Modelagem matemática 5

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Sistema de Ensino Presencial Conectado
Matemática
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modelagem matématica:
Cotação do dólar
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2018
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modelagem matématica:
Cotação do dólar
Trabalho de Matemática apresentado à Universidade Pitágoras Unopar, como requisito parcial para a obtenção de média bimestral na disciplina de Estruturas algébricas, cálculo diferencial, modelagem matemática, estagio curricular obrigatório III, seminários da Prática VI. Sob orientação dos professores: Alessandra Negrini Dalla Barba; Daiany Cristiny Ramos; Debora Cristiane Barbosa Kirnev, Ribeiro Jenai Oliveira Cazetta, Mariana da Silva Nogueira.
Orientador: Prof. 
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2018
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO
Para iniciarmos o presente trabalho, ressaltamos que ao trabalharmos Modelagem Matemática dois pontos são fundamentais: aliar o tema à ser escolhido com a realidade de nossos alunos e aproveitar as experiências extraclasse dos alunos aliadas à experiência do professor em sala de aula.
Sendo que, o trabalho interdisciplinar de Matemática possui como conteúdos interdisciplinares, modelos matemáticos, função polinomial do segundo grau, grupos, homomorfismos de grupos, polinômios, derivadas, ensino e aprendizagem de matemática.
A competência é criar modelos matemáticos a partir de situações-problemas advindas do cotidiano. Analisar modelos matemáticos. Quanto às habilidades são que o aluno deverá ser capaz de criar modelos matemáticos a partir de situações advindas da realidade e ser capaz de fazer uma análise desse modelo, utilizando conceitos do cálculo diferencial e integral e estruturas algébricas.
Os objetivos da aprendizagem são analisar uma situação-problema e resolver problemas relacionados a essa situação, refletindo sobre a possibilidade em abordar o tema em questão no ensino de Matemática para alunos da Educação Básica.
A situação apresentada, cotação do dólar no período de junho/2017 a junho/2018, e com base nos dados da pesquisa, foram realizadas as tarefas solicitadas cuja finalidade é o exercício de conteúdos previamente estudados e a criação do modelo. 
Finalmente, foi elaborado um plano de aula direcionado a turmas do ensino médio, no qual a modelagem matemática utilizada com a finalidade de introduzir o conteúdo de funções polinomiais do segundo grau, sob uma nova perspectiva.
Constatamos que o objetivo principal deste trabalho é a introdução dos conceitos da modelagem matemática na resolução de problemas que envolvem equações polinomiais de segundo grau, ao mesmo tempo em que promove a familiarização do discente com a modelagem, sendo que está, vem sendo aos poucos sendo difundida no sistema de ensino brasileiro.
REFERENCIAL TEÓRICO
Todas as mudanças por que passa a sociedade exige um sistema educacional renovado, na qual se faz necessário um currículo cada vez mais adequado com a nossa realidade. Ele deve abrir espaço para as atividades de investigação, contribuindo decisivamente para a formação na concepção de busca e auxílio na percepção da realidade e colaboração para a formação crítica do conhecimento.
O modelo matemático é a descrição matemática de um fenômeno real, por meio de uma função ou equação, sendo que este modelo pode proporcionar o entendimento do fenômeno e possivelmente ser utilizado para fazer predições (STEWART, 2013). 
Thomas (2002, p.65) cita que “esse tipo de modelo é uma idealização dos fenômenos do mundo real e nunca uma representação completamente precisa. Embora qualquer modelo tenha suas limitações, um bom modelo, pode fornecer resultados e conclusões valiosas”.
Ainda segundo Stewart (2013), o procedimento para criação do modelo, dado o problema, é formular o modelo matemático por meio da identificação e especificação das variáveis dependentes e independentes e identificação das hipóteses que o simplifiquem os tornem matematicamente exequíveis.
A ciência, é uma atividade essencialmente humana, procura entender a natureza por meio de teorias adequadas, de modo que essas teorias seja empregadas para ampliar o conhecimento e fundamentar a tomada de decisões futuras; a ciência é o acumulo de conhecimento , por meio de codificação e símbolos associados, que dão origem a linguagem e a representação gráfica (BASSANEZI, 2002). Assim, é possível compreender a modelagem matemática como sendo, um instrumento fundamento nas pretensões da ciência.
A dificuldade em relação ao ensino da Matemática é que, na realidade, o dia-dia do trabalho na sala de aula é uma tentativa de transmissão de um conhecimento deslocado dos interesses dos alunos e que, para grande parte dos educadores, é motivo de frustração. Isso se dá pelo fato de que a Matemática acaba se constituindo num conjunto de técnicas passadas aos alunos de forma mecânica e acrítica, como um conhecimento pronto e acabado. Com frequência, considera-se Matemática uma ciência desligada do mundo real dos alunos (Abdelnur, 1994).
Nas escolas, na maioria das vezes, o professor inicia o ensino de um conteúdo partindo diretamente de aulas expositivas, pouco aproveitando as experiências matemática adquiridas pelo aluno no seu cotidiano. Os alunos como seres ativos inseridos ao ambiente em que vivem, aprendem também matemática fora do ambiente da sala de aula, através de vivências, por isso, o professor deve levar em consideração essas experiências, pois, explorá-las poderá ajudar bastante no seu trabalho (Borges Neto, 2001).
Segundo Paiva & Carvalho (1998), é no ambiente escolar que essas experiências deverão ser enriquecidas pelo contato com outros alunos, através de conversas formais, pela discussão e reflexão de seus pontos de vista e pelas formas e soluções que cada um apresenta na resolução de problemas. Para a aquisição dos conhecimentos matemáticos, os alunos necessitam relatar as suas experiências, explorar materiais, delinear e modelar suas representações mentais, ou seja, precisam transformar essas vivências em linguagem matemática.
Segundo Biembengut (1999), Modelagem Matemática é o processo que envolve a obtenção de um modelo.
Neste contexto, a Modelagem Matemática torna-se um ambiente de aprendizagem no qual os alunos são convidados a indagar e/ou investigar, por meio da matemática situações oriundas de outras áreas da realidade. Os parâmetros da Matemática Aplicada, expressos em esquemas explicativos como os encontrados em Edwards e Hamson (1996), são emprestados para conceituar Modelagem.
Pode-se inferir que a elaboração de uma Trajetória Hipotética da Aprendizagem bem planejada tem o potencial de auxiliar as aulas de matemática.
DESENVOLVIMENTO
O desenvolvimento desta atividade de modelagem matemática envolve algumas etapas e procedimentos. 
O primeiro deles é a inteiração, em que o modelador se inteira sobre a situação-problema.
tarefa 1
1) Elaborar o gráfico de dispersão
Gráfico 1: Cotação do dólar no período de junho/2017 a junho/2018
Fonte: Próprio autor.
2) Formular hipótese e selecionar variáveis.
O comportamento gráfico, dos valores, pode ser representado na forma de uma função quadrática;
A função a ser obtida será decrescente para valores de t<4 e crescente para t≥4;
A cotação do dólar é variável, devido a fatores reais não citados pela pesquisa, como situação econômica do país, taxa de juros, reservas cambiais, saída da moeda dos países de origem, entre outros. 
A situação analisada se baseia em duas variáveis observadas:
CD é a variável dependente e que representa a cotação do dólar em função do tempo.
t é a variável independente e que representa o tempo, intervalo considerado para essa variável é de dois meses;
3) Construir o modelo matemático.
O modelo que ajusta os dados pode ter seus coeficientes determinados pelo método dos mínimos quadrados, que é resolvido pela solução geral descrita abaixo: 
 x = 
Os parâmetros para resoluçãopelo método são resolvidos nos itens descritos a seguir:	
Agora, voltado à solução geral apresentada anteriormente e substituindo valores obtidos na solução geral, temos o seguinte sistema:
 x = 
	
O sistema possui o mesmo número de equações e incógnitas, logo pode ser resolvido usando Regra de Cramer. Primeira deve-se calcular o determinante da matriz A:
A=
Como a matriz é da ordem 3x3, podemos achar os determinantes pelo método de Sarrus, para achar o determinante por esse método repete-se a primeira e a segunda coluna, da matriz, após a última coluna e faz-se a soma da multiplicação dos valores das diagonais principais da esquerda para direita e subtrai a soma da multiplicação dos valores das diagonais principais da direita para esquerda.
Determinando D:
D=|=7 . 364 . 36400 + 42 . 3528 . 364 + 364 . 42 . 3528 - (42 .42 . 36400 + 7 . 3528 . 3528 + 364 . 364 . 364) =1053696
Para calcular Dc , aplicamos a regra de Cramer , trocando a primeira coluna da matriz pela matriz dos termos independentes depois usamos a regra de Sarrus:
Dc== 23,40 . 364 . 36400 + 42 . 3528 . 1273,28 + 364 . 144,04 . 3528 - (42 . 144,04 . 36400 + 23,40 . 3528 . 3528 + 364 . 364 . 1273,28) = 3517588,48
Para calcular Db , aplicamos a regra de Cramer , trocando a segunda coluna da matriz pela matriz dos termos independentes depois usamos a regra de Sarrus:
Db= = 7 . 144,04 . 36400 + 23,40 . 3528 . 364 + 364 . 42 . 1273,28 - (23,40 . 42 . 36400 + 7 . 3528 . 1273,28 + 364 .144,04 . 364) = 86177,28
Para calcular Da, aplicamos a regra de Cramer , trocando a terceira coluna da matriz pela matriz dos termos independentes depois usamos a regra de Sarrus:
Da==7 . 364 . 1273,28 + 42 . 144,04 . 364 + 23,40 . 42 . 3528 - (42 . 42 . 1273,28 + 7 . 144,04 . 3528 + 23,40 . 364 . 364) = 10035,2
De acordo coma regra de Cramer os coeficiente a, b e c são dados por:
a= = 0,009
b = = -0,081
c = = 3,338
Substituindo os coeficientes determinados, acima, na equação geral da função quadrática, , obtém-se o modelo que ajusta os dados da tabela 1:
4) Validar o modelo matemático encontrado 
A validação pode ser realizada por comparação dos valores obtidos pelo modelo e os valores reais pesquisados (Tabela 1), essa validação exige o bom senso de quem analisa a situação.
Tabela 1: Valores modelados e pesquisados
	Valores modelados(R$)
	Pesquisados
	CD(t)=0,009*0²-0,081*0+3,338 = 3,34
	3,34
	CD(t)=0,009*2²-0,081*2+3,338 = 3,21
	3,20
	CD(t)=0,009*4²-0,081*4+3,338 = 3,16
	3,16
	CD(t)=0,009*6²-0,081*6+3,338 = 3,18
	3,23
	CD(t)=0,009*8²-0,081*8+3,338 = 3,27
	3,30
	CD(t)=0,009*10²-0,081*10+3,338 = 3,43
	3,41
	CD(t)=0,009*12²-0,081*12+3,338 = 3,66
	3,76
Fonte: Próprio autor.
Logo concluímos que os valores modelados valores são muito próximos dos observados, e que estão contidos no intervalo [3, 34; 3, 76], podemos então afirmar que o modelo é adequado para o ajuste de dados nesse intervalo. 
5) Responder ao problema proposto.
Usando o modelo estima-se o valor da cotação no mês de abril/2019, sabendo que este será o 22° termo da sequência, considerado sendo assim, temos:
CD(22)= 0,009*22² - 0,081*22 + 3,338
f(22)= 5,91
6) Verifique se a resposta do problema está coerente com a situação-problema analisada. Justifique sua resposta. 
O Valor estimado não está coerente com a situação analisada, comparando com os valores da Tabela 1, verificamos que o valor está muito acima dos dados levantados pela pesquisa, e na realidade dólar apresenta oscilações de aumento e queda na cotação. O modelo adotado fornece valores sempre crescentes a mediada que o tempo aumenta, isso prova a superestimação dos valores obtidos. 
tarefa 2
1) determine o domínio 𝐴 e o contradomínio 𝐵 da função polinomial 𝑓: 𝐴 → 𝐵, cujo modelo foi determinado tarefa 1.
O domínio é conjunto representado por todo os valores que a variável independente, t, pode assumir; nesse caso como a função é continua seu domínio é representado pelo conjunto:
A = {t ∈ R}
O contradomínio é conjunto de todas as os possíveis valores que a variável dependente, CD, pode assumir; sabendo que menor valor de CD(t) é 3,16, seu contradomínio pode ser representado pelo conjunto:
B={C ∈ R| C ≥3,16 }
2) O sistema (𝐴, +) pode ser classificado como grupo? Justifique. Lembre-se que 𝐴 corresponde ao domínio da função 𝑓 construído no item 1.	
É definido como grupo o conjunto de elementos que apresentam as propriedades elemento neutro, elemento simétrico e associatividade, e cujos resultados de operações com estes elementos geram resultados, que também são pertencentes ao conjunto.
Com base na definição na definição supracitada, vamos verificar se o sistema (A,+) é um grupo.
Escolhendo aleatoriamente três elementos pertencentes a A = {t ∈ R} :
a = 1 	b=4	c=10
Agora, verificando as propriedades:
Elemento simétrico+
b + (-b) = (-b) + (b)=0
4 + (-4) = (-4) + (4)=0
Elemento neutro
a +E = E +a= a
E=0
1 +0 = 0 +1= 1
4+0 = 4, sendo que 4 ∈ A
Associatividade
a + (b + c) = (a + b) + c
1 + (4 + 10) = 15= (1+4)+10
Como o conjunto exibe as propriedades requeridas o sistema (A, +) é um grupo. 
3) determine, caso existam, as raízes do polinômio (ou zeros da função polinomial 𝑓). O que o estudo das raízes permite concluir com relação à situação-problema “cotação do dólar comercial em um período de 12 meses”?
A equação do segundo grau pode ter ate duas raízes. O número de raízes depende do valor do seu discriminante . Vamos agora fazer calculo de delta para a função modelo encontrada:
0,009t²-0,081t+3,338=0
b²−4ac
(-0,081)²−4(0,009)(3,338)
 - 0,114
O estudo do valor de delta, indica a existência ou não de raízes, nesse caso como ∆<0, a equação não possui raiz real.
Levando em consideração o problema analisado, a inexistência de raízes indica que valor do dólar nunca será menor ou igual a zero, o que é coerente ao comportamento gráfico apresentado (Gráfico 1).
tarefa 3
1) A FUNÇÃO OBTIDA NO MODELO MATEMÁTICO APRESENTA QUE TIPO DE COMPORTAMENTO EM RELAÇÃO AO CRESCIMENTO/DECRESCIMENTO? 
Definição: Seja f uma função contínua num intervalo I, que pode ser aberto ou fechado.
a) Se f '(x)>0 para todo x interior a I, então f será estritamente crescente em I.
b) Se f '(x)<0 para todo x interior a I, então f será estritamente decrescente em I.
Agora fazendo a derivada primeira da função , encontramos:
Substituindo os valores de, t, na equação da primeira derivada da função, temos:
 = -0,081
Com base na definição acima temos:
A função é decrescente no intervalos de 0 ≤ t ≤ 4, pois CD'(t)< 0.
A função é crescente no intervalo de 0 < x ≤ 12, pois CD'(t)> 0.
2) Qual a taxa de variação da cotação do dólar no período avaliado? 
A primeira derivada de uma função fornece uma equação que da a taxa de variação instantânea de CD em relação a t no ponto. Esse cálculo já foi realizado na atividade 1.
Agora, a taxa média de variação de uma função f(x) em relação à x, num dado intervalo [a, b], pode ser calculada pela seguinte razão:
Sabendo que a função é decrescente no intervalo 0 ≤ t ≤ 4, taxa média de decrescimento é:
Similar ao caso anterior, devido a função ser crescente no intervalo de 4<t≤12, calcula-se taxa media de crescimento, como se segue:
A taxa media de variação entre os extremos do intervalo 0 <t≤12 é dada por:
tarefa 4
Finalmente a última tarefa, que consiste na elaboração de um plano de aula. 
	PLANO DE AULA
	TURMA: 1° ANO
	DISCIPLINA: MATEMÁTICA
	TEMPO ESTIMADO: 4 aulas
	TEMA: Função polinomial do 2º grau
	OBJETIVO
Objetivos Gerais: Trabalhar problema que possa contribuir com uma aprendizagem a partir de sua resolução, utilizando as quatro etapas de solução segundo Polya, tendo em vista capacitar os alunos a representar relações simbólicas e compreender questões que envolvam funções polinomiais do 2º grau.
Objetivos específicos: 
- Analisar o interesse dos alunos na resolução de problemas.
- Analisaro desenvolvimento da resolução de problemas seguindo as quatro etapas de solução: compreender o problema, estabelecer um plano, executar o plano e examinar a solução obtida.
- Avaliar se estas etapas de solução desperta o interesse e desenvolvem habilidades para resolver problemas.
	
JUSTIFICATIVA
Contribuir para a motivação da aprendizagem, apresentando a resolução de problema como oportunidade de aquisição de conceitos sobre Função Polinomial do 2º grau.
	CONHECIMENTOS PRÉVIOS
Progressão aritmética e geométrica, equações e funções exponenciais.
	CONTEÚDOS
Modelagem matemática 
Funções polinomiais do 2º grau
	DESENVOLVIMENTO
Em relação aos encaminhamentos que serão adotados na implementação do projeto assumiremos a proposição de Burak (2004, p. 3) que sugere o desenvolvimento da Modelagem Matemática e Funções polinomiais do 2º grau na Educação Matemática na sala de aula, a partir de cinco etapas: 1) Escolha do tema; 2) Pesquisa exploratória; 3) Levantamento dos problemas; 4) Resolução do(s) problema(s) e o desenvolvimento da Matemática relacionada com o contexto do tema; e 5) Análise crítica da(s) solução(es).
	AVALIAÇÃO
A avaliação será contínua, observando a realização das atividades.
CONCLUSÃO
A matemática precisa ser ensinada como um instrumento para a interpretação do mundo em seus diversos contextos, porque muitas vezes ensinamos o conteúdo como se estivéssemos em cima de um altar de verdades, sem compreender as coerências previstas no raciocínio dos nossos alunos.
Há necessidade de que o professor se interesse e estude intensamente todas essas questões. Somente assim a ação do professor se transformará num instrumento útil para a educação dos seus alunos.
A partir desta experiência da utilização da Modelagem Matemática e das Funções polinomiais do 2º grau, como uma metodologia alternativa no processo de ensino e aprendizagem de conceitos matemáticos, acredita-se que a utilização de um “mecanismo” mais dinâmico e interativo possibilita ao aluno assumir o papel de sujeito ativo na construção do conhecimento, contribuindo na construção de um ambiente de aprendizagem mais prazeroso e significativo, tanto para os alunos quanto para o professor.
Ao iniciar-se um trabalho, o professor precisa estar aberto ao surgimento de novas questões, tanto de conteúdos matemáticos não programados para o momento, quanto de outros conteúdos não específicos da Matemática. 
Assim, analisando os resultados obtidos pelos dois grupos, concluímos que a aprendizagem, através do modelo, foi maior e mais visível. Porém é pertinente ressaltar que é necessário ter um conhecimento mais aprofundado sobre o assunto, saber adequar o modelo à turma de alunos em que se trabalha para se poder atender às expectativas propostas pela Modelagem Matemática. 
Enfim, a modelagem é, sem dúvida, a alternativa para a matemática concreta, pois esta nos possibilitou expressar situações reais, utilizando na prática a linguagem matemática, além de desenvolver o raciocínio lógico-matemático, a criatividade e a capacidade de analisar situações matemáticas.
Concluímos que devemos buscar com os alunos caminhos ainda não trilhados e não apenas os já constantes na memória do professor, irão propiciar um aprendizado mútuo, mais verdadeiro e mais próximo do ato de criação matemática. Isto não exclui, no entanto, a possibilidade de estudo compreensiva de situações matemáticas já resolvidas.
REFERÊNCIAS
ANASTÁCIO, Maria Queiroga Amoroso. Considerações sobre a Modelagem Matemática e a Educação Matemática. Rio Claro, 1990. Dissertação de Mestrado, UNESP.
BIEMBENGUT, Maria Salett, Modelação Matemática como Método de Ensino-Aprendizagem de Matemática em cursos de 1º e 2º graus Rio Claro, 1990. Dissertação de Mestrado, UNESP
BIEMBENGUT, Maria Salett, Modelagem Matemática & Implicações no Ensino-Aprendizagem de Matemática, Editora FURB, 1999.
FERREIRA, Eroni Andrade de Souza. Modelagem Matemática com peças da Oficina Mecânica. Guarapuava, 2000.Monografia de Especialização, UNIOESTE. 
GAZETTA, Marineusa. A Modelagem como Estratégia de Aprendizagem da Matemática em Cursos de Aperfeiçoamento de Professores. Rio Claro, 1989.UNESP.
MUROLO, Afrânio Carlos; BONETTO, Giácomo. Matemática Aplicada a Administração, Economia e Contabilidade. 2. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2012.
TAN, Soo Tang. Matemática Aplicada à Administração e Economia. 5. ed. São Paulo: Pioneira, 2001.