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Prof(a). Alessandra Mendes WWW.IAPCURSOS.COM R ac io cí ni o Ló gi co - IA P C U R SO S MÓDULO I RACIOCÍNIO LÓGICO FORMAL AULA 1 1. LÓGICA SENTENCIAL A Lógica Sentencial e de primeira ordem permite, a partir de sentenças e conectivos formalmente relacionados, a dedução de inferências e conclusões. Este assunto consiste em conhecer as proposições, seus valores lógicos, efetuar as operações pedidas e suas respectivas negações (quando for o caso), classificar as sentenças, testar equivalências e negações e, ainda, classificar argumentos como válidos ou inválidos. Podem ser encontradas ainda questões que exploram diagramas lógicos, além da lógica de predicados com o uso dos quantificadores “todo”, “algum” e “nenhum” e seus respectivos diagramas. No português, as expressões variam entre questionamentos, afirmativas, divagações, entre outras. Mas, a fim de comunicar fatos ou informações, utilizam‐se declarações. O principal e mais simples conceito na lógica sentencial é o de Proposição. Tecnicamente, uma proposição ou sentença lógica é um conjunto de palavras ou símbolos que exprime um pensamento de sentido completo e que pode ser considerado ou verdadeiro ou falso. 1. OPERANDOS LÓGICOS – PROPOSIÇÕES Proposições: são sentenças declarativas (algo que será declarado por meio de palavras ou de símbolos), afirmativas ou negativas, que possuem sujeito e predicado e que podem ser valoradas (consideradas) como verdadeiras ou falsas, mas não ambas. Quando solicitado pelo examinador, o valor‐verdade da proposição deve ser obtido através de julgamento (realidade). A sentença “O número 2 é par” é uma proposição cujo valor lógico é verdadeiro. O valor lógico de uma proposição é tão somente um dos dois possíveis juízos que podem ser atribuídos a uma proposição: verdadeiro (V) ou falso (F) (de acordo com a realidade). Já a sentença “3 é par” é uma proposição cujo valor‐ lógico é falso. Vale observar ainda que uma proposição representa uma informação enunciada por uma oração e, portanto, pode ser expressa por distintas sentenças, tais como: “Renato é justo”, ou “Renato não é injusto”. Note que as proposições podem assumir os valores verdadeiro ou falso, mas não ambos ou nenhum dos dois. São proposições: Ana foi ao cinema. Paulo viu quem chegou. Helena não conhece Pedro. 2 é par. 2 + 3 = 7. Todo peixe voa. NÃO são proposições: Está chovendo lá fora? (interrogativa) Paulo, vá estudar! (exclamativa) Leia aquele livro. (imperativa) X + y é positivo. (sentença aberta) O nome de Maria. (sentença incompleta) Um excelente livro de matemática. (sentença incompleta) Quarenta e dois detentos. (sentença incompleta) Esta frase é falsa. (qualquer sentença que se autodenominar falsa, mentirosa ou não verdadeira, não é proposição por ferir o princípio da não contradição). Esta frase é verdadeira. (não possui uma sentença oposta que seja proposicional). Exemplo: (CESPE/UnB) Na lista de frases apresentada a seguir há exatamente duas proposições. a – “A frase dentro destas aspas é uma mentira” b ‐ Dez é menor do que sete. c – Como vai você? d – Ela é muito talentosa. e – Existe vida em outros planetas do universo. A frase (a) se diz falsa, se contradiz. Não é considerada proposição. A frase (b) é uma proposição e é falsa. A frase (c) é uma pergunta e não uma declaração, ou seja, não pode ser considerada nem verdadeira e nem falsa, por isso não é uma proposição. A frase (d) possui sujeito não especificado (ela), não podendo, portanto, ser considerada verdadeira ou falsa. Assim, não é uma proposição. Além disso, é considerada uma sentença aberta. A frase (e) é uma proposição, pois pode ser ou verdadeira ou falsa, mesmo que não seja possível a inferência de um dos dois valores lógicos (V ou F). QUESTÃO CERTA Dizer que uma proposição ou é verdadeira ou é falsa é afirmar que a mesma respeita os princípios proposicionais: • Princípio da Identidade: Uma proposição verdadeira é verdadeira; uma proposição falsa é falsa. • Princípio da Não‐Contradição: Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa simultaneamente. • Princípio do Terceiro Excluído: Uma proposição só pode ter um dos dois valores lógicos, isto é, ou verdadeiro (V) ou falso (F), não podendo ter outro valor. As sentenças também podem ser consideradas como: • Sentenças Abertas: são aquelas que possuem sujeitos passíveis de esclarecimento. Exemplos: “x é positivo”, “ele chegou atrasado”. • Sentenças Fechadas: são aquelas que possuem sujeitos já esclarecidos. Exemplos: “2 é positivo”, “Paulo chegou atrasado”. E ainda: • Proposições Simples: são aquelas que estão sozinhas, desacompanhadas de outras proposições. Exemplos: “Todo peixe voa”, “O homem que pesca é pescador”. • Proposições Compostas: são aquelas que contêm duas (ou mais) proposições simples conectadas entre si, formando uma só sentença. Exemplos: “Janaína é médica e Patrícia é dentista”, “Os meninos que vão aos Raciocínio Lógico - Alessandra WWW.IAPCURSOS.COM 2 R ac io cí ni o Ló gi co - IA P C U R SO S estádios jogam futebol ou todos os esportes são praticados diariamente”, “Ou helena chegou ou Clara saiu”, “Se fizer sol amanhã então eu irei à praia”, “Comprarei uma mansão se e somente se eu ganhar na loteria”. As proposições compostas possuem operadores lógicos (e, ou, se, se e somente se, entre outros) que devem ser estudados para que seja possível o conhecimento dos seus valores‐lógicos. Portanto, para afirmar que uma proposição composta é verdadeira ou falsa, faz‐se necessário analisar: 1º) o valor lógico das proposições componentes (simples); e 2º) o tipo de conectivo que as une. Exemplo: (CESPE/UnB) A sentença “Se 2 é ímpar então 3 é par” é falsa. Proposição simples “2 é ímpar” = FALSA. Proposição simples “3 é par” = FALSA. Proposição composta “Se 2 é ímpar então 3 é par” é VERDADEIRA, pois a operação de implicação (“Se‐então”) entre dois valores FALSOS resulta em VERDADEIRO! (cálculo lógico) QUESTÃO ERRADA 2. OPERAÇÕES LÓGICAS Enriquecendo o contexto proposicional, as proposições simples (ou atômicas) são combinadas, com o uso de operadores lógicos (ou conectivos operacionais), criando sentenças compostas (ou moleculares). 2.1 OPERADORES (OU CONECTIVOS LÓGICOS) Considerando “p”, “q”, “r” e “s” como exemplos de proposições simples, tem‐se as seguintes operações que podem ser efetuadas com as proposições: • Negação • Conjunção • Disjunção (ou disjunção inclusiva) • Disjunção Exclusiva • Implicação (ou condicional) • Dupla Implicação (ou bicondicional) 1) Negação: A negação pode ser encontrada nas formas NÃO p, ~p ou ¬p. Em qualquer uma das suas formas, uma proposição é a negação de outra quando: se uma for verdadeira, então a outra é obrigatoriamente falsa e, se uma for falsa, a outra é obrigatoriamente verdadeira. O objetivo da operação de negação é inverter o valor do seu operando. Negação p ¬ p V F F V As seguintes expressões são equivalentes: Não é verdade que p. É falso que p. É mentira p. Nem p. ** Duas negações que negam a mesma proposição se anulam. Exemplo: Para p verdadeiro,a sentença ¬(¬(¬p)) é verdadeira. Resolvendo... ¬(¬(¬p)) ‐ substituindo o valor de p, temos: ¬(¬(¬V)) ‐ resolvendo os parênteses mais internos ¬(¬F) ¬V = F QUESTÃO ERRADA ´ 2) Conjunção A conjunção pode ser encontrada nas formas p E q, p∧q. Por definição, uma proposição composta resultante da operação de conjunção só será verdadeira quando todas as proposições envolvidas na operação forem verdadeiras. Será falsa nos demais casos. Conjunção p q p ∧ q V V V V F F F V F F F F As seguintes expressões são equivalentes: p mas q. p porém q. 3) Disjunção (ou disjunção inclusiva) A disjunção pode ser encontrada nas formas p OU q, p∨q. Por definição, uma proposição composta resultante da operação de disjunção só será falsa quando todas as proposições envolvidas na operação forem falsas. Será verdadeira nos demais casos. Disjunção p q p ∨ q V V V V F V F V V F F F A disjunção não possui expressão equivalente. 4) Disjunção Exclusiva A disjunção exclusiva pode ser encontrada nas formas OU p OU q, p∨q. Por definição, uma proposição composta resultante da operação de disjunção exclusiva só será verdadeira se as proposições envolvidas na operação forem opostas (valores lógicos contrários). Será falsa nos demais casos. Disjunção Exclusiva p q p ∨ q V V F V F V F V V F F F Raciocínio Lógico - Alessandra WWW.IAPCURSOS.COM 3 R ac io cí ni o Ló gi co - IA P C U R SO S A disjunção exclusiva não possui expressão equivalente. 5) Implicação (ou condicional) A implicação pode ser encontrada nas formas “SE p ENTÃO q”, p→q. Também chamada condicional, possui duas proposições: antecedente e conseqüente. Por definição, uma proposição composta resultante da operação de implicação de uma proposição em outra só será falsa se a antecedente for verdadeira e a conseqüente for falsa. Será verdadeira nos demais casos. Implicação p q p → q V V V V F F F V V F F V Proposição p (Se): condição, hipótese ou antecedente Proposição q (então): conclusão, resultante ou conseqüente São exemplos de expressões são equivalentes (existem muitas outras): Se p, q. q, se p. Quando p, q. Sempre que p, q. Todo p é q. p implica em q. p é suficiente para q. q porque p. p logo q. q é necessário para p. (*CUIDADO!!!*) p somente se q. (**CUIDADO!!!**) Melhorando o entendimento... SE eu ganhar na sena ENTÃO eu divido com vocês. Consideremos a sentença acima como uma promessa... Proposições: p: eu ganhar na sena. q: eu divido com vocês. Construção: Eu ganhar na sena → eu divido com vocês Analisando as quatro possibilidades: p1) Eu ganhei na Senha (V) e eu dividi com vocês (V) = Promessa cumprida (V) p2) Eu ganhei na Senha (V) e eu NÃO dividi com vocês (F) = Promessa não‐cumprida (F) p3) Eu NÃO ganhei na Senha (F) e eu NÃO dividi com vocês (F) = Promessa cumprida (V), já que a minha promessa dizia que se eu ganhasse, eu dividiria. Não quebrei a minha promessa, visto que nem ganhei. p4) Eu NÃO ganhei na Senha (F) e eu dividi com vocês (V) = Promessa cumprida (V), já que não houve promessa para o caso de eu NÃO ganhar na sena. Assim, não quebrei a promessa. 6) Dupla Implicação (bicondicional, condicional composta) Formas da dupla implicação: “SE E SOMENTE SE p ENTÃO q”, p↔q. Por definição, uma proposição composta resultante da operação de dupla implicação de uma proposição em outra só será verdadeira se ambas as proposições envolvidas na operação tiverem o mesmo valor lógico. Será falsa nos demais casos. Dupla Implicação p q p ↔ q V V V V F F F V F F F V São exemplos de expressões equivalentes: p se e só se q. Todo p é q e todo q é p. Todo p é q e reciprocamente. Se p então q e se q então p. p é necessário e suficiente para q. p é suficiente para q e q é suficiente para p. Resumindo... Operação Operador Resultado Negação NÃO p, ¬P INVERTE o valor do operando Conjunção p E q, P∧Q É VERDADEIRO quando P e Q são verdadeiros Disjunção p OU q, P∨Q É FALSO quando P e Q são falsos Disjunção Exclusiva OU p OU q, P∨Q É VERDADEIRO quando P e Q são opostos Implicação SE p ENTÃO q, P→Q É FALSO quando P é verdadeiro e Q é falso Dupla Implicação SE E SOMENTE SE p ENTÃO q, P↔Q É VERDADEIRO quando P e Q são idênticos 2.1.1 VALORANDO PROPOSIÇÕES COMPOSTAS Como já explicado anteriormente, a valoração de uma proposição composta depende dos valores das proposições simples envolvidas e do operador que as une. Exemplo: A proposição composta “Se 13 é divisível por 2 então 2 é par” é valorada como falsa. Neste caso, deve‐se proceder com o julgamento das proposições simples do contexto... “13 é divisível por 2” = proposição falsa. “2 é par” = proposição verdadeira. ... e efetuar a operação de implicação que está sendo usada como operador da sentença. Raciocínio Lógico - Alessandra WWW.IAPCURSOS.COM 4 R ac io cí ni o Ló gi co - IA P C U R SO S “Se 13 é divisível por 2 então 2 é par” = F → V = V. ERRADA 2.1.2 RESOLVENDO SENTENÇAS SIMBÓLICAS O problema mais simples envolvendo sentenças simbólicas fornece os valores das proposições simples e solicita a valoração da composição. Neste caso, a ordem de precedência dos operadores deve ser respeitada: 1º) Negações possíveis (¬); 2º) Conjunções (E), disjunções (OU) e/ou disjunções exclusivas (OU_OU), da esquerda para a direita; 3º) Implicações (SE_ENTÃO); 4º) Duplas implicações (SE E SOMENTE SE_ENTÃO). Observação: (), {} e {} isolam precedência. Exemplo: Considerando A e B proposições verdadeiras, a sentença ¬ [(A↔B) → (¬B∨B) ∧ (A∨¬B)] é Verdadeira. ¬ [(A ↔ B) → (¬B ∨ B) ∧ (A ∨ ¬B)] (substituindo A e B...) ¬ [(V ↔ V) → (¬V ∨ V) ∧ (V ∨ ¬V)] (negações possíveis...) ¬ [(V ↔ V) → (F ∨ V) ∧ (V ∨ F)] (parênteses internos...) ¬ [V → V ∧ V] (∧, pois tem maior precedência) ¬ [V → V] (resolvendo a →) ¬ V = F (resolvendo a negação mais externa...) ERRADA AULA 2 2.1.3 BUSCANDO CONCLUSÕES EM SENTENÇAS TEXTUAIS Alguns problemas, comuns em provas de concursos públicos, solicitam do candidato uma conclusão a partir de um contexto textual. Neste caso, tal conclusão só poderá ser obtida a partir das resoluções das operações lógicas presentes nas sentenças. Exemplo: “Se Arnaldo é advogado então Caio é contador. Ou Caio é contador ou Eliane é enfermeira. Eliane é enfermeira ou Felipe não é fotógrafo. Ora, Felipe é fotógrafo. Logo, a) Arnaldo não é advogado b) Caio é contador. c) Caio não é contador d) Eliane não é enfermeira e) Felipe é fotógrafo.” Para a correta resolução do problema em tempo hábil, a técnica descrita abaixo pode ser utilizada. 1ª) Isola‐se as sentenças (cada sentença termina no ponto final): Se Arnaldo é advogado então Caio é contador. Ou Caio é contador ou Eliane é enfermeira. Eliane é enfermeiraou Felipe não é fotógrafo. Ora, Felipe é fotógrafo. 2ª) Para fins de teste, considera‐se que todas as sentenças são verdadeiras: Se Arnaldo é advogado então Caio é contador. (V) Ou Caio é contador ou Eliane é enfermeira. (V) Eliane é enfermeira ou Felipe não é fotógrafo. (V) Ora, Felipe é fotógrafo. (V) 3ª) Identifica‐se cada um dos operadores presentes: Se Arnaldo é advogado então Caio é contador. (V) Ou Caio é contador ou Eliane é enfermeira. (V) Eliane é enfermeira ou Felipe não é fotógrafo. (V) Ora, Felipe é fotógrafo. (V) 4ª) Avalia‐se a partir da sentença mais simples (neste caso, a última). Se a sentença “Ora, Felipe é fotógrafo” tem resultado verdadeiro, a única proposição “Felipe é fotógrafo” também é verdadeira. Se Arnaldo é advogado então Caio é contador. (V) Ou Caio é contador ou Eliane é enfermeira. (V) Eliane é enfermeira ou Felipe não é fotógrafo. (V) Ora, Felipe é fotógrafo. (V) 1 – V 5ª) A partir da sentença “Felipe é fotógrafo”, atribui‐se o valor‐ lógico FALSO à proposição “Felipe não é fotógrafo”. Se Arnaldo é advogado então Caio é contador. (V) Ou Caio é contador ou Eliane é enfermeira. (V) Eliane é enfermeira ou Felipe não é fotógrafo. (V) 2 – F Ora, Felipe é fotógrafo. (V) 1 – V 6ª) Observando‐se a terceira sentença, nota‐se uma disjunção (ou) verdadeira com um dos seus termos falsos. Para que se mantenha verdadeira, o outro termo (“Eliane é enfermeira”) tem que ser obrigatoriamente VERDADEIRO. Portanto, o termo “Eliane é enfermeira” da segunda sentença também será. Se Arnaldo é advogado então Caio é contador. (V) Ou Caio é contador ou Eliane é enfermeira. (V) 4 – V Eliane é enfermeira ou Felipe não é fotógrafo. (V) 3 ‐ V 2 – F Ora, Felipe é fotógrafo. (V) 1 – V Raciocínio Lógico - Alessandra WWW.IAPCURSOS.COM 5 R ac io cí ni o Ló gi co - IA P C U R SO S 7ª) Na segunda sentença, tem‐se uma disjunção exclusiva (ou_ou) verdadeira que possui um dos termos verdadeiro. Para que se mantenha verdadeira, o outro termo (“Caio é contador”) tem que ser obrigatoriamente FALSO. Portanto, o termo “Caio é contador” da primeira sentença também será. Se Arnaldo é advogado então Caio é contador. (V) 6 – F Ou Caio é contador ou Eliane é enfermeira. (V) 5 ‐ F 4 – V Eliane é enfermeira ou Felipe não é fotógrafo. (V) 3 ‐ V 2 ‐ F Ora, Felipe é fotógrafo. (V) 1 – V 8ª) Finalmente, tem‐se na primeira sentença uma implicação (se_então) verdadeira que possui o termo consequente falso. Para que se mantenha verdadeira, o termo antecedente (“Arnaldo é advogado”) tem que ser obrigatoriamente FALSO. Se Arnaldo é advogado então Caio é contador. (V) 7 ‐ F 6 ‐ F Ou Caio é contador ou Eliane é enfermeira. (V) 5 ‐ F 4 ‐ V Eliane é enfermeira ou Felipe não é fotógrafo. (V) 3 ‐ V 2 ‐ F Ora, Felipe é fotógrafo. (V) 1 ‐ V CONCLUSÕES: ‐ Arnaldo não é advogado, Caio não é contador, Eliane é enfermeira e Felipe é fotógrafo. Vale observar, finalmente, que a conclusão mais forte do problema é aquela baseada no maior número de sentenças do contexto. Desta forma, pode‐se dizer que a alternativa “a) Arnaldo não é advogado” está correta. 2.1.4 TRANSFORMANDO SENTENÇAS TEXTUAIS EM SIMBÓLICAS Algumas bancas examinadoras, especialmente a CESPE/UnB, solicitam que o candidato transforme sentenças textuais em simbólicas. Esta passagem de contexto oferece vantagens aos candidatos mais preparados visto que não exige cálculos para resolução, mas tão somente o conhecimento da simbologia proveniente da lógica formal. Exemplo: Considere as sentenças (I e II) e proposições (P, R e T) abaixo: I Fumar deve ser proibido, mas muitos europeus fumam. II Fumar não deve ser proibido logo fumar faz bem à saúde. P: Fumar deve ser proibido. R: Fumar não faz bem à saúde. T: Muitos europeus fumam. Com base nas informações acima, julgue como certo ou errado os itens a e b: a) I pode ser corretamente representada por P Λ (¬T). b) II pode ser corretamente representada por (¬P) → (¬R). Resolvendo... Fumar deve ser proibido, mas muitos europeus fumam. P Λ T a) I pode ser corretamente representada por P → (¬T). QUESTÃO ERRADA Fumar não deve ser proibido logo fumar faz bem à saúde ¬P → ¬R b) II pode ser corretamente representada por (¬P) → (¬R). QUESTÃO CERTA Observação: Para representar simbolicamente as proposições, o que foi dito no enunciado é o mais relevante. Por exemplo, se o examinador afirmar que “Ana viajou” é P, “Ana não viajou” será ¬P. Mas se ele afirmar que “Ana viajou” é ¬P, “Ana não viajou” será P. Em último caso, se o examinador não tiver feito qualquer afirmação, use a ¬ para representar proposições negativas. 2.1.5 CONSTRUINDO TABELAS‐VERDADE Toda sentença lógica textual composta tem uma representação simbólica implícita e, dependendo dos valores das proposições simples envolvidas, pode ser resolvida de algumas maneiras diferentes. Exemplo: A sentença “Se Ana viajou então Ana não viajou e Paulo chegou atrasado” possui três valorações verdadeiras e uma falsa. Para a correta resolução desta questão, deve‐se: 1) Transformar a sentença textual em simbólica; Se Ana viajou então Ana não viajou e Paulo chegou atrasado. P → ¬P ∧ Q 2) Considerar todos os valores possíveis para P e Q e efetuar todas as resoluções, uma por vez. P → ¬P ∧ Q P = V, Q = V P → ¬P ∧ Q V → ¬V ∧ V V → F ∧ V V → F F P = V, Q = F P → ¬P ∧ Q V → ¬V ∧ F V → F ∧ F V → F F P = F, Q = V P → ¬P ∧ Q F → ¬F ∧ V F → V ∧ V F → V V P = F, Q = F P → ¬P ∧ Q F → ¬F ∧ F F → V ∧ F F → F V 3) Verificar o conjunto de resultados. Neste caso, a sentença possui dois resultados verdadeiros e dois falsos. QUESTÃO ERRADA A fim de organizar TODAS as resoluções possíveis de uma sentença, a sua tabela‐verdade deve ser construída. Como cada resolução é organizada em uma linha da tabela‐verdade, o número de proposições da sentença é determinante para a complexidade da resolução, visto que: Raciocínio Lógico - Alessandra WWW.IAPCURSOS.COM 6 R ac io cí ni o Ló gi co - IA P C U R SO S Nº de Linhas da Tabela‐Verdade = 2Nº de proposições distintas Nº de Linhas = Nº de Valorações = Nº de Resultados Deste modo, uma proposição composta com duas proposições simples (ex. P→Q) possui uma tabela‐verdade com 4 linhas. P Q V V V F F V F F E uma proposição composta com três proposições simples (ex. P∨Q∧R) possui uma tabela‐verdade com 8 linhas. P Q R V V V V V F VF V V F F F V V F V F F F V F F F IMPORTANTE!!! Para construir a tabela‐verdade de uma proposição composta qualquer, a ordem de precedência dos conectivos deve ser respeitada. Exemplo anterior: A sentença “Se Ana viajou então Ana não viajou e Paulo chegou atrasado” possui três valorações verdadeiras e uma falsa. Para a correta resolução desta questão COM A TABELA‐ VERDADE, deve‐se... 1) Transformar a sentença textual em simbólica; Se Ana viajou então Ana não viajou e Paulo chegou atrasado. P → ¬P ∧ Q 2) Considerar todos os valores possíveis para P e Q e construir a tabela‐verdade da sentença. 2.1) Organizam‐se em colunas as proposições simples, calcula‐se o número de linhas da tabela e dispõem‐se nestas linhas todas as combinações possíveis, em qualquer ordem (a ordem não é relevante pois não influi no resultado). P → (¬P ∧ Q) P Q V V V F F V F F 2.2) Em seguida isolam‐se as negações possíveis. Deve‐se observar que os resultados das colunas com proposições negativas são opostos aos resultados das colunas originais destas proposições. P → (¬P ∧ Q) P Q ¬P V V F V F F F V V F F V 2.3) Depois, respeitando‐se a ordem de precedência, as operações precedentes ou os parênteses são resolvidos (do mais interno para o mais externo). P → (¬P ∧ Q) P Q ¬P (¬P ∧ Q) V V F F V F F F F V V V F F V F 2.4) A resolução prossegue, do operador mais precedente para o menos precedente. Neste exemplo, a implicação é então resolvida. A coluna já existente é numerada a fim de facilitar a visualização. P → (¬P ∧ Q) 1 1 P Q ¬P (¬P ∧ Q) P → 1 V V F F F V F F F F F V V V V F F V F V 3) Verificar o conjunto de resultados. Neste caso, a sentença possui dois resultados verdadeiros e dois falsos. ERRADO Com a tabela‐verdade da sentença construída, as duas resoluções podem ser comparadas caso a caso. P → (¬P ∧ Q) P = V, Q = V P → ¬P ∧ Q V → ¬V ∧ V V → F ∧ V V → F F 1 P Q ¬P (¬P ∧ Q) P → 1 V V F F F V F F F F F V V V V F F V F V P = V, Q = F P → ¬P ∧ Q V → ¬V ∧ F V → F ∧ F V → F F 1 P Q ¬P (¬P ∧ Q) P → 1 V V F F F V F F F F F V V V V F F V F V P = F, Q = V P → ¬P ∧ Q F → ¬F ∧ V F → V ∧ V F → V V 1 P Q ¬P (¬P ∧ Q) P → 1 V V F F F V F F F F F V V V V F F V F V OBS: 8/2 = 4 (1ª coluna) 4/2 = 2 (2ª coluna) 2/2 = 1 (3ª coluna) Raciocínio Lógico - Alessandra WWW.IAPCURSOS.COM 7 R ac io cí ni o Ló gi co - IA P C U R SO S P = F, Q = F P → ¬P ∧ Q F → ¬F ∧ F F → V ∧ F F → F V 1 P Q ¬P (¬P ∧ Q) P → 1 V V F F F V F F F F F V V V V F F V F V Resumindo... P = V, Q = V P → ¬P ∧ Q V → ¬V ∧ V V → F ∧ V V → F F P = V, Q = F P → ¬P ∧ Q V → ¬V ∧ F V → F ∧ F V → F F 1 P Q ¬P (¬P ∧ Q) P → 1 V V F F F V F F F F F V V V V F F V F V P = F, Q = V P → ¬P ∧ Q F → ¬F ∧ V F → V ∧ V F → V V P = F, Q = F P → ¬P ∧ Q F → ¬F ∧ F F → V ∧ F F → F V 2.2 CLASSIFICAÇÕES DE SENTENÇAS As sentenças lógicas compostas por pelo menos um operador lógico, dependendo dos valores resultantes da última coluna das suas tabelas‐verdade, podem ser classificadas como tautologias, contradições ou contingências. 1) Tautologia: É toda sentença sempre verdadeira, independente dos valores das proposições simples que a compõem. Exemplo: João é alto ou João não é alto. Consideramos que “João é alto” é p. Assim, João não é alto será ¬p. P ¬P P ∨ ¬P V F V F V V Temos então que p∨¬p é uma tautologia. 2) Contradição: É toda a sentença sempre falsa, independente dos valores das proposições simples que a compõem. Exemplo: “João é alto e João não é alto.” Consideramos que “João é alto” é p. Assim, João não é alto será ¬p. P ¬P P ∧ ¬P V F F F V F Temos então que p∧¬p é uma contradição. 3) Contingência: É toda sentença com resultados mistos, ou seja, que não for uma tautologia nem uma contradição. Exemplo: Se João é alto então João não é alto. Consideramos que “João é alto” é p. Assim, João não é alto será ¬p. P ¬P P → ¬P V F F F V V Temos então que p→¬p é uma contingência. Exemplo: Classifique a sentença “Se Renato é poeta, Fernando é carioca. Portanto, se Fernando não é carioca, Renato não é poeta”. Representando simbolicamente, tem‐se: P: Renato é poeta. Q: Fernando é carioca. P → Q: Se Renato é poeta, Fernando é carioca. (TERMO 1) ¬Q: Fernando não é carioca. ¬P: Renato não é poeta. ¬Q → ¬P: Se Fernando não é carioca, Renato não é poeta. (TERMO 2) Os termos 1 e 2 estão conectados pela palavra “portanto”. DICA: os indicadores de conclusão (portanto, por conseguinte, assim, dessa maneira, assim sendo, segue‐se que, implica em, deduz‐se que, logo, de modo que, então, desta forma, por este motivo, assim, consequentemente, etc.), quando conectam duas sentenças (simples ou compostas), funcionam como implicação. Desta forma, tem‐se: Se Renato é poeta, Fernando é carioca. Portanto, se Fernando não é carioca, Renato não é poeta. (1) Portanto (2) (1) → (2) (P → Q) → (¬Q →¬P) A partir da sentença simbólica, a tabela‐verdade é construída. 1 2 P Q (P → Q) ¬Q ¬P ¬Q → ¬P (1→2) V V V F F V V V F F V F F V F V V F V V V F F V V V V V Classificação: Tautologia. 2.3 EQUIVALÊNCIAS Duas proposições são logicamente equivalentes (⇔, = ou simplesmente equivalentes) quando, compostas pelas mesmas proposições simples, possuem tabelas‐verdade com resultados idênticos. Exemplo: Dizer que “Ou Ana é artista ou Renato é engenheiro” equivale a dizer que “Renato não é engenheiro se e somente se Ana não for artista”? 1) Passando as sentenças para a representação simbólica, tem‐se: Ou Ana é artista ou Renato é engenheiro. = P ∨ Q Renato não é engenheiro se e somente se Ana não for artista. = ¬Q ↔ ¬P 2) Construindo as tabelas‐verdade, tem‐se: P Q (P ∨ Q) ¬Q ¬P ¬Q ↔ ¬P V V F F F V V F V V F F F V V F V F F F F V V V Raciocínio Lógico - Alessandra WWW.IAPCURSOS.COM 8 R ac io cí ni o Ló gi co - IA P C U R SO S 3) Pode‐se observar que as sentenças não são equivalentes pois os resultados de suas tabelas‐verdade não são iguais. Além disso, por serem absolutamente opostos, pode‐se dizer que uma sentença é a negação da outra. QUESTÃO ERRADA ATENÇÃO!!! EQUIVALÊNCIAS MAIS COMUNS: 1ª) p → q ⇔ ¬q → ¬p Se p, então q ⇔ Se não q, então não p. Exemplo: Se hoje é feriado então amanhã não é domingo ⇔ Se amanhã é domingo então hoje não é feriado. P Q (P → Q) ¬Q ¬P ¬Q → ¬P V V V F F V V F F V F F F V V F V V F F V V V V 2ª) p → q ⇔ ¬p ∨ q Se p, então q ⇔ Não p ou q. Exemplo: Se hoje é feriado então amanhã não é domingo ⇔ Hoje não é feriado ou amanhã não é domingo. P Q (P → Q) ¬P Q ¬P ∨ Q V V V F V V V F F F F FF V V V V V F F V V F V ATENÇÃO!!! Os dois casos mostrados acima são particularmente cobrados e, se conhecidos, eximem o candidato da necessidade de fazer a tabela‐verdade da sentença na hora da prova. Mas tenha cuidado, pois não são os únicos! Se outro caso qualquer for questionado as tabelas‐verdade das sentenças deverão ser construídas. 2.4 NEGAÇÕES DE SENTENÇAS Dizemos que duas proposições são uma a negação da outra quando são compostas pelas mesmas proposições simples e os resultados de suas tabelas‐verdade são opostos. Exemplo: A sentença “Ou Ana é artista ou Renato é engenheiro” é a correta negação da sentença “Renato não é engenheiro se e somente se Ana não for artista”? 1) Passando as sentenças para a representação simbólica, tem‐se: Ou Ana é artista ou Renato é engenheiro. P∨Q Renato não é engenheiro se e somente se Ana não for artista. ¬Q↔¬P 2) Construindo as tabelas‐verdade, tem‐se: P Q (P ∨ Q) ¬Q ¬P ¬Q ↔ ¬P V V F F F V V F V V F F F V V F V F F F F V V V 3) Pode‐se observar que as sentenças são opostas pois os resultados de suas tabelas‐verdade são contrários. QUESTÃO CERTA ATENÇÃO!!! NEGAÇÕES MAIS COMUNS: 1ª) ¬(p ∧ q) = ¬p ∨ ¬q A negação de P E Q é ¬p OU ¬q. Exemplo: A negação de “hoje é feriado e amanhã é domingo” é “hoje não é feriado ou amanhã não é domingo” P Q (P ∧ Q) ¬P ¬Q ¬P ∨ ¬Q V V V F F F V F F F V V F V F V F V F F F V V V 2ª) ¬(p ∨ q) = ¬p ∧ ¬q A negação de P OU Q é ¬p E ¬q. Exemplo: A negação de “hoje é feriado ou amanhã é domingo” é “hoje não é feriado e amanhã não é domingo” P Q (P ∨ Q) ¬P ¬Q ¬P ∧ ¬Q V V V F F F V F V F V F F V V V F F F F F V V V 3ª) ¬(p → q) = p ∧ ¬q A negação de SE P ENTÃO Q é P E ¬Q. Exemplo: A negação de “hoje é feriado ou amanhã é domingo” é “hoje não é feriado e amanhã não é domingo” P Q (P → Q) P ¬Q P ∧ ¬Q V V V V F F V F F V V V F V V F F F F F V F V F AULA 3 3. LÓGICA DE ARGUMENTAÇÃO Um argumento é uma sequencia de afirmações onde um grupo de sentenças (proposições iniciais) resulta em outra sentença (proposição final), que será consequência das primeiras. Em outras palavras, um argumento é a relação que associa um conjunto de proposições p, q, ..., chamadas premissas, a uma proposição c, chamada de conclusão. Os indicadores de premissas são: pois, desde que, como, porque, assumindo que, visto que, admitindo que, a razão é que, em vista de, supondo que, sabendo‐se que, como mostrado pelo fato de que, isto é verdade porque, etc. Os indicadores de conclusão são: portanto, por conseguinte, assim, dessa maneira, assim sendo, segue‐se que, implica em, deduz‐se que, logo, de modo que, desta forma, então, etc. Raciocínio Lógico - Alessandra WWW.IAPCURSOS.COM 9 R ac io cí ni o Ló gi co - IA P C U R SO S Observação: em um argumento, o operador de conjunção conecta premissas e o conjunto de premissas conecta‐se à conclusão através do operador de implicação. Observação: É extremamente importante saber identificar a conclusão do argumento, que pode estar apontada por um indicador de conclusão ou não. Neste caso, ou as premissas estarão indicadas (e o termo restante será a conclusão) ou a conclusão contém o termo maior e o menor, costumando apresentar‐se na última frase do argumento. Um argumento pode ser considerado válido ou inválido. Vale salientar que a validade ou invalidade de um argumento independe das verdades e/ou falsidades das premissas e/ou conclusão isoladamente. 3.1 VALIDADE DOS ARGUMENTOS 1) Argumento Válido Um argumento é válido (ou ainda legítimo ou bem construído), quando a sua conclusão for uma conseqüência obrigatória do seu conjunto de premissas, ou seja, quando a conclusão estiver garantida pelo contexto estabelecido pelas premissas. As premissas e a própria conclusão poderão ser visivelmente falsas (e até absurdas!), e o argumento, ainda assim, poderá ser considerado válido. Isto pode ocorrer porque, como já foi dito, o estudo dos argumentos não leva em conta a verdade ou a falsidade das premissas que compõem o argumento, mas tão somente a validade deste. Em um raciocínio dedutivo, não é possível estabelecer a verdade de sua conclusão se as premissas não forem consideradas verdadeiras. Portanto, para fins de teste de validade argumentativa, considera‐se que as premissas são verdadeiras (independente de, na realidade, serem ou não) e, ao final, verifica‐se se a conclusão é verdadeira (garantida) para aquele contexto. Exemplo: O argumento... p1: Todos os homens são pássaros. p2: Nenhum pássaro é animal. c: Portanto, nenhum homem é animal. ... está perfeitamente bem construído, já que a partir das premissas garantimos a conclusão. Neste caso, é um argumento válido, muito embora a veracidade das premissas e da conclusão sejam totalmente questionáveis. A lógica de argumentação não se preocupa com a verdade ou falsidade das premissas e/ou conclusão, mas tão somente com validade dos argumentos. Os argumentos também podem aparecer na forma simbólica como uma sentença única e, neste caso, serão ditos válidos se suas tabelas‐verdade resultarem em tautologia. Exemplo: (CESPE/UnB) Um argumento que tem como premissas: • Se Ana dorme, Carlos acorda. • Carlos não acorda. E como conclusão • Ana não dorme É válido. Nestes casos, pode‐se utilizar duas resoluções: 1ª) Ou, a partir da sentença que representa o argumento, é construída sua tabela‐verdade e, ao final, verifica‐se se consiste em uma tautologia (argumento válido)... A sentença que expressa o argumento é formada pelas premissas simbolicamente representadas conectadas pelo operador ∧ e este conjunto ligado à conclusão por uma implicação (→). Tem‐se então o argumento acima representado por: ((P→Q) ∧ ¬Q) → ¬P E sua tabela‐verdade preenchida: 1 2 P Q (P→Q) ¬Q (1 ∧ 2) ¬P (1 → 2) V V V F F F V V F F V F F V F V V F F V V F F V V V V V Trata‐se, portanto, se uma tautologia, ou seja, o argumento é VÁLIDO. QUESTÃO CERTA 1ª) Ou o argumento é resolvido como um simples conjunto de sentenças. Consideram‐se todas as sentenças verdadeiras (com exceção da conclusão)... • Se Ana dorme, Carlos acorda. (V) • Carlos não acorda. (V) • Ana não dorme. (?) ... e as operações existentes são resolvidas a partir da sentença mais simples (a conclusão, última sentença, só é verificada no FINAL). Se Ana dorme, Carlos acorda. (V) Carlos não acorda. (V) 1 ‐ V Ana não dorme. (? – conclusão) ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ Se Ana dorme, Carlos acorda. (V) 2 ‐ F Carlos não acorda. (V) 1 ‐ V Ana não dorme. (? – conclusão) ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ Se Ana dorme, Carlos acorda. (V) 3 ‐ F 2 ‐ F Carlos não acorda. (V) 1 ‐ V Ana não dorme. (? – conclusão) Raciocínio Lógico - Alessandra WWW.IAPCURSOS.COM 10 R ac io cí ni o Ló gico - IA P C U R SO S Ao término da resolução, verifica‐se que a conclusão “Ana não dorme“ é obrigatoriamente VERDADEIRA. Trata‐se, portanto, de um argumento VÁLIDO, pois as verdades das premissas garantem a verdade da conclusão. QUESTÃO CERTA 2) Argumento Inválido Um argumento é inválido (ou ilegítimo, mal construído, falacioso, sofisma ou paralogismo) quando, considerando as premissas como verdadeiras, ainda assim não for suficiente para garantir a verdade da conclusão. Exemplo: p1: Todas as crianças gostam de chocolate. p2: Patrícia não é criança. c: Portanto, Patrícia não gosta de chocolate. Este é um argumento inválido, falacioso, mal construído, pois as premissas não garantem (não obrigam) a verdade da conclusão. Patrícia pode gostar de chocolate mesmo que não seja criança, pois a primeira premissa não afirmou que somente as crianças gostam de chocolate. Argumentos com quantificadores: Os argumentos que envolvem o uso de quantificadores (Todo, algum ou nenhum) podem ser mais rapidamente resolvidos utilizando‐se os Diagramas de Euler‐ Venn (Teoria dos Conjuntos). 3.2 ARGUMENTOS COM QUANTIFICADORES 1) TODO (qualquer que seja, tudo, todas, os, quem, ...) 1) TODO A é B. Significa que qualquer que seja o elemento de A, ele pertence obrigatoriamente a B. OU Garantias Possibilidades i. ALGUM A É B i. É POSSÍVEL QUE TODO B SEJA A. ii. ALGUM B É A ii. PODEM EXISTIR B’s QUE NÃO SEJAM A’s. iii. NENHUM A NÃO É B iii. É POSSÍVEL QUE TODO A SEJA B E QUE TODO B SEJA A. 2) 2) ALGUM (pelo menos um, algo, alguns, existem, há, ...) 3) ALGUM A É B (pelo menos um A é B). Significa que existe pelo menos um elemento que é comum a A e B. 4) Observação 1: Se TODO A é B, pode‐se afirmar que ALGUM A é B. 5) Observação 2: O algum representa uma parte comum, mas desconhece‐se o tamanho dessa parte. Pode haver, por exemplo, apenas um elemento comum. É possível também que todos os elementos sejam comuns. Logo, não é possível a garantia da quantidade de elementos comuns. 6) OU OU OU Garantias Possibilidades ii. ALGUM B É A i. É POSSÍVEL QUE TODO B SEJA A. ii. PODEM EXISTIR B’s QUE NÃO SEJAM A’s. iii. É POSSÍVEL QUE TODO A SEJA B E QUE TODO B SEJA A. iv. É POSSIVEL QUE TODO A SEJA B. v. É POSSÍVEL QUE EXISTAM A’s QUE NÃO SEJAM B’s. 3) NENHUM (nada, não existe, ninguém, ...) 7) NENHUM A É B. Significa que não existe elemento que pertença simultaneamente a A e B. 8) Observação: quando NENHUM A é B pode‐se afirmar que TODO A NÃO É B. 9) Garantias Possibilidades i. ALGUM A NÃO É B. (NÃO HÁ) ii. TODO A NÃO É B. iii. ALGUM B NÁ É A. iv. TODO B NÃO É A. v. NENHUM B é A. 3.3 NEGANDO QUANTIFICADORES 1) Negação de “Todo”: Quem nega o todo é o ALGUM (discordando do verbo). Exemplo: Todo ator é charmoso. Negação: Algum ator não é charmoso. 2) Negação de “Nenhum”: Quem nega o nenhum é o ALGUM (concordando com o verbo). Exemplo: Nenhum ator é charmoso. Negação: Algum é charmoso. 3) Negação de “Algum”: O algum pode ser negado utilizando‐se o todo (e discordando do verbo) ou o nenhum (e concordando com o verbo). Raciocínio Lógico - Alessandra WWW.IAPCURSOS.COM 11 R ac io cí ni o Ló gi co - IA P C U R SO S Exemplo 1: Algum ator é charmoso. Negação: Nenhum ator é charmoso. Negação: Todo ator não é charmoso. Exemplo 2: Algum ator não é charmoso. Negação: Todo ator é charmoso. Negação: Nenhum ator não é charmoso. 3.4 REPRESENTAÇÃO SIMBÓLICA DE QUANTIFICADORES 1) TODO É (∀) Proposição categórica Representação simbólica Leitura Todo A é B ∀χ(A(x)→B(x)) Qualquer que seja x, se ele pertence a A, pertence necessariamente também a B. Exemplo: Todo humano é inteligente. Considerando H(x) como “x é humano” e I(x) como “x é inteligente”, tem‐se então ∀χ(H(x)→I(x)). 2) ALGUM É (∃) Proposição categórica Representação simbólica Leitura Algum A é B ∃χ(A(x)ΛB(x)) Existe um elemento x tal que x pertence a A e também pertence a B. Exemplo: Algum humano é inteligente. Considerando H(x) como “x é humano” e I(x) como “x é inteligente”, tem‐se então ∃χ (H(x) Λ I(x)). 3) NENHUM É (¬∃) Proposição categórica Representação simbólica Leitura Nenhum A é B ¬∃χ (A(x)ΛB(x)) ou ∀χ(A(x) → ¬B(x)) Não existe um elemento x tal que x pertence a A e também pertence a B. Exemplo: Nenhum humano não é inteligente. Considerando H(x) como “x é humano” e I(x) como “x é inteligente”, tem‐se então ¬∃χ (H(x) Λ I(x)). MÓDULO II RACIOCÍNIO LÓGICO NÃO FORMAL AULA 1 1. HIPÓTESES • Regras do enunciado: o problema normalmente apresenta informações sobre algumas pessoas sempre falarem a verdade, outras sempre mentirem e/ou outras às vezes falarem a verdade e às vezes mentirem. • Respostas: informações dadas aos questionamentos feitos a essas pessoas. • Análise do enunciado: deduções, através de inferências lógicas, sobre quem gerou tal situação. Para tanto, partiremos de hipóteses, supondo que cada pessoa envolvida seja verdadeira ou mentirosa, culpada ou inocente, etc. • Modo de resolução: Proceder com uma leitura detalhada do enunciado e identificar claramente a exceção a ser encontrada. DICAS DE INÍCIO: • Começar pelo que fala sobre o que o outro falou; • Perguntas com respostas fixas o Você fala a verdade? o Você mente? • Informações contraditórias/idênticas; • Começar pelo que fala sobre si mesmo; • Começar pelo que fala sobre o outro (observar o problema pela perspectiva do elemento excludente do conjunto). • Análise de possibilidades (resolução mais longa). Exemplo: Em uma urna existem quatro fichas: duas pretas idênticas e duas brancas idênticas. Renata e Fernanda têm comportamentos estranhos quando carregam as fichas. Sabe‐se que, quando Fernanda carrega a ficha branca, ela fala a verdade, mas quando carrega a preta, mente. Já Renata, quando carrega a ficha branca mente e quando carrega a preta, fala a verdade. Em um dado momento, cada uma delas retira uma ficha da urna. Perguntamos a cada uma delas se as fichas que carregam são idênticas. Eis as respostas: Fernanda: ‐ Nossas fichas são da mesma cor. Renata: ‐ Nossas fichas têm cores diferentes. Deste modo, quem mente e qual ficha cada uma carrega? Resolvendo... Pode‐se proceder com a avaliação das possibilidades (hipóteses): H1 H2 H3 H4 Fernanda: cores = BRANCA V BRANCA V PRETA M PRETA M Renata: cores # BRANCA M PRETA V PRETA V BRANCA M Analisando... 1 ‐ Considerando que as afirmações (“cores =” e “cores #”) são mutuamente excludentes, pode‐se concluir que as hipóteses 2 e 4 (H2 e H4) estão erradas, já que ambas as declarações não podem, ao mesmo tempo, afirmar verdades. Tampouco podem, ao mesmo tempo, afirmar mentiras. Ou seja, as fichas não podem ser iguais e diferentes ao mesmo tempo e não podem, também, nem serem iguais e nem diferentes. 2 ‐ Restam as hipóteses 1 e 3. Observando as duas, pode‐se concluir que ou as fichas são, ambas, brancas, ou são, ambas, pretas. De uma forma ou de outra, serão iguais. Assim, chega‐se à última conclusão: Quem fala que as fichas têm coresiguais (Fernanda) fala a verdade. Portanto, a hipótese H1 é a correta. Resposta: As fichas são, ambas, brancas. Fernanda fala a verdade e Renata mente. Raciocínio Lógico - Alessandra WWW.IAPCURSOS.COM 12 R ac io cí ni o Ló gi co - IA P C U R SO S AULA 2 2. CORRELACIONAMENTO São problemas nos quais são passadas informações de diferentes tipos, como por exemplo: nomes, carros, cores, qualidades, profissões, atitudes, atividades, etc. O objetivo do problema é descobrir o correlacionamento entre as informações dadas. O método mais comum para a resolução destas questões utiliza uma grade de correlação construída a partir dos grupos e elementos citados. Observação: Estes problemas podem vir simples ou mistos. No segundo caso, tem‐se regras diversas no enunciado ou sequencias lógicas implícitas. 2.1 PROBLEMAS SIMPLES São resolvidos apenas com as respectivas grades de resolução: Ex: Três homens, Marcos, Pedro e Fernando, têm um Gato, um Papagaio e uma Iguana, mas não sabemos quem tem o que. Eles são de Manaus, Recife e Natal, mas também não sabemos quem mora aonde. Com base nas dicas abaixo, tente descobrir onde cada um mora e o seu respectivo bicho de estimação. • O natalense tem uma Iguana. • Fernando é de Recife. • O Papagaio não é de Fernando. • Pedro não é de Natal. Resolução: PASSO 1: Separa‐se os grupos do problema. ‐ Homens (Marcos, Pedro e Fernando); ‐ Animais de Estimação (Gato, Papagaio, Iguana); ‐ Cidades (Manaus, Recife e Natal). PASSO 2: Identifica‐se o possível grupo principal que, para facilitar a resolução da questão, deverá ficar na primeira coluna da tabela. O grupo principal é normalmente identificado partindo do princípio que os outros grupos se referem a este (os animais são dos homens – se relacionam com os homens ‐ e as cidades também). Os outros grupos devem ficar na primeira linha. Nesta questão, o grupo principal é “homens” e os grupos secundários são “animais” e “cidades”. PASSO 3: Constrói‐se a grade de resolução. Na grade, o grupo principal fica na primeira coluna com os elementos dispostos em linhas e os grupos secundários ficam nas colunas subseqüentes, com os elementos dispostos em colunas. ANIMAIS CIDADES G at o Pa pa ga io Ig ua na M an au s Re ci fe N at al HOMENS Marcos Pedro Fernando PASSO 4: Início do preenchimento da grade de resolução. Vale lembrar que a resolução das dicas pode não preencher completamente a grade, mas estes problemas são raros. Dadas as dicas do problema, a grade é preenchida com as afirmações que não deixam margens de dúvidas. As que não estiverem muito claras no momento devem ser marcadas para que possam ser lidas posteriormente. TODAS DEVERÃO SER CUIDADOSAMENTE LIDAS, INDEPENDENTE DA ORDEM. A primeira dica, “O natalense tem uma iguana”, não pode ser resolvida primeiro. Ainda não sabemos quem é o natalense e ainda não sabemos de quem é a iguana. Precisaremos voltar a esta dica para terminar a resolução do problema, portanto vamos grifá‐la. Segunda dica: Fernando é de Recife. Marquemos na Tabela Principal um “S” (sim) na célula comum a Fernando e Recife. Se Fernando é de Recife, pode‐se concluir que ele não é de Manaus e nem de Natal. Concluímos ainda que, se Fernando é de Recife, nem Marcos e nem Pedro o são. Marque essas células com um “N” (não) na Tabela Principal. Terceira dica: O Papagaio não é de Fernando. Marquemos um “N” na célula comum a Fernando e Papagaio. ANIMAIS CIDADES G at o Pa pa ga io Ig ua na M an au s Re ci fe N at al HOMENS Marcos N Pedro N Fernando N N S N Quarta dica: Pedro não é de Natal. Marquemos um “N” na célula comum a Pedro e Natal. Só sobrou uma cidade para Pedro. Ele é de Manaus. Continuando o raciocínio, se Pedro é de Manaus, nem Fernando e nem Marcos o são. Marquemos as negações. Sobre Marcos, portanto, concluímos na Tabela Principal que ele é de Natal. ANIMAIS CIDADES G at o Pa pa ga io Ig ua na M an au s Re ci fe N at al HOMENS Marcos N N S Pedro S N N Fernando N N S N De acordo com a dica “a”, a) O natalense tem uma Iguana. Se Marcos é o natalense, ele tem uma Iguana. E se ele tem uma Iguana, nenhum outro tem Iguana. E ele, por sua vez, não tem Gato ou Papagaio. Continuemos marcando as negações. Raciocínio Lógico - Alessandra WWW.IAPCURSOS.COM 13 R ac io cí ni o Ló gi co - IA P C U R SO S Para Fernando, portanto, restou o Gato (pois que já sabíamos que ele não tinha Papagaio). Se Fernando tem um Gato, ninguém mais o tem. Finalizando, para Pedro sobrou o Papagaio. As respostas estão na grade marcadas com “S”, ou seja, Marcos tem uma iguana e é de Natal, Pedro tem um papagaio e é de Manaus e Fernando tem um gato e é de Recife. ANIMAIS CIDADES G at o Pa pa ga io Ig ua na M an au s Re ci fe N at al HOMENS Marcos N N S N N S Pedro N S N S N N Fernando S N N N S N 2.2 PROBLEMAS MISTOS Fornecem regras e/ou sequencias lógicas. Exemplo: Cinco irmãos exercem, cada um, uma profissão diferente. Luís é paulista, como o agrônomo, e é mais moço do que o engenheiro e mais velho do que Oscar. O agrônomo, o economista e Mário residem no mesmo bairro. O economista, o matemático e Luís são, todos, torcedores do Flamengo. O matemático costuma ir ao cinema com Mário e Nédio. O economista é mais velho do que Nédio e mais moço do que Pedro; este, por sua vez, é mais moço do que o arquiteto. Logo: a) Mário é engenheiro, o matemático é mais velho do que o agrônomo, o economista é mais novo do que Luís; b) Oscar é engenheiro, o matemático é mais velho do que o agrônomo, e Luís é mais velho do que o matemático; c) Pedro é matemático, o arquiteto é mais velho do que o engenheiro e Oscar é mais velho do que o agrônomo; d) Luís é arquiteto, o engenheiro é mais velho do que o agrônomo e Pedro é mais velho do que o matemático; e) Nédio é engenheiro, o arquiteto é mais velho do que o matemático e Mário é mais velho do que o economista. PASSO 1: Identificar os grupos. Só serão grupos os que possuírem o mesmo número de elementos. Portanto, nesta questão, tem‐se CINCO pessoas e CINCO profissões. Logo: PROFISSÕES A gr ôn om o Ec on om is ta M at em át ic o En ge nh ei ro A rq ui te to HOMENS Luís Mário Nédio Oscar Pedro PASSO 2: Resolução das dicas. Ao reler as dicas, deve‐se observar que apesar de existir uma sequencia de idades, não existe, entretanto, a especificação das mesmas. Só está colocado que uns são mais velhos do que outros e vice‐versa. Portanto, tem‐se um problema misto com sequencia. Logo, precisamos da reta sequencial. Mais moços Maisvelhos Dica 1: Luís é paulista, como o agrônomo, e é mais moço do que o engenheiro e mais velho do que Oscar. Logo... ... Luís não é agrônomo (pois estão sendo comparados); ... Luís não é engenheiro (pois é mais moço que ele); ... Oscar não é engenheiro (pois é mais moço que ele); PROFISSÕES A gr ôn om o Ec on om is ta M at em át ic o En ge nh ei ro A rq ui te to HOMENS Luís N N Mário Nédio Oscar N Pedro Mais moços OSCAR LUIS ENG. Mais velhos Dica 2: ‐ O agrônomo, o economista e Mário residem no mesmo bairro. Logo... ... Mário não é agrônomo (pois estão sendo comparados); ... Mário não é economista (idem anterior); PROFISSÕES A gr ôn om o Ec on om is ta M at em át ic o En ge nh ei ro A rq ui te to HOMENS Luís N N Mário N N Nédio Oscar N Pedro Dica 3: ‐ O economista, o matemático e Luís são, todos, torcedores do Flamengo. Logo... ... Luís não é economista (pois estão sendo comparados); ... Luís não é matemático (idem anterior); ... Logo, Luís só pode ser Arquiteto e, assim, ninguém mais é arquiteto. Raciocínio Lógico - Alessandra WWW.IAPCURSOS.COM 14 R ac io cí ni o Ló gi co - IA P C U R SO S PROFISSÕES A gr ôn om o Ec on om is ta M at em át ic o En ge nh ei ro A rq ui te to HOMENS Luís N N N N S Mário N N N Nédio N Oscar N N Pedro N Dica 4: ‐ O matemático costuma ir ao cinema com Mário e Nédio. Logo... ... Mário não é matemático (pois estão sendo comparados); ... Nédio não é matemático (idem anterior); ... Logo, Mário só pode ser Engenheiro e ninguém mais o é. PROFISSÕES A gr ôn om o Ec on om is ta M at em át ic o En ge nh ei ro A rq ui te to HOMENS Luís N N N N S Mário N N N S N Nédio N N N Oscar N N Pedro N N Dica 5: O economista é mais velho do que Nédio e mais moço do que Pedro; este, por sua vez, é mais moço do que o arquiteto.. Logo... ... Nédio não é Economista (pois é mais moço que ele); ... Pedro não é Economista (pois e mais velho que ele); ... Pedro não é arquiteto (pois é mais moço que ele). ... Nédio só pode ser Agrônomo, e ninguém mais o é. ... Pedro só pode ser Matemático, e ninguém mais o é. ... Oscar só pode ser Economista. PROFISSÕES A gr ôn om o Ec on om is ta M at em át ic o En ge nh ei ro A rq ui te to HOMENS Luís N N N N S Mário N N N S N Nédio S N N N N Oscar N S N N N Pedro N N S N N A grade está completa. Mas ainda não foi descoberta a sequencia completa das idades. Mais moços OSCAR LUIS ENGENHE Mais velhos NEDIO ECONOMISTA PEDRO ARQUIT Logo, como sabemos que Luís é o arquiteto, que o engenheiro (Mário) é mais velho do que ele e que Oscar é o economista, ficando entre Pedro e Nédio, a sequencia termina assim: NÉDIO OSCAR PEDRO LUÍS MÁRIO AGRÔN. ECON. MATEM. ARQUIT. ENG. MAIS MOÇO MAIS VELHO RESPOSTA: A) MÁRIO É ENGENHEIRO, O MATEMÁTICO É MAIS VELHO DO QUE O AGRÔNOMO, O ECONOMISTA É MAIS NOVO DO QUE LUÍS. RESOLUÇÕES CORRELACIONAMENTO (Módulo II – Aula 2) 1. ROBERTO FÁBIO GUSTAVO VERM VERDE AZUL CIGARROS MOTOS PÃES ESQ N S N N N S S N N CENTRAL N N S N S N N N S DIR S N N S N N N S N FÁBIO Ñ PÃES, GUST Ñ AZUL, GUST Ñ CIGARROS, FÁBIO Ñ VERM 2. ALPINISMO JUDÔ CICLISMO BRA ESP PORT SARA N N S N N S MARA S N N S N N LARA N S N N S N 3. 50, 60, 80, 100, 150, AJ PROF ADV DENT MED 25 28 30 32 33 Ame N N S N N N N N S N S N N N N Bas N N N S N N N S N N N S N N N Car S N N N N S N N N N N N S N N Dan N S N N N N S N N N N N N S N Eli N N N N S N N N N S N N N N S AJ = 30 = 50,00 ADV < 150,00 32 – PROF/MÉD ELI > 60,00 25 – DENT Raciocínio Lógico - Alessandra WWW.IAPCURSOS.COM 15 R ac io cí ni o Ló gi co - IA P C U R SO S 4. NORTE SUL LESTE FINANC COBRA OUVID CLOVIS N S N N S N RUI N N S S N N RAIMUNDO S N N N N S LESTE Ñ OUVIDORIA 5. 6. DESENV REDES S.BASICO WIND MAC LINUX JULIO N N S S N N CARLOS S N N N S N MARIANA N S N N N S DESENV = MAC 7. ATIBAIA BATATAIS CATAND DRACENA EMBU ADV BIB CONT DENT ENG ALMIR N N N S N N S N N N BRANCO S N N N N N N N N S CAIO N S N N N N N N S N DANILO N N N N S N N S N N EDÍLSON N N S N N S N N N N OCUPAÇÃO # CIDADE 8. 9. 10. 10 20 30 Dep. Fat. Hipot. Antônio N N S N N S Benedito N S N N S N Camilo S N N S N N 11. VOCAL GUIT TEC BAT 25 26 28 23 ÓCULOS GRAV GOLA BOTAS CÉLIA S N N N N N N S N N N S DÉCIO N S N N N S N N S N N N ROBERTO N N S N N N S N N N S N BENÍCIO N N N S S N N N N S N N GRAVATA = 25 GUIT = 26 TEC = GOLA 12. ALBERTO GUSTAVO CARLOS TIAGO 1) CELINA x ALBERTO 2) ANA X MARIDO JULIA 3) ESPOSA ALB X MARIDO ANA 4) CELINA X CARLOS 5) ESPOSA GUST X ALBERTO CELINA N N N S ANA N S N N JÚLIA N N S N HELENA S N N N 13. 14. 15. 16. 17. ADV ARQ ENG MED BRA CAM GOI VIT VIO XAD PINT ART ANDRÉ S N N N N N S N N N N S BRUNO N N N S N S N N S N N N CARLOS N N S N N N N S N S N N DAVI N S N N S N N N N N S N 18. BAT GUIT VOCAL CIVIL ENG ELET ANTONIO N N S S N N JOÃO N S N N N S PEDRO S N N N S N 19. 20. RIC ROB RON 5 6 7 ANA N N S N N S BERTA N S N N S N CARLA S N N S N N
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