Trabalho interdisciplinar Fábio

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Sistema de Ensino Presencial Conectado
Matemática
Fabio Douglas de Souza e Silva
modelagem matématica:
Cotação do dólar
Petrolina - PE
2018
Fabio Douglas de Souza e Silva
modelagem matématica:
Cotação do dólar
Trabalho de Matemática apresentado à Universidade Pitágoras Unopar, como requisito parcial para a obtenção de média bimestral na disciplina de Estruturas algébricas, cálculo diferencial, modelagem matemática, estagio curricular obrigatório III, seminários da Prática VI. Sob orientação dos professores: Alessandra Negrini Dalla Barba; Daiany Cristiny Ramos; Debora Cristiane Barbosa Kirnev, Ribeiro Jenai Oliveira Cazetta, Mariana da Silva Nogueira.
Orientador: Prof. 
Petrolina - PE 
2018
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO
Na Produção Textual em Individual (PTI) é imprescindível, num primeiro momento, conhecer a Situação Geradora de Aprendizagem (SGA). Num segundo momento, a proposta é envolver-se com a Situação Geradora de Aprendizagem (SGA), inserindo-se nesse contexto para realizar as tarefas previstas. Para realizar essas tarefas, devem ser seguidas as orientações fornecidas nesse material e embasadas em fundamentações teóricas diversas (livros das disciplinas, tele aulas, web aulas e outros materiais complementares, sejam estes indicados pelos professores ou obtidos por meio de pesquisas).
O presente trabalho interdisciplinar de Matemática apresentado à Universidade Pitágoras Unopar, como requisito parcial para a obtenção de média bimestral nas disciplinas de Estruturas algébricas, cálculo diferencial, modelagem matemática, estágio curricular obrigatório III, seminários da Prática VI. Sob orientação dos professores: Alessandra Negrini Dalla Barba; Daiany Cristiny Ramos; Debora Cristiane Barbosa Kirnev, Ribeiro Jenai Oliveira Cazetta, Mariana da Silva Nogueira.
Os conteúdos interdisciplinares são: modelos matemáticos, função polinomial do segundo grau, grupos, homomorfismos de grupos, polinômios, derivadas, ensino e aprendizagem de matemática.
Tem como competência, criar modelos matemáticos a partir de situações-problemas advindas do cotidiano. Analisar modelos matemáticos.
As habilidades são que o aluno deverá ser capaz de criar modelos matemáticos a partir de situações advindas da realidade e ser capaz de fazer uma análise desse modelo, utilizando conceitos do cálculo diferencial e integral e estruturas algébricas.
Os objetivos da aprendizagem são analisar uma situação-problema e resolver problemas relacionados a essa situação, refletindo sobre a possibilidade em abordar o tema em questão no ensino de Matemática para alunos da Educação Básica.
A situação apresentada, cotação do dólar no período de junho/2017 a junho/2018, e com base nos dados da pesquisa, foram realizadas as tarefas solicitadas cuja finalidade é o exercício de conteúdos previamente estudados e a criação do modelo. 
REFERENCIAL TEÓRICO
Apesar das evidências de que a Matemática foi e ainda é desenvolvida a partir das necessidades humanas, no processo educativo predomina uma postura formal assumida por grande parte dos educadores, onde o conhecimento matemático é aceito somente dentro do terreno da Matemática, não interessando questões como “para que serve isso?”. Mas, essa orientação formalista vem sendo questionada (COSTA, 2009, p. 2, grifos do autor).
Toda atividade escolar oferece condições sob as quais os alunos são convidados a atuar. Isso se refere à noção de ambiente de aprendizagem apresentada por Skovsmose (2000). No caso de Modelagem, são colocadas algumas condições que propiciam determinadas ações e discussões singulares em relação a outros ambientes de aprendizagem. 
Bassanezi (2002, p. 20) que define a modelagem matemática como “conjunto de símbolos e relações matemáticas que representam de alguma forma o objeto estudado”.
Utilizando a modelagem matemática o professor deve orientar os alunos sobre os conteúdos matemáticos que vão surgindo à medida que o método vai sendo desenvolvido, e esses conteúdos nem sempre segue uma sequência como ocorre no sistema de ensino tradicional. Esse detalhamento dos conteúdos ao longo do processo de aprendizagem reduz a intensidade com que o conteúdo é aplicado, tornando o ensino mais leve (BURAK, 1992).
Há limitações para se trabalhar a modelagem matemática uma delas é destacada por Brumano: 
Os conteúdos surgem à medida que o trabalho vai de desenvolvendo, isso pode dificultar a ação dos educadores, pois não se pode prever o que vai acontecer e nem quais conteúdos irão emergir a partir dos temas dos temas escolhido (2014, p.104).
No ambiente educacional o professor deve fazer um diagnostico da realidade social do aluno a fim de fazer uma distribuição adequada do tempo da realização das tarefas e determinar quais recursos o aluno terá disponível para realizá-las (COSTA, 2009).
Devido ao pouco espaço para estender a discussão, posso resumir dizendo que Modelagem, é um ambiente de aprendizagem no qual os alunos são convidados a problematizar e investigar, por meio da matemática, situações com referência na realidade.
Destacamos que a Trajetória Hipotética da Aprendizagem é muito importante para a Educação Matemática. Tendo em vista que, atividades significativas ao ensino aprendizagem de matemática envolvem: “resolução de problemas, investigação, uso de tecnologias, abordagens interdisciplinares e aplicações de conceitos e procedimentos matemáticos a situações do cotidiano” (PIRES, 2011, p. 12). 
Pode-se inferir que a elaboração de uma Trajetória Hipotética da Aprendizagem bem planejada tem o potencial de auxiliar as aulas de matemática.
Por meio da atividade proposta nessa Trajetória Hipotética da Aprendizagem, os alunos podem ter contato com as ideias inerentes à situação e com símbolos algébricos, por conseguinte, é possível evidenciar que o pensamento algébrico dos alunos é estimulado para que cheguem a uma representação mais formal.
DESENVOLVIMENTO
A primeira tarefa responder ao seguinte problema: Qual a cotação do dólar em abril de 2019? Para lhe auxiliar nesse problema devemos:
1) Construir o gráfico de dispersão dos dados da tabela 1.
2) Formular hipóteses e selecionar variáveis.
3) Construir o modelo matemático que ajusta os dados da tabela 1.
4) Validar o modelo matemático encontrado.
5) Responder ao problema proposto.
6) Verifique se a resposta do problema está coerente com a situação-problema analisada. 
A tarefa 2, consiste em considerar o modelo encontrado na tarefa 1 responda as seguintes questões:
1) Determine o domínio 𝐴 e o contradomínio 𝐵 da função polinomial 𝑓: 𝐴 → 𝐵, cuja lei de formação foi determinada na tarefa 1.
2) O sistema (𝐴, +) pode ser classificado como grupo? Justifique. Lembrando que 𝐴 corresponde ao domínio da função 𝑓 construído no item 1.
3) Determine, caso existam, as raízes do polinômio (ou zeros da função polinomial 𝑓). O que o estudo das raízes permite concluir com relação à situação-problema “Cotação do Dólar Comercial em um período de 12 meses”?
A tarefa 3, considerando o modelo encontrado na tarefa 1 devemos realizar uma análise dele considerando as seguintes questões:
1) A função obtida no modelo matemático apresenta que tipo de comportamento em relação ao crescimento/decrescimento?
2) Qual a taxa de variação da cotação do dólar no período avaliado?
A última tarefa deve ser elaborada considerando as tarefas realizadas anteriormente, deveremos elaborar um plano de aula que contenha: turma, tempo estimado, objetivos, justificativa, conhecimentos prévios, conteúdos, desenvolvimento e avaliação.
A primeira tarefa é o estudo da cotação do dólar comercial no período de junho de 2017 a junho de 2018.
Tabela 1: cotação do dólar no período de junho /2017 a junho/2018
	Período correspondente
	Tempo (em meses)
	Cotação (em R$)
	Junho(2017)
	0
	3,34
	Agosto (2017)
	2
	3,20
	Outubro (2017)
	4
	3,16
	Dezembro (2017)
	6
	3,23
	Fevereiro (2018)
	8
	3,30
	Abril (2018)
	10
	3,41
	Junho (2018)
	12
	3,76
Agora iremos elaborar o gráfico de dispersão
Gráfico 1: Cotação do dólar no período de junho/2017 a junho/2018
Fonte: O autor.
Analisando o gráfico iremos formular hipótese e selecionar variáveis sendo que a primeira hipótese levantada é que o comportamento, exibido pelo conjunto de pontos, pode ser descritos por uma função polinomial do segundo grau. Com base nessa primeira hipótese as seguintes hipóteses foram consideradas: a cotação do dólar é decrescente para valores de t<4; A cotação do dólar é crescente para t≥4; A cotação do dólar é variável, mesmo considerando o tempo constante, assim concluímos que apenas a variável tempo não é suficiente para explicar o comportamento observado. 
As atividades propostas serão desenvolvidas com base apenas em duas variáveis, relatadas pela pesquisa: C (Cotação do dólar) é a variável dependente; t (tempo) á variável independente, cuja variação é constante e equivalente há dois meses.
Conforme solicitação construímos o modelo matemático que ajusta os dados da tabela 1.
Determinaremos os coeficientes a, b e c da função, usando o seguinte sistema:
 x =
Os parâmetros para resolução pelo método dos mínimos quadrados são obtidos pelos cálculos demonstrados a seguir:
"=0x3,34+2x3,20+4x3,16+6x3,23+8x3,30+10x3,41+12x3,76=144,04"
O sistema pode de ser resolvido pela Regra de Cramer, associado com a regra de Sarrus para obter já que as matrizes são de ordem 3x3.
Calcularemos primeiro o determinante (D) da matriz dos coeficientes:
D== 7 x 364 x 36400+ 42 x 3528 x364+ 364 x 402 x 3528- (42 x 42 x36400+7 x 3528 x3528+ 364 x 364 x364) =1053696
Agora calcularemos os determinantes Dc, Db e Da, trocando a primeira, a segunda e a terceira coluna, respectivamente, da matriz incompleta pela matriz dos termos independentes e usando a regra de Sarrus: 
Dc== 23,40 x 364 x36400+ 42 x 3528 x1273,28+364 x 144,04 x3528- (42 x 144,04 x36400+ 23,40 x 3528 x3528+364 x 364 x1273,28)= 
Db==7 x 144,04 x36400+ 23,40 x 3528 x364+ 364 x 42 x1273,28- (23,40 x 42 x36400+ 7 x 3528 x1273,28+364 x144,04 x364)= - 86177,28
Da==7 x 364 x1273,28+42 x144,04 x364+ 23,40 . 42 3528-(42 . 42 . 1273,28+ 7 . 144,04 . 3528+ 23,40 . 364 . 364)=10035,2
Assim a, b e c, são dados por:
a == 0,009
b == -0,081
c == 3,338
A validação do modelo encontrado é equivalente a determinar o quanto os valores modelados são próximos dos observados, em um dado intervalo. Primeiramente podemos comparar os valores obtidos pelo modelo com os valores observados, para isso substituímos os valores de t (intervalo de [0, 12]) no modelo encontrado, teremos assim valores estimados como mostrado a seguir.
C(0)=0,009*0²-0,081*0+3,338 = 3,34
C(2)=0,009*2²-0,081*2+3,338 = 3,21
C(4)=0,009*4²-0,081*4+3,338 = 3,16
C(6)=0,009*6²-0,081*6+3,338 = 3,18
C(8)=0,009*8²-0,081*8+3,338 = 3,27
C(10)=0,009*10²-0,081*10+3,338 = 3,43
C(12)=0,009*12²-0,081*12+3,338 = 3,66
Concluímos que todos os valores são bem próximos dos obtidos pelas pesquisas e que estão contidos no intervalo [3, 34; 3; 76], podemos então dizer que o modelo é adequado para o ajuste de dados nesse intervalo .
Para responder ao problema proposto, precisamos primeiro determinar quanto tempo se passa até abril/2019, como a variação do tempo é de dois meses, contatamos que o tempo decorrido será de 22 meses, assim temos:
C(22)= 0,009*22² - 0,081*22 + 3,338
C(22)= 5,91
Para tanto na situação hipotética da aprendizagem, a cotação do dólar estimado, pelo modelo criado, para o referido mês será de R$ 5,91. 
O Valor estimado de R$5,91, não é coerente com a situação analisada, comparando este valor com os pesquisados veremos que ele é significativamente superior às cotações reais. 
Na segunda tarefa foi solicitado que determinássemos o domínio 𝐴e o contradomínio 𝐵da função polinomial 𝑓: 𝐴→𝐵, cujo modelo foi determinado tarefa 1.
O domínio é constituído por todos os valores que a variável independente t pode assumir, de forma que para cada t existirá um correspondente C(t), como função é continua, seu domínio é representado por: 
A = {t∈ R}
O contradomínio corresponde a todos os possíveis valores retornados pela função, neste caso menor valor que a função retorna é 3, 16, assim seu contradomínio é representado por:
B={C∈R|3,16 ≤ C<ꝏ+}
O sistema (A,+) representado pelo conjunto domínio será considerado como grupo se apresentar seguintes propriedades para quaisquer elementos pertencentes a A:
1 Elemento neutro (a +E)=(a +E) = a
E = a-a
E=0
Adotando a=5 ∈A
5+0 = 5
2 Elemento simétrico (−a) + a = 0
Adotando a=5∈A
(-5)+5=0
3 Associatividade
a + (b + c) = (a + b) + c
Supondo a=5, b=10, c=12∈ A 
5 + (10 + 12) = 27= (5 + 10)+12
Como os elementos do conjunto satisfazem as propriedades, o sistema (A, +) é um grupo. 
Para se verificar a existência das raízes, calcula-se o valor de , como se segue:
0,009t²-0,081t+3,338=0
(-0,081)²−4(0,009)(3,338)
 -0,114
Como ∆<0, a equação não possui raiz real, isso quer dizer que ela não intercepta o eixo t.
Em relação ao problema analisado, podemos dizer que o valor do dólar nunca será menor ou igual a zero, mas podemos determinar que o menor valor de C(t) é R$3,16, analisando a função, temos a>0 e o vértice corresponde ao ponto (4,3.16), caracterizando assim um ponto de mínimo.
A terceira tarefa consiste em responder a se a função obtida no modelo matemático apresenta que tipo de comportamento em relação ao crescimento/decrescimento?
Pelo teste da primeira derivada uma função é tomada como decrescente, em um intervalo [x1, x2], se f'(x)<0 para qualquer valor de x contido em (a, b) e crescente se f'(x)>0 para qualquer valor de x contido em (a, b) e crescente .
Fazendo a primeira derivada da função, resulta em:
Substituindo os valores de t no em C'(t), temos:
 = -0,081
Portanto, a função é decrescente no intervalo de 0 ≤ t ≤ 4, pois C'(t) < 0 e crescente no intervalo de 4< t ≤ 12, pois C(t) > 0.
E, ainda descobrir qual a taxa de variação da cotação do dólar no período avaliado? 
A taxa média de variação de y em relação a x num dado intervalo [x1; x2], pode ser calculado pela seguinte expressão:
Analogamente, sabendo que a função é decrescente no intervalo 0≤t≤4, taxa média de variação nesse trecho pode ser chamada de taxa média de decrescimento, calculada a seguir:
Similar ao caso anterior, devido a função ser crescente no intervalo de 4<t≤12, calcula-se taxa media de crescimento, como se segue:
A taxa media de variação nos intervalos 0<t≤12 é dada por:
Finalmente a última tarefa, que consiste na elaboração de um plano de aula. 
	PLANO DE AULA
	TURMA: 1° ano
	DISCIPLINA: Matemática
	TEMPO ESTIMADO: 6 aulas
	TEMA: Modelagem matemática
	OBJETIVO
Criar um modelo matemático assimilando os resultados obtidos pelo modelo com a situação analisada e introduzir conhecimentos previamente.
	JUSTIFICATIVA
Justifica-se a modelagem matemática, pois esse conteúdo nem sempre segue uma sequência como ocorre no sistema de ensino tradicional.
Os conteúdos surgem à medida que o trabalho vai de desenvolvendo, isso pode dificultar a ação dos educadores, pois não se pode prever o que vai acontecer e nem quais conteúdos irão emergir a partir dos temas dos temas escolhido.
	CONHECIMENTOS PRÉVIOS
- Sistemas lineares
- Elaboração e analise de gráficos
	CONTEÚDOS
Modelagem matemática e equações polinomiais de segundo grau
	DESENVOLVIMENTO
- Elaborar o gráfico de dispersão.
- Solicitar aos alunos que elaborem suas hipóteses sobre o tema proposto.
- Criar o modelo.
- Realizar um estudo sobre o modelo encontrado e determina: Domínio e Contradomínio
	AVALIAÇÃO
A avaliação será realizada a partir do aprendizado do aluno.
CONCLUSÃO
A atividade Matemática, tanto ao nível relativamente elementar, tem um carátermultifacetado, que inclui, por exemplo, a utilização e construção da modelagem matemática para resolver, de modo sistemático, questões com que nos deparamos com frequência; formação das imagens mentais fecundas em que se apoia a intuição, que possibilita o ataque a problemas novos; capacidade de reconhecer semelhanças em situações aparentemente diferentes, que permitam tratá-las de modo unificado; realização de experiências que permitam formular conjecturas a serem verificadas posteriormente. 
Há, no entanto, um aspecto que, coexistindo com os restantes e não os substituindo, é especialmente distintivo da atividade Matemática, a capacidade de clarificar conceitos e a de argumentar, isto é, a de adquirir (e transmitir) certezas a propósito da validade de certas afirmações, a partir do reconhecimento da validade de outras, normalmente mais simples. 
Com base na experiência, contatou-se que um desafio para o educador reside na necessidade de elaborar o próprio material baseado no tema que deseja trabalhar, é importante que o professor limite possibilidades de soluções, para que o procedimento de resolução das atividades esteja dentro do nível de conhecimento dos alunos.
A adoção de modelos matemáticos no ensino, adequados à realidade das comunidades escolares, incorporando novas tecnologias, sem deixar de preservar identidades culturais, é um meio que propicia ao aluno atingir melhor desempenho tornando-o um dos principais agentes de mudanças.
No caso de se utilizar a modelagem como recurso didático, para estudantes do ensino básico, é de fundamental importância à supervisão e a elaboração cuidadosa atividades a serem propostas, pelo professor, e estas devem conter ainda sugestão referências complementares, para que o aluno não se disperse durante as pesquisas. 
Constatamos que a disciplina de matemática necessita receber um tratamento especial, considerando a complexidade entre progresso científico e tecnológico, relação está estabelecida no mundo com rapidez e modificação. Sendo assim, cabe ao professor trabalhar por uma educação que desenvolva no aluno capacidades para acompanhar as diversidades acima citadas.
REFERÊNCIAS
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BARBOSA, J. C., 2004, em Cury, H. N (Ed.); Disciplinas Matemáticas em cursos superiores: Reflexões, relatos, propostas. 1º ed. Rio Grande do Sul, RS, 2004
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BASSANEZI, R.. Modelagem Matemática. Modelagem Matemática: uma disciplina emergente nos programas de formação de professores. Blumenau: Dynamis, 1994.
BASSANEZI, Rodney Carlos. Ensino-aprendizagem com Modelagem Matemática. São Paulo, 2002. Disponível em:< https://www.researchgate.net/publication/256007243_Ensino_-_aprendizagem_com_Modelagem_matematica>. Acesso em: 25. set. 2018.
BIEMBENGUT, M. S. Modelagem Matemática e Implicações no Ensino - Aprendizagem de Matemática. São Paulo. Câmera Brasileira do Livro. 21p. 1999.
BURAK, Dionisio. Uma perspectiva de Modelagem Matemática para o ensino e a aprendizagem da Matemática. Disponível em:< http://books.scielo.org/id/b4zpq/pdf/brandt-9788577982325-02.pdf> Acesso em: 25. set. 2018
COSTA, Helisângela Ramos. A modelagem matemática através de conceitos científicos. Ciências & Cognição 2009; Vol 14 (3): 114-133. Disponível em:< http://pepsic.bvsalud.org/pdf/cc/v14n3/v14n3a10.pdf> Acesso em: 25. set. 2018
CURY, H. N. Disciplinas matemáticas em cursos superiores. Porto Alegre: Edipucrs, 2004.
VENTURA, Rodolfo Eduardo. Modelagem Matemática: perspectivas interdisciplinares para o ensino e aprendizagem de Matemática. IV Encontro paranaense de modelagem matemática, 2010. Maringá- PR. Disponível em:< http://www.uel.br/grupo-pesquisa/grupemat/docs/mesa_epmem2010.pdf>	 Acesso em: 25. set. 2018.