AULA 03 - Incerteza e Mercado de Ativos

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DESCRIÇÃO
Apresentação do modelo de escolha sob incerteza e da função de utilidade esperada. Caracterização da aversão ao risco e do problema de escolha
ótima de seguro. Apresentação, ainda, dos diferentes tipos de comportamento do consumidor em relação ao risco, das medidas de aversão ao risco −
com a descrição dos mecanismos de minimização de risco − e do modelo de média-variância. Por fim, caracterização da condição de equilíbrio no
mercado de ativos de risco.
PROPÓSITO
Compreender modelos de incerteza, ferramenta básica para entender diversas áreas em economia e finanças, com ampla aplicação no mercado
financeiro e no desenho de políticas públicas.
OBJETIVOS
MÓDULO 1
Descrever o arcabouço teórico dos modelos de escolha sob incerteza
MÓDULO 2
Caracterizar a aversão ao risco, as medidas de aversão ao risco e os métodos de mitigação de risco
MÓDULO 3
Descrever os modelos de escolha ótima de carteira de ativos
INTRODUÇÃO
Neste conteúdo, introduziremos o arcabouço analítico da escolha em um ambiente de incerteza. Mostraremos que a teoria do consumidor padrão pode
ser adaptada para entendermos o comportamento do consumidor em um cenário de incerteza. Nesse sentido, apresentaremos uma forma de
representação das preferências dos consumidores que leva em consideração a incerteza inerente às escolhas: a função de utilidade esperada.
A relação do consumidor com o risco também será estudada. Mostraremos que a aversão, a neutralidade ou a propensão ao risco dos agentes
econômicos relaciona-se com a curvatura de sua função de utilidade. Uma aplicação interessante da nossa análise de aversão ao risco é o caso do
contrato ótimo de seguro, que apresentaremos em detalhes. Além disso, estudaremos duas medidas de aversão ao risco, e diferentes mecanismos de
redução de risco encontrados na economia.
Por fim, analisaremos o mercado de ações e a questão da escolha ótima da carteira de ativos. Apresentaremos o modelo de média-variância, que
relaciona a escolha ótima do portfólio ao retorno e risco dos ativos financeiros, e a condição de equilíbrio do mercado de ativos.
MÓDULO 1
 Descrever o arcabouço teórico dos modelos de escolha sob incerteza
PARADOXO DE SÃO PETERSBURGO E A ESCOLHA SOB INCERTEZA
A teoria econômica em contextos determinísticos baseia-se em escolhas tais que o resultado final é plenamente conhecido, isto é, os agentes
econômicos não escolhem em um cenário de incerteza.
 EXEMPLO
Escolho entre ir à praia e ir ao cinema – uma vez feita essa escolha, o resultado se verificará, sem percalços. No entanto, grande parte das decisões
econômicas envolve alguma parcela de risco. Posso escolher entre ir à praia ou ao cinema, mas não sei se vai chover ou fazer sol.
Para analisar as situações de escolha sob incerteza, os economistas desenvolveram um arcabouço teórico particular que iremos introduzir por meio do
Paradoxo de São Petersburgo.
Nesse paradoxo, o seguinte jogo é proposto: uma moeda é lançada repetidamente até aparecer cara como resultado. Se a cara aparecer na enésima
jogada, o jogador recebe um prêmio de $2n. Ou seja, se já na primeira jogada sair cara, o jogador ganha $2; caso contrário, a moeda é lançada
novamente. Se a cara sair na segunda jogada, o prêmio será $22 = $4. E assim o jogo continua, até que apareça a primeira cara como resultado.
Se xi representa o prêmio quando a primeira cara aparece na jogada i, os prêmios possíveis do jogo serão:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A pergunta que fica é: quanto você estaria disposto a pagar para participar desse jogo? Se sua decisão for pagar o valor esperado do jogo, então
você pagaria qualquer valor para entrar nesse jogo! Vamos entender isso.
Se πi representa a probabilidade de aparecer a primeira cara na jogada i, as probabilidades dos prêmios x1, x2, x3,..., xn serão dadas por:
x1 = $2,   x2 = $4,   x3 = $8, … ,  xn = $2
n
π1 = ,   π2 = ,   π3 = , … ,  πn =
1
2
1
4
1
8
1
2n
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Lembrando que o valor esperado de uma variável aleatória se dá pela soma de cada valor possível ponderado pela sua probabilidade, o valor
esperado desse jogo será:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Obviamente, ninguém em sã consciência estaria disposto a pagar um valor infinitamente elevado para participar desse jogo. E este é o próprio
paradoxo: o jogo não vale o valor esperado de seu prêmio (que é infinito).
O matemático suíço Daniel Bernoulli apresentou, em 1738, uma solução para o Paradoxo de São Petersburgo baseada na ideia de que, em um
contexto de incerteza, as pessoas não tomam suas decisões com base no ganho monetário esperado de uma escolha, mas sim na utilidade que
esse ganho pode acarretar.
SOLUÇÃO
Para detalhes, veja o artigo Daniel Bernoulli (1738): Evolution and economics under risk, de Stephen Stearns (Journal of Biosciences, volume 25,
pp. 221-228, 2000).

Isto é, no caso particular do nosso jogo, a decisão de quanto apostar dependerá da utilidade esperada do prêmio, e não do prêmio esperado em si. Se
assumirmos que a utilidade marginal da riqueza é decrescente (ou seja, a utilidade da riqueza diminui à medida que a riqueza aumenta), pode-se
concluir que o jogo irá convergir para uma utilidade esperada finita, apesar do seu valor monetário esperado ser infinito.
CONVERGIR
Formalmente, precisamos de mais condições para convergência que utilidade marginal decrescente, mas não se preocupe com isso neste tema.
Para mais detalhes, faça uma pesquisa sobre convergência de séries.
Vamos supor, como fez originalmente Bernoulli, que a utilidade do prêmio do jogo descrito no Paradoxo de São Petersburgo seja:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Perceba que, para essa forma funcional, a utilidade marginal é decrescente no valor do prêmio: a derivada segunda do logaritmo natural é negativa.
Assim, a utilidade esperada do jogo será dada por:
E(x)=  ∑∞i=1 πixi = ∑
∞
i=1 2
i  =1
2i
1 + 1 + 1 + … + 1 + … = ∞
u(xi)= ln(xi)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
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Na penúltima igualdade, indicada em vermelho, usamos o seguinte fato, que você pode aprender em uma disciplina de cálculo:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, a utilidade esperada desse jogo é 1,39, limitando o quanto o jogador estaria disposto a pagar para entrar nele. O jogador só entraria caso o
ingresso fosse de até 1,39 unidades de utilidade, correspondendo ao valor monetário aproximado de e1,39 = $4. Portanto, o jogador estaria disposto a
pagar no máximo $4 para participar do jogo, resolvendo o Paradoxo de São Petersburgo.
O avanço da teoria econômica fundamentou matematicamente a solução proposta por Bernoulli para escolhas sob incerteza. A ideia de que as
pessoas irão maximizar sua utilidade esperada, e não o valor monetário esperado de uma escolha, será incorporada à teoria econômica para
analisarmos as escolhas dos agentes em um contexto de incerteza.
A FUNÇÃO DE UTILIDADE ESPERADA
Para analisarmos a teoria do consumidor sob incerteza temos que primeiramente definir o que está sendo escolhido. Nos modelos sem incerteza, os
agentes tinham que escolher entre cestas de consumo. No entanto, a condição de incerteza implica que os consumidores, além de se preocuparem
com as cestas de consumo, terão que se preocupar com a distribuição de probabilidades associada. A distribuição de probabilidades será um
conjunto de diferentes cestas de consumo e a probabilidade associada a cada uma delas.
Para deixarmos os conceitos mais claros, comecemos com um exemplo retirado de Varian (2012):
 EXEMPLO
Suponha que, inicialmente, a pessoa tenha apenas um ativo, um carro no valor de R$ 35.000. No entanto, em caso de enchentes, há a possibilidade
de a pessoa perder R$ 10.000 com a danificação do automóvel.Supondo que a probabilidade de o veículo ser danificado é de 1%, então a distribuição
de probabilidades que essa pessoa enfrenta é: 1% de ter R$ 25.000 em ativos (o carro danificado) e 99% de ter R$ 35.000 (carro sem danos).
Os diferentes resultados possíveis de um evento aleatório são denominados estados da natureza.
Em nosso exemplo há, portanto, dois estados da natureza:
O carro é danificado ou o carro não é danificado.
Na presença de incerteza, o consumo dos agentes dependerá dos estados da natureza. Por isso, neste contexto, consideramos o plano de consumo
contingente, que é uma descrição completa das quantidades consumidas de cada bem em cada possível estado da natureza.
No nosso exemplo, seria o consumo do agente econômico nos dois estados da natureza possíveis (carro danificado e carro sem danos).
Para mostramos que o arcabouço padrão da teoria do consumidor pode se encaixar na análise da escolha sob incerteza desde que façamos algumas
pequenas mudanças, voltemos ao exemplo do carro e sua possibilidade de ser danificado em uma enchente. Nesse caso, o consumidor pode
contratar um seguro para se precaver da possibilidade do prejuízo.
Utilidade Esperada =  ∑∞i=1 πiu(xi) = ∑
∞
i=1 ln(2
i) = ∑∞i=1 [i × ln(2)]
1
2i
1
2i
= ln(2)∑∞i=1 = 2ln(2)= 1,39
i
2i
∑∞i=1 = ln(2)
i
2i
Chamemos o estado da natureza em que o carro não é danificado como estado B (de bom) e o estado de natureza em que o carro é danificado como
estado R (de ruim). Suponha ainda que um seguro contra desastre cobre β reais para cada real que o consumidor deseja ser segurado.
Assim, se a pessoa desejar ser segurado em K reais, ela se defrontará com os seguintes estados da natureza possíveis:
Estado B: R$35.000 − βK, com probabilidade de 99%.
Estado R: R$35.000 – R$10.000 + K – βK, com probabilidade de 1%.
Perceba que βK é o que o consumidor paga para ser segurado em K reais (isto é, caso o acidente ocorra, ele receberá K reais). Sendo CB e CR,
respectivamente, o consumo contingente para os estados B e R, então podemos representar a função de utilidade do consumidor como U(CB, CR).
Assim, o problema de maximização de utilidade do consumidor de seguros será:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Sujeito a:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A solução gráfica do problema pode ser expressa como:
 
Imagem: Pedro Américo de Almeida Ferreira
Como obter a reta orçamentária? Para traçar uma reta, precisamos apenas de dois pontos. Vamos escolher os mais simples. Para o primeiro, vamos
fazer K=0: é a situação inicial do consumidor, sem contratação de seguro. Temos então o ponto .
Para o segundo ponto, vamos considerar a situação em que o consumidor escolhe seguro total, ou seja, tem o mesmo consumo nas duas
contingências possíveis: . Usando as expressões anteriores, obtemos , e, portanto, 
.
Temos então o ponto .
Com esses dois pontos, obtemos a inclinação da reta orçamentária: , interpretada como o preço de uma unidade a mais de consumo no
estado bom em termos de consumo no estado ruim.
max  
CB,CR
U(CB, CR)
CB = 35.000 − βK
CR = 25.000 + K − βK
(CR, CB)=(25.000,35.000)
CR = CB 35.000 − βK = 25.000 + K − βK
K = 10.000
(CR, CB)=(35.000 − 10.000β, 35.000 − 10.000β)
−β/( 1−β )
javascript:void(0)
Agora podemos usar a teoria do consumidor tradicional: a solução ótima do problema do consumidor é caracterizada pelo ponto de tangência entre a
curva de indiferença entre os consumos contingentes e a restrição orçamentária associada à compra do seguro. Assim, o agente irá comprar seguro
até o ponto em que a taxa marginal de substituição entre o consumo de cada estado da natureza for igual à inclinação da reta orçamentária (que
funcionará como o preço de troca do consumo entre os dois estados).
Podemos, portanto, aplicar todo o arcabouço da teoria do consumidor aos problemas com incerteza, desde que façamos as adaptações apropriadas,
como a completa descrição dos estados da natureza existentes e sua distribuição de probabilidades. Na prática, na nossa representação de dois bens
(ou seja, dois eixos no gráfico acima), basta reinterpretar ‘bem 1’ e ‘bem 2’ como ‘bem/consumo no estado da natureza 1’ e ‘bem/consumo no estado
da natureza 2’.
INCLINAÇÃO DA RETA
Se você não se lembra como encontrar a inclinação da reta a partir de dois pontos, é simples. Considere a equação da reta:
Logo,
,
e portanto,
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
No nosso caso:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Logo,
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em um cenário com incerteza, o modo como os consumidores tomam suas decisões vai depender, portanto, não apenas dos níveis de consumo, mas
também das probabilidades associadas aos diferentes estados da natureza. Chamaremos o conjunto de níveis de consumo em diferentes estados da
natureza, e suas respectivas probabilidades, de loteria.
y = ax + b
Δy = aΔx
a = Δy/Δx
Δy =(35.000 − 10.000β)−35.000  = −10.000β
Δx =(35.000 − 10.000β)−25.000  =  10.000 − 10.000β
a = =
−10.000β
10.000−10.000β
−β
1−β
Formalmente, uma loteria é o conjunto de cestas de consumo (ou prêmios, ou resultados), c1, c2, ..., cn, em que a cesta de consumo ci está
associada com uma probabilidade , tal que . Neste caso, a loteria será a lista:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O consumidor decidirá entre loterias, e não diretamente entre resultados finais, que dependem de fatores fora de seu controle. Havendo apenas dois
estados da natureza, nossa loteria será . Supondo que as preferências dos consumidores em relação às loterias respeitem algumas
hipóteses (sejam completas, transitivas, contínuas, e satisfaçam o axioma da independência), podemos representar as preferências dos indivíduos
sobre as loterias com uma função de utilidade com a seguinte característica:
AXIOMA DA INDEPENDÊNCIA
O axioma da independência não é usado na teoria básica (determinística) do consumidor. Não o apresentaremos neste tema, mas você pode ler
sobre ele em Jehle & Reny (2011), capítulo 2.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A utilidade é linear nas probabilidades, sendo escrita como uma simples soma ponderada das utilidades das cestas de consumo para cada estado da
natureza. Para o caso mais simples de apenas dois estados da natureza, essa nossa utilidade será escrita como:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Qualquer função de utilidade com essa propriedade é chamada de função de utilidade esperada ou função de
utilidade von Neumann-Morgenstern.
 ATENÇÃO
Infelizmente, não há um consenso de terminologia. Enquanto alguns livros textos denominam U(.) de função de utilidade von Neumann-Morgenstern e
u(.) de função de utilidade de Bernoulli, outros preferem chamar U(.) de utilidade esperada e u(.) de função de utilidade von Neumann-Morgenstern.
Fique atento à definição dos conceitos em cada texto!
Perceba que a função de utilidade esperada representa, simplesmente, a utilidade esperada para cestas de consumo de diferentes estados da
natureza. Outra característica muito importante da função de utilidade esperada é que transformações monotônicas afins delas preservam as
preferências dos indivíduos. Por exemplo, se U é uma função de utilidade esperada, então a transformação afim positiva, V(U) = a + bU, será uma
função de utilidade esperada representando as mesmas preferências de U.
 COMENTÁRIO
πi ≥ 0 ∑
n
i=1 πi = 1
L = (c1, c2, … , cn;π1,π2, … ,πn)
(c1, c2;π1,π2)
U(c1, c2, … , cn;π1,π2, … ,πn)= ∑
n
i=1 πiu(ci)
U(c1, c2;π1,π2)= π1u(c1)+π2u(c2)
U(c1, c2, … , cn;π1,π2, … ,πn)
javascript:void(0)
Em teoria do consumidor, aprendemos que qualquer transformação monotônica positiva de uma função utilidade será uma nova função utilidade
representandoas mesmas preferências. Isso continua sendo verdade, mas no nosso contexto não estamos interessados apenas em representar as
mesmas preferências – queremos, adicionalmente, representá-la como uma função utilidade esperada. Para isso, precisamos nos limitar às
transformações monotônicas positivas afins.
Voltemos ao exemplo do consumidor decidindo o quanto contratar de seguro para seu automóvel. Seu problema era dado por:
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Sujeito a:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que o estado R só acontecia com probabilidade de 1%. Assim, podemos escrever a utilidade esperada do agente como:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, o problema do agente será escolher o montante de seguro K que maximiza sua utilidade esperada como descrita anteriormente. Adiante,
voltaremos para esse problema, mas o importante a saber agora é que, em cenários com incerteza, as preferências dos agentes econômicos
podem ser representadas como uma simples soma ponderada de utilidades.
max  
CB,CR
U(CB,CR)
CB = 35.000 − βK
CR = 25.000 + K − βK
U(CB, CR)= πBu(CB) + πRu(CR)
U(CB, CR)= 0,99u(CB)+0,01u(CR)
U(CB, CR)= 0,99u(35.000 − βK)+0,01u(25.000 + K − βK)
EXERCÍCIO RESOLVIDO
O vídeo a seguir aborda a função de utilidade esperada e investimento em um ativo de risco. Assista!
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. SOBRE A TEORIA DA ESCOLHA EM UM CONTEXTO DE INCERTEZA, ASSINALE A ÚNICA OPÇÃO VERDADEIRA:
A) A solução de Bernoulli para o Paradoxo de São Petersburgo baseia-se na ideia de utilidade marginal crescente da riqueza.
B) A incerteza pode ser caracterizada pela existência de um único estado da natureza.
C) Uma loteria é exclusivamente um vetor de probabilidades.
D) Um plano de consumo contingente representa as quantidades consumidas de cada bem para um único estado da natureza.
E) Uma loteria é um conjunto de cestas de consumo e suas probabilidades associadas para os diferentes estados da natureza.
2. EM RELAÇÃO ÀS FUNÇÕES DE UTILIDADE ESPERADA, ASSINALE A ÚNICA OPÇÃO VERDADEIRA:
A) As funções de utilidade esperada correspondem, simplesmente, à soma das utilidades de consumo das cestas de diferentes estados da natureza.
B) Apesar de muito utilizada, a função de utilidade esperada não serve como representação das preferências dos consumidores sobre as loterias.
C) Transformações afins positivas de uma função de utilidade esperada preservam as preferências dos consumidores.
D) Podemos garantir que toda e qualquer preferência pode ser representada através de uma função de utilidade esperada.
E) A função de utilidade esperada não é uma função linear nas probabilidades.
GABARITO
1. Sobre a teoria da escolha em um contexto de incerteza, assinale a única opção verdadeira:
A alternativa "E " está correta.
 
Quando analisamos a escolha do consumidor em um cenário de incerteza, as preferências dos indivíduos são sobre as loterias, que descrevem o
conjunto de cestas de consumo e as probabilidades para todos os estados da natureza.
2. Em relação às funções de utilidade esperada, assinale a única opção verdadeira:
A alternativa "C " está correta.
 
Um dos grandes atrativos das funções de utilidade esperada é que uma transformação afim positiva representa as mesmas preferências, e preserva a
estrutura linear em probabilidades da utilidade esperada.
MÓDULO 2
 Caracterizar a aversão ao risco, as medidas de aversão ao risco e os métodos de mitigação de risco
AVERSÃO AO RISCO E SEGUROS
Denominamos de jogo justo aquele em que o conjunto de prêmios e probabilidades associadas geram um valor esperado da premiação igual a zero.
Pensemos, por exemplo, no caso simples de lançamento de uma moeda honesta. Se sair cara, o jogador ganha R$1,00. Por outro lado, saindo coroa,
o jogador perde R$1,00. O valor esperado desse jogo será:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
É, portanto, um jogo justo. Mas, como salientam Nicholson e Snyder (2012), um comportamento frequentemente observado é que as pessoas
preferem não participar de jogos justos. Como veremos, isso será uma característica das pessoas avessas ao risco. Adiante, definiremos de forma
mais precisa o comportamento dos indivíduos no que diz respeito à sua relação com o risco.
Mas, voltando ao nosso jogo de lançamento de moeda, vamos acrescentar mais informações, como a riqueza inicial do agente.
Seja um consumidor com uma riqueza de R$2,00 e que esteja pensando em entrar em um jogo justo de lançamento de moeda: ele ganha R$1,00 se
sair cara e perde R$1,00 caso saia coroa. Como a moeda é justa, a probabilidade de sair cara é de 50%.
O valor esperado da riqueza desse indivíduo, E(w), será:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto, a utilidade da riqueza esperada será dada por:
V alor Esperado = (+1)+ (−1)= 012
1
2
E(w)= (2 − 1)+ (2 + 1)= (1)+ (3)= 21
2
1
2
1
2
1
2
javascript:void(0)
UTILIDADE DA RIQUEZA ESPERADA
Observe que isso é diferente da utilidade esperada da riqueza! Em geral, . A exceção é o caso de neutralidade ao risco,
como veremos adiante.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Por outro lado, a utilidade esperada do consumidor será a soma ponderada pelas probabilidades da utilidade do indivíduo nos diferentes estados da
natureza:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Supondo que a utilidade do consumidor seja côncava, podemos expressá-la como na figura a seguir:
 
Imagem: Pedro Américo de Almeida Ferreira
Perceba que, se o consumidor tem utilidade côncava, a utilidade esperada da riqueza é menor que a utilidade da riqueza esperada:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Dizemos que, nesse caso, o consumidor é avesso ao risco. Para agentes econômicos avessos ao risco, a utilidade marginal da riqueza é
decrescente. Portanto, para qualquer nível de riqueza, o ganho de utilidade com o aumento da riqueza será menor que a redução da utilidade com a
perda de riqueza.
Assim, esse consumidor irá preferir sua riqueza inicial a apostar neste jogo:
u(2) > 0,5u(1) + 0,5u(3)
De maneira mais clara, dizemos que um indivíduo é avesso ao risco se a utilidade esperada da riqueza é menor que a utilidade da riqueza
esperada.
u(E(w)) ≠ E(u(w))
u(E(w))= u( (1) + (3))= u(2)12
1
2
u(1)+ u(3)12
1
2
u(1)+ u(3)< u( (1) + (3))= u(2)1
2
1
2
1
2
1
2
Naturalmente, o comportamento dos consumidores em relação ao risco nem sempre será de aversão. Dizemos que indivíduo é neutro ao risco se a
utilidade esperada da riqueza for igual à utilidade da riqueza esperada. Nesse caso, o agente econômico apresentará uma função de utilidade da
riqueza linear. Em relação ao nosso exemplo anterior, a neutralidade ao risco será caracterizada pelo gráfico:
 
Imagem: Pedro Américo de Almeida Ferreira
Nesse caso, o consumidor ficará indiferente entre apostar ou não no jogo, já que a utilidade do nível de riqueza inicial é igual à utilidade esperada da
riqueza (u(2) = 0,5u(1) + 0,5u(3)). O interessante desse caso é que o consumidor não se preocupa com os riscos a que sua riqueza está sujeita, a
preocupação é exclusiva com o valor esperado.
Por fim, temos o caso do consumidor propenso ao risco. Dizemos que um indivíduo é propenso ao risco (ou amante do risco) se a utilidade
esperada da riqueza é maior que a utilidade da riqueza esperada. Graficamente, esse tipo de indivíduo terá uma função de utilidade convexa, isto
é, a utilidade marginal será crescente na riqueza. No nosso exemplo, o consumidor decidirá participar do jogo, visto que a utilidade esperada da
riqueza ao jogar será maior que a utilidade do nível de riqueza inicial (u(2) < 0,5u(1) + 0,5u(3)), como mostra a imagem.
 
Imagem: Pedro Américo de Almeida Ferreira
 DICA
É interessante observarmos que, em geral,quanto mais convexa for a função de utilidade, mais propenso ao risco será o consumidor. Por outro lado,
quanto mais côncava for a função de utilidade, mais avesso ao risco será o agente econômico.
Para prosseguirmos, vamos introduzir dois outros conceitos úteis para a análise de aversão ao risco: o equivalente de certeza e o prêmio ao risco.
O equivalente de certeza (EC) é o montante de dinheiro tal que a utilidade esperada da riqueza será igual à utilidade dessa quantia. No nosso
exemplo, o equivalente de certeza será um valor EC tal que 0,5u(1) + 0,5u(3) = u(EC). É o montante de dinheiro que faria o consumidor ficar
indiferente entre jogar, ou não, o jogo.

Já o prêmio de risco é o montante de riqueza P, tal que P = E(w) – EC. Ou seja, é a diferença entre a riqueza esperada e o equivalente de certeza.
Dado um valor esperado da riqueza (E(w)), quanto menor o equivalente de certeza, maior será o prêmio de risco.
Tanto o equivalente de certeza como o prêmio de risco estão no gráfico a seguir:
 
Imagem: Pedro Américo de Almeida Ferreira adaptada por Rodrigo Pessôa
O mais interessante desses novos conceitos é que eles podem ser usados para definirmos aversão, neutralidade e propensão ao risco. Enquanto para
os consumidores avessos ao risco, o equivalente de certeza será menor ou igual que o valor esperado da riqueza (veja a figura anterior), para os
consumidores propensos ao risco o equivalente de certeza será maior ou igual que o valor esperado da riqueza.
Da mesma forma, enquanto para os avessos ao risco o prêmio de risco será maior ou igual a zero (novamente, veja figura anterior), para os propensos
ao risco esse valor será menor ou igual a zero.
Portanto, podemos concluir que as seguintes propriedades são equivalentes para a relação do consumidor com o risco:
CONSUMIDORES AVESSO AO RISCO
O indivíduo é avesso ao risco.
u(.) é côncava.
EC ≤ E(w).
P ≥ 0.
Podemos fazer caracterização similar para os indivíduos neutros e propensos ao risco. No que diz respeito aos consumidores neutros ao risco,
podemos dizer que as seguintes propriedades são equivalentes:
CONSUMIDORES NEUTROS AO RISCO
O indivíduo é neutro ao risco.
u(.) é linear.
EC = E(w).
P = 0.
Por fim, para os agentes propensos ao risco, temos a seguinte equivalência:
CONSUMIDORES PROPENSOS AO RISCO
O indivíduo é propenso ao risco.
u(.) é convexa.
EC ≥ E(w).
P ≤ 0.
Em que u(.) é a utilidade de Bernoulli do consumidor, EC é o equivalente de certeza, E(w) é o valor esperado da riqueza e P é o prêmio de risco.
Diante da definição dos conceitos de aversão ao risco, podemos retomar nosso exemplo de contratação de seguro. Lembremos que, no exemplo, a
pessoa tem uma riqueza de R$35.000 em um carro e pode sofrer uma perda de R$10.000 com probabilidade de 1%. Sabendo que o consumidor deve
pagar βK reais para ser segurado em K reais pela seguradora, o problema será saber quanto o consumidor desejará ficar segurado. Sendo assim,
podemos escrever o problema do seguro da seguinte forma:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Agora, vamos supor que o preço β da unidade do seguro seja atuarialmente justo, significando que o valor esperado do seguro será igual ao seu
custo. De outra maneira, será o preço tal que a empresa terá, em média, lucro zero. Como a empresa deverá pagar K com probabilidade de 1%, e não
pagará nada com probabilidade de 99%, então o lucro esperado da empresa é:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Se a empresa oferece um seguro a uma taxa atuarialmente justa, obtendo lucro zero, então:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Nesse contexto, o problema do seguro pode ser reescrito como:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Pela condição de primeira ordem, o ponto ótimo K>0 deve satisfazer:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Reorganizando:
max  
K
0,99 × u(35.000 − βK)+0,01 × u(25.000 + K − βK)
Lucro =  β × K − 0,01 × K − 0,99 × 0 = βK − 0,01K
βK − 0,01K = 0
β = 0,01
max  
K
0,99 × u(35.000 − 0,01 × K)+0,01 × u(25.000 + K − 0,01 × K)
−0,01(0,99)u'(35.000 − 0,01 × K)+(1 − 0,01)(0,01)u'(25.000 + K − 0,01 × K)=
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 O QUE OCORRE SE O CONSUMIDOR FOR AVESSO AO RISCO?
Suponha que o consumidor seja avesso ao risco – logo, sua utilidade marginal u' é estritamente decrescente. Lembre-se de um fato básico sobre uma
função estritamente decrescente: se a função assume o mesmo valor em dois pontos do domínio, então esses pontos são iguais. Dessa forma,
obtemos:
PONTOS SÃO IGUAIS
Isso também vale para funções estritamente crescentes. De forma geral, essa é a definição de função injetiva.
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Portanto, se o seguro for atuarialmente justo, o consumidor avesso ao risco irá adquirir seguro total, ou seja, ele irá segurar todo o valor da sua
possível perda. Perceba que essa conclusão é mais geral do que o exemplo aqui proposto, valendo em qualquer situação para um seguro
atuarialmente justo e um consumidor avesso ao risco.
E se o preço do seguro for maior do que o atuarialmente justo (ou seja, )? Imagine, por exemplo, que a seguradora tem custos
administrativos a pagar. Nesse caso, o consumidor avesso ao risco tipicamente não comprará seguro completo, mas ainda assim irá adquirir alguma
proteção.
Para ver que o consumidor não comprará seguro completo, resolva o problema geral:
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A condição de primeira ordem é:
−0,01(0,99)u'(35.000 − 0,01 × K)= −0,01(0,99)u'(25.000 + K − 0,01 × K)
u'(35.000 − 0,01 × K)= u'(25.000 + K − 0,01 × K)
35000 − 0,01K = 25000 + K − 0,01K
K = 10.000
β > 0,01
max  
K
0,99 × u(35.000 − βK)+0,01 × u(25.000 + K − βK)
−β(0,99)u'(35.000 − β × K)+(1 − β)(0,01)u'(25.000 + K − β × K)= 0
javascript:void(0)
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Reorganizando:
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Como , o lado direito dessa equação é maior que 1. Logo:
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Como a utilidade marginal é estritamente decrescente, obtemos:
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Ou seja, o consumidor escolhe um seguro inferior ao valor do dano potencial.
Para ver que o consumidor tipicamente ainda irá contratar algum seguro, basta avaliar a derivada da utilidade marginal no ponto .
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Se essa derivada for estritamente positiva em , a utilidade esperada do consumidor é crescente na quantidade de seguro a partir do ponto em
que ele não tem nenhum seguro. Podemos escrever isso como:
β(0,99)u'(35.000 − β × K)=(1 − β)(0,01)u'(25.000 + K − β × K)
=
u' ( 25.000+K−β×K )
u' ( 35.000−β×K )
β ( 0,99 )
( 1−β ) ( 0,01 )
β > 0,01
> 1
u' ( 25.000+K−β×K )
u' ( 35.000−β×K )
u'(25.000 + K − β × K)> u'(35.000 − β × K)
u'
25.000 + K − β × K <  35.000 − β × K
K <  10.000
K = 0
−β(0,99)u'(35.000 − β × 0)+(1 − β)(0,01)u'(25.000 + 0 − β × 0)=
−β(0,99)u'(35.000)+(1 − β)(0,01)u'(25.000)
K = 0
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O lado direito é estritamente maior do que 1 porque (ou seja, o preço do seguro é maior do que o atuarialmente justo). Portanto, essa
desigualdade só será verificada se a utilidade marginal no caso de perda for suficientemente maior que a utilidade marginal na ausência de perda. Isso
ocorre exatamente se o consumidor for suficientemente avesso ao risco. Quanto maior o preço do seguro, naturalmente maior deverá ser o nível de
aversão ao risco para que o consumidor compre algum seguro que não seja atuarialmentejusto.
Mas como medir o nível de aversão ao risco? Veremos isso na próxima seção.
MEDINDO A AVERSÃO AO RISCO
Agora que já definimos a aversão ao risco, podemos tentar mensurar quantitativamente o grau de aversão ao risco do consumidor.
Esse grau está relacionado com a curvatura de sua função de utilidade. Mais precisamente, podemos dizer que a aversão ao risco cresce com a
curvatura da função de utilidade para determinado nível de riqueza. Portanto, a segunda derivada da função utilidade pode nos oferecer uma boa
medida do grau de aversão ao risco.
O problema é que a segunda derivada muda quando fazemos uma transformação monotônica positiva na função utilidade (mesmo se usarmos uma
transformação afim). Dessa forma, não é uma boa medida de aversão ao risco: não gostaríamos que nossa medida mudasse ao usar uma função
utilidade distinta, mas representando as mesmas preferências.
Para termos uma medida que seja invariante a transformações positivas da função utilidade, podemos criar uma medida de aversão ao risco baseada
na razão entre a segunda e a primeira derivada da função de utilidade do consumidor. Essa razão é o que denominamos de coeficiente de aversão
ao risco absoluto.
COEFICIENTE DE AVERSÃO AO RISCO ABSOLUTO
Dada uma função de utilidade u(.), o coeficiente de aversão ao risco absoluto de Arrow-Pratt no nível de riqueza w será dado por RA(w) = -
u’’(w)/u’(w).
Dizemos que um indivíduo é mais avesso ao risco que outro se o coeficiente de aversão ao risco absoluto de um for maior que do outro para todo nível
de riqueza. Devemos observar que quanto mais côncava é a função de utilidade, maior o coeficiente de aversão ao risco absoluto. Outra característica
a ser salientada é que quanto maior for o coeficiente de aversão ao risco absoluto, maior será o prêmio de risco, e menor será o equivalente
de certeza associado a uma loteria qualquer.
Um caso particularmente interessante é aquele em que esse coeficiente é constante. Seja, por exemplo, uma função de utilidade dada por u(w) = - e-
wa para a > 0. Calculando a primeira e a segunda derivadas dessa função, encontramos u’(w) = ae-aw e u’’(w) = -a2e-aw. Portanto, RA(w) = a para
todo w. Ou seja, seu coeficiente de aversão ao risco não varia com o nível de riqueza.
COEFICIENTE DE AVERSÃO AO RISCO RELATIVO
Um conceito complementar de grau de aversão ao risco leva em consideração o nível de riqueza do indivíduo. Esse é o chamado coeficiente de
aversão ao risco relativo.
Dada uma função de utilidade u(.), o coeficiente de aversão ao risco relativo no nível de riqueza w será dado por RR(w) = -wu’’(w)/u’(w).
Portanto, RR(w) = wRA(w). Isto é, o coeficiente relativo é o absoluto multiplicado pelo nível de riqueza.
É frequente que os indivíduos apresentem um coeficiente de aversão ao risco absoluto decrescente na riqueza: se a pessoa com determinada riqueza
aceita uma aposta do tipo ‘ganhar ou perder dado valor’, ela continuará aceitando essa aposta ao se tornar mais rica. Analogamente, se um indivíduo
apresenta aversão ao risco relativo decrescente, ele se torna mais propenso a aceitar uma aposta do tipo ‘ganhar ou perder uma fração da riqueza’.
β(0,99)u'(35.000)<(1 − β)(0,01)u'(25.000)
>
u' ( 25.000 )
u' ( 35.000 )
β ( 0,99 )
( 1−β ) ( 0,01 )
β > 0,01
Se um indivíduo possui coeficiente de aversão ao risco relativo decrescente, então seu coeficiente absoluto também será decrescente. Pense nisso:
se, à medida que fico mais rico, estou mais disposto a aceitar apostas que envolvam uma fração da minha renda, também estarei mais disposto a
aceitar apostas de um valor fixo qualquer: afinal, se a renda é crescente, uma fração qualquer dessa renda também é crescente!
EXERCÍCIO RESOLVIDO
O vídeo a seguir aborda a aversão ao risco e contrato de seguros. Assista!
MÉTODOS PARA REDUÇÃO DE RISCO
Em nossa análise, verificamos que pessoas avessas ao risco estão dispostas a desembolsar certa quantia em dinheiro para minimizar seus riscos,
mesmo quando não for possível evitá-los por inteiro. Uma forma de obter essa minimização é através do seguro, que já estudamos.
Já verificamos que indivíduos avessos ao risco, diante de um seguro atuarialmente justo, irão adquirir o seguro total das suas possíveis perdas. O
seguro é um método de minimização de risco, na medida em que ele garantirá determinado nível de riqueza (ou consumo) para o agente econômico
em caso de sinistro.
 ATENÇÃO
Um dos problemas do seguro, porém, é que ele pode ser extremamente caro a depender do que está sendo segurado. Isso porque as companhias de
seguro, além de cobrir os danos segurados, têm de investir na coleta de informações, na manutenção de registros, na investigação de fraudes, entre
outros. De forma geral, a assimetria de informação entre a seguradora e o consumidor pode tornar os seguros muito caros.
No entanto, mesmo que a empresa não cobre uma taxa justa (isto é, aquela em que o valor esperado do seguro é igual aos custos), se o consumidor
for suficientemente avesso ao risco, ele ainda assim irá contratar o seguro. Quanto mais avesso ao risco é o consumidor, maior a taxa que ele estará
disposto a pagar para ser segurado, como vimos.
Um segundo método de minimização de risco é a diversificação. Ao diversificar um investimento em diferentes portifólios, o indivíduo reduz a
variabilidade do retorno sem, no entanto, reduzir o retorno médio que espera obter.
Para que o conceito fique mais claro, vamos analisar o seguinte exemplo:
 EXEMPLO
Você tem R$100 para investir em duas empresas diferentes, uma que faz óculos de sol e outra que fabrica capas de chuva. Suponha que as
probabilidades de chuva e de sol sejam iguais no longo prazo e que cada ação das empresas custe R$10. Além disso, sabemos que no caso de chuva
as ações da empresa de capas de chuva passarão a valer R$20 e as de óculos de sol, R$5. Por outro lado, no caso de sol o retorno se dá de maneira
inversa: as ações da empresa de óculos sobem para R$20 e as da empresa de capa de chuva caem para R$5. Qual é a melhor estratégia de
investimento? Concentrar o investimento em uma única empresa ou diversificar entre as duas?
Perceba que se você investir todo seu recurso em uma das empresas, terá uma chance de 50% de ter R$200 e 50% de ter apenas R$50. Ou seja, o
retorno esperado em investir todo o recurso em uma das empresas é de R$125, com um grande risco associado. No entanto, se escolher diversificar o
investimento em metade para a empresa de óculos e a outra metade para a empresa de capas de chuva, você terá um retorno esperado de
investimento em cada empresa de R$62,50. Isto é, um retorno esperado total de R$125.
 DICA
Ao diversificar o investimento entre as duas empresas, você pode reduzir o risco total, com o mesmo retorno esperado. Apesar de o retorno
esperado ser o mesmo, a diversificação é capaz de reduzir o risco da carteira de investimentos (a variância da carteira).
As instituições financeiras, como as companhias de seguros e o mercado de ações, proporcionam aos consumidores meios de diversificar e distribuir
seus riscos. O mercado de ações, em particular, permite que os agentes econômicos diversifiquem seus investimentos, saindo de uma posição mais
arriscada − em que toda a riqueza é investida em uma única empresa − para uma situação de menor risco − em que a riqueza é investida em várias
empresas. Além disso, os riscos podem ser realocados constantemente no mercado de ações, bastando para isso comprar/vender as ações que o
consumidor considera mais (ou menos) arriscadas.
Observe que a diversificação é uma forma de obter um seguro contra flutuações idiossincráticas no valor de um ativo!
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. SOBRE AS FUNÇÕES DE UTILIDADE DOS AGENTES AVESSOS, NEUTROS E PROPENSOS AO RISCO, PODEMOS
DIZER, RESPECTIVAMENTE, QUE:
A) Serão lineares, côncavas e convexas.
B) Serão convexas, lineares e côncavas.
C) Serão côncavas, convexas e lineares.
D) Serão côncavas, lineares e convexas.
E) Serão todas côncavas.
2. SENDO UM INDIVÍDUO AVESSO AO RISCO,ASSINALE A ÚNICA ALTERNATIVA VERDADEIRA SOBRE A SUA
DECISÃO DE CONTRATAÇÃO DE SEGURO.
A) O agente avesso ao risco nunca escolherá comprar o seguro total.
B) O agente avesso ao risco só comprará o seguro total caso o preço do seguro não seja atuarialmente justo.
C) Se o seguro for atuarialmente justo, o agente avesso ao risco contratará seguro total.
D) O agente avesso ao risco sempre escolherá adquirir o seguro total, independentemente da taxa cobrada pela seguradora.
E) No que diz respeito ao contrato do seguro ótimo, o comportamento do indivíduo avesso ao risco será igual ao do agente propenso ao risco: ambos
irão contratar o seguro total.
GABARITO
1. Sobre as funções de utilidade dos agentes avessos, neutros e propensos ao risco, podemos dizer, respectivamente, que:
A alternativa "D " está correta.
 
A curvatura da função de utilidade descreve a atitude do consumidor em relação ao risco. Agentes avessos ao risco terão funções de utilidade
côncavas, enquanto os propensos ao risco terão funções de utilidade convexas. Por fim, os neutros ao risco terão funções de utilidade lineares.
2. Sendo um indivíduo avesso ao risco, assinale a única alternativa verdadeira sobre a sua decisão de contratação de seguro.
A alternativa "C " está correta.
 
Para um agente econômico avesso ao risco, supondo que o seguro seja atuarialmente justo − no sentido de que o preço por unidade de seguro seja
igual ao seu custo esperado −, podemos garantir que o consumidor contratará seguro total (aquele que compensa completamente suas possíveis
perdas).
MÓDULO 3
 Descrever os modelos de escolha ótima de carteira de ativos
O MODELO DE MÉDIA-VARIÂNCIA
No módulo anterior, mostramos o papel fundamental exercido pelo mercado de ações como meio de diversificação de riscos. Neste, vamos analisar de
maneira direta um modelo simples de comportamento sob incerteza no qual o consumidor decidirá sua carteira de ativos.
Vamos introduzir o modelo de média-variância, que supõe que os indivíduos só se preocupam com o retorno dos ativos e seu risco para formar sua
decisão de investimento. Assim, para um indivíduo com nível de riqueza w, iremos supor que sua função de utilidade dependa apenas da média e do
desvio-padrão da riqueza. Isto é:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que é a média da distribuição da riqueza do investidor e é o desvio-padrão dessa distribuição. Enquanto a média corresponde ao valor em
torno do qual a distribuição está centrada, o desvio-padrão (raiz quadrada da variância) mede a dispersão da distribuição. Quanto mais elevada for a
dispersão da distribuição, maior o risco do investimento.
 SAIBA MAIS
Pode-se mostrar que, sob certas condições, a função de utilidade da média e da variância pode ranquear as escolhas dos consumidores do mesmo
modo como a função de utilidade esperada ranquearia. Em última instância, para essa correspondência ser verdadeira, precisamos que as escolhas
U = U(μw,σw)
μw σw
de investimento dos indivíduos sejam completamente caracterizadas em termos da média e do desvio-padrão da riqueza.
Vamos utilizar o modelo de média-variância para analisarmos o problema de escolha ótima da carteira de ativos. Suponhamos que o consumidor
possa investir em dois ativos diferentes: um sem risco e outro com risco. O ativo sem risco rende uma taxa de retorno fixa dada por . Já o ativo
com risco terá um rendimento esperado dado por e desvio-padrão do retorno dado por . Se x for a parcela da renda investida no ativo com
risco, então o retorno esperado da carteira de ativos, , pode ser escrita como:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Ou seja, o retorno esperado da carteira de ativos será uma média ponderada dos dois rendimentos esperados. Com um pouco de álgebra também
podemos mostrar que a variância da carteira de ativos pode ser expressa como uma função da variância do ativo de risco:
FUNÇÃO DA VARIÂNCIA DO ATIVO DE RISCO
Usamos aqui a seguinte propriedade da variância: .
Em que X é uma variável aleatória e a e b são parâmetros.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, o desvio-padrão será:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O problema do consumidor será escolher aquela combinação de retorno e risco que maximize sua utilidade. Perceba que se o indivíduo investe
apenas no ativo sem risco, terá uma combinação de retorno e desvio-padrão dada por . Por outro lado, se aplica todo o recurso no ativo com
risco, então o vetor de retorno esperado e desvio-padrão será . A reta que liga esses dois pontos é a reta orçamentária, que descreve a
relação de mercado entre retorno e risco (desvio-padrão).
A inclinação da reta orçamentária se dará pela razão , que é chamada de preço do risco, já que mede o preço, em termos de risco, de se
conseguir mais retorno. O ponto de escolha ótima do investidor será aquele em que a curva de indiferença tangencia a reta orçamentária, como vemos
na figura a seguir:
rf
rm σm
 rx
rx = xrm + (1 − x)rf
V (aX + b)= a2V (X)
σ2x = x
2σ2m
σx = √x2σ2m = xσm
(rf , 0)
(rm,σm)
rm−rf
σm
javascript:void(0)
 
Imagem: Pedro Américo de Almeida Ferreira
As curvas de indiferença têm inclinação positiva, pois o consumidor é avesso ao risco. A variância é um “mal” para ele, uma vez que, quanto maior a
variância, maior será o risco do investimento. No ponto ótimo de escolha, a inclinação da curva de indiferença tem de ser igual à inclinação da reta
orçamentária. Ou de outra maneira, a taxa marginal de substituição entre retorno e risco tem de ser igual ao preço do risco:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para todo ponto ótimo de escolha de carteira, essa igualdade tem de ser válida. Note, no entanto, que o grau de aversão ao risco influenciará na
inclinação das curvas de indiferença, impactando a parcela de recursos destinada ao ativo de risco.
EQUILÍBRIO NO MERCADO DE ATIVOS
Analisamos anteriormente a escolha ótima da carteira de ativos dos investidores. No entanto, não chegamos a enunciar nenhuma condição de
equilíbrio no mercado de ativos de risco. Uma pergunta interessante a ser feita é: em equilíbrio, qual será a relação entre o retorno esperado de
um ativo financeiro e seu risco? Para respondermos a tal pergunta, apresentaremos o modelo CAPM (Capital Asset Pricing Model).
CAPITAL ASSET PRICING MODEL
Modelo de Apreçamento de Ativos Financeiros.
Primeiramente, veremos uma medida de risco do ativo com relação ao risco do mercado.
Na seção anterior, medimos o risco de um ativo pelo seu desvio-padrão. Essa medida fazia sentido, dado que havia apenas um ativo de risco. No
entanto, quando há muitos ativos de risco em determinado portfólio de investimentos, o desvio-padrão deixa de ser a melhor medida de risco. Nesse
contexto, devemos medir o risco do ativo com relação ao risco do mercado como um todo. Assim, se for o retorno esperado do ativo de risco i, e 
for o retorno do mercado como um todo, então o risco de uma ação com relação ao risco do mercado será representado por:
TMS = − =
∂U (μ,σ )
∂σ
∂U (μ,σ )
∂μ
rm−rf
σm
ri rm
βi =
Cov(ri,rm)
Var(rm)
javascript:void(0)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Esse é o chamado beta de uma ação, e se dá pela razão entre a covariância do retorno da ação com o retorno do mercado dividida pela variância do
retorno do mercado. Se um ativo tem um beta igual a 1, isso significa que ele tem mesmo grau de risco que o mercado como um todo.
Agora que já analisamos como mensurar o risco de um ativo, podemos caracterizar a relação de equilíbrio entre o retorno esperado de um ativo e seu
grau de risco.
A condição de equilíbrio no mercado de ativos de risco pode ser enunciada na seguinte condição: em equilíbrio, todos os ativos devem ter a
mesma taxa de retorno ajustada pelo nível de risco.
Se um ativo tiver umataxa de retorno ajustada pelo risco maior que outro, todos os investidores irão preferir esse ativo. Consequentemente, em
equilíbrio, as taxas de retorno ajustadas pelo risco devem ser equalizadas para todos os ativos negociados. Afinal de contas, estamos supondo que os
indivíduos só se preocupam com retorno esperado e risco – não há outras variáveis a considerar. A questão que fica é: como medir esse ajuste do
risco dos ativos?
O risco relativo de um ativo em relação ao risco do mercado como um todo é medido pelo beta do ativo. Logo, a quantidade total de risco de um ativo
se dá pela interação do beta do ativo pelo risco do mercado. Isto é, o risco total do ativo i é .
O custo desse risco é dado pela multiplicação do risco total pelo preço do risco. Esse é o chamado ajuste para o risco, ou ajuste do risco:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Devemos subtrair esse custo do retorno esperado do ativo.
Portanto, em equilíbrio, quaisquer dois ativos i e j devem satisfazer a igualdade:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Isto é, em equilíbrio, os retornos dos ativos ajustados pelos riscos devem ser iguais. Essa condição vale, inclusive, para o ativo sem risco, em que 
. Assim:
βiσm
ajuste do risco = βiσmp
ajuste do risco = βiσm( )rm−rfσm
ajuste do risco = βi(rm − rf )
ri − βi(rm − rf)= rj − βj(rm − rf)
βf = 0
ri − βi(rm − rf )= rf − βf (rm − rf )
ri − βi(rm − rf)= rf − 0(rm − rf)
ri − βi(rm − rf)= rf
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Essa é a expressão final do modelo CAPM. Ela diz que o retorno esperado de qualquer ativo i deve ser igual à taxa de retorno do ativo sem risco mais
o ajuste pelo risco. Ou, ainda, o retorno de qualquer ativo deve ser igual ao retorno do ativo sem risco mais o prêmio de risco. Essa igualdade é outra
maneira de expressar a condição de equilíbrio do mercado de ativos de risco.
 ATENÇÃO
Perceba que essa condição de equilíbrio se dá, pois, caso o retorno esperado de algum ativo ajustado pelo risco fosse maior que o retorno esperado
do ativo sem risco, muitos investidores iriam correr para investir neste ativo. A consequência do aumento da demanda pelo ativo seria o aumento de
seu preço.
No entanto, o aumento do preço atual do ativo reduzirá seu retorno esperado, pois o retorno esperado de um ativo nada mais é que a variação
esperada de seu preço dividida pelo preço atual. Dessa maneira, o mercado irá se equilibrar até que todos os ativos tenham o mesmo retorno
esperado ajustado pelo risco. Mais do que isso, o retorno esperado de qualquer ativo ajustado pelo risco será igual à taxa de retorno do ativo sem
risco.
EXERCÍCIO RESOLVIDO
O vídeo a seguir mostra uma aplicação do modelo de média-variância e CAPM. Assista!
VERIFICANDO O APRENDIZADO
ri = rf + βi(rm − rf )
1. NO QUE DIZ RESPEITO AO MODELO DE MÉDIA-VARIÂNCIA, ASSINALE A ÚNICA ALTERNATIVA VERDADEIRA:
A) No ponto ótimo de escolha da carteira de ativos, a taxa marginal de substituição entre retorno e risco deve ser maior que o preço do risco.
B) A inclinação da reta orçamentária no modelo de média-variância é chamada de beta do ativo.
C) O ferramental analítico da função de utilidade esperada não é o mais apropriado para se analisar o problema da carteira ótima de ativos.
D) No ponto ótimo de escolha da carteira de ativos, a taxa marginal de substituição entre retorno e risco deve ser igual ao preço do risco.
E) A variância do retorno do ativo sem risco sempre será maior que a variância do retorno do ativo com risco.
2. EM RELAÇÃO AO MODELO CAPM, ASSINALE A ÚNICA ALTERNATIVA VERDADEIRA DENTRE AS OPÇÕES A
SEGUIR:
A) Em equilíbrio no mercado de ativos de risco, o retorno esperado do ativo de risco deve ser igual ao retorno esperado do ativo sem risco.
B) Em equilíbrio no mercado de ações, o retorno esperado de qualquer ativo deve ser igual ao seu prêmio de risco.
C) O beta de uma ação é considerado uma medida absoluta de risco, isto é, não leva em consideração o risco do mercado como um todo.
D) Em equilíbrio, todos os ativos devem ter a mesma taxa de retorno, independentemente do nível de risco.
E) Em equilíbrio no mercado de ativos de risco, o retorno esperado do ativo de risco deve ser igual ao retorno esperado do ativo sem risco mais o
ajuste pelo risco.
GABARITO
1. No que diz respeito ao modelo de média-variância, assinale a única alternativa verdadeira:
A alternativa "D " está correta.
 
Na escolha ótima de risco e retorno, a inclinação da curva de indiferença deve ser igual à inclinação da reta orçamentária. Isto é, a taxa marginal de
substituição entre retorno e risco deve ser igual ao preço do risco (inclinação da reta orçamentária).
2. Em relação ao modelo CAPM, assinale a única alternativa verdadeira dentre as opções a seguir:
A alternativa "E " está correta.
 
Em equilíbrio no mercado de ativos de risco, todos os ativos devem ter a mesma taxa de retorno ajustada pelo nível de risco. Caso contrário, todos os
investidores iriam para o ativo de maior retorno, aumentando seu preço e, portanto, reduzindo seu retorno esperado. Em equilíbrio, além de todos os
ativos terem a mesma taxa de retorno ajustada pelo risco, podemos dizer que essa taxa será igual ao retorno esperado do ativo sem risco mais o
prêmio de risco.
CONCLUSÃO
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Neste tema, apresentamos o referencial teórico da escolha sob incerteza. Mostramos que as funções de utilidade esperada podem representar as
preferências dos consumidores em um cenário de incerteza. Além disso, explicitamos a relação dos indivíduos com o risco e sua implicação para o
formato da função de utilidade. Agentes avessos ao risco têm função de utilidade côncava. Mais do que isso: em geral, quanto mais côncava é a
função de utilidade, mais avesso ao risco é o indivíduo.
Também mostramos que a escolha do seguro ótimo está intrinsicamente relacionada com a aversão ou propensão dos agentes em relação ao risco.
Em um seguro atuarialmente justo, o consumidor avesso ao risco sempre preferirá se assegurar totalmente contra sua possível perda.
Ainda sobre a relação dos agentes econômicos com o risco, apresentamos duas importantes medidas: os coeficientes de aversão ao risco absoluto e
relativo. Para ambas as medidas, a mensuração do grau de aversão ao risco relaciona-se com a curvatura da função de utilidade. Mostramos também
que o seguro e a diversificação são dois métodos de minimização do risco utilizados pelos consumidores. Tanto o mercado de seguros quanto o
mercado de ações funcionam no sentido de distribuir o risco da economia.
No que diz respeito ao mercado de ações, analisamos o modelo de média-variância que examina a escolha ótima de carteira de títulos com base na
relação entre o retorno e o risco do investimento. Finalmente, o modelo CAPM nos permite identificar a condição de equilíbrio do mercado de ativos:
em equilíbrio, o retorno esperado de qualquer ativo tem de ser igual à taxa de retorno do ativo sem risco mais o ajuste pelo risco.
AVALIAÇÃO DO TEMA:
REFERÊNCIAS
JEHLE, G. A.; RENY, P. J. Advanced microeconomic theory. Essex: Pearson, 2001.
NICHOLSON, W.; SNYDER, C. M. Microeconomic theory: basic principles and extensions. 11. ed. Boston: Cengage Learning, 2012.
STEARNS, S. Daniel Bernoulli (1738): evolution and economics under risk. Journal of Biosciences, volume 25, pp. 221-228, 2000.
VARIAN, H. R. Microeconomia: uma abordagem moderna. 8. ed. Rio de Janeiro: Elsevier, 2012.
EXPLORE+
Para saber mais sobre os assuntos tratados, leia:
A course in microeconomic theory, de David M. Kreps et al.
Princípios de microeconomia, de N. G. Mankiw.
Intermediate microeconomics and its application, de Walter Nicholson.
Microeconomia, de Robert S. Pindyck, Daniel L. Rubinfeld e Esther Rabasco.
Microeconomic theory, de Andreu Mas-Colell et al.
CONTEUDISTA
Pedro Américo de Almeida Ferreira
 CURRÍCULO LATTES
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