Lista de exercícios de limites - Cálculo I

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Universidade Tecnológica Federal do Paraná
Departamento Acadêmico de Matemática
Lista de Funções e Limites
EAD - Prof. Dr. Hércules Oliveira
Lista de revisão de Pré-Cálculo, Funções e Limites - EAD
Prof. Hércules Oliveira - DAMAT
Obs: Resolva sempre tudo detalhadamente.
Limites Fundamentais:
lim
x→0
senx
x
= 1 lim
x→0
1− cosx
x
= 0 lim
x→+∞
(
1 +
1
x
)x
= e
1) Faça o gráfico, encontre o Domínio (Df) e a Imagem (Imf) das
funções abaixo
a)
f(x) =

|x2 − 1|, − 1 ≤ x ≤ 2
x− 1, 2 < x < 3
4, x > 4
b)
f(x) =

x+ 6, x ≤ −4√
16− x2, − 4 < x < 4
4− x, x ≥ 4
c) h(x) = 3x+1x2
d) l(x) =
√
x− 5
e) j(x) = |x|+ 2
f) f(x) =
√
36x2−23
12x−11
1
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2) Calcule o limite de
a) lim
x→+∞
√
(9x2 + x)− 3x b) lim
x→a
|x− a|
x2 − a2 c) limx→∞
x5 + x4 + 1
2x5 + x+ 1
d) lim
x→+∞
√
(x6 + 5x3)− x3 e) lim
x→pi cos
(
x2 − pi2
x− pi
)
f) lim
x→∞
√
x2 + 2
3x− 6
g) lim
x→−∞
4x2 − x
2x3 − 5 h) limx→+∞
5x3 − 2x+ 1
1− 3x i) limx→5
x2 − 3x− 10
x2 − 10x+ 25
j) lim
x→+∞
1
x
k) lim
x→+∞ arctg(x) l) limx→0
sen(5x)
x
m) lim
x→p
sen(x)− sen(p)
x− p n) limx→0
e1+x − e
x
o) lim
x→0
1− cos(x)
sen(x)
p) lim
x→0
x− tg(x)
x+ tg(x)
q) lim
x→1
(3− x3)4 − 16
x3 − 1 r) limx→−1
3
√
x+ 2− 1
x+ 1
Obs: Lembre-se: Você ainda não aprendeu L'Hospital, por isso não
use derivada nos limites.
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3) Através do teste
1. f(a) existe?
2.
lim
x→a+
f(x) = lim
x→a−
f(x) = lim
x→a f(x)
existe?
3. limx→a f(x) = f(a)?
Mostre se as funções abaixo são contínuas.
a)
f(x) =

|x2 − 1|, − 1 ≤ x ≤ 2
x− 1, 2 < x < 3
4, x > 4
Para x = 2.
b) f(x) = |x|x , em x = 0.
c) y = x
2−4
x−2 , em x = 2.
d) y = x+2x2+4 , em R.
e) y = x
2−9
x−3 , em x = 1.
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Respostas
1)
a) Df : [−1, 3) ∪ (4,+∞), Imf : [0, 3] ∪ {4}.
b) Df : (−∞,+∞) ou R, Imf : (−∞, 4].
c) Df : {x ∈ R|x 6= 0}, Imf : {y ∈ R|y ≥ −94}.
d) Df : {x ∈ R|x ≥ 5}, Imf : {y ∈ R|y ≥ 0}.
e) Df : {x ∈ R}, Imf : {y ∈ R|y ≥ 2}.
f) Df : {x ∈ R|x 6= 1112e|x| ≥
√
23
6 ou ]−∞,−
√
23
6 ]∪ [
√
23
6 ,
11
12 [∪]1112 ,+∞[,
Imf : {y ∈ R|y ≤ 0 e y > 12}.
2)
a) 1/6
b) Não existe, pois limx→a− f(x) = − 12a e limx→a+ f(x) = 12a .
c) 1/2
d) 5/2
e) 1
f) 1/3
g) 0
h) −∞
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i) Não existe, pois limx→5− f(x) = −∞ e limx→5+ f(x) = +∞.
j) 0
k) pi/2.
l) 5
m) cos(p)
n) e
o) 0
p) 0
q) −32
r) 1/3
3)
a) Não é contínua.
b) Não é contínua.
c) Não é contínua.
d) É contínua.
e) É contínua.
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