Trabalho interdisciplinar

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Sistema de Ensino Presencial Conectado
Matemática
modelagem matématica:
Cotação do dólar
2018
modelagem matématica:
Cotação do dólar
Trabalho de Matemática apresentado à Universidade Pitágoras Unopar, como requisito parcial para a obtenção de média bimestral na disciplina de Estruturas algébricas, cálculo diferencial, modelagem matemática, estagio curricular obrigatório III, seminários da Prática VI. Sob orientação dos professores: Alessandra Negrini Dalla Barba; Daiany Cristiny Ramos; Debora Cristiane Barbosa Kirnev, Ribeiro Jenai Oliveira Cazetta, Mariana da Silva Nogueira.
Orientador: Prof. 
2018
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO
A proposta de Produção Textual Interdisciplinar Individual (PTI) tem como temática “Cálculo e Modelos Matemáticos”. Foi escolhida esta temática para possibilitar a aprendizagem interdisciplinar dos conteúdos desenvolvidos nas disciplinas desse semestre.
Neste trabalho será desenvolvida a atitude de investigação, sistematizando julgamentos baseados em critérios e padrões qualitativos e quantitativos relacionados a uma situação geradora de aprendizagem (SGA) e embasados em conhecimentos construídos em cada disciplina.
Tendo competência, criar modelos matemáticos a partir de situações-problemas advindas do cotidiano e analisar modelos matemáticos.
Quanto às habilidades, deveremos ser capazes de criar modelos matemáticos a partir de situações advindas da realidade e ser capaz de fazer uma análise desse modelo, utilizando conceitos do cálculo diferencial e integral e estruturas algébricas.
Os objetivos são analisar uma situação-problema e resolver problemas relacionados a essa situação, refletindo sobre a possibilidade em abordar o tema em questão no ensino de Matemática para alunos da Educação Básica.
REFERENCIAL TEÓRICO
As definições do termo Modelagem Matemática foram associadas a perspectiva de investigação, compreensão e interação, por exemplo, de acordo com Barbosa (2001p. 2) define modelagem Matemática como “[...] um ambiente de aprendizagem no qual os alunos são convidados a indagar e/ou investigar, por meio da matemática, situações oriundas de outras áreas da realidade”, e outras definições se remetem mais aos aspectos matemáticos.
A modelagem vem sendo utilizada no Brasil desde a década de 80, os primeiro trabalhos foram realizadas dentro do campo da biologia, estendendo-se aos poucos para diferentes áreas de estudo que abrangem áreas de estudos dentro dos cursos de engenharia; sua incorporação na grade curricular para formação de professores ocorreu em 1983, e seu emprego no setor de ensino, surgiu com a expectativa de desenvolver formas alternativas de ensinar matemática de forma contextualizada com o cotidiano do estudante (BURAK, 2014).
O uso da modelagem matemática é realizado em etapas e acordo com costa (2009, p.117) estas etapas são
Escolha do tema: escolhido pelo professor, pelos alunos ou em conjunto 
Interação com o tema: faz-se um estudo sobre o tema escolhido através de visitas técnicas a órgãos e profissionais, pesquisa na internet, livros, revistas, entrevistas, reportagens de jornais ou experimentos.
Formulação do problema: o professor deve auxiliar os estudantes na formulação do(s) problema(s) matemático(s) relacionado(s) ao tema, das hipóteses utilizando a simbologia a adequada e descrevendo as relações em termos matemáticos.
Elaboração dos modelos matemáticos: o professor deve orientar os estudantes na construção do modelo devido sua natureza conceitual e 
Abstrata. Resolução dos problemas matemáticos: nesta etapa, os conceitos matemáticos que foram identificados na elaboração dos modelos matemáticos devem ser sistematizados
Interpretação da solução: cada grupo/estudante deve avaliar e interpretar a solução, verificando a adequação da solução obtida ao modelo utilizado.
Validação da solução: o resultado obtido pelo modelo matemático é comparado com o sistema “real”.
De acordo com Costa (2009, p. 2)
[...] apesar das evidências de que a Matemática foi e ainda é desenvolvida a partir das necessidades humanas, no processo educativo predomina uma postura formal assumida por grande parte dos educadores, onde o conhecimento matemático é aceito somente dentro do terreno da Matemática, não interessando questões como “para que serve isso?”. Mas, essa orientação formalista vem sendo questionada (COSTA, 2009, p.2).
Essa mudança de perspectiva em relação ao ensino de matemática, de acordo com Kato e Klüber:
[...] é reflexo da divulgação dos resultados das pesquisas envolvendo a relação ensino de matemática e modelagem, nos diversos eventos da área que também têm registrado uma participação crescente de professores e estudantes das licenciaturas (2012, p.21).
Ao utilizar a modelagem matemática o professor deve orientar os alunos sobre os conteúdos matemáticos que vão surgindo à medida que o método vai sendo desenvolvido, e esses conteúdos nem sempre segue uma sequência como ocorre no sistema de ensino tradicional. Esse detalhamento dos conteúdos ao longo do processo de aprendizagem reduz a intensidade com que o conteúdo é aplicado, tornando o ensino mais leve (BURAK, 1992).
No ambiente educacional o professor deve fazer um diagnostico da realidade social do aluno a fim de fazer uma distribuição adequada do tempo da realização das tarefas e determinar quais recursos o aluno terá disponível para realizá-las (COSTA, 2009).
Todas as etapas da modelagem convergem a um propósito final, o modelo, pois este solidifica a ideia de que a matemática os conteúdos matemáticos são substanciais em situações diversas do cotidiano. A partir da conversão das informações para o modelo, a concepção do conjunto de dados facilita a compreensão de termos tidos como abstratos, por exemplo, domínio e imagem da função.
Segundo Bassanezi (2002) modelo matemático um conjunto de símbolos e relações matemáticas que representam de alguma forma o objeto estudado e ressalta que a importância do modelo matemático consiste em se ter uma linguagem concisa que expressa nossas ideias de maneira clara e sem ambiguidades. 
Segundo as autoras Fernandes e Pires (2013, p. 2), a Trajetória Hipotética da Aprendizagem é a “descrição detalhada de uma aula hipotética que evidencia possíveis dúvidas que possam aparecer, com encaminhamentos e caminhos para discussões”.
Tendo em vista que, atividades significativas ao ensino aprendizagem de matemática envolvem: “resolução de problemas, investigação, uso de tecnologias, abordagens interdisciplinares e aplicações de conceitos e procedimentos matemáticos a situações do cotidiano” (FERNANDES; PIRES, 2011, p. 12). 
As autoras afirmaram a Trajetória Hipotética da Aprendizagem possui pontos importantes. Tais como o objetivo do ensino com direções definidas; as atividades de ensino e o processo hipotético de aprendizagem e as possibilidades de modificação da Trajetória Hipotética da Aprendizagem.
DESENVOLVIMENTO
O desenvolvimento de atividades de modelagem matemática envolve algumas etapas e procedimentos. O primeiro deles, segundo Almeida e Dias (2004), é a inteiração, em que o modelador se inteira sobre a situação-problema. Portanto você já realizou essa etapa da atividade, agora você terá que realizar tarefas que envolvem as demais etapas de uma atividade de modelagem e tarefas que envolvem uma análise do modelo obtido para que possa ao final organizar um plano de aula referente a essa proposta.
Nas tarefas 1, 2 e 3 descritas a seguir o objetivo é explorar a situação apresentada com base nos conhecimentos construídos ao longo do semestre. Na tarefa 4 deveremos estruturar o trabalho, acrescentando os estudos realizados nas tarefas anteriores e finalizando com a elaboração do plano de aula.
TAREFA 1) 
1 - O GRÁFICO
Fonte: Próprio autor
O gráfico demonstradados onde a coordenada x são os meses iniciando em junho de 2017 a junho de 2018 (de dois em dois meses: “JUN-0; AGO-2; OUT-4; DEZ-6; FEV-8; ABR-10; JUN-12”)
2 - FORMULAR HIPÓTESES E SELECIONAR VARIÁVEIS
Podemos considerar como hipótese, a partir da análise do gráfico acima, que a cotação do dólar decresce até out/17, onde encontramos como valor mínimo R$ 3,16 e que a partir desse mês (out/17) há crescimento. E em seguida temos as variáveis (x, y) em que x pertence ao tempo de dois em dois meses e y a variação da cotação do dólar nesse período.
Análise visual: Os pontos estão distribuídos sobre o plano do gráfico formando uma curva côncava, concavidade voltada para cima. Essa curva pode ser comparada ao gráfico da função polinomial do segundo grau. A distribuição dos pontos em relação ao eixo x é constante, no entanto em y, essa distribuição apresenta intervalos variáveis. 
Análise das variáveis: A variável y (Cotação do dólar) é a variável dependente de x, sendo x (tempo em meses) a variável independente, e com variação constate de dois meses.
Formulação da hipótese que explica a variação da cotação do dólar (por meio de pesquisa):
As variações do valor do dólar estão associadas a:
- Inflação;
- Situação econômica do país;
- Taxa de juros Reservas cambiais.
Categorias que influenciam, e muito, em previsões exatas de valores futuros. Porém, para o nosso exemplo, não levamos em consideração essas influências. Sendo caracterizados somente os cálculos matemáticos.
3 - CONTRUÇÃO DO MODELO MATEMÁTICO QUE AJUSTA OS DADOS
MODELO MATEMÁTICO:
O ajuste da equação polinomial pode ser realizado pelo Método dos mínimos quadrados (MMQ). Para Pedrosa {200-} “ajuste polinomial é um caso particular do ajuste linear múltiplo, porém utilizando uma única variável independente”.
A solução geral para aplicação do método, no ajuste de uma função polinomial do segundo grau é dado pelo seguinte esquema de multiplicação de matrizes:
 x =
Usando os dados da Tabela 1 construiremos a Tabela 2 para facilitar a visualização dos parâmetros de cálculo do ajuste.
TABELA 2: PARÂMETROS DE CALCULO DO AJUSTE
	N
	X
	Y
	1
	0
	3,34
	2
	2
	3,20
	3
	4
	3,16
	4
	6
	3,23
	5
	8
	3,30
	6
	10
	3,41
	7
	12
	3,76
Fonte: Próprio autor	
O cálculo de cada parâmetro deve ser realizado individualmente e depois substituídos na solução geral, como se segue:
Substituindo sistema, temos:
 x =
Reescrevendo o sistema, temos:
	
Resolvendo o sistema pela Regra de Cramer, temos:
= 1053696
= 3517588,48 , logo c == 3,338
= - 86177,28, logo b == -0,081
= 10035,2, logo a == 0,009
A solução do sistema fornece c=3,338, b=-0,081, a=0,009, logo o modelo que ajusta os dados da Tabela 1, é:
4 - VALIDAÇÃO DO MODELO ENCONTRADO
O modelo deve ser validado pela comparação entre os valores fornecidos por ele e o conjunto de dados usados para elaborá-lo e através da verificação da qualidade do ajuste, calculando o coeficiente de determinação. 
O coeficiente de determinação indica, em porcentagem, o quanto os valores de y fornecidos se aproxima dos valores obtidos pelo modelo, esse coeficiente varia no intervalo entre 0 ≤ R² ≤ 1, quanto mais próximo mais próximo de um, mais eficiente é o ajuste. O valor de R² pode ser estimado pela equação seguinte:
Verificando por substituição e comparação dos valores pesquisados e estimados (Tabela 3):
TABELA 3: COMPARAÇÃO DOS VALORES ESTIMADOS E PESQUISADO
	x
	
	Estimado
	Observado
	0
	y=0,009*0²-0,081*0+3,338
	3,34
	3,34
	2
	y=0,009*2²-0,081*2+3,338
	3,21
	3,20
	4
	y=0,009*4²-0,081*4+3,338
	3,16
	3,16
	6
	y=0,009*6²-0,081*6+3,338
	3,18
	3,23
	8
	y=0,009*8²-0,081*8+3,338
	3,27
	3,30
	10
	y=0,009*10²-0,081*10+3,338
	3,43
	3,41
	12
	y=0,009*12²-0,081*12+3,338
	3,66
	3,76
Fonte: Próprio autor
Para o cálculo do valor de R², no intuito de facilitar os cálculos, deve ser criada a tabela 4.
TABELA 4: PARÂMETROS PARA O CALCULO DE R²
	n
	y
	
	(y -)²
	y²
	1
	3,34
	3,34
	0,000
	11,156
	2
	3,20
	3,21
	0,000
	10,240
	3
	3,16
	3,16
	0,000
	9,986
	4
	3,23
	3,18
	0,003
	10,433
	5
	3,30
	3,27
	0,001
	10,890
	6
	3,41
	3,43
	0,000
	11,628
	7
	3,76
	3,66
	0,010
	14,138
	
	
	
	=0,014
	=78,470
Fonte: Próprio autor.
Assim, temos:
Como valores obtidos pelo modelo são muito próximos dos valores pesquisados, e o valor de R² é muito significativo podemos considerar o modelo válido e confiável.
5 - RESPONDENDO AO PROBLEMA PROPOSTO: “QUAL SERIA A COTAÇÃO DO DÓLAR PARA ABRIL DE 2019?”
Considerando que x varia constantemente, num intervalo referente de dois em dois meses, o tempo decorrido até abril/ 2019 será de 22 meses, logo inserindo na equação encontrada teremos:
F(x)=0,009x² - 0,081x + 3,338
f( t ) = 0,009.t² - 0,081.t + 3,338
f(22) = 0,009 . 22² - 0,081. 22 + 3,338
f(22) = 0,009 . 484 – 0,081. 22 + 3,338
f(22) = 0,009 . 484 - 0,081 . 22 + 3,338
f(22) = 0,009 . 484 - 0,081 . 22 + 3,338
f(22) = 4,356 - 1,782 + 3,338
f(22) = 5,91
*Em abril de 2019 a cotação estaria R$ 5,91, segundo os dados obtidos equação em questão.
6 - VERIFICAR SE A RESPOSTA DO PROBLEMA ESTÁ COERENTE COM A SITUAÇÃO-PROBLEMA ANALISADA.
A resposta da cotação para abril de 2019 (R$ 5,91) está coerente pelo fato de seguir os cálculos matemáticos utilizando sistemas e regra de Cramer e também através da função quadrática encontrada. Por outro lado se fosse utilizar essa teoria para uma explicação real os dados e fórmulas teriam de ser mais abrangentes por envolver valores econômicos que sofrem influência com os acontecimentos dos países, como já mencionados.
TAREFA 2) 
1 – DETERMINAR O DOMÍNIO A E O CONTRADOMÍNIO B DA FUNÇÃO POLINOMIAL f : A → B, CUJA LEI DE FORMAÇÃO FOI DETERMINADA NA TAREFA 1.
Sendo nossa Lei de Formação f(x) = 0,009x² - 0,081x + 3,338, o domínio da nossa função e modelo da situação-problema, e por se tratar de tempo (meses), é o conjunto dos números naturais (N) pares até 12, ou seja, na forma de representação de conjuntos o domínio D do nosso conjunto A é:
D = { x ϵ N | 0 ≤ x ≤ 12 e x é par }
Já o contradomínio é o próprio conjunto B, ou seja, os valores citados da cotação do dólar:
CD = (3,34 ; 3,20 ; 3,16 ; 3,23 ; 3,30 ; 3,41 ; 3,76)
2 – O SISTEMA (A, +) PODE SER CLASSIFICADO COMO GRUPO?
O sistema (A, +), sendo a nossa representação, NÃO pode ser classificado como GRUPO pelo fato de não aderir às Propriedades de Grupo, neste caso, o ELEMENTO SIMÉTRICO. Ou seja, não tem a propriedade de FECHAMENTO também, que é quando se opera com elementos em A (conjunto) e o resultado continuar em A. O que não representa neste nosso caso.
3 – DETERMINAR AS RAÍZES, CASO EXISTAM, DO POLINÔMIO. O QUE O ESTUDO DAS RAÍZES PERMITE CONCLUIR COM RELAÇÃO A SITUAÇÃO-PROBLEMA “Cotação do Dólar Comercial em um período de 12 meses”? 
Pelo fato de o valor de Δ (DELTA) ser menor que 0 (fato obtido pela observação do gráfico, onde a linha de função não intersectar o eixo das abscissas x), o polinômio não admite raízes reais por não intersectar o eixo x. Sendo o que nos diz que há um valor de dólar igual a 0.
Cálculo:
f(x) = 0,009x² - 0,081x + 3,338
a = 0,009
b = - 0,081
c = 3,338
Δ = b² – 4ac
Δ = (- 0,081)² - 4 * 0,009 * 3,338
Δ = 0,006561 – 0,120168
Δ = - 0,113607
TAREFA 3) 
1 – A FUNÇÃO OBTIDA NO MODELO MATEMÁTICO APRESENTA QUE TIPO DE COMPORTAMENTO EM RELAÇÃO AO CRESCIMENTO/DECRESCIMENTO?
Função e gráficos por partes:
Intervalo I
Intervalo II
A função é DECRESCENTE no Intervalo I sendo f(x1) > f (x2) e é CRESCENTE no Intervalo II se f(x1) < f (x2).
	INTERVALO
	CRESCIMENTO/DECRESCIMENTO
	0 ≤ x < 4
	DECRESCENTE
	4 < x ≤ 12
	CRESCENTE
	x = 4
	CONSTANTE
NOTAÇÃO: 	f é DESCRESCENTE em A ⇔ (∀x1 e x2 ϵ A | x1 < x2 ⇒ f(x1) > f (x2) )
		f é CRESCENTE em A ⇔ (∀x1 e x2 ϵ A | x1 < x2 ⇒ f(x1) < f (x2) )Nas funções decrescentes no Intervalo I, à medida que os valores de x aumentam em I, os valores de f(x) diminuem. Já nas funções crescentes no Intervalo II, à medida que os valores de x aumentam em II, os valores de f(x) também aumentam.
2 – QUAL A TAXA DE VARIAÇÃO DA COTAÇÃO DO DÓLAR NO PERÍODO AVALIADO?
A grandeza y é dependente da grandeza x. Suponha que quando x variar de x0 para x1 teremos que y irá varias de y0 para y1. Temos então que a taxa de variação de y em relação a x será dada por:
T = 
Usando as notações Δx = x1 – x0 e Δy = y1 – y0 , podemos escrever a taxa de variação como:
T = 
Então teremos duas taxas de variação, pois temos dois intervalos como mostrado no item anterior (1).
INTERVALO I: T = = = = R$ 0,045/mês
INTERVALO II: T = = = = R$ 0,075/mês
Sendo assim no INTERVALO I tivemos uma taxa de variação de R$0,045 ao mês, e no INTERVALO II R$0,075 ao mês.
TAREFA 4) 
PLANO DE AULA
INSTITUÍÇÃO:
PROFESSOR (A): 
TEMA: Modelagem matemática aplicada a função polinomial do segundo grau
TURMA/ANO: 1° Ensino médio
TEMPO ESTIMADO: 1 aula
OBJETIVOS
Escolher um tema cotidiano ser trabalhado dentro dos conceitos de modelagem matemática
Elaborar uma pesquisa sobre o tema
Criar gráfico de dispersão dos dados da pesquisa
Selecionar variáveis e formular hipóteses
Criar o modelo que ajusta os dados
Usar o modelo para fazer estimativas
Aplicar e aprimorar os conhecimentos sobre analises de funções
Aplicar os conceitos de grupo 
JUSTIFICATIVA
Sabemos que o tema função trata-se de um dos conceitos mais abordados no estudo da matemática. Em um simples cálculo de preços, de áreas, de distância percorrida em relação ao tempo, dentre muitos outros, utilizamos funções e não nos damos conta disso. Abordar esse tema em sala de aula significa auxiliar o aluno a transpor de um registro discursivo para um registro algébrico e geométrico É proporcionar a transposição didática, ou seja, aplicar o conhecimento matemático científico de uma forma contextualizada e aplicada a situações reais.
A construção de gráficos, que estudaremos aqui possibilitarão ao aluno interpretar as relações entre grandezas de maneira mais clara e sob diferentes pontos de vista.
CONHECIMENTOS PRÉVIOS	
- Polinômios;
- Equações do 1º Grau;
- Equações do 2°Grau;
- Potenciação;
- Radiciação;
- Conjuntos.
DESENVOLVIMENTO
A aula iniciará com uma modelagem matemática, na qual partiremos de dois problemas sobre os quais os alunos serão convidados a interpretá-los conforme seus pontos de vista. Posteriormente faremos uma releitura dos mesmos utilizando o registro algébrico, por meio da explicação dos conteúdos envolvidos. Finalizaremos a aula com a resolução de exercícios.
AVALIAÇÃO
A avaliação será contínua, através da colaboração e compreensão das atividades pelos alunos.
CONCLUSÃO
Ao longo da realização das tarefas surgiu à necessidade de empregar conteúdos que não constam como conteúdos a serem abordados aqui, então se percebeu com isso que ouve um resgate de conhecimentos previamente estudados. As dúvidas que surgiram induziu novas pesquisas, e nesse momento o excesso de informações na internet, principal fonte de pesquisa durante a realização do trabalho, dificultou o foco no que realmente foi solicitado; neste momento foi necessário recorrer aos direcionamentos das referencias sugeridas. 
Em virtude do que foi pesquisado e experimentado, o uso da modelagem matemática no sistema de ensino deve ser uma iniciativa do professor, e cabe a ele se preparar e buscar a elaboração dessas atividades de forma dinâmica é de fácil entendimento, para que alunos com diferentes competências possam executar a atividade. Ainda com base nas atividades desenvolvidas é relevante mencionar que a sugestão de outras referências, pois estas direcionam a realização das tarefas. 
A relevância de compreender com afinco esse termos reside no fato de que durante o ensino básico os modelos são usados a todo o momento, mas nem sempre os alunos compreendem suas reais aplicações.
No caso de se utilizar a modelagem como recurso didático, para estudantes do ensino básico, é de fundamental importância à supervisão e a elaboração cuidadosa atividades a serem propostas, pelo professor, e estas devem conter ainda sugestão referências complementares, para que o aluno não se disperse durante as pesquisas. 
Percebi que a aprendizagem de matemática é muito gratificante, pois o aluno passou a aprender o que lhe despertou o interesse, tornando-o então corresponsável pelo seu aprendizado. 
Partindo do princípio que a modelagem é fundamentada em etapas, a proposta deste trabalho sugere que, o problema proposto deve ser analisado de acordo essas etapas, ao passo que as tarefas e analises solicitadas vão sendo realizadas, o aluno poderá exercitar os conhecimentos prévios e os conteúdos foco empregados. Esse desenvolvimento da atividade em forma de tarefas possibilita que, a medida, que as dificuldades forem surgindo durante a execução do exercício, o aluno será motivado a pesquisar e decidir qual melhor caminho para solucionar o problema. 
Conclui-se que a realização deste trabalho foi de fundamental importância para aplicação dos conhecimentos adquiridos, pois durante a realização das tarefas foram exercitados conteúdos da Matemática básica e conhecimentos mais avançados, como o cálculo diferencial e integral.
REFERÊNCIAS
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ARAÚJO, J.; CORRÊA R. (Ed.) V Conferência Nacional sobre Modelagem na Educação Matemática: A Modelagem Matemática nas Diferentes Práticas Sociais. Ouro Preto, MG, 2007.
BARBOSA, J. C., 2004, em Cury, H. N (Ed.); Disciplinas Matemáticas em cursos superiores: Reflexões, relatos, propostas. 1º ed. Rio Grande do Sul, RS, 2004
BARBOSA, Jonei Cerqueira. Modelagem matemática e os professores: a questão da formação. Bolema, Rio Claro, n. 15, p. 5-23, 2001. Disponível em:< http://www.ufrgs.br/espmat/disciplinas/funcoes_modelagem/2009/modulo_VI/pdf/Mod-Mat-formacao-professores.pdf> Acesso em: 25. set. 2018.
BASSANEZI, R.. Modelagem Matemática. Modelagem Matemática: uma disciplina emergente nos programas de formação de professores. Blumenau: Dynamis, 1994.
BASSANEZI, Rodney Carlos. Ensino-aprendizagem com Modelagem Matemática. São Paulo, 2002. Disponível em:< https://www.researchgate.net/publication/256007243_Ensino_-_aprendizagem_com_Modelagem_matematica>. Acesso em: 25. set. 2018.
BIEMBENGUT, M. S. Modelagem Matemática e Implicações no Ensino - Aprendizagem de Matemática. São Paulo. Câmera Brasileira do Livro. 21p. 1999.
BURAK, Dionisio. Uma perspectiva de Modelagem Matemática para o ensino e a aprendizagem da Matemática. Disponível em:< http://books.scielo.org/id/b4zpq/pdf/brandt-9788577982325-02.pdf> Acesso em: 25. set. 2018
COSTA, Helisângela Ramos. A modelagem matemática através de conceitos científicos. Ciências & Cognição 2009; Vol 14 (3): 114-133. Disponível em:< http://pepsic.bvsalud.org/pdf/cc/v14n3/v14n3a10.pdf> Acesso em: 25. set. 2018
CURY, H. N. Disciplinas matemáticas em cursos superiores. Porto Alegre: Edipucrs, 2004.
VENTURA, Rodolfo Eduardo. Modelagem Matemática: perspectivas interdisciplinares para o ensino e aprendizagem de Matemática. IV Encontro paranaense de modelagem matemática, 2010. Maringá- PR. Disponível em:< http://www.uel.br/grupo-pesquisa/grupemat/docs/mesa_epmem2010.pdf>	 Acesso em: 25. set. 2018.