MECÂNICA DOS FLUIDOS - Capitulo 01

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14/03/2012
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MECÂNICA DOS FLUIDOS
Capítulo 01 - INTRODUÇÃO
UNIVERSIDADE FEDERAL DE GOIÁS
ENGENHARIA CIVIL E DE MINAS
Prof. Eliane Justino
INTRODUÇÃO
A mecânica dos fluidos é a parte da mecânica aplicada que se dedica à
análise do comportamento físico dos líquidos e gases tanto em equilíbrio
quanto em movimento.
Por que estudar mecânica dos fluidos?
O conhecimento e a compreensão dos princípios básicos e dos conceitos
da mecânica dos fluidos são essenciais para a análise de qualquer
sistema no qual um fluido é o meio operante.
Por exemplo:
• Estudos de modelos para determinar as forças aerodinâmicas atuando
sobre edifícios e estruturas e os campos de escoamento em torno
deles.
• Esforços sobre superfícies em planos e curvas. Barragens, túneis etc.
• Projeto de todos os tipos de máquinas de fluxo, incluindo bombas,
ventiladores, compressores, turbinas etc.
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DEFINIÇÃO DE UM FLUIDO
O que é um fluido?
Quais as diferenças entre um sólido e um fluido?
Um sólido é “duro” e não é fácil de deformá-lo enquanto um fluido é
“mole” e é muito fácil de deformá-lo.
ENGENHARIA
Estrutura molecular
Moléculas pouco espaçadas e
estão sujeitas a forças
intermoleculares intensas e
coesivas. Não se deforma
facilmente.
SÓLIDO
LÍQUIDO
Espaçamento molecular é
maior (liberdade de
movimento) e as forças
intermoleculares são fracas.
Facilmente deformados.
GASES
Espaçamento molecular
ainda maior (liberdade de
movimento) e as forças
intermoleculares são
desprezíveis.
Não são
comprimidos
São comprimidos
e deformados
Podemos distingui-los a partir do seu comportamento, ou seja, como eles se
deformam sob a ação de uma carga externa.
Um Fluido  é uma substância que se deforma continuamente sob a
aplicação de uma tensão de cisalhamento (tangencial), não importa quão
pequena ela seja. Pela definição os fluidos compreendem as fases líquidas e
gasosas (ou de vapor).
Um sólido  deforma-se quando uma tensão de cisalhamento lhe é aplicada,
mas sua deformação não aumenta continuamente (não escoa) com o tempo.
SÓLIDO F FLUIDO F
t0
t1
t2
t2 > t1 >t0T= F/A
Desde que o limite elástico do material sólido
não seja excedido, a deformação é proporcional
à tensão de cisalhamento aplicada.
Enquanto a força de cisalhamento, F,
estiver aplicada na placa superior, a
deformação do elemento fluido aumenta
continuamente.
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DIMENSÕES, HOMOGENEIDADE DIMENSIONAL E UNIDADES
A mecânica dos fluidos envolve uma variedade de características que
devem ser descritas de modo qualitativo e quantitativo.
QUALITATIVO – Identificar a natureza, ou tipo, da característica (como
comprimento, tempo, tensão e velocidade).
QUANTITATIVO – Fornece uma medida numérica para a característica. Requer
um número e um padrão (metro ou polegada) para que as várias
quantidades possam ser comparadas.
A descrição qualitativa é convenientemente realizada quanto utiliza-se
certas quantidades primárias (como o comprimento, L, tempo, T, massa, M,
e temperatura, θ). Podem ser combinadas para formar quantidades
secundárias.
Velocidade = LT -1
Massa específica = ML-3
Área = L2
São necessárias apenas três dimensões básicas (L, T e M) para descrever
um grande número de problemas.
Pode-se utilizar outro conjunto de dimensões básicas compostos por L, T
e F.
Onde:
F é a dimensão da força.
Só é possível porque a 2ª Lei de Newton estabelece:
F = m.a = MLT -2 M=FL -1 T2OU
Ex.: Tensão
σ = FL-2  σ = (MLT-2) L-2  σ = FML-1 T-2σ = FL-2  σ = (MLT-2) L-2  σ = FML-1 T-2
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Tabela 1 – Dimensões Associadas a algumas quantidades
físicas usuais
Sistema FLT Sistema MLT
Aceleração LT -2 LT -2
Ângulo F0 L0 T1 M0 L0 T1
Calor FL M L2 T -2
Energia FL M L2 T -2
Massa F L -1 T 2 M
Massa específica F L -4 T 2 ML -3
Módulo de Elasticidade F L -2 M L-1 T -2
Momento de uma força FL M L2 T -2
Peso específico F L -3 M L-2 T -2
Quantidade de movimento FT M LT -1
Tensão superficial F L -1 M T -2
Viscosidade cinemática L2 T -1 L2 T -1
SISTEMAS DE UNIDADES
Sistemas de unidades mais comuns na engenharia.
A – MLtT ou Sistema Internacional de Unidades (SI)
Mais de 30 países declaram como SI como o único sistema legalmente aceito.
• Massa – quilograma (kg)
• Comprimento – metro (m)
• Tempo – segundo (s)
• Temperatura – kelvin (K)
• Força (unidade secundária) – Newton (N)
1 N = 1 kg . m/s21 N = 1 kg . m/s2
• Variação do sistema Métrico Absoluto
No sistema Métrico Absoluto
• Massa – grama (g)
• Comprimento – centímetro (cm)
• Tempo – segundo (s)
• Temperatura – kelvin (K)
• Força (unidade secundária) – dina (dina)
1 dina = 1 g . cm/s21 dina = 1 g . cm/s2
A 2ª Lei de Newton
A 2ª Lei de Newton
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B – FLtT ou Sistema de Unidades Gravitacional Britânico
• Força – libra-força (lbf)
• Comprimento – pé (ft)
• Tempo – segundo (s)
• Temperatura – Rankine (ºR)
• Massa (unidade secundária) – Slug
1 slug = 1 lbf . s2 /ft1 slug = 1 lbf . s2 /ft
C – FMLtT ou Sistema de Unidades Inglês Técnico ou de Engenharia
• Força – libra-força (lbf)
• Massa – libra-massa (lbm)
• Comprimento – pé (ft)
• Tempo – segundo (s)
• Temperatura – Rankine (ºR)
F = m.a
gc
F = m.a
gc
A 2ª Lei de Newton
A 2ª Lei de Newton
gc – constante de proporcionalidade
1 lbf = 1 lbm x 32,2 ft/s2
gc
1 lbf = 1 lbm x 32,2 ft/s2
gc 
gc = 32,2 ft . Lbm
lbf. s2
gc = 32,2 ft . Lbm
lbf. s2
MEDIDAS DE MASSA E DO PESO DOS FLUIDOS
1 - Massa Específica ou Densidade Absoluta
• Definição: como a massa de substância contida numa unidade de volume.
• ρ = massa
Vol.
• Unidade (SI): kg/ m3
A massa específica dos líquidos é
pouco sensível as variações de
pressão e de temperatura, porém
nos gases é fortemente
influenciada tanto pela pressão
quanto pela temperatura
Temperatura, ºC
0 20 40 60 80 100
1000
990
980
970
960
950Ma
ssa
 es
pe
cíf
ica
, k
g/m
3
Fluido Massa específica [kg/m3]
Água destilada a 4 °C 1000
Água do mar a 15 °C 1022 a 1030
AR à pressão atm. e a 0 °C 1,29
AR à pressão atm. e a 16 °C 1,22
Mercúrio 13590 a 13650
Tetracloreto de Carbono 1590 a 1594
Petróleo 880Massa específica da água em
função da temperatura
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2 - Peso Específico
• Definição: peso da substância contida em uma unidade de volume.
• γ = massa x aceleração da gravidade  γ = ρ .g
Vol.
• g – aceleração da gravidade local (padrão – g = 9,807 m/s2 )
•Unidade (SI): N/ m3
3 - Densidade
• Definição: razão entre a massa específica do fluido e a massa específica da
água numa certa temperatura.
• SG = ρ . = γ .
ρH2O 4 °C γa
• A temperatura especificada é de 4°C, nesta temperatura a massa específica
da água é igual a 1000 kg/m3 .
4 - LEI DOS GASES PERFEITOS
Os gases são muito mais compressíveis do que os líquidos. Sob certas
condições, a massa específica de um gás está relacionada com a pressão
e a temperatura através da equação de Clapeyron ou lei dos gases
perfeitos.
A lei dos gases ideais é a equação de estado do gás ideal, um gás
hipotético formado por partículas pontuais, sem atração nem repulsão
entre elas e cujos choques são perfeitamente elásticos (conservação do
momento e da energia cinética).
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4 - LEI DOS GASES PERFEITOS
p.v = n. R. T
Onde:
p – pressão absoluta (N/m2 = Pa)
v – volume (m3 )
n – número de moles (N)
R – constante específica do gás (m/K)
T – temperatura absoluta (K)
p = n . R. T
vReescrevendo a equação, tem-se:
ρ – massa específica
p = ρ. R. T
Por convenção internacional, a pressão padrão no nível do mar é 101,3 kPa ou
14,7 psi, para maioria dos problemas de mecânica dos fluidos.
 Da equação de estado gás ideal temos:
pV=nrT pV = nr
T
 Como r é constante, se a massa do gás forconstante ( e
portanto o número de moles n for constante) pode-se dizer que:
pV = K, onde K é uma constante
T
Então para situações inicial e final:
piVi = pfVf
Ti Tf
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5 - PRESSÃO RELATIVA E ABSOLUTA
APLICAÇÕES PRÁTICAS
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Um tanque de ar comprimido apresenta volume igual a 2,38 x 10 -2 m3 . Determine
a massa específica e o peso do ar contido no tanque quando a pressão relativa do
ar no tanque for igual a 340 kPa. Admita que a temperatura do ar no tanque é igual
a 21 °C e que a pressão atmosférica vale 101,3 kPa (abs). R = 2,869 x 102 J/ kg.K
Exemplo 1.3 – pág. 12
Solução: A massa específica do ar pode ser calculada com a lei dos gases perfeitos.
ρ = p .
R.T
Assim,
ρ = (340 + 101,3) x 103 . = 5,23 kg/m3
(2,869 x 102 ) (273,15 + 21)
Note que os valores utilizados para a pressão e para a temperatura são absolutos. O
peso, W, do ar contido no tanque é igual a:
W = ρ . g . (volume) = 5,23 x 9,8 x 2,38 x 10 -2 = 1,22 N
6 - VISCOSIDADE
A massa específica e o peso específico são propriedades que indicam o “peso” de
um fluido. Estas propriedades não são suficientes para caracterizar o
comportamento dos fluidos porque dois fluidos como, por exemplo, a água e o
óleo podem apresentar massas específicas aproximadamente iguais, mas se
comportam muito distintos quando escoam.
Assim, torna-se aparente que é necessário alguma propriedade adicional para
descrever a “fluidez” das substâncias.
A VISCOSIDADE é uma propriedade que descreve a “fluidez” das substâncias.
A capacidade de escoar continuamente quando submetida a uma tensão de
cisalhamento é o inverso de viscosidade.
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 Consideremos um experimento hipotético:
 Deformação de material colocado entre duas placas paralelas, sendo que a placa
superior é submetida a uma tensão de cisalhamento.
 COMPORTAMENTO DE UM MATERIAL SÓLIDO LOCALIZADO ENTRE AS DUAS PLACAS
 Material sólido entre as placas (solidário a elas).
 Placa superior pode se movimentar, mas a placa inferior está imobilizada.
6 - VISCOSIDADE
6 - VISCOSIDADE
 Aplicação da Força P indicada.
 A placa superior se deslocará de uma pequena distância δa.
 A linha vertical AB rotacionará em um pequeno ângulo, δβ, para a nova posição AB’.
 Ocorrerá uma tensão de cisalhamento, τ, na interface da placa superior-material.
 Para que haja equilíbrio, P deve ser igual a .A, onde A é a área efetiva da placa
superior .
 Se o material se comportar como um material elástico, a pequena deformação
angular δβ (conhecida por deformação de cisalhamento) é proporcional a tensão de
cisalhamento desenvolvida no material.
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6 - VISCOSIDADE
 COMPORTAMENTO DE UM FLUIDO LOCALIZADO ENTRE AS DUAS PLACAS..
 Quando a força P é aplicada na placa superior, esta se movimenta continuamente
com uma velocidade U.
6 - VISCOSIDADE
 Isto mostra coerência com a definição de fluido, ou seja, se uma Tensão de
Cisalhamento é aplicada num fluido, ele se deformará continuamente.
 O fluido em contato com a placa superior se move com a velocidade da placa, U, o
fluido em contato com a placa inferior apresenta velocidade nula e que o fluido
entre as duas placas move com a velocidade:
 Ou seja, a velocidade é função só de y.
 Existe gradiente de velocidade, du/dy, no escoamento entre as placas, ou seja, o
gradiente de velocidade é constante porque:
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6 - VISCOSIDADE
 Isto não é verdadeiro em situações mais complexas, porque a aderência dos fluidos
nas fronteiras sólidas tem sido observada experimentalmente e é um fato muito
importante na mecânica dos fluidos. Usualmente, esta aderência é referida como a
condição de não escorregamento.
 Todos os fluidos satisfazem a condição de não escorregamento.
 Num pequeno intervalo de tempo, δt, a linha vertical AB no fluido rotacionará um
ângulo δβ. Assim;
 Como δa = Uδt, segue que;
6 - VISCOSIDADE
 Observe que  é função da força P (que determina U) e do tempo. Considere a taxa
de variação  com o tempo e definamos a taxa de deformação por cisalhamento,
’, através da relação.
 No caso do escoamento entre as placas paralelas, a taxa de deformação por
cisalhamento, é igual a:
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6 - VISCOSIDADE
 Se variarmos as condições deste experimento, verifica-se que a tensão de
cisalhamento aumenta se aumentarmos o valor de P (lembrando que τ = P/A) e que
a taxa de deformação por cisalhamento aumenta proporcionalmente, ou seja:
 Este resultado indica que, para fluidos comuns (água, óleo, gasolina, ar), a tensão
de cisalhamento e a taxa de deformação por cisalhamento (gradiente de velocidade)
podem ser relacionadas como um equação do tipo:
 Onde a constante de proporcionalidade, µ, é denominada viscosidade dinâmica do
fluido.
6 - VISCOSIDADE
 O valor de viscosidade dinâmica varia de fluido para fluido e, para um fluido em
particular, esta viscosidade depende muito da temperatura.
 Os fluidos que apresentam relação linear entre tensão de cisalhamento e taxa de
deformação por cisalhamento (também conhecida como taxa de deformação
angular) são denominados fluidos NEWTONIANOS.
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6 – FLUIDOS NÃO NEWTONIANOS
 FLUIDOS NÃO DILATANTES
 Curva acima da referente ao fluido Newtoniano, a viscosidade dinâmica aparente
diminui com o aumento da taxa de cisalhamento, ou seja, a viscosidade aparente se
torna menor quando maior for a tensão de cisalhamento imposta no fluido.
 Exemplo: A maioria dos polímeros, tal como, tinta látex não pinga do pincel porque a
tensão de cisalhamento é baixa e portanto a viscosidade aparente é alta,
entretanto, ela escoa suavemente na parede porque o movimento do pincel provoca
uma taxa de cisalhamento suficientemente alta na camada fina de tinta que recobre
a parede, assim como du/dy é grande, a viscosidade dinâmica se torna pequena.
6 – FLUIDOS NÃO NEWTONIANOS
 FLUIDOS DO TIPO DILATANTE
 Curva abaixo da referente ao fluido Newtoniano, a viscosidade dinâmica aparente
aumenta com o aumento da taxa de cisalhamento.
 Exemplo: A mistura água-areia (areia movediça). Portanto, este é o motivo pelo qual
o esforço necessário para remover um objeto de uma areia movediça aumenta
brutamente com o aumento da velocidade de remoção.
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6 – FLUIDOS NÃO NEWTONIANOS
 PLASTICO DE BINGHAM
 Este tipo de material não é um fluido nem um sólido, ele pode resistir a uma tensão
de cisalhamento finita sem se mover (assim, ele não é um fluido, e sim um sólido),
mas, uma vez excedida a tensão de escoamento, o material se comporta como um
fluido (assim, ele não é um sólido).
 Exemplos:
 Pasta de dente;
 Maionese.
6 – FLUIDOS NEWTONIANOS
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6 – FLUIDOS NÃO NEWTONIANOS
6 - VISCOSIDADE
NOS LÍQUIDOS
 A viscosidade dinâmica é muito sensível as variações de temperatura. Por exemplo,
quando a temperatura da água varia de 15º C a 38º C, a massa específica diminui
menos que 1 %, mas a viscosidade decresce aproximadamente 40%.
NOS GASES
 A viscosidade dos gases cresce quando a temperatura do gás aumenta.
EM AMBOS
 A viscosidade dinâmica varia pouco com a pressão e o efeito da variação da pressão
sobre o valor da viscosidade normalmente é desprezado.
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6 - VISCOSIDADE
 Isto se deve à diferença que existe entre a estrutura molecular do líquido e dos
gases.
LÍQUIDOS
 Os espaçamento entre as moléculas do líquidos são pequenos, quando comparadas
com os dos gases, as forças coesivas entre as moléculas são fortes e a resistência
ao movimento relativo entre as camada contíguas de líquido estão relacionada as
forças intermoleculares.
 Quando a temperatura aumenta estas forças coesivas são reduzidas e isto provoca
mudança de resistência ao movimento.
 Como a viscosidade dinâmica é um índice desta resistência, verificamosuma
redução da viscosidade dinâmica com o aumento da temperatura.
6 - VISCOSIDADE
GASES
 As moléculas estão bem mais espaçadas que nos líquidos, as forças moleculares
são desprezíveis e a resistência ao movimento relativo é devida as trocas de
quantidade de movimento das moléculas de gás localizadas nas camadas
adjacentes.
 As moléculas de um gás podem ser transportadas pelo movimento aleatório de uma
região que apresenta velocidade baixa para outra que apresenta velocidades mais
altas (e vice versa).
 Esse movimento molecular proporciona uma troca efetiva de quantidade de
movimento que impõe uma resistência ao movimento relativo das camadas.
 Quando a temperatura do meio cresce, a atividade molecular aumenta (as
velocidades aleatórias aumentam) e nós detectamos um aumento na viscosidade
dinâmica do gás.
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6 - VISCOSIDADE
 A influência das variações de temperatura na viscosidade dinâmica pode ser estimada
com duas equações empíricas.
 A Equação de Sutherland, adequadas para os gases, pode ser expressa do seguinte
modo:
 Onde C e S são constante empírica e T é a temperatura absoluta.
 Para líquidos, a equação empírica que tem sido utilizada é a de Andrade:
 Onde D e B são constantes e T é a temperatura absoluta.
 Para determinar as constantes, deve se conhecer no mínimo duas viscosidades obtidas
de temperaturas diferentes.
6 - VISCOSIDADE
 É freqüente, nos problemas de mecânica dos fluidos, a viscosidade dinâmica
aparecer combinada com a massa específica do seguinte modo:
  - é chamado de viscosidade cinemática
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6 - VISCOSIDADE
 EXEMPLO 1.5 – pg 17
 A distribuição de velocidade do escoamento de um fluido Newtoniano num canal
formado por duas placas paralela e larga, é dada pela equação:
 Onde V é a velocidade média. O fluido apresenta viscosidade dinâmica igual a 1,9
N.s/m2. Admitindo que V = 0,6 m/s e h = 5 mm, determine: (a) a tensão de
cisalhamento na parede inferior do canal e (b) a tensão de cisalhamento que atua
no plano central do canal.
 SOLUÇÃO
 Sendo:
6 - VISCOSIDADE
 Se a distribuição de velocidade, u = u(y), é conhecida, a tensão de cisalhamento, em
qualquer plano, pode ser determinada com o gradiente de velocidade, du/dy. Para a
distribuição de velocidade fornecida.
 O gradiente de velocidade na parede inferior do canal, y = -h, vale:
 e a tensão de cisalhamento vale:
2
3
h
Vy
dy
du
−=
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6 - VISCOSIDADE
 Esta tensão cria um arraste na parede. Como a distribuição de velocidade é
simétrica, a tensão de cisalhamento na parede superior apresenta o mesmo valor, e
sentido, da tensão na parede inferior.
 (b) No plano médio, y = 0, portanto, tem-se:
 Assim, a tensão de cisalhamento neste plano é nula, ou seja:
6 - VISCOSIDADE
 Analisando a equação:
 Nota-se que o gradiente de velocidade (e, portanto, a tensão de cisalhamento) varia
linearmente com y. No exemplo aqui mostrado, a tensão de cisalhamento varia de 0,
no plano central à 691 N/m2 nas paredes. Para um caso mais geral, a variação real
dependerá da natureza da distribuição de velocidade do escoamento.
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7 - COMPRESSIBILIDADE
7.1 – Módulo de Elasticidade Volumétrico (Coeficiente de Compressibilidade)
 A propriedade normalmente utilizada para caracterizar a compressibilidade de um
fluido é o Módulo de Elasticidade volumétrico, Ev, que é definido por:
 Onde dp é a variação diferencial de pressão necessária para provocar uma variação
diferencial de volume dV num volume V.
 O sinal negativo indica que um aumento na pressão resultará numa diminuição do
volume considerado.
7 - COMPRESSIBILIDADE
 Com o decréscimo de volume de uma dada massa, m=ρV, resultará num aumento
da massa específica, podemos reescrever:
 No sistema SI, a unidade N/m2 (Pa)
 Um fluido é relativamente incompressível, quando o valor do seu módulo de
elasticidade volumétrico é grande, ou seja, é necessária uma grande variação de
pressão para criar uma variação muito pequena no volume ocupado pelo fluido.
 O valor de Ev dos líquidos são grandes, com isto, os líquidos podem ser
considerados como incompressíveis na maioria dos problemas de engenharia.
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7 - COMPRESSIBILIDADE
7.2 – Compressão e Expansão de Gases
 Quando gases são comprimidos (ou expandidos) a relação entre a pressão e a
massa específica depende da natureza do processo.
 Se a compressão, ou expansão, ocorrem à temperatura constante (processo
isotérmico), fornece:
 Se a compressão ou expansão, ocorre sem atrito e calor não é transferido do gás
para o meio e vice versa (processo isoentrópico) tem-se:
7 - COMPRESSIBILIDADE
 Onde K é a razão entre o calor específico a pressão constante, cp, e o calor a
volume constante, cv, isto é:
 Os dois calores específicos estão relacionados com a constante do gás R.
 A pressão deve está expressa em valor absoluto.
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7 - COMPRESSIBILIDADE
 O módulo de elasticidade volumétrico pode ser facilmente obtido se tivermos uma
equação de estado explicita (que relaciona a pressão em função da massa
específica). Este Módulo pode ser determinado a partir do cálculo de dp/dρ.
 Exemplo: Considerando:
 E substituindo em:
(1)
 Assim para um processo isotérmico:
e
7 - COMPRESSIBILIDADE
pEvx
p
d
dppddp
pddppddp
tecons
p
=→=
=→=
=−→=
−
=





pEv
(1)em(2)doSubstituin
)2(
00
tan
2
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7 - COMPRESSIBILIDADE
 E isoentrópico:
kpEvx
kp
d
dpkpddp
kpddpkpddp
teConsp
k
k
kk
kK
kK
k
kK
k
=→=
=→=
=−→=
−
=
−
−
−
−





kpEv
(1)em(2)doSubstituin
)3(
00
tan
1
1
1
2
1
7 - COMPRESSIBILIDADE
 Observe que o módulo de elasticidade volumétrico varia diretamente com a pressão
nos dois casos.
 Considerando o ar a pressão atmosférica, p = 101.3 kPa (abs) e k = 1,4, portanto o
módulo de elasticidade volumétrica isoentrópico (compressibilidade isoentrópica) é
igual a 1,4 MPa (1,4 X 106 Pa). Comparando este valor com o módulo da água (2,15
X109 Pa)é 1500 vezes maior.
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7 - COMPRESSIBILIDADE
 EXEMLPO 1.6 – pg. 19
 Um metro cúbico de hélio a pressão absoluta de 101,3 kPa é comprimido
istoentropicamente até seu volume se tornar igual a metade do volume inicial. Qual
é o valor de pressão no estado final?
SOLUÇÃO:
Para uma compressão isoentrópica:
i – refere se ao estado inicial;
f – refere se ao estado final.
7 - COMPRESSIBILIDADE
 Como o volume final é igual a metade do inicial, a massa específica deve dobrar
porque a massa de gás é constante. Assim:
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7 - COMPRESSIBILIDADE
7.3 – Velocidade do Som
 Uma conseqüência importante da Compressibilidade do fluido é as perturbações
introduzidas num ponto do fluido que se propagam com uma velocidade finita.
 Exemplos; Fechamento de uma válvula em uma tubulação; Diafragma de alto
falante.
 A perturbação não é sentida imediatamente é necessário um tempo finito para que
o aumento de pressão seja sentido.
 A velocidade com que estas perturbações se propagam é denominada, velocidade
do som, c.
7 - COMPRESSIBILIDADE
 No estudo de escoamento compressível, mostra-se, que a velocidade do som está
relacionada com as variações de pressão e da massa específica do fluido através
da relação:
 Considerando que definição de módulo de elasticidade volumétrico, pode-se
reescrever a equação da velocidade do som:
 Como as perturbações de pressão são pequenas, o processo ou propagação das
perturbações pode ser modelado como isoentrópico, se o meio é um gás, tem-se:
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7 - COMPRESSIBILIDADE
 Se considerarmos que o fluido comporta como um gás perferito:
 EXEMPLO: Velocidade do ar a 20º C:
 K = 1,4; R=286,9 J/kg.K
 Velocidade da água a 20º C:
 Ev = 2,19 GN/m2; ρ = 998 kg/m3
m/s35,1481
998
1019,2 9
===
xE
c v
7 - COMPRESSIBILIDADE
 Note que: A velocidade do som na água é muito mais alta que a do ar (≈ 4,32 maior). Se
o fluido fosse realmente incompressível (Ev = ∞) a velocidade do som seria infinita.
 EXEMPLO 1.6 – pg 20
 Um avião a jato voa com velocidade de 890 km/h numa altitude de 10700 m (onde a
temperatura é igual a -55º C). Determine a razão entre a velocidade do avião, V, e a
velocidade do som, c, nesta altitude. Admita que, para o ar, K é igual a 1,40.
 SOLUÇÃO: A velocidade do som pode ser calculada com a Equação:
 Como a velocidade do avião é:
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7 - COMPRESSIBILIDADE
 A relação é:
 Esta razão é denominada número de Mach, Ma. Se Ma < 1,0, o avião está voando
numa velocidade subsônica e se Ma > 1, 0 o vôo é supersônico.
 O número de Mach é um parâmetro adimensional importante no estudo de
escoamentos com velocidades altas.
8 – PRESSÃO DE VAPOR
 Os líquidos evaporam se estes são colocados num recipiente aberto em contato
com a pressão atmosférica.
 O motivo se deve ao fato de algumas moléculas do líquido, localizadas perto da
superfície livre do fluido, apresentam quantidade de movimento suficiente para
superar as forças intermoleculares coesivas e escapam para a atmosfera.
 Se de um recipiente for retirado o ar acima do líquido contido neste, desenvolve-se
uma pressão na região acima do nível do líquido (esta pressão é devida ao vapor
formado, pelas moléculas, que escapam da superfície do líquido).
 Quando o equilíbrio é atingido, o número de moléculas que deixam a superfície é
igual ao número de moléculas que são absorvidas na superfície, o vapor é dito
saturado e a pressão que o vapor exerce na superfície da fase líquida é denominada
pressão de vapor.
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8 – PRESSÃO DE VAPOR
 A pressão de vapor depende da Temperatura.
 A formação de bolhas de vapor na massa fluida é iniciada quando a pressão
absoluta no fluido alcança a pressão de vapor (pressão de saturação). Este
fenômeno é denominado EBULIÇÃO.
 A EBULIÇÃO no escoamento inicia, quando a pressão, na região de baixa pressão
atingir a pressão de vapor.
 Este fenômeno pode ocorrer em escoamentos através das passagens estreitas
irregulares encontras em válvulas e bombas.
 As bolhas formadas podem ser transportadas para regiões onde a pressão é alta, o
que leva ao colapso das bolhas com intensidade suficiente para causar danos
estruturais.
 A formação e o subseqüente colapsos das bolhas de vapor no escoamento de um
fluido é denominada CAVITAÇÃO.
9 – TENSÃO SUPERFICIAL
 Forças Superficiais – Forças existentes na interface entre um líquido e um gás, ou
entre dois líquidos imiscíveis.
 Tais forças fazem com que a superfície do líquido se comporte como uma
membrana esticada sobre a massa fluida.
 O fenômeno superficiais são devido ao desbalanço das forças coesivas que atuam
nas moléculas de líquidos que estão próximas à superfície e no interior da massa
de fluido.
 As moléculas que estão no interior da massa de fluido estão envolvidas por outras
moléculas que se atraem mutuamente e igualmente.
 Já as moléculas posicionadas na região próximas a superfície estão sujeitas a
forças líquidas que apontam para interior e também por forças devido ao gás ou
líquidos imiscível a este, e estão acima do líquido em questão.
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9 – TENSÃO SUPERFICIAL
 A conseqüência física aparente deste desbalanceamento é a criação da membrana
hipotética.
 Considerando que a força de atuação molecular atua no plano da superfície e ao
longo de qualquer linha na superfície.
 A intensidade da atração molecular por unidade de comprimento ao longo de
qualquer linha na superfície é denominada TENSÃO SUPERFICIAL, .
 A tensão superficial depende da Temperatura e do Outro Fluido que está em contato
com o líquido.
 Unidade: N/m – SI.
9 – TENSÃO SUPERFICIAL
 Força que atuam na metade de uma gota de líquido.
 A pressão dentro de uma gota de fluido pode ser calculada utilizando o diagrama
de Corpo Livre.
 A força desenvolvida ao longo da borda devida a Tensão Superficial, é 2piRσ.
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9 – TENSÃO SUPERFICIAL
 Esta força precisa ser balanceada pela diferença de pressão ∆p (entre a pressão
interna, pi, e a externa pe) que atua sobre a área piR2, assim:
Isto significa que a pressão interna da gota é maior do que a pressão no meio
que envolve a gota.
9 – TENSÃO SUPERFICIAL
 Um dos fenômenos associados com a Tensão Superficial é a subida (ou queda) de
um líquido num tubo capilar.
 Se um tubo com diâmetro pequeno e aberto é inserido na água, o nível da água no
tubo subirá acima do nível do reservatório.
 Para o caso ilustrado, a atração (adesão) entre as moléculas da parede do tubo e as
do líquidos é forte o suficiente para vencer a atração mútua (coesão) das moléculas
do fluido, com isto o fluido “sobe” no capilar e o líquido molha a superfície sólida.
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9 – TENSÃO SUPERFICIAL
 A altura da coluna de líquido h é função dos valores da tensão superficial, , do raio
do tubo, R, do peso específico do líquido, , do ângulo entre o fluido e o material do
tubo, .
 Analisando o diagrama de corpo livre.
Conclui-se que a força vertical provocada pela tensão superficial é igual a 2Rcos,
que o peso da coluna é R2h e que estas duas forças precisam estar equilibradas.
9 – TENSÃO SUPERFICIAL
 Portanto:
 Assim, a altura é dada pela relação;
 O ângulo de contato é função da combinação líquido-material da superfície.
 Exemplo: Tem-se: θ = 0o para água em contato com o vidro limpo
θ = 130º para o mercúrio em contato com o vidro limpo.
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9 – TENSÃO SUPERFICIAL
 OBS: A altura da coluna é inversamente proporcional ao raio do tubo. Assim, a
ascensão do líquido no tubo, pela ação da força capilar, fica mais pronunciada
quando menor for o diâmetro do tubo.
 Se a adesão da molécula a superfície sólida é fraca, quando comparada a coesão
entre moléculas, o líquido não molhará a superfície.
 Nesta condição, o nível do líquido do tubo imerso num banho será mais baixo que o
nível .
 Note que o ângulo de contanto é maior que 90o para os líquidos que não molham a
superfície (θ ≈ 130º para o mercúrio em contanto com o vidro limpo)
9 – TENSÃO SUPERFICIAL
 EXEMPLO 1.8 – pag. 23
 A pressão pode ser determinada medindo-se a altura da coluna de líquido num tubo
vertical. Qual é o diâmetro de um tubo limpo de vidro necessário para que o
movimento de água promovido pela ação capilar (e que se opõe ao movimento
provocado pela pressão no tubo) seja menor do que 1,0 mm? Admita que a
temperatura é uniforme e igual a 20º C.
 SOLUÇÃO:
Isolando o raio, R:
Tomando a Equação:
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9 – TENSÃO SUPERFICIAL
 Para a água a 20º C (Tabelado) σ = 0,0728 N/m e γ = 9,789 KN/m3, com θ = 0o.
 cos 0o = 1
 Assim o diâmetro – D = 2 R - D = 0,0298 m.
EXERCÍCIOS DO CAPITULO O1
 EXERCÍCIO O1 – Um tanque de óleo pesa 35 kg e tem volume é igual a
0,040 m3. (a) Determine sua massa específica, densidade e peso
específico quando encontra na superfície da Terra (g= 9,81 m/s2). (b) Qual
seriam a sua massa e seu peso específico se o tanque estivesse localizado
na superfície da Lua (onde a aceleração da gravidade é 1/6 do valor
encontrado na superfície da Terra).
 EXERCÍCIO 1.57 – pág.30
Um pistão, com diâmetro e comprimento respectivamente igual a 139,2
mm e 241,3 mm escorrega dentro de um tubo vertical com velocidade U. A
superfície interna do tubo esta lubrificada e a espessura do filme do óleo é
igual a 0,05 mm. Sabendo que a massa do pistão e a viscosidade do óleo
são iguais a 0,227 kg e 0,77 N.s/m2, estime a velocidade do pistão.Admita
que o perfil de velocidade no filme de óleo é linear e que a g = 9,81 m/s2.
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EXERCÍCIOS DO CAPITULO O1
 EXERCÍCIO 03 - O espaço entre duas placas paralelas está preenchido com um óleo
que apresenta viscosidade dinâmica igual a 4,56 x 10-2 N.s/m2. A placa inferior é
imóvel e a superior está submetida a uma força P. Se a distância entre as duas
placas é 2,5 mm, qual deve ser o valor de P para que a velocidade da placa
superior seja igual a 0,9 m/s? Admita que a área efetiva da placa superior seja igual
a 0,13 m2 e que o perfil de velocidade é linear.
EXERCÍCIOS DO CAPITULO O1
 EXERCÍCIO 1.50 – pág. 29
Determine a constante C e S da Equação de Sutherland: para o ar dada por:
 Utilizando os valores de viscosidade do ar fornecidos pela Tabela de Propriedade do
ar em função da variação de temperatura, para as temperaturas 0, 20, 40, 60, 80 e
100º C.
ST
T.C 2/3
+
=µ
T
(oC)

N.s/m2
0 1,7x10-5
20 1,80x10-5
40 1,90x10-5
60 1,96x10-5
80 2,08x10-5
100 2,17x10-5
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EXERCÍCIOS DO CAPITULO O1
T T3/2  T3/2/
0 0 1,7x10-5 0,00
20 89,44 1,80x10-5 4,07x106
40 242,98 1,90x10-5 1,58X107
60 464,76 1,96x10-5 2.33x107
80 715,54 2,08x10-5 3,44x107
100 1000 2,17x10-5 4,61x107
C
ST
C
1T 2/3
+


=
µ
SOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 1.50 – pág. 29
EXERCÍCIOS DO CAPITULO O1
 Construindo a curva T3/2/µ em função de T. Os valores de C e S podem ser
determinados a partir da inclinação e do ponto de interseção desta curva.
y = 466129x - 3E+06
R² = 0,9879
-10000000
0
10000000
20000000
30000000
40000000
50000000
0 20 40 60 80 100 120
T3/
2 /

Temperatura oC
(T3/2/) x Temperatura
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EXERCÍCIOS DO CAPITULO O1
 Outro modo de solução apresentado por um aluno, seria a montagem de um
sistema:
 Ou seja, pega se dois pontos conhecido:
T = 20º C µ = 1,80 X 10-5
T = 60º C µ = 1,96 X 10-5
( )
( ) 2/352/35
2/35
2/3
5
60.60 x1096,1
60
60.1096,1
20.20 x1080,1
20
20.1080,1
CSx
S
C
x
e
CSx
S
C
x
=+→
+
=
=+→
+
=
−−
−−
EXERCÍCIOS DO CAPITULO O1



=−
=
−−
−−
60 x1096,160.1096,1
20 x1080,120.-S1080,1
52/35
52/35
xCSx
xCx
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EXERCÍCIOS DO CAPITULO O1
 EXERCÍCIO 1.76 – pág. 32
O número de Mash definido como a razão entre a velocidade local de
escoamento e velocidade do som (Ma = V/c), é um estudo importante nos
escoamentos compressíveis. Admita que a velocidade de disparo de um
projétil é 1287 km/h. Considerando que a pressão atmosférica é a padrão
e que a temperatura no local do disparo é 10º C. Determine o número de
Mach referente ao escoamento em torno do projétil, sabendo que é um
escoamento isoentrópico. Que tipo de velocidade se trata?
 Tabelado para o ar a 10º C:
 K = 1,4; R=286,9 J/kg.K
EXERCÍCIOS DO CAPITULO O1
 EXERCÍCIO 1.87 – pág. 33
Um tubo de vidro, aberto a atmosfera e com 3 mm de diâmetro é inserido
num banho de mercúrio a 20º C. Qual será a altura que o mercúrio ficará no
tubo?
  = 130º
Temperatura
(oC)
Massa
específica
(kg/m3)
Viscosidade
dinâmica
(N.s/m2)
Tensão
Superficial
(N/m)
Pressão de
vapor
(N/m2)
Compressibi
lidade
(N/m2)
Mercúrio 20 13600 1,57x10-3 4,66x10-1 1,60x10-1 2,85x1010