Física 2 (l2)

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Manoel S. D’Agrella Filho
P= mg
N
Fat
F
Corpo de massa m
Vamos pensar em um objeto que esteja sob a
ação de uma força F, como mostrado na
figura ao lado. Para que o objeto se mova, é
necessário que:
F > Fat,max
Fat,max = sN
s – coeficiente de atrito estático
Onde, Fat,max é a força de atrito máxima que
age no objeto.
Se o objeto se mover, a força de atrito cai
rapidamente e a nova força de atrito será:
Fk = kN
k – coeficiente de atrito cinético
Se o corpo não se 
move, então a força 
de atrito e a força 
aplicada paralela à 
superfície se 
equivalem.
 Um bloco repousa sobre um piso. (a) Qual a 
intensidade da Força de atrito que o piso exerce 
sobre ele? (b) Se agora aplicarmos ao bloco uma força 
horizontal de 5 N, sem que ele se mova, qual será a 
intensidade da força de atrito que age sobre ele? (c) 
Se o valor máximo da força de atrito estático que age 
sobre o bloco for de 10 N, o bloco se moverá quando 
o módulo da força aplicada horizontalmente for de 
8N? (d) E se a intensidade for de 12N? (e) Qual a 
intensidade da força de atrito no item (c)?
Podemos ter uma situação em que várias forças estão 
sendo aplicadas no material. Neste sentido, dizemos 
que um corpo está em equilíbrio estático se:
1- A soma vetorial de todas as forças externas que agem 
sobre o corpo for nula: 
 Fi = 0
2- A soma vetorial de todos os torques externos que agem 
sobre o corpo, medidos em relação a qualquer ponto 
possível, também for nula
 i = 0
x
Y
Z
Equilíbrio das forças
Fres,x = 0
Fres,y = 0
Fres,z = 0
Equilíbrio dos torques
res,x = 0
 res,y = 0
 res,z = 0
 Barra sujeita a ação de duas forças F1 e F2 de 
sentidos opostos e de mesma magnitude, como 
mostrado na figura ao lado. P representa o ponto de 
apoio:
 1- A condição de equilíbrio das forças é atendida;
 2- A condição de equilíbrio dos torques não é 
atendida e a barra irá girar.
P
Ponto de apoio
F1
F2
A figura fornece seis vistas superiores de uma haste uniforme 
sobre a qual duas ou mais forças atuam perpendicularmente. 
Se as intensidades das forças forem ajustadas adequadamente 
(mas mantendo valores não nulos), em que situações a haste 
pode estar em equilíbrio estático?
 Na Figura ao lado, uma 
viga uniforme, de 
comprimento L e massa m 
= 1,8 kg, está em repouso 
com suas extremidades 
sobre duas balanças. Um 
bloco uniforme, com 
massa M = 2,7 kg, está em 
repouso sobre a viga, com 
seu centro a uma distância 
L/4 da extremidade 
esquerda da viga. Quais 
são as leituras das 
balanças?
A figura acima nos fornece uma vista superior de uma haste 
uniforme em equilíbrio estático. (a) É possível encontrar a 
intensidade das forças desconhecidas F1 e F2 equilibrando as 
forças? (b) Se você quiser encontrar a intensidade da força F2
usando uma única equação, onde você deveria posicionar um eixo de 
rotação? Qual é o valor de sua intensidade? (c) Qual é a intensidade 
da força F1?
Na figura ao lado, uma haste AC de 5 kg 
é mantida em repouso contra uma 
parede e a haste. A haste uniforme tem 
1 m de comprimento e o ângulo  = 
30. (a) se você tivesse que encontrar a 
intensidade da força T que a corda 
exerce sobre a haste usando uma única 
equação, em qual dos pontos indicados 
deveria ser posicionado o eixo de 
rotação? Com essa escolha de eixo e 
torques positivos no sentido anti-
horário, qual o sinal (b) do torque p
devido ao peso da haste e (c) do torque 
c devido à força com que a corda 
traciona a haste? (d) A intensidade c é 
maior, menor ou igual à intensidade de 
p?
Observem que para resolvermos 
este tipo de problema, o 
número de incógnitas tem que 
igual ao número de equações.
• De modo geral, os sólidos (ex.: um sólido 
metálico) formam estruturas cristalinas e os 
átomos são mantidos unidos por forças inter-
atômicas: o reticulado formado é extremamente 
rígido.
• Entretanto, mesmo os corpos rígidos, quando 
submetidos a uma tensão grande, eles podem 
se comportar de maneira elástica.
• Ex.: uma mesa com um dos pés mais curto que 
os outros, acaba ficando do mesmo 
comprimento que os outros se um peso 
suficientemente grande for colocado sobre ela.
Um cilindro sujeito a uma tensão 
de tração se alonga de um 
comprimento L.
Tensão = Força por 
unidade de área:
 = F / A
 Quando aplicamos uma força F a um corpo, 
dizemos que aplicamos uma tensão , definida 
por:
  = F / A
  - Força por área – unidade de pressão:
 SI: 1 pascal – 1 N/m2
 cgs: 1 Bar – 1x10-6 dina/cm2
 Entretanto, podemos ter tração ou compressão.
 A tensão produz uma deformação específica, 
ou deformação por unidade de comprimento 
original :
 Deformação específica = L/L = 
 A experiência nos diz que a tensão é 
proporcional à deformação específica:
  = F/A  L/L
A constante de proporcionalidade é chamada de módulo 
de elasticidade.
A variação linear entre a deformação específica e a 
tensão é chamada de Lei de Hooke:
 = F/A = módulo de elasticidade x L / L
 Nós vimos um exemplo de tensão de tração, 
entretanto, a lei de Hooke é válida também 
quando o material está sujeito a uma tensão de 
cisalhamento ou, então, quando uma esfera 
sólida está sob tensão hidrostática uniforme.
x / L = Deformação 
específica
V / V = Deformação 
específica
 Vamos tentar compreender melhor o que acontece 
na tensão de tração (ou compressão):
Vale a lei de Hooke
Tensão de escoamento é a 
tensão na qual deixa de ser 
válida a lei de Hooke da 
linearidade entre tensão e 
deformação específica:
F/A  L/L
 Quando a lei de Hooke prevalece:
  = F/A = E L/L,
 onde E é o módulo de elasticidade, também 
chamado de módulo de Young
Cada material vai se comportar de um modo particular sob 
tensão e terá o seu próprio módulo de Young (E), uma 
resistência máxima à ruptura (Su) e uma tensão de 
escoamento (Sy).
A força atua no plano da área e não 
mais perpendicular a ela.
A deformação específica é x / L e o 
módulo de elasticidade é chamado de:
Módulo de Cisalhamento ou 
Módulo de Rigidez
 - Ciências da Terra
G – Engenharia
 = F / A =  x / L
As rochas estão com freqüência sob o efeito de cisalhamento.
 No caso de um corpo sob tensão 
hidrostática, a tensão é a pressão 
(P) que o corpo sofre:
 P = Força por unidade de área.
 Deformação específica = V / V = 
 Módulo de Incompressibilidade:
 K – Física da Terra
 P = -K 
Pressão hidrostática – P é 
igual em todos os sentidos e 
é negativa
 Define-se também o Módulo de Compressibilidade 
(B):
 B = 1/K 
 Módulo de compressibilidade do aço é de 16 x 10 10
N/m2
 Módulo de compressibilidade da água é de 2,2 x 10 9
N/m2
 Um terremoto acontece na Crosta e no Manto 
Superior quando as tensões tectônicas excedem a 
resistência das rochas e uma falha (colapso) 
ocorre. 
 Uma vez acontecido o terremoto, ondas sísmicas 
se propagam por deformação elástica das rochas 
por onde elas viajam.
Velocidade das ondas longitudinais:
 = {[K + (4/3)] / } 1/2
K é o módulo de incompressibilidade;
 é o módulo de rigidez (ou cisalhamento);
 é a densidade.
Velocidade das ondas transversais:
 = ( / ) ½
 é o módulo de rigidez ou cisalhamento.
Como o módulo de rigidez nos líquidos é zero, as ondas 
transversais não se propagam em meio líquido.
 Uma haste de aço estrutural possui um raio R de 9,5 
mm e um comprimento L de 81 cm. Uma força F de 
62 kN a estica ao longo de seu comprimento. Quais os 
valores da tensão sobre a haste, do alongamento e da 
deformação específica da haste? 
 Eaço = 200x109 N/m2
 A figura acima mostra a curva de tensão x deformação 
específica para o quartzito. Quais são o módulo de 
Young (E) e a resistência de escoamento aproximada 
para este material?
Pretende-se construir um túnel de 150 m de comprimento, 7,2 
m de altura e 5,8 m de largura (com um teto horizontal), 60 m 
abaixo do nível do solo (veja figura abaixo). O teto do túnel 
deve ser suportado inteiramente por colunas de aço de seção 
quadrada, cada uma com uma área de seção transversal de 
960 cm2. A massa específica do material do solo é de 2,8 
g/cm3. (a) Qual a massa total do material que as colunas 
devem suportar? (b) Quantas colunas são necessárias para 
manter a tensão de compressão em cada coluna com um valor 
igual à metade da sua resistência máxima à ruptura? g= 9,8 
m/s2; resistência máxima (Su) à ruptura do aço = 400x106
N/m2.
 Quando ocorre uma ruptura na litosfera,
são geradas vibrações sísmicas que se
propagam em todas as direções na forma
de ondas. O mesmo ocorre, por exemplo,
quando explosivos são detonados. São
estas ondas sísmicas que causam danos
perto do epicentro e que podem ser
registradas em sismógrafos no mundo
todo.
Geração de um sismo por acúmulo e 
liberação de esforços em uma ruptura. A 
crosta terrestre está sujeita a tensões (a) 
compressivas neste exemplo, que se 
acumulam lentamente, deformando as 
rochas (b); quando o limite de resistência 
é atingido, ocorre uma ruptura com um 
deslocamento abrupto, gerando vibrações 
que se propagam em todas as direções (c). 
Geralmente, o deslocamento (ruptura) se 
dá em apenas uma parte de uma fratura 
maior pré-existente (falha geológica). O 
ponto inicial da ruptura é chamado 
hipocentro ou foco do tremor, e sua 
projeção na superfície é o epicentro. Nem 
todas as rupturas atingem a superfície. 
Deslocamento de 1,70 m na horizontal e 1,30 m na vertical
Argentina abala São Paulo. (a) Registro na estação sismográfica de 
Valinhos, SP, de um sismo ocorrido na fronteira Argentina/Bolívia (23-
01-1997) com magnitude 6.4. (b) O movimento do chão é descrito 
pelos três componentes: Z (vertical, positivo para cima), NS (positivo 
para Norte) e EW (positivo para Leste). As ondas P e S chegam 230 s e 
410 s, respectivamente, após a ocorrência do terremoto. 
A ruptura que causou o terremoto foi 
muito rápida e durou cerca de 5 
segundos. Entretanto, foram geradas 
ondas sísmicas que passaram pela 
estação, a 1930 km, durante mais de 20 
minutos. Isto ocorre porque há vários 
tipos de ondas sísmicas com 
velocidades de propagação diferentes e 
que percorreram trajetórias distintas.
 A primeira movimentação do chão
(chegando a 230 s após a ocorrência do
terremoto) é um deslocamento de 0,03
mm para cima e para Leste. Nesta
primeira onda não há vibração na
direção NS. Como as ondas estavam se
propagando de Oeste para Leste (do
epicentro para a estação) e chegaram na
estação vindo de baixo para cima,
vemos que as vibrações nesta primeira
onda são paralelas à direção de
propagação.
 Esta primeira onda é, portanto,
longitudinal e chama-se onda P
(primária).
Quase 200 s após a chegada da onda P, o chão sofre um deslocamento 
0,07 mm no sentido Norte. Esta segunda onda tem vibração 
perpendicular à direção de propagação e é chamada onda 
transversal ou onda S (secundária).
Os dois tipos principais de ondas sísmica são:
- Ondas P - movimentam as partículas do solo 
comprimindo-as e dilatando-as. O movimento das 
partículas é paralelo à direção de propagação da onda. 
O som é uma onda P.
- Ondas S - movimentam as partículas do solo 
perpendicularmente à direção de propagação da onda.
 As velocidades das ondas P e S dependem 
essencialmente do meio onde elas passam. Elas 
podem ser expressas pelas constantes elásticas e a 
densidade do meio em que elas se propagam:
  = [(K + 4/3 ) / ] ½,
 onde  é a velocidade da onda P, K é o módulo 
volumétrico (de incompressibilidade),  é o módulo de 
rigidez (de cisalhamento) e  é a densidade.
 O som que se propaga no ar é uma onda P, da mesma 
forma que as vibrações em um meio líquido. Nestes 
meios o módulo de rigidez é zero ( = 0) e a 
velocidade da onda P se torna igual a:
  = [K/ ] ½
 Na propagação das ondas transversais, como o 
movimento das partículas é perpendicular ao 
deslocamento da onda, o meio sofre cisalhamento 
vertical. Assim, a velocidade da onda S () depende 
intrinsecamente do módulo de rigidez e da densidade 
do meio em que se propaga:
  = ( / )½
 As ondas transversais precisam de um meio sólido 
para se propagar (tensões de cisalhamento). Portanto, 
as ondas S não se propagam em meios líquidos e 
gasosos (onde  = 0), mas só em sólidos.
Uma comparação das fórmulas que fornecem as 
velocidades das ondas P e S, mostram que a 
velocidade da onda P é maior do que a da onda S 
e, portanto, chega primeiro.
 = [(K + 4/3 ) / ] ½,
 = ( / )½
As ondas superficiais Rayleigh é 
uma combinação de vibrações P e 
SV contidas no plano vertical. 
Isto produz um movimento das 
partículas no sentido retrógrado 
em torno de uma elipse.
As ondas superficiais Love 
correspondem a superposições de 
ondas SH e SV, com vibrações 
horizontais e perpendiculares a 
propagação da onda. As ondas 
Love, em geral, apresentam 
velocidades maiores do que as 
ondas Rayleigh.
Lei de Snell que rege a reflexão e a refração das ondas. Quando a 
onda passa de um meio de menor velocidade para outro meio de 
maior velocidade, o raio de onda se afasta da normal à interface (a). 
Quando a onda passa para um meio com velocidade menor, ela se 
aproxima da normal à interface (b). No caso das ondas sísmicas, 
parte da energia da onda incidente P (ou S) pode se transformar em 
ondas S (ou P), sempre obedecendo à lei de Snell (c). 
Lei de Snell em uma sucessão de camadas horizontais.
Quando a velocidade aumenta linearmente com a profundidade (a), 
os tempos de percurso formam uma curva (b) e as trajetórias dos 
raios sísmicos são arcos de circunferência (c). 
 A sismologia de reflexão e a de refração são 
amplamente usadas na investigação de estruturas de 
sub-superfícies das camadas de rocha no interior da 
Terra. O método consiste na emissão de ondas 
sísmicas geradas artificialmente através do impacto 
de explosões, tiros de ar comprimido, impactos 
mecânicos ou vibradores. Essas ondas penetram a 
certas profundidades no interior da Terra, que serão 
maiores à medida que a energia liberada no impacto 
for maior. Durante esse trajeto, as ondas irão 
atravessar diferentes camadas geológicas que 
apresentam características físicas diferentes e, por 
essa razão, vão sofrer reflexão e refração. Parte da 
energia contida numa onda será refletida na 
interface entre duas camadas geológicas. O restante 
seguirá seu caminho, mas segundo um ângulo 
diferente, pois sofreu refração.
As ondas sísmicas são detectadas por instrumentos capazes de 
perceber os movimentos do solo por ocasião de sua passagem. Esses 
instrumentos são chamados geofones (sismômetros), ou hidrofones
quando são usados nos oceanos ou lagos. O registro das ondas é feito 
pelos sismógrafos. Os sismógrafos, como indicado pelo próprio 
nome, “escrevem” o registro em papel (sismograma). Entretanto, as 
versões modernas fornecem registros digitais, cujos dados estão 
prontos para serem analisados ou produzir os sismogramas.
Dependendo dos objetivos da pesquisa, pode-se optar por analisar as 
ondas refletidas (método sísmico de reflexão) ou as ondas refratadas 
(método sísmico de refração). No primeiro caso as sucessivas 
reflexões irão fornecer mais detalhes das camadas geológicas, sendo, 
portanto, o método mais empregadona prospecção de 
hidrocarbonetos (petróleo e gás). No método de refração, as ondas 
viajam grandes distâncias antes de serem detectadas pelos geofones, 
por isso contêm informações de grandes áreas, mas com menos 
detalhes
FIM