AlgebraLinearCap1-matrizes

Prévia do material em texto

1
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Álgebra Linear I 
 Profa. Sonia Palomino Bean 
Departamento de Matemática -UFSC 
 
 2
SUMÁRIO 
 
1 MATRIZES 
1.1 Matriz 
 1.1.1 Definição de matriz 
 1.1.2 Ordem de uma matriz 
1.2 Tipos de uma Matriz 
1.3 Operações com Matrizes 
 1.3.1 Propriedades das operações com matrizes 
1.4. Determinantes 
 1.4.1 Menor de uma matriz 
 1.4.2 Cofator de uma Matriz 
 1.4.3 Determinante de A usando cofatores: 
 1.4.4 Definição geral do determinante de uma matriz. 
1.5 Matriz Adjunta 
1.6 Inversa de uma Matriz 
 1.6.1 Cálculo da Matriz Inversa usando a Matriz Adjunta 
 1.6.2 Propriedades da Inversa de uma matriz 
 1.6.3 Cálculo da matriz inversa por operações elementares 
1.7 Exercícios Propostos 
 
2 SISTEMAS LINEARES 
2.1 Preliminares 
2.2 Sistemas Lineares 
2.2.1 Posto e nulidade de uma matriz 
 2.2.2 Matrizes Equivalentes e Sistemas equivalentes 
 2.2.3 Caracterização dos Sistemas Lineares 
 2.2.4 Método de Gauss para solução de sistemas lineares 
 2.2.5 Sistemas Homogêneos 
2.3 Decomposição LU 
2.4 Exercícios Propostos 
 
 3
 
3. ESPAÇOS VETORIAIS 
3.1 Introdução 
3.2 Espaços Vetoriais 
 3.2.1 Definição 
 3.2.2 Propriedades 
 3.2.3 Exemplos 
 3.2.4 Uma definição mais formal 
3.3 Subespaços Vetoriais 
 3.3.1 Definição 
 3.3.2 Exemplos 
 3.3.3 Soma e intersecção de subespaços 
 3.3.4 O espaço nulo de A 
3.4 Espaços gerados 
3.5 Independência linear 
 
 
4.TRANSFORMAÇÕES LINEARES 
4.1 Introdução 
 4.1.1 Transformações Lineares do Plano no Plano 
 4.1.2 Transformações Lineares de Rn em Rm 
4.2 Operações com transformações lineares 
 4.2.1 Soma, multiplicação por escalar, composição e inversa 
 4.2.2 Transformações Lineares em espaços de funções 
 4.2.3 Propriedades das Transformações Lineares 
 4.2.4 Composição de Transformações Lineares 
4.3 A imagem e o núcleo de uma Transformação Linear 
4.4 Transformações injetoras, sobrejetoras. Isomorfismos. 
4.5 Representação Matricial de Transformações Lineares 
4.6 Semelhança 
4.7 Matrizes e transformações lineares, equivalências e propriedades. 
 
 4
Capítulo 1 
 
MATRIZES 
 
Neste capítulo será fornecida uma série de conceitos, alguns deles conhecidos por você, que 
permitirão tanto a formulação e processo de prova de propriedades e teoremas quanto à 
prática através de muitos exemplos para o estudo das matrizes. Esses conceitos, além de 
incluir onde eles podem ser aplicados, serão a base do desenvolvimento dos próximos 
capítulos. 
 
1.1 Matriz 
As matrizes são estruturas matemáticas que podem ser encontradas em muitos problemas 
do nosso dia a dia. Por isso, neste capítulo, iniciaremos o estudo das matrizes com um 
problema vindo do nosso cotidiano. 
 
• Problema 1 
Já pensou que a temperatura que temos em cada estação do ano pode ser registrada dia a dia 
e hora a hora (e até minuto a minuto!), com ajuda de dispositivos especiais? Isso é feito 
pelo Instituto de Metrologia de cada uma das regiões. Pensemos nesse problema colhendo 
parte das informações que possamos encontrar num dos arquivos de dados aos quais temos 
acesso (e que seja do nosso interesse, claro!!). Esse problema será relatado a seguir: 
As temperaturas de cinco cidades brasileiras nas primeiras horas da manhã de um 
determinado dia (e durante o inverno) foram registradas da forma seguinte: 
Cidade N0 1: São Joaquim (SC) às 3 horas da manhã apresenta -3 graus centígrados; 
Cidade N0 2: Rio de Janeiro (RJ) às 5 horas da manhã apresenta 14 graus centígrados; 
Cidade N0 3: Turvo (SC) às 7 horas da manhã apresenta 5 graus centígrados; 
Cidade N0 4: Florianópolis (SC) às 9 horas da manhã apresenta 16 graus centígrados; 
Cidade N0 5: São Luis (MA) às 11 horas da manha apresenta 20 graus centígrados. 
Essas informações podem ser arranjadas numa tabela de várias formas, como as 
apresentamos a seguir: 
 
 
 5
Cidade Temperatura , Cidade Hora , Hora Temperatura , Hora Cidade ,etc 
1 -3 1 3 3 -3 3 1 
2 14 2 5 5 14 5 2 
3 5 3 7 7 5 7 3 
4 16 4 9 9 16 9 4 
5 20 5 11 11 20 11 5 
 
Observe que dessa forma as informações estão dispostas em forma vertical, mais também 
podemos colocar as mesmas informações em forma horizontal. 
 
Pergunta 1 
De que forma podem ser arranjados os dados acima de modo a eles estarem dispostos 
horizontalmente? 
Por exemplo, a terceira tabela pode ser disposta da seguinte maneira: 
 
H 3 5 7 9 11 
T -3 14 5 16 20 
 
Deixamos de atividade pra você, completar essa disposição horizontal no caso das outras 
tabelas. 
Continuando com o Problema 1, suponhamos que por algum motivo é do nosso interesse os 
dados do arranjo dado por esta última tabela usada. Assim, podemos formular o seguinte: 
 
Em cinco cidades brasileiras e em determinadas horas foram registradas as seguintes 
temperaturas: 
H T 
3 -3 
5 14 
7 5 
9 16 
11 20 
Observação 
 6
A mesma informação podia ter sido colocada da seguinte forma: 
 
H 3 5 7 9 11 
T -3 14 5 16 20 
 
Os números dados nos dois jeitos de arranjar nossos dados estão nos fornecendo o que 
denominaremos como Matriz . 
 
1.1.1 Definição de matriz 
Uma matriz é um arranjo de números, símbolos, letras, etc, dispostos em linhas e colunas. 
Nota 
É de nosso interesse trabalhar apenas com números reais neste livro, assim sendo tudo o 
que será definido mais adiante, no caso das matrizes ou vetores, será com elementos reais 
(mais adiante você terá a possibilidade de trabalhar com números complexos também!!) 
 
1.1.2 Ordem de uma matriz 
As matrizes geralmente são denotadas por letras maiúsculas e seus elementos, dado cada 
número do arranjo, por minúsculas. Se uma matriz possui m linhas e n colunas diremos 
que a matriz tem ordem m n× . 
 
Exemplo 1 
Denominemos por A e B as duas matrizes definidas no Problema 1 e na Pergunta 1, 
respectivamente. Assim 















 −
=
2011
169
57
145
33
A e 





−
=
20165143
119753
B 
 
A matriz A tem 5 linhas e 2 colunas, ou seja, é de ordem 5 x 2; já a matriz B tem 2 linhas 
e 5 colunas e é de ordem 2 x 5. 
O elemento da 2ª linha e 2ª coluna da matriz A é igual a 14, ou seja: 
 7
22 14a = . 
O elemento da 1ª linha e 4ª coluna da matriz B é igual 9, isto é: 
14 9b = . 
Quando uma matriz é obtida por algum problema específico (como o explicitado no 
Problema 1 ) é possível fornecer alguma interpretação aos seus elementos. 
Por exemplo, as matrizes A e B do Exemplo 1 com elementos 22 14a = e 14 9b = podem 
ser interpretados da seguinte forma: 
“No segundo horário (5 horas da manhã) o segundo valor da temperatura (em Rio 
de Janeiro) é 14 graus”. 
“São às 9 horas da manhã quando a temperatura em Florianópolis é 16 graus”. 
E claro, após fornecermos todas as interpretações podemos fazer algumas conclusões: Eu 
gosto do frio portanto irei para São Joaquim no inverno. Não, não gosto de tanto frio, por 
isso no inverno ficarei em Rio de Janeiro. 
Bom você deve estar se perguntando: onde está a matemática nesse papo todo? Se estiver 
fazendo esse tipo de questionamento esta indo por um bom caminho, pois a matemática por 
incrível que pareça está presente em muitas situações! E é isso que esperamos mostrar ao 
longo deste material! 
 
Observação 
A partir de agora serão dados vários exercícios que pediremos à você resolver logo após os 
conteúdos fornecidos. 
 
 Agora verifique se você está acompanhando as discussões que fizemos resolvendo os 
seguintes exercícios. 
Exercício 1 
Coloque mais alguma condição no Problema 1 para construir uma matriz de ordem 3 x 5. 
Dica: Imagine que os dados são colhidos durante 3 dias.Exercício 2 
Pode imaginar e criar um problema do seu cotidiano diferente do dado acima para chegar 
numa matriz? 
 8
 
Para cada posição i: linha, j: coluna (posição(i,j)), do arranjo de uma matriz A podemos 
colocar um elemento, em geral, como ija . Assim uma matriz com m n× elementos pode ser 
escrita na seguinte forma estendida: 
 
11 12 1 1
21 22 2 2
1 2
1 2
... ...
... ...
: : ... : : :
... ...
: : : : : :
: ...
j n
j n
i i i j i n
m m m j mn
a a a a
a a a a
A
a a a a
a a a a
 
 
 
 
=  
 
 
 
  
 
 
Também, podemos colocá-la na forma abreviada 
ij m n
A a
×
 =   
Assim, a matriz A de ordem m n× , possui m n× elementos da forma ija com 
 1, ... e = 1, ... i m j n= . 
Em alguns livros pode, também, ser encontrada uma outra forma ao denotarmos uma 
matriz, 
( )ij m nA a ×= 
 
Muitas vezes é fornecida uma lei de formação para obtermos os elementos de uma matriz. 
Por exemplo se 
2 3ij
A a
×
 =   com ija i j= + com 2 e 3m n= = estaremos construindo a 
seguinte matriz A: 
 
1 1 1 2 1 3
2 1 2 2 2 3
A
+ + + 
=  + + + 
 = 





543
432
 
 
 
Exemplo 2 
Vamos obter a matriz ( )3 4ijB b ×= , de ordem 3x4 cujos elementos são da forma 
 9
 , 1, 2
0 , 3
j
ij
i ib
i
 =
= 
=
. 
 
Solução 
Observe que não há nenhuma condição para os índices j , isto é j está variando 
conforme o número de colunas que a matriz tem. Já na 3ª linha ( 3)i = todos os elementos 
serão nulos. Assim sendo, a matriz B é dada por: 
 
1 2 3 4
1 2 3 4
1 1 1 1
2 2 2 2
0 0 0 0
B
 
 
=  
 
 
 = 
1 1 1 1
2 4 8 16
0 0 0 0
 
 
 
  
. 
 
1.2 Tipos de Matrizes 
 
• Matriz Retangular : são denominadas assim aquelas matrizes cujo número de linhas 
é diferente ao número de colunas. Por exemplo: 
 
1 1
0 9
5 2
A
− 
 
=  
 − 
, 
0 1 2 3 4
7 2 3 8 0
1 3 3 2 6
3 5 0 0 9
B
 
 
− =
 −
 
 
 
 e 
0 0 1
1 3 9
C  =  
− 
 
são matrizes de ordem 3x2, 4x5 e 2x3, respectivamente. Na forma abreviada podemos 
denotar A= [aij]3x2, B= [bij]4x5, C=[cij]2x3. 
• Matriz linha : é a matriz que tem apenas uma linha. Por exemplo: 
 
[ ]1 2 3 4L = , M = ( )8100 
Observação 
É comum colocarmos vetores no plano e no espaço como matrizes linha. 
 
• Matriz Coluna : é a matriz que tem apenas uma coluna. Por exemplo: 
 
 10
2
2
2
B
 
 
=  
  
, 
0
1
1
4
3
D
 
 
 
 = −
 
 
 
 
. 
 
Observação 
Sabia que um vetor no plano (ou no espaço) pode ser considerado como uma matriz 
coluna? Mais adiante (capítulo de Sistemas Lineares) usaremos essa forma ao representar a 
solução de um sistema de equações. Assim se tivermos duas ou três incógnitas elas podem 
ser alocadas numa forma vetorial no plano ou no espaço respectivamente, notará isso no 
livro do Prof. Reginaldo citado no final deste capítulo. 
 
• Matriz Nula : é a matriz cujos elementos são todos nulos. Por exemplo: 
 
0 0
0 0
O  =  
 
, 
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
O
 
 
=  
  
. 
 
Nota Estes tipos de matrizes geralmente são denotadas pela letra maiúscula O e 
dependendo do problema deverá discernir a ordem da matriz no exercício ou 
problema em questão. Alguns autores denotam esta matriz da forma: 
 [ ]ij mxnO o= .. 
 
• Matriz Quadrada : são aquelas matrizes onde o número de linhas é igual ao número 
de colunas. Nas seguintes matrizes, A é uma matriz de ordem n e B uma matriz de 
ordem 3: 
 
ij n
A a =   , 
1 1 1
1 1 2
3 7 0
B
 
 
= − − 
 
 
 
 
 11
A diagonal principal de uma matriz quadrada está dada pelos elementos na 
posição i j= . Por exemplo os valores 1, 1− e 0 são os elementos da diagonal 
principal da matriz B . 
É denominada como diagonal secundária os elementos da matriz cujos índices 
contabilizam o valor 1i j n+ = + , assim, na mesma matriz B dada acima os 
elementos 1, 1− e 3 são aqueles cujos índices sempre somam 3 1 4i j+ = + = , esses 
elementos são 13 22,b b e 31b . 
Exemplo3 Na matriz � = � 1 1 1−1 −1 23 7 0
 os elementos {1, -1, 0} formam a 
diagonal principal e os elementos {3, -1, 1} formam a diagonal secundária. 
A partir de agora falaremos um pouco mais sobre matrizes quadradas. 
 
• Matriz Diagonal : é uma matriz quadrada cujos elementos fora da diagonal principal 
são nulos, isto é, 0ija = se i j≠ . Por exemplo: 
1 0 0
0 3 0
0 0 6
D
 
 
=  
  
, 
0 0
0 1
E
 
=  
− 
. 
Pelo fato das matrizes diagonais possuírem elementos, quase sempre não nulos, 
apenas na posição ( , )i i é que elas podem ser denotadas como { }11 22, ,..., nndiag d d d 
ou ainda na forma { }1 2, ,..., ndiag d d d onde 1, 2 , ..., nd d d indicam os elementos 
diagonais. Por exemplo a matriz D dada anteriormente pode ser escrita como 
{ }1,3,6D diag= . 
• Matriz Identidade : é uma matriz diagonal onde todos os elementos da diagonal 
principal são iguais a um. É geralmente denotada com a letra I e com um índice que 
denota a ordem como ilustrado a seguir: 
 
2
1 0
0 1
I
 
=  
 
, 4
1 0 0 0
0 1 0 0
 
0 0 1 0
0 0 0 1
I
 
 
 
=
 
 
 
. 
 12
 
• Matriz Triangular Superior : é uma matriz quadrada de ordem n cujos elementos 
0ija = se i j> . Isto é: 
 
11 12 1
22 1
...
0 ...
: : : :
0 0 ...
n
n
nn
a a a
a a
A
a
 
 
 =
 
 
 
. 
 
• Matriz Triangular Inferior : é uma matriz quadrada de ordem n cujos elementos 
0ija = se i j< , ou seja: 
11
21 22
1 2
0 ... 0
... 0
: : : :
...n n nn
a
a a
A
a a a
 
 
 
=
 
 
 
. 
 
• Matriz Simétrica : uma matriz quadrada S , de ordem n , é simétrica se ij jia a= , 
para quaisquer valores dos índices ,i j . São exemplos de matrizes simétricas: 
 
2
0 1
1 0
S
− 
=  
− 
 e 4
1 0 -1 3
0 1 4 -5
 
-1 4 0 0
3 -5 0
S
a
 
 
 
=
 
 
 
. 
 
Observe que o elemento a na posição (4,4) da matriz 4S não tem valor numérico, isto é, 
assume qualquer valor real. (Quando falamos de elementos assumindo qualquer valor real 
podemos denotá-lo com ∈a R. Nesse caso o símbolo ∈ é lido como “pertence a” R 
denota os números reais.) 
 
Exemplo 4 
 13
No seguinte exemplo, pede-se para encontrar os valores de , , , , ,t w s z a b para 
obtermos S simétrica: 
2 0
0
0 0
1 0 0 0
a t
x b w
S
z z
− 
 
 =
 −
 
 
. 
Solução 
Pela definição de matriz simétrica, todos os elementos ijs da matriz S devem ser tais que 
ij jis s= . Como a matriz é de ordem 4n = e considerando que ,i j variam entre 1 e 4, (ou 
seja , 1,..., 4i j = ) encontramos que 
 
21 122s x s= = = . 
Também 
31 130s z s= = = , 
e de forma similar 
41 141s t s= = − = , 
assim 
1t = − .
 
Também, 
32 23s z w s= − = = , 
como 0z = e o oposto de zero é ele próprio, então 
0w = . 
Por último 
11 ,s a= 22s b= , 
mais não há nenhuma condição para esses valores. Portanto, a e b são valores reais 
quaisquer, isto é, ∈ba, R. 
 
• Matriz Anti-simétrica : Uma matriz quadrada A é anti-simétrica se ij jia a= − . São 
exemplos de matrizes anti-simétricas as matrizes: 
 14
0 1
1 0
A
− 
=  
 
 e 
0 2 6
2 0 4
6 4 0
B
 
 
= − − 
 − 
. 
 
Exemplo 5 
Dada a matriz S fornecida no Exemplo 3, encontreos valores de , , , ,t w s z a , b para S ser 
uma matriz anti-simétrica. 
 
Solução 
Usando um raciocínio similar ao usado no Exemplo 3 e considerando que para cada valor 
de ei j deve se satisfazer ij jia a= − , encontra-se 2, 0, 1, 0, 0, 0x z t w a b= − = = = = = . 
Assim 
0 2 0 1
2 0 0 0
0 0 0 0
1 0 0 0
S
− 
 
− =
 
 
 
. 
 
Você percebeu que os elementos da diagonal principal das matrizes anti-simétricas 
fornecidas são todos nulos? Isto seria apenas uma coincidência? No exemplo seguinte 
provaremos que este resultado vale para qualquer matriz anti-simétrica. 
Exemplo 6 
Prove que os valores da diagonal principal de uma matriz anti-simétrica qualquer são todos 
nulos. 
 
Solução 
Se ij nA a =   é uma matriz anti-simétrica de ordem n . Assim, os seus elementos 
satisfazem a relação ij jia a= − para quaisquer valores ,i j . 
Os elementos na diagonal principal encontram-se na posição i j= , então ii iia a= − . 
Daí, 2 0iia = para qualquer valor de i . Em conseqüência, 0iia = para qualquer i . 
 
 15
Um exemplo numérico que ilustra o que acabamos de provar foi dado no Exemplo 4. Nele 
você encontrou que os valores diagonais são todos nulos! 
 
• Matriz Elementar : Uma matriz é denominada elementar se for obtida por meio de 
uma mudança na matriz identidade. Essa mudança pode ser de um dos seguintes tipos: 
 
1) a troca de uma linha (ou coluna) por outra linha(ou coluna). 
 2) a multiplicação de uma linha (ou coluna) por um valor ∈α R, α ≠0. 
 3) a soma de uma linha (ou coluna), multiplicada pelo valor ∈α R (α ≠0), com . 
. outra linha (ou coluna). 
 
Exemplos 
a) A matriz elementar de ordem 2 obtida ao trocarmos a linha 1 pela linha 2 da matriz 
identidade de ordem 2 é dada por: 






=
01
10
E1 
b) A matriz elementar de ordem 4 obtida ao multiplicar na linha 3 da matriz identidade 
(de ordem 4) por 2− é dada por: 












−
=
1000
0200
0010
0001
E 2 
 
c) A matriz elementar E3 (de ordem 3) obtida ao multiplicar a linha 3 por 3− e somar 
com a linha 2 da matriz identidade (de ordem 3) é dada por: 
 �� = �1 0 00 1 −30 0 1 
 , 
� = �
1 0 00 1 00 0 1
�. 
Também são matrizes elementares as matrizes: 
1 0
0 2
A  =  
− 
 e 
1 0 0 0
0 1 0 0
 
1 0 1 0
0 0 0 1
B
 
 
 
=
 
 
 
. 
 
 16
 
Exercício 3 
Como foram obtidas as matrizes elementares eA B anteriores? 
 
• Igualdade de matrizes: Duas matrizes eA B , de ordem m n× , são ditas serem 
iguais se todos os seus elementos são iguais. Isto pode se expressar com a seguinte 
relação de igualdade: 
jiba ijij ,,∀= 
 
A expressão 
jiba ijij ,,∀= , 
também pode ser colocada como: 
 
, {1, ..., }, {1, ..., }ij ija b i m j n= ∀ ∈ ∀ ∈ . 
 
Exemplo 7 
Forneça condições para estabelecer a igualdade das matrizes A e S dadas abaixo. 
0 2 0 1
2 0 2
0 2 0 0
1 0 0
t
A
t
− 
 
− − =
 −
 
 
, 
11 2 0 1
2 2
0 2 0 0
1 0 0
s
y t
S
t
− 
 
− − =
 −
 
− 
. 
Solução 
Como as matrizes são de ordem 4, teremos 
 }4,...,1{, ∈ji . Se A S= , então, 
ij ija s= },4,...,1{, ∈∀ ji assim: 
11 110a s= = . 
22 220a s y= = = , 
daí resulta 
0y = . 
Também, 
24 24 ,a t s t= − = = − 
 17
com isso 
Rt ∈ . 
Mais, 
42 42 ,a t s t= = = − 
2 0t = , 
que implica, 
0t = . 
Por último, 
∈t R e 0t = , implica t =0. 
As matrizes 





=
11
11
A e 





=
111
111
B possuem os mesmos elementos, mas não 
são iguais, Porque? 
Exercício 4. Determine os valores de b de tal forma que a matriz� = 	 �1 1� 1		1 1� 11 �1 1		1 1� �� seja 
simétrica. 
1.3 Operações com Matrizes 
A seguir serão definidas as operações de adição, produto por um escalar e produto de 
matrizes. 
 • Adição de matrizes 
Dadas as matrizes [ ]ij m x nA a= e [ ]ij m x nB b= , a adição das matrizes A e B é a matriz 
[ ]ij m xnC c= , onde ijijij bac += , ,i j∀ . 
Notação: C A B= + . 
[ ]ij ij m x nA B a b+ = + 
 
Exemplo 8 
Se 
0 2 0 1
2 0 2
0 2 0 0
1 0 0
t
A
t
− 
 
− − =
 −
 
 
 e 
11 2 0 1
2 2
0 2 0 0
1 0 0
s
y t
S
t
 
 
− − =
 −
 
− 
, calcule C A S= + para ,t y e 11s 
quaisquer números reais. 
 18
Solução 
Ao aplicarmos a definição de soma de matrizes nas matrizes A e S , teremos: 












−
−
=
0002
0040
200
004
C
11
ty
s
. 
 
• Produto de uma matriz por um escalar 
 Dado o escalar α , o produto da matriz A pelo escalar é uma matriz da mesma 
ordem cujos elementos foram multiplicados pelo valor α . Em outras palavras, se 
[ ]ij m x nA a= e ∈α R, o produto de A pelo escalar α é uma matriz C de elementos ijc
com ij ijc aα= para todos os valores ,i j definidos na matriz A . Isto é: 
 
[ ]ij m xnC c= , tal que ijij ac α= , ji,∀ . 
 
Notação: C Aα= 
nmijaA ×= ][αα . 
Exemplo 9 
Multiplique a matriz 4I pelo escalar 2−=α . 
4
1 0 0 0 2 0 0 0
0 1 0 0 0 2 0 0
2
0 0 1 0 0 0 2 0
0 0 0 1 0 0 0 2
C Iα
−   
   
−   = = − =
   −
   
−   
. 
Nota 
-1.A = -A. 
• Produto de matrizes 
Dadas as matrizes [ ]i k m xtA a= e [ ]k j t xnB b= , o produto das matrizes A e B é uma matriz 
nxmijcC ][= cujos elementos ijc são da forma 
1
t
ij ik kj
k
c a b
=
=∑ . 
 
 19
Isto é, ao definirmos as matrizes
 
11 12 1 11 12 11 12 1
21 22 2 21 22 2 21 22 2
1
,
t l n n
t n n
ml ml mt t t l t n ml ml mnm xt t xn m xn
a a a b b b c c c
a a a b b b c c c
A B e C
a a a b b a c c c
     
     
     
= = =
     
     
          
L L L
L L L
M M L M M M L M M M L M
L L L
 
 
Os elementos cij da matriz produto adotam a forma: 
jttijijiij bababac +++= L2211 
∑
=
=
t
k
jkkiij bac
1
. 
Nota: para o produto ser possível o número de colunas de A deve ser igual ao número de 
linha da matriz B. 
Exemplo 10 
Seja a matriz A de ordem 3 dada abaixo e a matriz B , de ordem 3x4, fornecida no 
Exemplo 2. Obter a matriz produto C AB= . 
 
Solução 
Desde que o número de colunas de A seja igual ao número de linhas de B ( )3t = , o 
produto pedido é possível. As matrizes explicitadas são dadas respectivamente por: 
2 3 4
3 4 5
4 5 6
A
 
 
=  
  
, 
1 1 1 1
2 4 8 16
3 9 27 81
B
 
 
=  
  
 
 
Para obtermos a matriz produto 
3 4ij
C AB c
×
 = =   
 
com elementos 4,...,1 ,3,...,1 ,
3
1
=== ∑
=
jibac
k
jkikij . 
Percorrendo cada valor de ei j dado temos os elementos da: 
Primeira linha, 
11 (2)(1) (3)(2) (4)(3),c = + + 12 (2)(1) (3)(4) (4)(9),c = + + 
 13 (2)(1) (3)(8) (4)(27),c = + + 14 (2)(1) (3)(16) (4)(81),c = + + . 
 20
Segunda linha, 
21 (3)(1) (4)(2) (5)(3),c = + + 22 (3)(1) (4)(4) (5)(9),c = + + 
 23 (3)(1) (4)(8) (5)(27),c = + + 24 (3)(1) (4)(16) (5)(81),c = + + . 
E, por último, as da terceira linha: 
 )3)(6()2)(5()1)(4(31 ++=c , )9)(6()4)(5()1)(4(32 ++=c , 
)27)(6()8)(5()1)(4(33 ++=c , )81)(6()16)(5()1)(4(34 ++=c . 
 
 Sendo assim, temos a seguinte matriz: 
11 12 13 14
21 22 23 24
31 32 33 34
c c c c
C c c c c
c c c c
 
 
=  
  
 










=
5702067832
4721706426
3741345020
 
 
 
Ao multiplicarmos matrizes devemos tomar cuidadocom a ordem das linhas e colunas, ou 
seja, poderemos fazer o produto de matrizes quando o número de colunas da primeira 
matriz seja igual ao número de linhas da segunda. Assim, a matriz produto C terá um 
número de linhas igual ao número de linhas da matriz A e um número de colunas igual ao 
número de colunas de B. 
 
1.3.1 Propriedades das operações com matrizes 
 
Propriedades da Adição 
 
1) .A A B B A+ = + - Comutatividade 
( ) ( )2 )A A B C A B C+ + = + + - Associatividade 
3) ,A A O A+ = [ ]0 m nO ×= - Elemento Neutro da Soma 
4 ) ( )A A A O+ − = - Elemento Simétrico (A – A = O) 
 
Observação 
( 1). 1. ij ijm n m nA A a a× ×   − = − = − = −    
 21
 
Prova da propriedade 1A 
A B B A+ = + 
Seja ij m nA a × =   e ij m nB b × =   
 
 
ij ijm n m n
A B a b
× ×
   + = +   
 
 ( )
ij ij m n
ij ij
m n
a b
a b
×
×
 = + 
 = + 
 
 
Usando a Propriedade comutativa dos números reais 
( ) ( )x y y x+ = + , com ∈yx, R 
 
 
temos, 
 = nxmijij ab )][( + 
 = 
nxmijij ab ][ + 
 = B A+ 
Logo, 
 .A B B A+ = + 
 
Prova da propriedade 2A 
Consideremos, 
[ ]ij m x nA a= , [ ]i j m nB b ×= e [ ]i j m x nC c= . 
Da definição de soma de matrizes, 
[ ]ij ij m x nA B a b+ = + 
e 
( ) [( ) ]ij ij ij m xnA B C a b c+ + = + + . 
Usando a propriedade associativa dos números reais: 
( ) ( )x y z x y z+ + = + + com ∈zyx ,, R. 
 22
Temos então, 
= nxmijijij cba )]([ ++ . 
E usando a definição de soma de matrizes 
= nxmijijij cba ][][ ++ 
( )A B C= + + . 
Logo, 
( ) ( ).A B C A B C+ + = + + 
 
Prova da Propriedade 3A 
A O A+ = 
Seja [ ]ij m x nA a= e [0]m xnO = 
[ 0] [( 0)]ij m x n ij m x nA O a a+ = + = + . 
Pela propriedade dos números reais 
0x x+ =
 
com ∈x R. 
.
 
Então, 
 
i,jaa ijij ∀=+ ,0 . 
Com isso, 
 nxmijnxmij aa ][]0[ =+ 
 
A= 
Logo, 
 A O A+ = 
 
Prova da Propriedade 4A 
 ( )A A O+ − = 
Seja [ ]ij m x nA a= e [ ]ij m x nA a− = − . 
 ( ) [ ( )]ij ij m xnA A a a+ − = + − 
Pela propriedade dos números reais 
( ) 0x x+ − = com ∈x R. 
 23
Então, 
 .,,0)( jiaa ijij ∀=−+ 
Assim, 
 [ ( )] [0]ij ij m x n m x na a O+ − = = 
Logo, 
 ( )A A O+ − = . 
 
Propriedades do Produto por um escalar 
Sejam A e B duas matrizes da mesma ordem e βα , dois escalares, então: 
 1)M ( ) ( )A Aα β αβ= 
 2 )M ( )A B A Bα α α+ = + 
 3 )M ( ) A A Aα β α β+ = + 
 4 )M 1.A A= 
 
Observação 
Quando trabalhamos com matrizes, pode acontecer a necessidade de multiplicar pelo 
escalar zero dando como resultado a matriz nula. Isto é, 0A O= . Consegue discernir a 
diferença entre o zero escalar e a matriz zero? Vejamos, se [ ]ij m x nA a= , [0]m x nO = e o 
escalar nulo (0): 
[ ]
nmijaA ×= 00 
 [0 ]ij m x na= ⋅ 
 [0]m xn= 
 O= . 
 
Prova das Propriedades 
 
Prova da Propriedade 3M 
( ) A A Aα β α β+ = + 
 
 24
Sejam βα , dois escalares e a matriz [ ]ij m x nA a= , então 
 ( ) A = ( )[ ]ij m x naα β α β+ ⋅ + 
 = nxmija ])[( βα + 
Usando a propriedade distributiva dos números reais ( ).x y z xz yz+ = + para cada 
elemento da matriz, temos: 
= nxmijij aa )]()[( βα + 
= [ ] [ ]ij m x n ij m x na aα β+ 
Pela definição de produto por um escalar, 
= [ ] [ ]ij m x n ij m x na aα β+ 
= AA βα + 
Logo, 
( ) A = A Aα β α β+ ⋅ + . 
 
Prova da Propriedade 4M 
 1.A A= . 
 Seja [ ]ij m x nA a= e o escalar 1∈ R. 
 1. 1 [ ]ij m x nA a= ⋅ 
 = nxmija ]1[ ⋅ 
 = nxmija )]1[( ⋅ 
Usando a propriedade do elemento neutro da multiplicação dos números reais, 
 
( )1.x x= , para ∈x R. 
Temos, 
nxmijnxmij aa ][]1[ =⋅ A= 
Logo, 
1.A A= . 
 
Exercício 5 
Prove as outras propriedades do produto de uma matriz por um escalar. 
 25
 
 
Propriedades do Produto de matrizes 
 Ao enunciar as propriedades do produto de matrizes não explicitamos a ordem das 
mesmas, por exemplo em 1P , ( ) ( )AB C A BC= supõe possíveis os produtos AB e BC , isto 
é o número de colunas de A é igual ao número de linhas de B e o número de colunas de B 
é igual ao número de linhas de C . 
 
 1)P ( ) ( )AB C A BC= – Associativa 
 2 )P ( )A B C AB AC+ = + – Distributiva 
 3)P ( )A B C AC BC+ = + 
 4 )P ( ) ( ) ( )AB A B A Bα α α= = 
 
 
Prova das propriedades: 
 
Prova da Propriedade 3P 
( )A B C AC BC+ = + . 
Sejam as matrizes [ ]i k m x pA a= , [ ]i k mx pB b= , [ ]k j p xnC c= , então. 
( )A B C+ = npxjkpxmkiki cba ][.)][( + 
Usando a definição do produto de matrizes para A B+ e C temos: 
∑
=
+=
p
k
nxmjkkiki cba
1
])([ 
Usando a propriedade distributiva dos números reais 
nxmjkkijk
p
k
ki cbca ][
1
+= ∑
=
. 
 
Pela propriedade 2 dos somatórios (a lista de propriedades se encontra no final desta seção) 
e da definição de adição de matrizes, 
 26
nxmjk
p
k
ki
p
k
nxmjkki
p
k
nxmjkki
p
k
jkki cbcacbca ][][][
1111
∑∑∑∑
====
+=+ . 
Pela definição do produto de matrizes 
AC BC= + , 
logo, 
( )A B C AC BC+ = + . 
 
Prova da propriedade 4P 
( ) ( ).AB A Bα α= 
 ( ) ( ).BA B Aα α= 
Seja ∈a R, [ ]ik m xtA a= e [ ]kj t x nB b= 
( )ABα = txnkjtxmik ba ].[][ α = 
nxm
t
k
kjik )b(a 





⋅∑
=1
α . 
Usando a propriedade do somatório 
∑
=
n
i
ixc
1
 = ∑
=
n
i
ixc
1
, c : constante, 
temos, 
 = 
nm
t
k
kjik ba
×=






⋅∑
1
)(α
 
Da propriedade associativa dos números reais: 
( . ). .( . )x y z x y z= com ∈zyx ,, R. 
 
Temos, 
 
nm
t
k
kjik ba
×=






⋅= ∑
1
)(α , 
E pela definição de produto de matrizes e produto de uma matriz por um escalar, 
( )A Bα= .
 
Logo, 
( ) ( )AB A Bα α= ⋅ . 
 
 
 27
Observação 
É importante observar que em geral AB BA≠ , isso será ilustrado com o seguinte exemplo. 
 
Exemplo 11 
Dadas as matrizes 
1 0
0 1
A  =  
− 
 e 
1 1
1 0
B
 
=  
 
, a matriz produto AB = 





− 01
11
, entretanto 
BA = 




 −
01
11
 verificando que AB BA≠ . 
 
Exercício 6 
Prove as outras propriedades do produto de uma matriz. 
 
Transposta de uma Matriz 
Seja [ ]i j m x nA a= , a matriz transposta de A , denotada por 'A . 
é aquela matriz obtida trocando as linhas pelas colunas de A . Isto é: 
 
mnjiaA ×= ][' . 
 
Por exemplo, se 
2 3
1 2 3
4 5 6
x
A  =  
 
, a matriz transposta é uma matriz de ordem 3x2 dada 
por: 
'
3 2
1 4
2 5
3 6
x
A
 
 
=  
  
 
 
Observe que na matriz transposta cada elemento na linha i e coluna j aparece como sendo 
um elemento da linha j e coluna i da matriz A . 
 
Exemplo 12 
Seja A uma matriz de ordem 2 encontre o valor de x de modo que 'A A= 
 28
1
1 0
x
A  =  
− 
 
Solução 
 
'
1 1
0
A
x
− 
=  
 
 
Como 'A A= é uma condição do exercício, então 
 




 −
=





− 0
11
01
1
x
x
 
 
Isto será válido apenas se 1x = − . 
Na literatura é também usual encontrar a transposta de uma matriz denotada como TA ou 
tA , mas usaremos tal notação pelo fato de ser a forma como trabalharemos 
computacionalmente com alguns softwares como MATLAB® ou SCILAB, durante as 
nossas aulas ou no ambiente virtual. 
Observação 
Uma outra forma de definir a matriz simétrica é usandoa matriz transposta. Assim, diremos 
que uma matriz é simétrica se ela coincide com a sua transposta, isto é, 'A A= . 
 
Propriedades da matriz transposta 
1) ' '( )A A= 
2) ' ' '( )A B A B+ = + 
3) ' ' '( )AB B A= 
4) ����� = ���, � ∈ � . 
 
Prova da propriedade 3 
( ) ' ' 'AB B A= . 
 
Sejam [ ]i k m x pA a= , [ ]kj p xnB b= 
 
1
p
ik kj
k m xn
AB a b
=
 
=  
 
∑ 
 29
 
 
[ ]ij m x nc= . 
Com, 
 
1
p
ij ik kj
k
c a b
=
=∑ 
Pela definição de transposta de uma matriz, 
 ( ) ' [ ]ji n x mAB c= 
 = 
mxn
p
k
kijkba 





∑
=1
 (1) 
Pode-se verificar que 
 ∑∑
==
=
p
k
kijk
p
k
kijk baab
11
 (2) 
 
Por outro lado 
' [ ]jk n x pB b= , ' [ ]ki p xmA a= 
Observe que {1 }k p∈ L , e 
 
1
' '
p
jk ki
k n xm
B A b a
=
 
=  
 
∑ 
( deixamos ao leitor a tarefa de pesquisar a propriedade do somatório usado ), substituindo 
(2) e (1) 
 
'
1
( )
p
jk ki
k n xm
AB b a
=
 
=  
 
∑ 
Logo, 
( )' ' 'AB B A= . 
 
Exercício 7 
Prove as demais propriedades, justificando todos os passos do seu procedimento. 
 
Exercício 8 
Prove que se 'A A= − , então A é anti-simétrica. 
 30
 
 
 
Exercício 9 
Dado uma escalar não nulo, α , prove que, se A é uma matriz simétrica e B é uma matriz 
anti-simétrica, então, ��A é simétrica e ��� é anti-simétrica. 
Exemplo 13 
Prove que toda matriz quadrada pode ser colocada como a soma de uma matriz simétrica 
com outra anti-simétrica. 
 
Solução (Método I) 
Seja [ ]ij nA a= . Em primeiro lugar vejamos que 'A A+ é uma matriz simétrica. 
De fato 
 
' ' '
'A A A A+ = + (propriedade 1 da matriz transposta) 
 
'( ) 'A A= + ( definição de transposta) 
e usando comutatividade: 
=
'( ')A A+ . 
Isto é, 'A A+ é uma matriz simétrica. 
 
Também 'A A− é anti-simétrica. Vejamos, 
 ( ' ) 'A A− = 
 = '' 'A A− (propriedade 2 da matriz transposta) 
 = 'A A− (propriedade 1 da matriz transposta) 
 = ( ' ).A A− − (propriedade M2 (α =-1) e propriedade A1) 
Isto é 'A A− é uma matriz anti-simétrica. 
(Método II) Dica: Suponha A = B+C com B simétrica e C anti-simétrica e encontre B e C. 
 
Agora observe que 
' '
2 2
A A A AA + − = +  
 
, aqui usamos o Exercício 8, α =2. 
pois já foi visto que se uma matriz é simétrica, α vezes a matriz também é simétrica . 
 31
Isto é, A é a soma de uma matriz simétrica com outra anti-simétrica. 
 
Nota. No livro é apresentado apenas o Método II 
Potência de uma Matriz: A p 
Seja A uma matriz quadrada e p um inteiro positivo, a potência p da matriz A , denotada 
por pA está definida por: 
{
p
p vezes
A A A= K 
 
Exemplo 14 
Se [ ]ij nA a= com jiaij −= , calcular 3A , para 2,3, 4n = . 
Solução 
Se n= 2 e pela lei de formação fornecida, obtemos facilmente o valor de A : 
0 1
1 0
A
− 
=  
 
. 
Assim, 
 
2 0 1
1 0
A AA
− 
= =  
 





 −
01
10
 = 





−
−
10
01
. 
 Se p = 3, 
3 2 1 0
0 1
A AAA A A
− 
= = =  
− 





 −
01
10
 = 





− 01
10
. 
Deixamos como exercício calcular A3 nos casos n = 3,4 . Também, calcule A4. 
 
Observações 
1) Calcular pA equivale a calcular 1.pA A− . Assim se quiser encontrar 50A , calcule 
49A e multiplicar o resultado por A (para o que previamente calculou o valor de 
48A , etc). 
2) Por definição se 0p = e A O≠ então 0A I= . 
 
 
 
 32
Traço de uma Matriz 
Dada [ ]ij nA a= , o traço de A , denotado por ( )Tr A , é o número dado pela soma dos 
elementos da diagonal principal. Isto é: 
1
( )
n
ii
i
Tr A a
=
=∑ 
Por exemplo, se 
1 1 1 0
0 0 2 5
3 4 7 1
0 0 0 5
A
− 
 
 =
 
 
 
 ⇒ ( )Tr A = 1 + 0 + 7 + 5 = 13 
 
Propriedades do Traço 
1) ( ) ( ) ( )Tr A B Tr A Tr B+ = + 
2) ( ) ( )Tr A Tr Aα α= 
3) ( ´) ( )Tr A Tr A= 
4) ( ) ( )Tr AB Tr BA= 
 
Prova das Propriedades 
 
 Prova da Propriedade 1 
( ) ( ) ( )Tr A B Tr A Tr B+ = + 
Sejam [ ]ij nA a= e [ ]ij nB b= duas matrizes quadradas. 
 
Pela definição do traço, 
1
( ) ( )
n
ii ii
i
Tr A B a b
=
+ = +∑ , 
e pela propriedade do somatório: 
=
 
11
∑∑
==
+
n
i
ii
n
i
ii ba 
= ( ) ( )Tr A Tr B+ 
 
 33
Exercício 10 
Prove as outras propriedades. 
 
 
 
Exercícios resolvidos 
a) Dada a matriz 
2 3
1 1 7
0 5 2
x
A
− 
=  
− 
, encontre a sua transposta. 
Solução 
 
'A = 
23
2
5
0
 
7
1
1
x










−
− 
 
b) Encontre o traço de matriz identidade. 
Solução 
Seja nI a matriz identidade de ordem n . 
∑
=
=
n
i
nITr
1
1)( . 
= n. 
 
 
c) Encontre o traço de uma matriz diagonal e de uma matriz triangular de qualquer 
ordem. 
 
Solução 
Usando a notação simplificada, temos a matriz diagonal 1 2{ , ,..., }nD diag d d d= . Assim 
1
( )
n
i
i
Tr D d
=
=∑ . 
Deixamos para você o cálculo do traço no caso de se ter uma matriz triangular. 
 
 
 34
 
 
Propriedades de Somatórios 
Os seguintes itens fornecem algumas propriedades de somatórios úteis para a prova das 
propriedades listadas anteriormente. 
 
a) ∑∑
==
=
n
j
j
n
i
i bb
11
 
b) ∑
=
+
n
i
ii ba
1
)( = ∑
=
n
i
ia
1
+ ∑
=
n
i
ib
1
 
c) k
n
i
i ab∑
=1
 = ∑
=
n
i
ik ba
1
 
d) ∑∑∑∑
= == =
=
m
j
n
i
ij
n
i
m
j
ij bb
1 11 1
 
 
 
Observação 
No final deste capítulo você encontrará um resumo de todas as propriedades até aqui 
utilizadas, que servirá de ajuda ao resolver exercícios de demonstração. 
 
Exercícios 
 
Os exercícios 11, 12, 13 e 14 serão fornecidos em sala de aula. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 35
1.4. Determinantes 
 
1.4.1 Menor de uma matriz: ijM 
Dada uma matriz quadrada, [ ]i j nA a= , o menor de uma matriz, denotado por ijM , é uma 
submatriz de ordem ( 1)n − obtida ao cancelarmos a linha i e a coluna j . 
Assim, se 
 




















=
nnjnnn
nijiii
nj
nj
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
LL
MLMLMM
LL
MLMLMM
LL
LL
21
21
222221
111211
A )1(][M −=⇒ njiji a 
 
com 
 






















=
+−
+++−+++
−+−−−−−
+−
+−
nnjnjnnn
nijijiii
nijijiii
njj
njj
ij
aaaaa
aaaaa
aaaaa
aaaaa
aaaaa
LL
M
LL
LL
MMMMMMM
LL
LL
)1()1(21
)1()1)(1()1)(1(2)1(1)1(
)1()1)(1()1)(1(2)1(1)1(
212)1(22221
111)1(11211
M
 
 
 
Exemplos: 
Se 
2 3 4 5 6
0 0 1 3 4
2 1 3 2 0
0 0 0 1 0
1 1 1 1 1
A
 
 
 
 = −
 
− 
  
, 
então, o menor 34M é obtido ao eliminarmos a linha 3 e a coluna 4, isto é: 
 36
34
2 3 4 6
0 0 1 4
0 0 0 0
1 1 1 1
M
 
 
 =
 
 
 
. 
Similarmente ao eliminarmos a linha 1 e coluna 1, obtemos o menor 11M . 
 11
0 1 3 4
1 3 2 0
0 0 1 0
1 1 1 1
M
 
 
− =
 −
 
 
. 
Exercício 15 
Verifique que [ ]i j nA a= (com 2n elementos) possui 2n menores. 
 
Nesta parte da teoria assumimos quevocê está familiarizado com o cálculo de 
determinantes de matrizes de ordem 2 e 3. O valor do determinante de uma matriz A é 
denotado nas formas det( )A , det A ou A . Por exemplo, se 
0 1
1 0
A  =  
− 
, então det(A) = (0)(0) – (-1)(1) = 1. 
 
Similarmente, se 
1 2 3
4 5 6
7 8 9
B
 
 
=  
  
, então 
det( ) (1)(5)(9) (2)(6)(7) (3)(4)(8) (7)(5)(3) (8)(6)(1) (9)(4)(2)B = + + − − − = 
= 45 + 84 + 96 -105 – 48 -72 = 0. 
Com esses exemplos, estamos relembrando de forma rápida que o determinante de uma 
matriz de ordem 2 calcula-se de uma única maneira: o produto dos elementos da 
diagonal principal menos o produto dos elementos da diagonal secundária. E o 
determinante de uma matriz de ordem 3 calcula-se pela Regra de Sarrus . 
 
 
 
 37
1.4.2 Cofator de uma Matriz: i jA 
O cofator i jA do elemento na posição (i, j) e uma matriz A é dado pelo valor do 
determinante i jM vezes o valor ( 1)i j+− . Isto é: 
 
( 1) det ( )i ji j i jA M+= − 
ou 
 ( 1)i ji j i jA M+= − . 
 
Exemplo 15. Se 
2 3 4 6
0 0 1 4
0 0 0 0
1 1 1 1
A
 
 
 =
 
 
 
, Calcule 44 11 31 33 14 23 32, , , , , ,A A A A A A A 
Solução 
 
4 4
44 44
2 3 4
( 1) ( 1) 0 0 1 0
0 0 0
A M+= − = + =
 
 
1 1
11 11
0 1 4
( 1) ( 1) 0 0 0 0
1 1 1
A M+= − = + =
 
 
3 1
31 31
3 4 6
( 1) ( 1) 0 1 4
1 1 1
A M+= − = +
 = 19 -18 = 1 
 
3 3
33 33
2 3 6
( 1) ( 1) 0 0 4
1 1 1
A M+= − = +
 = 4 
 
0
111
000
100
)1( )1( 144114 =−=−= + MA 
 38
 
0
111
000
632
)1( )1( 233223 =−=−= + MA
 
111
410
642
)1( )1( 322332 −=−= + MA = -(18-14) = -4. 
Observe as mudanças de sinais dos elementos nas posições ( )ij , isto é, ( 1)i j+− : 
+−+−
−+−+
+−+−
−+−+
 
Em geral, para uma matriz de qualquer ordem, as mudanças de sinais dos elementos nas 
posições (i, j), isto é ( ( 1)i j+− ) : 
LMMM
L
L
L
L
−+−
+−+
−+−
+−+
 
 
1.4.3 Determinante de A usando cofatores: 
Dada A uma matriz de ordem n , [ ]ij nA a= 
Se 2n = , os menores e os cofatores da linha um da matriz de ordem dois são dados 
respectivamente por: 
M11 = [a22], A11 = a22 
M12 = [a21], A11 = -a21 
E o valor do determinante será: 
 
11 12
11 22 21 12
21 22
det( ) a aA a a a a
a a
= = − 
= ( )12121111 MaMa −+ 
 = 12121111 AaAa + . 
Se 3n = , o valor do determinante da matriz (colocado em função dos cofatores relativos à 
primeira linha) será: 
 39
11 12 13
21 22 23
31 32 33
det( )
a a a
A a a a
a a a
=
 
11 22 33 12 23 31 13 21 32 31 22 13 32 23 11 33 21 12a a a a a a a a a a a a a a a a a a= + + − − − . 
 11 22 33 32 23 12 23 31 33 21 13 21 32 31 22( ) ( ) ( )a a a a a a a a a a a a a a a= − + − + − 
 11 12 12 13 1311( ) ( ) ( )a M a M a M= + + − + + 
 
3
11 11 12 12 13 13 1 1
1
j j
j
a A a A a A a A
=
= + + =∑ . 
Note que calculamos o determinante de A usando cofactores onde i =1. Podemos usar 
qualquer linha da matriz. Por exemplo, se i =2: 
 
21 21 22 22 23 23( ) ( ) ( )A a M a M a M= − + + + − 
 = 21 21 22 22 23 23a A a A a A+ + = 
 = 
3
2 2
1
i i
i
a A
=
∑ (no índice do somatório, colocarmos i ou j é indistinto) . 
Por exemplo, se 










=
987
654
321
A
 o determinante usando a segunda linha é dado por: 
232221 654 AAAA ++= 
 )(6)(5)(4 232221 MMM −+++−= 
 )148(6)219(5)2418(4 −−−+−−= = 24 – 60 + 36 
 = 0. 
No caso geral de uma matriz de ordem n , o cálculo do determinante da matriz referido a 
linha 1 (ou a qualquer linha k ) é dado por: 
 11 11 12 12 1 1n nA a A a A a A= + + +L 
 1 1 1 1
1 1
n n
i i j j
i j
a A a A
= =
= =∑ ∑ . 
Se o desenvolvimento do determinante for referido a qualquer linha k (k fixo), temos: 
 |A|
1
n
kj kj
j
a A
=
=∑ . 
 40
 
Por exemplo, se usamos a matriz do Exemplo 15 e calculamos o determinante pelo 
desenvolvimento de cofatores referido à linha 3 (pois tendo todos seus elementos nulos 
evitaremos cálculos desnecessários). Assim: 
34333231 0000 AAAAA ⋅+⋅+⋅+⋅= = 0 
Nota: Fica como regra, ao calcular o determinante usando cofatores, escolher a linha (ou 
coluna) da matriz que tiver o maior número de elementos nulos. 
 
Similarmente, é possível fazer o desenvolvimento por colunas. Veja, 
1) Desenvolvendo usando a primeira coluna: 
11 11 21 21 1 1... n nA a A a A a A= + + + 
2) Deixamos pra você chegar no seguinte desenvolvimento para uma coluna k qualquer: 
1
A
n
i k i k
i
A a
=
=∑ . 
Nota. O desenvolvimento dado acima para encontrarmos o valor do determinante (usando 
linhas ou colunas) é comumente conhecido como o desenvolvimento de Laplace 
(Astrônomo e matemático francês, Marquês de Pierre Simon de Laplace (1749-1827) ficou 
conhecido como o "Newton francês". Sua carreira foi importante por suas contribuições 
técnicas para as ciências exatas, para o ponto de vista filosófico que ele desenvolveu 
durante sua vida e pela parcela que tomou parte na formação das modernas disciplinas 
científicas.) 
1.4.4 Definição geral do determinante de uma matriz. 
Permutação 
 Dado n números 1, 2, ..., n (ou n objetos distintos) uma permutação destes 
números (ou objetos) consiste em dispô-los em uma determinada ordem. 
 
Exemplo 16 
 Se 3n = , os números 1, 2, 3 podem ser colocados como (1 2 3), (3 2 1), etc. 
 Se 4n = , números 1, 2, 3, 4 podem ser colocados como (1 2 3 4), (4 3 2 1), etc. 
 
Notação. Uma permutação de n números é denotada por ( njjj ...21 ). 
 41
 
Número de Permutações 
1) Dados os números 1, 2 há duas permutações (1 2) e (2 1), ou seja, 2! permutações. 
2) No caso dos números 1, 2, 3, as permutações (3 2 1) e (1 2 3), são dois exemplos, no 
total existem 3! permutações. Quais são?? 
3) Dado n números, 1, 2, ..., n , existem n ! permutações. 
 
Exercício 16 
Calcule o número de permutações possíveis de 4 números. 
 
Inversão 
É o número de mudanças necessárias em uma permutação para voltá-la na sua posição 
ordenada inicial. 
Notação 
Uma inversão de n números será denotada por: 
1 2( ... )nJ J j j j= 
Por exemplo nas permutações dadas acima: 
(1 2 3) 0J = , (1 2 3 4) 0J = e (3 2 1) 3J = . 
No último caso embora o número 2 esteja na posição que lhe corresponde, para colocarmos 
os números 3 e 1 no seu lugar será necessário fazermos assim: 
 
(3 2 1) � (2 3 1) � (2 1 3) e por último (1 2 3). Ou (3 2 1) � (3 1 2) � (1 3 2) e por 
último (1 2 3). 
Em ambos os casos haverá 3 inversões. 
Exemplo 17 
Construir uma tabela do número de inversões possíveis de 2 e 3 números. 
Solução 
Se 2n = , considere os números 1 e 2. 
Permutação Nº. de inversões 
12 (1 2) 0J = 
21 (2 1) 1J = 
 42
 
 
Se 3n = , considere os números 1, 2 e 3. 
Permutação Nº. de inversões 
123 (1 2 3) 0J = 
132 (1 3 2) 1J = 
213 (2 1 3) 1J = 
231 (2 3 1) 2J = 
312 (3 1 2) 2J = 
321 (3 2 1) 3J = 
 
Exercício 17 
Verifique que o número de inversões da permutação (4 3 2 1)J é igual a 6. 
 
Exemplo 18 
Construir uma tabela do número de inversões de 4 números. 
Solução 
Neste caso o número de inversões para cada permutação )( 4321 jjjj será dada por 
J )...( 421 jjj . O resultado será colocado na segunda coluna da tabela. 
 
Permutação Nº. de inversões 
1234 0 
1243 1 
1324 1 
1342 2 
1432 3 
14232 
2134 1 
2143 : 
2314 : 
 43
2341 : 
2431 : 
M 
 
 
Deixamos para você completar a tabela. 
 
Determinante 
 
Definição Dada a matriz de ordem n , [ ]ij nA a= , o determinante de A , é definido por: 
1 21 2
det( ) ( 1) ...
n
J
j j njA a a a
ρ
= −∑ 
Onde 1 2( ... )nJ J j j j= indica o número de inversões da permutação )...( 21 njjj , ρ indica 
que o somatório é estendido a todas as n! permutações dos números 1, 2,..., n . 
 
Exemplo 19 
 Verifique o uso da definição nos casos dos determinantes de ordem 2 e 3. 
Solução 
Na solução deste exemplo serão usados os resultados obtidos no Exemplo 17. 
Se 2n = , então ρ = 2, assim 
1 2
1 2
( ) 0 1
1 2 11 22 12 21 11 22 12 21det( ) ( 1) ( 1) ( 1)J j j j jA a a a a a a a a a a
ρ
= − = − + − = −∑ . 
Se 3n = , ρ = 6 e assim 
 
 
1 2 3
1 2 3
( )
1 2 3det( ) ( 1)J j j j j j jA a a a
ρ
= −∑ 
 
 = 122133112332132231322113312312332211 aaaaaaaaaaaaaaaaaa −−−++ . 
Exercício 18 
a) Obtenha o desenvolvimento para o caso de um determinante de ordem 4. 
b) Verifique a relação desse desenvolvimento com o desenvolvimento dos 
cofatores. 
 44
Propriedades do Determinante 
 
1) Se A possui uma linha (ou colunas) de zeros, então, det( ) 0A = . 
2) Se A possui duas linhas (ou colunas) iguais, então, det( ) 0A = . 
3) Se B é obtida de A multiplicando uma linha (ou coluna) por um escalar α , então, 
det( ) det( )B Aα= . 
4) Se B é obtida por troca das posições relativas de duas linhas (ou colunas) da matriz 
A , então, det( ) det( )B A= − . 
5) Se B é obtida de A , substituindo a linha i (ou coluna) por ela somada a um 
múltiplo escalar de outra linha j (ou coluna) ( j i≠ ) então, det( ) det( )B A= . 
6) det( ) det( ')A A= . 
7) det( ) det( ).det( )AB A B= . 
 
Observações 
 
Não é objetivo do presente material didático fazer as demonstrações das propriedades 
anteriores, porém as mesmas podem ser provadas a partir da definição do determinante. 
Mais detalhes a respeito destas demonstrações podem ser encontrados no livro de Álgebra 
Linear do Callioli, citado no final deste capítulo. 
Na seção 1.4.3, ao calcular o determinante usando cofatores, usamos o desenvolvimento 
(referidos às linhas) dado por 
1
det( )
n
k i k i
i
A a A
=
=∑ , onde k é a k-ésima linha escolhida. Já 
foi comentado que o mesmo resultado pode ser obtido usando as colunas. 
 
Podemos enunciar uma oitava propriedade usando desenvolvimentos similares. 
Propriedade 8 
∑
=
n
i
ilik Aa
1
 = 0, l k≠ , k , l valores fixos. 
Verifiquemos a propriedade com o seguinte exemplo. Se k = 1, l = 2 e n = 2: 
22122111
2
1
21 AaAaAa
i
ii +=∑
=
. 
 45
 Assim, se 
1 2
3 4
A  =  
 
, 
então: 
21 2A = − e 22 1A = , 
dessa forma: 
2
1 2
1
1( 2) 2(1) 0i i
i
a A
=
= − + =∑ . 
Também, ao usarmos o desenvolvimento pelas colunas e escolhendo 2=l , 1=k , 
encontramos também que: 
0)2(4)4(2
2
1
12
2
1
=−+==∑∑
== i
ii
i
ikil AaAa . 
Exercício 19 
Use as operações elementares e o método de Laplace para encontrar o determinante das 
matrizes: 
 
� = 	 � 2 	13 	2				3 4				4 52 2−2 1			1 0			3 1�, � =	 �
	1 	1	2 	3				2 −1				0 −2−1 11 2			2 2			1 1 �, ! =	 �
1 0 32 −1 4−6 −1 −17
 
 
Exercício 20 
Usando apenas as propriedades dos determinantes mostre que det(A) = det(B). As matrizes 
são A = #$ % + 2$� ' + 2�(, � =	 #$ %� '(. 
 
1.5 Matriz Adjunta: ( )Adj A 
 
Dada [ ]ij nA a= , a matriz adjunta de A é dada por 
( )Adj A = ( )( ) 'ACof , 
Onde ( )Cof A é a matriz cujos elementos são os cofatores ijA da matriz A , ou seja, a 
matriz onde cada elemento é o cofator Aij da matriz A . Um exemplo para esta definição é 
o seguinte. 
 46
Se 
1 2
2 4
B
− 
=  
− 
, então, os cofatores são: 
 
B11 = (-1)1+1 M11 = -4 
B12 = (-1)1+2 M12 = -2 
B21 = (-1)2+1 M21 = 2 e 
4 2( ) ( 2) 1Cof B
− − 
=  
− − 
. 
B22 = (-1)2+2 M22 = 1 
 
 Assim 
 
'4 2 4 2( ) ( 2) 1 2 1Adj B
− − −   
= =   
− − −   
 
 
Exemplo 20 
Calcule a matriz adjunta de A dada por: 
2 1 0
3 1 4
1 6 5
A
 
 
= − 
  
. 
Solução 
A matriz de cofatores de A e dada por: 
11 12 13
21 22 23
31 32 33
19 19 19
( ) 5 10 11
4 8 5
A A A
Cof A A A A
A A A
− −   
   
= = − −   
   −   
. 
Pois 
1 1 1 21 9, 1 9A A= − = , A13 = -19, 
A21 = -5, A22 = 10, A23 = -11, 
A31 = 4, A32 = -8, A33 = 5. 
 
 
 
 
 47
Assim, 
( ) ( ) 'Adj A Cof A= 
= 
′










−
−−
−−
584
11105
191919
 
 
 = 










−−
−
−−
51119
81019 
4519
. 
 
Também, o determinante da matriz A , det( ) 19A = − , pois 
det A = a11A11 + a12A12 + a13A13 = 2(-19) + 1(19) + 0 (-19) 
 = -19 . 
 
Observe que: 
3
19 0 0
0 19 0 det( ) .
0 0 19
. ( ) A IA Adj A
− 
 
= − = 
 − 
 
 
Isto é, 
A ∙	Adj(A) = det(A)	∙ I3 . 
Também , pode-se verificar que 
3( ). det( ).Adj A A A I= 
Com isso, podemos enunciar o teorema que mostra que essa afirmação é válida para 
qualquer matriz quadrada. 
 
Teorema 
Se A é uma matriz de ordem n , 
. det . nA AdjA AdjA A A I⋅ = = . 
Demonstração 
 48
11 1 11 1
1 1
. ( )
n n
n nn n nn
a a A A
a a A A
A Adj A
   
   
=    
      
L L
M M M M L M
L L
 
= 
























∑∑∑∑∑
∑∑∑∑∑
∑∑∑∑∑
∑∑∑∑∑
n
ni
n
ni
n
ni
n
ni
n
ni
n
i
n
ii
n
i
n
i
n
i
n
i
n
ii
n
i
n
i
n
i
n
i
n
i
n
i
aaaaa
aaaaa
aaaaa
aaaaa
1
ni
1
1)i-(n
1
3i
1
2i
1
1i
1
ni3
1
1)i-(n33i3
1
2i3
1
1i3
1
ni2
1
1)i-(n2
1
3i22i2
1
1i2
1
ni1
1
1)i-(n1
1
3i1
1
2i1
1
1i1
AAAAA
AAAAA
AAAAA
AAAAA
L
MMMMM
L
L
L
 
Usando a Propriedade 8 dos determinantes nos elementos fora da diagonal principal, temos 
1 1i
1
2 2i
1
3 3i
1
1
A 0 0 0 0
0 A 0 0 0
0 0 A 0 0
0 0 0 0 A
. ( )
n
i
n
i
n
i
n
ni ni
a
a
a
a
A Adj A
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  
=
∑
∑
∑
∑
L
L
L
M
L
 
 
Pelo desenvolvimento de Laplace (por linhas) temos o valor do determinante: 
k idet( ) A
n
k iA a=∑ , para cada k = 1, 2, ..., n 
isto é: 
det A 0 0
0 det A 0
0 0 det A
. ( )A Adj A
 
 
 =
 
 
 
L
L
M M
L
, 
 = det( ) nA I . 
De forma similar, pode se encontrar 
( ). det( ) nAdj A A A I= . 
Assim, temos demonstrado que 
 49
. ( ) ( ). det( ). nA Adj A Adj A A A I= = . 
Nota. Sem perda de generalidade, no processo de prova pode-se usar o sub-índice j em 
lugar de i. 
 
1.6 Inversa de uma Matriz 
 
Matriz Singular 
Definição 
Uma matriz é dita singular se o seu determinante é nulo. Caso contrário dizemos que a 
matriz é não singular. 
Por exemplo, a matriz 
1 2
2 4
B
− 
=  
− 
 
é uma matriz singular pois det( ) 0B = . 
Já, a matriz identidade de ordem 3 é não singular pois 3det( ) 1I = . Em geral uma matriz 
identidade de ordem qualquer é não singular, porquê? 
 
Matriz Inversa 
 
Definição 
Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Dizemos que A é inversível se existe uma única 
matriz B (da mesma ordem)tal que: 
AB BA I= = . 
B é denominada matriz inversa de A . 
 
Notação. 1B A−= . 
Por exemplo, se 
2 1
0 3
A
− 
=  
 
 a matriz 
1 1
2 6
10 3
B
− 
 =
 
 
 é a respectiva matriz inversa pois, 
1 0
0 1
AB BA   
 
= = . 
 50
Propriedade 
Se A é inversível, então, A é não singular. 
Prova 
Será suficiente encontrar que o det( )A não é nulo. Demonstrando por absurdo, supomos o 
contrário, isto é , det( ) 0A = , e devemos chegar a uma contradição. 
Assim, usando a Propriedade 7 dos determinantes: 
det( ) det( ).det( )AB A B= 
0.det( )B= 
0= . 
Por outro lado, termos por hipótese que A é inversível, então existe B tal que AB I= , 
assim 
det( ) det( )AB I= 
 = 1. 
 
Assim, 0 = 1 , impossível, é uma contradição �⟹⟸�! 
 
Uma vez que a contradição �⟹⟸�, então o enunciado é verdadeiro. Assim a propriedade 
fica demonstrada. Logo, A é não singular. 
 
Conhecendo que det( ) 0A ≠ , para A inversível, uma forma de verificar a existência da 
matriz inversa será encontrando o valor do determinante da matriz. Após essa verificação o 
passo seguinte será encontrarmos a matriz inversa, 1−A . Como exemplo, nos casos das 
matrizes 
2 1
0 3
A
− 
=  
 
 e 
1 2
2 4
B
− 
=  
− 
, podemos afirmar que apenas A possui inversa. 
Como obtermos 1−A ? 
 
1.6.1 Cálculo da Matriz Inversa usando a Matriz Adjunta 
Sabendo que existe 1−A , então, 
1AA− = 1A A I− = . 
Observe pela propriedade da matriz adjunta que 
 51
nIAA
AAdj
A
AAdjA =⋅





=





⋅
detdet
. 
Assim a única possibilidade será: 
A
AAdjA
det
)(1
=
−
. 
Exemplo 21 
Se 
2 1
0 3
A
− 
=  
 
, encontre 1−A . 
Solução 
Encontramos facilmente que det( ) 6A = − , e também a matriz adjunta 
'3 0( )
1 2
Adj A  =  
− − 
, 
Assim 
1
1 1( ) 2 6
1det 0 3
Adj AA
A
−
− 
 = =
 
 
. 
Exercício 21 
a) Seja 
2 1 0
3 1 4
1 6 5
A
 
 
= − 
  
, verifique que 1
5 41 19 19
10 81 19 19
5111 19 19
A−
− 
 
 
−
= −
 
 
−
  
. 
b) Se A é inversível, prove que det(A) = 1/det(A) 
c) Se � = ,$ �% '- com det(A) ≠ 0. Mostre que �.� = �/01	�2� , ' −�−% '$- 
 
1.6.2 Propriedades da Inversa de uma matriz 
Se A e B são matrizes inversíveis, então 
1) 1 1 1( )AB B A− − −= 
2) 1 1)( AA− − = 
3) 1 1( ) ( )t tA A− −= 
4) 1 1det( )
det( )A A
−
= 
 52
 
Prova da Propriedade 1 
1 1 1( )AB B A− − −= . 
Em primeiro lugar vejamos se existe 1( )AB − . Calculando det( )AB : 
det( ) det( ) det( )AB A B= . 
Por hipótese existem as inversas das matrizes A e B ( ∃ 1A− , ∃ 1B− ), isto é, 
det( ) 0A ≠ e det( ) 0B ≠ . Assim det( ) 0AB ≠ e com isso ∃ 1( )AB − , isto é, 
1( )( )AB AB I− = . (1) 
 Como 
1A A I−⋅ = e 1B B I−⋅ = . 
Na segunda parte desta última relação, multiplicamos em ambos os lados pela inversa de 
A (pela direita) 
 
1 1 1( ). .B B A I A− − −⋅ = 
Associando e multiplicando por I , 
1 1 1( )B B A A− − −⋅ = , 
multiplicando à esquerda por A : 
1 1 1( ( ))A B B A AA− − −= , 
associando novamente e sabendo que 1AA I− = , 
1 1( ).( )AB B A I− − = (2) 
Sendo que a existência da matriz inversa é única e comparando as expressões (1) e (2) 
concluímos que 
1 1 1( ) ( )AB B A− − −= . 
 
Nota 
Podemos considerar os seguintes passos após a expressão (2): 
1 1
1 1 1
1
1 1
1 1
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
AB
I B A I AB
AB B A I AB
B A AB
− −
− − −
−
− −
− −
=
=
=
 
 
 
 53
Exercício 22 
Prove as propriedades 2, 3 e 4 justificando o seu procedimento. 
 
 Ao calcular a matriz inversa de A , usando a matriz adjunta vimos que 
A
AAdjA
det
1
=
−
, e nos 
exemplos aplicamos essa relação para matrizes de ordem 2 e 3. Se a ordem da matriz for 
maior ou igual a 4, o procedimento acaba sendo mais trabalhoso. Vejamos agora como 
podemos obter a matriz inversa sem usar a matriz adjunta. 
 
 1.6.3 Cálculo da matriz inversa por operações elementares 
Seja A uma matriz não singular, portanto existe 1A− e det( ) 0A ≠ . Por definição, sabemos 
que 
1AA− = 1A A I− = , 
Então, a idéia é encontrarmos uma matriz que ao ser multiplicada por A (à direita ou á 
esquerda) resulte na matriz identidade. Para tal é necessário conhecer o que são operações 
elementares e fazer uso das matrizes elementares. 
 
Operações elementares 
Operações elementares são realizadas numa matriz com o objetivo de invertê-la, reduzi-la 
ou simplesmente coloca-la num formato especificado previamente. Elas podem ser de três 
tipos: por linha (ou coluna) numa matriz é a mudança efetuada na matriz de tal forma que 
seja efetuada: 
 
1) A troca de uma linha (ou coluna) por outra linha (ou coluna). 
2) A multiplicação de uma linha (ou coluna) por um valor R∈α , com 0≠α . 
3) A soma de uma linha (ou coluna) multiplicada pelo valor R∈α ( 0≠α ) numa outra 
linha (ou coluna). 
 
Se il e jl representam a linhas i e j da matriz e α é o escalar citado anteriormente, 
então, as operações elementares dadas acima serão denotadas respectivamente por 
1) ji ll ↔ ; 
 54
2) α il ; 
3) jij lll +← α . 
Seja A uma matriz, se uma (ou várias) operação elementar for efetuada nessa matriz, 
obteremos uma matriz diferente, a qual a denotaremos por à . Assim o processo 
efetuado será denotado por: 
 
operação(ções)
elementar(es)
A Ã→ 
 
Exemplos 
 
 Se realizamos uma operação elementar na matriz identidade de ordem 2, 2I , e 
trocarmos a linha 1 pela linha 2 da matriz, obtemos a seguinte matriz elementar: 
0 1
1 0
à  =  
 
. 
A operação efetuada é denotada por 
1 2
2
l lI Ã↔→ . 
 
 
 Dada a matriz de ordem 4 
1 0 6 1
0 1 0 0
3 0 2 0
0 1 0 1
A
 
 
 =
 −
 
− 
, 
Ao fazermos a operação elementar que multiplica a linha 3 da matriz por –2, obtemos a 
seguinte matriz 
1 0 6 1
0 1 0 0
6 0 4 0
0 1 0 1
Ã
 
 
 =
 −
 
− 
. 
Indicamos isso com 
 55
3( 2)
1 0 6 1
0 1 0 0
6 0 4 0
0 1 0 1
lA −
 
 
 
→
 −
 
− 
. 
 
 Dada a matriz de ordem 3, 
1 8 2
0 1 0
5 1 3
B
 
 
=  
 − 
, 
ao fazermos duas operações elementares obtemos a seguinte matriz B% , 
2 3 2
1
( 3)
3
3 24 6
15 2 9
5 1 3
l l l
l
B B← − +
 
 
→ − − = 
 − 
%
 
Assim, a matriz B% foi obtida 
1) multiplicando-se a linha 3 por –3 e somando-a à linha 2 da matriz B , 
2) multiplicando a linha 1 por 3. 
 
Observação. A operação elementar 232 )3( lll +−← indica a linha onde a soma das linhas 
estão acontecendo. No caso, a soma será efetuada na linha 2 da matriz. 
 
Exercício 23 
Dadas as matrizes 
2 0
0 2
A
− 
=  
− 
 e 
1 0 0 0
0 1 0 0
 
1 0 1 0
0 0 0 1
B
 
 
 
=
 
 
 
, 
 
Encontre à e B% , após as operações elementares efetuadas em A e B respectivamente. As 
operações são indicadas por: 1 2
12
l l
l
A Ã↔→ e 4 3 4
5 2
1 2
2
l
l l
l l lB B
−
↔
← +
→ % . 
 
 
 56
Exercício 24 
Quais operações elementares devem ser feitas de modo a levar a matriz C na sua forma 
triangular superior? 
1 3 3
0 1 1
1 2 0
C
 
 
=  
  
. 
 
Forma escada de uma matriz 
Ao efetuarmos operações elementares por linhas, na matriz inicial, dizemos que ela está na 
forma escada se, a matriz resultante obter: 
a) O primeiro elemento não nulo deuma linha não nula deve ser igual a 1. 
b) A coluna que contém o primeiro elemento não nulo de alguma linha tem todos os 
seus outros elementos (da coluna) iguais à zero. 
c) Toda linha nula ocorre abaixo de todas as linhas não nulas (isto é, daquelas que 
possuem pelo menos um elemento não nulo). 
d) Se as linhas 1,..., r , são linhas não nulas, e se o primeiro elemento não nulo da linha 
i ocorre na coluna ik (a coluna k referida à linha i ), então, 1 2 ... rk k k< < < . (Exemplo 
se 1i = e 1 3k = , então para 2i = , 1 2k k< significa que 2k será maior que 3 e assim por 
diante). 
 
Exemplos 
 
• As seguintes matrizes encontram-se na forma escada: 






=
000
010
1A , 










−=
00000
21000
30510
2A . 
• Já as seguintes matrizes não estão na forma escada: 
1 1 0
0 1 0
0 0 1
B
− 
 
=  
  
, 
1 1 0 0
0 1 1 0
0 0 1 3
0 0 0 1
C
 
 
− =
 
 
 
, 
0 1 0
1 0 0
0 0 1
D
 
 
=  
  
, 
1 1 0 0
0 1 1 0
0 1 1 1
0 0 0 0
E
 
 
 =
 −
 
 
 
 
 57
Exercício 25 
a) Que elementos das matrizes B e C devem ser trocados para ficar na forma escada? 
b) Justifique quais condições da forma escada de uma matriz não são satisfeitas no 
caso das matrizes C e D. 
Observações 
1) Na prática a forma escada serve para levar uma matriz quadrada na sua forma 
triangular, em que , os elementos da diagonal principal, sejam uns ou zeros. 
2) A prática de reduzir uma matriz usando operações elementares é um exercício muito 
útil para obter a inversa de uma matriz e resolver sistemas lineares. 
 
Operações Elementares versus Matrizes Elementares 
Cada operação elementar é representada por uma matriz elementar (como definido na seção 
1.2) e o produto de sucessivas matrizes elementares pode nos conduzir a matriz inversa. 
Veremos isso com os exemplos e exercícios seguintes. 
 
Exemplo 22 
Dada a matriz A , converta-a numa matriz triangular superior 
1 2 3 4
0 0 1 1
1 2 0 0
1 1 9 3
A
 
 
− =
 
 
− 
. 
Solução 












−
−
3911
0021
1100
4321
 
414
313
 
 
lll
lll
+←
+−←
 → 












−−
−
71230
4300
1100
4321
 
3
2
42
l
ll
 → ↔
 












−
−−
1100
4300
3
7410
4321
 
 → ↔ 34 ll 












−−
−
4300
1100
3
7410
4321
 
4
434
7
1
3 
l
lll






−
+←
 → 
1 2 3 4
70 1 4 3
0 0 1 1
0 0 0 1
Ã
 
 
 
= 
− 
  
. 
Assim, Ã é uma matriz triangular superior. 
 
 58
Exemplo 23 
Encontre matrizes elementares que representam as quatro primeiras operações elementares 
efetuadas no Exemplo 22. 
Solução 
No Exemplo 22 foram efetuadas sete operações elementares, cada uma delas representará, 
respectivamente, as matrizes elementares 1 7,...,E E . Assim a primeira operação 
313 lll +−← dá origem a matriz elementar 
1
1 0 0 0
0 1 0 0
1 0 1 0
0 0 0 1
E
 
 
 =
 −
 
 
. 
Também a operação elementar 414 lll +← origina a matriz elementar 
2
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
1 0 0 1
E
 
 
 =
 
 
 
, 
Similarmente, as operações elementares 42 ll ↔ e 3
2l
 originam as matrizes elementares 
3
1 0 0 0
0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 0
E
 
 
 =
 
 
 
, 4
1 0 0 0
10 0 03
0 0 1 0
0 0 0 1
E
 
 
 
=  
 
  
. 
 
Exercício 26 
Quais foram as matrizes 5 76, ,E E E no exemplo anterior? 
 
Observe que nas matrizes do Exemplo 23 
1
1 2 3 4
0 0 1 1
0 0 3 4
1 1 9 3
E A
 
 
− =
 − −
 
− 
 e 2 1 2
1 2 3 4
0 0 1 1( )
0 0 3 4
1 1 9 3
E E A E
 
 
− =
 − −
 
− 
, 
 
 59
isto é, 
2 1
1 2 3 4
0 0 1 1
0 0 3 4
0 3 12 7
E E A
 
 
− =
 − −
 
 
. 
Similarmente, 
3 2 1 3
1 2 3 4
0 0 1 1( )
0 0 3 4
0 3 12 7
E E E A E
 
 
− =
 − −
 
 
 = 












−
−−
1100
4300
71230
4321
 
e 
4 3 2 1
1 2 3 4
70 1 4
3
0 0 3 4
0 0 1 1
E E E E A
 
 
 
=  
 
− −
 
−  
, 
 
repetindo o processo, chegamos ao seguinte resultado: 
7 6 5 4 3 2 1
1 2 3 4
70 1 4
3
0 0 1 1
0 0 0 1
E E E E E E E A
 
 
 
=  
 
−
 
  
. 
 
Que é a matriz triangular superior obtida no Exemplo 22. 
 
Agora usaremos os conceitos anteriores para aprender a calcular a matriz inversa usando 
operações elementares. 
 
O Exemplo 23 mostrou como ocorre o processo de redução de uma matriz de ordem 4 na 
sua forma triangular superior. Em geral esse será o processo para reduzir matrizes de ordem 
superior. Assim, se A é uma matriz não singular, encontraremos as matrizes elementares 
 60
que transformam a matriz na forma de uma matriz identidade, isto é, encontraremos as 
matrizes elementares 1 2, ,..., kE E E tais que 
3 2 1...kE E E E A I= . 
Assim, se 3 2 1...kB E E E E= estaremos afirmando que 
BA I= . 
Com isso, e usando a definição de matriz inversa, a inversa da matriz será dada por 
1
3 2 1...kA E E E E
−
= , 
A matriz inversa não é mais do que o produto de matrizes elementares! 
Ilustremos esse processo com o seguinte exemplo. 
 
Exemplo 24 
Usando matrizes elementares, obter a matriz inversa da matriz 
1 2 3 4
0 0 1 1
1 2 0 0
1 1 9 3
A
 
 
− =
 
 
− 
. 
Solução 
Usando os resultados obtidos no Exemplo 23 (onde se encontraram 7 matrizes elementares, 
1 7,...,E E , para reduzir a matriz na forma triangular superior) obtivemos que 
 
1 2 3 4
0 0 1 1
1 2 0 0
1 1 9 3
A
 
 
− =
 
 
− 
 
selementare
operações
 → A~
1000
1100
3
7410
4321
=












−
. 
AAEEEEEEE ~1234567 = 
então 
 )~det()det()det( 1234567 AAEEEEEEE = . 
 Assim 
 det(A) ≠ 0 , porque? 
E A é não singular ( 1−∃A ). 
Continuando o processo 
 61












−
1000
1100
3
7410
4321
 
242
343
3
7
 
lll
lll
+





−←
+←
 → 












1000
0100
0410
4321
 
232
141
4 
4- 
lll
lll
+−←
+←
 → 












1000
0100
0010
0321
 
 
121
131
2 
3 
lll
lll
+−←
+−←
 → 
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
I
 
 
  =
 
 
 
. 
 
São construídas mais 6 matrizes elementares 8 9 13, ,...,E E E , e deixamos para você a tarefa 
de explicitá-las! 
 
Temos então, 
713 12 8 1... ...E E E E E A I= , 
e assim, 
713 12 8 1... ... .B E E E E E= 
Isto é, 
1
.BA I A B−= ⇒ = 
Após fazermos o produto, a matriz pedida é: 
1
13 8 1
8 18 17 2
7 7 21 3
9 194 1
7 7 21 3
1 4 1 07 7 7
31 1 07 7 7
,..., ,...,A E E E−
− − 
 
 
−−
 
=
 
−
 
 
− −
  
= . 
 
Observações 
• Ao tentar resolver o exemplo, você pode verificar que o conjunto de matrizes 
elementares encontradas no processo de escalonamento não será o único, pois 
dependerá da escolha das operações elementares efetuadas, não obstante a matriz 
inversa será a mesma. 
 62
• Fizemos questão de apresentar um exemplo com uma matriz de ordem 4 com o 
objetivo de facilitara compreensão do método, além de colocar uma prática que 
usualmente não se expõe em livros da literatura disponível. 
 
 
Um método prático 
O processo anterior foi explicado para que você entenda passo a passo, como uma matriz é 
reduzida até convertê-la na matriz identidade. Na prática, toda vez que se queira obter a 
matriz inversa de uma matriz não singular, se procede da seguinte forma: 
 
operações 1
elementares
A I I A−   →   M M , 
 
ou seja, acrescentamos à direita uma matriz identidade da mesma ordem da matriz, se faz o 
processo de redução e o último resultado terá uma matriz identidade à esquerda e à direita 
terá a inversa da matriz dada. Visto de outra forma, a matriz identidade da direita estará 
armazenando todas as operações elementares efetuadas no processo. 
 
 
Exemplo 25 
Use o método prático para obter matriz inversa do Exemplo 24. 
Solução 
 












−
−
10003911
01000021
00101100
00014321
M
M
M
M
 
313
212
42
lll
lll
ll
+−←
+←
 →
↔
 












−
−−−
00101100
01014300
100171230
00014321
M
M
M
M
 
 
434
34
3 lll
ll
+←
↔
 → 












−−
−
01317000
00101100
100171230
00014321
M
M
M
M
 
141
343
4
242
4
7
1
 
lll
lll
l
lll
+−←
+←
−
+←
 → 
 
 63














−−
−
07
1
7
3
7
11000
07
1
7
4
7
10100
113001230
07
4
7
12
7
30321
M
M
M
M
131
232
3
12
lll
lll
+−←
+−←
 → 
 














−−
−
−−
07
1
7
3
7
11000
07
1
7
4
7
10100
17
19
7
27
7
120030
01000021
M
M
M
M
121
2
2
3
1
lll
l
+−←
→ 
 
















−−
−
−−
−−
07
1
7
3
7
11000
07
1
7
4
7
10100
3
1
21
19
7
9
7
40010
3
2
21
17
7
18
7
80001
M
M
M
M
, 
 
assim, 
1
8 18 17 2
7 7 21 3
9 194 1
7 7 21 3
1 4 1 07 7 7
31 1 07 7 7
A−
− − 
 
 
−−
 
=
 
−
 
 
− −
  
. 
 
Exercício 27 
Use o método anterior para encontrar as matrizes inversas: 
a) da matriz A fornecida no Exemplo 19 
b) das matrizes eA B dadas no Exercício 3. 
 
Exercício 28 
Três matrizes A, B e C são fornecidas no exercício 5, proposto na seção 1.7. Encontre a 
matriz inversa, se possível. 
 
 64
 
1.7 Exercícios Propostos 
 
1. Dadas as matrizes, 
1 2 1
2 3 2
1 4 5
A
− 
 
= − − 
  
, 
1 0 3
2 1 4
3 1 17
B
 
 
= − 
 − − − 
 encontre 
a) 2C A B= + 
b) 2C B= 
c) traço( A ), traço( B ), traço( AB ). 
d) Expresse as matrizes A e B como somas de uma matriz simétrica com outra anti-
simétrica. 
2. Sejam as matrizes A e B , de ordem 4. A = 4[ ]ija com 
 
0 
i
ij
j se i j
a
se i j
 ≥
= 
<
, B uma 
matriz simétrica com ijb = { i j se i j+ ≤ . Encontre: 
a) 2 3C A B= − 
b) 2C B= ,
 
C é uma matriz simétrica? 
 
3. Se A e B são matrizes simétricas, justifique a verdade ou falsidade dos seguintes 
enunciados 
a) A B+ é uma matriz simétrica. 
b) AB é uma matriz simétrica. 
 
Nota: Se sua resposta for verdade prove, caso contrário exiba um contra-exemplo 
 
4. Quais são os valores de b para a matriz 
1 1 1 1
1 1
1 1 1
1 1
b b
A
b
b b
 
 
 =
 
 
 
 ser simétrica? 
 
 
 65
5. Encontre o determinante de cada uma das matrizes: 
 
2 1 3 4
3 2 4 5
2 2 1 0
2 1 3 1
A
 
 
 =
 
 
− 
, 
1 1 2 1
2 3 0 2
1 1 2 2
1 2 1 1
B
− 
 
− =
 −
 
 
, 
1 0 3
2 1 4
6 1 17
C
 
 
= − 
 − − − 
 
 Nota: Ao calcular o determinante use as operações elementares e o método de 
Laplace. 
 
6. Considerando as matrizes dadas no Exercício 5, encontre a matriz inversa, se possível. 
 
7. Usando apenas propriedades dos determinantes mostre que det( A ) = det( B ). As 
matrizes são 
 
2
2
a c a
A
b d b
+ 
=  + 
, 
a c
B
b d
 
=  
 
. 
 
8. Crie situações do cotidiano e monte um enunciado para formular um problema. Nele 
deve fazer uso: 
a) da soma de matrizes 
b) da subtração de matrizes 
c) do produto de matrizes 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 66
Propriedades das matrizes 
Adição de matrizes 
Sejam [ ] , [ ]ij m n ij m nA a B b× ×= = e [ ]ij m nC c ×= , então: 
• A B B A+ = + Comutatividade 
• ( ) ( )A B C A B C+ + = + + Associatividade 
• A O A+ = Elemento neutro 
• ( )A A O+ − = Elemento Oposto 
 
Produto de uma matriz por um escalar 
Dados [ ] , [ ]ij m n ij m nA a B b× ×= = e � ∈ R (um escalar real), então: 
• ( )A B A Bα α α+ = + Distributividade 
• ( )A A Aα β α β+ = + Distributividade 
• ( ) ( )A Aα β αβ= Associatividade 
• . 0O A = 
 
Produto de Matrizes 
Dados [ ] , [ ]ik m p kj p nA a B b× ×= = e [ ]jlC c= (ordem conveniente), então: 
• ( ) ( )A BC AB C= 
• ( )A B C AB AC+ = + A 
• ( ).A B C AC BC+ = + 
• ( ) ( ). ( )AB A B A Bα α α= = , � ∈ R. (Um escalar real) 
Observe que em geral AB BA≠ . Também 0AB = , não implica 0A = ou 0B = . 
 
Transposta de uma Matriz 
Dados [ ]ij m nA a ×= , [ ] nmijbB ×= , então: 
• 
' '( )A A= 
• 
' ' '( )A B A B+ = + 
• 
' ' '( )AB B A= se [ ]ij n pB b ×= 
• ')'( AA αα = , R∈α 
 67
Traço de uma Matriz 
• ( ) ( ) ( )Tr A B Tr A Tr B+ = + 
• ( ) ( )Tr A Tr Aα α= 
• ( ´) ( )Tr A Tr A= 
• ( ) ( )Tr AB Tr BA= 
 
Inversa de uma matriz 
• 
1 1 1( )AB B A− − −= 
• 
1 1)( AA− − = 
• 
1 1( ) ( )t tA A− −= 
• 
1 1det( )
det( )A A
−
= 
 
Bibliografia 
JOSÉ BOLDRINI ET AL, Álgebra Linear, Editora Harbra, 3a ed. São Paulo, 1980. 
Esta referência auxiliará para complementar e estender alguns conceitos não apresentados 
que o aluno possa estar interessado em conhecer e se aprofundar. 
 
NILO KÜHLKAMP, Matrizes e Sistemas de Equações Lineares, UFSC, Florianópolis, 
2005. 
Este livro, possui múltiplos exemplos e problemas práticos que o aluno pode resolver e 
assim acrescentar a sua prática. Também, são apresentadas algumas aplicações e problemas 
de matrizes e sistemas lineares. 
 
REGINALDO SANTOS, Um curso de Geometria Analítica e Álgebra Linear, UFMG, Belo 
Horizonte, 2001. 
Esta referência é muito útil para aplicar os conceitos usando alguns recursos 
computacionais, assim como os detalhes de algumas provas úteis de interesse do aluno. 
 
C. A. CALLIOLI ET AL, Álgebra Linear e Aplicações, Sexta Edição, Atual Editora, 2003. 
Neste livro além de contar com os conteúdos da Álgebra Linear e Aplicações, encontrará as 
provas das propriedades do determinante de uma matriz usando a definição .