prova (9)

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24/11/2018 AVA UNIVIRTUS
http://univirtus-277877701.sa-east-1.elb.amazonaws.com/ava/web/#/ava/AvaliacaoUsuarioHistorico/262863/novo/1/ 1/11
Questão 1/12 - Números Complexos e Equações Algébricas
Leia o excerto de texto dado:
 
As pesquisas feitas na Escola de Administração de Harvard defendem a tese da "cadeia serviço-lucro", que 
relaciona o serviço interno e a satisfação do funcionário ao valor para o cliente e, em última análise, ao lucro.
 
 
Considerando o excerto de texto dado e os conteúdos do livro-base Números complexos e equações 
algébrica, leia e resolva a seguinte situação-problema: Uma indústria de móveis fabrica estantes. A relação 
entre o preço de venda de cada estante e o lucro referente à venda desses produtos é dado pela função 
. Determine o preço de cada estante de modo que o lucro seja o maior 
possível.
 
Nota: 10.0
Questão 2/12 - Números Complexos e Equações Algébricas
A
B
C
D
E
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: ZEITHAML, Valarie A.; BITNER, Mary Jo; GREMLER, Dwayne D. Marketing de Serviços-: A Empresa com Foco no Cliente. AMGH Editora, 2014.
L(X) = −10x2 + 13000x − 5000
550
600
650
Você acertou!
Para calcular o preço de cada estante que transforma o lucro o
maior possível, devemos calcular o vértice da equação dada 
.
 
Nesta equação 
 
 
 
Tendo x vértice dado pela equação :
 Substituímos os valores de e e fazemos os cálculos:
 
 
 
Livro-base p. 15-33, p. 160-161.
x
L(x) = −10x2 + 13000x − 5000
a = −10
b = 13000
c = −5000
xv = −b2a
a b
xv =
xv =
xv =
xv = 650
−b
2a
−13000
2(−10)
−13000
−20
700
750
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Observe a figura abaixo:
 
 
Considerando que 95 representa a área da figura acima e com base nos conteúdos de Equação de 2º Grau 
do Livro-base Números complexos e equações albébricas, assinale a alternativa que contém a equação 
quadrática relacionada à figura.
Nota: 10.0
A
 
B
 
C
 
D
 
E
Questão 3/12 - Números Complexos e Equações Algébricas
Observe o gráfico a seguir:
 
x2 + 14x + 95 = 0
x2 + 14x − 95 = 0
Você acertou!
Na figura há um quadrado de lado cuja área é e dois
retângulos de área cada. A área dessa figura é x +14x.
Como essa área tem que ser igual a 95, temos x +14x=95 ou,
de maneira equivalente, x +14x-95=0.
 (Livro base pp. 32-33).
x x2
7x 2
2
2
x2 + 7x + 95 = 0
x2 + 7x − 95 = 0
x2 − 14x = −95
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Considerando o gráfico dado e os conteúdos do livro-base Números complexos e equações algébrica, 
analise as afirmativas abaixo:
 
I. É uma função par.
 
II. A função possui raízes repetidas.
 
III. A função possui ponto de inflexão.
São corretas apenas as afirmativas:
Nota: 10.0
A I e II
B II e III
C I, apenas
D II, apenas
E III, apenas
Questão 4/12 - Números Complexos e Equações Algébricas
Você acertou!
I.Falso. A função não é par por não satisfaz a igualdade 
. 
 
II. Falso. Porque o gráfico da função corta três pontos
diferentes do eixo x.
 
III. Verdadeiro. Como a mudança no sentido da concavidade
da função, a função possui ponto de inflexão. .
 
Livro-base, p. 147-168
f(x) = f(−x)
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Para a adição de polinômios é preciso agrupar termos semelhantes.
 
De acordo com o livro-base Números complexos e equações algébricas, considere os polinômios 
 e e indique o resultado da soma de com .
Nota: 10.0
Questão 5/12 - Números Complexos e Equações Algébricas
O teorema de DeMoivre afirma que 
 
De acordo com o livro-base Números complexos e equações algébricas e aplicando o teorema dado, 
calcule .
 
Nota: 0.0
A
 
B
 
C
 
D
 
E
A
B
C
D
p(x) = 5x4 − 5x3 + x + 1 q(x) = 2x5 + 6x4 − x3 + 9 p(x) q(x)
p(x) + q(x) = 2x5 + 6x4 − x3 + x + 1
p(x) + q(x) = 2x5 + 6x4 − 6x3 + x + 9
p(x) + q(x) = 2x5 + 11x4 − 5x3 + x + 10
p(x) + q(x) = 2x5 + 11x4 − 6x3 + x + 10
Você acertou!
Para a soma dos polinômios e fazemos os seguintes cálc
 
 
Livro-base, p. 127-146.
 
p(x) q(x)
p(x) + q(x) = 5x4 − 5x3 + x + 1 + (2x5 + 6x4 − x3 + 9)
p(x) + q(x) = 5x4 − 5x3 + x + 1 + 2x5 + 6x4 − x3 + 9
p(x) + q(x) = 2x5 + 5x4 + 6x4 − 5x3 − x3 + x + 1 + 9
p(x) + q(x) = 2x5 + 11x4 − 6x3 + x + 10
p(x) + q(x) = 3x5 + 6x4 − 6x3 + x + 103x5 + 6x4 − 6x3 + x +
zn = rn(cos(nθ) + i. sen(nθ))
(1 + i)4
z4 = (cos4π + i. sen4π)
z4 = (cosπ + i. senπ)
z4 = 4(cos4π + i. sen4π)
z4 = 4(cosπ + i. senπ)
Para resposta ser considerada válida, o aluno deve responder
da seguinte maneira:
 
Escrevendo na forma trigonométrica, temos:
 Cálculo do r:
z = (1 + i)4
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Questão 6/12 - Números Complexos e Equações Algébricas
Leia o fragmento de texto a seguir:
 
"Normalmente no estudo de polinômios tem-se interesse por suas raízes. A raiz de um polinômio Pn é um 
número complexo r tal que Pn(r) = 0. Quando uma raiz se repete por m vezes, dize-se que ela é raiz de 
multiplicidade m. Se m = 1, diz-se, simplesmente, que ela é raiz simples."
 
Com base no fragmento de texto acima e nos conteúdos sobre Polinômios do Livro-base Números 
complexos e equações algébricas, classifique as afirmações abaixo como verdadeiras (V) ou falsas (F). 
 
I. ( ) Dado um polinômio com coeficientes complexos, se é raiz de , então 
 
II.( ) Se tem grau n, então tem no máximo raízes.
 
III.( ) Um polinômio com coeficientes complexos pode ter raízes reais ou complexas.
 
IV.( ) Um polinômio com coeficientes complexos pode ter raízes distintas ou múltiplas.
 
A sequência de V ou F que preenche corretamente as lacunas acima é:
E
 
Cálculo do 
 
 
Como o ponto está na parte positiva do eixo-x, ,
ou, equivalente, 
 Logo
 
 
(livro-base, p.114)
 
r = √a2 + b2
r = √12 + 12
r = √1 + 1
r = √2
θ
tgθ =
tgθ =
tgθ = 1
b
a
1
1
(1, 1) θ = 450
θ = π4
z = √2(cos + i. sen )
Como
zn = rn(cos(nθ) + i. sen(nθ))
Temos
z4 = (√2)4(cos(4. ) + i. sen(4. ))
z4 = 4(cosπ + i. senπ)
π
4
π
4
π
4
π
4
z4 = 4(cos2π + i. sen2π)
Após essa avaliação, caso queira ler o texto completo, ele está disponível em: CAMARGO JÚNIOR, I.; BERGAMASCHI, P.R. Uma investigação sobre as raízes de polinômios e aplicação em robôs manipuladores ortogonais 3R. Disponível em: <https://www.researchgate.net/profile/Paulo_Bergamaschi/publication/268290512_UMA_INVESTIGACAO_SOBRE_AS_RAIZES_DE_POLINOMIOS_E_APLICACAO_EM_ROBOS_MANIPULADORES_ORTOGONAIS_3R/links/560e90d108aec422d1117ec6.pdf>. Acesso em 01 fev 2018. 
 
p(x) a p(x) p(a) = 0.
p(x) p(x) n − 1
p(x)
p(x)
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Nota: 0.0
A V, F, V, V
B V, F, V, F
C V, V, V, V
D F, F, V, V
E V, F, F, V
Questão 7/12 - Números Complexos e Equações Algébricas
Uma Equação do 2º Grau incompleta, com c=0, pode ser resolvida através da fatoração. Desse modo, 
 pode ser escrita na forma .
 
Com base na informação acima, e nos conteúdos sobre Equações de 2º Grau do Livro-base Números 
complexos e equações algébricas, analise a situação a seguir e em seguida responda o que se pede:A equação relaciona o número de assinantes de um jornal impresso com os meses 
contados a partir do seu lançamento. 
 Depois de quantos meses, contados a partir do lançamento, o jornal zerou o número de assinantes?
 
 
Nota: 0.0
A 20 meses.
B 30 meses.
Dentre as afirmações acima, a única falsa é a afirmação II, pois
se p(x) tem grau n, então p(x) tem no máximo n raízes.
 
(Livro-base p. 147- 151)
ax2 + bx x(ax + b)
p(x) = −0, 02x2 + 0, 6x x
 
 
Como deseja-se a quantidade de anos contados após o
lançamento, descarta-se x=0. Então:
 
 
p(x) = −0, 02x2 + 0, 6x
− 0, 02x2 + 0, 6x = 0
x(−0, 02x + 0, 6) = 0
x = 0 ou − 0, 02x + 0, 6 = 0
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Questão 8/12 - Números Complexos e Equações Algébricas
Em conformidade com o Teorema Fundamental da Álgebra, todo polinômio 
 pode ser escrito na forma fatorada 
 onde são as raízes, múltiplas ou não, de .
 
De acordo com o livro-base Números complexos e equações algébricas e dado , 
escreva-o na respectiva forma fatorada.
Nota: 10.0
C 40 meses.
D 50 meses.
E 60 meses.
A
 
 
 
Logo, o tempo será 30 meses.
 
(Livro-base p. 57)
−0, 02x + 0, 6 = 0
− 0, 02x = −0, 6
x =
x = 30.
0,6
0,02
p(x) = anxn + an−1xn−1+. . . +a1x + a0
p(x) = an(x − x1)(x − x2). . . (x − xn) x1, x2, . . . , xn p(x)
p(x) = 3x3 − 15x2 − 12x
p(x) = 3(x − 4)(x − 1)(x)
Você acertou!
Dado , fazemos os seguintes cálculos:
 
 
Logo, temos que as raízes de são , e e o polinômio pode
.
p(x) = 3x3 − 15x2 + 12x
p(x) = 3x3 − 15x2 + 12x
p(x) = 3x(x2 − 5x + 4)
Logo,
3x = 0, com isso 0 é uma raiz desta equação.
ou
x2 − 5x + 4 = 0 resolvemos esta parte através da fórmula de 
x =
x =
x =
x =
x =
x2 = = 4 e x3 = = 1
−b±√b2−4ac
2a
−(−5)±√(−5)2−4(1)(4)
2(1)
5±√25−16
2
5±√9
2
5±3
2
5+3
2
5−3
2
p(x) 0 4 1
p(x) = 3(x − 4)(x − 1)(x)
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Questão 9/12 - Números Complexos e Equações Algébricas
Para a multiplicação de polinômios é possível utilizar a propriedade distributiva.
 Além disso, a multiplicação de polinômios respeita a regra de multiplicação de potências de mesma base. 
Obedecendo essa regra, conserva-se a base e somam-se os expoentes.
 
A partir da leitura do trecho acima e os conteúdos do livro Números complexos e equações 
algébricas sobre polinômios, considere os polinômios abaixo e em seguida julgue os itens I, II e III.
 
 
 
 e 
 
I. 
 II. 
 III. 
 
Pode-se afirmar que:
Nota: 10.0
B
 
C
D
 
E
A Todas as alternativas são verdadeiras.
B Apenas as alternativas I e II são verdadeiras.
C Apenas a alternativa III é verdadeira.
 
Livro-base, p. 127-168.
p(x) = −3(x + 4)(x + 1)(x − 1)
p(x) = 15(x − 1)(x + 4)(x)
p(x) = 3(x + 4)(x + 1)(x)
p(x) = (3x − 4)(x − 1)(x)
p(x) = 3x2 + 2 q(x) = 7x + 2
p(x). q(x) = 21x3 + 4
p(x). p(x) = 9x4 + 4
q(x). q(x) = 49x2 + 28x + 4
Você acertou!
 
 
(Livro-base pp. 131-136)
I. p(x). q(x) = (3x2 + 2). (7x + 2) =
21x3 + 6x2 + 14x + 4, item I, incorreto
II. p(x). p(x) = (3x2 + 2)2 =
9x4 + 12x2 + 4, item II, incorreto
III. q(x). q(x) = (7x + 2)2 =
49x2 + 28x + 4, item III, correto.
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Questão 10/12 - Números Complexos e Equações Algébricas
Para se realizar operações de adição e subtração com polinômios, soma-se ou subtrai-se os coeficientes dos 
termos semelhantes.
 
Com base na informação acima e nos conteúdos do Livro-Base Números complexos e equações 
algébricas sobre polinômios, considere os polinômios e . 
 
Calculando p(x)+q(x), obtém-se:
Nota: 10.0
Questão 11/12 - Números Complexos e Equações Algébricas (questão opcional)
De acordo com o livro-base Números complexos e equações algébricas, resolva a situação dada abaixo.
 
Um empresário investiu no setor de alimentação e possui um furgão destinado à venda de sanduíches e 
sucos. Independente do preço de custo e do preço de venda, o lucro de cada sanduíche e de cada suco é de 
R$ 2,50. Mensalmente há custos fixos que totalizam R$ 7.500,00. A partir dessas informações, determine 
quantas unidades deverão ser vendidas mensalmente para que esse empresário possa pagar os custos 
descritos acima.
Nota: 10.0
D Apenas as alternativas I e III são verdadeiras.
E Todas as alternativas são falsas.
A
B
 
C
D
E
A 1500 unidades.
B 2000 unidades.
C 2500 unidades.
p(x) = 5x4 − 5x3 + x + 1 q(x) = 2x5 + 6x4 − x3 + 9
2x5 + 6x4 − x3 + x + 1
2x5 + 6x4 − 6x3 + x + 9
2x5 + 11x4 − 5x3 + x + 10
2x5 + 11x4 − 6x3 + x + 10
Você acertou!
 
(Livro-base p. 135).
p(x) + q(x) = 5x4 − 5x3 + x + 1 + 2x5 + 6x4 − x3 + 9 =
p(x) + q(x) = 2x5 + 5x4 + 6x4 − 5x3 − x3 + x + 1 + 9 =
p(x) + q(x) = 2x5 + 11x4 − 6x3 + x + 10
3x5 + 6x4 − 6x3 + x + 10
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Questão 12/12 - Números Complexos e Equações Algébricas (questão opcional)
Leia o excerto de texto dado:
 Os matemáticos egípcios e babilônios desenvolveram métodos para encontrar as raízes de polinômios de 
primeiro e segundo graus e com isso eles conseguiam encontrar, de forma aproximada, as raízes quadradas 
de números. Tudo isso era exposto de forma muito prática, expresso através de problemas do cotidiano.
 
 
Considerando o excerto de texto dado e os conteúdos do livro-base Números complexos e equações 
algébrica, leia e resolva a seguinte situação-problema:
 O número de assinantes de uma TV a cabo teve alterações nas últimas semanas. A expressão 
 relaciona o numero de assinantes , em milhares, com as respectiva semana . A TV a 
cabo concorrente teve uma variação no numero de assinantes dada por onde 
 indica o número de assinantes, também em milhares e indica a semana correspondente. Em qual 
semana as duas operadoras de TV a cabo tiveram o mesmo número de assinantes?
Nota: 0.0
D 3000 unidades.
E 3500
A
B
C
D
Você acertou!
 
 
Livro-base, p. 127-146
L = 2, 5x − 7500
Condição :
L = 0
Logo,
2, 5x − 7500 = 0
2, 5x = 7500
x =
x = 3000
7500
2,5
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: DIERINGS, Andre Ricardo et al. ENSINO DE POLINÔMIOS NO ENSINO MÉDIO UMA NOVA ABORDAGEM. 2014.
25
p(x) = 0, 6x + 30 p(x) x
q(x) = −0, 02x2 + 0, 5x + 40
q(x) x
5
10
15
20
Para calcular em qual semana as duas operadoras de TV a cabo
tiveram o mesmo número de assinantes, fazemos ,
assim:
 
 
 
p(x) = q(x)
p(x) = q(x)
0, 6x + 30 = −0, 02x2 + 0, 5x + 40
0, 6x + 30 + 0, 02x2 − 0, 5x − 40 = 0
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E
 
Aqui é possível resolver utilizando a fórmula de Bháskara, sendo 
 
 
 
 
 
 
Como nesse caso não faz sentido uma solução negativa, as
operadoras de TV a cabo tiveram o mesmo número de assinantes
na 20ª semana.
 
Livro-base, p.147-168
0, 02x2 + 0, 1x − 10 = 0
a = 0, 02
b = 0, 1
c = −10
x =
x =
x =
x =
x =
⎧
⎨
⎩
x1 = ⇒ x1 = ⇒ x1 = 20
x2 = ⇒ x2 = ⇒ x2 = −25
−b±√b2−4ac
2a
−(0,1)±√(0,1)2−4(0,02)(−10)
2(0,02)
−(0,1)±√(0,01+0,8(0,04)
−(0,1)±√(0,81
(0,04)
−0,1±0,9
0,04
−0,1+0,9
0,04
0,8
0,04
−0,1−0,9
0,04
−1
0,04
25