03 Elemento de Barra Simples

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SET 0183 – Mecânica dos Sólidos I 33 
 
Capítulo 3 – Elemento de Barra Simples______________________________________ 
 
 
 
 
3. – Elemento de Barra Simples 
 
3.1 – Introdução 
 
O elemento de barra simples é o elemento estrutural mais simples utilizado no 
domínio da engenharia de estruturas. Este elemento pode ser definido, em termos 
estáticos, como um elemento estrutural que transmite (ou resiste) apenas a forças 
segundo seu eixo longitudinal. Já do ponto de vista cinemático, o elemento de barra 
simples impede que dois pontos materiais ligados por ele se afastem ou se aproximem. 
A força interna transmitida ao longo do eixo longitudinal do elemento de barra 
simples é denominada esforço solicitante normal. O esforço solicitante normal, muitas 
vezes denominado também apenas de esforço normal, pode ser entendido a partir de um 
elemento em equilíbrio, Fig. (3.1). Seccionando um elemento de barra simples em 
equilíbrio, solicitado por duas forças trativas F em seus extremos, conforme mostrado 
na Fig. (3.1), surgem, para o reestabelecimento do equilíbrio, duas forças N no ponto de 
seccionamento. A força N é o esforço solicitante normal. 
 
Figura 3.1 Elemento de barra simples. 
 
Para que o equilíbrio seja satisfeito, o esforço N deve ser igual à força F 
aplicada. Assim, pode-se definir o esforço solicitante normal como: “Conjunto de forças 
auto equilibradas atuante em um elemento estrutural em equilíbrio de modo que a 
resultante no elemento seja nula”. 
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Capítulo 3 – Elemento de Barra Simples______________________________________ 
Se o esforço normal tende a alongar o elemento, este é denominado trativo ou de 
tração (T) e convencionado com sinal positivo. Por outro lado, se o esforço tente a 
encurtar o elemento, este será compressivo ou de compressão (C) e convencionado com 
sinal negativo. Na Fig. (3.2) estão ilustradas as ações dos esforços trativos e 
compressivos atuantes sobre um elemento de barra simples. Esforços trativos do lado 
esquerdo e esforços compressivos do lado direito. 
 
Figura 3.2 Esforços solicitantes em elementos de barra simples. 
 
Segundo as condições cinemáticas desse elemento, conforme a definição 
apresentada anteriormente, verifica-se que o elemento de barra simples retira um grau 
de liberdade (GDL) do sistema, enquanto o ponto material, também denominado de nó, 
acrescenta dois graus de liberdade para o caso 2D e três para o caso 3D. Na Fig. (3.3) é 
apresentado um sistema formado por dois pontos materiais e um elemento de barra 
simples. Quando os pontos materiais são analisados de forma isolada, estes apresentam 
quatro graus de liberdade (dois deslocamentos cada um). Porém, quando o elemento de 
barra simples é adicionado, um grau de liberdade do sistema é removido, resultando, 
portanto, três graus de liberdade do sistema. Os três graus de liberdade resultantes do 
sistema são: deslocamento x, xu , deslocamento y, yu e a rotação no plano, xy . Deve-se 
enfatizar que estes três GDL estão associados ao deslocamento de corpo livre do 
sistema. 
 
Figura 3.3 Sistema formado por dois pontos materiais e um elemento de barra simples. 
 
Com base no sistema apresentado na Fig. (3.3) e discutido anteriormente, pode-
se perguntar: Qual é a estrutura rígida mais simples formada por elementos de barra 
simples? Para responder a esta questão, deve-se efetuar uma análise evolutiva 
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Capítulo 3 – Elemento de Barra Simples______________________________________ 
considerando um conjunto de nós e a inserção de elementos de barra simples. Esta 
análise será discutida considerando a ilustração apresentada na Fig.(3.4). 
 
Figura 3.4 Sistema estático mais simples. Triangulo rígido. 
 
Para o caso 1A, observa-se a presença de três nós no plano. O sistema formado 
por esses nós conduzem à existência de seis GDL, sendo dois GDL (dois deslocamentos 
no plano) por nó. Ao sistema formado por três nós, pode-se acrescentar um elemento de 
barra simples, como mostrado no caso 2A. Para esse caso, o elemento de barra simples 
retira um GDL do sistema. Portanto, o sistema resultante possui cinco GDL, os quais 
são dois referentes ao nó isolado e três relacionados ao deslocamento de corpo rígido, 
( xu , yu e xy ), do conjunto barra simples e dois nós. Evoluindo nessa análise, pode-se 
acrescentar um elemento de barra simples ao sistema mostrado no caso 2A. Esse caso 
pode ser visualizado na ilustração 3A, a qual mostra um sistema composto por três nós e 
dois elementos de barra simples. Como a inclusão do elemento de barra simples retira 
um GDL do sistema, constata-se que esse caso apresenta quatro GDL. Esses GDL são 
três referentes ao deslocamento de corpo rígido do conjunto, ( xu , yu e xy ), e um 
relacionado ao deslocamento relativo entre os dois elementos de barra simples. 
Finalmente, pode-se acrescentar mais um elemento de barra simples ao conjunto 
mostrado no caso 3A, retirando, assim, um GDL desse sistema. Essa situação é 
mostrada na ilustração 4A, a qual possui três GDL. Todos estes relacionados ao 
deslocamento de corpo rígido do conjunto. Para que o movimento de corpo rígido não 
ocorra, condições de vinculação devem ser propriamente inseridas a este sistema. 
Assim, o equilíbrio estático pode ser estabelecido. Com base nas ilustrações 1A-4A, 
constata-se que o quadro triangular rígido é a estrutura rígida mais simples composta 
por nós e elementos de barras simples. 
Para a obtenção de estruturas planas funcionais compostas por nós e elementos 
de barra simples, o crescimento natural é obtido a partir do triângulo rígido 
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acrescentando-se, a cada crescimento, duas barras e um nó conforme ilustrado na Fig. 
(3.5). 
 
Figura 3.5 Desenvolvimento de estruturas funcionais a partir do triangulo rígido. 
 
Com base na análise apresentada anteriormente, verifica-se que os GDL de uma 
estrutura composta apenas por barras simples podem ser calculados por meio da 
seguinte relação: 
 
2 2
3 3
GDL NÓS BARRAS se D
GDL NÓS BARRAS se D
 
  
(3.1) 
Deve-se enfatizar que a análise efetuada anteriormente pode ser estendida para o 
estudo de problemas 3D. Nesse caso, a estrutura rígida mais simples formada por nós e 
elementos de barra simples é um tetraedro rígido. 
A determinação estática das estruturas compostas por elementos de barras 
simples pode ser verificada com base no número de graus de liberdade do sistema. 
Assim, pode-se definir que: 
3
3
3
GDL HIPOSTÁTICA
GDL ISOSTÁTICA
GDL HIPERESTÁTICA



 
O autor propõe que o leitor, com base nas definições acima, classifique os 
sistemas apresentados na Fig. (3.6) em hipo, iso ou hiperestáticas. 
 
Figura 3.6 Classificação de sistemas segundo sua condição de estaticidade. 
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Capítulo 3 – Elemento de Barra Simples______________________________________ 
Embora a condição de uma estrutura de barras simples possa ser determinada 
com base em seu GDL, deve atentar para que a disposição das barras no sistema seja 
também adequada. Na Fig. (3.7) é mostrado um conjunto de barras simples isostático, 
que devidoao arranjo inadequado de suas barras conduz ao colapso. 
Muitas vezes, situações como estas podem ser planejadas para o 
desenvolvimento de projetos mecânicos. Nesses casos, devem ser utilizados 
equipamentos mecânicos, como pistão, por exemplo, para o controle dos GDL 
excedentes. 
 
Figura 3.7 Arranjo adequado de barras simples. 
 
3.2 – Estruturas de Barra Simples: Treliças 
 
Treliça é um sistema estrutural muito utilizado em engenharia de estruturas para 
a construção de coberturas, pontes e estruturas de grandes dimensões. As treliças são 
compostas por elementos lineares, denominados barras simples, ligadas entre si por 
articulações que se consideram perfeitas, chamadas nós. Nas treliças as cargas externas 
são pontuais e atuam somente sobre os nós, ficando, assim, as barras sujeitos apenas à 
esforços normais, tração ou compressão. As treliças são ditas planas quando todas as 
suas barras encontram-se num mesmo plano. Treliças espaciais são aquelas onde as 
barras estão posicionadas no espaço 3D (coberturas de postos de combustíveis, 
estacionamentos e ginásios). Na Fig. (3.8) ilustra-se uma treliça plana típica. 
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Capítulo 3 – Elemento de Barra Simples______________________________________ 
 
Figura 3.8 Treliça plana típica. 
 
Nas treliças, apenas esforços normais estão presentes. Isso ocorre pelo fato de 
assumir-se que as barras estão ligadas em nós, os quais são considerados como 
articulações perfeitas. Para demonstrar que nessa estrutura apenas esforços axiais estão 
presentes, pode-se considerar a barra mostrada na Fig.(3.9): 
 
Figura 3.9 Elemento de barra simples. 
 
Considerando que as extremidades são rotuladas, pode-se escrever que: 
 0 0 0C CB A AM F L F      (3.2) 
Consequentemente, 0CBF  e o equilíbrio é efetuado somente por meio das 
forças normais. 
Para que a hipótese de nós perfeitamente rotulados seja atendida, a ligação entre 
as barras deve ser projetada utilizando-se pinos lisos ou parafusos. A ligação pode 
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Capítulo 3 – Elemento de Barra Simples______________________________________ 
também ser construída por meio de chapas soldadas, conforme indicado na Fig. (3.10), 
desde que todas as barras concorram para um único ponto. 
 
Figura 3.10 Ligação das barras por meio de uma chapa de ligação. 
 
Na análise estrutural de treliças, seu peso próprio é levado em consideração 
aplicando-se metade do peso de cada barra em suas extremidades. As estruturas 
treliçadas são uma alternativa interessante e inteligente para vencer grandes vãos. Em 
estruturas solicitadas à flexão, as tensões máximas ocorrem nas extremidades da seção 
transversal, sendo que próximo ao centro de gravidade, as tensões tendem a zero. 
Assim, grande parte do material estrutural estará solicitada a tensões bem abaixo de sua 
capacidade, estando, portanto, sub-utilizado. Nas treliças, os esforços (carregamentos) 
são transmitidos por meio de forças axiais, o que pode gerar barras de seções 
transversais diferentes, de forma a melhor aproveitar sua capacidade resistente. Assim, 
nas treliças o material é mais bem utilizado e as dimensões das seções transversais das 
barras podem ser consideravelmente reduzidas. Nas Fig. (3.11), Fig. (3.12), Fig. (3.13) e 
Fig. (3.14) ilustram-se aplicações grandiosas de elementos de barra simples em 
engenharia de estruturas. 
 
 Figura 3.11 Cobertura de um galpão. Figura 3.12 Tabuleiro de uma ponte. 
 
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Capítulo 3 – Elemento de Barra Simples______________________________________ 
 
 Figura 3.13 Cobertura de um aeroporto. Figura 3.14 Torre Eiffel. 
 
Serão agora discutidos alguns processos analíticos para a determinação dos 
esforços normais em treliças isostáticas. Deve-se informar que para a análise de 
problemas envolvendo treliças hiperestáticas, utilizam-se métodos que empregam 
condições de compatibilidade. Nesses métodos, a estrutura hiperestática é transformada 
em uma estrutura isostática e resolvida tantas vezes quantas forem os GDL excedentes 
do caso isostático. 
 
4.3 – Método dos Nós 
 
O método dos nós é um procedimento utilizado para a determinação dos 
esforços normais em estruturas compostas por elementos de barras simples. Segundo 
esse método, o esforço normal em cada uma das barras da treliça é determinado por 
meio do balanço de forças, o qual deve ser efetuado em cada nó da estrutura. Deve-se 
enfatizar que, se cada nó da estrutura está em equilíbrio, consequentemente toda a 
estrutura estará também. 
A metodologia para a utilização deste método pode ser resumida em três etapas 
simples: 
1. Escolher um nó da estrutura para o equilíbrio. Sugere-se iniciar o processo por um 
nó que possua somente duas incógnitas (duas barras conectadas ao nó). 
2. Arbitrar o sentido do esforço normal atuante nas barras, separando o nó da estrutura, 
conforme apresentado na Fig. (3.15). Sugere-se que todos os esforços normais sejam 
arbitrados como trativos, como mostrado na Fig. (3.15). 
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Capítulo 3 – Elemento de Barra Simples______________________________________ 
3. Utilizar as equações apresentadas para o equilíbrio do ponto material e efetuar o 
equilíbrio nodal. 
 
Figura 3.15 Separação entre o nó e a estrutura. 
 
4.3.1 – Exemplo 1 
 
Com o objetivo de aplicar o método dos nós para a análise de treliças planas, 
determine os esforços normais atuante na treliça mostrada na Fig. (3.16). 
 
Figura 3.16 Treliça plana a ser analisada. 
 
Com base na geometria da estrutura pode-se determinar os valores dos senos e 
cossenos dos ângulos  e . Utilizando relações trigonométricas básicas, obtém-se: 
       0,3846 cos 0,9231 0,8 cos 0,6sen sen       
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Capítulo 3 – Elemento de Barra Simples______________________________________ 
Para iniciar os procedimentos de cálculo do método dos nós deve-se escolher um 
nó onde existam no máximo duas incógnitas (sugere-se ao leitor responder o porquê de 
apenas duas incógnitas). As incógnitas, neste problema, referem-se ao número de 
forças desconhecidas atuantes sobre o nó. Assim, pode-se escolher o nó B para iniciar 
os procedimentos de equilíbrio. Isolando este nó do restante da estrutura, como 
apresentado na Fig. (3.17), obtém-se: 
Equilíbrio nó B: 
 
Figura 3.17 Equilíbrio nó B. 
 
Aplicando as equações de equilíbrio de ponto material tem-se: 
 
   
0 cos 0
0 1, 2 0 3,1201
X AB BC
Y BC BC
F N N
F N sen N kN compressão


   
      

 
Com base no valor de NBC determinado acima, pode-se também definir o valor 
de NAB. Assim:
 
3,1201 0,9231 2,8802 ( )AB ABN N kN tração    
Pode-se agora repetir este procedimento considerando o equilíbrio do nó C 
Equilíbrio nó C: 
 Isolando o nó C da estrutura, como indicado na Fig. (3.18), e aplicando as 
equações de equilíbrio obtém-se: 
   
   
0 cos 3,1201cos 0 4,80 ( )
0 3,1201 0
4,80 0,8 3,1201 0,3846 5,04
X AC AC
Y C AC
C C
F N N kN compressão
F R N sen sen
R R kN
 
 
      
    
    

 
Considerando agora o nó A, tem-se: 
 
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Capítulo 3 – Elemento de Barra Simples______________________________________ 
 
Figura 3.18 Equilíbrio nó C. 
 
Equilíbrio do nó A: 
Isolando o nó A do restante da estrutura, como ilustrado na Fig. (3.19), observa-
se que atuam sobre este nó as forças Ax e Ay, as quais representam as reações do apoio 
A: 
 
Figura 3.19 Equilíbrio nó A. 
 
Aplicando as equações de equilíbrio do ponto material, obtêm-se os seguintes 
valores: 
 
 
0 2,8802 4,80cos 0 0
0 4,80 0 3,84
x x x
y y y
F A A
F A sen A kN


      
     

 
Assim, têm-se definidos todos os esforços normais atuantes nos elementos de 
barra simples. Como verificação ao leitor, sugere-se que as reações Ax e Ay sejam 
também calculadas considerando o equilíbrio de corpo rígido e os valores encontrados 
devem ser comparados aos obtidos pelo método dos nós. 
 
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Capítulo 3 – Elemento de Barra Simples______________________________________ 
4.3.2 – Exemplo 2 
 
Para a treliça mostrada na Fig. (3.20), determine os valores dos esforços normais 
em suas barras utilizando o método dos nós. 
 
 Figura 3.20 Treliça plana a ser analisada. 
 
Figura 3.21 Forças reativas. 
 
Para a resolução deste problema, deve-se atentar para o fato de que todos os nós 
da estrutura possuem mais que duas incógnitas. Portanto, antes do processo de 
equilíbrio de cada um dos nós ser iniciado, deve-se determinar as reações de apoio da 
estrutura utilizando as equações de equilíbrio de um corpo rígido. Efetuando este 
procedimento, obtêm-se os valores das forças reativas mostradas na Fig. (3.21). 
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Capítulo 3 – Elemento de Barra Simples______________________________________ 
Com base nos valores das reações de apoio apresentados na Fig. (3.21), o 
equilíbrio nó a nó pode ser efetuado (como apresentado no exemplo 1). Seguindo este 
procedimento obtêm-se os seguintes valores para os esforços axiais, o qual fica como 
exercício para o leitor. 
750 ( )
250 ( )
450 ( )
600 ( )
200 ( )
AB
BC
AC
BD
CD
N compressão
N tração
N tração
N compressão
N compressão





 
 
4.4 – Método das Seções 
 
O método das seções é outro método muito utilizado para a determinação de 
esforços normais em treliças. A vantagem desse método, em relação ao método dos nós, 
deve-se ao fato de não ser necessária a resolução do equilíbrio de todos os nós da treliça 
quando o interesse do analista é o conhecimento dos esforços normais apenas em 
algumas barras. 
Esse método baseia-se no princípio de que se um corpo está em equilíbrio, então 
qualquer parte que componha este corpo estará também em equilíbrio. Assim, os 
procedimentos de análise deste método consistem em efetuar cortes (secções) na 
estrutura e, em seguida, proceder ao equilíbrio de corpo rígido de cada porção de corpo 
seccionada. 
A metodologia de análise do método pode ser resumida nos seguintes passos: 
1. Efetuar uma secção imaginária na estrutura. Este secção (corte) deve passar pelas 
barras cujos esforços normais o analista tenha interesse. 
2. Construir o diagrama de corpo livre das partes seccionadas. 
3. Escolher a região de seccionamento de forma que, no máximo, três variáveis 
(incógnitas) estejam presentes. Isto se deve ao fato de existirem apenas três 
equações de equilíbrio no plano, o que permite a determinação de apenas três 
incógnitas. 
4. Aplicar as equações de corpo rígido e obter os esforços normais. 
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Capítulo 3 – Elemento de Barra Simples______________________________________ 
Com o objetivo de aplicar os procedimentos de análise do método das seções, 
será apresentado um exemplo onde poderão ser observadas algumas vantagens em 
relação ao método dos nós. 
 
4.4.1 – Exemplo 3 
 
Determine os esforços normais nas barras FC, BC e FE da estrutura mostrada na 
Fig.(3.22) utilizando o método das seções: 
 
Figura 3.22 Treliça plana a ser analisada. 
 
Como neste exemplo, o interesse encontra-se na determinação dos esforços 
normais em apenas três barras, o método das seções torna-se mais adequado (e de 
aplicação mais rápida) que o método dos nós. Já que, através deste último método, o 
equilíbrio de pelo menos três nós deveria ser efetuado antes da obtenção dos esforços 
desejados. Antes de proceder à aplicação da metodologia proposta pelo método das 
seções, deve-se determinar as reações de apoio da estrutura. Para tal fim, deve-se 
construir o diagrama de corpo livre do sistema, o qual é mostrado na Fig. (3.23). 
Aplicando as equações de equilíbrio de corpo rígido no plano obtém-se: 
0 1200 8 400 3 12 0 900
0 1200 900 0 300
0 400 0 400
A y y
y y y
x x x
M D D N
F A A N
F A A N
          
      
      



 
 
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Capítulo 3 – Elemento de Barra Simples______________________________________ 
 
Figura 3.23 Diagrama de corpo livre. 
 
Como o objetivo do exercício é a determinação dos esforços normais apenas nas 
barras FC, BC e FE, deve-se proceder à realização de um corte passando por estas três 
barras. Deve-se também salientar que este corte irá gerar três incógnitas, justamente os 
esforços normais das barras. Portanto, as três equações de equilíbrio de corpo rígido 
poderão ser aplicadas de forma a determiná-las unicamente. O corte AA para o 
seccionamento da treliça está representado na Fig. (3.22). Isolando a porção esquerda da 
treliça, tem-se o sistema mostrado na Fig. (3.24). 
 
Figura 3.24 Porção direita do corte. 
 
A partir de relações trigonométricas simples, podem-se determinar os seno e 
cosseno do ângulo  mostrado na Fig. (3.24). Assim: 
   0,8 cos 0,6sen    
Efetuando o equilíbrio de corpo rígido do sistema mostrado na Fig. (3.24) 
determinam-se aos esforços normais FC, BC e FE. Assim: 
SET 0183 – Mecânica dos Sólidos I 48 
 
Capítulo 3 – Elemento de Barra Simples______________________________________ 
 
 
0 400 3 300 4 3 0 800 ( )
0 300 cos 0 500 ( )
0 400 0
400 800 500 0,8 0 800 ( )
F BC BC
y FC FC
x BC FE FC
FE FE
M N N N tração
F N N N tração
F N N N sen
N N N compressão


          
     
       
        


 
4.5 – Treliças Tridimensionais 
 
Treliças tridimensionais são largamente utilizadas no cotidiano da engenharia de 
estruturas. Como exemplo, basta observar as Fig. (3.13) e Fig. (3.14) apresentadas 
anteriormente neste capítulo. As treliças tridimensionais, também denominadas de 
treliças espaciais, são um conjunto de barras simples conectadas em suas extremidades 
perfeitamente rotuladas de forma a compor uma estrutura tridimensional estável 
solicitada apenas por esforços normais. 
Para a determinação dos esforços normais em cada uma das barras deste tipo de 
estrutura, pode-se utilizar o método dos nós aplicado a problemas tridimensionais. Por 
meio deste método, os esforços normais atuantes nas barras são decompostos 
utilizando-se os versoresunitários que definem a geometria da barra. Assim, têm-se 
definidas as componentes dos esforços ao longo das direções x, y e z. Depois disso, o 
equilíbrio nodal, feito a partir do equilíbrio de um ponto material, deve ser efetuado. 
Para a análise de problemas tridimensionais, o equilíbrio do nó deve ser efetuado por 
meio da somatória de forças ao longo das direções x, y e z, somatórias estas que devem 
ser nulas. 
O método das seções pode também ser aplicado à análise de treliças 
tridimensionais. Nesse caso, efetua-se um corte ao longo das barras cujos esforços 
normais desejam-se determinar. Como o problema é tridimensional, o referido corte é 
composto por um plano e não mais por uma linha como no caso bidimensional. A partir 
das porções separadas da estrutura, efetua-se o equilíbrio de corpo rígido considerando 
um corpo tridimensional. Nessas notas, a análise de treliças tridimensionais por meio do 
método das seções não será considerada. 
Para ilustrar a aplicação do método dos nós na análise de treliças 
tridimensionais, serão apresentados dois exemplos na sequência deste texto. 
 
SET 0183 – Mecânica dos Sólidos I 49 
 
Capítulo 3 – Elemento de Barra Simples______________________________________ 
4.5.1 – Exemplo 4 
 
Determine os esforços normais na treliça tridimensional mostrada na Fig. (3.25) 
e diga se estes são trativos ou compressivos. Responda também porque é possível 
resolver esse problema equilibrando somente o nó D. 
A estrutura mostrada na Fig. (3.25) é uma treliça tridimensional composta por 
três barras. Assim, a solução deste exemplo pode ser efetuada equilibrando apenas o nó 
D, uma vez que sobre este nó existem somente três incógnitas, as quais são os esforços 
normais nas barras que concorrem ao nó D. Assim: 
 
Figura 3.25 Treliça tridimensional a ser analisada. 
 
Equilíbrio do nó D: 
Inicialmente, devem-se determinar os versores unitários que definem a 
geometria das barras DB, DA e DC, as quais concorrem ao nó D. Por meio de uma 
simples inspeção na geometria da estrutura, e com base no sistema de coordenadas 
adotado, pode-se escrever que: 
 
 
 
110 5 10
15
110 5 10
15
12 5 10
129
DB
DA
DC
L i j k
L i j k
L i j k
   
  
  
 
Como nas treliças estão presentes apenas esforços normais, sabe-se que as 
componentes destes esforços atuam ao longo do comprimento das barras simples. 
SET 0183 – Mecânica dos Sólidos I 50 
 
Capítulo 3 – Elemento de Barra Simples______________________________________ 
Assim, as componentes destes esforços podem ser escritas com base nos versores 
unitários determinados anteriormente. Portanto, o conjunto de esforços normais e 
carregamento que atua sobre o nó D pode ser assim escrito, com base em suas 
componentes: 
 
 
 
10 5 10
15
10 5 10
15
2 5 10
129
0 0 1000
DB
DB
DA
DA
DC
DC
NN i j k
NN i j k
NN i j k
F i j k



   
  
  
  
 
A partir dos valores definidos para as componentes dos esforços e da força, 
apresentados acima, pode-se efetuar o equilíbrio do nó por meio das seguintes 
condições: 
0X Y ZF F F     
Para o caso em estudo pode-se escrever que: 
10 10 20 0
15 15 129
5 5 5 00
15 15 129
10 10 10 1000 00 15 15 129
X DB DA DC
DB DA DCY
DB DA DCZ
F N N N
N N NF
N N NF
             



 
Reorganizando as equações acima de uma maneira matricial, a qual é mais 
facilmente resolvida com o auxílio de calculadoras, pode-se reescrever estas equações 
como: 
10 10 2
15 15 129 0
5 5 5 0
15 15 129 1000
10 10 10
15 15 129
DB
DA
DC
N
N
N
                                
 
Resolvendo o sistema matricial acima, composto por três equações e três 
incógnitas, obtém-se: 
SET 0183 – Mecânica dos Sólidos I 51 
 
Capítulo 3 – Elemento de Barra Simples______________________________________ 
0,667 0,667 0,176 0 450
0,333 0,333 0, 440 0 300
0,667 0,667 0,880 1000 567,75
DB DB
DA DA
DC DC
N N
N N lb
N N
                                                    
 
Devido ao sinal negativo encontrado no valor dos esforços normais, conclui-se 
que todos os esforços são compressivos. Esse resultado era esperado, uma vez que, 
intuitivamente, percebe-se que a força aplicada comprime a treliça em seu nó D. 
 
4.5.2 – Exemplo 5 
 
Determine os esforços normais atuantes nas barras da treliça espacial mostrada 
na Fig. (3.26). Considere que todos os apoios da treliça são do tipo móvel ou simples. 
Antes de iniciar o processo de equilíbrio nodal, é conveniente determinar os 
valores das reações sobre os apoios localizados nos nós A, B e C. Para tal fim, pode-se 
fazer o equilíbrio de corpo rígido na condição de análise tridimensional. Assim: 
0 8 2 4,5 0 0 0 3,556
0 6 3,556 3 8 3 0 0 0 2, 222
0 3,556 2, 222 8 0 0 0 2, 222
B BAC
y A A
z C C
M V V i j k
M V V i j k
F V V i j k
       
         
       



 
A partir das reações de apoio calculadas acima, pode-se efetuar o equilíbrio 
nodal. 
 
Figura 3.26 Treliça tridimensional a ser analisada. 
 
Equilíbrio do nó D: 
SET 0183 – Mecânica dos Sólidos I 52 
 
Capítulo 3 – Elemento de Barra Simples______________________________________ 
O primeiro passo para o equilíbrio desse nó refere-se à determinação dos 
versores unitários das barras que concorrem ao nó D. Com base no sistema de 
coordenadas adotado, e nas dimensões dos elementos de barra simples, tem-se: 
 
 
 
10 2,5 6
42, 25
13 2 6
7
13 2 6
7
DB
DC
DA
L i j k
L i j k
L i j k
 
   
  
 
Consequentemente, as componentes dos esforços normais nas barras que 
concorrem ao nó D e da força aplicada podem ser expressas como: 
 
 
 
 
0 2,5 6
42,25
3 2 6
7
3 2 6
7
0 0 8
DB
DB
DC
DC
DA
DA
NN i j k
NN i j k
NN i j k
F i j k




 
   
  
 
 
Aplicando as condições de equilíbrio de um ponto material tridimensional, 
expressas por 0X Y ZF F F     , e considerando as componentes da força 
aplicada e dos esforços normais tem-se: 
3 30 0 0
7 7
2,5 2 2 00
7 742,25
6 6 60 8 0
7 742,25
X DB DC DA
DB DC DAY
Z DB DC DA
F N N N
N N NF
F N N N
             



 
Reorganizando as três equações acima em um sistema matricial, pode-se 
escrever que: 
SET 0183 – Mecânica dos Sólidos I 53 
 
Capítulo 3 – Elemento de Barra Simples______________________________________ 
3 30
7 7 0
2,5 2 2 0
7 742,25 8
6 6 6
7 742,25
DB
DC
DA
N
N
N
                                 
 
Resolvendo este sistema composto por três equações e três incógnitas tem-se: 
0 0,429 0,429 0 3,852
0,385 0,286 0,286 0 2,593
0,923 0,857 0,857 8 2,593
DB DB
DC DC
DA DA
N N
N N kN
N N
                                                    
 
Como os valores encontrados para os esforços normais são todos negativos, 
conclui-se que estessão esforços compressivos. 
Equilíbrio do nó A: 
Para a realização do equilíbrio do nó A, os mesmos procedimentos empregados 
para o equilíbrio do nó D devem ser repetidos. Assim, a determinação dos versores 
unitários das barras que concorrem ao nó A conduz a: 
 
 
 
16 0 0
6
13 4,5 0
29, 25
13 2 6
7
AC
AB
AD
L i j k
L i j k
L i j k
 
 
 
 
Consequentemente, as componentes dos esforços normais das barras que 
concorrem ao nó A e da reação no ponto A podem ser escritas como: 
 
 
 
 
6 0 0
6
3 4,5 0
29,25
3 2 6
7
0 0 2,222
AC
AC
AB
AB
AD
AD
A
NN i j k
NN i j k
NN i j k
V i j k



 
 
 

 
Assim, o equilíbrio do nó A conduz às seguintes equações: 
SET 0183 – Mecânica dos Sólidos I 54 
 
Capítulo 3 – Elemento de Barra Simples______________________________________ 
3 3 00
729, 25
4,5 20 00
729,25
60 0 0 2, 222 0
7
AB AD
ACX
AB AD
ACY
AD
Z AC AB
N NNF
N NNF
NF N N
             



 
Reorganizando o sistema acima composto por três equações e três incógnitas em 
uma forma matricial tem-se: 
3 31
729, 25 0
4,5 20 0
729, 25 2, 222
60 0
7
AC
AB
AD
N
N
N
                              
 
Resolvendo este sistema matricial determinam-se os esforços normais nas 
barras, os quais estão apresentados abaixo: 
1 0,555 0, 429 0 0,617
0 0,832 0, 286 0 0,891
0 0 0,857 2, 222 2,593
AC AC
AB AB
AD AD
N N
N N kN
N N
                                                  
 
Deve-se notar que os esforços ACN e ABN são trativos, enquanto o esforço na 
barra AD, ADN , é compressivo. Além disso, deve-se destacar que o valor encontrado 
para o esforço ADN por meio equilíbrio do nó A é o mesmo encontrado no equilíbrio do 
nó D. Essa verificação é importante e reforça a correção dos resultados obtidos. 
Para finalizar o exercício, resta ainda efetuar o equilíbrio do nó B. 
Equilíbrio do nó B: 
Seguindo os mesmos procedimentos efetuados anteriormente para o equilíbrio 
dos nós D e A, pode-se determinar os esforços normais nas barras que concorrem ao nó 
B. Para isso, deve-se inicialmente calcular as componentes dos versores unitários que 
definem a geometria das barras que concorrem ao nó B. Com base no sistema de 
coordenadas apresentado na Fig. (3.26) e na geometria da estrutura pode-se escrever 
que: 
SET 0183 – Mecânica dos Sólidos I 55 
 
Capítulo 3 – Elemento de Barra Simples______________________________________ 
 
 
 
13 4,5 0
29,25
13 4,5 0
29, 25
10 2,5 6
42, 25
BA
BC
BD
L i j k
L i j k
L i j k
 
  
 
 
Portanto, utilizando os versores unitários, definem-se as componentes dos 
esforços normais nas barras que concorrem ao nó B e a força reativa neste nó como: 
 
 
 
 
3 4,5 0
29,25
3 4,5 0
29,25
0 2,5 6
42, 25
0 0 3,556
BA
BA
BC
BC
BD
BD
B
NN i j k
NN i j k
NN i j k
V i j k



 
  
 

 
Com base nas componentes de força e esforços determinados acima, deve-se 
proceder à realização do equilíbrio do ponto material do nó B. Efetuando a somatória 
das forças ao longo dos eixos x, y e z e igualando-as a zero tem-se: 
33 0 00
29,25 29,25
4,54,5 2,5 00
29,25 29,25 42, 25
60 0 0 3,556 0
42,25
BCBA
BDX
BCBA BD
Y
BD
Z BA BC
NN NF
NN NF
NF N N
            



 
Reescrevendo as três equações acima em um sistema matricial, de forma a torná-
lo mais facilmente solvível, tem-se: 
3 3 0
29,25 29,25 0
4,5 4,5 2,5 0
29,25 29,25 29,25 3,556
60 0
29,25
BA
BC
BD
N
N
N
                                
 
Resolvendo o sistema matricial mostrado acima, determinam-se os esforços 
normais atuantes ao longo das barras que concorrem ao nó B. Assim: 
SET 0183 – Mecânica dos Sólidos I 56 
 
Capítulo 3 – Elemento de Barra Simples______________________________________ 
0,555 0,555 0 0 0,891
0,832 0,832 0,385 0 0,891
0 0 0,923 3,556 3,853
BA BA
BC BC
BD BD
N N
N N kN
N N
                                                  
 
Com base no resultado obtido, verifica-se que os esforços BAN e BCN são 
trativos uma vez que estes apresentaram valores positivos. Já o esforço BDN , constata-
se que este é de compressão devido a seu sinal negativo. Além disso, deve-se verificar 
que o valor determinado para o esforço BDN , por meio do equilíbrio do nó B, é igual ao 
valor encontrado efetuando-se o equilíbrio do nó D. O mesmo comentário deve ser feito 
para o esforço ABN , o qual apresentou valores iguais para os equilíbrios dos nós B e A. 
Essa verificação simples reforça o fato de que os cálculos efetuados neste exercício 
estão corretos. 
 Sugere-se que o leitor faça verificações semelhantes durante a resolução dos 
exercícios propostos. Este procedimento permite a determinação de erros durante a 
resolução dos exercícios.