ProfCesarVargas_CircuitosEletricos_apostila[1]

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Apostila de Circuitos Ele´tricos
Prof. Ce´sar M. Vargas Ben´ıtez
Departamento Acadeˆmico de Eletroˆnica,
Universidade Tecnolo´gica Federal do Parana´ (UTFPR)
9 de setembro de 2009
1
Apostila de Circuitos Ele´tricos - Prof. Ce´sar M. Vargas Ben´ıtez 2
Suma´rio
1 Nu´meros complexos e fasores 3
1.1 Definic¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Formas de representac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Plano complexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4 Conversa˜o entre formas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4.1 Retangular → Polar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4.2 Polar → Retangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.5 Operac¸o˜es com nu´meros complexos . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.6 Relac¸o˜es u´teis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 A onda sinusoidal e seus valores nota´veis 5
2.1 Representac¸a˜o matema´tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Definic¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.3 Relac¸o˜es u´teis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.4 Simbologia de fontes independentes . . . . . . . . . . . . . . . 8
3 Valores caracter´ısticos de ondas perio´dicas 8
3.1 Valor me´dio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.2 Valor eficaz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.3 Fasores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.4 Resposta dos componentes R, L e C em corrente alternada . . 9
4 Notac¸a˜o fasorial, Impedaˆncia e admitaˆncia 12
4.1 Notac¸a˜o fasorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4.2 Impedaˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4.3 Admitaˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4.4 Associac¸a˜o de impedaˆncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
5 Poteˆncia ele´trica e fator de poteˆncia 18
5.1 Poteˆncia em circuito puramente resistivo . . . . . . . . . . . . 19
5.2 Poteˆncia em circuito puramente reativo . . . . . . . . . . . . . 20
5.3 Poteˆncia aparente e fator de poteˆncia . . . . . . . . . . . . . . 20
5.4 Triaˆngulo de poteˆncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5.5 Correc¸a˜o de fator de poteˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
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1 Nu´meros complexos e fasores
1.1 Definic¸a˜o
Nu´mero complexo e´ todo nu´mero que pode ser representado pela forma:
z = a + jb
onde a e b sa˜o nu´meros reais e j e´ a unidade imagina´ria (j =
√−1, definic¸a˜o
de Euler). O nu´mero a e´ a parte real do nu´mero complexo z e o nu´mero b e´
a parte imagina´ria do nu´mero complexo z, denotadas por:
a = Re(z)
b = Im(z)
1.2 Formas de representac¸a˜o
• Forma exponencial:
e(jθ) = cosθ + jsenθ
• Forma retangular:
z = a + jb
• Forma trigonome´trica:
r = |z| = √a2 + b2
a = rcosθ
b = rsenθ
z = r(cosθ + jsenθ)
• Forma polar:
Z = r 6 θ
1.3 Plano complexo
O plano complexo (plano de Argand-Gauss ou Diagrama de Argand) e´
um plano cartesiano usado para representar nu´meros complexos geometrica-
mente.
A Figura 1 apresenta o plano complexo. Onde,
Im representa o eixo imagina´rio;
Re representa o eixo real.
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Figura 1: Plano complexo
1.4 Conversa˜o entre formas
1.4.1 Retangular → Polar
z = a+ jb → Z = r 6 θ
r = |z| = √a2 + b2
θ = arctg b
a
1.4.2 Polar → Retangular
Z = r 6 θ → z = a+ jb
a = rcosθ
b = rsenθ
1.5 Operac¸o˜es com nu´meros complexos
z1 = a1 + jb1
z2 = a2 + jb2
• Adic¸a˜o:
zT = z1 + z2 = a1 + jb1 + a2 + jb2 = (a1 + a2) + j(b1 + b2)
• Multiplicac¸a˜o:
Na forma retangular:
zT = z1z2 = (a1 + jb1)(a2 + jb2) = (a1a2 − b1b2) + j(b1a2 + b2a1)
Na forma polar:
zT = z1z2 = r1 6 θ1r2 6 θ2 = r1r2 6 (θ1 + θ2)
• Divisa˜o:
Na forma retangular:
zT =
z1
z2
= z1
z2
z∗
2
z∗
2
= a1+jb1
a2+jb2
a2−jb2
a2−jb2 =
(a1a2+b1b2)+j(b1a2−b2a1)
a2
2
+b2
2
Na forma polar:
zT =
z1
z2
= r1
r2
6 (θ1 − θ2)
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1.6 Relac¸o˜es u´teis
Complexo conjugado (z∗):
Para z = a± jb
z∗ = a∓ jb
Outras relac¸o˜es:
z · z∗ = r2
z + z∗ = 2Re(z)
z − z∗ = j2Im(z)
(z1 + z2)
∗ = z∗1 + z
∗
2
(z1 · z2)∗ = z∗1 · z∗2
cosθ = e
jθ+e−jθ
2
senθ = e
jθ−e−jθ
j2
j = −1
j
j2 = −1
2 A onda sinusoidal e seus valores nota´veis
2.1 Representac¸a˜o matema´tica
Expressa˜o matema´tica geral para a onda sinusoidal:
y(t) = yMsen(ωt± θ)
Onde,
yM representa a amplitude da onda;
α representa ω representa a frequeˆncia angular da onda [rad
s
];
ω = 2pif
f ≡ frequeˆncia [Hz]
θ e´ a fase da onda [rad] ou [o]
2.2 Definic¸o˜es
• Forma de onda: representac¸a˜o gra´fica da forma com que uma onda
evolui ao longo do tempo.
• Amplitude: distaˆncia entre o valor me´dio e o valor de pico.
O valor me´dio de uma onda senoidal e´ zero.
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• Valor pico (YM , Yp ou Am): valor ma´ximo da onda em relac¸a˜o ao zero.
Tensa˜o pico: Vp ou Ep
Corrente pico: Ip
• Valor pico-a-pico (Ypp): O valor pico-a-pico e´ a medida entre os picos
ma´ximo e mı´nimo.
Ypp = 2Yp
Tensa˜o pico-a-pico: Vpp ou Epp
Corrente pico-a-pico: Ipp
• Valor instantaˆneo: magnitude da forma de onda em um instante de
tempo.
y1 = y(t = k)
Por exemplo,
e1 = v(t = 1ms) = v(1ms)
i1 = i(t = 1ms) = i(1ms)
Exemplo:
Dado v(t) = 10sen(377t)V . Qual o valor de v(t) para t = 2ms?
v(2ms) = 10sen(377 rad
s
.2ms)V =
v(2ms) = 10sen(0, 754rad)V = 10sen(43, 2o)V = 6, 84V
v(2ms) = 6, 84V
• Forma de onda periodica:
• Frequeˆncia (f):nu´mero de ciclos por segundo.
Unidade: [Hz]
• Per´ıodo (T ): durac¸a˜o temporal de um ciclo. Intervalo de tempo entre
duas repetic¸o˜es sucessivas.
O per´ıodo e´ o inverso da frequeˆncia.
T = 1
f
Unidade: [s] (segundos)
Exemplo: qual e´ o per´ıodo de um sinal com frequeˆncia de 1MHz?
T = 1
f
= 1
1MHz
= 1
1·106Hz = 1µs
• Fase (θ): deslocamento da forma de onda no eixo horizontal a` esquerda
ou direita de 0o
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Unidade: [rad] ou [o]
Fase positiva: sinal deslocado para a esquerda do 0o. O sinal esta´ adi-
antado em relac¸a˜o a 0o. O sinal “cresce” antes de 0o.
y(t) = yMsen(ωt+ θ)
Fase negativa: sinal deslocado para a direita do 0o . O sinal esta´ atra-
sado em relac¸a˜o a 0o. O sinal “cresce” depois de 0o.
y(t) = yMsen(ωt− θ)
As Figuras 2(a) e 2(b) apresentam a definic¸a˜o de fase positiva e nega-
tiva, respectivamente.
(a) (b)
Figura 2: Fase positiva e negativa
2.3 Relac¸o˜es u´teis
sen(ωt) = cos(ωt− 90o)
cos(ωt) = sen(ωt+ 90o)
−sen(ωt) = sen(ωt± 180o)
−cos(ωt) = sen(ωt+ 270o) = sen(ωt− 90o)
sen(−ωt) = −sen(ωt)
cos(−ωt) = cos(ωt)
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2.4 Simbologia de fontes independentes
As Figuras 3(a) e 3(b) apresentam a simbologia para as fontes indepen-
dentes de tensa˜o e corrente, respectivamente.
(a) (b)
Figura 3: Simbologia de fontes independentes
3 Valores caracter´ısticos de ondas perio´dicas
3.1 Valor me´dio
O valor me´dio de uma onda y(t) e´ calculado sobre um intervalo da fun-
c¸a˜o correspondente a um per´ıodo fundamental completo T , desde qualquer
instante t0.
y¯ = ymedio =
1
T
∫ t0+T
t0
y(t) dt.
3.2 Valor eficaz
O valor eficaz (ra´ız quadratica me´dia ou root mean square-RMS ) e´ uma
medida estat´ıstica sobre a magnitude de uma varia´vel e e´ calculado sobre o
intervalo da func¸a˜o correspondente a um per´ıodo fundamental completo T ,
desde qualquer instante t0.
yef = yrms =
√
1
T
∫ t0+T
t0
y(t)2 dtA Tabela 1 apresenta a fo´rmula matema´tica para calcular o valor eficaz
das formas de onda senoidal, quadrada e dente de serra.
Onde,
Yp representa a amplitude da onda (valor pico).
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Tabela 1: Fo´rmulas para calcular o valor RMS
Forma de onda Valor RMS
Senoidal Yp√
2
Quadrada Yp
Dente de serra Yp√
3
3.3 Fasores
Um fasor e´ um nu´mero complexo que representa a magnitude e a fase de
uma onda senoidal. A notac¸a˜o fasorial simplifica a resoluc¸a˜o de problemas
envolvendo func¸o˜es senoidais no tempo.
Por exemplo,
Dado y(t) = yMcos(ωt+ θ) = 12cos(377t+ 45
o)
Notac¸a˜o fasorial: Y = yM 6 θ = 12 6 45o
3.4 Resposta dos componentes R, L e C em corrente
alternada
A resposta dos componentes ba´sicos R, L e C ao sinal senoidal (cor-
rente/tensa˜o) sera´ apresentada nesta sec¸a˜o.
• Resistor: em um circuito puramente resistivo, a tensa˜o e a corrente es-
ta˜o em fase. Os valores picos da tensa˜o e da corrente esta˜o relacionados
atrave´s da Lei de Ohm.
Figura 4: Circuito puramente resistivo
v = Vmsen(ωt)
i = v/R = Vm
R
sen(ωt)
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i = Imsen(ωt)
A Figura 5 apresenta as formas de onda de corrente e tensa˜o em um
circuito puramente resistivo.
Figura 5: Circuito puramente resistivo: formas de onda
• Indutor: em um circuito puramente indutivo, a tensa˜o vL(t). esta´
adiantada de 90o em relac¸a˜o a` iL(t). Em outras palavras, a corrente no
indutor iL(t)esta´ atrasada de 90
o em relac¸a˜o a` vL(t).
Figura 6: Circuito puramente indutivo
A Figura 7 apresenta as formas de onda de corrente e tensa˜o em um
circuito puramente resistivo.
A tensa˜o no indutor pode ser representada pela seguinte equac¸a˜o (con-
forme visto na disciplina de Introduc¸a˜o a` Eletricidade):
vL(t) = L
diL
dt
= Ld(Imsen(ωt))
dt
= ωLImcos(ωt)
vL(t) = ωLImcos(ωt) = Vmsen(ωt+ 90
o)
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Figura 7: Circuito puramente indutivo: formas de onda
Oposic¸a˜o = Vm
Im
= ωLIm
Im
= ωL
ω = 2pifL
A oposic¸a˜o e´ chamada de reataˆncia indutiva e depende da frequeˆncia do
sinal e da indutaˆncia do indutor. A reataˆncia indutiva e´ representada
por XL e e´ medida em ohms (Ω).
XL =
Vm
Im
= ωL = 2pifL
• Capacitor: em um circuito puramente capacitivo, a tensa˜o vL(t). esta´
atrasada de 90o em relac¸a˜o a` iL(t).
Figura 8: Circuito puramente capacitivo
A corrente no capacitor pode ser representada pela seguinte equac¸a˜o
(conforme visto na disciplina de Introduc¸a˜o a` Eletricidade):
ic(t) = C
dvc
dt
= C d(Vmsen(ωt))
dt
= ωCVmcos(ωt)
ic(t) = ωCVmcos(ωt) = Imsen(ωt+ 90
o)
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Oposic¸a˜o = Vm
Im
= Vm
ωCVm
= 1
ωC
ω = 1
2pifC
A oposic¸a˜o e´ chamada de reataˆncia capacitiva e depende da frequeˆncia
do sinal e da capacitaˆncia do capacitor. A reataˆncia capacitiva e´ repre-
sentada por XC e e´ medida em ohms (Ω).
XC =
Vm
Im
= 1
ωC
Comportamento de indutores e capacitores em baixa e alta frequeˆncia:
• Indutor: ↑ f ⇒↑ XL
↓ f ⇒↓ XL
• Capacitor: ↑ f ⇒↓ XC
↓ f ⇒↑ XC
Componente f = 0Hz (CC) f →∞(CA)
Indutor (L) XL = 2pif = 0Ω(curto) XL = 2pif =∞Ω(aberto)
Capacitor (C) XC =
1
2pifC
=∞Ω(aberto) XC = 12pifC = 0Ω(curto)
4 Notac¸a˜o fasorial, Impedaˆncia e admitaˆncia
4.1 Notac¸a˜o fasorial
*Para trac¸ar o diagrama fasorial, veja a subsec¸a˜o 1.3. Exemplos
sera˜o apresentados em sala de aula.
4.2 Impedaˆncia
A impedaˆncia e´ caracterizada como o impedimento ao fluxo de cargas
ele´tricas em um material devido a uma perturbac¸a˜o externa alternada. A
impedaˆncia de um elemento em certa frequeˆncia e´ definida como a relac¸a˜o
entre a tensa˜o e a corrente de entrada nesta frequeˆncia.
Esta relac¸a˜o pode ser dividida em duas componentes:
• relac¸a˜o das amplitudes (ou magnitude, mo´dulo): representada pela
parte real da impedaˆncia e caracteriza a resisteˆncia do elemento (R);
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• relac¸a˜o entre fases: atraso entre os sinais de tensa˜o e corrente. Repre-
senta a parte imagina´ria da impedaˆncia e que caracteriza a reataˆncia
do elemento (X);
A impedaˆncia e´ expressa em Ohms e designada pelo s´ımbolo Z.
A reataˆncia representa a oposic¸a˜o oferecida ao fluxo de corrente ele´trica
alternada causada por capacitaˆncia ou indutaˆncia em um circuito.
Unidade: Ω
A relac¸a˜o entre impedaˆncia, resisteˆncia e reataˆncia e´ dada por:
Z = R + jX
Onde,
Z representa a impedaˆncia;
R e´ a resisteˆncia;
X e´ a reataˆncia.
X < 0: reataˆncia capacitiva
X > 0: reataˆncia indutiva
Conforme apresentado na sec¸a˜o 3.4, o valor das reataˆncias e´ dado por:
XL = 2pifL
XC =
1
2pifC
Impedaˆncia na forma polar:
Z = r 6 θ
Onde,
r = |z| = √R2 +X2
R = rcosθ
X = rsenθ
z = r(cosθ + jsenθ)
Aˆngulo de fase (θ): mede a relac¸a˜o entre resisteˆncia e reataˆncia em
circuitos ele´tricos. O aˆngulo de fase e´ zero graus se o circuito e´ puramente
resistivo e noventa graus se o circuito e´ puramente capacitivo ou indutivo.
Um aˆngulo de fase de 45 graus representa um circuito com magnitudes iguais
de reataˆncia e resisteˆncia.
Impedaˆncia puramente resistiva:
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Z = R 6 0o = R
Impedaˆncia puramente capacitiva:
Z = XC 6 − 90o = −jXC
Impedaˆncia puramente indutiva:
Z = XL 6 + 90o = +jXL
4.3 Admitaˆncia
Em circuitos de corrente alternada, a admitaˆncia e´ definida como Y = 1
Z
.
Unidade no sistema internacional: Siemens
Admitaˆncia na forma retangular:
Y = G+ jB
Onde,
a parte real G representa a condutaˆncia (inverso da resisteˆncia) [Siemens];
a parte imagina´riaB representa a susceptaˆncia (inverso da reataˆncia) [Siemens].
G = 1
R
B = 1
X
A admitaˆncia do circuito apresentado na Figura 9 pode ser obtida atrave´s
da soma das admitaˆncias de cada elemento:
YT = Y1 + Y2 + Y3 + ... + YN
A impedaˆncia total do circuito e´ o inverso da admitaˆncia total:
ZT =
1
YT
= 11
Y1
+ 1
Y2
+ 1
Y3
+...+ 1
YN
Figura 9: Circuito paralelo
Exemplos:
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• Duas impedaˆncias em paralelo:
ZT =
Z1Z2
Z1+Z2
Usando o conceito de admitaˆncia:
YT = Y1 + Y2
Onde,
Y1 =
1
Z1
Y2 =
1
Z2
• Dado o circuito apresentado na Figura 10, determine:
YR, YL, YC , YT , ZT .
Figura 10: Exemplo
Soluc¸a˜o:
YR = G 6 0o = 1R 6 0
o = 1
5Ω
6 0o
YR = 0, 2 6 0o S = 0, 2 + j0 S
YL = BL 6 − 90o = 1XL 6 − 90o = 18Ω 6 − 90o
YL = 0, 125 6 − 90o = 0− j0, 125 S
YC = BC 6 90o = 1XC
6 90o = 1
20Ω
6 90o
YC = 0, 050 6 90o = 0 + j0, 050 S
YT = YR + YL + YC = 0, 2− j0, 125 + j0, 050 = 0, 2− j0, 075 S
YT = 0, 2136 6 − 20, 56oS
ZT =
1
YT
= 1
0,21366 −20,56o = 4, 68 + 20, 56
oΩ
Tarefa: esboce o diagrama fasorial de impedaˆncias e admitaˆncias (sepa-
radamente). Na˜o sabe como fazer? Enta˜o, veja a subsec¸a˜o 1.3.
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4.4 Associac¸a˜o de impedaˆncias
• Se´rie:
A Figura 11 apresenta um circuito se´rie composto por treˆs elementos:
resistor, indutor e capacitor.
Figura 11: Circuito se´rie: exemplo
A impedaˆncia total de um circuito se´rie pode ser calculada da seguinte
maneira:
ZT = Z1 + Z2 + Z3 + ...+ ZN
Aplicando a fo´rmula no circuito exemplo:
ZT = Z1 + Z2 + Z3
ZT = R 6 0o +XL 6 90o +XC 6 − 90o
ZT = R + jXL − jXC
ZT = R + j(XL −XC)
Observac¸a˜o: analisando ZT = R+j(XL−XC), podemos concluir que
o circuito e´ puramente resistivo para XL = XC .
ZT = 6 + j(10− 12) = 6− j12
ZT = 6− j12Ω = 6, 33 6 − 18, 43oΩ
A corrente total do circuitopode ser obtida atrave´s da Lei de Ohm:
IT =
E
ZT
A diferenc¸a de potencial nos elementos R, L e C pode ser obtida apli-
cando a Lei de Ohm:
VZ1 = VR = ITZ1 = ITR
VZ2 = VL = ITZ2 = ITXL
VZ3 = VC = ITZ3 = ITXC
Ou aplicando divisor de tensa˜o:
VZ1 =
EZ1
ZT
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VZ2 =
EZ2
ZT
VZ3 =
EZ3
ZT
Sugesta˜o: efetue as operac¸o˜es de multiplicac¸a˜o e divisa˜o na forma po-
lar.
• Paralelo: A Figura 12 apresenta um circuito paralelo composto por dois
elementos: resistor e indutor.
Figura 12: Circuito paralelo: exemplo
A impedaˆncia total de um circuito paralelo pode ser calculada da se-
guinte maneira:
1
ZT
= 1
Z1
+ 1
Z2
+ 1
Z3
+ ... + 1
ZN
Fo´rmula para duas impedaˆncias:
ZT =
Z1Z2
Z1+Z2
ou a partir da admitaˆncia total:
YT = Y1 + Y2 + Y3 + ...+ YN
ZT =
1
YT
Aplicando a fo´rmula no circuito exemplo:
1
ZT
= 1
Z1
+ 1
Z2
1
ZT
= 1
R6 0o +
1
XL 6 90o→ Finalize os ca´lculos e esboce o diagrama fasorial de impedaˆncias.
Calculando a corrente que atravessa cada impedaˆncia:
I1 = IR =
E
R
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I2 = IR =
E
XL
Ou aplicando divisor de corrente:
I1 = IR =
ITZ2
ZT
I2 = IL =
ITZ1
ZT
IR =
ITZL
ZR+ZL
IL =
ITZR
ZR+ZL
IL =
ITR6 0o
R6 0o+XL 6 90o
IL =
20A 6 0o36 0o
36 0o+46 90o
IL = 16 6 36, 87o A
IR =
20A 6 0o46 90o
36 0o+46 90o
IR = 12 6 − 53, 13oA
5 Poteˆncia ele´trica e fator de poteˆncia
Um dos paraˆmetros que mais interessa e´ a poteˆncia ele´trica. Por exemplo,
e´ importante conhecer a poteˆncia fornecida por um alternador, a poteˆncia
consumida por um motor ele´trico, a poteˆncia emitida por uma emissora de
radio, entre outros.
A tensa˜o alternada aplicada a um circuito composto por elementos pas-
sivos e´ uma func¸a˜o no tempo. A corrente resultante tambe´m e´ uma func¸a˜o
no tempo que depende dos elementos que compo˜em o circuito.
Por definic¸a˜o, a poteˆncia instantaˆnea e´ o produto da tensa˜o pela corrente:
p = vi
Para tensa˜o e corrente senoidal :
v = Vmsen(ωt)
i = Imsen(ωt+ θ)
A poteˆncia instantaˆnea e´ dada por:
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p = vi = Vmsen(ωt)Imsen(ωt+ θ)
Aplicando identidades trigonome´tricas, temos
p = V Icosθ(1− cos2ωt) + V Isenθ(sen2ωt)
Onde,
V e I representam o valor eficaz da tensa˜o e corrente, respectivamente. Estes
valores foram obtidos a partir das operac¸o˜es com as identidades trigonome´-
tricas.
Expandindo a equac¸a˜o, temos
p = V Icosθ − V Icosθcos2ωt+ V Isenθsen2ωt
V Icosθ representa o valor me´dio;
V Icosθ e V Isenθ representam o valor pico.
5.1 Poteˆncia em circuito puramente resistivo
Em um circuito puramente resistivo, a tensa˜o e a corrente esta˜o em fase.
Ou seja, θ = 0o .
Substituindo θ na equac¸a˜o da poteˆncia instantaˆnea, temos
pR = V Icos0
o − V Icos0ocos2ωt+ V Isen0osen2ωt
Simplificando,
pR = V I − V Icos2ωt
A poteˆncia total fornecida ao resistor e´ liberada na forma de calor.
A poteˆncia me´dia (ou poteˆncia ativa) pode ser derivada de pR:
P = V I = VmIm
2
= I2R = V
2
R
Unidade: watts [W]
A energia dissipada pelo resistor e´ dada por
W = Pt
Apostila de Circuitos Ele´tricos - Prof. Ce´sar M. Vargas Ben´ıtez 20
5.2 Poteˆncia em circuito puramente reativo
Em um circuito puramente indutivo, θ = 90o. Portanto, temos
pL = V Isen2ωt
Em um circuito puramente capacitivo, θ = −90o. Portanto, temos
pC = −V Isen2ωt
Em um circuito puramente reativo, a poteˆncia me´dia tem um valor nulo
(na˜o e´ produzido nenhum trabalho u´til).
Em geral, a poteˆncia reativa e´ definida da seguinte maneira:
Q = V Isenθ
Unidade: volt-ampe`re reativo [VAR]
Para o indutor, temos
QL = V I
V = IXL
I = V/XL
QL =
V 2
XL
= I2XL
Para o capacitor, temos
QC = V I
V = IXL
I = V/XL
QC =
V 2
XL
= I2XL
5.3 Poteˆncia aparente e fator de poteˆncia
A poteˆncia aparente e´ definida por
S = V I
Unidade: volt-ampe`re [VA]
O mu´ltiplo mais utilizado e´ o kVA.
O Fator de poteˆncia e´ definido por
Apostila de Circuitos Ele´tricos - Prof. Ce´sar M. Vargas Ben´ıtez 21
FP =
P
S
= cosθ
Por definic¸a˜o, o fator de poteˆncia e´ um nu´mero adimensional entre 0
e 1. Quando o fator de poteˆncia e´ igual a zero (0), o fluxo de energia e´
inteiramente reativo, e a energia armazenada e´ devolvida totalmente a` fonte
em cada ciclo. Quando o fator de poteˆncia e´ 1, toda a energia fornecida pela
fonte e´ consumida pela carga.
Normalmente o fator de poteˆncia e´ assinalado como atrasado ou adiantado
para identificar o sinal do aˆngulo de fase entre corrente e tensa˜o.
5.4 Triaˆngulo de poteˆncias
As poteˆncias me´dia, reativa e aparente podem ser relacionadas na forma
vetorial:
S=P+Q
Com
P=P 6 0o
QL=QL 6 90o
QC=QC 6 − 90o
Na forma fasorial:
S=P + jQ
Para um circuito RL:
S=P + jQL
Para um circuito RC:
S=P − jQC
De forma geral, a poteˆncia complexa pode ser determinada a partir de V
e I
S=VI∗
Onde,
I∗ e´ o conjugado da I.
P = V Icosθ = ReS
Q = V Isenθ = ImS
As Figuras 13(a) e 13(b) apresentam os triaˆngulos de poteˆncia para cir-
cuitos RL e RC, respectivamente.
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(a) (b)
Figura 13: Triangulos de poteˆncia para circuitos RL e RC
No Brasil, a Ageˆncia Nacional de Energia Ele´trica - ANEEL estabelece
que o fator de poteˆncia nas unidades consumidoras deve ser superior a 0,92
capacitivo durante 6 horas da madrugada e 0,92 indutivo durante as outras
18 horas do dia. Este limite e´ determinado pelo Artigo nzˇ 64 da Resoluc¸a˜o
ANEEL no456 de 29 de novembro de 2000. A mesma resoluc¸a˜o estabelece
que a exigeˆncia de medic¸a˜o do fator de poteˆncia pelas concessiona´rias e´ obri-
gato´ria para unidades consumidoras de me´dia tensa˜o (supridas com mais de
2,3kV) e facultativa para unidades consumidoras de baixa tensa˜o (abaixo de
2,3kV, como resideˆncias em geral).
5.5 Correc¸a˜o de fator de poteˆncia
Na industria, a maioria das cargas consome energia reativa indutiva. Por
exemplo, motores, transformadores, reatores, fornos de induc¸a˜o, entre outros.
A energia reativa sobrecarrega a instalac¸a˜o ele´trica e inviabiliza sua plena
utilizac¸a˜o. Enquanto a poteˆncia ativa e´ sempre consumida na execuc¸a˜o de
trabalho, a poteˆncia reativa, ale´m de na˜o produzir trabalho, circula entre a
carga e a fonte de alimentac¸a˜o, ocupando um “espac¸o” no sistema ele´trico
que poderia ser utilizado para fornecer mais energia ativa.
Um alto fator de poteˆncia (idealmente =1) indica uma alta eficieˆncia
e um fator de poteˆncia baixo indica baixa eficieˆncia energe´tica. Algumas
consequeˆncias de fator de poteˆncia baixo:
• Acre´scimo na conta de energia ele´trica;
• Limitac¸a˜o da capacidade dos transformadores de alimentac¸a˜o;
• Quedas e flutuac¸o˜es de tensa˜o nos circuitos de distribuic¸a˜o;
• Aumento das perdas ele´tricas na linha de distribuic¸a˜o por efeito Joule.
Apostila de Circuitos Ele´tricos - Prof. Ce´sar M. Vargas Ben´ıtez 23
A introduc¸a˜o de elementos reativos para aumentar o fator de poteˆncia e´
conhecido como correc¸a˜o de fator de poteˆncia.
Para cargas indutivas, o processo envolve a adic¸a˜o de capacitores em paralelo
com a carga. A poteˆncia aparente diminui ao aumentar o fator de poteˆncia.
Portanto, a utilizac¸a˜o de poteˆncia e´ mais eficiente.
Exemplo:
Um motor de 5hp com FP = 0, 6 e eficieˆncia de 92% e´ conectado a 208V,
60Hz.
• Esboce o triaˆngulo de poteˆncias para a carga;
• Determine o valor do capacitor que deve ser adicionado em paralelo
para ter FP = 1 (puramente resistivo);
• Determine a corrente total fornecida pela fonte para o circuito na˜o
compensado e compensado.
Resp.: InaoCompensado= 32, 49A
ICompensado = 19, 49A
• Desenhe o circuito compensado
1hp= 746W
Rendimento: η = 92% = 0, 92
Po = 5.746W = 3730W
Poteˆncia fornecida pela fonte:
Pi =
Po
η
= 3730
0,92
= 4054, 35W
De FP = cosθ = 0, 6, temos
θ = 53, 13o
Aplicando tgθ = QL
Pi
, temos
QL = tgθPi = 5405, 8VAR
S =
√
P 2i +Q
2
L = 6757, 25VA
QL deve ser igual a` QC para ter S = P e FP = 1,
pois S = P +jQL - jQC .
Assim,
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QC = QL = 5405, 8VAR
Como XC =
V 2
QC
, temos
XC =
(208V )2
5305,8V AR
= 8Ω
C = 1
2pifXC
= 331, 6µF