apol numeros complexos

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Questão 1/10 - Números Complexos e Equações Algébricas
Um número complexo z=a+biz=a+bi pode ser escrito na forma trigonométrica z=ρ(cosθ+i.senθ)z=ρ(cosθ+i.senθ).
Com base nessa informação e nos conteúdos sobre números complexos do livro-base Números complexos e equações algébricas, analise as alternativas que seguem. Na sequência, escolha a melhor alternativa para a forma trigonométrica de z = 4:
Nota: 10.0
	
	A
	z=cos4+i.sen4z=cos4+i.sen4
	
	B
	z=4(cos0+i.sen0)z=4(cos0+i.sen0)
Você acertou!
z=4+0ia=4     b=0ρ=√a2+b2ρ=√42+02=√16=4z=4+0ia=4     b=0ρ=a2+b2ρ=42+02=16=4
Para cálculo de θθ:
sen θ=bρ=04=0cos θ=aρ=44=1sen θ=bρ=04=0cos θ=aρ=44=1
Para esses valores de seno e cosseno, temos que θ=0θ=0.
(Livro-base p. 109-111).
	
	C
	z=cos0+i.sen0z=cos0+i.sen0
	
	D
	z=4(cosπ+i.senπ)z=4(cosπ+i.senπ)
	
	E
	z=cosπ+i.senπz=cosπ+i.senπ
Questão 2/10 - Números Complexos e Equações Algébricas
Considere os seguintes números complexos:
z1=2+3iz2=5−2iz1=2+3iz2=5−2i
Com base nos dados fornecidos e nos contéudos do livro-base Números complexos e equações algébricas sobre operações com números complexos, determine o resultado de z1−z2z1−z2.
Nota: 10.0
	
	A
	3+i3+i
	
	B
	3+5i3+5i
	
	C
	−3+5i−3+5i
Você acertou!
2+3i−(5−2i)2+3i−5+2i−3+5i2+3i−(5−2i)2+3i−5+2i−3+5i
(livro-base, p. 95-97)
	
	D
	−3+i−3+i
	
	E
	16−19i16−19i
Questão 3/10 - Números Complexos e Equações Algébricas
O número complexo
z=3(cox5π4+i sen5π4)z=3(cox5π4+i sen5π4)
pode ser escrito na forma algébrica z=a+biz=a+bi.
Com isto e de acordo com o livro-base Números complexos e equações algébricas, a parte real Re(z)Re(z)e aparte imaginária Im(z)Im(z) são, respectivamente:
Nota: 0.0
	
	A
	√2222   e    √2222
	
	B
	3√232    e   3√232
	
	C
	−3√2−32    e   −3√2−32
	
	D
	−3√22−322    e    −3√22−322
Sabendo que  cos5π4=−√22cos5π4=−22 e  sen5π4=−√22sen5π4=−22 e, substituindo esses valores no número complexo zz, temos:
z=3(cos5π4+isen5π4)z=3(−√22+i.(−√22))z=3(−√22−i.√22)z=−3√22−3√22.iz=3(cos5π4+isen5π4)z=3(−22+i.(−22))z=3(−22−i.22)z=−322−322.i
Logo, Re(z)=−3√22Re(z)=−322 e Im(z)=−3√22Im(z)=−322 .
Livro-base, p.81-126.
	
	E
	−3√22−322    e    3√22322
Questão 4/10 - Números Complexos e Equações Algébricas
Considere o seguinte número complexo:
z=2−2iz=2−2i
Com base no dado fornecido e nos conteúdos do livro-base Números complexos e equações algébricas sobre números complexos, escolha a alternativa que indica a forma trigonométrica (polar) de zz.
Nota: 0.0
	
	A
	z=2.(cosπ6+i.senπ6)z=2.(cosπ6+i.senπ6)
	
	B
	z=2√2.(cos7π4+i.sen7π4)z=22.(cos7π4+i.sen7π4)
Calculamos o módulo de z e seu argumento:
ρ=√22+(−2)2=√8=2√2ρ=22+(−2)2=8=22
sen θ=bρ=−22√2=−√22cos θ=aρ=22√2=√22sen θ=bρ=−222=−22cos θ=aρ=222=22
θ=7π4θ=7π4
Logo, z=2√2.(cos7π4+i.sen7π4)z=22.(cos7π4+i.sen7π4) (livro-base, p. 109-111).
	
	C
	z=2√2.(cosπ4+i.senπ4)z=22.(cosπ4+i.senπ4)
	
	D
	z=√2.(cosπ3+i.senπ3)z=2.(cosπ3+i.senπ3)
	
	E
	z=√2.(cosπ4+i.senπ4)z=2.(cosπ4+i.senπ4)
Questão 5/10 - Números Complexos e Equações Algébricas
O teorema de DeMoivre afirma que zn=rn(cos(nθ)+i.sen(nθ))zn=rn(cos(nθ)+i.sen(nθ))
De acordo com o livro-base Números complexos e equações algébricas e aplicando o teorema acima, calcule (1+i)6(1+i)6.
Nota: 0.0
	
	A
	z6=2(cosπ+i.senπ)z6=2(cosπ+i.senπ)
	
	B
	z6=4(cosπ+i.senπ)z6=4(cosπ+i.senπ)
	
	C
	z6=4(cos3π+i.sen3π)z6=4(cos3π+i.sen3π)
	
	D
	z6=8(cosπ+i.senπ)z6=8(cosπ+i.senπ)
	
	E
	z6=8(cos3π2+i.sen3π2)z6=8(cos3π2+i.sen3π2)
Para resposta ser considerada válida, o aluno deve responder da seguinte maneira:
Escrevendo z=(1+i)6z=(1+i)6 na forma trigonométrica, temos:
Cálculo do r:
r=√a2+b2r=√12+12r=√1+1r=√2r=a2+b2r=12+12r=1+1r=2
Cálculo do θθ
tgθ=batgθ=11tgθ=1tgθ=batgθ=11tgθ=1
Como o ponto (1,1)(1,1) está na parte positiva do eixo-x, θ=450θ=450, ou, equivalente, θ=π4θ=π4 
Logo
z=√2(cosπ4+i.senπ4)Comozn=rn(cos(nθ)+i.sen(nθ))Temosz6=(√2)6(cos(6.π4)+i.sen(6.π4))z6=8(cos3π2+i.sen3π2)z=2(cosπ4+i.senπ4)Comozn=rn(cos(nθ)+i.sen(nθ))Temosz6=(2)6(cos(6.π4)+i.sen(6.π4))z6=8(cos3π2+i.sen3π2)
(livro-base, p.114)
Questão 6/10 - Números Complexos e Equações Algébricas
Considere a seguinte informação:
 “A forma algébrica de um número complexo é z = a +bi, com a e b quaisquer números reais. Quando a parte imaginária de um complexo é nula, ele é considerado um número real. Um número complexo também pode ser denominado número imaginário puro, quando se apresenta no formato z=bi, com b diferente de zero”.
 Fonte: Texto elaborado pelo autor dessa questão.
Considerando o trecho anterior e os conteúdos do livro-base Números complexos e equações algébricas sobre os números complexos, analise as alternativas que seguem. Na sequência, assinale aquela que apresenta, de forma correta, o(s) valor(es) que x deve assumir para que z=x2−4+(x−2)iz=x2−4+(x−2)i seja um número imaginário puro:
 
Nota: 0.0
	
	A
	x=2x=2 ou x=−2x=−2
	
	B
	x=2x=2
	
	C
	x=−2x=−2
Para que z=x2−4+(x−2)iz=x2−4+(x−2)i possa ser um número imaginário puro a=0a=0 e b≠0b≠0. Assim:
x2−4=0x2=4x1=2x2=−2x−2≠0x≠2x2−4=0x2=4x1=2x2=−2x−2≠0x≠2
 
Logo, x=−2x=−2 (livro-base, p. 86-89).
	
	D
	x=4x=4 ou x=−4x=−4
	
	E
	x=4x=4
Questão 7/10 - Números Complexos e Equações Algébricas
Para resolver uma multiplicação entre dois números complexos utilizamos a propriedade distributiva a qual nos leva a uma simples equação.
De acordo com o livro-base Números complexos e equações algébricas e sabendo que
z1=10(cos2π3+i sen2π3)z1=10(cos2π3+i sen2π3)
e
z2=4(cos5π3+i sen5π3)z2=4(cos5π3+i sen5π3)
Calcule z1.z2z1.z2 e indique a resposta correta:
Nota: 0.0
	
	A
	z1.z2=40(cos7π3+i sen7π3)z1.z2=40(cos7π3+i sen7π3)
Para encontrar o valor de z1.z2z1.z2, após utilizarmos a propriedade distributiva, realizamos os cálculos abaixo:
z1.z2=r1.r2(cos(θ1+θ2)+i sen(θ1+θ2))z1.z2=10.4(cos(2π3+5π3)+i sen(2π3+5π3))z1.z2=40(cos7π3+i sen7π3)z1.z2=r1.r2(cos(θ1+θ2)+i sen(θ1+θ2))z1.z2=10.4(cos(2π3+5π3)+i sen(2π3+5π3))z1.z2=40(cos7π3+i sen7π3)
Livro-base, p. 112.
	
	B
	z1.z2=40(cos5π3+i sen5π3)z1.z2=40(cos5π3+i sen5π3)
	
	C
	z1.z2=10(cos7π3+i sen7π3)z1.z2=10(cos7π3+i sen7π3)
	
	D
	z1.z2=10(cos5π3+i sen5π3)z1.z2=10(cos5π3+i sen5π3)
	
	E
	z1.z2=4(cos5π3+i sen5π3)z1.z2=4(cos5π3+i sen5π3)
Questão 8/10 - Números Complexos e Equações Algébricas
Os números complexos podem ser representados de diversas formas. As mais usuais são as formas algébrica e polar.
De acordo com o livro-base Números complexos e equações algébricas, escreva na forma algébrica o número complexo abaixo:
z=6(cosπ6+i senπ6)z=6(cosπ6+i senπ6)
Nota: 0.0
	
	A
	z=6√6+6iz=66+6i
	
	B
	z=√3+3iz=3+3i
	
	C
	z=6√3+6iz=63+6i
	
	D
	z=3√32+32iz=332+32i
	
	E
	z=3√3+3iz=33+3i
Temos que  cosπ6=√32cosπ6=32 e  senπ6=12senπ6=12 , logo,
z=6(cosπ6+isenπ6)z=6(√32+i12)z=6√32+i62z=3√3+3iz=6(cosπ6+isenπ6)z=6(32+i12)z=632+i62z=33+3i
Livro-base, p. 81-126.
Questão 9/10 - Números Complexos e Equações Algébricas
Considere a seguinte informação:
 “O conjunto dos números complexos é o conjunto que possui maior cardinalidade, afinal ele contém todos os outros conjuntos. É necessário, pois, compreender os processos das operações (aritméticas, trigonométricas, algébricas) envolvendo elementos desse conjunto, assim como a representação geométrica dos números complexos”.
 Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: SANTOS, G. T. Números complexos.  <http://www.ime.unicamp.br/~ftorres/ENSINO/MONOGRAFIAS/NC5.docx.pdf>. Acesso em 19 set. 2018.
Considerando o trecho acima e os conteúdos abordados na videoaula 1 e no livro-base Números complexos e equações algébricas sobre as operações com números complexos, analise as seguintes asserções:
I. Considerando z1=2−3iz1=2−3i e z2=5+4iz2=5+4i, então z1+z2=7+i.z1+z2=7+i.
II. A subtração de 5+4i5+4i por −2−2i−2−2i resulta em 3+2i3+2i.
III. O produto de 2+i2+i por 2+i2+i resulta em 3+4i3+4i.
IV. Se z1=3+2iz1=3+2i e z2=1+iz2=1+i, a divisão de z1z1 por z2z2 é 5−i25−i2.
São corretas apenas as afirmativas:
Nota: 10.0
	
	A
	I e II.
	
	B
	III e IV.
	
	C
	I, II e III.
	
	D
	I, III e IV.
Você acertou!
I. 2−3i+5+4i=7+i2−3i+5+4i=7+iII. 5+4i−(−2−2i)=5+4i+2+2i=7+6i5+4i−(−2−2i)=5+4i+2+2i=7+6i
III. (2+i)2=4+2i+i2=4+2i−1=3+4i(2+i)2=4+2i+i2=4+2i−1=3+4i\
IV. 3+2i1+i.1−i1−i=3−3i+2i+21−i2=5−i23+2i1+i.1−i1−i=3−3i+2i+21−i2=5−i2
(videoaula 1 e livro-base, p. 96-104).
	
	E
	II e IV.
Questão 10/10 - Números Complexos e Equações Algébricas
Atente para a seguinte informação:
Um número complexo tem a forma algébrica z=a+biz=a+bi, sendo aa e bb números reais. Dependendo dos valores de aa e bb, o complexo pode ser um número imaginário puro. 
Com base na informação acima e nos conteúdos do livro-base Números complexos e equações algébricas sobre a forma algébrica de um número complexo, escolha os valores apropriados para xx de modo que o número complexo z=x+(x−3)iz=x+(x−3)i seja um número imaginário puro.
Nota: 0.0
	
	A
	00
Para que o número complexo seja um imaginário puro, ele deve ter a=0a=0 e b≠0b≠0. 
Nesse caso, x=0x+3≠0→ x≠−3x=0x+3≠0→ x≠−3
Como 0≠−30≠−3, x=0x=0. 
(livro-base, p. 88-89).
	
	B
	−3−3
	
	C
	33
	
	D
	ii
	
	E
	−i
Questão 1/10 - Números Complexos e Equações Algébricas
Leia o seguinte fragmento de texto:
 “Historicamente, os números complexos começaram a ser estudados graças à grande contribuição do matemático Girolamo Cardano (1501-1576). Esse matemático mostrou que mesmo tendo um termo negativo em uma raiz quadrada era possível obter uma solução para a equação do segundo grau: x2–10x+40=0x2–10x+40=0”.
 Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: SANTOS, G. T. Números complexos.  <http://www.ime.unicamp.br/~ftorres/ENSINO/MONOGRAFIAS/NC5.docx.pdf>. Acesso em 19 set. 2018.
Considerando o extrato de texto acima e os conteúdos do livro-base Números complexos e equações algébricas sobre a resolução de equações, analise as asserções a seguir, marcando como V as proposições verdadeiras e com F as proposições falsas.
I. (  ) Uma equação de segundo grau cujo delta é negativo não tem solução no conjunto dos números complexos.
II. (  ) No conjunto dos números complexos, a solução para a equação x2+8=0x2+8=0 é S={−4i,4i}.S={−4i,4i}.
III. (  ) A unidade imaginária torna possível a resolução de algumas equações que não têm solução no conjunto dos números reais. 
IV. (  ) 2i é uma das soluções da equação quadrática x2+4=0x2+4=0.
Agora, marque a alternativa que apresenta a ordem correta:
Nota: 0.0
	
	A
	V – V – F – F
	
	B
	F – F – V – V
As afirmativas I e II são falsas pois é possível resolver equações com delta negativo no conjunto dos complexos e a resposta da equação x2+8=0x2+8=0 é S={−2√2i,2√2i}S={−22i,22i}. As afirmativas III e IV são verdadeiras, pois “com o surgimento desse número i, tornou-se possível a resolução de equações que, até o momento, não tinham soluções em R”. As soluções para a equação x2+4=0x2+4=0 são 2i2i e −2i−2i (livro-base, p. 83-85).
	
	C
	V – F – V – F
	
	D
	V – F – V – V
	
	E
	F – F – F – V
Questão 2/10 - Números Complexos e Equações Algébricas
Considere a seguinte informação:
 “O conjunto dos números complexos é o conjunto que possui maior cardinalidade, afinal ele contém todos os outros conjuntos. É necessário, pois, compreender os processos das operações (aritméticas, trigonométricas, algébricas) envolvendo elementos desse conjunto, assim como a representação geométrica dos números complexos”.
 Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: SANTOS, G. T. Números complexos.  <http://www.ime.unicamp.br/~ftorres/ENSINO/MONOGRAFIAS/NC5.docx.pdf>. Acesso em 19 set. 2018.
Considerando o trecho acima e os conteúdos abordados na videoaula 1 e no livro-base Números complexos e equações algébricas sobre as operações com números complexos, analise as seguintes asserções:
I. Considerando z1=2−3iz1=2−3i e z2=5+4iz2=5+4i, então z1+z2=7+i.z1+z2=7+i.
II. A subtração de 5+4i5+4i por −2−2i−2−2i resulta em 3+2i3+2i.
III. O produto de 2+i2+i por 2+i2+i resulta em 3+4i3+4i.
IV. Se z1=3+2iz1=3+2i e z2=1+iz2=1+i, a divisão de z1z1 por z2z2 é 5−i25−i2.
São corretas apenas as afirmativas:
Nota: 10.0
	
	A
	I e II.
	
	B
	III e IV.
	
	C
	I, II e III.
	
	D
	I, III e IV.
Você acertou!
I. 2−3i+5+4i=7+i2−3i+5+4i=7+i
II. 5+4i−(−2−2i)=5+4i+2+2i=7+6i5+4i−(−2−2i)=5+4i+2+2i=7+6i
III. (2+i)2=4+2i+i2=4+2i−1=3+4i(2+i)2=4+2i+i2=4+2i−1=3+4i\
IV. 3+2i1+i.1−i1−i=3−3i+2i+21−i2=5−i23+2i1+i.1−i1−i=3−3i+2i+21−i2=5−i2
(videoaula 1 e livro-base, p. 96-104).
	
	E
	II e IV.
Questão 3/10 - Números Complexos e Equações Algébricas
O número complexo
z=3(cox5π4+i sen5π4)z=3(cox5π4+i sen5π4)
pode ser escrito na forma algébrica z=a+biz=a+bi.
Com isto e de acordo com o livro-base Números complexos e equações algébricas, a parte real Re(z)Re(z)e aparte imaginária Im(z)Im(z) são, respectivamente:
Nota: 10.0
	
	A
	√2222   e    √2222
	
	B
	3√232    e   3√232
	
	C
	−3√2−32    e   −3√2−32
	
	D
	−3√22−322    e    −3√22−322
Você acertou!
Sabendo que  cos5π4=−√22cos5π4=−22 e  sen5π4=−√22sen5π4=−22 e, substituindo esses valores no número complexo zz, temos:
z=3(cos5π4+isen5π4)z=3(−√22+i.(−√22))z=3(−√22−i.√22)z=−3√22−3√22.iz=3(cos5π4+isen5π4)z=3(−22+i.(−22))z=3(−22−i.22)z=−322−322.i
Logo, Re(z)=−3√22Re(z)=−322 e Im(z)=−3√22Im(z)=−322 .
Livro-base, p.81-126.
	
	E
	−3√22−322    e    3√22322
Questão 4/10 - Números Complexos e Equações Algébricas
Atente para os seguintes números complexos:
z1=2+3iz2=1+iz1=2+3iz2=1+i
Com base nos dados fornecidos e nos conteúdos do livro-base Números complexos e equações algébricas sobre operações com números complexos, determine o resultado de z1z2z1z2.
Nota: 10.0
	
	A
	1+2i1+2i
	
	B
	55
	
	C
	5+i25+i2
Você acertou!
2+3i1+i.1−i1−i=2−2i+3i−3i21−i2=2−2i+3i+31+1=5+i22+3i1+i.1−i1−i=2−2i+3i−3i21−i2=2−2i+3i+31+1=5+i2
(livro-base, p. 103-104).
	
	D
	5i25i2
	
	E
	−1+i2−1+i2
Questão 5/10 - Números Complexos e Equações Algébricas
Considere os seguintes números complexos:
z1=2+3iz2=5−2iz1=2+3iz2=5−2i
Com base nos dados fornecidos e nos contéudos do livro-base Números complexos e equações algébricas sobre operações com números complexos, determine o resultado de z1−z2z1−z2.
Nota: 10.0
	
	A
	3+i3+i
	
	B
	3+5i3+5i
	
	C
	−3+5i−3+5i
Você acertou!
2+3i−(5−2i)2+3i−5+2i−3+5i2+3i−(5−2i)2+3i−5+2i−3+5i
(livro-base, p. 95-97)
	
	D
	−3+i−3+i
	
	E
	16−19i16−19i
Questão 6/10 - Números Complexos e Equações Algébricas
A primeira fórmula de De Moivre diz respeito ao cálculo de potências de números complexos na forma trigonométrica e é escrita por zn=ρn[cos(n.θ)+i.sen(n.θ)]zn=ρn[cos(n.θ)+i.sen(n.θ)].
Com base nessa informação e nos conteúdos de números complexos do livro-base Números complexos e equações algébricas, escolha a alternativa correta para (1+i)4.(1+i)4.
Nota: 10.0
	
	A
	z4=(cos4π+i.sen4π)z4=(cos4π+i.sen4π)
	
	B
	z4=(cosπ+i.senπ)z4=(cosπ+i.senπ)
	
	C
	z4=4.(cos4π+i.sen4π)z4=4.(cos4π+i.sen4π)
	
	D
	z4=4.(cosπ+i.senπ)z4=4.(cosπ+i.senπ)
Você acertou!
Escrevendo 1+i1+i na forma trigonométrica:
a=1     b=1ρ=√12+12=√2a=1     b=1ρ=12+12=2
senθ=bρ=1√2=√22cosθ=aρ=1√2=√22senθ=bρ=12=22cosθ=aρ=12=22
Logo, θ=π4θ=π4.
Assim, 1+i1+i na forma trigonométrica é escrito: z=√2(cosπ4+i.senπ4)z=2(cosπ4+i.senπ4)
Aplicando a fórmula de De Moivre:
zn=ρn[cos(n.θ)+i.sen(n.θ)]=z4=(√2)4[cos(4.π4)+i.sen(4.π4)z4=4(cosπ+i.senπ)zn=ρn[cos(n.θ)+i.sen(n.θ)]=z4=(2)4[cos(4.π4)+i.sen(4.π4)z4=4(cosπ+i.senπ)
Livro-base p. 113-114
	
	E
	z4=4.(cos2π+i.sen2π)z4=4.(cos2π+i.sen2π)
Questão 7/10 - Números Complexos e Equações Algébricas
Leia o fragmento de texto abaixo:
"[...] a trigonometria, no início uma auxiliar da Agrimensura e da Astronomia, tornou-se primeiramente autônoma e por fim transformou-se em uma parte da Análise Matemática, expressando relações entre números complexos, sem necessidade de recorrer a arcos ou ângulos."
Após essa avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: COSTA, N. M.L. A História da Trigonometria. Disponível em: <http://www.ufrgs.br/espmat/disciplinas/geotri2014/modulo5/mod3_pdf/historia_triogono.pdf>. Acesso em 06 Fev 2018.
Com base no fragmento de texto acima e nos conteúdos sobre númeroscomplexos do Livro-base Números complexos e equações algébricas determine z1z2z1z2.
Considere
 z1=12.(cos2π3+i.sen2π3)z1=12.(cos2π3+i.sen2π3)
z2=5.(cosπ3+i.senπ3)z2=5.(cosπ3+i.senπ3)
Nota: 10.0
	
	A
	z1z2= 512 .(cosπ3+i.senπ3)z1z2= 512 .(cosπ3+i.senπ3)
	
	B
	z1z2= 125 .(cosπ3+i.senπ3)z1z2= 125 .(cosπ3+i.senπ3)
Você acertou!
De acordo com o Livro-base, a divisão na forma trigonométrica é realizada através da fórmula:
z1z2=ρ1ρ2[cos(θ1−θ2)+i.sen(θ1−θ2)]z1z2=ρ1ρ2[cos(θ1−θ2)+i.sen(θ1−θ2)]
Substituindo os valores na formula, teremos:
z1z2=125.[cos(2π3−π3)+i.sen(2π3−π3)]=z1z2=125(cosπ3+i.senπ3)z1z2=125.[cos(2π3−π3)+i.sen(2π3−π3)]=z1z2=125(cosπ3+i.senπ3)
Livro-base p.113
	
	C
	z1z2= 125 .(cos2π3+i.sen2π3)z1z2= 125 .(cos2π3+i.sen2π3)
	
	D
	z1z2= 512 .(cos2π3+i.sen2π3)z1z2= 512 .(cos2π3+i.sen2π3)
	
	E
	z1z2= 512.(cosπ+i.senπ)z1z2= 512.(cosπ+i.senπ)
Questão 8/10 - Números Complexos e Equações Algébricas
Um número complexo z=a+biz=a+bi pode ser escrito na forma trigonométrica z=ρ(cosθ+i.senθ)z=ρ(cosθ+i.senθ).
Com base nessa informação e nos conteúdos sobre números complexos do livro-base Números complexos e equações algébricas, analise as alternativas que seguem. Na sequência, escolha a melhor alternativa para a forma trigonométrica de z = 4:
Nota: 10.0
	
	A
	z=cos4+i.sen4z=cos4+i.sen4
	
	B
	z=4(cos0+i.sen0)z=4(cos0+i.sen0)
Você acertou!
z=4+0ia=4     b=0ρ=√a2+b2ρ=√42+02=√16=4z=4+0ia=4     b=0ρ=a2+b2ρ=42+02=16=4
Para cálculo de θθ:
sen θ=bρ=04=0cos θ=aρ=44=1sen θ=bρ=04=0cos θ=aρ=44=1
Para esses valores de seno e cosseno, temos que θ=0θ=0.
(Livro-base p. 109-111).
	
	C
	z=cos0+i.sen0z=cos0+i.sen0
	
	D
	z=4(cosπ+i.senπ)z=4(cosπ+i.senπ)
	
	E
	z=cosπ+i.senπz=cosπ+i.senπ
Questão 9/10 - Números Complexos e Equações Algébricas
Um número complexo z=a+biz=a+bi pode ser escrito na forma trigonométrica z=ρ(cosθ+i.senθ)z=ρ(cosθ+i.senθ).
Com base nessa informação e nos conteúdos sobre números complexos do livro-base Números complexos e equações algébricas, escolha a melhor alternativa para a forma trigonométrica de z = 4.
Nota: 10.0
	
	A
	z=cos4+i.sen4z=cos4+i.sen4
	
	B
	z=4(cos0+i.sen0)z=4(cos0+i.sen0)
Você acertou!
z=4+0ia=4     b=0ρ=√a2+b2ρ=√42+02=√16=4z=4+0ia=4     b=0ρ=a2+b2ρ=42+02=16=4
Para cálculo de θθ:
sen θ=bρ=04=0cos θ=aρ=44=1sen θ=bρ=04=0cos θ=aρ=44=1
Para esses valores de seno e cosseno, temos que θ=0θ=0.
(Livro-base p. 109-111).
	
	C
	z=cos0+i.sen0z=cos0+i.sen0
	
	D
	z=4(cosπ+i.senπ)z=4(cosπ+i.senπ)
	
	E
	z=cosπ+i.senπz=cosπ+i.senπ
Questão 10/10 - Números Complexos e Equações Algébricas
Considere o seguinte número complexo:
z=2−2iz=2−2i
Com base no dado fornecido e nos conteúdos do livro-base Números complexos e equações algébricas sobre números complexos, escolha a alternativa que indica a forma trigonométrica (polar) de zz.
Nota: 10.0
	
	A
	z=2.(cosπ6+i.senπ6)z=2.(cosπ6+i.senπ6)
	
	B
	z=2√2.(cos7π4+i.sen7π4)z=22.(cos7π4+i.sen7π4)
Você acertou!
Calculamos o módulo de z e seu argumento:
ρ=√22+(−2)2=√8=2√2ρ=22+(−2)2=8=22
sen θ=bρ=−22√2=−√22cos θ=aρ=22√2=√22sen θ=bρ=−222=−22cos θ=aρ=222=22
θ=7π4θ=7π4
Logo, z=2√2.(cos7π4+i.sen7π4)z=22.(cos7π4+i.sen7π4) (livro-base, p. 109-111).
	
	C
	z=2√2.(cosπ4+i.senπ4)z=22.(cosπ4+i.senπ4)
	
	D
	z=√2.(cosπ3+i.senπ3)z=2.(cosπ3+i.senπ3)
	
	E
	z=√2.(cosπ4+i.senπ4)
Questão 1/10 - Números Complexos e Equações Algébricas
De acordo com o livro-base Números complexos e equações algébricas, determine o quociente q(x)q(x) e o resto r(x)r(x) da divisão de p(x)=8x4−12x3+16x2−28x+6p(x)=8x4−12x3+16x2−28x+6 por g(x)=4x−6g(x)=4x−6.
Nota: 10.0
	
	A
	q(x)=8x3+4x−1 e r(x)=0q(x)=8x3+4x−1 e r(x)=0
	
	B
	q(x)=2x4+4x−1 e r(x)=xq(x)=2x4+4x−1 e r(x)=x
	
	C
	q(x)=−2x3−4x−1 e r(x)=2q(x)=−2x3−4x−1 e r(x)=2
	
	D
	q(x)=x2+3x−3 e r(x)=x+1q(x)=x2+3x−3 e r(x)=x+1
	
	E
	q(x)=2x3+4x−1 e r(x)=0q(x)=2x3+4x−1 e r(x)=0
Você acertou!
Para resposta ser considerada válida, o aluno deverá efetuar os seguintes cálculos:
(livro-base, p. 136-137)
Questão 2/10 - Números Complexos e Equações Algébricas
De acordo com o livro-base Números complexos e equações algébricas responda a situação problema.
Se um comerciante cobra R$ 10,00 por um produto, o lucro associado a esse produto é de R$ 300,00. Se o preço desse produto é R$ 25,00, o respectivo lucro é de R$ 375,00. Se o preço é igual a zero, o lucro referente a esse produto também é zero. a função lucro é da forma L(x)=ax2+bx+cL(x)=ax2+bx+c, onde x é o preço e l é o lucro. Com base nessas informações, qual é o preço de venda desse produto que maximiza o lucro?
Nota: 10.0
	
	A
	R$ 10,00
	
	B
	R$ 12,00
	
	C
	R$ 15,00
	
	D
	R$ 17,00
	
	E
	R$ 20,00
Você acertou!
O preço de venda que maximiza o lucro é dado pelo cálculo do xvxv da equação quadrática que representa o lucro com o preço de venda nesta situação, portanto, vamos verificar primeiramente qual é esta equação quadrática.
Denominando xx os preços e denominando yy os respectivos lucros, temos os seguintes pares ordenados:
P1(0,0)P1(0,0)
P2(10,300)P2(10,300)
P3(25,375)P3(25,375)
Sabemos que a função y=ax2+bx+cy=ax2+bx+c representa a fórmula geral da equação quadrática, com isto podemos substituir os pares ordenados nesta equação para encontrar os valores dos coeficientes aa, bb e cc para cada par ordenado:
Para P1(0,0)P1(0,0) temos:
y=ax2+bx+cy=ax2+bx+c
0=a(0)2+b(0)+c0=a(0)2+b(0)+c
0=0+0+c0=0+0+c
c=0c=0
Como já encontramos c=0c=0, para P2(10,300)P2(10,300) temos:
y=ax2+bx+cy=ax2+bx+c
300=a(10)2+b(10)+0300=a(10)2+b(10)+0
300=100a+10b300=100a+10b
100a+10b=300100a+10b=300
Para P3(25,375)P3(25,375) temos:
y=ax2+bx+cy=ax2+bx+c
375=a(25)2+b(25)+c375=a(25)2+b(25)+c
625a+25b=375625a+25b=375
Como não encontramos ainda os valores para aa e bb, montamos um sistema com as duas equações às quais chegamos:
{100a+10b=300625a+25b=375{100a+10b=300625a+25b=375
Para resolver este sistema podemos multiplicar a primeira equação por -2,5 e em seguida somarmos com a segunda:
{100a+10b=300 .(−0,25)625a+25b=375               ..{−250a−25b=−750625a+25b=375.Fazendo a soma das duas equações do sistema obtemos:.375a+0=−375375a=−375a=−375375a=−1.Agora que encontramos o valor da incógnita a, substituímos na primeira equação para encontrar o valor de b:.100a+10b=300100(−1)+10b=300−100+10b=30010b=300+10010b=400b=40010b=40.Logo, encontramos a equação quadrática que associa o lucro com o preço de venda:y=−x2+40x.{100a+10b=300 .(−0,25)625a+25b=375               ..{−250a−25b=−750625a+25b=375.Fazendo a soma das duas equações do sistema obtemos:.375a+0=−375375a=−375a=−375375a=−1.Agora que encontramos o valor da incógnita a, substituímos na primeira equação para encontrar o valor de b:.100a+10b=300100(−1)+10b=300−100+10b=30010b=300+10010b=400b=40010b=40.Logo, encontramos a equação quadrática que associa o lucro com o preço de venda:y=−x2+40x.
Agora podemos calcular o xvxv para saber qual o valor que maximiza o lucro.
Tendo xv=−baxv=−ba e tendo b=40b=40 e a=−1a=−1,
xv=−402(−1)xv=−402(−1)
xv=−40−2xv=−40−2
xv=20xv=20
Livro-base, p.13-80.
Questão 3/10 - Números Complexos e Equações Algébricas
Considere os seguintes polinômios:
p(x)=3x4−3x2+5q(x)=12x4+5x3−2x2−12p(x)=3x4−3x2+5q(x)=12x4+5x3−2x2−12
Com base nos conteúdos do livro-base Números complexos e equações algébricas sobre operações com polinômios e considerando os dados apresentados acima, analise as seguintes afirmativas:
I. p(x)+q(x)=15x4+5x3−5x2−7p(x)+q(x)=15x4+5x3−5x2−7
II. p(x)−q(x)=−9x4+5x3−x2−7p(x)−q(x)=−9x4+5x3−x2−7
III. p(x)+p(x)=6x4−6x2+10p(x)+p(x)=6x4−6x2+10
IV. p(x).q(x)=36x8+15x7−42x6−15x5+30x4+25x3+26x2−60p(x).q(x)=36x8+15x7−42x6−15x5+30x4+25x3+26x2−60
São corretas apenas as afirmativas:
Nota: 10.0
	
	A
	I e II.
	
	B
	I, II e III.
	
	C
	I e III.
	
	D
	I, III e IV.
Você acertou!
A afirmativa I é verdadeira, pois somando as partes semelhantes dos polinômios, obtemos 15x4+5x3−5x2−715x4+5x3−5x2−7.
A afirmativa II é falsa, porque efetuando a subtração temos:
3x4−3x2+5−(12x4+5x3−2x2+12)=3x4−3x2+5−12x4−5x3+2x2+12=−9x4−5x3−x2+173x4−3x2+5−(12x4+5x3−2x2+12)=3x4−3x2+5−12x4−5x3+2x2+12=−9x4−5x3−x2+17
A afirmativa III é verdadeira,pois: 3x4−3x2+5+3x4−3x2+5=6x4−6x2+10.3x4−3x2+5+3x4−3x2+5=6x4−6x2+10.
A afirmativa IV é verdadeira, deve-se utilizar a propriedade distributiva da multiplicação:
(3x4−3x2+5).(12x4+5x3−2x2−12)=36x8+15x7−6x6−36x4−36x6−15x5+6x4+36x2+60x4+25x3−10x2−60=36x8+15x7−42x6−15x5+30x4+25x3+26x2−60(3x4−3x2+5).(12x4+5x3−2x2−12)=36x8+15x7−6x6−36x4−36x6−15x5+6x4+36x2+60x4+25x3−10x2−60=36x8+15x7−42x6−15x5+30x4+25x3+26x2−60
(livro-base, p. 135-136).
	
	E
	II, III e IV.
Questão 4/10 - Números Complexos e Equações Algébricas
A divisão de um polinômio p(x)p(x) por um polinômio gg(x)(x) não nulo pode ser realizada por alguns métodos, como, por exemplo, o método geral, também conhecido como método da chave. 
Com base no texto acima e nos conteúdos sobre divisão de polinômios do Livro-base Números complexos e equações algébricas, escolha a alternativa que indica o quociente q(x)q(x) e o resto r(x)r(x) da divisão do polinômio p(x)=3x3+21x2+6xp(x)=3x3+21x2+6x pelo polinômio g(x)=x2+7x+2.g(x)=x2+7x+2.
Nota: 10.0
	
	A
	q(x)=3xq(x)=3x e r(x)=0r(x)=0
Você acertou!
   3x3 +21x2 +6x       ∣x2+7x+2   −−−−−−−−−−−−−3x3 −21x2  −6x−−−−−−−−−−−−−−−−−              3x                            0   3x3 +21x2 +6x       ∣x2+7x+2   _−3x3 −21x2  −6x_              3x                            0
Livro-base p. 136 - 144.
	
	B
	q(x)=x+1q(x)=x+1 e r(x)=2r(x)=2
	
	C
	q(x)=3xq(x)=3x e r(x)=1r(x)=1
	
	D
	q(x)=3x+1q(x)=3x+1 e r(x)=0r(x)=0
	
	E
	q(x)=x+3q(x)=x+3 e r(x)=0r(x)=0
Questão 5/10 - Números Complexos e Equações Algébricas
Considere o polinômio p(x)=x3+3x2+3x+1p(x)=x3+3x2+3x+1.
A partir do dado acima e dos conteúdos do livro base Números complexos e equações algébricas sobre raízes de polinômios, analise as seguintes asserções:
I. A forma fatorada do polinômio é p(x)=(x−1).(x−1).(x−1)p(x)=(x−1).(x−1).(x−1).
II. −1−1 é uma raiz de multiplicidade 33.
III. Pode-se dizer que o polinômio possui três raízes distintas, pois seu grau é 33.
IV. Dividindo-se o polinômio p(x)p(x) por x+1x+1, obtém-se a expressão x2+2x+1x2+2x+1.
 
São corretas apenas as afirmativas:
Nota: 0.0
	
	A
	I e II
	
	B
	I, II e III.
	
	C
	I, II e IV.
	
	D
	II e III.
	
	E
	II e IV.
Apenas as alternativas II e IV são corretas:
Testando as possíveis raízes a partir dos múltiplos positivos e negativos do termo independente, obtemos a primeira delas que é −1−1.
Se −1−1 é raiz, o polinômio é divisível por x+1x+1.
Dividindo o polinômio por x+1x+1, obtemos a expressão x2+2x+1x2+2x+1, que ao ser igualada a zero, resulta em outras duas raízes idênticas −1−1.
A forma fatorada será p(x)=(x+1)(x+1)(x+1)p(x)=(x+1)(x+1)(x+1).
Logo, o polinômio possui três raízes múltiplas e −1−1 é identificada como uma raiz de multiplicidade 33.
Nesse caso, não há raízes distintas.
(livro-base, p. 147-151).
 
Questão 6/10 - Números Complexos e Equações Algébricas
De acordo com o livro-base Números complexos e equações algébricas e sabendo que p(x)=q(x)p(x)=q(x) onde p(x)=22x3+7x2−6 e q(x)=(3m−15)x3+7x2−6p(x)=22x3+7x2−6 e q(x)=(3m−15)x3+7x2−6, calcule o valor de mm.
Nota: 10.0
	
	A
	m=73m=73
	
	B
	m=223m=223
	
	C
	m=373m=373
Você acertou!
Para resposta ser considerada válida, o aluno deverá calcular da seguinte forma:
3m−15=223m=22+153m=37m=3733m−15=223m=22+153m=37m=373
(livro-base, p. 131)
	
	D
	m=133m=133
	
	E
	m=2215m=2215
Questão 7/10 - Números Complexos e Equações Algébricas
Leia o fragmento de texto a seguir:
"Em torno do ano 1700 a.C. os babilônios utilizavam tabletes cuneiformes, nos quais escreviam e operavam com o sistema de numeração sexagesimal posicional. Problemas que recaem numa equação de 2º grau já se faziam presentes, como a questão de achar dois números conhecendo sua soma s e seu produto p."
Após essa avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele esta disponível em: RIBEIRO, D. M. A. A. Uma abordagem didática para função quadrática. Dissertação de Mestrado. Disponível em: <http://uenf.br/posgraduacao/matematica/wp-content/uploads/sites/14/2017/08/22032013Dayse-Maria-Alves-de-Andrade-Ribeiro.pdf>. Acesso em 31 jan 2018. 
Com base no fragmento de texto acima, e nos conteúdos do livro-base Números complexos e equações algébricas sobre equações quadráticas, analise a seguinte situação e responda o que se pede:
O lucro L e o preço x de um certo produto é dada pela expressão L=−2x2+54x−220L=−2x2+54x−220.
Para quais valores de x teremos o lucro igual a 84?
Nota: 10.0
	
	A
	10 e 20
	
	B
	5 e 22
	
	C
	8 e 19
Você acertou!
	L=−2x2+54x−22084=−2x2+54x−220−2x2+54x−304=0x2−27x+152=0Δ=(−27)2−4.1.152=729−608=121x=−(−27)±√1212.1x=27±112x1=382=19x2=162=8L=−2x2+54x−22084=−2x2+54x−220−2x2+54x−304=0x2−27x+152=0Δ=(−27)2−4.1.152=729−608=121x=−(−27)±1212.1x=27±112x1=382=19x2=162=8
(livro-base pp.15-33)
	
	D
	7 e 49
	
	E
	13 e 14
Questão 8/10 - Números Complexos e Equações Algébricas
Para se realizar operações de adição e subtração com polinômios, soma-se ou subtrai-se os coeficientes dos termos semelhantes.
Com base na informação acima e nos conteúdos do Livro-Base Números complexos e equações algébricas sobre polinômios, considere os polinômios p(x)=5x4−5x3+x+1p(x)=5x4−5x3+x+1 e q(x)=2x5+6x4−x3+9q(x)=2x5+6x4−x3+9. 
Calculando p(x)+q(x), obtém-se:
Nota: 10.0
	
	A
	2x5+6x4−x3+x+12x5+6x4−x3+x+1
	
	B
	2x5+6x4−6x3+x+92x5+6x4−6x3+x+9
	
	C
	2x5+11x4−5x3+x+102x5+11x4−5x3+x+10
	
	D
	2x5+11x4−6x3+x+102x5+11x4−6x3+x+10
Você acertou!
p(x)+q(x)=5x4−5x3+x+1+2x5+6x4−x3+9=p(x)+q(x)=2x5+5x4+6x4−5x3−x3+x+1+9=p(x)+q(x)=2x5+11x4−6x3+x+10p(x)+q(x)=5x4−5x3+x+1+2x5+6x4−x3+9=p(x)+q(x)=2x5+5x4+6x4−5x3−x3+x+1+9=p(x)+q(x)=2x5+11x4−6x3+x+10
(Livro-base p. 135).
	
	E
	3x5+6x4−6x3+x+103x5+6x4−6x3+x+10
Questão 9/10 - Números Complexos e Equações Algébricas
Leia o excerto de texto dado:
Os matemáticos egípcios e babilônios desenvolveram métodos para encontrar as raízes de polinômios de primeiro e segundo graus e com isso eles conseguiam encontrar, de forma aproximada, as raízes quadradas de números. Tudo isso era exposto de forma muito prática, expresso através de problemas do cotidiano.
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: DIERINGS, Andre Ricardo et al. ENSINO DE POLINÔMIOS NO ENSINO MÉDIO UMA NOVA ABORDAGEM. 2014.
Considerando o excerto de texto dado e os conteúdos do livro-base Números complexos e equações algébrica, leia e resolva a seguinte situação-problema: Uma indústria de carne congelada realizou um estudo e chegou a conclusão de que o lucro mensal p(x)p(x) é dado em função do preço x do quilo da carne congelada e essa relação é descrita pelo polinômio p(x)=−120x2+4800xp(x)=−120x2+4800x. Determine para quais valores de xx o lucro mensal é nulo.
Nota: 0.0
	
	A
	x1=20 e x2=40x1=20 e x2=40
	
	B
	x1=−120 e x2=4800x1=−120 e x2=4800
	
	C
	x1=0 e x2=20x1=0 e x2=20
	
	D
	x1=0 e x2=40x1=0 e x2=40
−120x2+4800x=0−120x2+4800x=0
x(−120x+4800)=0x(−120x+4800)=0
x=0x=0
ou
−120x+4800=0−120x+4800=0
−120x=−4800−120x=−4800
x=−4800−120x=−4800−120
x=40x=40
Logo, os valores de xx onde o lucro mensal é nulo é:
x1=0 e x2=40x1=0 e x2=40
Livro-base, p. 147-168.
	
	E
	x1=0 e x2=60x1=0 e x2=60
Questão 10/10 - Números Complexos e Equações Algébricas
A relação entre o preço de venda xx e o lucro mensal LL de um certo produto é dado pela função L(x)=−2x2+800xL(x)=−2x2+800x.
Considerando o excerto de texto dado e os conteúdos do livro-base Números complexos e equações algébrica, determine o preço desse produto tal que o lucro seja máximo.
Nota: 0.0
	
	A
	100100
	
	B
	200200
xv=−b2axv=−8002(−2)xv=−800−4xv=200xv=−b2axv=−8002(−2)xv=−800−4xv=200
Livro-base, 146-168.
	
	C
	300300
	
	D
	400400
	
	E
	500
Questão 1/10 - Números Complexos e Equações Algébricas
Leia o fragmento de texto abaixo:
As pesquisas feitas na Escola de Administração de Harvard defendem a tese da "cadeia serviço-lucro", que relaciona o serviço interno e a satisfação do funcionário ao valor para o cliente e, em última análise, ao lucro.
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: ZEITHAML, Valarie A.; BITNER, Mary Jo; GREMLER,Dwayne D. Marketing de Serviços-: A Empresa com Foco no Cliente. AMGH Editora, 2014.
Considerando o fragmento de texto e os conteúdos do livro-base Números complexos e equações algébrica, leia e resolva a seguinte situação-problema: Uma refinaria produz um determinado tipo de combustível. A função que fornece o lucro LL da refinaria e dada por L=−250x2+250000x−10000L=−250x2+250000x−10000 em função do preço de venda xx desse combustível. Qual é o lucro máximo?
Nota: 10.0
	
	A
	500500
	
	B
	125.000125.000
	
	C
	5.450.0005.450.000
	
	D
	62.490.00062.490.000
Você acertou!
1° Cálculo do xvxv:
xv=−b2axv=−2500002(−250)xv=−250000−500xv=500xv=−b2axv=−2500002(−250)xv=−250000−500xv=500
2° Cálculo do L:
L=250x2+250.000x−10.000L=250(500)2+250.000(500)−10.000L=62.500.000+12.500.000−10.000L=62.490.000L=250x2+250.000x−10.000L=250(500)2+250.000(500)−10.000L=62.500.000+12.500.000−10.000L=62.490.000
Livro-base, p.15-33, p. 160-161.
	
	E
	132.332.000132.332.000
Questão 2/10 - Números Complexos e Equações Algébricas
Para multiplicação de polinômios é possível utilizar a propriedade distributiva em conjunto com a regra da multiplicação de potências de mesma base, na qual é possível repetir a base e somar os expoentes.
De acordo com o exposto acima e com o livro-base Números complexos e equações algébricas, resolva a situação proposta abaixo.
Utilizando estas propriedades, calcule p(x).q(x)p(x).q(x) sabendo que p(x)=3x2+2p(x)=3x2+2  e  q(x)=7x+2q(x)=7x+2 e, indique a resposta correta para o valor da multiplicação destes dois polinômios.
Nota: 0.0
	
	A
	p(x).q(x)=3x3+6x2+7x+4p(x).q(x)=3x3+6x2+7x+4
	
	B
	p(x).q(x)=21x2+6x2+7x+4p(x).q(x)=21x2+6x2+7x+4
	
	C
	p(x).q(x)=21x3+6x2+14x+4p(x).q(x)=21x3+6x2+14x+4
Para fazer os cálculos p(x).q(x)p(x).q(x) deve-se seguir os passos seguintes:
p(x).q(x)=(3x2+2)(7x+2)p(x).q(x)=3x2.7x+3x2.2+2.7x+2.2p(x).q(x)=21x3+6x2+14x+4p(x).q(x)=(3x2+2)(7x+2)p(x).q(x)=3x2.7x+3x2.2+2.7x+2.2p(x).q(x)=21x3+6x2+14x+4
Livro-base, p. 127-146
	
	D
	p(x).q(x)=21x3+6x2+7x+2p(x).q(x)=21x3+6x2+7x+2
	
	E
	p(x).q(x)=7x3+6x2+7x+2p(x).q(x)=7x3+6x2+7x+2
Questão 3/10 - Números Complexos e Equações Algébricas
Uma Equação do 2º Grau incompleta, com c=0, pode ser resolvida através da fatoração. Desse modo, ax2+bxax2+bx pode ser escrita na forma x(ax+b)x(ax+b).
Com base na informação acima, e nos conteúdos sobre Equações de 2º Grau do Livro-base Números complexos e equações algébricas, analise a situação a seguir e em seguida responda o que se pede:
A equação p(x)=−0,02x2+0,6xp(x)=−0,02x2+0,6x  relaciona o número de assinantes de um jornal impresso com os meses xx contados a partir do seu lançamento. 
Depois de quantos meses, contados a partir do lançamento, o jornal zerou o número de assinantes?
Nota: 10.0
	
	A
	20 meses.
	
	B
	30 meses.
Você acertou!
p(x)=−0,02x2+0,6x−0,02x2+0,6x=0x(−0,02x+0,6)=0x=0  ou  −0,02x+0,6=0p(x)=−0,02x2+0,6x−0,02x2+0,6x=0x(−0,02x+0,6)=0x=0  ou  −0,02x+0,6=0
Como deseja-se a quantidade de anos contados após o lançamento, descarta-se x=0. Então:
−0,02x+0,6=0−0,02x=−0,6x=0,60,02x=30.−0,02x+0,6=0−0,02x=−0,6x=0,60,02x=30.
Logo, o tempo será 30 meses.
(Livro-base p. 57)
	
	C
	40 meses.
	
	D
	50 meses.
	
	E
	60 meses.
Questão 4/10 - Números Complexos e Equações Algébricas
De acordo com o livro-base Números complexos e equações algébricas responda a situação problema.
Se um comerciante cobra R$ 10,00 por um produto, o lucro associado a esse produto é de R$ 300,00. Se o preço desse produto é R$ 25,00, o respectivo lucro é de R$ 375,00. Se o preço é igual a zero, o lucro referente a esse produto também é zero. a função lucro é da forma L(x)=ax2+bx+cL(x)=ax2+bx+c, onde x é o preço e l é o lucro. Com base nessas informações, qual é o preço de venda desse produto que maximiza o lucro?
Nota: 10.0
	
	A
	R$ 10,00
	
	B
	R$ 12,00
	
	C
	R$ 15,00
	
	D
	R$ 17,00
	
	E
	R$ 20,00
Você acertou!
O preço de venda que maximiza o lucro é dado pelo cálculo do xvxv da equação quadrática que representa o lucro com o preço de venda nesta situação, portanto, vamos verificar primeiramente qual é esta equação quadrática.
Denominando xx os preços e denominando yy os respectivos lucros, temos os seguintes pares ordenados:
P1(0,0)P1(0,0)
P2(10,300)P2(10,300)
P3(25,375)P3(25,375)
Sabemos que a função y=ax2+bx+cy=ax2+bx+c representa a fórmula geral da equação quadrática, com isto podemos substituir os pares ordenados nesta equação para encontrar os valores dos coeficientes aa, bb e cc para cada par ordenado:
Para P1(0,0)P1(0,0) temos:
y=ax2+bx+cy=ax2+bx+c
0=a(0)2+b(0)+c0=a(0)2+b(0)+c
0=0+0+c0=0+0+c
c=0c=0
Como já encontramos c=0c=0, para P2(10,300)P2(10,300) temos:
y=ax2+bx+cy=ax2+bx+c
300=a(10)2+b(10)+0300=a(10)2+b(10)+0
300=100a+10b300=100a+10b
100a+10b=300100a+10b=300
Para P3(25,375)P3(25,375) temos:
y=ax2+bx+cy=ax2+bx+c
375=a(25)2+b(25)+c375=a(25)2+b(25)+c
625a+25b=375625a+25b=375
Como não encontramos ainda os valores para aa e bb, montamos um sistema com as duas equações às quais chegamos:
{100a+10b=300625a+25b=375{100a+10b=300625a+25b=375
Para resolver este sistema podemos multiplicar a primeira equação por -2,5 e em seguida somarmos com a segunda:
{100a+10b=300 .(−0,25)625a+25b=375               ..{−250a−25b=−750625a+25b=375.Fazendo a soma das duas equações do sistema obtemos:.375a+0=−375375a=−375a=−375375a=−1.Agora que encontramos o valor da incógnita a, substituímos na primeira equação para encontrar o valor de b:.100a+10b=300100(−1)+10b=300−100+10b=30010b=300+10010b=400b=40010b=40.Logo, encontramos a equação quadrática que associa o lucro com o preço de venda:y=−x2+40x.{100a+10b=300 .(−0,25)625a+25b=375               ..{−250a−25b=−750625a+25b=375.Fazendo a soma das duas equações do sistema obtemos:.375a+0=−375375a=−375a=−375375a=−1.Agora que encontramos o valor da incógnita a, substituímos na primeira equação para encontrar o valor de b:.100a+10b=300100(−1)+10b=300−100+10b=30010b=300+10010b=400b=40010b=40.Logo, encontramos a equação quadrática que associa o lucro com o preço de venda:y=−x2+40x.
Agora podemos calcular o xvxv para saber qual o valor que maximiza o lucro.
Tendo xv=−baxv=−ba e tendo b=40b=40 e a=−1a=−1,
xv=−402(−1)xv=−402(−1)
xv=−40−2xv=−40−2
xv=20xv=20
Livro-base, p.13-80.
Questão 5/10 - Números Complexos e Equações Algébricas
Leia o excerto de texto dado:
Os matemáticos egípcios e babilônios desenvolveram métodos para encontrar as raízes de polinômios de primeiro e segundo graus e com isso eles conseguiam encontrar, de forma aproximada, as raízes quadradas de números. Tudo isso era exposto de forma muito prática, expresso através de problemas do cotidiano.
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: DIERINGS, Andre Ricardo et al. ENSINO DE POLINÔMIOS NO ENSINO MÉDIO UMA NOVA ABORDAGEM. 2014.
Considerando o excerto de texto dado e os conteúdos do livro-base Números complexos e equações algébrica, leia e resolva a seguinte situação-problema: Uma indústria de carne congelada realizou um estudo e chegou a conclusão de que o lucro mensal p(x)p(x) é dado em função do preço x do quilo da carne congelada e essa relação é descrita pelo polinômio p(x)=−120x2+4800xp(x)=−120x2+4800x. Determine para quais valores de xx o lucro mensal é nulo.
Nota: 10.0
	
	A
	x1=20 e x2=40x1=20 e x2=40
	
	B
	x1=−120 e x2=4800x1=−120 e x2=4800
	
	C
	x1=0 e x2=20x1=0 e x2=20
	
	D
	x1=0 e x2=40x1=0 e x2=40
Você acertou!
−120x2+4800x=0−120x2+4800x=0
x(−120x+4800)=0x(−120x+4800)=0
x=0x=0
ou
−120x+4800=0−120x+4800=0
−120x=−4800−120x=−4800
x=−4800−120x=−4800−120
x=40x=40
Logo, os valores de xx onde o lucro mensal é nulo é:
x1=0 e x2=40x1=0 e x2=40
Livro-base, p. 147-168.
	
	E
	x1=0 e x2=60x1=0 e x2=60
Questão 6/10 - Números Complexos e Equações Algébricas
Atente para a informação a seguir:
"Os polinômios possuem parte literal e coeficientes numéricos e podem ser classificados como monômios, binômios, trinômios ou polinômios. Essas classificações e informações são úteis quando efetuamos operações com expressões algébricas".
Textoelaborado pelo autor desta questão.
Com base na informação acima e nos conteúdos do livro-base Números complexos e equações algébricas sobre polinômios, analise as afirmativas a seguir, marcando como V as asserções verdadeiras e com F as asserções falsas:
I. (   ) Podemos afirmar que −8x2y−8x2y é um binômio, pois há duas variáveis diferentes nessa expressão algébrica.
II. (   ) O grau de 5x3y6z35x3y6z3 é 1212.
III. (   ) 3m3m e −5m−5m são considerados termos semelhantes, uma vez que possuem a mesma parte literal. 
IV. (   ) As partes literais de 5z³5z³ e −2z5−2z5 são idênticas, pois a variável é a mesma nos dois monômios. 
Agora, assinale a alternativa com a sequência correta.
Nota: 10.0
	
	A
	V - V - V - V
	
	B
	V - V - F - F
	
	C
	F - V - V - V
	
	D
	F - F - V - V
	
	E
	F - V - V - F
Você acertou!
A afirmativa I é falsa, pois a expressão é um monômio, que é "um produto de constante e variável". Pode haver várias variáveis nesse produto.
A afirmativa II é verdadeira, pois "o grau de um monômio é dado pela soma dos expoentes de sua parte literal".
A afirmativa III é verdadeira, porque "termos são semelhantes quando possuem a mesma parte literal".
A afirmativa IV é falsa, porque "os expoentes das variáveis são diferentes".
(livro-base, p. 131-133).
Questão 7/10 - Números Complexos e Equações Algébricas
Para a multiplicação de polinômios é possível utilizar a propriedade distributiva.
Além disso, a multiplicação de polinômios respeita a regra de multiplicação de potências de mesma base. Obedecendo essa regra, conserva-se a base e somam-se os expoentes.
A partir da leitura do trecho acima e os conteúdos do livro Números complexos e equações algébricas sobre polinômios, considere os polinômios abaixo e em seguida julgue os itens I, II e III.
p(x)=3x2+2p(x)=3x2+2 e q(x)=7x+2q(x)=7x+2
I. p(x).q(x)=21x3+4p(x).q(x)=21x3+4
II. p(x).p(x)=9x4+4p(x).p(x)=9x4+4
III. q(x).q(x)=49x2+28x+4q(x).q(x)=49x2+28x+4
Pode-se afirmar que:
Nota: 10.0
	
	A
	Todas as alternativas são verdadeiras.
	
	B
	Apenas as alternativas I e II são verdadeiras.
	
	C
	Apenas a alternativa III é verdadeira.
Você acertou!
I.p(x).q(x)=(3x2+2).(7x+2)=21x3+6x2+14x+4, item I, incorretoII.p(x).p(x)=(3x2+2)2=9x4+12x2+4, item II, incorretoIII.q(x).q(x)=(7x+2)2=49x2+28x+4, item III, correto.I.p(x).q(x)=(3x2+2).(7x+2)=21x3+6x2+14x+4, item I, incorretoII.p(x).p(x)=(3x2+2)2=9x4+12x2+4, item II, incorretoIII.q(x).q(x)=(7x+2)2=49x2+28x+4, item III, correto.
(Livro-base pp. 131-136)
	
	D
	Apenas as alternativas I e III são verdadeiras.
	
	E
	Todas as alternativas são falsas.
Questão 8/10 - Números Complexos e Equações Algébricas
Leia o excerto de texto dado:
Os matemáticos egípcios e babilônios desenvolveram métodos para encontrar as raízes de polinômios de primeiro e segundo graus e com isso eles conseguiam encontrar, de forma aproximada, as raízes quadradas de números. Tudo isso era exposto de forma muito prática, expresso através de problemas do cotidiano.
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: DIERINGS, Andre Ricardo et al. ENSINO DE POLINÔMIOS NO ENSINO MÉDIO UMA NOVA ABORDAGEM. 2014.
Considerando o excerto de texto dado e os conteúdos do livro-base Números complexos e equações algébrica, leia e resolva a seguinte situação-problema:
O número de assinantes de uma TV a cabo teve alterações nas últimas 2525 semanas. A expressão p(x)=0,6x+30p(x)=0,6x+30 relaciona o numero de assinantes p(x)p(x), em milhares, com as respectiva semana xx. A TV a cabo concorrente teve uma variação no numero de assinantes dada por q(x)=−0,02x2+0,5x+40q(x)=−0,02x2+0,5x+40 onde q(x)q(x) indica o número de assinantes, também em milhares e xx indica a semana correspondente. Em qual semana as duas operadoras de TV a cabo tiveram o mesmo número de assinantes?
Nota: 10.0
	
	A
	55
	
	B
	1010
	
	C
	1515
	
	D
	2020
Você acertou!
Para calcular em qual semana as duas operadoras de TV a cabo tiveram o mesmo número de assinantes, fazemos p(x)=q(x)p(x)=q(x), assim:
p(x)=q(x)p(x)=q(x)
0,6x+30=−0,02x2+0,5x+400,6x+30=−0,02x2+0,5x+40
0,6x+30+0,02x2−0,5x−40=00,6x+30+0,02x2−0,5x−40=0
0,02x2+0,1x−10=00,02x2+0,1x−10=0
Aqui é possível resolver utilizando a fórmula de Bháskara, sendo a=0,02a=0,02 
                                                                                               b=0,1b=0,1
                                                                                               c=−10c=−10
x=−b±√b2−4ac2ax=−(0,1)±√(0,1)2−4(0,02)(−10)2(0,02)x=−(0,1)±√(0,01+0,8(0,04)x=−(0,1)±√(0,81(0,04)x=−0,1±0,90,04⎧⎪⎨⎪⎩x1=−0,1+0,90,04⇒x1=0,80,04⇒x1=20x2=−0,1−0,90,04⇒x2=−10,04⇒x2=−25x=−b±b2−4ac2ax=−(0,1)±(0,1)2−4(0,02)(−10)2(0,02)x=−(0,1)±(0,01+0,8(0,04)x=−(0,1)±(0,81(0,04)x=−0,1±0,90,04{x1=−0,1+0,90,04⇒x1=0,80,04⇒x1=20x2=−0,1−0,90,04⇒x2=−10,04⇒x2=−25
Como nesse caso não faz sentido uma solução negativa, as operadoras de TV a cabo tiveram o mesmo número de assinantes na 20ª semana.
Livro-base, p.147-168
	
	E
	2525
Questão 9/10 - Números Complexos e Equações Algébricas
Atente para a seguinte informação:
"Uma equação de terceiro grau do tipo ax3+bx2+cx=0ax3+bx2+cx=0 pode ser resolvida a partir da fatoração. Quando a equação possui um termo independente, sendo do tipo ax3+bx2+cx+d=0ax3+bx2+cx+d=0, uma outra forma de resolução envolve a suposição de raízes a partir dos múltiplos desse termo independente dd. Quando uma raiz αα encontrada, pode-se determinar as demais dividindo-se ax3+bx2+cx+dax3+bx2+cx+d por x−αx−α".
Texto elaborado pelo autor desta questão.
Com base na informação acima e nos conteúdos do livro-base Números complexos e equações algébricas sobre raízes de polinômios, sabendo que 2 é uma raiz do polinômio x3+2x2−x−14x3+2x2−x−14 determine o conjunto solução da equação x3+2x2−x−14=0x3+2x2−x−14=0.
Nota: 0.0
	
	A
	S={2}S={2}
	
	B
	S={−2−2√3i,−2+2√3i,2}S={−2−23i,−2+23i,2}
	
	C
	S={−4−√122,−4+√122,2}S={−4−122,−4+122,2}
	
	D
	S={−2,0,2}S={−2,0,2}
	
	E
	S={−2−√3i,−2+√3i,2}S={−2−3i,−2+3i,2}
Se 2 é raiz do polinômio, dividimos a expressão x3+2x2−x−14x3+2x2−x−14 por x−2x−2. O quociente será x2+4x+7x2+4x+7.
Resolvendo a equação x2+4x+7=0x2+4x+7=0, obtemos como raízes −2−√3i e −2+√3i−2−3i e −2+3i.
Logo S={−2−√3i,−2+√3i,2}S={−2−3i,−2+3i,2}
(
livro-base, p. 147-162).
Questão 10/10 - Números Complexos e Equações Algébricas
Considere os seguintes polinômios:
p(x)=3x4−3x2+5q(x)=12x4+5x3−2x2−12p(x)=3x4−3x2+5q(x)=12x4+5x3−2x2−12
Com base nos conteúdos do livro-base Números complexos e equações algébricas sobre operações com polinômios e considerando os dados apresentados acima, analise as seguintes afirmativas:
I. p(x)+q(x)=15x4+5x3−5x2−7p(x)+q(x)=15x4+5x3−5x2−7
II. p(x)−q(x)=−9x4+5x3−x2−7p(x)−q(x)=−9x4+5x3−x2−7
III. p(x)+p(x)=6x4−6x2+10p(x)+p(x)=6x4−6x2+10
IV. p(x).q(x)=36x8+15x7−42x6−15x5+30x4+25x3+26x2−60p(x).q(x)=36x8+15x7−42x6−15x5+30x4+25x3+26x2−60
São corretas apenas as afirmativas:
Nota: 10.0
	
	A
	I e II.
	
	B
	I, II e III.
	
	C
	I e III.
	
	D
	I, III e IV.
Você acertou!
A afirmativa I é verdadeira, pois somando as partes semelhantes dos polinômios, obtemos 15x4+5x3−5x2−715x4+5x3−5x2−7.
A afirmativa II é falsa, porque efetuando a subtração temos:
3x4−3x2+5−(12x4+5x3−2x2+12)=3x4−3x2+5−12x4−5x3+2x2+12=−9x4−5x3−x2+173x4−3x2+5−(12x4+5x3−2x2+12)=3x4−3x2+5−12x4−5x3+2x2+12=−9x4−5x3−x2+17
A afirmativa III é verdadeira, pois: 3x4−3x2+5+3x4−3x2+5=6x4−6x2+10.3x4−3x2+5+3x4−3x2+5=6x4−6x2+10.
A afirmativa IV é verdadeira, deve-se utilizar a propriedade distributiva da multiplicação:
(3x4−3x2+5).(12x4+5x3−2x2−12)=36x8+15x7−6x6−36x4−36x6−15x5+6x4+36x2+60x4+25x3−10x2−60=36x8+15x7−42x6−15x5+30x4+25x3+26x2−60(3x4−3x2+5).(12x4+5x3−2x2−12)=36x8+15x7−6x6−36x4−36x6−15x5+6x4+36x2+60x4+25x3−10x2−60=36x8+15x7−42x6−15x5+30x4+25x3+26x2−60
(livro-base, p. 135-136).
	
	E
	II, III e IV.