prova (7)

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24/11/2018 AVA UNIVIRTUS
http://univirtus-277877701.sa-east-1.elb.amazonaws.com/ava/web/#/ava/AvaliacaoUsuarioHistorico/306359/novo/1/ 1/9
Questão 1/12 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
Considere a região delimitada pela reta e pela parábola , conforme a figura abaixo:
 
 
O valor da área de é
 
Referência: Livro-Base, p. 54-59.
 
Nota: 0.0
A
B
 
C
 
D
 
E
R y = x + 2 y = x2
R
u. a.52
u. a.132
u. a.29
u. a.92
A área da região pode ser obtida a partir da integral dupla: 
 
Inicialmente, observamos que 
 Assim,
 
R ∬
R
1
R = {(x, y) ∈ R2; − 1 ≤ x ≤ 2 e x2 ≤ y ≤ x + 2}.
A = ∫
2
−1
∫
x+2
x2
1 dydx = ∫
2
−1
(x + 2 − x2) dx
= [ + 2x − ]
2
−1
= (2 + 4 − ) − ( − 2 + ) = u. a.
x2
2
x3
3
8
3
1
2
1
3
9
2
u. a.72
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Questão 2/12 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
Seja o sólido limitado superiormente pelo plano , inferiormente por e lateralmente pelos planos 
 O volume de é
 
 
Referência: Livro-Base, p. 60-66.
 
Nota: 0.0
Questão 3/12 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
A respeito da sequência , pode-se afirmar que
 
Referência: Livro-Base, p. 104-105.
 
Nota: 0.0
A é convergente com limite 3.
B é convergente com limite 7.
A
B
 
C
D
E
S z = 5 z = 2
y = 0, y = 3, x = 0 e x = 1. S
V = 18 u. v.
V = 9 u. v.
Inicialmente, observamos que 
 e seu
volume pode ser obtido a partir da integral tripla: 
 Assim,
 
S = {(x, y, z) ∈ R3; 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 3 e 2 ≤ z ≤ 5}
∭ 1 dV .
V = ∭
V
1 dV = ∫
1
0
∫
3
0
∫
5
2
dzdydx = ∫
1
0
∫
3
0
[z]∣∣∣
5
2
dydx
= ∫
1
0
∫
3
0
3 dydx = ∫
1
0
[3y]∣∣∣
3
0
dx = ∫
1
0
9 dx
= 9 u. v.
V = 3 u. v.
V = 12 u. v.
V = 6 u. v.
an = 3+7n
2
n+n2
Observamos que 
 
Logo, podemos afirmar que a sequência é convergente com
limite igual a 7.
lim
n→+∞
an = limn→+∞ = limn→+∞ = = 7.
3+7n2
n2
n+n2
n2
+ 73
n2
+ 11n
7
1
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C é convergente com limite 10.
D é divergente.
E é convergente com limite infinito.
Questão 4/12 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
Dada a função , o gradiente de no ponto é
 
Referência: Livro-Base, p. 86.
 
Nota: 0.0
A
B
 
C
 
D
E
 
Questão 5/12 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
Considere a área da região do primeiro quadrante limitada pela parábola , pelo eixo e pela reta 
. É correto afirmar que
 
Referência: Livro-Base, p. 54-59.
 
f(x, y) = √x2 + y2 f P = (1, 1)
∇f(1, 1) = 2√2i^ + 2√2j^ .
∇f(1, 1) = 2√2i^ − 2√2j^ .
∇f(1, 1) = i^ + j^ .√22
√2
2
O gradiente de é definido por 
 Notamos que 
 e 
 Com isso, 
 e Portanto,
 
 
 
f(x, y)
∇f(x, y) = (x, y) i^ + (x, y)j^ .∂f∂x
∂f
∂y
(x, y) = =∂f∂x
2x
2√x2+y2
x
√x2+y2
(x, y) = = .∂f
∂y
2y
2√x2+y2
y
√x2+y2
(1, 1) = =∂f∂x
1
√2
√2
2
(1, 1) = = .∂f
∂y
1
√2
√2
2
∇f(1, 1) = i^ + j^ .√22
√2
2
∇f(1, 1) = √2i^ − √2j^ .
∇f(1, 1) = i^ − j^ .√23
√2
3
A y = x2 y
y = 4
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Nota: 10.0
Questão 6/12 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
A área da superfície de revolução obtida ao girar o gráfico da função em torno do eixo , no 
intervalo , vale
 
A
B
C
D
E
A = ∫
4
0
∫
√y
0
dxdy = u. a.16
3
Você acertou!
Um esboço desta região é apresentado abaixo:
 
 
Note que esta região pode ser descrita como 
 Assim, 
 
 
R = {(x, y) ∈ R2; 0 ≤ y ≤ 4 e 0 ≤ x ≤ √y}.
A = ∫
4
0
∫
√y
0
dxdy = ∫
4
0
(∫
√y
0
dx) dy = ∫
4
0
√y dy
= [ √y3] ∣∣∣
4
0
= u. a.2
3
16
3
A = ∫
4
0
∫
√y
0
dydx = u. a.16
5
A = ∫
4
0
∫
√y
0
dxdy = u. a.16
5
A = ∫
4
0
∫
√y
0
dydx = u. a.6
5
A = ∫
4
0
∫
√y
0
dxdy = u. a.6
7
f(x) = 2x x
[0, 3]
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Referência: Livro-Base, p. 15-20.
 
Nota: 0.0
Questão 7/12 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
Considere a função O arco do gráfico desta função no intervalo é apresentado na figura 
abaixo:
O comprimento deste arco vale
 
Referência: Livro-Base, p. 21-24.
 
Nota: 0.0
A
B
 
C
 
D
E
A
B
12√5π u. a.
18√5π u. a.
A área da superfície de revolução é dada por
 
 
Área = 2π ∫
3
0
f(x)√1 + [f ′(x)]2 dx = 2π ∫
3
0
2x√1 + 22 dx
= 4√5π ∫
3
0
x dx = 4√5π ( ) ∣∣∣
3
0
= 18√5π u. a.
x2
2
9√5π u. a.
3√13π u. a.
u. a.π√133
f(x) = x3/2. [0, 1]
L = (10√10 − 1) u. c.227
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Questão 8/12 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
Assinale a alternativa que corresponde às derivadas parciais da função: 
 
 
Referência: Livro-Base, p. 80.
Nota: 0.0
 
C
 
D
 
E
A
B
C
 
D
 
E
L = (10√10) u. c.227
L = (13√13 − 1) u. c.227
L = (10√10 − 1) u. c.127
L = (13√13 − 8) u. c.127
A fórmula que fornece o comprimento de arco é 
 
 
L = ∫
b
a
√1 + [f ′(x
L = ∫
1
0
�� �
⎷1 + ( )
2
dx = ∫
1
0
√1 + dx = ∫
3√x
2
9x
4
1
2
f(x, y) = x2y2 − 3xy − 13.
= 2xy2 − 3y + 13 e = 2x2y − 3x + 13.∂f∂x
∂f
∂y
= 2y2 − 3y e = 2y − 3.∂f∂x
∂f
∂y
= 2xy2 + 3y e = 2x2y + 3x.∂f∂x
∂f
∂y
= 2x − 3y e = 2y − 3x.∂f∂x
∂f
∂y
= 2xy2 − 3y e = 2x2y − 3x.∂f∂x
∂f
∂y
Calculamos a derivada separadamente em relação a cada variável.
(x2y2 − 3xy + 13) = 2xy2 − 3y e (x2y2 − 3xy + 13) = 2x2∂∂x
∂
∂y
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Questão 9/12 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
Seja O valor de é
 
 
Referência: Livro-Base, p. 47.
 
Nota: 0.0
Questão 10/12 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
Considere o segmento de reta dado pelas seguintes equações paramétricas:
 
 onde O valor da integral de linha é
 
 
 
Referência: Livro-Base, p. 153-155.
 
Nota: 10.0
A 8.
B 27.
C 9.
D 3.
E 18.
A 73/6.
B 113/6.
C 101/6.
I = ∫
2
−1
∫
4
2
xy dydx. I
Para obter o valor de , inicialmente integramos com respeito a var
 (neste caso, mantemos a variável constante). Assim,
 
 
 
Finalmente, 
 
 
I
x
∫
4
2
xy dy = x ∫
4
2
y dy = x ( ) ∣∣∣
4
2
= x(8 − 2) = 6x.
y2
2
I = ∫
2
−1
∫
4
2
xy dydx = ∫
2
−1
6x dx = 6 ( ) ∣∣∣
2
−1
= 6 (2 − ) = 9.
x2
2
1
2
C
{ x(t) = 2t + 1t(t) = t − 1 , 0 ≤ t ≤ 1. ∫C
(2x + y2) dx + (2x2 + y) dy
Você acertou!
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Questão 11/12 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis (questão opcional)
Considere a função onde e Então, a derivada de em 
relação à variável é
 
Referência: Livro-Base, p. 79
 
Nota: 10.0
D 130/6.
E 101/3.
A
B
C
 
D
 
E
Notamosque e Assim,
 
dx = 2 dt dy = dx.
∫
C
(2x + y2) dx + (2x2 + y) dy = ∫
1
0
[2(2t + 1) + (t − 1)2] 2
= ∫
1
0
[2t2 + 4t + 6] dt + (8t2
= ∫
1
0
(10t2 + 13t + 7) dt = [
= .101
6
z = x3 − 4x2y + xy2 − y3 + 1, x = sen t y = cos t. z
t
= (3x2 − 8xy + y2)cos t + (4x2 − 2xy + 3y2)sen t.dzdt
Você acertou!
Pela Regra da Cadeia, como e estão em função de , temos
 
 Portanto, 
x y t
= ⋅ + ⋅ .dzdt
∂z
∂x
dx
dt
∂z
∂y
dy
dt
= (3x2 − 8xy + y2)cos t + (−4x2 + 2xy − 3y2)(−sen t)
= (3x2 − 8xy + y2)cos t + (4x2 − 2xy + 3y2)sen t.
dz
dt
= (3x2 − 8xy + y2)sen t + (4x2 − 2xy + 3y2)sen t.dzdt
= (3x2 − 8xy + y2)cos t − (4x2 − 2xy + 3y2)cos t.dzdt
= (−8xy + y2)cos t + (4x2 − 2xy + 3y2)sen t.dzdt
= (3x2 − 8xy + y2)cos t + (2xy + 3y2)sen t.dzdt
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Questão 12/12 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis (questão opcional)
Considere a região delimitada pela cardióide conforme a figura abaixo:
 
 
A área da região mede
 
Referência: Livro-Base, p. 33-36.
 
Nota: 0.0
A
B
 
C
 
D
 
E
R r = 2 + 2 cos θ,
R
16π u. a.
12π u. a.
10π u. a.
8π u. a.
6π u. a.
A curva é simétrica ao eixo polar (pois trocando p
 não se altera). Desse modo, calculamos a área da 
multiplicamos o resultado por 2, ou seja, 
 
r = 2 + 2 cos θ θ
r = 2 + 2 cos θ
Área(R) = 2 [ ∫
π
0
(2 + 2 cos θ)2 dθ] = ∫
π
0
(4 + 8 cos θ + 4 cos
= ∫
π
0
[4 + 8 cos θ + 4 ( )] dθ = ∫
π
0
(6 + 8 c
= (6 θ + 8 sen θ + sen 2θ)∣∣∣
π
0
= 6π + 8 sen π + sen 2π =
1
2
1 + cos 2θ
2