUA ao descrito. 
Resposta: Método de Romberg. 
 
6) Os processos reiterados (repetitivos) constituem um procedimento de vários métodos numéricos para 
obtenção de raízes, como podemos constatar no método da bisseção. Um destes processos, se baseia na 
sucessiva divisão de um intervalo numérico no qual se conjectura a existência de uma raiz ou algumas 
raízes. Considerando-se a função f(x)= 2x3-5x2+4x-2 e o intervalo [2,6], determine o próximo intervalo a 
ser adotado no método de investigação das raízes 
Resposta: [2,3] 
 
7) O Método de Romberg nos permite obter o resultado de integrais definidas por técnicas numéricas. Este 
método representa um refinamento de métodos anteriores, possuindo diversas especificidades apontadas 
nos a seguir, com EXCEÇÃO de: 
Resposta: Permite a obtenção de diversos pontos que originam uma função passível de integração 
definida 
 
8) Na determinação de raízes de equações é possível utilizar o método iterativo conhecido como de 
Newton- Raphson. Seja a função f(x)= x4 - 5x + 2. Tomando-se x0 como ZERO, determine o valor de x1. 
SUGESTÃO: x1=x0- (f(x))/(f´(x)) 
Resposta: 0,4 
 
CCE1178 - CÁLCULO NUMÉRICO – A8 V2 
1) A regra de integração numérica dos trapézios para n = 2 é exata para a integração de polinômios de que 
grau? 
Resposta: primeiro 
Explicação: 
Quando a função é do primeiro grau, pois a figura formada abaixo da curva coincide com um trapézio. 
 
2) O Método de Romberg é uma excelente opção para a obtenção de integrais definidas, exigindo menos 
esforço computacional e oferecendo resultados mais precisos que outros métodos através de cálculos 
sequenciais. As duas primeiras etapas são obtidas através R1,1=(a-b)/2 [f(a)+f(b)] e R2,1=1/2 
[R1,1+h1.f(a+h2)], e fornecem aproximações para a integral definida da função f(x) sobre o intervalo [a,b]. 
Considerando o exposto, obtenha R2,1 para a função f(x)=x2, no intervalo [0,1]. Assinale a opção CORRETA 
com três casas decimais. 
Resposta: 0,3125 
 
3) Empregando-se a Regra dos Trapézios para calcular a integral de x3 entre 0 e 1 com dois intervalos, tem-
se como resposta o valor de 
Resposta: 0,3125 
Explicação: 
Inicialmente vamos determinar o valor de cada intervalo: h = (1- 0)/2 = 0,5 
x0 = 0, x1 = 0,5 e x2 = 1 
 
f(x) = x3 
f(0) = 03 = 0 
f(0,5) = (0,5)3 = 0,125 
f(1) = 13 = 1 
I = [f(x0) + 2.f(x1) + f(x2)].h/2 
I = [0 + 2.(0,125) + 1)].0,25 = 0,3125 
 
4) Em experimentos empíricos, é comum a coleta de informações relacionando a variáveis "x" e "y", tais 
como o tempo (variável x) e a quantidade produzida de um bem (variável y) ou o tempo (variável x) e o 
valor de um determinado índice inflacionário (variável y), entre outros exemplos. Neste contexto, 
geralmente os pesquisadores desejam interpolar uma função que passe pelos pontos obtidos e os 
represente algebricamente, o que pode ser feito através do Método de Lagrange. Com relação a este 
método, NÃO podemos afirmar: 
Resposta: Na interpolação quadrática, que representa um caso particular do polinômio de Lagrange, 
precisamos de dois pontos (x,y). 
 
5) Na determinação de raízes de equações é possível utilizar o método iterativo conhecido como de 
Newton- Raphson. Seja a função f(x)= x4 - 5x + 2. Tomando-se x0 como ZERO, determine o valor de x1. 
SUGESTÃO: x1=x0- (f(x))/(f´(x)) 
Resposta: 0,4 
 
6) Existem diversos métodos para a obtenção de uma integral definida, porém um deles aplica a regra do 
trapézio de forma repetida e "refina" a expressão obtida através da extrapolação de Richardson. 
Identifique nas opções a seguir o método que MAIS SE ADÉQUA ao descrito. 
Resposta: Método de Romberg. 
 
7) Os processos reiterados (repetitivos) constituem um procedimento de vários métodos numéricos para 
obtenção de raízes, como podemos constatar no método da bisseção. Um destes processos, se baseia na 
sucessiva divisão de um intervalo numérico no qual se conjectura a existência de uma raiz ou algumas 
raízes. Considerando-se a função f(x)= 2x3-5x2+4x-2 e o intervalo [2,6], determine o próximo intervalo a 
ser adotado no método de investigação das raízes. 
Resposta: [2,3] 
 
8) O Método de Romberg nos permite obter o resultado de integrais definidas por técnicas numéricas. Este 
método representa um refinamento de métodos anteriores, possuindo diversas especificidades apontadas 
nos a seguir, com EXCEÇÃO de: 
Resposta: Permite a obtenção de diversos pontos que originam uma função passível de integração 
definida 
 
CCE1178 - CÁLCULO NUMÉRICO – A9 V1 
1) Considere a situação em que você disponha de 20 pares ((x0,f(x0)), (x1,f(x1)),..., (x19,f(x19)) ) de dados 
distintos no plano cartesiano. Suponha que você utilize o método de Newton para a determinação do 
polinômio interpolador. Qual dos polinômios abaixo pode representar este polinômio? 
Resposta: X19 + 5X + 9 
 
2) O Método de Euler nos fornece pontos de curvas que servem como soluções de equações diferenciais. 
Sabendo-se que um dos pontos da curva gerada por este método é igual a (4; 53,26) e que a solução exata 
é dada por y=ex, determine o erro absoluto associado. Assinale a opção CORRETA. 
Resposta: 1,34 
 
3) as funções podem ser escritas como uma série infinita de potência. O cálculo do valor de sen(x) pode ser 
representado por: sen(x)= x - x^3/3! +x^5/5!+⋯ Uma vez que precisaremos trabalhar com um número 
finito de casas decimais, esta aproximação levará a um erro conhecido como: 
Resposta: erro de truncamento 
 
4) Considere f (x) = x3 − 9x + 3. Considerando o teorema do valor intermediário, podemos afirmar que: 
Resposta: Existe raiz no intervalo [-4,-3], pois f(-4) * f(-3) < 0 
 
5) Dentre os métodos numéricos para encontrar raízes (zeros) de funções reais, indique o gráfico que 
corresponde aos MÉTODO DA BISSEÇÃO: 
Resposta: 
 
6) O Método de Euler é um dos métodos mais simples para a obtenção de pontos de uma curva que serve 
como solução de equações diferenciais. Neste contexto, geramos os pontos, utilizando a relação 
yk+1=yk+h.f(xk,yk), onde "h" representa o passo adotado. Considerando a equação diferencial y'=y com 
y(0)=2, gere o ponto da curva para k=1 e passo igual a 0,5. Assinale a opção CORRETA. 
Resposta: 3 
 
7) Na descrição do comportamento de sistemas físicos dinâmicos, frequentente utilizamos equações 
diferenciais que, como o nome nos revela, podem envolver derivadas de funções. Um método comum para 
resolução de equações diferenciais de primeira ordem é o Método de Euler, que gera pontos da curva 
aproximada que representa a resolução do sistema. Para gerarmos os pontos, utilizamos a relação 
yk+1=yk+h.f(xk,yk), onde "h" representa o passo adotado. Considerando a equação diferencial y'=y com 
y(0)=1, gere o ponto da curva para k=1 e passo igual a 1. Assinale a opção CORRETA. 
Resposta: 2 
 
8) A Matemática traduz as ideias desenvolvidas em diversas ciências, como a Física, a Química e as 
Engenharias, em uma linguagem algébrica clara, que nos possibilita a manipulação de equações 
matemáticas e, desta forma, o descobrimento e entendimento dos fenômenos naturais que nos rodeiam. 
Neste universo de conhecimento matemático, existem as funções que seguem o padrão f(x)=ax2+bx+c, 
onde "a", "b" e "c" representam números reais, com "a" diferente de zero. Com relação a este tipo de 
função, PODEMOS AFIRMAR: 
Resposta:Estas funções possuem em suas representações gráficas pontos que são denominados vértice 
da parábola. 
 
CCE1178 - CÁLCULO NUMÉRICO – A9 V2 
1) Dentre os métodos numéricos para encontrar raízes (zeros) de funções reais, indique o gráfico que 
corresponde aos MÉTODO DA BISSEÇÃO: 
Resposta: 
 
 
2) O Método de Euler nos fornece pontos de curvas que servem como soluções de equações diferenciais. 
Sabendo-se que um dos pontos da curva gerada por este método é igual a (4; 53,26) e que a solução exata 
é dada por y=ex, determine o erro absoluto associado. Assinale a opção CORRETA. 
Resposta: 1,34 
 
3) as funções podem ser escritas como uma série infinita de potência. O cálculo do valor de sen(x) pode ser 
representado por: sen(x)= x - x^3/3! +x^5/5!+⋯ Uma vez que precisaremos trabalhar com um número 
finito de casas decimais, esta aproximação levará a um erro conhecido como: 
Resposta: erro de truncamento 
 
4) Considere f (x) = x3 − 9x + 3. Considerando o teorema do valor intermediário, podemos afirmar que: 
Resposta: Existe raiz no intervalo [-4,-3], pois f(-4) * f(-3) < 0 
 
5) O Método de Euler é um dos métodos mais simples para a obtenção de pontos de uma curva que serve 
como solução de equações diferenciais. Neste contexto, geramos os pontos, utilizando a relação 
yk+1=yk+h.f(xk,yk), onde "h" representa o passo adotado. Considerando a equação diferencial y'=y com 
y(0)=2, gere o ponto da curva para k=1 e passo igual a 0,5. Assinale a opção CORRETA. 
Resposta: 3 
 
6) Na descrição do comportamento de sistemas físicos dinâmicos, frequentente utilizamos equações 
diferenciais que, como o nome nos revela, podem envolver derivadas de funções. Um método comum para 
resolução de equações diferenciais de primeira ordem é o Método de Euler, que gera pontos da curva 
aproximada que representa a resolução do sistema. Para gerarmos os pontos, utilizamos a relação 
yk+1=yk+h.f(xk,yk), onde "h" representa o passo adotado. Considerando a equação diferencial y'=y com 
y(0)=1, gere o ponto da curva para k=1 e passo igual a 1. Assinale a opção CORRETA 
Resposta: 2 
 
7) A Matemática traduz as ideias desenvolvidas em diversas ciências, como a Física, a Química e as 
Engenharias, em uma linguagem algébrica clara, que nos possibilita a manipulação de equações 
matemáticas e, desta forma, o descobrimento e entendimento dos fenômenos naturais que nos rodeiam. 
Neste universo de conhecimento matemático, existem as funções que seguem o padrão f(x)=ax2+bx+c, 
onde "a", "b" e "c" representam números reais, com "a" diferente de zero. Com relação a este tipo de 
função, PODEMOS AFIRMAR 
Resposta: Estas funções possuem em suas representações gráficas pontos que são denominados vértice 
da parábola 
 
8) Sendo f uma função de R em R, definida por f(x) = 3x - 5, calcule f(-1). 
Resposta: -8 
 
CCE1178 - CÁLCULO NUMÉRICO – A10 V1 
1) As equações diferenciais ordinárias (EDOs) têm grande aplicação nos diversos ramos da engenharia. Em 
algumas situações as EDOs precisam de um método numérico para resolvê-las. Um dos métodos é o de 
Runge - Kutta de ordem " n". Em relação a este método são feitas as seguintes afirmações: 
I - é um método de passo dois 
II - há a necessidade de se calcular a função derivada 
III - não é necessário utilizar a série de Taylor 
É correto afirmar que: 
Resposta: todas estão erradas 
Explicação: 
O método de Runge - Kutta de ordem "n" utiliza um único passo, sem necessidade de utilizar a função 
derivada para determinar o ponto subsequente e vale-se da série de Taylor 
 
2) Suponha que você tenha determinado umas das raízes da função f(x) = 0 pelo método da bisseção e 
tenha encontrado o valor 1,010 mas o valor exato é 1,030. Assim, os erros absoluto e relativo valem, 
respectivamente: 
Resposta: 2.10^-2 e 1,9% 
 
3) Dentre os conceitos apresentados nas alternativas a seguir, assinale aquela que NÃO pode ser 
enquadrada como fator de geração de erros: 
Resposta: Execução de expressão analítica em diferentes instantes de tempo 
 
4) A resolução de sistemas lineares é fundamental em alguns ramos da engenharia. O cálculo numérico é 
uma ferramenta importante e útil nessa resolução. Sobre os sistemas lineares assinale a opção CORRETA 
Resposta: Ao se utilizar um método iterativo para solucionar um sistema de equações lineares deve 
tomar cuidado pois, dependendo do sistema em questão, e da estimativa inicial escolhida, o método 
pode não convergir para a solução do sistema. 
 
5) Aprendemos que a Matemática é a linguagem que utilizamos para expressar o conhecimento de várias 
ciências como a Física, a Química, a Economia e diversas outras. Associadas a Matemática estão as técnicas 
numéricas que nos facilitam a obtenção de soluções, inserindo os computadores na execução de rotinas de 
cálculo. Com relação ao cálculo numérico, podemos afirmar as seguintes sentenças, com EXCEÇÃO de: 
Resposta: em cálculo numérico, erro é a diferença entre dois valores gerados por métodos não analíticos 
de obtenção do resultado 
 
6) Seja a medida exata da área de uma laje igual a 24,8 m2 e o valor aproximado de 25m2. Qual o erro 
relativo associado? 
Resposta: 0,8% 
 
7) Em algumas modelagens físicas, nos deparamos com diversas situações em que devemos expressar 
condições de contorno através de equações lineares, que se organizam em um sistema. Considerando as 
opções a seguir, identifique aquela que NÃO se relaciona a relação destes sistemas 
Resposta: Método de Newton-Raphson. 
 
8) O método da bisseção é uma das primeiras aquisições teóricas quando estudamos Cálculo Numérico e 
se baseia na sucessiva divisão de intervalo no qual consideramos a existência de raízes até que as mesmas 
(ou a mesma) estejam determinadas. Considerando a função f(x)= x3-3x2+4x-2, o intervalo [0,5], 
identifique o próximo intervalo a ser adotado no processo reiterado do método citado 
Resposta: [0; 2,5] 
 
CCE1178 - CÁLCULO NUMÉRICO – A10 V2 
1) Sendo as matrizes M = (mij)2x3, N = (nij)axb, P = (pij)cx4, Q = (qij)dxe, é possível determinar M+N, NxP e 
P- Q, se: 
Resposta: a x b = 6, a + 1 = b = c= d= e - 1 
 
2) Qual o resultado da seguinte operação: 
0,68723 x 10^-1 - 0,4559 x 10^-2 
Resposta: 6,4164 x 10^-2 
 
3) Suponha que você tenha determinado umas das raízes da função f(x) = 0 pelo método da bisseção e 
tenha encontrado o valor 1,010 mas o valor exato é 1,030. Assim, os erros absoluto e relativo valem, 
respectivamente: 
Resposta: 2.10^-2 e 1,9% 
 
4) Dentre os conceitos apresentados nas alternativas a seguir, assinale aquela que NÃO pode ser 
enquadrada como fator de geração de erros: 
Resposta: Execução de expressão analítica em diferentes instantes de tempo 
 
5) A resolução de sistemas lineares é fundamental em alguns ramos da engenharia. O cálculo numérico é 
uma ferramenta importante e útil nessa resolução. Sobre os sistemas lineares assinale a opção CORRETA 
Resposta: Ao se utilizar um método iterativo para solucionar um sistema de equações lineares deve 
tomar cuidado pois, dependendo do sistema em questão, e da estimativa inicial escolhida, o método 
pode não convergir para a solução do sistema. 
 
6) Aprendemos que a Matemática é a linguagem que utilizamos para expressar o conhecimento de várias 
ciências como a Física, a Química, a Economia e diversas outras. Associadas a Matemática estão as técnicas 
numéricas que nos facilitam a obtenção de soluções, inserindo os computadores na execução de rotinas de 
cálculo. Com relação ao cálculo numérico, podemos afirmar as seguintes sentenças, com EXCEÇÃO de: 
Resposta: em cálculo numérico, erro é a diferença entre dois valores gerados por métodos não analíticos 
de obtenção do resultado 
 
7) Seja a medida exata da área de uma laje igual a 24,8 m2 e o valor aproximado de 25m2. Qual o erro 
relativo associado? 
Resposta: 0,8% 
 
8) Em algumas modelagens físicas, nos deparamos com diversas situações em que devemos expressar 
condiçõesde contorno através de equações lineares, que se organizam em um sistema. Considerando as 
opções a seguir, identifique aquela que NÃO se relaciona a relação destes sistemas 
Resposta: Método de Newton-Raphson.