Questão 1-10 - Métodos Numéricos e Equações Diferenciais11

Prévia do material em texto

Questão 1/10 - Métodos Numéricos e Equações Diferenciais
Leia o trecho a seguir
"Dados os números complexos z=a+biz=a+bi e w=c+diw=c+di, para realizarmos a adição z+wz+w devemos adicionar da parte real de zz com a parte real ww e, em seguida, adicionarmos a parte imaginária de zz com a parte imaginária de ww."
Após a avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: GÓES, A.R.T. Números complexos e equações algébricas, Curitiba: Intersaberes, 2015, p. 97.
Com base nessa informação, nos conteúdos do livro-base Números complexos e equações algébricas sobre operações com números complexos e os números complexos z=2+3iz=2+3i e w=5−2iw=5−2i, assinale a única que contém a adição z+wz+w.
Nota: 10.0
	
	A
	z+w=iz+w=i
	
	B
	z+w=7z+w=7
	
	C
	z+w=7+iz+w=7+i
Você acertou!
Como descrito no elemento base devemos somar partes reais e imaginárias dos respectivos números.
z+w=(2+3i)+(5−2i)=(2+5)+(3−2)i=7+1i=7+iz+w=(2+3i)+(5−2i)=(2+5)+(3−2)i=7+1i=7+i
(livro base p. 97)
	
	D
	z+w=−7−iz+w=−7−i
	
	E
	z+w=7iz+w=7i
Questão 2/10 - Métodos Numéricos e Equações Diferenciais
Leia o trecho a seguir:
“Veja que um número complexo pode ser escrito na forma z=a+biz=a+bi, em que a,b∈Ra,b∈R, e ii é a unidade imaginária."
Após a avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: GÓES, A.R.T. Números complexos e equações algébricas, Curitiba: Intersaberes, 2015, p. 85.
Com base nessa informação e nos conteúdos sobre números complexos do livro-base Números complexos e equações algébricas, considerando o número 2 pode-se afirmar que suas partes real e imaginária são, respectivamente:
Nota: 10.0
	
	A
	2 e 2
	
	B
	2 e 0
Você acertou!
Escrevendo o número 2 na forma completa de número complexo temos 2+0i. Portanto, a parte real é 2 e a parte imaginária é 0.
	
	C
	0 e 2
	
	D
	o número 2 não é um número complexo
	
	E
	apenas 2
Questão 3/10 - Métodos Numéricos e Equações Diferenciais
Leia o trecho a seguir:
“Com o surgimento desse número ii, tornou-se possível a resolução de equações que, até o momento, não tinham soluções em R.R.”
Após a avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: GÓES, A.R.T. Números complexos e equações algébricas, Curitiba: Intersaberes, 2015, p. 83-84.
Com base nessa informação e nos conteúdos do livro-base Números complexos e equações algébricas sobre os números complexos, assinale a alternativa  que contém a solução da equação x^2+8=0 no conjunto dos números complexos:
Nota: 10.0
	
	A
	S={4i,−4i}S={4i,−4i}
	
	B
	S={2√2i,−2√2i}S={22i,−22i}
Você acertou!
Resolvendo a equação quadrática teremos esta solução. Observe:
x2+8=0x2=−8x=±√−8x=±√4⋅2⋅(−1)x=±√4⋅√2⋅√−1x=±2√2ix2+8=0x2=−8x=±−8x=±4⋅2⋅(−1)x=±4⋅2⋅−1x=±22i
(livro-base p. 83-85)
	
	C
	S={8i,−8i}S={8i,−8i}
	
	D
	S={i,−i}S={i,−i}
Questão 4/10 - Métodos Numéricos e Equações Diferenciais
Leia a citação:
"Dada uma equação algébrica do 2º grau ax2+bx+c=0ax2+bx+c=0, suas raízes x1x1 e x2x2 (quando existirem) são dadas pela fórmula: x=−b±√b2−4ac2ax=−b±b2−4ac2a."
Após a avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: GÓES, A.R.T, GÓES, H.C., Números complexos e equações algébricas, Curitiba: Intersaberes, 2015 p. 29.
Considerando estas informações e os conteúdos do livro-base Números complexos e equações algébricas sobre equações algébricas, assinale a alternativa correta que contém as raízes da equação x2−5x+6=0x2−5x+6=0.
Nota: 10.0
	
	A
	x1=1x1=1 e x2=2x2=2
	
	B
	x1=−2x1=−2 e x2=−3x2=−3
	
	C
	x1=2x1=2 e x2=3x2=3
Você acertou!
Aplicando os coeficientes a=1a=1, b=−5b=−5 e c=6c=6 na Fórmula de Baskara x=−b±√b2−4ac2ax=−b±b2−4ac2a. 
encontramos as raízes:
x1=2x1=2 e x2=3x2=3.
Observe os cálculos
x=−b±√b2−4ac2ax=−(−5)±√(−5)2−4⋅1⋅62⋅1x=5±√25−242x=5±√12x=5±12x1=5+12=62=3 e x2=5−12=42=2x=−b±b2−4ac2ax=−(−5)±(−5)2−4⋅1⋅62⋅1x=5±25−242x=5±12x=5±12x1=5+12=62=3 e x2=5−12=42=2
(livro-base pag 29)
	
	D
	x1=0x1=0 e x2=6x2=6
	
	E
	Não existe solução
Questão 5/10 - Métodos Numéricos e Equações Diferenciais
Leia o trecho a seguir:
“A Álgebra está presente em nosso cotidiano apesar de muitos não perceberem. Pode se mostrar a aplicabilidade dessa área da matemática, seja por meio de exemplos práticos, seja por meio de desafios que os levem a refletir sobre tal situação.” Por exemplo, por meio de cálculos algébricos é possível calcular a medida do lado do quadrado que tem o valor da área igual ao valor do dobro de seu perímetro.
Após a avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: GÓES, A.R.T. Números complexos e equações algébricas, Curitiba: Intersaberes, 2015, p. 49 e 56.
Com base nessa informação e nos conteúdos sobre números complexos do livro-base Números complexos e equações algébricas, o valor do lado do quadrado é:
Nota: 10.0
	
	A
	5 metros
	
	B
	4 metros
	
	C
	10 metros
	
	D
	8 metros
Você acertou!
Supor que a dimensão do quadrado seja x. Então a área é x2x2 e o perímetro é 4x. 
Como o enunciado diz que o valor da área é igual ao valor do dobro do perímetro, temos a equação x2=2⋅4xx2=2⋅4x.
Então
x2−8x=0x(x−8)=0x2−8x=0x(x−8)=0
E as raízes da equação são x=0 e x=8. Como zero não cabe nesta situação, o valor da dimensão do quadrado é 8m.
Livro-base p 56.
	
	E
	6 metros
Questão 6/10 - Métodos Numéricos e Equações Diferenciais
Leia o trecho a seguir:
“Quando surge um novo conjunto numérico, faz-se necessário não apenas definir esse novo tipo de número, mas, também, verificar a igualdade desses números, bem como as operações que nele podem acontecer.”
Após a avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: GÓES, A.R.T. Números complexos e equações algébricas, Curitiba: Intersaberes, 2015, p. 96.
Com base nessa informação, nos conteúdos do livro-base Números complexos e equações algébricas, sobre operações com números complexos, e considerando os números complexos z1=5+4iz1=5+4i e z2=−2−2iz2=−2−2i, assinale a alternativa que contém o resultado da diferença z1−z2z1−z2.
Nota: 10.0
	
	A
	7+6i7+6i
Você acertou!
A operação z1−z2=(5+4i)−(−2−2i)=(5−(−2))+(4−(−2))i=7+6iz1−z2=(5+4i)−(−2−2i)=(5−(−2))+(4−(−2))i=7+6i
(livro base p. 96-104)
	
	B
	1−2i1−2i
	
	C
	1+2i1+2i
	
	D
	ii
	
	E
	77
Questão 7/10 - Métodos Numéricos e Equações Diferenciais
Leia o trecho a seguir:
“A Álgebra está presente em nosso cotidiano apesar de muitos não perceberem. Pode se mostrar a aplicabilidade dessa área da matemática, seja por meio de exemplos práticos, seja por meio de desafios que os levem a refletir sobre tal situação.”
Após a avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: GÓES, A.R.T. Números complexos e equações algébricas, Curitiba: Intersaberes, 2015, p. 49 e 54.
Em certo condomínio residencial, os terrenos-padrão foram projetados para serem divididos todos com a mesma área de 128 m2m2, cujo comprimento deveria ser igual ao dobro da largura. No entanto um dos terrenos precisou ter 2 metros a mais na largura que os demais, mas com a mesma área. 
Com base nessa informação e nos conteúdos sobre números complexos do livro-base Números complexos e equações algébricas, as dimensões do terreno diferente são:
Nota: 0.0
	
	A
	15m e 8m
	
	B
	10 m e 12,8 m
Supor que uma das dimensões do primeiro terreno sejam x. A  segunda dimensão será 2x. Assim a área será
x⋅2x=128x⋅2x=128.
Cálculo do valor de das dimensões do primeiro terreno:
x⋅2x=1282x2=128x2=1282x2=64x=±8x⋅2x=1282x2=128x2=1282x2=64x=±8
Como o valor negativo não cabe neste caso, x=8 e a primeira dimensão do terreno é 8m. A segunda dimensão é 16 m.
Como a primeira dimensão do outro terreno é 2 metros maior, ou seja, 7+3=10, temos que a primeira dimensão do segundo terreno é 10 metros. 
Cálculo da segunda dimensão do segundo terreno:
10⋅y=128y=128/10y=12,810⋅y=128y=128/10y=12,8
Portanto, as dimensões do segundo terreno serão 10m10m e 12,8m12,8m.
Livro-base p 54 e 55
	
	C
	9m e 12 m
	
	D
	11m e 11,5 m
	
	E
	13m e 10m
Questão 8/10 - Métodos Numéricos e Equações Diferenciais
Leia o trecho a seguir:
“Um número complexo pode ser escritona forma z=a+biz=a+bi em que aa, b∈Rb∈R, e ii é a unidade imaginária. O número z1=3iz1=3i  e z2=−3iz2=−3i são denominados números imaginários puro0s, pois apresentam a parte real nula e a parte imaginária diferente de zero.”
Após a avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: GÓES, A.R.T. Números complexos e equações algébricas, Curitiba: Intersaberes, 2015, p. 85-86.
Com base nessa informação e nos conteúdos do livro-base Números complexos e equações algébricas, sobre os números complexos, analise as alternativas que seguem. Na sequência, assinale aquela que apresenta, de forma correta, o valor que kk deve assumir para que z=2k−4+(k−2)iz=2k−4+(k−2)i seja um número imaginário puro.
Nota: 10.0
	
	A
	k=0k=0
	
	B
	k=1k=1
	
	C
	k=5k=5
	
	D
	k=2k=2
Você acertou!
Para que o número seja imaginário puro a parte real deve ser nula. Então, neste caso 2k−4=02k−4=0, ou seja, para k=2k=2 teremos um imaginário puro.
(livro base p. 86)
	
	E
	k=3k=3
Questão 9/10 - Métodos Numéricos e Equações Diferenciais
Leia o trecho a seguir:
“Com o surgimento desse número i, tornou-se possível a resolução de equações que, até o momento, não tinham soluções em RR"
Após a avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: GÓES, A.R.T. Números complexos e equações algébricas, Curitiba: Intersaberes, 2015, p. 83.
Com base nessa informação e nos conteúdos sobre números complexos do livro-base Números complexos e equações algébricas, a solução da equação 2x2+18=02x2+18=0  no conjunto dos números complexos é:
Nota: 10.0
	
	A
	3 e -3
	
	B
	somente -3
	
	C
	somente 3
	
	D
	3i e -3i
Você acertou!
Resolvendo a equação quadrática temos:
2x2+18=02x2=−18x2=−182x2=−9x=√−9x=±3i.2x2+18=02x2=−18x2=−182x2=−9x=−9x=±3i.
Portanto, as soluções da equação são os números complexos 3i3i e −3i−3i.
Livro-base p. 83
	
	E
	a equação não tem solução em nenhum conjunto
Questão 10/10 - Métodos Numéricos e Equações Diferenciais
Leia o trecho a seguir:
“A Álgebra está presente em nosso cotidiano apesar de muitos não perceberem. Pode se mostrar a aplicabilidade dessa área da matemática, seja por meio de exemplos práticos, seja por meio de desafios que os levem a refletir sobre tal situação. Por exemplo, alguns profissionais da construção civil, quando necessitam demarcar um ângulo de 90º e não possuem esquadro, constroem um triângulo com as seguintes dimensões: 60 cm, 80cm e 1m. Isto é possível porque um dos ângulos formado por este triângulo é 90º, ou seja, o triângulo é retângulo. Para verificar se o triângulo é retângulo, basta substituir suas dimensões no teorema de Pitágoras".
Após a avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: GÓES, A.R.T. Números complexos e equações algébricas, Curitiba: Intersaberes, 2015, p. 49 e 58.
Com base nessa informação e nos conteúdos sobre números complexos do livro-base Números complexos e equações algébricas, é retângulo o triângulo com as seguintes dimensões:
Nota: 10.0
	
	A
	12, 5 e 13
Você acertou!
O triângulo com dimensões 12,5 e 13 é retângulo pois
132=122+52169=144+25.132=122+52169=144+25.
A igualdade é verificada. Portanto, o triângulo é retângulo.
Livro-base p. 58
	
	B
	3, 4 e 6
	
	C
	1,2 e 3
	
	D
	4,4 e 6
	
	E
	3,3 e 4
Questão 1/10 - Métodos Numéricos e Equações Diferenciais
Leia o seguinte fragmento de texto:
"A fórmula yi+1=yi+f(x1,yi)hyi+1=yi+f(x1,yi)h] é conhecida como método de Euler , onde um novo valor yy é previsto usando a inclinação [...] para extrapolar linearmente sobre um tamanho de passo hh." 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: CHAPRA, S. C.; CANALE, R. P. Métodos numéricos para engenharia. São Paulo: McGraw-Hill, 2008. p. 588.
Considerando o fragmento de texto apresentado e os conteúdos do livro-base  Matemática Avançada para Engenharia - Equações Diferenciais Elementares e Transformada de Laplace, use o método de Euler enunciado acima para integrar numericamente a equação: y′=x3+x2+x+1y′=x3+x2+x+1 de x=0x=0 a x=0,01x=0,01 com tamanho de passo de 0,010,01 (ou seja, usar um único passo). A condição inicial y(0)=1, (x=0x=0  e y=1y=1). Marque a alternativa que apresenta a solução dessa iteração.
Nota: 0.0
	
	A
	y(0,01)=5,25y(0,01)=5,25
	
	B
	y(0,01)=1,09005y(0,01)=1,09005
	
	C
	y(0,01)=1,31005y(0,01)=1,31005
	
	D
	y(0,01)=2,875y(0,01)=2,875
	
	E
	y(0,01)=1,01y(0,01)=1,01
Seja dydx=x3+x2+x+1dydx=x3+x2+x+1, então,
y(0,01)=y(0)+f(0,1)0,01,y(0,01)=y(0)+f(0,1)0,01,
em que y(0)=1y(0)=1 e a estimativa de inclinação em x=0x=0 é
f(0,1)=03+02+0+1=1.f(0,1)=03+02+0+1=1.
Portanto,
y(0,01)=1+1(0,01)=1
,01.y(0,01)=1+1(0,01)=2,01.
CHAPRA, S. C.; CANALE, R. P. Numerical methods for engineers. Português. Métodos numéricos para engenharia. Trad. de Helena Castro. São Paulo: McGraw-Hill, 2008. p. 588)}
Questão 2/10 - Métodos Numéricos e Equações Diferenciais
Leia a citação a seguir:
"Como nem sempre é possível obter a solução numérica de uma EDO, podem-se usar métodos numéricos para resolvê-la. Trataremos aqui de métodos numéricos para se conseguir os valores de y(x) em pontos distintos daqueles das condições iniciais associadas ao PVI. Um problema de valor inicial (P.V.I.) de primeira ordem tem a forma:
{y′=f(x,y)y(x0)=y0{y′=f(x,y)y(x0)=y0
em que a≤x≤b,y∈R.a≤x≤b,y∈R.
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: \url{http://wwwp.fc.unesp.br/~adriana/Numerico/EDO.pdf}. Acesso em 05 jul. 2018.
Considerando a citação e os conteúdos do livro-base Matemática Avançada - Equações Diferenciais Elementares e Transformada de Laplace e o Método de Euler sobre métodos numéricos de solução de equações diferenciais, dada equação diferencial y´=sen(x+y)−ex,y(0)=4y´=sen(x+y)−ex,y(0)=4, assinale a alternativa que representa a aproximação para y(2)y(2), com passo h=0,5h=0,5.
Nota: 10.0
	
	A
	3,2135663,213566
	
	B
	3,1215993,121599
	
	C
	−1,105384885−1,105384885
Você acertou!
temos que x0=0x0=0 e y0=4y0=4
Passo jxjyjj=004j=10,5y=4+0,5(sen(0+4)−e0)=3,121599j=11y=3,121599+0,5(sen(0,5+3,121599)−e0,5)=2,066346j=11,5y=2,066345824+0,5(sen(1+2,066345824)−e1)=0,74479283j=12y=0,74479283+0,5(sen(15+0,74479283)−e1,5)=−1,10538488Passo jxjyjj=004j=10,5y=4+0,5(sen(0+4)−e0)=3,121599j=11y=3,121599+0,5(sen(0,5+3,121599)−e0,5)=2,066346j=11,5y=2,066345824+0,5(sen(1+2,066345824)−e1)=0,74479283j=12y=0,74479283+0,5(sen(15+0,74479283)−e1,5)=−1,10538488
(livro-base p. 301-306)
	
	D
	−4,40993−4,40993
	
	E
	0,7447930,744793
Questão 3/10 - Métodos Numéricos e Equações Diferenciais
Leia o texto:
Seja a equação diferencial ordinária de segunda ordem dada por
y′′=f(x,y,y′)=12x2+3y2+y′−17y(1,5)=2y´(1,5)=24.y″=f(x,y,y′)=12x2+3y2+y′−17y(1,5)=2y´(1,5)=24.
Após reduzir a equação dada a um sistema de duas equações diferenciais
ordinárias de primeira ordem, obtêm-se:
{y'=zz'=12x2+3y2+z-17{y'=zz'=12x2+3y2+z-17
Considerando as informações e os conteúdos do texto-base Matemática Avançada - Equações Diferenciais Elementares e Transformada de Laplace, use o Método de Euler para resolver o sistema obtido no intervalo de integração [1,5; 1,8] com passo constante h=0,1h=0,1 e assinale a alternativa correta.
Nota: 0.0
	
	A
	Para i=2i=2 temos z′i=y′′i=18zi′=yi″=18.
	
	B
	Para i=1i=1 temos zi=y′i=22zi=yi′=22.
	
	C
	Para i=3i=3 temos y3=1,5663=1,566
	
	D
	Para i=3i=3 temos zi=60,08428zi=60,08428
ixiyizi=y′i01,522411,64,428,621,77,2638,6431,811,12460,08428ixiyizi=yi′01,522411,64,428,621,77,2638,6431,811,12460,08428
(texto-base Matemática Avançada - Equações Diferenciais Elementares e Transformada de Laplace,  p. 301-306)
	
	E
	Pra i=3i=3 temos y4=13,8y4=13,8
Questão 4/10 - Métodos Numéricos e Equações Diferenciais
Considerando os conteúdos do livro-base  Matemática Avançada para Engenharia - Equações Diferenciais Elementares e Transformada de Laplace sobre métodos numéricos de solução de equações diferencias para equações de segunda ordem, utilizando o método de Euler, obtenha o valor aproximado de y(0,2)y(0,2), com h=0,2,  se y(x)y(x)  é a solução doproblema de valor inicial, PVI
y´´+xy´+y=0,y(0)=1,y´(0)=2y´´+xy´+y=0,y(0)=1,y´(0)=2
Assinale a alternativa correta, para a aproximação de y(0,2).
Nota: 10.0
	
	A
	y(0,2)=1,9 e z(0,2)=1,2y(0,2)=1,9 e z(0,2)=1,2
	
	B
	y(0,2)=1,4 e z(0,2)=1,8y(0,2)=1,4 e z(0,2)=1,8
Você acertou!
Em termos da substituição y´=u,y´=u,  a equação é equivalente ao sistema 
y´=zz´=−xz−yy´=zz´=−xz−y
Pelo método de Euler, temos:
yj+1=yj+hzjzj+1=zj+h(−xjzj−yj)yj+1=yj+hzjzj+1=zj+h(−xjzj−yj)
Com h=0,2, obtemos as aproximações:
y1=y0+hz0=1+0,2.(2)=1,4z1−z0+h(−z0x0−y0)=2+0,2.(−0.2−1)=1,8y1=y0+hz0=1+0,2.(2)=1,4z1−z0+h(−z0x0−y0)=2+0,2.(−0.2−1)=1,8
então as aproximações são y(0,2)=1,4 e z(0,2)=1,8y(0,2)=1,4 e z(0,2)=1,8
(livro-base p. 299-302)
	
	C
	y(0,2)=1,6 e z(0,2)=1,9y(0,2)=1,6 e z(0,2)=1,9
	
	D
	y(0,2)=1,3 e z(0,2)=1,6y(0,2)=1,3 e z(0,2)=1,6
	
	E
	y(0,2)=1,5 e z(0,2)=1,3y(0,2)=1,5 e z(0,2)=1,3
Questão 5/10 - Métodos Numéricos e Equações Diferenciais
Leia o trecho a seguir:
" Os métodos de Euler, Euler aperfeiçoado e de Runge-Kutta são exemplos de métodos de passo único ou de partida. Nesses métodos, cada valor sucessivo yn+1yn+1 é calculado com base apenas na informação a respeito no valor imediatamente anterior ynyn. Por outro lado, métodos multipassos ou contínuos utilizam os valores a partir de diversos passos calculados para obter o valor de yn+1yn+1. Existe um grande número de fórmulas de métodos multipassos para aproximar soluções das EDs. Porém, como não é nossa intenção investigar o vasto campo dos procedimentos numéricos, consideraremos aqui apenas um desses métodos."
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: SPERANDIO, D.; MENDES, J. T.; MONKEN, L. H. Cálculo numérico. 2ª Ed. São Paulo: Pearson education do Brasil, 2014.
Considerando o trecho de texto apresentado e os conteúdos do livro-base  Matemática Avançada para Engenharia - Equações Diferenciais Elementares e Transformada de Laplace sobre métodos numéricos de solução de equações diferencias, os métodos de passo múltiplo, aplique o método Adams-Bashforth, com h=1, para obter a obter a aproximação de y(6)y(6), do PVI, 
y´=−1+yx,y(1)=1 e h=1.y´=−1+yx,y(1)=1 e h=1.
as primeiras aproximações são dadas no quadro:
Assinale a alternativa com o valor correto da aproximação de y(6)y(6), pelo método de Adams-Bashfort.
Nota: 0.0
	
	A
	0,980579
	
	B
	12,87666
	
	C
	11,88347
A fórmula de Adams-Bashfort é dada: yj+1=yj+h24[55f(xj,yj)−59f(xj−1,yj−1)+37f(xj−2,yj−2)−9f(xj−3,yj−3]yj+1=yj+h24[55f(xj,yj)−59f(xj−1,yj−1)+37f(xj−2,yj−2)−9f(xj−3,yj−3]
A aproximação é y=11,88347.
(livro-base p. 297-301).
	
	D
	13,0011112
	
	E
	9,887788
Questão 6/10 - Métodos Numéricos e Equações Diferenciais
Leia o enunciado a seguir:
Para métodos numéricos em equações diferenciais ordinárias aplique o método Adams-Bashforth (preditor) e Adams-Moulton (corretor) com h=0,2h=0,2 para obter a solução do PVI
y´=x+y−1,  y(0)=1y´=x+y−1,  y(0)=1, com método de partida utilizado é o Runge-Kutta de 4 ordem. 
Fonte: Autor da questão.
Considerando o enunciado acima e os conteúdos do livro-base Matemática Avançada para Engenharia - Equações Diferenciais Elementares e Transformada de Laplace, os valores estimados para y4y4 pelos métodos Adams-Bashforth e Adams-Moulton são respectivamente:
Nota: 0.0
	
	A
	1,002 e 1, 222
	
	B
	1,1231 e 1,45588
	
	C
	1,0333 e 1,34256
	
	D
	1,4455  e  1,4888
	
	E
	1,4253  e 1,4255
A partir da tabela, já temos os valores de f(x,y),f(x,y), então  calculamos primeiro  pelo  método de Adams-Bashforth  e depois por Adams- Moulton.
y4=y3+h24(55f3−59f2+37f1−9f0)==1,222106+0,2/24.(55∙0,822106−59∙0,491818+37∙0,2214−9∙0)=1,4253...y4=y3+h24(9f4+19f3−5f2+f2)==1,4253+0,2/24.(9∙1,22536+19∙0,822106−5∙0,491818+∙0,2214=1,425527...y4=y3+h24(55f3−59f2+37f1−9f0)==1,222106+0,2/24.(55∙0,822106−59∙0,491818+37∙0,2214−9∙0)=1,4253...y4=y3+h24(9f4+19f3−5f2+f2)==1,4253+0,2/24.(9∙1,22536+19∙0,822106−5∙0,491818+∙0,2214=1,425527...
(livro-base p. 299-231)
   
Questão 7/10 - Métodos Numéricos e Equações Diferenciais
Leia o trecho a seguir sobre métodos numéricos para equações diferenciais:
"Muitas variações existem, mas todas podem ser descritas em uma forma geral:
yn+1=yn+ϕhyn+1=yn+ϕh
Onde ϕϕ é uma função de incremento que representa a curvatura do intervalo, e hh o tamanho do intervalo.
Sabendo que ϕhϕh uma aproximação de ∫tn+1tny´dx∫tntn+1y´dx, podemos determinar o valor de ϕϕ usando aproximações para essa integral."
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: \url{http://busta.com.br/files/mn2/2017_Metodos2_Aula3.pdf}. Acesso em 07 jul. 2018.
Considerando o trecho de texto apresentado, os conteúdos do livro-base  Matemática Avançada - Equações Diferenciais Elementares e Transformada de Laplace e o método de Runge-Kutta de quarta ordem, e a equação diferencial y´=5y1+x,y(0)=1y´=5y1+x,y(0)=1 assinale a alternativa que representa a aproximação para y(0,3)y(0,3), com passo h=0,1.h=0,1.
Nota: 0.0
	
	A
	1,1419751,141975
	
	B
	1,2851361,285136
	
	C
	3,7118483,711848
Temos que x0=0x0=0 e y0=1y0=1
As expressões utilizadas pelo método de Runge-Kutta de quarta ordem são;
yj+1=yj+16(K1+2k2+2K3+k4)yj+1=yj+16(K1+2k2+2K3+k4) em que:
K1=h.f(xj,yj)K2=h.f(xj+h2,yj+k12)K3=h.f(xj+h2,yj+k22)K4=h.f(xj+h,yj+k3)K1=h.f(xj,yj)K2=h.f(xj+h2,yj+k12)K3=h.f(xj+h2,yj+k22)K4=h.f(xj+h,yj+k3)
Passo jxjyjk1k2k3k40010,50,5952380,6179138320,73541537810,11,61028650,73194840,85924380,88691671,04050135520,22,48774831,036561801,20241161,2355816771,43205000730,33,71184811,42763381,639135201,6783021131,925053649Passo jxjyjk1k2k3k40010,50,5952380,6179138320,73541537810,11,61028650,73194840,85924380,88691671,04050135520,22,48774831,036561801,20241161,2355816771,43205000730,33,71184811,42763381,639135201,6783021131,925053649
(livro-base p. 305-306)
Passo jxjyjk1k2k3k40010,50,5952380,6179138320,73541537810,11,61028650,73194840,85924380,88691671,04050135520,22,48774831,036561801,20241161,2355816771,43205000730,33,71184811,42763381,639135201,6783021131,925053649Passo jxjyjk1k2k3k40010,50,5952380,6179138320,73541537810,11,61028650,73194840,85924380,88691671,04050135520,22,48774831,036561801,20241161,2355816771,43205000730,33,71184811,42763381,639135201,6783021131,925053649
	
	D
	1,6064943471,606494347
	
	E
	1,32564441,3256444
Questão 8/10 - Métodos Numéricos e Equações Diferenciais
Leia o fragmento de texto a seguir:
"Os métodos de passo único descritos nas seções anteriores utilizam informações em um único ponto xi para prever um valor da variável dependente yi+1yi+1 em um ponto futuro xi+1xi+1. Abordagens alternativas chamadas métodos de passo múltiplo são baseadas na percepção de que, uma vez que o cálculo tenha começado, informação valiosa de pontos anteriores está a nossa disposição. A curvatura das linhas ligando esses valores anteriores fornece informação com relação à trajetória da solução. Os métodos de passo múltiplo explorados neste capítulo usam essa informação para resolver EDOs. Antes de descrever as versões de ordem superior, apresentaremos um método simples de segunda ordem que serve para ilustrar as características gerais das abordagens de passo múltiplo." 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: CHAPRA, S. C.; CANALE, R. P.  Métodos numéricos para engenharia. 5 ed. Porto Alegre:AMGH. 2011.
Considerando o fragmento de texto apresentado e os conteúdos do livro-base  Matemática Avançada para Engenharia - Equações Diferenciais Elementares e Transformada de Laplace sobre métodos numéricos de solução de equações diferencias, os métodos de passo múltiplo, aplique o método Adams-Bashforth (preditor), passo 4 e Adams-Moulton, passo 3 (corretor) com h=0,5 para obter a obter a aproximação de 
y(2,5)y(2,5), do PVI,
y´=−xy, y(0)=1 e h=0,5.y´=−xy, y(0)=1 e h=0,5.
As primeiras aproximações são dadas pelo quadro abaixo:
assinale a alternativa correta, para a aproximação y(2,5)y(2,5),  pelo método corretor- preditor.
Nota: 10.0
	
	A
	0,064489
Você acertou!As fórmulas são:
Adams-Bashfort: yj+1=yj+h24[55f(xj,yj)−59f(xj−1,yj−1)+37f(xj−2,yj−2)−9f(xj−3,yj−3]yj+1=yj+h24[55f(xj,yj)−59f(xj−1,yj−1)+37f(xj−2,yj−2)−9f(xj−3,yj−3]
Adams_Moulton: yj+1=yj+h24[9f(xj+1,yj+1)+19f(xj,yj)−5f(xj−1,yj−1)+f(xj−2,yj−2)]yj+1=yj+h24[9f(xj+1,yj+1)+19f(xj,yj)−5f(xj−1,yj−1)+f(xj−2,yj−2)]
Então temos:
a aproximação é y(2,5)=0,064489.y(2,5)=0,064489.
A solução é y(2,5)=0,023677y(2,5)=0,023677 - preditor  e  y(2,5)=0,064489 - corretor.
(livro-base p. 297-301).
	
	B
	0,1512235
	
	C
	0,14452
	
	D
	0,325644
	
	E
	0,345685
Questão 9/10 - Métodos Numéricos e Equações Diferenciais
Considerando os conteúdos do livro-base  Matemática Avançada para Engenharia - Equações Diferenciais Elementares e Transformada de Laplace sobre métodos numéricos de solução de sistemas de equações diferencias e o método de Euler.  Considere o sistema de equações diferenciais
 
x´=2x+4yy´=−x+6yx(0)=−1,y(0)=6.x´=2x+4yy´=−x+6yx(0)=−1,y(0)=6.
Utilize o método de Euler  y(0,1)y(0,1), com h=0,1 e assinale a alternativa correta, para a aproximação de y(0,1) e x(0,1).y(0,1) e x(0,1).
Nota: 0.0
	
	A
	x(0,1)=0,4 e y(0,1)=9,6x(0,1)=0,4 e y(0,1)=9,6
	
	B
	x(0,1)=1,3 e y(0,1)=1,4x(0,1)=1,3 e y(0,1)=1,4
	
	C
	x(0,1)=0,6 e y(0,1)=1,9x(0,1)=0,6 e y(0,1)=1,9
	
	D
	x(0,1)=1,2 e y(0,1)=9,7x(0,1)=1,2 e y(0,1)=9,7
y´=zz´=−xz−yy´=zz´=−xz−y
Pelo método de Euler, temos:
xj+1=xj+h(2xj+4yj)yj+1=yj+h(−xj+6yj)xj+1=xj+h(2xj+4yj)yj+1=yj+h(−xj+6yj)
Com h=0,2, obtemos as aproximações:
x1=x0+h(2x0+4y0)=−1+0,1.(2.(−1)+4.6)=1,2y1−y0+h(−x0+6y0)=6+0,1.(−(−1)+6.6)=9,7x1=x0+h(2x0+4y0)=−1+0,1.(2.(−1)+4.6)=1,2y1−y0+h(−x0+6y0)=6+0,1.(−(−1)+6.6)=9,7
então as aproximações são y(0,1)=9,7 e x(0,1)=1,2y(0,1)=9,7 e x(0,1)=1,2
(livro-base p. 299-302)
	
	E
	x(0,1)=1,5 e y(0,1)=8,6x(0,1)=1,5 e y(0,1)=8,6
Questão 10/10 - Métodos Numéricos e Equações Diferenciais
Considerando a afirmação e os conteúdos do texto-base Matemática Avançada - Equações Diferenciais Elementares e Transformada de Laplace, 
determine a aproximação para y(0,2)y(0,2) e z(0,2)z(0,2)  para o o sistema de equações diferenciais ordinárias 
                 y′=y+z+3x,z′=2y−z−xy(0)=0z(0)=−1y′=y+z+3x,z′=2y−z−xy(0)=0z(0)=−1  
em um intervalo de [0;2][0;2], com h=0,2h=0,2, pelo método de Runge-Kutta de quarta (RK4) ordem e marque a alternativa correta:
Faça i=0,1,2,...i=0,1,2,...
Nota: 10.0
	
	A
	Para i=1i=1 tem-se [y(0,2)z(0,2)]=[−0,14073−0,86747][y(0,2)z(0,2)]=[−0,14073−0,86747]
Você acertou!
xcxy1y2000−110,2−0,14073−0,8674720,4−0,16119−0,8238830,6−0,04768−0,8074140,80,2297−0,7595510,72072−0,6178261,21,50106−0,3086471,42,681420,2620681,64,421011,2291,86,94682,737810210,581025,05594xcxy1y2000−110,2−0,14073−0,8674720,4−0,16119−0,8238830,6−0,04768−0,8074140,80,2297−0,7595510,72072−0,6178261,21,50106−0,3086471,42,681420,2620681,64,421011,2291,86,94682,737810210,581025,05594
(livro-base texto-base Matemática Avançada - Equações Diferenciais Elementares e Transformada de Laplace, p. 305-306)
	
	B
	Para i=1i=1 tem-se: [y(0,2)z(0,2)]=[−0,1644073−0,6747][y(0,2)z(0,2)]=[−0,1644073−0,6747]
	
	C
	Para i=1i=1 tem-se  [y(0,4)z(0,4)]=[−0,16119−0,82388][y(0,4)z(0,4)]=[−0,16119−0,82388]
	
	D
	Para i=i= tem-se [y(0,2)z(0,2)]=[−0,16119−0,82388][y(0,2)z(0,2)]=[−0,16119−0,82388]
	
	E
	Para i=1i=1 tem-se [y(0,2)z(0,2)]=[0,1220−1,124456][y(0,2)z(0,2)]=[0,1220−1,124456]
Questão 1/10 - Métodos Numéricos e Equações Diferenciais
Leia a citação:
"Dada uma equação algébrica do 2º grau ax2+bx+c=0ax2+bx+c=0, suas raízes x1x1 e x2x2 (quando existirem) são dadas pela fórmula: x=−b±√b2−4ac2ax=−b±b2−4ac2a."
Após a avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: GÓES, A.R.T, GÓES, H.C., Números complexos e equações algébricas, Curitiba: Intersaberes, 2015 p. 29.
Considerando estas informações e os conteúdos do livro-base Números complexos e equações algébricas sobre equações algébricas, assinale a alternativa correta que contém as raízes da equação x2−5x+6=0x2−5x+6=0.
Nota: 10.0
	
	A
	x1=1x1=1 e x2=2x2=2
	
	B
	x1=−2x1=−2 e x2=−3x2=−3
	
	C
	x1=2x1=2 e x2=3x2=3
Você acertou!
Aplicando os coeficientes a=1a=1, b=−5b=−5 e c=6c=6 na Fórmula de Baskara x=−b±√b2−4ac2ax=−b±b2−4ac2a. 
encontramos as raízes:
x1=2x1=2 e x2=3x2=3.
Observe os cálculos
x=−b±√b2−4ac2ax=−(−5)±√(−5)2−4⋅1⋅62⋅1x=5±√25−242x=5±√12x=5±12x1=5+12=62=3 e x2=5−12=42=2x=−b±b2−4ac2ax=−(−5)±(−5)2−4⋅1⋅62⋅1x=5±25−242x=5±12x=5±12x1=5+12=62=3 e x2=5−12=42=2
(livro-base pag 29)
	
	D
	x1=0x1=0 e x2=6x2=6
	
	E
	Não existe solução
Questão 2/10 - Métodos Numéricos e Equações Diferenciais
Leia o trecho a seguir
"Dados os números complexos z=a+biz=a+bi e w=c+diw=c+di, para realizarmos a subtração z−wz−w devemos subtrair da parte real de z a parte real w e, em seguida, subtrairmos da parte imaginária de z a parte imaginária de w."
Após a avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: GÓES, A.R.T. Números complexos e equações algébricas, Curitiba: Intersaberes, 2015, p. 97.
Com base nessa informação, nos conteúdos do livro-base Números complexos e equações algébricas, sobre operações com números complexos e os números complexos z=−2−3iz=−2−3i e w=5−2iw=5−2i, assinale a alternativa que contém a diferença z−wz−w.
Nota: 10.0
	
	A
	z−w=−7−iz−w=−7−i
Você acertou!
Conforme orientações do elemento base faremos a seguinte operação:
z−w=(−2−3i)−(5−2i)=(−2−5)+(−3−(−2))i=−7−1i=−7−iz−w=(−2−3i)−(5−2i)=(−2−5)+(−3−(−2))i=−7−1i=−7−i 
(livro base p. 97)
	
	B
	z−w=iz−w=i
	
	C
	z−w=−2iz−w=−2i
	
	D
	z−w=−7i−1z−w=−7i−1
	
	E
	z−w=7z−w=7
Questão 3/10 - Métodos Numéricos e Equações Diferenciais
Leia o trecho a seguir:
“A Álgebra está presente em nosso cotidiano apesar de muitos não perceberem. Pode se mostrar a aplicabilidade dessa área da matemática, seja por meio de exemplos práticos, seja por meio de desafios que os levem a refletir sobre tal situação. Por exemplo, alguns profissionais da construção civil, quando necessitam demarcar um ângulo de 90º e não possuem esquadro, constroem um triângulo com as seguintes dimensões: 60 cm, 80cm e 1m. Isto é possível porque um dos ângulos formado por este triângulo é 90º, ou seja, o triângulo é retângulo. Para verificar se o triângulo é retângulo, basta substituir suas dimensões no teorema de Pitágoras".
Após a avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: GÓES, A.R.T. Números complexos e equações algébricas, Curitiba: Intersaberes, 2015, p. 49 e 58.
Com base nessa informação e nos conteúdos sobre números complexos do livro-base Números complexos e equações algébricas, é retângulo o triângulo com as seguintes dimensões:
Nota: 10.0
	
	A
	12, 5 e 13
Você acertou!
O triângulo com dimensões 12,5 e 13 é retângulo pois
132=122+52169=144+25.132=122+52169=144+25.
A igualdade é verificada. Portanto, o triângulo é retângulo.
Livro-base p. 58
	
	B
	3, 4 e 6
	
	C
	1,2 e 3
	
	D
	4,4 e 6
	
	E
	3,3 e 4
Questão 4/10 - Métodos Numéricos e Equações Diferenciais
Leia o trecho a seguir:
“Com o surgimento desse número ii, tornou-se possível a resolução de equações que, até o momento, não tinham soluções em R.R.”
Após a avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: GÓES, A.R.T. Números complexos e equações algébricas, Curitiba: Intersaberes, 2015, p. 83-84.
Com base nessa informação e nos conteúdos do livro-base Números complexos e equações algébricas, sobre os números complexos, analise as alternativas que seguem e assinale a única alternativa CORRETA.
Nota: 10.0
	
	A
	Uma equação de segundo grau cujo delta é negativo não tem solução no conjunto dos números complexos.
	
	B
	A unidade imaginária torna possível a resolução de algumas equações que não têm solução no conjunto dos números reais.
Você acertou!
Esta questão é verdadeira, pois com o surgimento do número i, tornou-se possível a resolução de equações que, até aquele momento, não tinham solução no conjunto dos números reais.
(livro base p. 86)
	
	C
	A equação x2+4=0x2+4=0 não possui solução em qualquer conjunto, pois não há qualquer número que elevadoao quadrado seja negativo.
	
	D
	A solução para a equação x2+4=0x2+4=0 é x=−2.x=−2.
	
	E
	x=−1x=−1 é solução para a equação x2=−1x2=−1.
Questão 5/10 - Métodos Numéricos e Equações Diferenciais
Leia o trecho a seguir:
“Quando surge um novo conjunto numérico, faz-se necessário não apenas definir esse novo tipo de número, mas, também, verificar a igualdade desses números, bem como as operações que nele podem acontecer.”
Após a avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: GÓES, A.R.T. Números complexos e equações algébricas, Curitiba: Intersaberes, 2015, p. 96.
Com base nessa informação e nos conteúdos sobre números complexos do livro-base Números complexos e equações algébricas, e considerando os números complexos z1=2+2iz1=2+2i e z2=2+3iz2=2+3i, assinale a alternativa que contém o resultado do produto z1⋅z2z1⋅z2.
Nota: 10.0
	
	A
	1+6i1+6i
	
	B
	−10i−10i
	
	C
	−2−2
	
	D
	10i10i
	
	E
	−2+10i−2+10i
Você acertou!
A operação z1⋅z2=(2+2i)⋅(2+3i)=(2⋅2–2⋅3)+(2⋅3+2⋅2)i=(4–6)+(6+4)i=−2+10iz1⋅z2=(2+2i)⋅(2+3i)=(2⋅2–2⋅3)+(2⋅3+2⋅2)i=(4–6)+(6+4)i=−2+10i
(livro base p. 96-98)
Questão 6/10 - Métodos Numéricos e Equações Diferenciais
Leia o trecho a seguir:
“As equações são diferenciadas pelo seu mais alto grau, ou seja, o maior expoente de uma variável. A equação x+5=0 é equação do 1º grau, pois o grau da variável de maior grau é 1. A equação 3x2−7x+3=03x2−7x+3=0 é do 2º grau, pois o maior expoente encontra-se no termo 3x23x2 e é 2.”
Após a avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: GÓES, A.R.T. Números complexos e equações algébricas, Curitiba: Intersaberes, 2015, p. 14.
Com base nessa informação e nos conteúdos sobre números complexos do livro-base Números complexos e equações algébricas, e considere a equação 4x4−5x+2x5=34x4−5x+2x5=3. Esta equação é de grau:
Nota: 0.0
	
	A
	1
	
	B
	2
	
	C
	5
A equação 4x4−5x+2x5=34x4−5x+2x5=3 é de grau 5, pois o maior expoente encontra-se em 2x52x5.
Livro-base p. 14
	
	D
	3
	
	E
	4
Questão 7/10 - Métodos Numéricos e Equações Diferenciais
Leia o trecho a seguir:
“Com o surgimento desse número i, tornou-se possível a resolução de equações que, até o momento, não tinham soluções em RR"
Após a avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: GÓES, A.R.T. Números complexos e equações algébricas, Curitiba: Intersaberes, 2015, p. 83.
Com base nessa informação e nos conteúdos sobre números complexos do livro-base Números complexos e equações algébricas, a solução da equação x2−4x+10=0x2−4x+10=0  no conjunto dos números complexos é:
Nota: 0.0
	
	A
	x=√10x=10 e   x=−√10x=−10
	
	B
	x=1−2ix=1−2i  e  x=1+5ix=1+5i
	
	C
	x=5x=5  e  x=2x=2
	
	D
	não tem solução a equação
	
	E
	x=1+3ix=1+3i  e  x=1−3ix=1−3i
Resolvendo a equação quadrática temos:
x2−4x+10=0x2−4x+10=0
Aplicando a fórmula da equação quadrática x=−b±√b2−4ac2ax=−b±b2−4ac2a.
Coeficientes da equação: a=1a=1, b=−4b=−4 e c=10c=10.
x=−b±√b2−4ac2ax=−(−4)±√(−2)2−4⋅1⋅102⋅1x=+4±√4−402x=4±√−362x=4±6i2x=2±3ix=−b±b2−4ac2ax=−(−4)±(−2)2−4⋅1⋅102⋅1x=+4±4−402x=4±−362x=4±6i2x=2±3i
Portanto, as soluções da equação são os números complexos 2+3i2+3i e 2−3i2−3i.
Livro-base p. 86
Questão 8/10 - Métodos Numéricos e Equações Diferenciais
Leia o trecho a seguir:
“A Álgebra está presente em nosso cotidiano apesar de muitos não perceberem. Pode se mostrar a aplicabilidade dessa área da matemática, seja por meio de exemplos práticos, seja por meio de desafios que os levem a refletir sobre tal situação. Por exemplo, por meio de cálculos algébricos é possível calcular a medida do lado do quadrado que tem o valor da área igual ao valor do triplo de seu perímetro."
Após a avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: GÓES, A.R.T. Números complexos e equações algébricas, Curitiba: Intersaberes, 2015, p. 49 e 56.
Com base nessa informação e nos conteúdos sobre números complexos do livro-base Números complexos e equações algébricas, o valor do lado do quadrado é:
Nota: 0.0
	
	A
	8 metros
	
	B
	10 metros
	
	C
	11 metros
	
	D
	15 metros
	
	E
	12 metros
Supor que a dimensão do quadrado seja x. Então a área é x2x2 e o perímetro é 4x. 
Como o enunciado diz que o valor da área é igual ao valor do triplo do perímetro, temos a equação x2=3⋅4xx2=3⋅4x.
Então
x2−12x=0x(x−12)=0x2−12x=0x(x−12)=0
E as raízes da equação são x=0x=0 e x=12x=12. Como zero não cabe nesta situação, o valor da dimensão do quadrado é 12m.
Livro-base p 56.
Questão 9/10 - Métodos Numéricos e Equações Diferenciais
Leia o trecho a seguir:
“As equações são diferenciadas pelo seu mais alto grau, ou seja, o maior expoente de uma variável. A equação x+5=0 é equação do 1º grau, pois o grau da variável de maior grau é 1. A equação 3x2−7x+3=03x2−7x+3=0 é do 2º grau, pois o maior expoente encontra-se no termo 3x23x2 e é 2.”
Após a avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: GÓES, A.R.T. Números complexos e equações algébricas, Curitiba: Intersaberes, 2015, p. 14.
Com base nessa informação e nos conteúdos sobre números complexos do livro-base Números complexos e equações algébricas, considere a equação x2−x3+x4=0x2−x3+x4=0. Esta equação é de grau:
Nota: 10.0
	
	A
	4
Você acertou!
A equação x2−x3+x4=0x2−x3+x4=0 é de grau 4, pois o maior expoente encontra-se em x4x4.
Livro-base p. 14
	
	B
	2
	
	C
	1
	
	D
	3
	
	E
	5
Questão 10/10 - Métodos Numéricos e Equações Diferenciais
Leia o trecho a seguir:
“Com o surgimento desse número i, tornou-se possível a resolução de equações que, até o momento, não tinham soluções em RR"
Após a avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: GÓES, A.R.T. Números complexos e equações algébricas, Curitiba: Intersaberes, 2015, p. 83.
Com base nessa informação e nos conteúdos sobre números complexos do livro-base Números complexos e equações algébricas, a solução da equação 2x2+18=02x2+18=0  no conjunto dos números complexos é:
Nota: 10.0
	
	A
	3 e -3
	
	B
	somente -3
	
	C
	somente 3
	
	D
	3i e -3i
Você acertou!
Resolvendo a equação quadrática temos:
2x2+18=02x2=−18x2=−182x2=−9x=√−9x=±3i.2x2+18=02x2=−18x2=−182x2=−9x=−9x=±3i.
Portanto, as soluções da equação são os números complexos 3i3i e −3i−3i.
Livro-base p. 83
	
	E
	a equação não tem solução em nenhum conjunto
Questão 1/10 - Métodos Numéricos e Equações Diferenciais
Leia o trecho a seguir sobre métodos numéricos para equações diferenciais:
"Muitas variações existem, mas todas podem ser descritas em uma forma geral:
yn+1=yn+ϕhyn+1=yn+ϕh
Onde ϕϕ é uma função de incremento que representa a curvatura do intervalo, e hh o tamanho do intervalo.
Sabendo que ϕhϕh uma aproximação de ∫tn+1tny´dx∫tntn+1y´dx, podemos determinar o valor de ϕϕ usando aproximações para essa integral."
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: \url{http://busta.com.br/files/mn2/2017_Metodos2_Aula3.pdf}. Acesso em 07 jul. 2018.
Considerando o trecho de texto apresentado, os conteúdos do livro-base  Matemática Avançada - Equações Diferenciais Elementares e Transformada de Laplace e o método de Runge-Kutta de quarta ordem, e a equação diferencial y´=5y1+x,y(0)=1y´=5y1+x,y(0)=1 assinale a alternativa que representa a aproximação para y(0,3)y(0,3), com passo h=0,1.h=0,1.
Nota: 10.0
	
	A
	1,1419751,141975
	
	B
	1,2851361,285136
	
	C
	3,7118483,711848
Você acertou!
Temos que x0=0x0=0 e y0=1y0=1
As expressões utilizadas pelo método de Runge-Kutta de quarta ordem são;
yj+1=yj+16(K1+2k2+2K3+k4)yj+1=yj+16(K1+2k2+2K3+k4) em que:
K1=h.f(xj,yj)K2=h.f(xj+h2,yj+k12)K3=h.f(xj+h2,yj+k22)K4=h.f(xj+h,yj+k3)K1=h.f(xj,yj)K2=h.f(xj+h2,yj+k12)K3=h.f(xj+h2,yj+k22)K4=h.f(xj+h,yj+k3)
Passo jxjyjk1k2k3k40010,50,5952380,6179138320,73541537810,11,61028650,73194840,85924380,88691671,04050135520,22,48774831,036561801,20241161,2355816771,43205000730,33,71184811,42763381,639135201,6783021131,925053649Passo jxjyjk1k2k3k40010,50,5952380,6179138320,73541537810,11,61028650,73194840,85924380,88691671,04050135520,22,48774831,036561801,20241161,2355816771,43205000730,33,71184811,42763381,639135201,6783021131,925053649(livro-base p. 305-306)
Passo jxjyjk1k2k3k40010,50,5952380,6179138320,73541537810,11,61028650,73194840,85924380,88691671,04050135520,22,48774831,036561801,20241161,2355816771,43205000730,33,71184811,42763381,639135201,6783021131,925053649Passo jxjyjk1k2k3k40010,50,5952380,6179138320,73541537810,11,61028650,73194840,85924380,88691671,04050135520,22,48774831,036561801,20241161,2355816771,43205000730,33,71184811,42763381,639135201,6783021131,925053649
	
	D
	1,6064943471,606494347
	
	E
	1,32564441,3256444
Questão 2/10 - Métodos Numéricos e Equações Diferenciais
Leia o enunciado a seguir:
Para métodos numéricos em equações diferenciais ordinárias aplique o método Adams-Bashforth (preditor) e Adams-Moulton (corretor) com h=0,2h=0,2 para obter a solução do PVI
y´=x+y−1,  y(0)=1y´=x+y−1,  y(0)=1, com método de partida utilizado é o Runge-Kutta de 4 ordem. 
Fonte: Autor da questão.
Considerando o enunciado acima e os conteúdos do livro-base Matemática Avançada para Engenharia - Equações Diferenciais Elementares e Transformada de Laplace, os valores estimados para y4y4 pelos métodos Adams-Bashforth e Adams-Moulton são respectivamente:
Nota: 10.0
	
	A
	1,002 e 1, 222
	
	B
	1,1231 e 1,45588
	
	C
	1,0333 e 1,34256
	
	D
	1,4455  e  1,4888
	
	E
	1,4253  e 1,4255
Você acertou!
A partir da tabela, já temos os valores de f(x,y),f(x,y), então  calculamos primeiro  pelo  método de Adams-Bashforth  e depois por Adams- Moulton.
y4=y3+h24(55f3−59f2+37f1−9f0)==1,222106+0,2/24.(55∙0,822106−59∙0,491818+37∙0,2214−9∙0)=1,4253...y4=y3+h24(9f4+19f3−5f2+f2)==1,4253+0,2/24.(9∙1,22536+19∙0,822106−5∙0,491818+∙0,2214=1,425527...y4=y3+h24(55f3−59f2+37f1−9f0)==1,222106+0,2/24.(55∙0,822106−59∙0,491818+37∙0,2214−9∙0)=1,4253...y4=y3+h24(9f4+19f3−5f2+f2)==1,4253+0,2/24.(9∙1,22536+19∙0,822106−5∙0,491818+∙0,2214=1,425527...
(livro-base p. 299-231)
   
Questão 3/10 - Métodos Numéricos e Equações Diferenciais
Leia o trecho a seguir sobre métodos numéricos para equações diferenciais:
"Métodos numéricos são extremamente úteis na resolução de muitos problemas matemáticos e físicos, que em geral são modelados por equações diferenciais ordinárias, e surgem como alternativa para a obtenção de resultados que quase sempre não podem ser obtidos por procedimentos reais. Dentre os métodos numéricos utilizados na resolução de equações diferenciais ordinárias destacam-se os Métodos de Runge-Kutta, cuja simplicidade de implementação computacional e, também, pela facilidade na obtenção das aproximações de suas versões, diferenciando dos métodos cujo desenvolvimento parte da expansão em série de Taylor."
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: \url{http://revistanativa.com/index.php/revistanativa/article/viewFile/238/pdf}. Acesso em 07 jul. 2018.
Considerando o trecho de texto apresentado e os conteúdos do livro-base  Matemática Avançada - Equações Diferenciais Elementares e Transformada de Laplace, o método de Runge-Kutta de quarta ordem, e a equação diferencial
y´=xy,y(0)=1y´=xy,y(0)=1
assinale a alternativa que representa a aproximação para y(1)y(1), com passo h=0,5h=0,5.
Nota: 0.0
	
	A
	0,91222340,9122234
	
	B
	0,88248690,8824869
	
	C
	1,0023311,002331
	
	D
	1,6485281,648528
temos que x0=0x0=0 e y0=1y0=1
As expressões utilizadas pelo método de Runge-Kutta são;
yj+1=yj+16(K1+2k2+2K3+k4)yj+1=yj+16(K1+2k2+2K3+k4) em que:
K1=h.f(xj,yj)K2=h.f(xj+h2,yj+k12)K3=h.f(xj+h2,yj+k22)K4=h.f(xj+h,yj+k3)K1=h.f(xj,yj)K2=h.f(xj+h2,yj+k12)K3=h.f(xj+h2,yj+k22)K4=h.f(xj+h,yj+k3)
Passo jxjyjk1k2k3k400100,1250,13281250,28320312510,51,1331380,28328450,47804260,51455970,8238488211,64852770,82426381,28791221,43280232,310997574Passo jxjyjk1k2k3k400100,1250,13281250,28320312510,51,1331380,28328450,47804260,51455970,8238488211,64852770,82426381,28791221,43280232,310997574
(livro-base p. 305-306)
	
	E
	1,32564441,3256444
Questão 4/10 - Métodos Numéricos e Equações Diferenciais
Leia o seguinte fragmento de texto:
"A fórmula yi+1=yi+f(x1,yi)hyi+1=yi+f(x1,yi)h] é conhecida como método de Euler , onde um novo valor yy é previsto usando a inclinação [...] para extrapolar linearmente sobre um tamanho de passo hh." 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: CHAPRA, S. C.; CANALE, R. P. Métodos numéricos para engenharia. São Paulo: McGraw-Hill, 2008. p. 588.
Considerando o fragmento de texto apresentado e os conteúdos do livro-base  Matemática Avançada para Engenharia - Equações Diferenciais Elementares e Transformada de Laplace, use o método de Euler enunciado acima para integrar numericamente a equação: y′=x3+x2+x+1y′=x3+x2+x+1 de x=0x=0 a x=0,01x=0,01 com tamanho de passo de 0,010,01 (ou seja, usar um único passo). A condição inicial y(0)=1, (x=0x=0  e y=1y=1). Marque a alternativa que apresenta a solução dessa iteração.
Nota: 10.0
	
	A
	y(0,01)=5,25y(0,01)=5,25
	
	B
	y(0,01)=1,09005y(0,01)=1,09005
	
	C
	y(0,01)=1,31005y(0,01)=1,31005
	
	D
	y(0,01)=2,875y(0,01)=2,875
	
	E
	y(0,01)=1,01y(0,01)=1,01
Você acertou!
Seja dydx=x3+x2+x+1dydx=x3+x2+x+1, então,
y(0,01)=y(0)+f(0,1)0,01,y(0,01)=y(0)+f(0,1)0,01,
em que y(0)=1y(0)=1 e a estimativa de inclinação em x=0x=0 é
f(0,1)=03+02+0+1=1.f(0,1)=03+02+0+1=1.
Portanto,
y(0,01)=1+1(0,01)=1
,01.y(0,01)=1+1(0,01)=2,01.
CHAPRA, S. C.; CANALE, R. P. Numerical methods for engineers. Português. Métodos numéricos para engenharia. Trad. de Helena Castro. São Paulo: McGraw-Hill, 2008. p. 588)}
Questão 5/10 - Métodos Numéricos e Equações Diferenciais
Leia o seguinte fragmento de texto:
``[Sejam] os métodos de Runge-Kutta de segunda ordem definidos pela expressão
yk+1−ykh=β0f(xk,yk)+β1f(xk+γh,yk+δh)yk+1−ykh=β0f(xk,yk)+β1f(xk+γh,yk+δh)
onde os parâmetros β1,β1,γβ1,β1,γ e δδ serão convenientemente calculados [... ], por exemplo, [por]: 
β0=β1=12,γ=1 e δ=f(xk,yk).β0=β1=12,γ=1 e δ=f(xk,yk).
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: CUNHA, C. Métodos Numéricos para Engenharia e Ciências Aplicadas. Campinas: Edunicamp, 1993. p. 188
Agora seja a equação diferencial dada por:
dydx=sin(x2)    y(0)=0.dydx=sin⁡(x2)    y(0)=0.Considerando o trecho de texto apresentado e os conteúdos do livro-base da disciplina, calcule a solução para esse problema de valor inicial, aplicando o método de Runge-Kutta de segunda ordem (Método de Heun com um único corretor) para h=0,1 e x∈[0;0,2]h=0,1 e x∈[0;0,2] e assinale a alternativa correta.
Método de Runge-Kutta de segunda ordem.
yi+1=yi+h2(k1+k2)em quek1=f(xi,yi)k2=f(xi+h,yi+k1h)n=b−ah=2yi+1=yi+h2(k1+k2)em quek1=f(xi,yi)k2=f(xi+h,yi+k1h)n=b−ah=2
Nota: 10.0
	
	A
	Para x=0x=0 obtém-se o valor para y=0,2.y=0,2.
	
	B
	Para x=0,1x=0,1 obtém-se o valor para y=0,0003333.y=0,0003333.
	
	C
	Para x=0,1x=0,1 obtém-se o valor para x=0.002999x=0.002999.
Você acertou!
Os valores encontrados aplicando o método de runge-kutta de segunda ordem são:
Logo, temos que para x=0,1, y=0,002999,
(livro-base p. 294-296)
	
	D
	Para x=0,1x=0,1 obtém-se o valor para x=0.0099x=0.0099.
	
	E
	Para x=0,1x=0,1 obtém-se o valor para x=0.072299x=0.072299.
Questão 6/10 - Métodos Numéricos e Equações Diferenciais
Leia o trecho de texto a seguir:
“[Seja o Algoritmo:] Escolhe-se hh e calcula-se para j=0,1,2,...j=0,1,2,...
x0=ax0=a; xj+1=xj+hxj+1=xj+h
y0=y(a)y0=y(a);
k1=f(xj,yj)k2=f(xj+12h,yj+12hk1)k3=f(xj+12h,yj+12hk2)k4=f(xj+h,yj+hk3)k1=f(xj,yj)k2=f(xj+12h,yj+12hk1)k3=f(xj+12h,yj+12hk2)k4=f(xj+h,yj+hk3)
yj+1=yj+h6(k1+2k2+2k3+k4)yj+1=yj+h6(k1+2k2+2k3+k4)
Se f(x,y)f(x,y) não depende de yy então o [Algoritmo] se reduz à fórmula de Simpson."
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: ALBRECHT, P. Análise numérica: um curso moderno. Rio de Janeiro: PUC-Rio, 1973. p. 209.
Considerando o trecho de texto apresentado e os conteúdos do livro-base  Matemática Avançada para Engenharia - Equações Diferenciais Elementares e Transformada de Laplace sobre os métodos de passo simples, marque a alternativa correta.
Observação: Utilize a fórmulaacima para obter a aproximação.
Nota: 10.0
	
	A
	Seja y′=y−2xyy′=y−2xy; y(0)=1y(0)=1. Se h=0,8h=0,8, então para xk=0,8xk=0,8 temos yk=1,625724yk=1,625724.
Você acertou!
O algoritmo apresentado é representativo do método de Runge-Kutta de quarta ordem (método de passo simples). Seja y′=y−2xyy′=y−2xy; y(0)=1. Se h=0,8, então temos a seguinte tabela de aproximação
           o algoritmo apresentado é representativo do método de Runge-Kutta de quarta ordem (método de passo simples). Seja y′=y−2xyy′=y−2xy; y(0)=1y(0)=1. Se h=0,8, então temos a seguinte tabela de aproximação.                
xkyk010,81,625724xkyk010,81,625724
Quanto menor o valor de h melhor torna-se a aproximação.
	
	B
	Seja y′=y−2xyy′=y−2xy; y(0)=1y(0)=1. Se h=0,8, então para xk=0xk=0 temos yk=2yk=2
	
	C
	Seja y′=y−2xyy′=y−2xy; y(0)=1y(0)=1. Se h=0,8h=0,8, então para xk=0,8xk=0,8 temos yk=1,724yk=1,724.
	
	D
	Seja y′=y−2xyy′=y−2xy; y(0)=1y(0)=1. Se h=0,8h=0,8, então para xk=0,8xk=0,8 temos yk=2,625724yk=2,625724.
	
	E
	Seja y′=y−2xyy′=y−2xy; y(0)=1y(0)=1. Se h=0,8h=0,8, então para xk=0,8xk=0,8 temos yk=2,1325666yk=2,1325666.
Questão 7/10 - Métodos Numéricos e Equações Diferenciais
Leia o seguinte fragmento de texto:
"O Método de Euler consiste em tomar a aproximação de primeira ordem de x(t+h)x(t+h):
x(t+h)=x(t)+x'(t)h+o(h)x(t+h)=x(t)+x'(t)h+o(h)
Como x′=fx′=f , o Método sugere que, na prática, obtenhamos xk+1=x(tk+1)=x(tk+h)xk+1=x(tk+1)=x(tk+h) como xk+1=xk+f(tk,xk)hxk+1=xk+f(tk,xk)h".
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: ASANO, C. H.; COLLI, E. Cálculo Numérico - Fundamentos e Aplicações. https://www.academia.edu/36816821/Cálculo\_Numérico\_Fundamentos\_e\_Aplicações Acesso em 29 de jun. de 2019.
Considerando o fragmento de texto e os conteúdos do livro-base  Matemática Avançada para Engenharia - Equações Diferenciais Elementares e Transformada de Laplace e sabendo que a solução exata para a equação diferencial dada por x′=−3t2xx′=−3t2x, com x(0)=2x(0)=2 e intervalo entre [0,1][0,1] é x(t)=2e−t3x(t)=2e−t3, encontre a solução para x′=−3t2xx′=−3t2x quando tk=1tk=1, utilizando a fórmula de Euler com passo igual a h=0,5 e marque a alternativa correta.
Nota: 0.0
	
	A
	xk=1,76xk=1,76
	
	B
	xk=2xk=2
	
	C
	xk=1,97xk=1,97
	
	D
	xk=1,25xk=1,25
Como t0=0t0=0 ex0=2x0=2, então x1=x0+f(t0,x0)h=2x1=x0+f(t0,x0)h=2. Assim,
x2=x1+f(t1,x1)h=2-3(0,5)2.2.0,5=1,25x2=x1+f(t1,x1)h=2-3(0,5)2.2.0,5=1,25
	
	E
	xk=1,04xk=1,04
Questão 8/10 - Métodos Numéricos e Equações Diferenciais
Leia as informações a seguir:
"Uma Equação Diferencial Parcial (EDP) na variável dependente u e nas
variáveis independentes x e y, é uma equação que pode ser posta na forma
F(x,y,u,ux,uy,uxx,uxy,uyy)=0F(x,y,u,ux,uy,uxx,uxy,uyy)=0
onde F é uma função das variáveis indicadas e pelo menos uma derivada
parcial aparece nessa expressão."
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: <www.uel.br › projetos › matessencial › superior › pdfs › edp>. Acesso em 30 ago. 2019.
Considerando as afirmações acima e os conteúdos do livro-base  Cálculo Numérico sobre equações diferenciais parciais, classifique como hiperbólica, parabólica ou elíptica a equação de derivadas parciais a seguir:
∂2u∂x2+2∂2u∂x∂y+∂2u∂y2+∂u∂x−6∂u∂y=0∂2u∂x2+2∂2u∂x∂y+∂2u∂y2+∂u∂x−6∂u∂y=0
Assinale a alternativa correta, sobre a equação diferencial parcial dada.
Nota: 0.0
	
	A
	Parabólica
Temos que A=1, B=6 e C=9 e os demais coeficiente iguais a zero.
Então: B2−4AC=22−4.1.1=0B2−4AC=22−4.1.1=062−4.1.9=36−36=0⟹62−4.1.9=36−36=0⟹  A equação é parabólica.
(livro-base p. 280-282)
	
	B
	Hiperbólica
	
	C
	Elíptica.
	
	D
	Hiperbólica Euleriana
	
	E
	Eliptica de Laplace
Questão 9/10 - Métodos Numéricos e Equações Diferenciais
Considerando os conteúdos do livro-base  Matemática Avançada para Engenharia - Equações Diferenciais Elementares e Transformada de Laplace sobre métodos numéricos de solução de equações diferencias para equações de segunda ordem, utilizando o método de Euler, obtenha o valor aproximado de y(0,2)y(0,2), com h=0,2,  se y(x)y(x)  é a solução do problema de valor inicial, PVI
y´´+xy´+y=0,y(0)=1,y´(0)=2y´´+xy´+y=0,y(0)=1,y´(0)=2
Assinale a alternativa correta, para a aproximação de y(0,2).
Nota: 10.0
	
	A
	y(0,2)=1,9 e z(0,2)=1,2y(0,2)=1,9 e z(0,2)=1,2
	
	B
	y(0,2)=1,4 e z(0,2)=1,8y(0,2)=1,4 e z(0,2)=1,8
Você acertou!
Em termos da substituição y´=u,y´=u,  a equação é equivalente ao sistema 
y´=zz´=−xz−yy´=zz´=−xz−y
Pelo método de Euler, temos:
yj+1=yj+hzjzj+1=zj+h(−xjzj−yj)yj+1=yj+hzjzj+1=zj+h(−xjzj−yj)
Com h=0,2, obtemos as aproximações:
y1=y0+hz0=1+0,2.(2)=1,4z1−z0+h(−z0x0−y0)=2+0,2.(−0.2−1)=1,8y1=y0+hz0=1+0,2.(2)=1,4z1−z0+h(−z0x0−y0)=2+0,2.(−0.2−1)=1,8
então as aproximações são y(0,2)=1,4 e z(0,2)=1,8y(0,2)=1,4 e z(0,2)=1,8
(livro-base p. 299-302)
	
	C
	y(0,2)=1,6 e z(0,2)=1,9y(0,2)=1,6 e z(0,2)=1,9
	
	D
	y(0,2)=1,3 e z(0,2)=1,6y(0,2)=1,3 e z(0,2)=1,6
	
	E
	y(0,2)=1,5 e z(0,2)=1,3y(0,2)=1,5 e z(0,2)=1,3
Questão 10/10 - Métodos Numéricos e Equações Diferenciais
Considerando a afirmação e os conteúdos do texto-base Matemática Avançada - Equações Diferenciais Elementares e Transformada de Laplace, 
determine a aproximação para y(0,2)y(0,2) e z(0,2)z(0,2)  para o o sistema de equações diferenciais ordinárias 
                 y′=y+z+3x,z′=2y−z−xy(0)=0z(0)=−1y′=y+z+3x,z′=2y−z−xy(0)=0z(0)=−1  
em um intervalo de [0;2][0;2], com h=0,2h=0,2, pelo método de Runge-Kutta de quarta (RK4) ordem e marque a alternativa correta:
Faça i=0,1,2,...i=0,1,2,...
Nota: 10.0
	
	A
	Para i=1i=1 tem-se [y(0,2)z(0,2)]=[−0,14073−0,86747][y(0,2)z(0,2)]=[−0,14073−0,86747]
Você acertou!
xcxy1y2000−110,2−0,14073−0,8674720,4−0,16119−0,8238830,6−0,04768−0,8074140,80,2297−0,7595510,72072−0,6178261,21,50106−0,3086471,42,681420,2620681,64,421011,2291,86,94682,737810210,581025,05594xcxy1y2000−110,2−0,14073−0,8674720,4−0,16119−0,8238830,6−0,04768−0,8074140,80,2297−0,7595510,72072−0,6178261,21,50106−0,3086471,42,681420,2620681,64,421011,2291,86,94682,737810210,581025,05594
(livro-base texto-base Matemática Avançada - Equações Diferenciais Elementares e Transformada de Laplace, p. 305-306)
	
	B
	Para i=1i=1 tem-se: [y(0,2)z(0,2)]=[−0,1644073−0,6747][y(0,2)z(0,2)]=[−0,1644073−0,6747]
	
	C
	Para i=1i=1 tem-se  [y(0,4)z(0,4)]=[−0,16119−0,82388][y(0,4)z(0,4)]=[−0,16119−0,82388]
	
	D
	Para i=i= tem-se [y(0,2)z(0,2)]=[−0,16119−0,82388][y(0,2)z(0,2)]=[−0,16119−0,82388]
	
	E
	Para i=1i=1 tem-se [y(0,2)z(0,2)]=[0,1220−1,124456]