estatistica Cap 1 2 3 e 4
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estatistica Cap 1 2 3 e 4

Disciplina:<strong>matemática</strong>36 materiais
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ESTATÍTICA I

Professora: Diana Andrade-Pilling

dianaa@univap.br

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INTRODUÇÃO

Esta apostila destina-se ao curso de Estatística I, aplicado na
Universidade do Vale do Paraíba (UNIVAP), para os cursos de Engenharia
Aeronáutica, Engenharia ambiental, Engenharia Civil, Engenharia
Elétrica, Engenharia Química, Arquitetura e Urbanismo.
O material é baseado nos livros:
Estatística Básica - Probabilidade e Inferência, de Luiz Gonzaga Morettin –
Volume único, Editora Pearson Education;
Probabilidade & Estatística para engenharia e ciências, Ronald E. Walpole,
Raymond H. Myers, Sharon L. Myers e Keying Ye 8 ª edição, 2009.

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Índice

Capítulo 1
Representação e operações com dados: Tabela de freqüências, Tabelas de freqüências
relativas, Histogramas.
Capítulo 2
Variáveis aleatórias e Probabilidades: Variáveis aleatórias, Espaço amostral, Função de
probabilidade, Regra da adição, Regra da multiplicação, Esperança (ou valor esperado),
Variância, Desvio Padrão, Probabilidade condicional, Teorema de Bayes.
Capítulo 3
Distribuições de probabilidade para variáveis aleatórias discretas: Distribuição
binomial, Variância e esperança de uma variável aleatória binomial, Distribuição de
Poisson, Variância e Esperança na distribuição de Poisson.
Capítulo 4
Variáveis aleatórias Contínuas: Distribuição Exponencial, Distribuição Normal,
Distribuição normal reduzida.

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CAPÍTULO 1

REPRESENTAÇÃO E OPERAÇÕES COM DADOS

TABELAS
Tabelas de Freqüências: é uma tabela que relaciona categoria de valores, juntamente
com contagens do número de valores que se enquadram em cada categoria. Como
exemplo, suponhamos que numa determinada classe de alunos temos a seguinte
tabela com o número de faltas:

O objetivo é organizar melhor esta tabela, ou seja, queremos construir uma tabela que
relacione o número de faltas com o número de vezes que ela ocorreu. Por isso, faz
necessário seguir os seguintes passos:
Passo 1: Decidir o número de classes da tabela de freqüência. Este número deve ficar
entre 5 e 20, geralmente depende das quantidades que dispomos. Vamos escolher 10
classes como exemplo.
Passo 2: Determinar a amplitude (A) das classes. Para isso, tomamos o maior valor de
falta, subtraímos pelo menor valor e, finalmente, dividimos pelo número de classes
escolhidas.
Maior valor = 16
Menor valor = 1

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Passo 3: Escolher o limite inferior da tabela como sendo o menor valor encontrado na
tabela. No nosso caso, o menor valor é 1.
Passo 4: Adicionar a amplitude no menor valor para encontrar o segundo limite
inferior. Repita isso para encontrar o terceiro limite superior e assim por diante.

Passo 5: Monte a tabela com as classes a esquerda e conte o número de vezes que
aquela classe apareceu na sua primeira tabela.

Faltas Freqüências
1-2,4 9

2,5-3,9 3
4,0-5,4 10
5,5-6,9 6
7,0-8,4 5
8,5-9,9 3

10,0-11,4 6
11,5-12,9 0
13,0-14,4 1
14,5-16 2

A =

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Tabela de Freqüências Relativas: É uma tabela semelhante a tabela de freqüências,
mas é obtida através da divisão da freqÜência de cada classe pela freqüência total.
A tabela acima possui freqüência total 45, que é a soma de todos os números a direita
da tabela. Assim, a tabela de freqüências relativas será a tabela acima com sua coluna
a direita dividida por 45.

Faltas Freqüências
Relativas

1-2,4 0,2
2,5-3,9 0,067
4,0-5,4 0,222
5,5-6,9 0,133
7,0-8,4 0,111
8,5-9,9 0,067

10,0-11,4 0,133
11,5-12,9 0
13,0-14,4 0,022
14,5-16 0,044

GRÁFICOS
O uso de tabelas para resumir um conteúdo de dados nem sempre é útil para tirar
algumas conclusões. Assim, o uso de gráficos se faz necessário para melhor
representar os dados da tabela.
Histograma: é o primeiro gráfico de grande importância. A elaboração deste gráfico
necessita de uma tabela de freqüências ou freqüências relativas. Portanto, seguem-se
abaixo os passos para a construção de um histograma.
Passo 1: Construa uma tabela de freqüências ou de freqüências relativas;
Passo 2: Coloque no eixo vertical as informações sobre as freqüências;
Passo 3: Coloque no eixo horizontal as informações sobre as classes utilizadas.
Passo 4: é de extrema importância colocar um Título, e as legendas nos eixos.

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Utilizaremos como exemplo a tabela já feita sobre as faltas cometidas pelos alunos de
uma determinada classe. Note que utilizaremos a tabela de freqüências relativas, mas
poderia ser também a tabela de freqüências.

Exercício 1.1) Os dados abaixo referem-se ao salário (em salários mínimos) de 20
funcionários administrativos em uma indústria.
a) construa uma tabela de frequência agrupando os dados em intervalos de amplitude
2;

b) construa o histograma.

Figura 1: histog
cometidas pelos

Figura 1: histograma feito sobre os dados da tabela de freqüências relativas de faltas
cometidas pelos alunos de uma classe.

1,0
11,0

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Exercício 1.2) Com o intuito de melhor a vida dos moradores da cidade de São paulo,
a prefeitura fez uma pesquisa com usuários de transporte coletivo na cidade
indagando sobre os diferentes tipos usados nas suas locomoções diárias. Dentre
metro, ônibus e trem, o número de diferentes meios de transporte utilizados foi o
seguinte: 3, 2, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 3, 3, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 1, 2, 1,
2, 3.
a) complete a tabela de frequência;
b) faça uma representação gráfica;
c) admitindo que essa amostra represente bem o comportamento do usuário
paulistano, você acha que a porcentagem dos usuários que utilizam mais de um tipo
de transporte é grande?

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CAPÍTULO 2

VARIÁVEL ALEATÓRIA E PROBABILIDADE

Variáveis aleatórias:
Uma variável aleatória é tal que não sabemos ao certo que valor tomará, mas para a
qual podemos calcular a probabilidade de tomar determinado valor. Nos experimentos
aleatórios, mesmo que as condições iniciais sejam sempre as mesmas, os resultados
finais de cada tentativa do experimento serão diferentes e não previsíveis.
Exemplos: lançamento de um dado, lançamento de duas moedas.
Embora, em geral, não podemos dizer exatamente qual será o valor de uma variável
aleatória, freqüentemente podemos eliminar alguns valores. Por exemplo, o número (W)
de vezes que um repórter falou a palavra “calor” durante uma semana não pode ser
5/8, nem π, nem 2 , nem qualquer outro número estranho; W deve ser um número
inteiro. O número Y no dado também deve ser um número inteiro, mas deve ser um
dos seis valores 1, 2, 3, 4, 5, 6. As variáveis aleatórias que só podem tomar valores
isolados são chamados “variáveis aleatórias discretas”. Elas não precisam ser inteiras.
Por exemplo: suponha que joguemos um dado duas vezes, e seja T a média dos dois
números que aparecem. Então, T admite os valores 1; 1,5; 2; 2,5; 3; 3,5; 4; 4,5; 5; 5,5;
6.
Espaço amostral:
Espaço amostral de um experimento aleatório é o conjunto dos resultados do
experimento. Os elementos do espaço amostral serão chamados também de pontos
amostrais.
No lançamento de um dado, o espaço amostral Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
No lançamento de uma moeda, o espaço amostral Ω = {cara (K), coroa (C)}
No lançamento de duas moedas, o espaço amostral Ω = {CC, CK, KC, KK};

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Exemplo 2.1) Seja uma população de N pessoas. Dessas, M têm