Fasores

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FASORES E NÚMEROS COMPLEXOS
Porque usar fasores?
A notação fasorial simplifica a resolução de 
problemas envolvendo funções senoidais no 
tempo.
O que é um fasor?
Um fasor é um número complexo que 
representa a magnitude e a fase de uma 
senóide.
Quem inventou fasores?
O uso de números complexos para resolver 
problemas em circuitos de corrente alternada foi 
apresentado pela primeira vez por Charles 
Proteus Steinmetz em um artigo de 1893. Ele 
nasceu em Breslau, na Alemanha, filho de um 
ferroviário.
O período de 1892 a 1923 ficou conhecido como 
sendo a Era Steinmetz, por razões óbvias. Seu 
“paper” sobre números complexos revolucionou 
a análise de circuitos AC apesar de terem dito 
(naquela época) que ninguém, exceto 
Steinmetz, entendia o método.
Porque usar fasores?
A notação fasorial simplifica a resolução de 
problemas envolvendo funções senoidais no 
tempo. Ao utilizar notação fasorial torna-se 
possível transformar as equações diferenciais 
que representam um circuito elétrico em 
equações algébricas. Resolver equações 
algébricas é muito mais simples do que resolver 
equações diferenciais.
Introdução
Os fasores e os números complexos são duas 
importantes ferramentas para a análise de 
circuitos ca. As tensões e correntes senoidais 
podem ser matemática e graficamente 
representadas por fasores em termos de suas 
magnitudes e ângulos de fase. O sistema de 
números complexos é um meio de expressar os 
fasores e de operá-los matematicamente.
Fasor
Um fasor é uma representação gráfica semelhante 
a um vetor, mas em geral refere-se a grandezas 
que variam no tempo como as ondas senoidais.
O comprimento de um fasor representa sua 
magnitude, e o ângulo θ representa sua posição 
angular relativa ao eixo horizontal tomado como 
referência. Os ângulos positivos são medidos no 
sentido antihorário a partir da referência (0o) e os 
ângulos negativos são medidos no sentido horário 
a partir da referência.
Figura acima: Exemplo de fasores: magnitude e direção.
A Figura abaixo mostra um fasor de magnitude |A| que gira 
com velocidade angular ω.
Representação Fasorial de uma Onda Senoidal e Co-
senoidal Um ciclo completo de uma senóide pode ser 
representado pela rotação de um fasor que gira 360º. O 
valor instantâneo da onda senoidal em qualquer ponto da 
senóide é igual à distância vertical da extremidade do fasor 
ao eixo horizontal, isto é, a projeção do fasor no eixo 
vertical.
Onda senoidal representada por fasor em movimento.
Onda co-senoidal 
representada por fasor em 
movimento.
A Figura abaixo mostra um fasor de tensão em uma posição angular
específica de 45º e o correspondente ponto na onda senoidal. O valor
instantâneo da onda senoidal neste ponto está relacionado à posição
(θ) e à amplitude do fasor (Vp). Note que quando uma linha vertical é
traçada da extremidade do fasor até o eixo horizontal é formado um
triângulo retangular. O comprimento do fasor é a hipotenusa do triângulo, 
e a projeção vertical, o seu cateto oposto. Assim, o cateto
oposto do triângulo reto é igual à hipotenusa vezes o seno do ângulo θ e 
representa o valor instantâneo da senóide.
Relação matemática entre a senoide e o fasor.
O período e a freqüência da onda senoidal estão 
relacionados à velocidade de rotação do fasor. A velocidade 
de rotação do fasor é denominada de velocidade angular, ω. 
Quando um fasor gira a uma velocidade ω, então ωt 
representa o ângulo instantâneo do fasor que pode ser 
expresso como:
θ=ωt
Diagramas Fasoriais
Como visto anteriormente, uma onda senoidal periódica de 
freqüência e amplitude constantes pode ser representada 
por um fasor girante. Como amplitude e freqüência são 
constantes, tem-se que uma vez conhecida o valor 
instantâneo de uma senóide em t=0, em qualquer tempo o 
valor da senóide pode ser determinado.
Definição de uma onda senoidal.
A onda senoidal mostrada na Figura é definida matematicamente
como:
ν(t)= Vp.sen(ωt+45º)
Assim, o fasor da Figura (b) tem amplitude igual a Vp, gira a uma
velocidade angular ω, e tem um ângulo de fase igual a 45º.
Um fasor em uma posição fixa é usado para representar uma onda
senoidal completa porque uma vez estabelecido o ângulo de fase
entre a onda senoidal e uma referência, o ângulo de fase permanece
constante ao longo dos demais ciclos.
Exemplo de diagrama fasorial.
Sistema de Números Complexos
Os números complexos permitem operações 
matemáticas com fasores e são úteis na análise de 
circuitos ca.
A álgebra de números complexos é uma extensão da 
álgebra de números reais. Os números reais 
constituem um sub-conjunto dos números complexos.
Os números complexos são formados pelos números 
reais e pelos números imaginários.
{Conjunto dos Complexos} = {Reais} + {Imaginários}
Os números imaginários são distinguidos dos 
números reais pelo uso do operador j ou i.
A representação de um número complexo é dada 
pela soma algébrica da componente real, ± a, e da 
componente imaginária, ± jb.
y = ±a ± jb
Se a parte real de um número complexo é zero, o 
número complexo torna-se puramente imaginário: y = 
± jb. Se a parte imaginária do número complexo é 
nula, o número torna-se puramente real: y = ±a.
Na matemática o operador i é usado invés do j, mas 
em circuitos elétricos o i pode ser confundido com o 
valor instantâneo da corrente, por isso o j tem 
preferência.
Plano Complexo
Um número complexo pode ser representado por um 
ponto no plano complexo. No plano complexo o eixo 
horizontal é denominado de eixo real, e o eixo vertical, de 
eixo imaginário.
A Figura abaixo mostra um conjunto de pontos no plano 
cartesiano complexo. O número +2 é um número 
complexo cuja parte imaginária é nula; o número –j2 é um 
número complexo negativo com parte real nula, e 
representado sobre o eixo imaginário. Quando um ponto 
não está situado sobre nenhum eixo, mas está localizado 
em um dos quatro quadrantes, o número é definido por 
suas coordenadas, a exemplo do ponto 4+j2. Note que o 
número 4+j2 tem como conjugado 4-j2, pois diferem 
apenas no sinal da parte imaginária. O conjugado de um 
número complexo é representado pelo expoente ()*.
Plano cartesiano complexo.
Uma posição angular pode ser representada em um plano 
complexo como mostra a Figura
Ângulos no plano complexo
Operador j
O operador j é denominado operador complexo e é 
definido como:
j= √−1
O operador +j ao multiplicar uma grandeza real 
move no sentido antihorário a grandeza localizada 
no eixo real para o eixo imaginário, rotacionando-a 
de +90º. De modo semelhante, multiplicando a 
grandeza real por –j, a grandeza gira de -90º, 
sentido horário. Assim, j é considerado um operador 
rotacional.
Álgebra Complexa e Fasores
C = a + jb
a = C cos φ
b = C sen φ
φ = tan-1 b/a
C = √ (a2 + b2)
C = C ∟ φ
Um fasor é um número complexo associado a uma 
onda senoidal com uma fase inicial, de tal forma que 
a sua magnitude é o valor efetivo da corrente ou 
tensão e o ângulo é o ângulo de fase. C = C ∟φ
Álgebra Complexa e Fasores
Atenção: só são fasores os números complexos 
correspondentes a senoides. Mas não são iguais: o 
fasor é uma constante complexa e a senoide é 
uma função real do tempo.
V = 3 ∟45º V é o fasor correspondente para v = 3 √ 2 sen 
(377t + 45º)
I = 0,439 ∟ -27º é o fasor para i = 0,621 sen(754t – 27º)
(√ 2 x 0,439 = 0,621 e w = 754 => f = 754 / (2¶) = 120 Hz
Álgebra Complexa – adição e subtração
A forma retangular é a que permite adição e 
subtração, o que é feito separadamente para a 
componente real e imaginária.
A + B = (2 + j1) + (1 + j3) = (2 + 1) + j (1 + 3) = 3 + j4
A – B = (2 + j1) – (1 + j3) = (2 – 1) + j (1 – 3) = 1 – j2
Álgebra Complexa – multiplicação e divisão
No caso da multiplicação:
(2+ j4) (3 + j5) = 2(3) + 2(j5) + j4(3) + j4(j5) = 6 + j10 + j12 – 20 = -14 + j22
(3 + j4) (3 – j4) = 3(3)+ 3(-j4) + j4(3) + j4(-j4) = 9 + 16 = 25 (=32 + 42)
Para a divisão de números complexos na forma retangular, o 
numerador e denominador devem ser primeiro multiplicados 
pelo conjugado do denominador, para o transformar num 
número real:
(10 + j24) / (6 + j4) = [(10 + j24) (6 – j4)] / [(6 + j4) (6 – j4)] =
(156 + j104) / (62 + 42) = (156 + j104) / 52 = 3 + j2
Álgebra Complexa – multiplicação e divisão
A forma polar é a mais usada para multiplicar e dividir números 
complexos:
7 e j30 = 7 ∟ 30º = 7 cos 30 + j7 sen 30 = 6,06 + j3,5
Na multiplicação de números complexos na forma polar, 
multiplicam-se as magnitudes e adicionam-se algebricamente 
os ângulos.
Na divisão, divide-se a magnitude e subtrai-se o ângulo do 
denominador ao do numerador.
Assim, sendo e pensando em fasores
A = A ∟ φ A e B = B ∟ φ B
A . B = A.B ∟ (φ A + φ B)
A / B = A/B ∟ (φ A – φB)
Álgebra Complexa – inverso e conjugado de um núm. 
Complexo
O inverso de um número complexo C = C∟φ é
1 / (C ∟φ ) = 1/C ∟- φ
Ex.: 1 / (20 ∟30º) = 0,05 ∟-30º
O conjugado de um n.º complexo C = C ∟ φ é um nº 
complexo C* com a mesma parte real mas a parte imaginária 
oposta.
Sendo C = C ∟φ = a + jb então
C* = C ∟- φ = a – jb
Ex.: C = 3 + j4 = 5 ∟53,13º então C* = 3 – j4 = 5 ∟-53,13º
Álgebra Complexa – adição de senoides
Os fasores podem ser usados para somar senoides com a 
mesma frequência. Se cada senoide for transformada num 
fasor, convertida num complexo, adicionada e voltar à forma 
fasorial, teremos a senoide soma.
v= 3 sen (2t + 30º) + 2 sen (2t – 15º)
V = 3 / √2 ∟30º + 2 / √ 2 ∟-15º =
= 2,12 cos30 + 1,41 cos(-15) + j2,12 sen 30º + j1,41 sen(-15) =
= 3,20 + j0,7 = 3,275 ∟12,3º = 4,63 / √ 2 ∟12,3
(arc sen (0,7/3,275) = 12,3º arc cos (3,2/3,275) = 12,3º) 
v = 4,63 sen(2t + 12,3º) V
� Referência:
� Rêgo Segundo, Alan Kardek. Rodrigues,Cristiano Lúcio 
Cardoso - Eletricidade em CA. Ouro Preto – MG, 2015
� Cunha, Maria Manuela - IPCA
� L. Q. Orsini e D. Consonni. Curso de Circuitos Elétricos. 
Volume 1 – Capítulo 1. Conceitos Básicos, Bipolos e 
Quadripolos