02 Equilibrio do ponto material

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SET 0183 – Mecânica dos Sólidos I 15 
 
Capítulo 2 – Equilíbrio do Ponto Material_____________________________________ 
 
 
 
 
2. – Equilíbrio do Ponto Material 
 
2.1 – Introdução 
 
Um ponto material, ou um ponto pertencente ao um corpo, está em equilíbrio se, 
e somente se, pelo menos uma das condições abaixo é verificada: 
A. Se o ponto está em repouso e permanece em repouso. 
B. Se o ponto está em movimento retilíneo uniforme, ou seja, sua 
velocidade deve ser constante. 
De acordo com as duas condições acima apresentadas, o ponto material deve 
apresentar aceleração, a

, nula para estar em equilíbrio. Portanto, utilizando-se a 2ª lei 
de Newton pode-se escrever que: 
 F ma   (2.1) 
Assumindo que o ponto material está em equilíbrio, então 0a  . Considerando 
que a massa do ponto não é nula tem-se: 
 0 0ma F    (2.2) 
Decorre, da 2ª lei de Newton, que se o ponto material está em equilíbrio então a 
somatória das forças atuantes sobre o dado ponto deve ser nula, ou seja, 0F   . Esta 
é uma condição necessária ao equilíbrio. 
Para mostrar que o resultado apresentado na Eq. (2.2) é também uma condição 
suficiente ao equilíbrio do ponto material, deve-se utilizar a 1ª lei de Newton, a qual 
enuncia que: 
“Todo ponto permanece em seu estado de repouso ou de movimento retilíneo 
uniforme, a menos que seja obrigado a mudar seu estado por forças a ele impressas.” 
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Capítulo 2 – Equilíbrio do Ponto Material_____________________________________ 
Consequentemente, decorre da primeira lei de Newton que 0F   é uma 
condição necessária e também suficiente para o equilíbrio do ponto material. 
 
2.2 – Equilíbrio Estático do Ponto Material 
 
O termo equilíbrio estático é utilizado para descrever a condição de equilíbrio de 
um objeto que encontra-se em repouso. Esta é uma condição desejável em grande parte 
das estruturas utilizadas em engenharia, especialmente as civis. O ponto material está 
em equilíbrio estático se as seguintes condições estáticas e cinemáticas forem atendidas: 
 Condição estática: 0F   . 
 Condição cinemática: 0u  . 
sendo u

 o vetor que contém os deslocamentos dos ponto material. 
Para a análise de problemas bidimensionais, as condições apresentadas acima 
podem ser particularizadas como: 
 Condição estática: 0xF  , 0yF  . 
 Condição cinemática: 0xu  , 0yu  . 
Para a verificação sobre a veracidade das duas condições acima em um ponto 
material, uma interessante estratégia é o emprego do diagrama de corpo livre. Esse 
diagrama envolve um esboço do sistema de ações atuante em torno do ponto material, 
ou seja, mostra o ponto material e sua vizinhança sendo todas as ações aplicadas no 
ponto definidas e representadas segundo sua direção, intensidade e sentido. 
Deve-se notar que como estão envolvidas apenas duas somatórias de força, para 
o caso plano, somente duas grandezas poderão ser identificadas no problema. Porém, 
um número maior de grandezas poderá ser identificado e mensurado utilizando as 
condições de equilíbrio estático. Para que isso seja possível, condições subsidiárias 
devem ser impostas, relacionando as diversas ações e reações. 
 
2.2.1 – Exemplo 1 
 
Um conjunto de cabos suporta um caixa cujo peso é igual a 1,0 kN. As 
dimensões dos cabos bem como sua disposição estão apresentadas na Fig. (2.1). 
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Capítulo 2 – Equilíbrio do Ponto Material_____________________________________ 
Determine as forças atuantes ao longo dos cabos AC

 e BC

efetuando o equilíbrio 
estático do ponto C. 
 
Figura 2.1 Geometria e ações para o exemplo 1. 
 
Para a solução deste problema, deve-se, inicialmente, construir o diagrama de 
corpo livre do sistema de cabos e força. O diagrama de corpo livre para o problema 
considerado está ilustrado na Fig. (2.2). 
 
Figura 2.2 Diagrama de corpo livre. 
 
Utilizando relações trigonométricas básicas obtêm-se os valores relacionados 
aos ângulos  e mostrados na Fig. (2.2)Assim: 
  0,625sen    cos 0,781    0,8sen    cos 0,6  
A partir dos valores das relações trigonométricas apresentados acima, pode-se 
decompor as forças atuantes e apresentadas no diagrama de corpo livre segundo as 
direções x e y. Efetuando este procedimento, e aplicando a condição de somatória de 
forças nula, tem-se: 
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Capítulo 2 – Equilíbrio do Ponto Material_____________________________________ 
   
   
0 cos cos 0
0 1 0
x BC AC
y BC AC
F F F
F F sen F sen
 
 
   
    

 
Manipulando o sistema de equações anterior de forma a torná-lo mais 
conveniente, pode-se escrever que: 
   
   
cos cos 0
1
BC
AC
F
sen sen F
 
 
              
Resolvendo este sistema algébrico simples, envolvendo duas equações e duas 
incógnitas, obtêm-se: 
0,782
0,6
BC
AC
F kN
F kN

 
 
2.2.2 – Exemplo 2 
 
Para o conjunto de forças atuantes no ponto material mostrado na Fig. (2.3), 
determine a intensidade da força 3F de forma que a resultante das forças atuantes neste 
ponto seja a mínima possível. Considere 1 20F kN e 2 12F kN . 
 
Figura 2.3 Conjunto de forças atuantes em um ponto material. 
 
Para a resolução desse problema, as forças atuantes no ponto material devem ser 
decompostas em relação às direções x e y, ou em relação aos versores unitários i e j. 
Para a força 1F , suas componentes podem ser obtidas com base no apresentado na Fig. 
(2.4). Utilizando relações trigonométricas básicas obtém-se que   35sen   e
  4cos 5  . Assim, as componentes do vetor 1F são iguais a:
 
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Capítulo 2 – Equilíbrio do Ponto Material_____________________________________ 
 
Figura 2.4 Componentes da força 1F . 
 
   1 1 1 1 1cos , 16 12x yF F F F sen F i j      
Para a força 2F procedimento semelhante deve ser efetuado. Com base na 
ilustração apresentada na Fig. (2.5), verifica-se que as componentes dessa força são 
iguais a: 
2 0 12F i j 

 
 
Figura 2.5 Componentes da força 2F . 
 
Considerando a força 3F , esta deve também ser decomposta segundo as direções 
i e j. Sabendo que seu ângulo de inclinação em relação a estes eixos é de 45º, como 
mostra a Fig. (2.6), suas componentes podem ser descritas como: 
 
Figura 2.6 Componentes da força 3F . 
 
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Capítulo 2 – Equilíbrio do Ponto Material_____________________________________ 
   3 3 3 3 3 3 32 2cos 45º , 45º 2 2x yF F F F sen F F i F j     

 
Assim, o vetor resultante das forças atuantes no ponto material considerado pode 
ser calculado como: 
1 2 3 3 3
2 216 0 12 12
2 2
F F F F F F i F j
                     
    
 
O que resulta em: 
3 3
2 216
2 2
F F i F j
              

 
A intensidade do vetor resultante é calculada somando-se o quadrado de cada 
uma de suas componentes e em seguida extraindo sua raiz quadrada. Efetuando este 
procedimento tem-se:2 2
3 3
2 216
2 2
F F F
              

 
Manipulando algebricamente o termo anterior obtém-se: 
2 2
23 3
3 3 3256 16 2 16 2 2562 2
F FF F F F F         
O mínimo valor da intensidade de F

 pode ser obtido usando-se os 
conhecimentos do cálculo diferencial, os quais prescrevem que o extremo de uma 
função (mínimo ou máximo) ocorre quando sua derivada é nula. Assim, calculando o 
valor da parcela 
3
0
d F
dF


 tem-se: 
   
 
 
 
 
1
22
3 3 3
3
3
23
3 3
3
23
3 3
1 16 2 256 2 16 2 0
2
2 16 21 0
2 16 2 256
8 2
0
16 2 256
d F
F F F
dF
Fd F
dF F F
Fd F
dF F F
     
  
 
 
 



 
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Capítulo 2 – Equilíbrio do Ponto Material_____________________________________ 
Portanto, para que a intensidade da força resultante seja mínima, isto é nula, a 
razão acima deve possuir numerador nulo. Dessa forma, a intensidade será também 
nula. Portanto: 
3 38 2 0 11,31F F kN    
Para que a solução obtida anteriormente seja válida, o valor de 3F obtido deve 
tornar o denominador não nulo e o termo dentro da raiz um número maior que zero. 
Fazendo esta verificação tem-se: 
211,31 16 2.11,31 256 128   
Portanto, a solução obtida é factível. 
 
2.3 – Equilíbrio de Corpo Rígido 
 
A união entre conjuntos de pontos materiais forma um corpo. Assim, o 
equilíbrio de um corpo poderá ser compreendido a partir dos conceitos discutidos na 
seção anterior, uma vez que, se todos os pontos materiais do corpo estiverem em 
equilíbrio, o corpo estará também em equilíbrio e vice-versa. 
Para o entendimento do equilíbrio de um corpo, deve-se considerar o corpo 
rígido apresentado na Fig. (2.7), o qual está em equilíbrio e submetido a um conjunto de 
ações externas, F, e a condições de vinculação. 
 
Figura 2.7 Corpo rígido em equilíbrio. 
 
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Capítulo 2 – Equilíbrio do Ponto Material_____________________________________ 
Se o corpo está em equilíbrio, qualquer parte isolada deste deve também estar 
em equilíbrio. Assim, seccionando-o como indicado na Fig. (2.8), em duas partes, 
ambas as partes, quando analisadas de forma isolada, devem permanecer em equilíbrio. 
Para que a condição de equilíbrio seja mantida em cada uma das porções do 
corpo, surgem forças i

, denominadas forças internas, que reestabelecem o equilíbrio. 
Assim, se o corpo está em equilíbrio estático, a seguinte condição deve ser observada: 
 0i iF     (2.3) 
 
Figura 2.8 Corpo rígido seccionado. 
 
Porém, deve-se enfatizar que as forças internas, i

, surgem aos pares (pela 3ª 
Lei de Newton: ação e reação). Consequentemente, os pares de forças internas possuem 
mesma direção e intensidade, mas sentidos opostos. Dessa forma, 0i   por 
definição. Assim, uma condição necessária para que o equilíbrio estático ocorra é a 
apresentada pela Eq.(2.4): 
 0iF   (2.4) 
Com relação à condição de equilíbrio estático, existe ainda outro quesito que 
deve ser atendido para que esta condição seja observada. Este quesito está relacionado 
às condições cinemáticas do problema. Para entender esta condição, deve-se considerar 
o corpo rígido apresentado na Fig. (2.9). Trata-se de um corpo plano submetido a um 
binário F. 
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Capítulo 2 – Equilíbrio do Ponto Material_____________________________________ 
Considerando o corpo apresentado na Fig. (2.9), verifica-se que a Eq. (2.4) é 
atendida. Porém, é intuitivo perceber que, sob a ação dessas forças, o corpo gira no 
sentido anti-horário. Na Fig. (2.10) são mostradas as configurações deslocada e 
indeslocada do corpo analisado. Portanto, embora a Eq.(2.4) seja atendida, o corpo em 
questão não atende às condições cinemáticas do equilíbrio estático, ou seja, 0x yu u  . 
 
Figura 2.9 Corpo rígido submetido a forças F. 
 
 
Figura 2.10 Movimentação cinemática do corpo. 
 
Para que as condições cinemáticas sejam também atendidas, de forma a 
possibilitar o equilíbrio estático, o balanço de uma entidade denominada momento deve 
também ser verificado. O momento de uma força em relação a um ponto, ou eixo, 
fornece uma medida da tendência dessa força em provocar a rotação de um corpo em 
torno do ponto ou eixo. Considerando o sistema apresentado na Fig. (2.11), o momento 
pode ser definido matematicamente como apresentado na Eq.(2.5): 
 
Figura 2.11 Momento causado por uma força. 
 
 A AM F d M Fd    (2.5) 
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Capítulo 2 – Equilíbrio do Ponto Material_____________________________________ 
Dessa forma, a somatória dos momentos em relação a qualquer ponto do espaço 
deve ser nula para que haja o equilíbrio estático. Assim, considerando os termos 
apresentados na Eq.(2.3) tem-se: 
   0 0i i i i i i id F d F d           (2.6) 
Como as forças internas surgem aos pares (3ª Lei de Newton) e têm sentidos 
opostos, a parcela decorrente dos momentos internos é nula. Dessa forma: 
 0i id F M    (2.7) 
Portanto, as duas equações de equilíbrio necessárias para a verificação do 
equilíbrio estático de um corpo rígido podem ser expressas por: 
 
0
0
F
M





 (2.8) 
Deve-se enfatizar que as expressões mostradas na Eq.(2.8) exprimem condições 
necessárias e suficientes para a realização do equilibro estático de um corpo rígido. Para 
mostrar que essas condições são necessárias e suficientes, deve-se considerar um corpo 
em equilíbrio, como mostrado na Fig. (2.7). Nessa situação, as seguintes condições são 
verificadas: 
 0F   e 0M  (2.9) 
Se uma força e um momento forem adicionados a este corpo, pode-se reescrever 
as Eq. (2.9) da seguinte forma: 
 0F F 

 e 0M M  (2.10) 
onde F e M são as forças e momentos adicionados, respectivamente. 
Como o corpo estava previamente em equilíbrio, antes da aplicação dessas 
ações, conclui-se que: 
0F   e 0M  
Consequentemente: 
0F 

 e 0M  
Para os problemas que serão tratados nesse curso, problemas bidimensionais, as 
Eq.(2.8) podem ser particularizadas como: 
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Capítulo 2 – Equilíbrio do Ponto Material_____________________________________ 
 
0
0
0
x
y
z
F
F
M






 (2.11) 
Com relação ao equilíbrio cinemático de um corpo plano, observa-se que um 
elemento infinitesimal pertencente a este corpo apresenta três deslocamentos possíveis, 
conforme indicado na Fig. (2.12): 
 
Figura 2.12 Equilíbrio cinemático no elemento infinitesimal. 
 
O vetor deslocamento, u

, é formado por uma componente orientada ao longo da 
direção x, xu , e outra na direção y, yu . Além desses, o elemento infinitesimalainda 
pode rotacionar no plano. A cada deslocamento ou rotação em potencial dá-se o nome 
de grau de liberdade. No caso plano, um corpo rígido possui 3 graus de liberdade. Do 
ponto de vista cinemático, a estrutura está em equilíbrio se ela não se desloca ou 
rotaciona rigidamente no espaço. 
 
2.3.1 – Exemplo 3 
 
Determine as reações de apoio da estrutura rígida apresentada na Fig. (2.13) de 
forma que o equilíbrio estático seja observado. 
Para a solução deste problema, deve-se, inicialmente, construir o diagrama de 
corpo livre do sistema estrutura e carregamentos. Como o apoio do ponto A é do tipo 
engaste, surgem, nesse ponto, três reações de apoio, as quais estão indicadas na Fig. 
(2.14). 
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Capítulo 2 – Equilíbrio do Ponto Material_____________________________________ 
 
Figura 2.13 Estrutura a ser analisada. 
 
 
Figura 2.14 Diagrama de corpo livre. 
 
Para que o equilíbrio ocorra, as Eq. (2.11) devem ser atendidas. Assim: 
0 0
0 10 0 10
0 10 2 0 20
x h
y V V
A
F F
F F F kN
M M M kNm
  
     
      



 
 
2.3.2 – Exemplo 4. Exercício Proposto 
 
O exercício apresentado neste item será proposto para a resolução pelo leitor. 
Para a estrutura mostrada na Fig. (2.15), determine as reações de apoio e mostre que o 
princípio da superposição dos efeitos é válido para o problema. 
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Capítulo 2 – Equilíbrio do Ponto Material_____________________________________ 
 
Figura 2.15 Estrutura considerada. 
 
2.3.3 – Exemplo 5 
 
A porta apresentada na Fig. (2.16) possui peso próprio igual a 100 N. Determine 
as reações em suas articulações, sabendo que a dobradiça A suporta apenas reação 
horizontal e a dobradiça B reações horizontal e vertical. As dimensões apresentadas na 
Fig. (2.16) são dadas em metro. 
 
Figura 2.16 Estrutura considerada. Dimensões apresentadas em metro. 
 
A resolução desse problema envolve duas etapas. A primeira delas relacionada à 
construção do diagrama de corpo livre e a segunda à verificação das condições de 
equilíbrio expressas pela Eq.(2.11). O diagrama de corpo livre para o problema 
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Capítulo 2 – Equilíbrio do Ponto Material_____________________________________ 
considerado é o apresentado na Fig. (2.17), o qual leva em consideração as condições 
propostas no enunciado sobre as restrições das dobradiças. 
 
Figura 2.17 Diagrama de corpo livre. 
 
Segundo as ações apresentadas no diagrama de corpo livre, podem ser aplicadas 
as Eq.(2.11) e, consequentemente, a imposição do equilíbrio estático do corpo rígido. 
Assim, as reações nas dobradiças são dadas por: 
0 100 0 100
1000 100 2 6 0 0 3
1000 0 3
V V
y B B
H V H
A B B B
H
x A B A
F F F N
M F F F N
F F F F N
     
         
       



 
 
2.3.4 – Exemplo 6 
 
Para o sistema estrutural mostrado na Fig. (2.18), determine o menor 
comprimento d, de forma a evitar o tombamento da estrutura. Determine também o 
valor do carregamento aplicado, W. 
Para que o tombamento não ocorra, as equações de equilíbrio estático devem ser 
satisfeitas. Aplicando as Eq. (2.11) obtém-se: 
220 800 4 0 9600
2 3
0 800 0 1600
2
A
y
W d dM W d
W dF W d
         
       

 
As duas equações obtidas acima devem ser manipuladas algebricamente para se 
obter os valores de d e W. Dividindo a primeira equação pela segunda tem-se: 
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Capítulo 2 – Equilíbrio do Ponto Material_____________________________________ 
6d ft 
Consequentemente: 
1600 266,67
6
lbW W ft   
 
Figura 2.18 Sistema estrutural considerado. 
 
2.3.5 – Exemplo 7 
 
Para a estrutura mostrada na Fig. (2.19) determine as reações de apoio 
considerando duas hipóteses. Hipótese 1: h = 0 e Hipótese 2: h = 20 cm. 
 
Figura 2.19 Sistema estrutural considerado. 
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Capítulo 2 – Equilíbrio do Ponto Material_____________________________________ 
Hipótese 1 (h=0) 
Para essa hipótese, o diagrama do corpo livre pode ser construído facilmente, 
como mostrado na Fig. (2.20). 
 
Figura 2.20 Diagrama de corpo livre. 
 
Aplicando as equações de equilíbrio estático obtém-se: 
 
0 180 25 50 0
180 25 30º 50 180
A yM B
B sen B N
       
      
 
 0 0 cos 30º 0 155,885x x x x xF A B A B A N          
 
 
0 180 0
30º 180 0
180 30º 180 0 90
y y y
y
y y
F A B
A B sen
A sen A N
     
     
      

 
Hipótese 2 (h = 20 cm) 
Considerando a Hipótese 2, o diagrama do corpo livre pode ser construído 
posicionando-se o apoio A a 20 cm da base do corpo, conforme indicado na Fig. (2.21). 
Aplicando as equações de equilíbrio obtém-se: 
 
 
0 20 50 180 25 0 20 50 4500
0 0 cos 30º 0
0 180 0 30º 180
B x y x y
x x x x
y y y y
M A A A A
F A B A B
F A B A B sen
           
      
        



 
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Capítulo 2 – Equilíbrio do Ponto Material_____________________________________ 
 
Figura 2.21 Diagrama de corpo livre. 
 
A obtenção das reações de apoio passa pela solução conjunta das três equações 
de equilíbrio obtidas anteriormente. Organizando-as de forma matricial, para a solução 
de um sistema de equações, obtém-se: 
20 50 0 4500 507, 479
1 0 0,86603 0 112,992
0 1 0,5 180 585,983
x x
y y
A A
A A N
B B
                                               
 
 
2.4 – Conceituação Sobre a Determinação de Estruturas 
 
De acordo com os conceitos apresentados neste capítulo, constata-se que o 
equilíbrio estático de um corpo plano é verificado se a somatória de forças e de 
momentos atuantes sobre este são nulas em relação a qualquer ponto do plano, 
Eq.(2.11). Consequentemente, têm-se três equações de equilíbrio para a determinação 
das ações externas atuantes em estruturas planas. Porém, deve-se perguntar o que ocorre 
quando estruturas como as apresentadas na Fig. (2.22) devem ser analisadas: 
 
Figura 2.22 Sistemas hiperestático e hipostático. 
SET 0183 – Mecânica dos Sólidos I 32 
 
Capítulo 2 – Equilíbrio do Ponto Material_____________________________________ 
Com base no número de incógnitas a serem resolvidas e no número de restrições 
de movimento (translações e rotações) impostas pelos apoios e conexões internas ao 
corpo rígido, é possível classificar as estruturas em isostática, hiperestática e hipostática. 
Nos problemas estruturais onde as reações envolvem número de incógnitas igual ao 
número de equações de equilíbrio e os tipos de apoio usados são tais que impossibilitam 
o corpo rígido de se mover (rigidamente) sob a ação de quaisquer condições de 
carregamento, a estrutura é denominada isostática, sendo suas reações estaticamente 
determinadas. 
De forma semelhante, considerando a estrutura impedida de se deslocar 
rigidamente pelapresença dos apoios, quando as incógnitas reativas decorrentes das 
condições de vinculação são em maior número que as equações de equilíbrio, as reações 
são estaticamente indeterminadas e a estrutura é denominada hiperestática, como é o 
caso da primeira ilustração da Fig. (2.22). Essas estruturas são resolvidas empregando-
se condições de compatibilidade. 
Nos problemas onde o número de incógnitas devido às condições de vinculação 
é menor que o número de equações de equilíbrio, pelo menos uma das equações de 
equilíbrio não será satisfeita. Consequentemente, a estrutura pode mover-se rigidamente 
em pelo menos uma direção. Nessa situação, o equilíbrio não é garantido, sendo essas 
estruturas denominadas hipostáticas. A segunda ilustração apresentada na Fig. (2.22) 
trata de uma estrutura hipostática. 
Apesar do exposto anteriormente, a estrutura deve ser eficientemente vinculada 
para evitar que deslocamentos de corpo rígido ocorram. Assim, o número de 
vinculações é uma condição necessária, mas não suficiente para o equilíbrio estrutural. 
Na Fig. (2.23) estão ilustrados dois exemplos onde as condições de vinculações 
resultam três ou mais ações reativas. Apesar disso, a estrutura não apresenta equilíbrio 
estático por estar não eficientemente vinculada. Em ambos os casos as estruturas podem 
deslocar-se rigidamente. 
 
Figura 2.23 Estruturas vinculadas, porém sem equilíbrio estático.