APOOL Cálculo Dif Integral a Vs V 1 1

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APOOL - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis 1.1 
 
Questão 1/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis 
Leia o texto a seguir: 
 
No espaço tridimensional, estabelecemos três relações representadas por valores do 
conjunto domínio Dm(f), expresso por (x,y,z), com respectiva imagem Im(f) expressa 
pela função f(x,y,z). 
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão. 
 
 
Considere o texto acima, os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral de 
várias variáveis e a função f(x,y,z)=x2+y2|√ z−1 |f(x,y,z)=x2+y2|z−1| com 
domínio Dom(f)={(x,y,z)∈R3/z>1}Dom(f)={(x,y,z)∈R3/z>1}. Agora, assinale a 
alternativa correta que apresenta o valor de f(x,y,z)f(x,y,z) no ponto (2,3,5)(2,3,5): 
Nota: 0.0 
 A 132132 
Comentário: Esta é a alternativa correta, conforme a seguinte solução: substituindo os valores de x, y e z em f(x,y,z) temos: 
 
f(2,3,5)=22+32|√ 5−1 |=4+9|√ 4 |=132.f(2,3,5)=22+32|5−1|=4+9|4|=132. 
 
(livro-base, p. 77). 
 B 145145 
 C 133133 
 D 115115 
 E 154154 
 
Questão 2/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis 
Leia o texto a seguir: 
 
Seja f uma função de duas variáveis x e y, diferenciável num ponto (x0,y0)(x0,y0) do 
domínio, e sejam as funções dadas por x(t)x(t) e y(t)y(t) diferenciáveis em t0t0, de modo 
que x(t0)=x0x(t0)=x0 e y(t0)=y0y(t0)=y0, então a função FF composta por ff com xx e yy é 
tal que: 
dFdt=dfdx⋅(x0,y0)⋅dxdt(t0)+dfdy⋅(x0,y0)⋅dydt(t0)dFdt=dfdx⋅(x0,y0)⋅dxdt(t0)+dfd
y⋅(x0,y0)⋅dydt(t0). 
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão. 
 
 
Considerando o texto acima, os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e 
integral de várias variáveis e 
a função z=x3−4x2y+xy2−y3+1,z=x3−4x2y+xy2−y3+1, onde x=sentx=sent e y=c
ost.y=cost., assinale a alternativa correta que apresenta a derivada de zz em relação 
à variável tt: 
Nota: 0.0 
 A dzdt=(3x2−8xy+y2)cost+(4x2−2xy+3y2)sent.dzdt=(3x2−8xy+y2)cost+(4x2−2xy+3y2)sent. 
Comentário: Esta é a alternativa correta, pois pela Regra da Cadeia, como xx e yy estão em função de tt, temos 
dzdt=∂z∂x⋅dxdt+∂z∂y⋅dydt.dzdt=∂z∂x⋅dxdt+∂z∂y⋅dydt. Portanto, dzdt=(3x2−8xy+y2)cost+(−4x2+2xy−3y2)(−sent)=(3x2−8xy+y2)cost+(4x2−2xy+3y2)sent.dzdt=(3x2−8xy+y2)cost+(−4x2+2xy−3y2)(−sent)=(3x2−8xy+y2)cost+(4x2−2xy+3y2)sent. 
 
(livro-base, p. 79) 
 B dzdt=(3x2−8xy+y2)sent+(4x2−2xy+3y2)sentdzdt=(3x2−8xy+y2)sent+(4x2−2xy+3y2)sent 
 C dzdt=(3x2−8xy+y2)cost+(4x2−2xy+3y2)costdzdt=(3x2−8xy+y2)cost+(4x2−2xy+3y2)cos⁡t 
 D dzdt=(−8xy+y2)cost+(4x2−2xy)sent.dzdt=(−8xy+y2)cost+(4x2−2xy)sent. 
 E dzdt=(3x2−8xy+y2)costdzdt=(3x2−8xy+y2)cost 
 
Questão 3/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis 
Leia o texto a seguir: 
 
Se uma função f é contínua e derivável no intervalo fechado [a,b], é possível 
determinar o comprimento do arco da curva C, de a até b. Lembrando que a fórmula 
utilizada é C=∫ba√1+[f′(x)]2 dxC=∫ab1+[f′(x)]2dx. 
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão. 
 
 
Considerando o texto acima, os conteúdos do livro-base Cálculo Diferencial e 
Integral a Várias Variáveis e a função f(x)=2x−8f(x)=2x−8, identifique a alternativa 
correta que apresenta o comprimento do arco da curva dada por ff no intervalo 
fechado [0,2][0,2]: 
Nota: 0.0 
 A 2√5 u.c.25u.c. 
Comentário: Esta é a alternativa correta, pois aplicando a fórmula para calcular o comprimento da curva, teremos: 
 
A=∫ba√ 1+[f′(x)]2 dx=∫20√1+22dx=∫20√5 dx=2√5 u.c.A=∫ab1+[f′(x)]2dx=∫021+22dx=∫025dx=25u.c. 
 
 
(Livro-base, p. 21-24). 
 B 3√5 u.c.35u.c. 
 C 4√u.c.4u.c. 
 D 5√8 u.c.58u.c. 
 E 6√u.c.6u.c. 
 
 
 
 
Questão 4/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis 
Leia o extrato de texto a seguir: 
 
"[Em integrais repetidas] na intenção de 
calcular ∫dc∫h(x)g(x)f(x,y)dydx∫cd∫g(x)h(x)f(x,y)dydx, inicialmente 
integramos f(x,y)f(x,y) em relação a yy, mantendo xx fixo. Os limites de 
integração g(x)g(x) e h(x)h(x) dependerão desse valor fixo de xx, o que resultará na 
quantidade ∫h(x)g(x)f(x,y)dy∫g(x)h(x)f(x,y)dy. E, então, integraremos a quantidade 
posterior em relação a xx, considerando este uma variável entre os limites constantes 
de integração cc e dd". 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: 
InterSaberes, 2016, p. 46. 
 
 
Considerando o extrato de texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo 
diferencial e integral a várias variáveis, identifique a alternativa que apresenta o 
valor da integral repetida ∫20∫20yzdzdy∫02∫02yzdzdy: 
Nota: 10.0 
 A 0 
 B 2 
 C 4 
Você acertou! 
Comentário: Para calcular a integral repetida, primeiro considera uma das variáveis constante. Em nosso caso, consideraremos a variável x. Então, 
∫20∫20yzdzdy=∫20y[∫20zdz]dy=∫20y[z22]20dy=∫20y[222−022]dy=∫20y2dy=2∫20ydy=2y22∣∣∣20=2[222−022]=2⋅2=4∫02∫02yzdzdy=∫02y[∫02zdz]dy=∫02y[z22]02dy=∫02y[222−022]dy=∫02y2dy=2∫02ydy=2y22|02=2[222−022]=2⋅2=4 
 
(livro-base, p. 43-47). 
 D 8 
 E 16 
 
Questão 5/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis 
Leia o trecho de texto a seguir: 
 
"Na equação da curva, em que y=f(x)y=f(x), considerando-se f e sua derivada (f') 
contínuas num trecho de intervalo fechado [a,b][a,b] e sendo a função f(x)f(x) maior 
que e igual a zero, com xx sendo um elemento que pertence ao intervalo [a,b][a,b], a 
área na superfície S gerada pelo giro da curva C ao redor do eixo das abscissas x será 
definida por: A=2π∫baf(x)√1+[f′(x)]2 dxA=2π∫abf(x)1+[f′(x)]2dx ". 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: 
InterSaberes, 2016, p. 18. 
 
 
Considerando o trecho de texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo 
diferencial e integral de várias variáveis, calcule o valor da área de uma superfície 
cônica gerada pela revolução do segmento de reta dado pela 
equação y=3x+2y=3x+2 , no intervalo fechado [0,2][0,2] em torno do eixo das 
abscissas. Em seguida, assinale a alternativa correta que corresponde a esse valor: 
 
 
Nota: 0.0 
 A 25π√20 25π20 u.a. 
 B 20π√10 20π10 u.a. 
Comentário: Esta é a alternativa correta, conforme solução: 
 
A=2π∫20y(x)√ 1+[y′(x)]2 dx=2π∫20(3x+2)√1+32dx=2π√10 ∫20(3x+2)dxA=2π√10 3(3x+22)2∣∣∣20=π√103[(3⋅2+2)2−4]=60π√10 3=20π√10 u.a.A=2π∫02y(x)1+[y′(x)]2dx=2π∫02(3x+2)1+32dx=2π10∫02(3x+2)dxA=2π103(3x+22)2|02=π103[(3⋅2+2)2−4]=60π103=20π10u.a. 
 
(livro-base, p. 15-20). 
 C 22π√ 12 22π12 u.a 
 D 23π√13 23π13 u.a. 
 E 21π√15 21π15 u.a. 
 
Questão 6/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis 
Leia o extrato de texto a seguir: 
 
"[Em integrais repetidas] na intenção de 
calcular ∫dc∫h(x)g(x)f(x,y)dydx∫cd∫g(x)h(x)f(x,y)dydx, inicialmente 
integramos f(x,y)f(x,y) em relação a yy, mantendo xx fixo. Os limites de 
integração g(x)g(x) e h(x)h(x) dependerão desse valor fixo de xx, o que resultará na 
quantidade ∫h(x)g(x)f(x,y)dy∫g(x)h(x)f(x,y)dy. E, então, integraremos a quantidade 
posterior em relação a xx, considerando este uma variável entre os limites constantes 
de integração cc e dd". 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: 
InterSaberes, 2016, p. 46.. 
 
Considerando o extrato de texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo 
diferencial e integral a várias variáveis, assinale a alternativa correta que apresenta 
o valor da integral repetida ∫21∫102xydydx∫12∫012xydydx: 
Nota: 0.0 
 A 11 
 B 3232 
Comentário: Esta é a alternativa correta, pois para calcular a integral repetida, primeiro considera uma das variáveis constante. Em nosso caso, consideraremos a variável x. Então, 
∫21∫102xydydx=2∫21x[∫10ydy]dx=2∫21x[y22]10dx=2∫21x[122−022]dx=2∫21x12dx=∫21xdx=x22∣∣∣21222−12242−12=32∫12∫012xydydx=2∫12x[∫01ydy]dx=2∫12x[y22]01dx=2∫12x[122−022]dx=2∫12x12dx=∫12xdx=x22|12222−12242−12=32(Livro-base p. 43-47). 
 C 1212 
 D 5252 
 E 7272 
 
Questão 7/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis 
Leia o excerto de texto a seguir: 
 
"Em geral, podemos concluir que a derivada direcional de um campo escalar numa 
determinada direção será o produto escalar dessa direção pelo gradiente do campo 
escalar". 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: 
InterSaberes, 2016, p. 86. 
 
 
Considere o excerto de texto acima, os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e 
integral de várias variáveis e a função f(x,y)=lnx−lny.f(x,y)=lnx−lny. Agora, 
assinale a alternativa correta que apresenta a derivada de ff no 
ponto P=(12,−13)P=(12,−13), na direção do vetor 
unitário ⃗u=(35,−45).u→=(35,−45). 
Nota: 0.0 
 A ∂f∂⃗u(35,−13)=85.∂f∂u→(35,−13)=85. 
 B ∂f∂⃗u(35,−13)=−135.∂f∂u→(35,−13)=−135. 
 C ∂f∂⃗u(35,−13)=−65.∂f∂u→(35,−13)=−65. 
Comentário: Esta é a alternativa correta, pois notamos 
que ∂f∂⃗u(x0,y0)=∇f(x0,y0)⋅⃗u.∂f∂u→(x0,y0)=∇f(x0,y0)⋅u→. Assim, ∂f∂⃗u(1/2,−1/3)=∇f(1/2,−1/3)⋅(3/5,−4/5).∂f∂u→(1/2,−1/3)=∇f(1/2,−1/3)⋅(3/5,−4/5). Como ∂f∂x(x,y)=1x e ∂f∂y(x,y)=−1y,∂f∂x(x,y)=1x e ∂f∂y(x,y)=−1y, temos ∇f(1/2,−1/3)=(2,3)∇f(1/2,−1/3)=(2,3) e, 
portanto, ∂f∂⃗u(1/2,−1/3)=(2,3)⋅(3/5,−4/5)=−65.∂f∂u→(1/2,−1/3)=(2,3)⋅(3/5,−4/5)=−65. 
 
(livro-base, p. 86). 
 D −57.−57. 
 E −85.−85. 
 
Questão 8/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis 
Leia o trecho de texto a seguir: 
 
"[Em integrais repetidas] na intenção de 
calcular ∫dc∫h(x)g(x)f(x,y)dydx∫cd∫g(x)h(x)f(x,y)dydx, inicialmente 
integramos f(x,y)f(x,y) em relação a yy, mantendo xx fixo. Os limites de 
integração g(x)g(x) e h(x)h(x) dependerão desse valor fixo de xx, o que resultará na 
quantidade ∫h(x)g(x)f(x,y)dy∫g(x)h(x)f(x,y)dy. E, então, integraremos a quantidade 
posterior em relação a xx, considerando este uma variável entre os limites constantes 
de integração cc e dd". 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: 
InterSaberes, 2016, p. 46. 
 
Considerando o trecho de texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo 
diferencial e integral a várias variáveis, assinale a alternativa correta que apresenta 
o valor da integral repetida ∫21∫21xydydx∫12∫12xydydx: 
Nota: 10.0 
 A 9494 
Você acertou! 
Comentário: Esta é a alternativa correta, pois para calcular a integral repetida, primeiro considera uma das variáveis constante. Em nosso caso, consideraremos a variável x. Então, 
∫21∫21xydydx=∫21x[∫21ydy]dx=∫21x[y22]21dx=∫21x[222−122]dx=∫21x32dx=32∫21xdx=32x22∣∣∣21=32[222−122]=32⋅32=94∫12∫12xydydx=∫12x[∫12ydy]dx=∫12x[y22]12dx=∫12x[222−122]dx=∫12x32dx=32∫12xdx=32x22|12=32[222−122]=32⋅32=94 
 
(Livro-base p. 43-47). 
 B 1212 
 C 7474 
 D 3434 
 E 7272 
 
Questão 9/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis 
Leia o texto a seguir: 
 
Uma fábrica produz três produtos em quantidades diferentes. Cada produto é 
representado por x1, x2 e x3, respectivamente, e a função do custo de fabricação desses 
três produtos é representada por C (x1, x2, x3) = 100 + 2x1 + 2x2 + 3x3. 
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão. 
 
Considerando o texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e 
integral a várias variáveis, identifique a alternativa correta que apresenta o custo da 
fabricação, se x1=3x1=3, x2=1x2=1 e x3=4x3=4: 
 
Nota: 10.0 
 A 120 
Você acertou! 
Comentário: Esta é a alternativa correta, pois C (3, 1, 4) = 100 + 2.3 + 2.1 + 3.4 = 100+6+2+12 = 120 
 
(livro-base, p. 75-76). 
 B 150 
 C 180 
 D 200 
 E 220 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 10/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis 
Leia o texto a seguir: 
 
Uma indústria produz três tipos de objetos eletrônicos, sendo representados por 
x1,x2x1,x2 e x3x3, respectivamente. O custo de produção destes objetos é dado pela 
função C(x1,x2,x3)=50+2x1+2x2+3x3C(x1,x2,x3)=50+2x1+2x2+3x3. 
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão. 
 
Considerando o texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e 
integral a várias variáveis, suponha que a empresa fabrica, por mês, 30 unidades do 
produto x1x1, dez unidades do produto x2x2 e 50 unidades do produto x3x3. Agora, 
assinale a alternativa correta que apresenta o custo dessa produção: 
Nota: 10.0 
 A 120 
 B 150 
 C 180 
 D 280 
Você acertou! 
Comentário: Esta é a alternativa correta, pois para calcular o custo de produção basta substituir as variáveis pelos valores determinados de x_1,x_2 e x_3 . Assim teremos: 
 
C(30,10,50) = 50+2.30+2.10+3.50 = 280 
 
(Livro-base p. 75-76). 
 E 350