Aula4-Num_complex Fasores

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Eletrotécnica
Aula 4 –. Número complexos e fasores 
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Introdução à análise de circuitos em corrente alternada
Conceitos básicos
Sinal alternado : Varia no tempo;
Frequência: nº de ciclos por segundo (Hertz ou Hz);
				f = 1/T
Período: Tempo necessário para se completar um ciclo da forma de onda (segundos);
 	ex.: para f = 60Hz  = 0,01667 seg
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Introdução à análise de circuitos em corrente alternada
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Números Complexos
Definições:
Sabe-se que na resolução de uma equação do 2º grau não se admite raízes reais de um número negativo. Por exemplo, 
x2 + 9 = 0
Esta equação não admite raízes reais. 
Se usarmos os métodos que conhecemos para resolvê-la, obtemos
x2 = -9
x = ± √-9
Resultado inaceitável para x, pois os números negativos não têm raiz quadrada.
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Para superar tal impossibilidade e poder, então, resolver todas equações do 2º grau, os matemáticos ampliaram o sistema de números, inventando os números complexos.
Primeiro, eles definiram um novo número:
i = √-1
Isso conduz a i2 = -1. Para a equação acima fazemos:
x = ± √-9 
x = ± √(9 x (-1) 
x = ± 3 i
As raízes da equação x2 + 9 = 0 são 3i e - 3i.
Números Complexos
Números Complexos
Formas de representação
Forma retangular:
Z1 = 6 + j0	
Forma trigonométrica:
Forma Polar:
Forma Exponencial:
Números Complexos
Formas de representação
Forma retangular:
O número complexo é formado por uma parte real somado a uma parte imaginária, da seguinte forma:
Z1 = 6 + j0	
Z2 = 2 – j3	
Z3 = 0 + j4
Z4 = -3 + j2
Z5 = -4 – j4
Z6 = 3 + j3
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Números Complexos
Forma trigonométrica:
Z = x + jy = |Z|cos + j|Z|sen = |Z|(cos +jsen)
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Números Complexos
Forma Polar:
A forma polar para um número complexo Z é bastante usada em análise de circuitos.
Z = x + jy 
tg = y/x
			 
Logo, escreve-se:
|Z|±	onde “” aparece em graus.
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Números Complexos
Forma Exponencial:
Um número complexo quando representado como Z = |Z|.e±jθ diz-se estar na forma exponencial.
Sabendo-se que a fórmula de Euler é dada por:
 e±j = (cos ± jsen) 
tem-se:
Z = x ± jy = |Z|(cos ± jsen) = |Z|e±j
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Números Complexos
Exemplos
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Números Complexos
Operações matemáticas
Soma
Para somar ou subtrair dois números complexos, somam-se ou subtrai-se separadamente as partes reais e imaginárias dos números na forma retangular.
Z = A + jB; 
G = C + jD;
Z + G = (A+C) + j (B + D); 
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Números Complexos
Multiplicação
Z1=|Z1|ej1=|Z1|1		Z1.Z2 = (|Z1|.|Z2|).ej(1+2)
Z2=|Z2|ej2=|Z2|2		Z1.Z2 = (|Z1|.|Z2|)1+2
Divisão
		  forma exponencial
	 
  forma polar
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Números Complexos
Exemplos:
1)Soma/Subtração
Z1= 5 - j2			Z1+Z2=(5-3)+j(-2–8)=2–j10
Z2= -3 – j8		Z1–Z2=[5–(-3)]+j[(-2)–(-8)]=8+j6
2) Multiplicação
Z1 = 230°			Z1Z2 = (5.2)[30+(-45)] 
Z2 = 5-45°			Z1Z2 = 10-15°
 
3) Divisão
Z1=8-30°, Z2=2-60°  
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Números Complexos
Transformação Polar – retangular
Na conversão polar → retangular tem-se:
A ±θ = A(cosθ ± jsenθ) = x + jy
Exemplo:
5053,1° 	= 50(cos53,1° + jsen53,1°)
			= 50x0,6 + j50x0,7997
			= 30 + j40
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Fasores
Os fasores e os números complexos são duas importantes ferramentas para a análise de circuitos CA. 
O sistema de números complexos visto anteriormente é um meio de expressar os fasores e de operá-los matematicamente. 
As tensões e correntes alternadas podem ser matemática e graficamente representadas por fasores em termos de suas magnitudes e ângulos de fase.
Em CA, resistências, indutâncias e capacitâncias são transformadas em números complexos, bem como os sinais de tensão e corrente.
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Fasores
O que é uma fasor?
	Um fasor é uma representação gráfica semelhante a um vetor, mas em geral refere-se a grandezas que variam no tempo como as ondas senoidais.
	É um número complexo que representa a magnitude e a fase θ de uma senóide.
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Fasores
O comprimento de um fasor representa sua magnitude, e o ângulo θ representa sua posição angular relativa ao eixo horizontal tomado como referência. 
Os ângulos positivos são medidos no sentido anti-horário a partir da referência (0o) e os ângulos negativos são medidos no sentido horário a partir da referência.
Fasor – sentido anti-horário e horário
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Fasores
A Figura abaixo mostra um fasor de magnitude |A| que gira com velocidade angular ω.
Quando um fasor gira a uma velocidade ω, então ωt representa o ângulo instantâneo do fasor que pode ser expresso como:
θ=ωt
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Fasores
Representação Fasorial de uma Onda Senoidal
Um ciclo completo de uma senóide pode ser representado pela rotação de um fasor que gira 360º. 
Onda senoidal representada por fasor em movimento.
 Notar que a amplitude do fasor é igual ao valor de pico da onda senoidal nos pontos onde o ângulo é 90º e 270º.
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Fasores
Forma de Onda
A expressão de uma forma de onda pode ser definida matematicamente como:
e=Emsen(ωt + φ)
Onde 
Em = valor de pico
ωt +φ = ângulo instantâneo + 
		 defasagem
 
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Fasores
Defasagem de uma onda
F(t) = A.sen(t+)			(t+) = ângulo de Fase
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Fasores
Diagramas Fasoriais
Como visto anteriormente, uma onda senoidal periódica de freqüência e amplitude constantes pode ser representada por um fasor girante.
A onda senoidal mostrada na Figura acima é definida matematicamente como:
ν(t)= Vp.sen(ωt+45º) 
Assim, o fasor da Figura (b) tem amplitude igual a Vp, gira a uma velocidade angular ω, e tem um ângulo de fase igual a 45º.
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Fasores
Na Figura abaixo três ondas senoidais são representadas por um diagrama fasorial. A senóide A está adiantada das senóides B e C, a senóide B está adiantada em relação à senóide C, porém atrasada em relação à senóide A, e a senóide C está atrasada em relação às senóides A e B, como indicado no diagrama fasorial.
Exemplo diagrama fasorial
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Fasores
Conceitos importantes
Quando duas ou mais grandezas alternadas têm a mesma fase elas se acham em concordância de fase ou simplesmente em fase.
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Fasores
Quando a diferença de fase for de 180°, estão em oposição.
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Fasores
Quando a diferença de fase entre duas grandezas alternadas for de 90° elas estão em quadratura.
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