circulo de moh

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RESISTÊNCIA DE MATERIAS – 1 
 
CÍRCULO DE MOHR 
CÍRCULO DE MOHR 
- Deseja-se determinar os maiores valores possíveis de tensões normais (𝜎𝑥, 𝜎𝑦 e 
𝜏𝑥𝑦) e os planos sobre os quais essas tensões ocorrem (planos principais - 𝜃𝑃). 
- Estas equações se relacionam com as equações paramétricas de uma 
circunferência. 
(𝑥 − 𝑥𝑐)
2+(𝑦 − 𝑦𝑐)
2= 𝑅2 
𝐶𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 = (𝑥𝑐 ; 𝑦𝑐) 
CÍRCULO DE MOHR 
CÍRCULO DE MOHR 
CÍRCULO DE MOHR 
- O círculo de Mohr é um método gráfico que pode ser utilizado para 
determinar as tensões normais e de cisalhamento que atuam num plano 
genérico, cuja normal faz um ângulo 𝜃𝑃 com a direção x). 
CÍRCULO DE MOHR 
- Convenção de sinais: 
 
- 𝜎𝑥 = 𝑃𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑠𝑎𝑖𝑛𝑑𝑜 
 
- 𝜎𝑦 = 𝑃𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑠𝑎𝑖𝑛𝑑𝑜 
 
- 𝜏𝑥𝑦 = 𝑃𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑖𝑠 ℎ𝑜𝑟á𝑟𝑖𝑜. 
CÍRCULO DE MOHR 
ETAPAS PARA CONSTRUÇÃO DO CÍRCULO DE MOHR 
1- Encontrar o centro (C) da circunferência: 
𝐶 = 𝜎𝑀𝑒𝑑 = 
𝜎𝑥 + 𝜎𝑦
2
 
2- Encontrar o Raio (R) da circunferência: 
𝑅 = 𝜏𝑀𝑎𝑥 = 𝜎𝑥 + 𝜎𝑦
2
+ 𝜏𝑥𝑦2 
CÍRCULO DE MOHR 
ETAPAS PARA CONSTRUÇÃO DO CÍRCULO DE MOHR 
3- Encontrar as coordenadas (X , Y): 
𝑋 = 𝑇𝑥 = 𝑅1 = (𝜎𝑥 ; − 𝜏𝑥𝑦) 
4- Encontrar as tensões principais 𝜎1 𝑒 𝜎2 : 
𝜎1 = 𝜎𝑥 = 𝜎𝑀𝑎𝑥 = 𝜎𝑀𝑒𝑑 + 𝑅 
Y = 𝑇𝑦 = 𝑅2 = (𝜎𝑦 ; 𝜏𝑥𝑦) 
𝜎2 = 𝜎𝑦 = 𝜎𝑀𝑖𝑛 = 𝜎𝑀𝑒𝑑 − 𝑅 
CÍRCULO DE MOHR 
ETAPAS PARA CONSTRUÇÃO DO CÍRCULO DE MOHR 
5- Encontrar o plano principal (𝜃𝑃): 
𝜃𝑃 =
1
2
. 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
𝜏𝑥𝑦
𝜎𝑥 − 𝜎𝑀𝑒𝑑
→ 𝐴𝑛𝑡𝑖 − 𝐻𝑜𝑟á𝑟𝑖𝑜 
6- Encontrar o ângulo de máxima tensão de cisalhamento (𝜃𝐶): 
𝜃𝐶 = 𝜃𝑃 + 45 → 𝐴𝐻 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝜏𝑥𝑦 𝑚𝑎𝑥 
𝜃𝐶 = 𝜃𝑃 − 45 → 𝐻𝑜𝑟á𝑟𝑖𝑜 
CÍRCULO DE MOHR 
ETAPAS PARA CONSTRUÇÃO DO CÍRCULO DE MOHR 
7- Encontrar as tensões (𝜎𝑥
′ , 𝜎𝑦
′ , 𝜏𝑥𝑦
′ ) após rotação de um ângulo 𝜃: 
𝜎𝑥
′ = 𝜎𝑀𝑒𝑑 − 𝑅. 𝑐𝑜𝑠(∅) 
𝜎𝑦
′ = 𝜎𝑀𝑒𝑑 + 𝑅. 𝑐𝑜𝑠(∅) 
𝜏𝑥𝑦
′ = 𝑅. 𝑠𝑒𝑛(∅) 
∅ = 180*−𝐻, +𝐴𝐻+2𝜃 − 2𝜃𝑃 
CÍRCULO DE MOHR 
CÍRCULO DE MOHR 
CÍRCULO DE MOHR 
CÍRCULO DE MOHR 
CÍRCULO DE MOHR 
CÍRCULO DE MOHR 
CÍRCULO DE MOHR 
CÍRCULO DE MOHR 
CÍRCULO DE MOHR 
CÍRCULO DE MOHR 
CÍRCULO DE MOHR 
CÍRCULO DE MOHR 
TRABALHO ESTRUTURADO 
Considere o estado plano de tensões abaixo e determine: 
 
a) A tensão normal média; 
b) A tensão de cisalhamento máxima; 
c) As tensões principais; 
d) O plano principal; 
e) O esboço do círculo de Mohr; 
f) O ângulo de máxima tensão de cisalhamento; 
g) As tensões 𝜎𝑥
′ , 𝜎𝑦
′ 𝑒 𝜏𝑥𝑦
′ para uma rotação de 
 N graus. 
h) Confirme os valores das tensões 𝜎𝑥
′ , 𝜎𝑦
′ 𝑒 𝜏𝑥𝑦
′ pelas equações gerais; 
i) Confirme os valores das tensões 𝜎𝑥
′ , 𝜎𝑦
′ 𝑒 𝜏𝑥𝑦
′ pela análise de decomposição das 
forças. 
 
 
𝝈𝒙 
𝝈𝒚 
𝝉𝒙𝒚 
CÍRCULO DE MOHR 
Matrícula: 
KKKK.AA.BBCCD-D 
 
𝐗 = 𝐁𝐁 
𝐘 = 𝐂𝐂 
𝛕𝐗𝐘 = 𝐃𝐃 
 
AA  (°) AA  (°) 
01 15 H 07 45 H 
02 20 AH 08 50 AH 
03 25 H 09 55 H 
04 30 AH 10 60 AH 
05 35 H 11 65 H 
06 40 AH 12 70 AH 
𝐏𝐀𝐑 + ; Í𝐌𝐏𝐀𝐑(−) 
CÍRCULO DE MOHR 
Matrícula: 
2015.06.24075-7 
2015.AA.BBCCD-D 
 
𝐗 = 𝐁𝐁  𝐗 = 𝟐𝟒𝐌𝐏𝐚 
𝐘 = 𝐂𝐂  𝐘 = −𝟎𝟕𝐌𝐏𝐚 
𝛕𝐗𝐘 = 𝐃𝐃  𝛕𝐗𝐘 = −𝟓𝟕𝐌𝐏𝐚 
 
 
AA  (°) AA  (°) 
01 15 H 07 45 H 
02 20 AH 08 50 AH 
03 25 H 09 55 H 
04 30 AH 10 60 AH 
05 35 H 11 65 H 
06 40 AH 12 70 AH 
𝐏𝐀𝐑 + ; Í𝐌𝐏𝐀𝐑(−) 
 = 40° Anti-Horário 
24MPa 
-7MPa 
-57MPa 
FIM