Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
Álgebra : Notas aula Victor Rodrigues de Oliveira oliveira.victor@mail.ru Sumário 1 Conjuntos 3 1.1 Relações entre conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.1 Domínio e Imagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.2 Relações de equivalência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Conjunto quociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.1 Partição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2 Função 7 2.1 Função inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.2 Função composta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.3 Função Identidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.4 Restrição e extensão de funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 3 Leis de composição interna (operações) 9 3.1 Propriedade distributiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 4 Anéis e Domínios 11 4.1 Anel quociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 4.2 Subanéis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 4.3 Homomorfismo de anéis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 4.4 O corpo de frações de um domínio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 4.5 Polinômios em uma variável . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2 1 Conjuntos Primeiramente, vamos relacionar conceitos que devemos assumir sobre conjuntos: 1. Um conjunto A constituído de elementos arbitrários, se contém um elemento qualquer a, é denotado por a ∈ A; 2. Existe exatamente um conjunto sem nenhum elemento, que é chamado de conjunto vazio, o qual é denotado como ∅; 3. Podemos descrever um conjunto qualquer caracterizando seus elementos através de pro- priedades que eles satisfaçam, ou os listando; 4. Um conjunto está bem definido quando, sendo A um conjunto e x um elemento arbitrário, ocorre uma das seguintes situações: • x ∈ A; • x /∈ A. 1.1 Relações entre conjuntos Definição: Sejam A e B dois conjuntos arbitrários. Se todo elemento de B está em A, então dizemos que B é subconjunto de A e denotamos por B ⊆ A ou A ⊇ B. B ⊆ A ⇔ ∀a ∈ B, a ∈ A Definição 1. Seja A um conjunto arbitrário, então o conjunto A é o subconjunto impróprio de A. Qualquer outro subconjunto de A é um subconjunto próprio de A. Obs.: ∅ ⊆ A para um conjunto A arbitrário. Definição 2. Sejam A e B conjuntos arbitrários. Dizemos que A e B são iguais (A = B), se A ⊆ B e B ⊆ A. Proposição 1. Sejam A,B e C conjuntos arbitrários. A relação definida por B ⊆ A, denomi- nada inclusão, possui as seguintes propriedades: 1. Reflexiva: A ⊆ A 2. Antissimétrica: Se A ⊆ B e B ⊆ A então A = B 3. Transitiva: Se A ⊆ B e B ⊆ C então A ⊆ C 3 Proposição 2. Dados dois conjuntos A e B arbitrários, as seguintes afirmações são equivalen- tes: 1. A ⊆ B; 2. Se x ∈ A então x ∈ B; 3. Se x /∈ B então x /∈ A. Propriedades: Sejam A,B e C conjuntos arbitrários: 1. A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C (Associativa) ; 2. A ∩ B = B ∩ A (Comutativa); 3. Se A ⊆ B então, A ∩ B = A 4. A ∩∅ = ∅. Definição 3. Sejam A e B conjuntos quaisquer. A união de A com B é o conjunto : A ∪ B = {x : x ∈ A ou x ∈ B} Propriedades: Sejam A, B e C conjuntos arbitrários, então: 1. (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C); 2. A ∪ B = B ∪ A; 3. Se A ⊆ B, então A ∪ B = B; 4. A ∪∅ = A. Definição 4. Dados um conjunto U e um subconjunto A ⊆ U quaisquer, chamamos de com- plementar de A em relação a U , todo elemento que pertence a U e não pertence a A. {AU = {x ∈ U : x /∈ A} Obs.: Quando não houver dúvidas em relação ao universo U em que estamos trabalhando, usaremos {AU = A′. Propriedades: A operação de tomar o complemento de um conjunto em relação a um certo universo satisfaz as seguintes propriedades. Seja A um conjunto qualquer pertencente ao conjunto universo U arbitrário: 1. U ′ = ∅ e ∅′ = U ; 2. A′′ = A; 3. A ∩A′ = ∅(disjuntos) e A ∪A′ = U ; 4. (A ∩ B) = A′ ∪ B′ e (A′ ∪ B′)′ = A′ ∩ B′; Obs.: As propriedades 3. e 4. são conhecidas como Leis de Morgan. 4 Definição 5. Sejam A e B conjuntos quaisquer. O produto cartesiano de A por B é o con- junto: A× B = {(a, b)/a ∈ A e b ∈ B}. Obs.: Podemos escrever o produto cartesiano de qualquer quantidade finita de conjuntos A1 ×A2 × · · · × An = {ai ∈ Ai; i = 1, · · · , n} Definição 6. Sejam A e B conjuntos arbitrários. Uma relação binária entre A e B é um subconjunto de A× B. 1.1.1 Domínio e Imagem Ao escrevermos um produto cartesiano A × B, chamamos A de conjunto de partida e B conjunto de chegada. Seja R ⊆ A× B uma relação, definimos: • Domínio de R = D(R): D(R) = {a ∈ A/∃b ∈ B tal que aRb} • Imagem de R = Im(R): Im(R) = {b ∈ B/∃a ∈ A tal que aRb} Definição 7. Seja R uma relação de A em B. A relação inversa de R é o conjunto R−1 = {(b, a) ∈ B ×A/(a, b) ∈ R}. Definição 8. Quando temos uma relação definida de um conjunto qualquer A nele mesmo, dizemos que é uma relação sobre um conjunto A. Propriedades: Veremos algumas propriedades que uma relação sobre um dado conjunto A satisfaz: 1. Reflexiva: Dizemos que uma relação é reflexiva quando, para todo x ∈ A, xRx; 2. Simétrica: Dizemos que uma relação R sobre o conjunto A é simétrica quando, dados x, y ∈ A, xRy ⇒ yRx; 3. Transitiva: Dizemos que uma relação R sobre A é transitiva quando, dados x, y, z ∈ A, xRy e yRz ⇒ xRz; 4. Antissimétrica: Dizemos que uma relação R sobre A é antissimétrica quando, sempre que xRy e yRx temos x = y. 5 1.1.2 Relações de equivalência Definição 9. Uma relação R sobre um dado conjunto A é uma relação de equivalência quando satisfaz: • R é reflexiva; • R é simétrica; • R é transitiva. 1.2 Conjunto quociente Definição 10. Seja R uma relação de equivalência sobre um conjunto A. dado a ∈ A, chama-se classe de equivalência determinada por a, o conjunto a¯ = {x ∈ A/xRa} Definição 11. O conjunto das classes de equivalência da relação R será indicado por A/R e é chamado de conjunto quociente de A por R. A/R = {a¯/a ∈ A} Proposição 3. Seja R uma relação de equivalência sobre um conjunto A e sejam a, b ∈ A. As seguintes afirmações são equivalentes: 1. aRb; 2. a ∈ b¯; 3. b ∈ a¯; 4. a¯ = b¯. 1.2.1 Partição Definição 12. Seja A 6= ∅ um conjunto. Diz-se que uma classe P de subconjuntos não vazios de A é uma partição de A se, e somente, se: • ∀B, C ∈ P, B = C ou B ∩ C = ∅; • ⋃ B∈P B = A. Definição 13. Se R é uma relação de equivalência sobre um conjunto A, então A/R é uma partição de A. Proposição 4. Se S e P é são partições do conjunto A, então existe uma relação de equiva- lência R sobre A tal que P=A/R. 6 2 Função Proposição 5. Seja f uma relação de um conjunto A com um conjunto B se, e somente, se: • O domínio de f é A, isto é, D(f) = A; • Dado um elemento x ∈ A, existe um único y ∈ B tal que (a, b) ∈ f . Notação :(x, y) ∈ f f(x) = y f :A → B x 7→ y O conjunto B é chamado contradomínio de f . Igualdade: A partir da definição podemos concluir que, dadas f : A → B e g : A → B, então: f = g ⇔ f(x) = g(x), ∀x ∈ A. Definição 14. Dizemos que uma função f : A → B é injetora se para cada y ∈ Im(f) existe um único x ∈ A/f(x) = y Definição 15. Dizemos que uma função é sobrejetora se Im(f) = B. Definição 16. Dizemos que uma função é bijetora quando ela é injetora e sobrejetora. 2.1 Função inversa Definição 17. Seja uma função f : A → B e seja y ⊆ B. Chama-se imagem inversa de y pela função f ao conjunto f−1 formado por todos os x ∈ A tais que f(x) ∈ B. Simbolicamente: f−1(y) = {x ∈ A/f(x) ∈ y} Definição 18. Seja f : A → B uma função. A relação f−1 é uma função se e somente se f é bijetora. 7 2.2 Função compostaDefinição 19. Sejam f : A → B e g : B → C funções. Chama-se composta de f em g a função g ◦ f : A → C, x 7→ g(f(x)). Observações: 1. Para podermos compor as funções f e g é preciso que o contradomínio de f seja igual ao domínio de g; 2. D domínio de g ◦ f é o domínio de f , e o contradomínio de g é o contradomínio de g ◦ f ; 3. Se A = C também podemos compor f ◦ g. Proposição 6. Sejam f : A → B e g : B → C funções injetoras. Então g ◦ f é injetora. Obs.: Se f ◦ g é injetora então g é injetora; Se g ◦ f é injetora, então f é injetora. Proposição 7. Sejam f : A → B e g : B → C funções sobrejetoras. Então g ◦ f é sobrejetora. Obs.: Se f ◦g é sobrejetora então g é sobrejetora; Se g◦f é sobrejetora, então f é sobrejetora. 2.3 Função Identidade Definição 20. Dado A 6= ∅, chama-se função identidade a função: IA :A → A x 7→ x Definição 21. Se f : A → B é bijetora, então f ◦ f−1 = IB e f−1 ◦ f = IA. Proposição 8. Sejam f : A → B eg g : B → A funções, então: 1. f ◦ IA = f e IB ◦ f = f, g ◦ IB = g e IA ◦ g = g; 2. Se g ◦ f = IA e f ◦ g = IB então f e g são bijetoras e g = f−1. 8 2.4 Restrição e extensão de funções Definição 22. Seja f : A → B uma função e D ⊆ A, com D 6= ∅. Chama-se restrição de f ao subconjunto D a função: f |D :D → B x 7→ f(x) Definição 23. Seja f : A → B uma função e sejam A ⊆ D e E ⊆ B. Chama-se extensão de f ao conjunto D toda função g : D → E tal que g|A = f . Definição 24. Seja f : A → B função, e x1, x2 ∈ A: 1. Se x1 > x2 ⇒ f(x1) > f(x2) dizemos que f é não decrescente; 2. Se x1 > x2 ⇒ f(x1) 6 f(x2) dizemos que f é não crescente; 3. Se x1 > x2 ⇒ f(x1) > f(x2) dizemos que f é crescente; 4. Se x1 > x2 ⇒ f(x1) 6 f(x2) dizemos que f é decrescente; 3 Leis de composição interna (operações) Definição 25. Seja A um conjunto não vazio. Toda função f : A×A → A recebe o nome de operação sobreA (ou em A) de lei de composição interna sobre A. Notação: x ∗ y, xy, x · y, x⊕ y, x/y, x÷ y. Propriedades: Definição 26. Seja A 6= ∅ um conjunto, ∗ : A×A → A uma operação x, y, z ∈ A: 1. Dizemos que ∗ é associativa se (x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z). 2. Dizemos que ∗ é comutativa se x ∗ y = y ∗ x Definição 27. Seja A um conjunto não vazio e x ∈ A. Se ∃ e ∈ A tal que: e ∗ x = x (1) x ∗ e = x (2) Dizemos que e é neutro à esquerda(1) e à direita(2) para ∗ em A. Sendo e neutro simultanea- mente, dizemos simplesmente que ele é um elemento neutro para ∗ em A. 9 Proposição 9. Se a operação ∗ sobre o conjunto A tem um elemento neutro e, então ele é único. Definição 28. Seja A um conjunto e seja ∗ uma relação sobre A munida do elemento neutro. Dado x ∈ A , dizemos que x é simetrizável se existe x′ ∈ A tal que x ∗ x′ = e = x′ ∗ x. Proposição 10. Seja ∗ uma operação sobre o um dado conjunto A que é associativa e tem elemento neutro (e): 1. Se x é simetrizável, x′ é único; 2. Se x é simetrizável, x′ também é, e (x′)′ = x; 3. Se x e y são simetrizáveis, x ∗ y também é e (x ∗ y)′ = y′ ∗ x′. Notação : U ∗ (A) = {x ∈ A/x é simetrizável} Proposição 11. Seja ∗ uma operação sobre o conjunto A, x, y, a ∈ A; Se x ∗ a = a ∗ y, vale x = y (1) Se a ∗ x = a ∗ y, vale x = y (2) Dizemos que a é regular à esquerda (1) ou regular à direita (2). Quando um elemento for simultaneamente regular à esquerda e à direita dizemos simplesmente que ele é um elemento regular. Proposição 12. Se a operação ∗ sobre um conjunto A é associativa, tem elemento neutro e e se a ∈ A é simetrizável, então é regular. Notação : R ∗ A = {x ∈ A/x é regular} 3.1 Propriedade distributiva Definição 29. Sendo ∗ e ∆ duas operações sobre o conjunto A, e x, y, z,∈ A, temos: x∆(y ∗ z) = (x∆y) ∗ (x∆z) (1) (x ∗ y)∆z = (x∆z) ∗ (y∆z) (2) Dizemos que ∆ é distributivo à direita (1) e à esquerda (2) em relação a ∗. Quando ∆ for distributivo simultaneamente dos dois lados, dizemos simplesmente que a operação ∆ é simul- tânea em relação a ∗. Definição 30. Sejam ∗ uma operação sobre um conjunto A e B ⊆ A, B 6= ∅. Dizemos que B é uma parte fechada de A para ∗ se ∀y, x ∈ B, x ∗ y ∈ B. 10 4 Anéis e Domínios Definição 31. Seja A um conjunto não vazio onde estejam definidas duas operações, as quais serão designadas como soma e produto em A e denotadas por + e · respectivamente. + : A×A → A (a, b) 7→ a + b · : A×A → A (a, b) 7→ a · b Será (A,+, ·) um anel se as seguintes propriedades forem satisfeitas. Sejam a, b, c ∈ A: 1. (a + b) + c = a + (b + c) associativa da soma; 2. ∃0 ∈ A tal que 0 + a = a + 0 = a existência do elemento neutro para soma; 3. ∀x ∈ A,∃y ∈ A denotado por y = −x talque x + y = y + x = 0 existência do inverso aditivo; 4. a + b = b + a comutatividade da soma; 5. (a.b).c = a.(b.c) e ; 6. (a + b).c = a.c + b.c distributividade do produto em relação à soma Além disso, se um anel (A,+, ·) satisfizer a propriedade: 7. ∃1 ∈ A, 1 6= 0 tal que 1.a = a.1 = a dizemos que (A,+, ·) é um anel com unidade. Se um anel (A,+, ·) satisfizer a propriedade: 8. a.b = b.a dizemos que (A,+, ·) é um anel comutativo. Se um anel (A,+, ·) satisfizer a seguinte propriedade: 9. a.b = 0⇒ a = b ou b = 0 dizemos que (A,+, ·) é um anel sem divisores de zero. Se (A,+, ·) é um anel comutativo, com unidade e sem divisores de zero, dizemos que (A,+, ·) é um domínio de integridade ou anel de integridade. E, se um domínio de integridade (A,+, ·) satisfizer a propriedade: 11 10. ∀x ∈ A, x 6= 0, ∃y ∈ A tal que x.y = y.x = 1 dizemos que (A,+, ·) é um corpo. Definição 32. Seja (A,+, ·) um anel e I um subconjunto não vazio de A. Dizemos que A é ideal se: • ∀x ∈ I, x + y ∈ I • ∀x ∈ I e a ∈ A, a.x ∈ I O conceito de ideal permite fazer uma construção totalmente análoga a construção do anel (Z/Zn,⊕n,�n) dos inteiros módulo n. Todo ideal é subanel 4.1 Anel quociente Sejam (A,+, ·) um anel e I um ideal de A. Sobre A definimos a relação de congruência (modI). Se a ∈ A, então sua classe de equivalência módulo I consiste no subconjunto {b ∈ A/b ≡ a(modI)}, isto é, no subconjunto {a + c/c ∈ I}. Ela será denotada por a¯ ou a + I. Será denotado por A/I o conjunto das classes da equivalência modI. Sobre o conjunto A/I definimos duas operações ⊕ e � de maneira que, dados x¯ e y¯ ∈ A/I x¯⊕ y¯ = x + y x¯� y¯ = x.y 4.2 Subanéis Seja (A,+, ·) um anel e B um subconjunto não vazio de A. Suponhamos que B seja fechado para as operações de + e · de A, isto é: 1. x, y ∈ B ⇒ x + y ∈ B 2. x, y ∈ B ⇒ x · y ∈ B Logo podemos considerar a soma e o produto operações em B. Se (B,+, ·) for um anel com as operações de A, dizemos que B é subanel de A. Proposição 13. Seja (A,+, ·) um anel e seja B ⊆ B. Então B é um subanel A se e somente se as seguintes operações forem verificadas: 12 1. 0 ∈ B o elemento neutro pertence a B 2. x, y ∈ B ⇒ x− y ∈ B 3. x, y ∈ B ⇒ x · y ∈ B Proposição 14. As únicas soluções da equação x2 − x = 0 num dominio de integridade são 0 e 1 Corolário: Seja D um domínio de integridade com unidade 1 e seja B um subanel de D com unidade 1′. Então 1 = 1′. Definição 33. Seja I um ideal de A. I é dito ideal maximal em A se I 6= A e os únicos ideais contendo I são I e A. Obs.: I = {0} é um ideal para R, chamado de ideal trivial. Teorema 1. Seja (K,+, ·) um anel comutativo com unidade (1 ∈ K). Então as seguintes condições são equivalentes. 1. K é um corpo; 2. {0} é um ideal maximal de K; 3. Os únicos ideais de K são os triviais. Proposição 15. Sejam A um anel e I um ideal em A. Se x ≡ x′(modI) e y ≡ y′(modI), então: • (x + y) ≡ (x′ + y′)(modI); • x.y ≡ x′y′(modI). Obs.: Se 1 é unidade de A, então 1¯ é unidade de A/I Obs.2: Se A é comutativo, então A; I é comutativo. Teorema 2. Seja A um anel comutativo com unidade 1 ∈ A e seja J um ideal de A. Então J é um ideal maximal de A se e somente se A/J for um corpo. 4.3 Homomorfismo de anéis Definição 34. Sejam A e A′ dois anéis. Uma funçãof : A → A′ é um homomorfismo se satisfaz as seguintes condições: 1. f(x + y) = f(x) + f(y), ∀x, y ∈ A; 13 2. f(x · y) = f(x) · f(y) ∀x, y ∈ A. Se f : A → A′ é um homomorfismo bijetor, dizemos que f é um isomorfismo de A sobre A′. Dizemos que dois anéis são isomorfos, sendo denotados por A ∼= A′ se existe um isomorfismo de A sobre A′. Os homomorfismos f : A → A também são chamados de endomorfismo de A, e os isomorfismos de A sobre si mesmos são chamados de automorfismos de A. Serão denotados por: End(A) = {f : A → A/f é endomorfismo} Aut(A) = {f : A → A/f é automorfismo} Proposição 16. Sejam A e A′ anéis e f : A → A′ um homorfismo. então: • f(0) = 0; • f(−a) = −f(a); • Se A e A′ são domínios de integridade, então f é função nula ou f(1) = 1; • Se A e A′ são corpos, então f é a função nula ou f é injetora. 4.4 O corpo de frações de um domínio Seja D um domínio de integridade qualquer e seja D∗ = D\{0}. Vamos definir uma relação de equivalência no conjunto D ×D∗, por: (a, b) ∼ (c, d)⇔ ad = bc Proposição 17. A relação ∼ definida anteriormente é de equivalência. Vamos definir as casses de equivalência de um par (a, b) por a b = (a, b) = {(x, y) ∈ D ×D∗/(a, b) ∼ (x, y)} Agora vamos definir as operações ∗ e + no conjunto quociente A/ ∼= {a b /a ∈ D e b ∈ D∗}. Sejam (a, b), (c, d) ∈ D ×D∗, então a b + c d = ad + bc bd e a b · c d = a.c b.d . Note que se b, d ∈ D∗ ⇒ b · d ∈ D∗. 14 Proposição 18. As operações ∗ e + estão bem definidas. Será denotado por a∗ = a 1 , onde 1 ∈ D e 1 é a unidade de D, e denotaremos por D∗ = {a∗ = a 1 /a ∈ D} ⊆ K = {a b , a ∈ D e b ∈ D∗}. D é um domínio de integridade, com 1∗ = 1 1 ∈ D∗. Aliás 1∗ é tal que: ∀a ∈ K, a b · 1F = 1F · a b = a b e ainda ∀a b ∈ K, a b + 0F = 0F + a b = a b . Considere a função: ϕ :D → DF a 7→ aF Observe que: 1. Imϕ = D∗ 2. Ker(ϕ) = {a ∈ D/aF = 0F} = {0} 3. ϕ(a + b) = (a + b)F = ϕ(a) + ϕ(b) 4. ϕ(a · b) = ϕ(a) · ϕ(b) Logo ϕ é um isomorfismo, isto é D ∼= D∗. Note que se a b ∈ K, a b 6= 0⇒ a 6= 0⇒ a ∈ D∗ ⇒ b a ∈ K ⇒ K é corpo. 4.5 Polinômios em uma variável Definição 35. Seja K ... ... 15 Conjuntos Relações entre conjuntos Domínio e Imagem Relações de equivalência Conjunto quociente Partição Função Função inversa Função composta Função Identidade Restrição e extensão de funções Leis de composição interna (operações) Propriedade distributiva Anéis e Domínios Anel quociente Subanéis Homomorfismo de anéis O corpo de frações de um domínio Polinômios em uma variável
Compartilhar