Aula 5 - Deslocamento

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TEORIA DAS ESTRUTURAS I__________________________________________________________________Prof.: Danielle Malvaris
AULA 5
Deslocamento em Estruturas Isostáticas
1- Força x Deformações x Deslocamentos
O conceito de força generalizada deve ser entendido com o significado
de uma força, um binário de forças, ou um conjunto de forças e binários
atuando em uma estrutura. Eventualmente este conceito é denominado
ação. Uma força generalizada pode ser interna ou externa, e uma força
externa pode ser ativa ou reativa.
Deformação - Uma estrutura solicitada por um sistema de forças
sofre mudança de forma. Neste processo os pontos da estrutura
sofrem deslocamentos, ou seja, mudanças de posição em relação às
suas posições iniciais e em relação uns aos outros. As deformações são
definidas matematicamente por meio de considerações geométricas
em cada ponto do volume do corpo ou da barra a partir das funções
que descrevem os deslocamentos dos pontos segundo as direções dos
eixos de referência. Esta definição é encontrada para os casos mais
simples nos livros de Resistência dos Materiais, ou de forma mais
rigorosa nos livros de Teoria da Elasticidade. As componentes de
deformação são grandezas adimensionais e caracterizam
completamente a mudança de forma de um elemento infinitesimal em
torno de um ponto.
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Deslocamento – Os deslocamentos decorrem do efeito
acumulado das deformações nos pontos do corpo ou na estrutura.
Pode ser entendido como uma translação ou uma rotação de algum
ponto da estrutura.
Translação – deslocamento linear
Rotação – deslocamento angular
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2- Princípio da Superposição dos Efeitos
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 Quando uma estrutura tem comportamento elástico-linear pode-se
considerar que os efeitos produzidos por várias causas podem ser obtidos
combinando-se os efeitos produzidos pelas causas atuando
individualmente.
 Pode ser aplicado quando o comportamento da estrutura é elástico-linear,
ou seja:
a) O material segue a Lei de Hooke (comportamento elástico-linear);
b) Deslocamentos e deformações nos pontos da estrutura são
pequenos;
c) Não existe interação entre efeitos de força axial e momento fletor nas
barras;
d) A disposição das barras e de vínculos é tal que se pode formular o
equilíbrio na posição inicial da estrutura indeformada.
2- Princípio da Superposição dos Efeitos
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 Causas: forças e momentos externos aplicado, deslocamento de apoio,
gradientes de temperatura, carregamentos em geral;
 Efeitos: reações de apoio, deslocamentos, tensões e deformações.
2- Princípio da Superposição dos Efeitos
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Superposição de efeitos para compor o diagrama de 
momentos fletores
Viga biapoiada com balanços – Diagramas de Cortante 
e Momento Fletor
2- Princípio da Superposição dos Efeitos
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Viga biapoiada – Diagramas de Cortante e Momento Fletor
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3 - Teorema dos Trabalhos Virtuais
 Trabalho Virtual
Um deslocamento virtual ou uma força virtual são, respectivamente,
um deslocamento imaginário ou uma força imaginária, arbitrariamente
impostos sobre um sistema estrutural.
Deslocamento virtual - deslocamento provocado por alguma outra
ação que não o sistema de carregamento em questão atuante na estrutura.
Força virtual - outra força qualquer que não seja a que está
provocando o deslocamento real.
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3 - Teorema dos Trabalhos Virtuais
 Trabalho Virtual
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3 - Teorema dos Trabalhos Virtuais
 Trabalho Virtual
O trabalho virtual total é dado por:
δv - deslocamento virtual
δPi -forças virtuais
vi - deslocamentos reais
Pi - forças reais
“Se é aplicado um deslocamento virtual a um corpo rígido sujeito a um sistema de
forças em equilíbrio, o trabalho virtual total realizado pelas forças é igual a zero”.
“Se o trabalho virtual total realizado por um sistema de forças reais atuando em
um corpo rígido quando ele é submetido a um deslocamento virtual é igual a zero, o
sistema de forças está em equilíbrio”.
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3 - Teorema dos Trabalhos Virtuais
N ↔ dδ (dδ = deslocamento relativo entre as seções extremas do elemento de barra na direção do eixo
da barra)
M ↔dθ (dθ = rotação relativa entre as seções extremas do elemento de barra no plano da mesma)
V ↔ dλ (dλ = deslocamento relativo no plano da barra entre as seções extremas do elemento de barra
na direção perpendicular ao eixo)
T ↔dφ (dφ = rotação relativa entre as seções extremas do elemento em torno do eixo da barra)
Pelo Princípio da Conservação da Energia, o trabalho das forças internas é igual ao
trabalho das forças externas.
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Deslocamento em Estruturas Isostáticas
1- Cálculo de Deformações em Estruturas Isostáticas
P. =
Forças virtuais:
Deslocamentos:
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Deslocamento em Estruturas Isostáticas
APLICAÇÃO 1
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Deslocamento em Estruturas Isostáticas
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Deslocamento em Estruturas Isostáticas
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TABELA PARA CÁLCULO DA 
INTEGRAL DO PRODUTO DE 
DUAS FUNÇÕES
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TABELA PARA CÁLCULO DA 
INTEGRAL DO PRODUTO DE 
DUAS FUNÇÕES
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Deslocamento em Estruturas Isostáticas
𝑃𝛿 =
1
𝐸𝐼
.
𝑙
4
𝑎. 𝛼
1.𝛿 =
1
2.105.
.
3
4
−262,5 . −3 = 3,0. 10−3𝑚
Deslocamento vertical em B
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Deslocamento em Estruturas Isostáticas
APLICAÇÃO 2
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Deslocamento em Estruturas Isostáticas
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Deslocamento em Estruturas Isostáticas
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Deslocamento em Estruturas Isostáticas
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Deslocamento em Estruturas Isostáticas
𝑃𝛿 =
1
𝐸𝐼
.
𝑙
3
𝑐. 𝛾. 𝑘
1.𝛿 =
1
2.105.
.
5
3
−1,05 . 62,5 . 1,21 = −6,62. 10−4𝑚
Deslocamento vertical em C
Deslocamento em Estruturas Isostáticas
EX. 1:
Um engenheiro foi encarregado de calcular o deslocamento vertical de uma viga biapoiada
de comprimento L e carga distribuída q, como mostra a figura abaixo.
A partir do Teorema dos Trabalhos Virtuais aplicado para deslocamentos em corpos
elásticos, levando em conta os conceitos da Resistência dos Materiais (para este caso o
efeito do esforço normal e do esforço cortante podem ser desprezados), calcule o
deslocamento vertical, para uma viga de L=3m e q=20kN/m. Dados: E=2,2.105KNm2.
a) A 1/3 do ponto A;
b) Na metade da viga;
c) A 1/3 do ponto B.
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Deslocamento em Estruturas Isostáticas
EX. 2:
Um engenheiro foi encarregado de calcular o maior deslocamento vertical de uma viga
biapoiada de comprimento L e carga distribuída q, como mostra a figura abaixo.
A partir do Teorema dos Trabalhos Virtuais aplicado para deslocamentos em corpos
elásticos, levando em conta os conceitos da Resistência dos Materiais (para este caso o
efeito do esforço normal e do esforço cortante podem ser desprezados), calcule o
deslocamento vertical, para uma viga de L=2m, p=5kN e q=10kN/m. Dado: EI=2,5.105KNm2
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TABELA PARA CÁLCULO DA 
INTEGRAL DO PRODUTO DE 
DUAS FUNÇÕES
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