c3lista9-2014.2

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A´rea 2 – CCEN – UFPE – 2014.2
CA´LCULO 3 - Turmas T2 e T7
Lista 3 da segunda unidade
1. Desenhe o campo vetorial F(x, y, z) = (x, y, z) ao longo da esfera x2 + y2 + z2 = 1.
Justifique rapidamente, dando argumento geome´trico: o fluxo de F atrave´s da esfera
x2 + y2 + z2 = 1 e´ igual a 4pi (oriente a esfera com a normal apontando para fora).
2. Um fluido tem campo de velocidades dado por v(x, y, z) = (1, x, z) (com componentes
medidas em cm/segundo). Se S e´ o hemisfe´rio superior da esfera x2 + y2 + z2 = 1, orien-
tado com o campo normal unita´rio n apontando para cima, determine quantos cent´ımetros
cu´bicos do fluido atravessam S por segundo. Resposta: 2pi/3.
3. Considere o cilindro S1 dado por x
2 +y2 = 4, 0 ≤ z ≤ 1, e o tampe com discos S2 e S3,
obtendo assim uma superf´ıcie fechada S, que orientamos com o campo normal unita´rio n
apontando para fora. Considere o campo vetorial F(x, y, z) = (x, y, z).
(a) Fac¸a uma figura do campo F ao longo de S1; sem fazer ca´lculos, diga se o fluxo de F
atrave´s de S1 e´ nulo, positivo ou negativo. Responda a mesma pergunta trocando S1 por
S2 ou S3.
(b) Agora fac¸a o ca´lculo expl´ıcito, confirme as suas respostas em (a) e obtenha o fluxo∫∫
S
F · n dS de F atrave´s de S. Resposta: 12pi.
4. EXERCI´CIO RESOLVIDO (em “Aula 5”). Seja C a curva no plano xz definida
pelas equac¸o˜es z = lnx, y = 0, para 1 ≤ x ≤ e. Seja X a superf´ıcie de revoluc¸a˜o obtida
girando a curva C em torno do eixo dos z.
(a) Fac¸a um desenho da superf´ıcie X.
(b) Escreva uma parametrizac¸a˜o para X e calcule dS e dS.
(c) Calcule a a´rea de X (voceˆ precisara´ da integral da questa˜o 4 da lista 1).
(d) Observe geometricamente que o centro´ide de X deve ser da forma (0, 0, z). Confirme
isto calculando x, y. Expresse z por meio de uma integral definida (na˜o tente calcula´-la!).
(e) Oriente X com campo normal unita´rio n apontando para baixo; fac¸a uma figura. Fac¸a
um desenho do campo F(x, y, z) = xi = (x, 0, 0) ao longo de X e explique por que o fluxo
de F atrave´s de X e´ positivo.
(f) Confirme o resultado em (e), calculando o fluxo acima explicitamente. Resposta:
1
2
pi(e2 − 1).