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1 UFC/FEAAC/DTE Microeconomia I Prof. Henrique Félix Aula 13 INCERTEZA Introdução → Até aqui, tratou-se do comportamento do consumidor em cenários onde não havia qualquer risco/incerteza1 na escolha de consumo. → Neste modelo2, a escolha do consumidor envolve risco, ou seja, o objeto de consumo é uma variável aleatória cuja distribuição de probabilidade dos resultados possíveis é conhecida. → Na literatura, os objetos de consumo que envolvem risco são chamados de loterias. São exemplos de loterias: o investimentos de qualquer natureza; o aplicações em bolsas de valores (ações), em ativos financeiros (títulos, moedas, etc.) ou em bolsas de mercadorias (commodities, matérias-primas); o seguros (veículos, residência, vida, etc.); o bilhetes de loterias propriamente ditos; o apostas de qualquer natureza (bingos, roletas, cartas, jogos de futebol, corridas, etc.). 1 Na literatura há uma diferença entre risco e incerteza. Somente a título de informação, o Risco refere-se a uma situação onde o objeto de escolha do consumidor é uma variável aleatória cuja distribuição de probabilidades é conhecida enquanto Incerteza, por sua vez, é uma situação onde o objeto de escolha é uma variável aleatória e a distribuição de probabilidades é desconhecida. Aqui, trataremos ambos os termos sem distinção. 2 Na linha teórica da escolha envolvendo risco, destacam-se os seguintes autores: o Pascal-Fermat (Sec. XVII) diziam que a atratividade de um jogo que oferece os resultados incertos com probabilidades é dado pelo seu valor esperado, 𝐸(𝑥1, … , 𝑥𝑛) = ∑ 𝑝𝑖𝑥𝑖 𝑛 𝑖=1 , onde 𝑝𝑖 é a probabilidade do ocorrência do resultado 𝑥𝑖 , com 𝑝𝑖 ≥ 0 e ∑ 𝑝𝑖 = 1 𝑛 𝑖=1 . Este princípio do valor esperado poderia ser aplicado a vários tipos de problemas e se constituiu no primeiro desenvolvimento intelectual capaz de lidar com decisões em condições de incerteza. o Nicholas Bernoulli (1731) propôs um exemplo, conhecido com o “Paradoxo de São Petersburgo”, através do qual contestava a veracidade da hipótese de Pascal-Fermat de que os indivíduos consideram apenas o valor esperado. o Gabriel Cramer e Daniel Bernoulli (sobrinho de Nicholas) resolveram o paradoxo usando o princípio da utilidade marginal decrescente. Bernoulli afirmou que o valor de um objeto depende da utilidade gerada e que o ganho de utilidade cai à medida que a riqueza do indivíduo aumenta. Para tanto, ele utilizou uma função utilidade logarítmica (côncava) para denotar esta afirmação. o John von Neumann e Oskar Morgenstern (1947): em Theory of Games and Economic Behavior, provaram que se as preferencias de um agente em relação a loterias satisfazem aos axiomas de completeza, transitividade, continuidade e independência, então, existe uma função utilidade de valor real (do tipo Bernoulli) definida sobre os possíveis resultados, de tal forma que, todas as preferências do agente são caracterizadas pela maximização do valor esperado de U.” 2 Preferências do Consumidor sob Incerteza Neste modelo são mantidas as relações de preferência do modelo de escolhas sem risco, mas, com uma diferença: aqui o consumidor ao invés de ordenar cestas de consumo, ordena loterias definidas como objetos cujos resultados são incertos e, aos quais, estão associadas probabilidades. Sejam: → 𝑨 = {𝒘𝟏, 𝒘𝟐, … , 𝒘𝒏}, o conjunto de resultados (prêmios) possíveis de ocorrer. Estes resultados são variáveis aleatórias que ocorrem em distintos estados da natureza e cujas probabilidades são conhecidas. Exemplo: no lançamento de uma moeda não viciada, para um jogador que apostou cara, onde ele “ganha 1 dólar” se der cara (estado da natureza) e “perde 1 dólar” se der coroa (outro estado da natureza). O conjunto de resultados é A= {1, -1} e as probabilidades de cada estado da natureza são conhecidas e iguais a ½. → 𝒈 = {(𝒘𝟏, 𝒑𝟏), (𝒘𝟐, 𝒑𝟐), … , (𝒘𝒏, 𝒑𝒏)}, ∀𝑝𝑖 ≥ 0 e ∑ 𝑝𝑖 = 1 𝑛 𝑖=1 é uma loteria (ou plano de consumo contingente) e 𝑝𝑖, 𝑖 = 1, … , 𝑛 são as probabibilidades de ocorrência dos resultados 𝑤𝑖. No lançamento da moeda descrito acima, a loteria seria 𝑔 = {(1, 1 2 ) , (−1, 1 2 )}. Observação: uma loteria g é chamada degenerada se existir alguma 𝑝𝑖 = 1 (resultado certo) e, não-degenerada, se não existir nenhum resultado certo. → 𝑮 = (𝒈𝟏, 𝒈𝟐, … 𝒈𝒏) é o espaço de loterias (conjunto de consumo de loterias), sobre o qual o consumidor expressa suas preferências por loterias. Axiomas de Escolha envolvendo Risco • Completeza: Considere as loterias 𝑔, ℎ ∈ 𝐺. Então o consumidor pode definir que, 𝑔 ≽ ℎ 𝑜𝑢 ℎ ≽ 𝑔 𝑜𝑢 𝑔~ℎ Significa que o indivíduo é capaz de ordenar completamente suas preferências no espaço de loterias 𝐺. • Transitividade: ⋎ 𝑔, ℎ, 𝑘 ∈ 𝐺, 𝑠𝑒 𝑔 ≽ ℎ 𝑒 ℎ ≽ 𝑘 ⇒ 𝑔 ≽ 𝑘 3 Significa que o ordenamento das preferências sobre loterias em 𝐺 do consumidor é consistente. • Continuidade: Neste modelo, o axioma da continuidade significa que, no espaço de loterias 𝐺, pequenas mudanças nas probabilidades de ocorrência dos resultados não mudam a natureza do ordenamento das preferências do consumidor sobre loterias. • Independência: Os resultados são independentes, ou seja, uma ocorrência de um estado da natureza independe da outra que se teria no outro estado da natureza. Este axioma diz que apenas um resultado ocorrerá realmente. Com isso, pode-se especificar uma função utilidade de uma loteria do tipo aditiva para diferentes resultados. Funções Utilidade → Satisfeitos os axiomas de completeza, transitividade, continuidade e independência, as preferências dos agentes econômicos sobre alternativas arriscadas devem ser expressas em termos da utilidade que estes agentes associam aos possíveis resultados e suas probabilidades de ocorrência em cada estado da natureza. • Utilidade do Valor Esperado, 𝑼(𝑬(𝒈)) Definição: A utilidade do valor esperado de uma loteria 𝑔 = {(𝑤1, 𝑝1), (𝑤2, 𝑝2), … , (𝑤𝑛, 𝑝𝑛)}, definida no espaço de loterias G é dada por: 𝑼(𝑬(𝒈)) = 𝑼(𝒑𝟏𝒘𝟏 + 𝒑𝟐𝒘𝟐 + ⋯ + 𝒑𝒏𝒘𝒏) Representa a utilidade do valor médio dos resultados (prêmios). É também informalmente conhecida como a “utilidade do certo”. • Utilidade Esperada, 𝑼𝑬(𝒈) Definição: A função utilidade 𝑈𝐸: 𝐺 → 𝑅 possui a propriedade de utilidade esperada se, para todo 𝑔 ∈ 𝐺, 𝑼𝑬(𝒈) = ∑ 𝒑𝒊𝒖(𝒘𝒊) = 𝒏 𝒊=𝟏 𝒑𝟏𝑼(𝒘𝟏) + ⋯ + 𝒑𝒏𝑼(𝒘𝒏) 4 Esta forma particular da função utilidade diz que a utilidade pode ser descrita como uma soma ponderada pelas probabilidades das utilidades de cada resultado possível em cada estado da natureza e representa a utilidade média do padrão de consumo. Esta função é conhecida na literatura com função utilidade von Neumann-Morgenstern (ou, simplesmente, utilidade vN-M). Mais informalmente, é também chamada de “utilidade do incerto” Existência da 𝑼𝑬(𝒈): Se as preferências, definidas sobre o espaço de loterias G, satisfazem aos axiomas de completeza, transitividade, continuidade e independência, então existe uma 𝑈𝐸(𝑔): 𝐺 → 𝑅 que representa estas preferências e que satisfaz à propriedade da utilidade esperada. Unicidade da 𝑼𝑬(𝒈) Supondo-se que 𝑈𝐸(𝑔) representa as preferências do consumidor em relação à loteria g, então a utilidade esperada 𝑉𝐸(𝑔) representará as mesmas preferências se, e somente se, existirem ∝, 𝛽 ∈ 𝑅, 𝛽 > 0 , tais que, 𝑉𝐸(𝑔) = 𝛼 + 𝛽𝑈𝐸(𝑔) , para toda loteria 𝑔 ∈ 𝐺 Para que as propriedades da utilidade esperada sejam mantidas, consideram-se apenas as transformações lineares(afins) crescentes da 𝑈𝐸(𝑔). Diz-se, então, que a função utilidade esperada é “única sob uma transformação linear crescente”. Exemplo: Suponha uma loteria 𝑔 = {(𝑤1, 𝑝1), (𝑤2, 𝑝2)}, com 𝑝1 + 𝑝2 = 1. A função utilidade vN-M desta loteria é dada por 𝑈𝐸(𝑔) = 𝑝1𝑈(𝑤1) + 𝑝2𝑈(𝑤2). Seja uma função utilidade 𝑉𝐸(𝑔) = 𝑎𝑈𝐸(𝑔) + 𝑏, a>0, uma transformação linear crescente de 𝑢(𝑔), então, 𝑉𝐸(𝑔) = 𝑎[𝑝1𝑈(𝑤1) + 𝑝2𝑈(𝑤2)] + 𝑏 = 𝑎𝑝1𝑈(𝑤1) + 𝑎𝑝2𝑈(𝑤2) + 𝑏 = 𝑎𝑝1𝑈(𝑤1) + 𝑎𝑝2𝑈(𝑤2) + 𝑝1𝑏 + 𝑝2𝑏, mas, 𝑝2 = 1 − 𝑝1 =𝑝1[𝑎𝑈(𝑤1) + 𝑏] + 𝑝2[𝑎𝑈(𝑤2) + 𝑏] =𝑝1𝑣(𝑤1) + 𝑝2𝑣(𝑤2) 5 De fato, constata-se que a função 𝑉𝐸(𝑔), transformação linear crescente de 𝑈𝐸(𝑔), preserva as propriedades da utilidade esperada e é, portanto, uma função utilidade tão boa quanto a função 𝑈𝐸(𝑔) para representar as preferências do consumidor no espaço de loterias. Comportamento do Consumidor em relação ao Risco Aversão ao Risco → Diz-se que o indivíduo é avesso ao risco se, para toda 𝑔 ∈ 𝐺, ele considera, 𝑼(𝑬(𝒈)) > 𝑼𝑬(𝒈) Isto significa que tal indivíduo sempre prefere um evento certo ao evento incerto de mesmo valor esperado. → A função utilidade da riqueza, 𝑈(𝑤), é uma função logarítmica (estritamente côncava) e significa que a utilidade marginal da riqueza é decrescente, ou seja, o aumento da utilidade da riqueza decresce com o aumento desta. Propensão ao Risco → Diz-se que o indivíduo é amante ou propenso ao risco se, para toda 𝑔 ∈ 𝐺, ele considera que, 𝑼(𝑬(𝒈)) < 𝑼𝑬(𝒈) 6 Neste caso, o indivíduo prefere o evento incerto ao evento certo de mesmo valor esperado. A função utilidade da riqueza, 𝑈(𝑤), é uma função exponencial (estritamente convexa) e significa que a utilidade marginal da riqueza é crescente, ou seja, o aumento da utilidade da riqueza cresce com o aumento desta. Neutralidade ao Risco → Diz-se que o indivíduo é neutro ao risco se para toda 𝑔 ∈ 𝐺, 𝑼(𝑬(𝒈)) = 𝑼𝑬(𝒈) O indivíduo considera que a utilidade do valor esperado da riqueza é igual à utilidade esperada da riqueza. A função utilidade da riqueza, 𝑈(𝑤), é linear e significa que a utilidade marginal da riqueza é constante. 7 Equivalente Certo (EC(g)) e Prêmio de Risco P(g) O Equivalente Certo de uma loteria g G, EC(g), é o montante de renda ou riqueza que, se fosse dado com certeza ao indivíduo, o tornaria indiferente à loteria, ou seja, é o montante que torna, 𝑈(𝐸(𝑔)) = 𝑈𝐸(𝑔). É uma loteria com renda certa que gera a mesma utilidade da loteria de renda incerta. Ou ainda, é a quantidade de dinheiro que, se fosse dada com certeza ao indivíduo avesso ao risco, ele arriscaria e, ao indivíduo amante do risco, ele não arriscaria. O Prêmio de Risco de uma loteria gG, P(g), é o montante de riqueza que, deduzido do valor esperado da loteria, torna o indivíduo indiferente à loteria. Assim, tem-se, 𝑷(𝒈) = 𝑬(𝒈) − 𝑬𝑪(𝒈). Para toda loteria g não degenerada, se o indivíduo for: → Avesso ao risco 𝐸𝐶(𝑔) < 𝐸(𝑔) 𝑃(𝑔) = 𝐸(𝑔) − 𝐸𝐶(𝑔) > 0 → Amante do risco 𝐸𝐶(𝑔) ≥ 𝐸(𝑔) 𝑃(𝑔) = 𝐸(𝑔) − 𝐸𝐶(𝑔) ≤ 0 → Neutro ao risco 𝐸𝐶(𝑔) = 𝐸(𝑔) 𝑃(𝑔) = 𝐸(𝑔) − 𝐸𝐶(𝑔) = 0 8 Coeficiente de Aversão ao Risco de Arrow-Pratt Se a utilidade e a riqueza podem ser expressas por meio de uma função, então, o coeficiente de aversão ao risco mede a utilidade obtida (ou perdida) à medida que aumenta (diminui) a riqueza do indivíduo, ou seja, mede o grau de aversão ao risco de um indivíduo. Admita que a função utilidade da riqueza seja duas vezes diferenciável. Então, define-se o coeficiente de aversão ao risco absoluto de Arrow-Pratt como, 𝑹𝒂(𝒘) = − 𝑼′′(𝒘) 𝑼′(𝒘) Para o indivíduo: • neutro ao risco, tem-se 𝑈′(𝑤) = 𝑘, 𝑈′′(𝑤) = 0, o que implica em 𝑅𝑎(𝑤) = 0 • avesso ao risco, tem-se 𝑈′(𝑤) > 0, 𝑈′′(𝑤) < 0, o que implica em 𝑅𝑎(𝑤) > 0 • propenso ao risco, tem-se 𝑈′(𝑤) > 0, 𝑈′′(𝑤) > 0, o que implica em 𝑅𝑎(𝑤) < 0 Por sua vez, o coeficiente de aversão ao risco relativo de Arrow-Pratt é definido como, 𝑹𝒓(𝒘) = − 𝑼′′(𝒘) 𝑼′(𝒘) . 𝒘 Literatura: VARIAN, Hal R. (2011) Cap. 12 JEHLE & RENY (2001) RESENDE, José G. de L. (Notas de Aula 14) LISBOA, Pedro C. Coimbra (Notas de Aula) EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 01. Considere que um indivíduo possui uma função utilidade de sua riqueza, 𝑈(𝑤) = 𝑙𝑛𝑤, que é estimada em $100000 e na qual está incluso um carro no valor de $20000. Ele está decidindo se instala ou não no seu carro, um reconhecido sistema antifurto que existe no mercado ao preço de $2000. O conjunto de resultados possíveis de ocorrer é dado por 𝐴 = {𝑎1, 𝑎2} = {𝑜 𝑐𝑎𝑟𝑟𝑜 𝑛ã𝑜 é 𝑟𝑜𝑢𝑏𝑎𝑑𝑜, 𝑜 𝑐𝑎𝑟𝑟𝑜 é 𝑟𝑜𝑢𝑏𝑎𝑑𝑜}. A probabilidade de seu carro ser roubado é 9 de 20% se ele não instalar o sistema antifurto e, de 5% se ele instalar o sistema. Qual deverá ser sua decisão: instalar ou não instalar o sistema antifurto? Solução: → Chame de 𝑔1, a loteria caso o indivíduo decida instalar o sistema: 𝑔1 = {0,95°(100000 − 2000); 0,05°(100000 − 20000 − 2000)} A utilidade esperada da loteria 𝑔1 será: 𝑈𝐸(𝑔1) = 𝑝1𝑈(𝑎1) + 𝑝2𝑈(𝑎2) = 0,95𝑙𝑛98000 + 0,05𝑙𝑛78000 = 11,48131 → Chame de 𝑔2, a loteria caso o indivíduo decida não instalar o sistema: 𝑔2 = {0,80°(100000); 0,20°(100000 − 20000)} A utilidade esperada da loteria 𝑔2 será: 𝑈𝐸(𝑔2) = 𝑝1𝑈(𝑎1) + 𝑝2𝑈(𝑎2) = 0,80𝑙𝑛100000 + 0,20𝑙𝑛80000 = 11,46829 Conclusão: A utilidade esperada da loteria 𝑔1 (instalar) é maior que a utilidade esperada da loteria 𝑔2 (não instalar), ou seja, 𝑈𝐸(𝑔1) > 𝑈𝐸(𝑔2). Portanto, o indivíduo decidirá por instalar o sistema antifurto. 02. Um indivíduo que possui uma riqueza de $10 e uma função utilidade desta riqueza dada por 𝑈(𝑤) = 𝑙𝑛𝑤, está decidindo de faz uma aposta numa loteria não degenerada, na qual, a probabilidade de perder $5 é ½ e de ganhar $5 também é ½. Em relação ao risco, como você classificaria este indivíduo? 𝐴 = {𝑤1, 𝑤2} = {5,15} 𝑔 = (𝑝1°𝑤1, 𝑝2°𝑤2) = ( 1 2 °5; 1 2 °15) 𝑈(𝐸(𝑔)) = 𝑈(𝑝1𝑤 + 𝑝2𝑤2) = 𝑈 [ 1 2 (5) + 1 2 (15)] = 𝑈(10) = 𝑙𝑛10 = 2,30258 𝑈𝐸(𝑔) = 𝑝1𝑈(𝑤1) + 𝑝2𝑈(𝑤2) = 0,5 ∙ 𝑙𝑛(5) + 0,5 ∙ 𝑙𝑛(15) = 2,15 Como 𝑈(𝐸(𝑔)) > 𝑈𝐸(𝑔), o indivíduo pode ser caracterizado como Avesso ao Risco. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1. Um consumidor considera 4 alternativas de consumo (A, B, C, D), sendo que a utilidade de cada uma delas é dada por 100=U(A)>U(B)>U(C) >U(D) =0. Ele deve considerar na sua escolha duas situações: • Situação (1): todas as alternativas ocorreriam com probabilidades iguais a 25%; • Situação (2): a probabilidade de ocorrência das alternativas seriam 15%, 50%, 15% e 20%, respectivamente. 10 Sabe-se também que a alternativa C é equivalente à loteria em que A e D ocorrem com probabilidades 40% e 60%, respectivamente, e que a alternativa B é equivalente à loteria em que A e D ocorrem com probabilidade 80% e 20%. Calcule a utilidade esperada de cada situação e compare-as. 2. Admita que a função utilidade de um investidor seja especificada por U(M) =√𝑀, em que M=$150 é a renda. Suponha que ele queira aplicar 100% de sua renda na compra de ações de duas empresas A e B. Os preços de mercado dessas ações são hoje iguais pA=pB=$15, mas podem variar dependendo do estado da natureza, de acordo com a seguinte distribuição de probabilidades: Determine a utilidade esperada do investidor admitindo-seque este invista metade de sua renda em ações da empresa A e a outra metade em B. 3. A respeito da Teoria da Utilidade Esperada, identifique as afirmativas corretas: (a) O prêmio de risco de um indivíduo propenso ao risco é estritamente positivo; (b) A utilidade de um indivíduo é u(w) =lnw e a riqueza inicial é w0=12. Propõe-se ao indivíduo o seguinte jogo: se sair cara no arremesso de uma moeda equilibrada, ele paga 5; se sair coroa ele recebe 5. O prêmio de risco desse jogo é 1; (c) As funções u(w)=√𝑧 e u(w)=(1/2)lnw são utilidades esperadas que representam as preferências de um mesmo indivíduo.
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