2ª Lista - Cálculo 3 - Prof Edson

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Nos exercícios 01 a 14 , ca lcule a in tegral de l inha ao longo do caminho indicado. 
 
01 . 
 
C
ydyxxdx2
, C o segmento r et i l íneo com or igem no pon to 
)0,1(
 e término no pon to 
)3,2(
. 
02 . 
 
C
rdF

, onde 
jyixyyxF

2),( 
 e C é o arco da parábola 
2xy 
, compreendido en tre 
)1,1(
 e 
)1,1(
, percorr ido do pon to de maior para o de menor abscissa . 
03 . 
ydxxdyx
C
22 
, onde, de acordo com a figura abaixo, o caminho C l iga a or igem ao pon to 
)1,2(
 a tr avés 
a) do segmento r et i l íneo r . 
b) do arco p , porção da parábola cu jo eixo de simet r ia é OY. 
c) da un ião dos segmentos r et i l íneos s e t . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
04 . 
xd
yx
y
yd
yx
x
C
)()(
2222 


, C a porção da cir cunferência de cen tro na origem e r aio 
2
, 
compreendida en tre os pon tos 
)0,2(
 e 
)2,2(
, percor rida no sen t ido con trário ao dos 
pon tei ros de um relógio. 
05 . 
ydxyxdyx
C
)( 22 
, C a fron teir a da r egião fechada, determinada pelos arcos das parábolas 
2xy 
 e 
2yx 
, para 
]1,0[x
. 
06 . 
 

C
yx
ydxd
, sendo C o quadrado de vér t ices 
)0,1(,)1,0(,)0,1( 
 e 
)1,0( 
, percor r ido uma 
vez no sen t ido con trário ao dos pon tei ros de um relógio. 
0 
x 
y 
(2, 1) 
r s 
t 
p 
07 . 

C
x
sen
ydyxxde x 2)( 
, sendo C o caminho do pr imeiro quadran te, or ien tado posi t ivamente, 
dado pel o eixo OX, de 
0x
 a 
2x
, seguido do arco da ci r cunferência 
422  yx
, do 
pon to 
)0,2(
 ao pon to 
)2,2(
, complementado pelo segmento r et i l íneo que par te desse 
úl t imo pon to e chega à origem. 
08 . 
 
C
ydyxdxyx )(42
, onde C r esul ta da un ião do segmento r et i l íneo que vai de 
)2,3(
 a 
)0,1(
 com o arco da ci r cunferência 
122  yx
, si tuado no pr imeiro quadran te en tre os 
pon tos 
)0,1(
 e 
)1,0(
, percor r ido no sen t ido posi t i vo. 
09 . 
 

dF

, onde 

 é o segmento de r eta que vai do pon to 
)0,
2
(

A
 ao pon to 
)1,(B
 e 
yyxF (),( 
 sen
,x
cos
)x
. 
10 . 

C
xe
sen
y dx
xe
cos
ydy
, sendo C a el ipse 
2483 22  yx
, percor rida uma vez no sen t ido 
posi t i vo. 
11 . 
 
C
ydxxdy 2
, onde C é a fron teir a da r egião determinada pelo con jun to dos pon tos 
),( yx
 
em R2 , sa t isfazendo
yxyyx  ,122
, com 
0y
. 
12 . 
 
C
rdF

, onde 
jxiyyxF

22),( 
 e C é o caminho que vai do pon to 
)1,0( 
 ao pon to 
)1,0(
 
a tr avés da semi -ci r cunferência 
21 yx 
. 
13 . 
ydytgyxxd
C
  )(2
2
, C o caminho, percor r ido uma vez no sen t ido pos i t ivo, defin ido pela 
ci r cunferência de equação 
1)1( 22  yx
. 
14 . 
 
C
xxdytg
sec
ydy2
, onde C é o segmento r et il íneo que par te do pon to 
)0,2(
 e vai a té o 
pon to 
)
4
,4(

. 
15 . Qual o t r abalho realizado pela força 
jxiyyxF

16)23(),( 2 
, no desl oca mento de uma 
part ícula , do pon to 
)0,1(
 ao pon to 
)0,1(
, segundo o arco super ior da el ipse de equação 
2222 byxb 
? Para que el ipse es t e t r abalho terá a tingido seu menor valor ? 
16 . Um campo de forças bidimensional é dado por 
jyxiyxcyxf

26),( 
, onde 
c
 é uma 
constan te posi t iva . Esta força a tua sobre um objeto, desl ocando -o do pon to 
)0,0(
 a té à r eta 
1x
, ao longo de uma curva do t ipo 
bxay 
, sendo 
a
 e 
b
 números posi t i vos. 
Determine um valor para 
a
, em função de 
c
, de modo que o cálcul o do t r abalho efetuado 
pela força r esul te em uma expressão que não dependa da constante 
b
. 
17 . Se 
g
 é uma função real de uma var iável r eal de classe C 1 , ver i fique que é conservat ivo o 
campo vet or ia l defin ido por 
))(,)((),( 2222 yyxgxyxgyxF 
 . 
18 . Usando o r esul tado da questão anter ior , conclua que é conservat ivo o campo vet or ia l 
))(,)((),( 2222 yyxxyxyxF pp 
 , defin ido em R2 – 
})0,0({
, determinando, para ele, 
uma função potencia l . 
19 . Considere 
)(tf
 uma função de classe C 1 , para 
bta 
, e 
D
 uma região qualquer con t ida 
em 
),({ yx
R2 / 
}byxa 
. O campo vet or ia l 
))(,)((),( yxfxyxfyyxF 
 , defin ido em 
D
, é conservat ivo? 
20 . 
2
3
)1,2(
)2,1(
2


 y
ydxdxy
, para qualquer caminho l igando os pon tos 
)2,1(
 e 
)1,2(
 ? 
 
 
R E S P O S T A S 
 
01 . 59/6 02 . 0 03 . a. 4/3 b. 0 c. 4 
04 .  /4 05 . – 9/20 06 . 0 
07 . – 2 08 . – (28 +  ) 09 . 1 
10 . 0 11 .  /4 12 . 4/3 
13 . 2 14 . 4 15 . 
484 2  bb
. Para a el ipse 
determinada por 
b
. 
16 . 
2
3c
a 
 
 
18 . 









2
2
2
1
22
222
pse,)yx(ln
pse,)yx(
p)y,x(f
p
 
19 . Sim. 20 . Não 
 
