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Este curso tem o objetivo de ajudar os estudantes dos mais diversos cursos os conceitos elementares da estatística de maneira fácil e rápida. Compilado: Curso Básico de Estatística Totalmente resolvido Professor Matusalém Vieira Martins Versão: 11-2015 2 Estatística – Professor Mestre Matusalém Vieira Martins Visite o meu site www.professormatusalem.com Apresentação do curso: Assista agora a Vídeo da apresentação do curso: Apresentação do Curso Básico de Estatística Antes de começar os seus estudos recomendo estar com alguns livros de Estatística como apoio (peça para que a sua faculdade compre o maior número possível), todos são bons, deixo abaixo alguns de exemplo: 3 Estatística – Professor Mestre Matusalém Vieira Martins Visite o meu site www.professormatusalem.com Sumário Capítulo 1 - A natureza da Estatística ................................................................................................................ 9 1.1. Panorama histórico ............................................................................................................................... 9 1.2. O método científico ............................................................................................................................... 9 1.3. O método experimental ...................................................................................................................... 9 1.4. O método estatístico ........................................................................................................................... 10 1.5. A Estatística ............................................................................................................................................. 10 1.6. Fases do método estatístico ........................................................................................................... 10 Definição do problema ................................................................................................................................. 11 Planejamento .................................................................................................................................................... 11 Coleta de dados ................................................................................................................................................... 11 Crítica dos dados ................................................................................................................................................. 11 Apuração dos dados ........................................................................................................................................... 11 Exposição ou apresentação dos dados ....................................................................................................... 11 Análise dos resultados. ..................................................................................................................................... 12 1.7. A Estatística nas empresas ............................................................................................................. 12 Exercícios: ............................................................................................................................................................ 12 Capítulo 2 - População e Amostra ..................................................................................................................... 14 2.1. Variáveis .................................................................................................................................................... 14 Exercícios .............................................................................................................................................................. 14 2.2. População e amostra .......................................................................................................................... 16 2.3. Amostragem............................................................................................................................................. 16 Amostragem casual ou aleatória simples .................................................................................................. 16 Amostragem proporcional estratificada ...................................................................................................... 18 Amostragem sistemática .................................................................................................................................. 18 Exercício ................................................................................................................................................................ 19 Determinação do tamanho da amostra para a pesquisa .......................................................... 25 Capítulo 3 - Tabelas ................................................................................................................................................ 28 3.1. Séries estatísticas ................................................................................................................................ 28 Séries históricas, cronológicas, temporais ou marchas ....................................................................... 29 Séries geográficas, espaciais, territoriais ou de localização ............................................................... 29 Séries específicas ou categóricas .................................................................................................................. 29 Séries conjugadas Tabela de dupla entrada ............................................................................................. 30 Exercícios: ............................................................................................................................................................ 30 4 Estatística – Professor Mestre Matusalém Vieira Martins Visite o meu site www.professormatusalem.com 3.2. Dados absolutos e dados relativos ............................................................................................. 32 As percentagens .................................................................................................................................................. 33 Os índices ............................................................................................................................................................... 34 Os coeficientes ..................................................................................................................................................... 35 As taxas 35 Exercício: ............................................................................................................................................................... 35 Capítulo 4 - Gráficos estatísticos........................................................................................................................ 39 4.1. Diagramas ................................................................................................................................................. 39 Gráfico em linha ou em curva ........................................................................................................................ 39 Gráfico em colunas ou em barras ................................................................................................................. 40 Gráfico em colunas ou em barras múltiplas ............................................................................................. 42 Gráfico em setores..............................................................................................................................................43 Gráfico polar .......................................................................................................................................................... 44 Cartograma ............................................................................................................................................................ 45 4.2. O Cartograma é a representação sobre uma carta geográfica. ................................ 45 4.3. Pictograma ................................................................................................................................................ 46 Exercícios: ............................................................................................................................................................ 47 Capítulo 5 - Distribuição de frequência ........................................................................................................... 55 5.1. Tabela primitiva e o ROL .................................................................................................................. 55 5.2. Distribuição de frequência .............................................................................................................. 55 5.3. Tipos de frequências ........................................................................................................................... 56 5.4. Distribuição de frequência sem intervalos de classe ...................................................... 58 Exercícios .............................................................................................................................................................. 59 5.5. Distribuição de frequência com intervalos de classe ...................................................... 61 5.6. Elementos de uma distribuição de frequência .................................................................... 62 Classe 62 Limites de classe ................................................................................................................................................. 62 Amplitude de um intervalo de classe .......................................................................................................... 62 Amplitude total da distribuição ...................................................................................................................... 62 Amplitude amostral ............................................................................................................................................ 63 Ponto médio de uma classe ............................................................................................................................ 63 Frequência simples ou absoluta .................................................................................................................... 63 5.7. Número de classes Intervalos de classe................................................................................. 64 5.8. Como montar uma distribuição de frequência com intervalo a partir do Rol ... 65 5 Estatística – Professor Mestre Matusalém Vieira Martins Visite o meu site www.professormatusalem.com Exercícios .............................................................................................................................................................. 68 5.9. Representação gráfica de uma distribuição ......................................................................... 77 Histograma ............................................................................................................................................................ 77 Polígono de frequência ...................................................................................................................................... 78 Polígono de frequência acumulada ............................................................................................................... 79 A curva de frequência ........................................................................................................................................ 80 5.10. As formas das curvas de frequência ......................................................................................... 82 Curvas em forma de sino ................................................................................................................................. 82 Curvas em forma de jota ................................................................................................................................. 83 Curvas em forma de U ...................................................................................................................................... 83 5.11. Distribuição retangular ..................................................................................................................... 83 Exercícios .............................................................................................................................................................. 84 Capítulo 6 - Medidas de Posição ......................................................................................................................... 98 6.1. Introdução ................................................................................................................................................ 98 6.2. Média aritmética 𝑿 ............................................................................................................................... 98 Dados não-agrupados ....................................................................................................................................... 99 Desvio em relação à média ............................................................................................................................. 99 Propriedades da média ..................................................................................................................................... 99 Dados agrupados ............................................................................................................................................... 100 Exercício .............................................................................................................................................................. 101 Com intervalos de classe................................................................................................................................ 102 Exercício .............................................................................................................................................................. 103 Exercícios ............................................................................................................................................................ 105 Emprego da média ............................................................................................................................................ 106 6.3. Média Geométrica ............................................................................................................................... 106 6.4. Média Geométrica Simples: .......................................................................................................... 106 6.5. Média Geométrica Ponderada : .................................................................................................. 107 6.6. Propriedades da Média Geométrica ......................................................................................... 107 1ª propriedade: .............................................................................................................................................. 107 2ª propriedade: ..............................................................................................................................................107 3ª propriedade: .............................................................................................................................................. 107 4ª propriedade: .............................................................................................................................................. 108 6.7. Aplicações da Média Geométrica ............................................................................................... 108 6.8. MÉDIA HARMÔNICA .......................................................................................................................... 108 6 Estatística – Professor Mestre Matusalém Vieira Martins Visite o meu site www.professormatusalem.com Média Harmônica Simples:. ..................................................................................................................... 108 Média Harmônica Ponderada ................................................................................................................. 109 6.9. Propriedades da média harmônica........................................................................................... 109 6.10. MÉDIA QUADRÁTICA ........................................................................................................................ 110 Média Quadrática Simples ....................................................................................................................... 110 Média Quadrática Ponderada ................................................................................................................. 110 6.11. A moda (M0) ........................................................................................................................................... 111 Dados não-agrupados ..................................................................................................................................... 111 Dados agrupados ............................................................................................................................................... 111 Sem intervalos de classe ................................................................................................................................ 111 Com intervalos de classe................................................................................................................................ 112 Exercício .............................................................................................................................................................. 113 Emprego da moda ............................................................................................................................................. 115 6.12. A mediana (Md) ................................................................................................................................... 115 Dados não-agrupados ..................................................................................................................................... 115 Dados agrupados ............................................................................................................................................... 116 Sem intervalos de classe ................................................................................................................................ 117 Exercício .............................................................................................................................................................. 118 Com intervalos de classe................................................................................................................................ 119 Exercício .............................................................................................................................................................. 120 Emprego da mediana ....................................................................................................................................... 123 6.13. Posição relativa da média, mediana e moda ...................................................................... 123 6.14. As separatrizes ..................................................................................................................................... 124 Os quartis ............................................................................................................................................................. 124 Exercícios: .......................................................................................................................................................... 125 Os percentis ........................................................................................................................................................ 126 Exercício: ............................................................................................................................................................. 127 Exercício Geral de Medidas de Posição: ............................................................................................ 128 Capítulo 7 - Medidas de dispersão ou de variabilidade ........................................................................... 144 7.1. Dispersão ou variabilidade............................................................................................................ 144 7.2. Amplitude total .................................................................................................................................... 145 Dados não-agrupados ..................................................................................................................................... 145 Dados agrupados ............................................................................................................................................... 145 7.3. Variância e Desvio padrão ............................................................................................................. 146 7 Estatística – Professor Mestre Matusalém Vieira Martins Visite o meu site www.professormatusalem.com Dados não-agrupados.................................................................................................................................. 148 Exercício: ............................................................................................................................................................. 148 Dados agrupados ............................................................................................................................................ 150 Sem intervalos de classe ................................................................................................................................ 150 Exercícios: .......................................................................................................................................................... 150 Com intervalos de classe................................................................................................................................ 151 Exercícios: .......................................................................................................................................................... 153 7.4. Coeficiente de variação ................................................................................................................... 157 Exercícios: .......................................................................................................................................................... 158 Capítulo 8 - Medidas de assimetria e medidas de curtose ..................................................................... 166 8.1. Assimetria ...............................................................................................................................................166 8.2. Coeficiente de assimetria .............................................................................................................. 169 Exercícios: .......................................................................................................................................................... 169 8.3. Curtose ...................................................................................................................................................... 171 8.4. Coeficiente de curtose ..................................................................................................................... 171 Exercícios: .......................................................................................................................................................... 172 Exercícios complementares: .............................................................................................................................. 177 Capítulo 9 - Probabilidade ................................................................................................................................... 192 9.1. Introdução .............................................................................................................................................. 192 9.2. Experimento aleatório ..................................................................................................................... 192 9.3. Espaço amostral .................................................................................................................................. 192 9.4. Eventos ..................................................................................................................................................... 192 9.5. Probabilidade ........................................................................................................................................ 193 9.6. Eventos complementares ............................................................................................................... 194 9.7. Eventos independentes ................................................................................................................... 195 9.8. Eventos mutuamente exclusivos ............................................................................................... 195 9.9. Probabilidade Condicional .................................................................................................... 195 9.10. TÉCNICAS DE CONTAGEM EM PROBABILIDADE ............................................................... 196 9.11. Arranjo com repetição ..................................................................................................................... 196 Revisão de Fatorial: ..................................................................................................................................... 196 9.12. Combinação ................................................................................................................................... 197 9.13. TEOREMA DA PROBABILIDADE TOTAL ................................................................................... 197 9.14. TEOREMA DE BAYES .......................................................................................................................... 198 Exercícios: .......................................................................................................................................................... 199 8 Estatística – Professor Mestre Matusalém Vieira Martins Visite o meu site www.professormatusalem.com Capítulo 10 - Distribuições Binomial e Normal ........................................................................................... 211 10.1. Variável aleatória ............................................................................................................................... 211 10.2. Distribuição de probabilidade ..................................................................................................... 211 10.3. Distribuição binomial ....................................................................................................................... 213 Exercícios ............................................................................................................................................................ 213 10.4. Distribuição normal e Curva normal ....................................................................................... 222 Exercícios: .......................................................................................................................................................... 226 Capítulo 11 - Correlação e Regressão ............................................................................................................ 239 11.1. Introdução .............................................................................................................................................. 239 11.2. Correlação ............................................................................................................................................... 239 11.3. Diagrama de dispersão.................................................................................................................... 239 11.4. Correlação linear ................................................................................................................................. 240 11.5. Coeficiente de correlação linear ................................................................................................ 242 Exercícios ............................................................................................................................................................ 243 11.6. Regressão ................................................................................................................................................ 245 Ajustamento da reta ........................................................................................................................................ 245 11.7. Interpolação e extrapolação ........................................................................................................ 247 Exercícios ............................................................................................................................................................ 248 Formulas: .................................................................................................................................................................. 262 Tabelas: ..................................................................................................................................................................... 264 TABELA DE NÚMEROS ALEATÓRIOS .................................................................................................... 264 ÁREA SUBTENDIDA PELA CURVA NORMAL REDUZIDA DE 0 A Z ........................................ 265 Bibliografia: .............................................................................................................................................................. 266 9 Estatística – Professor Mestre Matusalém Vieira Martins Visite o meu site www.professormatusalem.com Capítulo 1 - A natureza da Estatística 1.1. Panorama histórico Todas as ciências têm suas raízes na história do homem. A Matemática, que é considerada "a ciência que une à clareza do raciocínio a síntese da linguagem", originou-se do convívio social, das trocas, da contagem, com caráter prático, utilitário, empírico. A Estatística, ramo da Matemática Aplicada, teve origem semelhante. Desde a Antiguidade, vários povos já registravam o número de habitantes, de nascimentos, de óbitos,faziam estimativas das riquezas individual e social, distribuíam equitativamente terras ao povo, cobravam impostos e realizavam inquéritos quantitativos por processos que, hoje, chamaríamos de "estatísticas". Na Idade Média colhiam-se informações, geralmente com finalidades tributárias ou bélicas. A partir do século XVI começaram a surgir as primeiras análises sistemáticas de fatos sociais, como batizados, casamentos, funerais, originando as primeiras tábuas e tabelas e os primeiros números relativos. No século XVIII o estudo de tais fatos foi adquirindo, aos poucos, feição verdadeiramente científica. Godofredo Achenwall batizou a nova ciência (ou método) com o nome de Estatística, determinando o seu objetivo e suas relações com as ciências. As tabelas tornaram-se mais completas, surgiram as representações gráficas e o cálculo' das probabilidades, e a Estatística deixou de ser simples catalogação de dados numéricos coletivos para se tornar o estudo de como chegar a conclusões sobre o todo (população'), partindo da observação de partes desse todo (amostras'). Atualmente, o público leigo (leitor de jornais e revistas) posiciona-se em dois extremos divergentes e igualmente errôneos quanto à validade das conclusões estatísticas: ou crê em sua infalibilidade ou afirma que elas nada provam. Os que assim pensam ignoram os objetivos, o campo e o rigor do método estatístico; ignoram a Estatística, quer teórica quer prática, ou a conhecem muito superficialmente. Na era da energia nuclear, os estudos estatísticos têm avançado rapidamente e, com seus processos e técnicas, têm contribuído para a organização dos negócios e recursos do mundo moderno. 1.2. O método científico Muitos dos conhecimentos que temos foram obtidos na Antiguidade por acaso e, outros, por necessidades práticas, sem aplicação de um método. Atualmente, quase todo acréscimo de conhecimento resulta da observação e do estudo. Se bem que muito desse conhecimento possa ter sido observado inicialmente por acaso, a verdade é que desenvolvemos processos científicos para seu estudo e para adquirirmos tais conhecimentos. Podemos dizer, então, que: Método é um conjunto de meios dispostos convenientemente para se chegar a um fim que se deseja. Dos métodos científicos, vamos destacar o método experimental e o estatístico. 1.3. O método experimental 10 Estatística – Professor Mestre Matusalém Vieira Martins Visite o meu site www.professormatusalem.com O método experimental consiste em manter constantes todas as causas (fatores), menos uma, e variar esta causa de modo que o pesquisador possa descobrir seus efeitos, caso existam. É o método preferido no estudo da Física, da Química etc. 1.4. O método estatístico Muitas vezes temos necessidade de descobrir fatos em um campo em que o método experimental não se aplica (nas ciências sociais),já que os vários fatores que afetam o fenômeno em estudo não podem permanecer constantes enquanto fazemos variar a causa que, naquele momento, nos interessa. Como exemplo, podemos citar a determinação das causas que definem o preço de uma mercadoria. Para aplicarmos o método experimental, teríamos de fazer variar a quantidade da mercadoria e verificar se tal fato iria influenciar seu preço. Contudo, seria necessário que não houvesse alteração nos outros fatores. Assim, deveria existir, no momento da pesquisa, uma uniformidade dos salários, o gosto dos consumidores deveria permanecer constante, seria necessária a fixação do nível geral dos preços das outras necessidades etc. Mas isso tudo é impossível. Nesses casos, lançamos mão de outro método, embora mais difícil e menos preciso, denominado método estatístico. O método estatístico, diante da impossibilidade de manter as causas constantes, admite todas essas causas presentes variando-as, registrando essas variações e procurando determinar, no resultado final, que influências cabem a cada uma delas. 1.5. A Estatística Exprimindo por meio de números as observações que se fazem de elementos com, pelo menos, uma característica comum (por exemplo: os alunos do sexo masculino de uma comunidade), obtemos os chamados dados referentes a esses elementos. Podemos dizer, então, que: A Estatística é uma parte da Matemática Aplicada que fornece métodos para a coleta, organização, descrição, análise e interpretação de dados e para a utilização dos mesmos na tomada de decisões. A coleta, a organização e a descrição dos dados estão a cargo da Estatística Descritiva, enquanto a análise e a interpretação desses dados ficam a cargo da Estatística Indutiva ou Inferencial. Em geral, as pessoas, quando se referem ao termo estatística, o fazem no sentido da organização e descrição dos dados (estatística do Ministério da Educação, estatística dos acidentes de tráfego etc.), desconhecendo que o aspecto essencial da Estatística é o de proporcionar métodos inferenciais, que permitam conclusões que transcendam os dados obtidos inicialmente. Assim, a análise e a interpretação dos dados estatísticos tornam possível o diagnóstico de uma empresa (por exemplo, de uma escola), o conhecimento de seus problemas (condições de funcionamento, produtividade), a formulação de soluções apropriadas e um planejamento objetivo de ação. 1.6. Fases do método estatístico Podemos distinguir no método estatístico as seguintes fases: 11 Estatística – Professor Mestre Matusalém Vieira Martins Visite o meu site www.professormatusalem.com Definição do problema Saber exatamente aquilo que se pretende pesquisar é o mesmo que definir corretamente o problema. Planejamento Como levantar informações ? Que dados deverão ser obtidos ? Qual levantamento a ser utilizado ? Censitário ? Por amostragem ? E o cronograma de atividades ? Os custos envolvidos? etc. Coleta de dados Após cuidadoso planejamento e a devida determinação das características mensuráveis do fenômeno coletivamente típico que se quer pesquisar, damos início à coleta dos dados numéricos necessários à sua descrição. A coleta pode ser direta e indireta. A coleta é direta quando feita sobre elementos informativos de registro obrigatório (nascimentos, casamentos e óbitos, importação e exportação de mercadorias), elementos pertinentes aos prontuários dos alunos de uma escola ou, ainda, quando os dados são coletados pelo próprio pesquisador através de inquéritos e questionários, como é o caso das notas de verificação e de exames, do censo demográfico etc. A coleta direta de dados pode ser classificada relativamente ao fator tempo em: a. contínua (registro)- quando feita continuamente, tal como a de nascimentos e óbitos e a de frequência dos alunos às aulas; b. periódica- quando feita em intervalos constantes de tempo, como os censos (de 10 em 10 anos) e as avaliações mensais dos alunos; c. ocasional - quando feita extemporaneamente, a fim de atender a uma conjuntura ou a uma emergência, como no caso de epidemias que assolam ou dizimam rebanhos inteiros. A coleta se diz indireta quando é inferida de elementos conhecidos (coleta direta) e/ou do conhecimento de outros fenômenos relacionados com o fenômeno estudado. Como exemplo, podemos citar a pesquisa sobre a mortalidade infantil, que é feita através de dados colhidos por uma coleta direta. Crítica dos dados Obtidos os dados, eles devem ser cuidadosamente criticados, à procura de possíveis falhas e imperfeições, a fim de não incorrermos em erros grosseiros ou de certo vulto, que possam influir sensivelmente nos resultados. A crítica é externa quando visa às causas dos erros por parte do informante, por distração ou má interpretação das perguntasque lhe foram feitas; é interna quando visa a observar os elementos originais dos dados da coleta. Apuração dos dados Nada mais é do que a soma e o processamento dos dados obtidos e a disposição mediante critérios de classificação. Pode ser manual, eletromecânica ou eletrônica. Exposição ou apresentação dos dados Por mais diversa que seja a finalidade que se tenha em vista, os dados devem ser apresentados sob forma adequada (tabelas ou gráficos), tornando mais fácil o exame daquilo que está sendo objeto de tratamento estatístico e ulterior obtenção de medidas típicas'. 12 Estatística – Professor Mestre Matusalém Vieira Martins Visite o meu site www.professormatusalem.com Análise dos resultados. Como já dissemos, o objetivo último da Estatística é tirar conclusões sobre o todo (população) a partir de informações fornecidas por parte representativa do todo (amostra). Assim, realizadas as fases anteriores (Estatística Descritiva), fazemos uma análise dos resultados obtidos, através dos métodos da Estatística Indutiva ou Inferencial, que tem por base a indução ou inferência, e tiramos desses resultados conclusões e previsões. 1.7. A Estatística nas empresas No mundo atual, a empresa é uma das vigas-mestras da Economia dos povos. A direção de uma empresa, de qualquer tipo, incluindo as estatais e governamentais, exige de seu administrador a importante tarefa de tornar decisões, e o conhecimento e o uso da Estatística facilitarão seu tríplice trabalho de organizar, dirigir e controlar a empresa. Por meio de sondagem, de coleta de dados e de recenseamento de opiniões, podemos conhecer a realidade geográfica e social, os recursos naturais, humanos e financeiros disponíveis, as expectativas da comunidade sobre a empresa, e estabelecer suas metas, seus objetivos com maior possibilidade de serem alcançados a curto, médio ou longo prazo. A Estatística ajudará em tal trabalho, como também na seleção e organização da estratégia a ser adotada no empreendimento e, ainda, na escolha das técnicas de verificação e avaliação da quantidade e da qualidade do produto e mesmo dos possíveis lucros e/ou perdas. Tudo isso que se pensou, que se planejou, precisa ficar registrado, documentado para evitar esquecimentos, a fim de garantir o bom uso do tempo, da energia e do material e, ainda, para um controle eficiente do trabalho. O esquema do planejamento é o plano, que pode ser resumido, com auxílio da Estatística, em tabelas e gráficos, que facilitarão a compreensão visual dos cálculos matemático-estatísticos que lhes deram origem. O homem de hoje, em suas múltiplas atividades, lança mão de processos e técnicas estatísticos, e só estudando-os evitaremos o erro das generalizações apressadas a respeito de tabelas e gráficos apresentados em jornais, revistas e televisão, frequentemente cometidos quando se conhece apenas "por cima" um pouco de Estatística. Exercícios: 1. Complete: O método experimental é o mais usado por ciências como: Resposta: Física, Química, e Ciências Biológicas. 2. As ciências humanas e sociais, para obter os dados que buscam, lançam mão de que método? Resposta: O Método Estatístico 3. O que é Estatística? Resposta: É a parte da matemática aplicada que fornece métodos para a coleta, organização, descrição, análise e interpretação de dados e para a utilização dos mesmos na tomada de decisões. 4. Cite as fases do método estatístico. Resposta Coleta Crítica 13 Estatística – Professor Mestre Matusalém Vieira Martins Visite o meu site www.professormatusalem.com Apuração Exposição Análise dos dados 5. Para você, o que é coletar dados? Resposta: É a parte onde reunimos os dados de forma direta ou indireta. 6. Para que serve a crítica dos dados? Resposta: Para encontrar possíveis erros e retira-los para que a pesquisa fique o mais idônea possível. 7. O que é apurar dados? Resposta: Apurar é organizar os dados, somando-os ou classificando-os por determinados critérios. 8. Como podem ser apresentados ou expostos os dados? Resposta: Por tabelas ou gráficos. 9. As conclusões, as inferências pertencem a que parte da Estatística? Resposta: Estatística Inferencial 10.Cite três ou mais atividades do planejamento empresarial em que a Estatística se faz necessária. Resposta: Tomada de decisões Planejamento estratégico Projeções 14 Estatística – Professor Mestre Matusalém Vieira Martins Visite o meu site www.professormatusalem.com Capítulo 2 - População e Amostra Assista agora a Vídeo Aula: População e amostra - introdução 2.1. Variáveis A cada fenômeno corresponde um número de resultados possíveis. Assim, por exemplo: para o fenômeno "sexo" são dois os resultados possíveis: sexo masculino e sexo feminino; para o fenômeno "número de filhos" há um número de resultados possíveis expresso através dos números naturais: 0, 1, 2, 3, ... , n; para o fenômeno" estatura" temos uma situação diferente, pois os resultados podem tomar um número infinito de valores numéricos dentro de um determinado intervalo. Variável é convencionalmente, o conjunto de resultados possíveis de um fenômeno. Os exemplos acima nos dizem que uma variável pode ser: a- qualitativa quando seus valores são expressos por atributos: sexo (masculino -feminino), cor da pele (branca, preta, amarela, vermelha, parda) etc.; b- quantitativa quando seus valores são expressos em números (salários dos operários, idade dos alunos de uma escola etc.). Uma variável quantitativa que pode assumir, teoricamente, qualquer valor entre dois limites recebe o nome de variável contínua; uma variável que só pode assumir valores pertencentes a um conjunto enumerável recebe o nome de variável discreta. Assim, o número de alunos de uma escola pode assumir qualquer um dos valores do conjunto = {1, 2, 3, ... ,58, ... }, mas nunca valores como 2,5 ou 3,78 ou 4,325 etc. Logo, é uma variável discreta. Já o peso desses alunos é uma variável contínua, pois um dos alunos tanto pode pesar 72 kg, como 72,5 kg, como 72,54 kg etc., dependendo esse valor da precisão da medida. De modo geral, as medições dão origem a variáveis contínuas e as contagens ou enumerações, a variáveis discretas. Designamos as variáveis por letras latinas, em geral, as últimas: x, y, z. Por exemplo, sejam 2, 3, 5 e 8 todos os resultados possíveis de um dado fenômeno. Fazendo uso da letra x para indicar a variável relativa ao fenômeno considerado, temos: x ∈ {2, 3, 5, 8} Exercícios 1- Classifique as variáveis em qualitativas ou quantitativas (contínuas ou descontínuas): a) Universo: alunos de uma escola. Variável: cor dos cabelos – Resposta: Qualitativas b) Universo: casais residentes em uma cidade. Variável: número de filhos – Resposta: Quantitativa Discreta 15 Estatística – Professor Mestre Matusalém Vieira Martins Visite o meu site www.professormatusalem.com c) Universo: as jogadas de um dado. Variável: o ponto obtido em cada jogada – Resposta: Quantitativa Discreta d) Universo: peças produzidas por certa máquina. Variável: número de peças produzidas por hora - Resposta: Quantitativa Discreta e) Universo: peças produzidas por certa máquina. Variável: diâmetro externo. – Resposta: Quantitativa Contínua. 2- Diga quais das variáveis abaixo são discretas e quais são continuas: a) População: alunos de uma cidade. Variável: cor dos olhos. – Resposta Discreta b) P.: estação meteorológica de uma cidade. V.: precipitação pluviométrica, durante um ano. – Resposta: Continuac) P.: Bolsa de Valores de São Paulo. V.: número de ações negociadas. – Resposta: Discreta d) P.: funcionários de uma empresa. V.: salários. – Resposta: Discreta e) P.: pregos produzidos por uma máquina. V.: comprimento. - Resposta: Continua f)P.: casais residentes em uma cidade. V.: sexo dos filhos. – Resposta: Discreta g) P.: propriedades agrícolas do Brasil. V.: produção de algodão.- Resposta: Contínua h) P.: segmentos de reta. V.: comprimento. – Resposta Continua i) P.: bibliotecas da cidade de São Paulo. V.: número de volumes. - Resposta Discreta j) P.: aparelhos produzidos em uma linha de montagem. V.: número de defeitos por unidade. – Resposta Discreta 16 Estatística – Professor Mestre Matusalém Vieira Martins Visite o meu site www.professormatusalem.com l)P.: indústrias de uma cidade. V.: índice de liquidez. – Resposta: Continua 2.2. População e amostra Ao conjunto de entes portadores de, pelo menos, uma característica comum denominamos população estatística ou universo estatístico. Assim, os estudantes, por exemplo, constituem uma população, pois apresentam pelo menos uma característica comum: são os que estudam. Como em qualquer estudo estatístico, temos em mente pesquisar uma ou mais carac- terísticas dos elementos de alguma população, esta característica deve estar perfeitamente definida. E isto se dá quando, considerado um elemento qualquer, podemos afirmar, sem ambiguidade, se esse elemento pertence ou não à população. E necessário, pois, existir um critério de constituição da população, válido para qualquer pessoa, no tempo ou no espaço. Por isso, quando pretendemos fazer uma pesquisa entre os alunos das escolas de 1 o grau, precisamos definir quais são os alunos que formam o universo: os que atualmente ocupam as carteiras das escolas, ou devemos incluir também os que já passaram pela escola? E claro que a solução do problema vai depender de cada caso em particular. Na maioria das vezes, por impossibilidade ou inviabilidade econômica ou temporal, limitamos as observações referentes a uma determinada pesquisa a apenas uma parte da população. A essa parte proveniente da população em estudo denominamos amostra. Uma amostra é um subconjunto finito de uma população. Como vimos no capítulo anterior, a Estatística Indutiva tem por objetivo tirar conclusões sobre as populações, com base em resultados verificados em amostras retiradas dessa população. Mas, para as inferências serem corretas, é necessário garantir que a amostra seja representativa da população, isto é, a amostra deve possuir as mesmas características básicas da população, no que diz respeito ao fenômeno que desejamos pesquisar. E preciso, pois, que a amostra ou as amostras que vão ser usadas sejam obtidas por processos adequados. Há casos, como o de pesquisas sociais, econômicas e de opinião, em que os problemas de amostragem são de extrema complexidade. Mas existem também casos em que os problemas de amostragem são bem mais fáceis. Como exemplo, podemos citar a retirada de amostras para controle de qualidade dos produtos ou materiais de determinada indústria. 2.3. Amostragem Existe uma técnica especial - amostragem - para recolher amostras, que garante, tanto quanto possível, o acaso na escolha. Dessa forma, cada elemento da população passa a ter a mesma chance de ser escolhido, o que garante à amostra o caráter de representatividade, e isto é muito importante, pois, como vimos, nossas conclusões relativas à população vão estar baseadas nos resultados obtidos nas amostras dessa população. Daremos, a seguir, três das principais técnicas de amostragem. Amostragem casual ou aleatória simples Este tipo de amostragem é equivalente a um sorteio lotérico. 17 Estatística – Professor Mestre Matusalém Vieira Martins Visite o meu site www.professormatusalem.com Na prática, a amostragem casual ou aleatória simples pode ser realizada numerando-se a população de 1 a n e sorteando-se, a seguir, por meio de um dispositivo aleatório qualquer, k números dessa sequência, os quais corresponderão aos elementos pertencentes a amostra. Exemplo: Vamos obter uma amostra representativa para a pesquisa da estatura de noventa alunos de uma escola: a) Numeramos os alunos de 01 a 90. b) Escrevemos os números, de 01 a 90, em pedaços iguais de um mesmo papel, colocando-os dentro de uma caixa. Agitamos sempre a caixa para misturar bem os pedaços de papel e retiramos, um a um, nove números que formarão a amostra. Neste caso, 10% da população. Quando o número de elementos da amostra é grande, esse tipo de sorteio torna-se muito trabalhoso. A fim de facilitá-lo, foi elaborada uma tabela de Números Aleatórios , construída de modo que os dez algarismos (0 a 9) são distribuídos ao acaso nas linhas e colunas. Veja um exemplo deste tipo de tabela. TABELA DE NÚMEROS ALEATÓRIOS 2 5 9 0 0 3 1 3 2 7 0 3 0 6 8 9 0 7 6 2 2 7 0 5 8 1 9 4 5 0 8 0 4 6 5 6 0 6 1 6 8 8 3 9 1 7 2 8 4 7 4 1 1 6 2 9 9 6 8 3 3 1 4 3 3 8 7 9 9 5 3 6 0 9 6 9 6 9 2 6 1 7 7 3 4 6 1 7 2 7 1 1 7 5 3 7 7 1 7 6 4 9 0 2 7 7 6 3 9 9 9 1 9 6 0 1 7 9 7 0 6 6 5 3 7 7 6 7 3 2 4 2 0 5 1 6 1 9 7 0 4 7 6 8 9 1 7 3 5 3 0 4 5 3 2 2 1 3 8 4 9 7 4 3 3 9 1 8 7 8 0 9 6 5 8 4 8 5 5 4 2 7 7 1 7 6 2 3 8 1 4 5 8 1 9 5 5 3 2 1 6 6 2 1 6 8 1 4 6 2 1 0 2 4 1 7 6 0 0 3 4 4 0 1 7 3 7 5 1 1 3 4 3 2 8 6 6 5 3 8 6 2 5 9 8 9 9 4 7 9 7 8 6 1 0 9 3 4 1 7 5 9 8 7 1 2 5 8 3 1 9 0 1 4 5 2 6 4 2 8 4 8 6 4 8 2 9 7 0 1 3 7 1 0 3 7 2 9 4 4 8 5 4 5 6 0 8 4 4 9 1 0 7 4 5 4 8 5 6 8 2 9 8 2 7 7 0 0 1 0 0 5 6 7 5 4 1 4 5 9 2 4 7 8 0 9 5 7 9 9 8 6 5 6 1 1 2 2 9 5 0 2 5 2 6 6 9 7 9 7 4 4 1 5 2 8 6 4 8 6 4 3 4 6 9 1 7 3 3 4 5 9 0 8 6 7 3 4 5 0 5 3 1 4 1 2 5 5 8 5 3 9 6 1 7 9 8 6 9 4 2 1 2 9 7 5 9 6 0 5 4 5 8 4 6 8 0 3 5 9 5 3 7 3 0 1 4 1 9 9 2 9 9 8 8 7 4 7 4 1 6 6 1 9 6 1 2 4 7 0 3 6 8 1 4 3 2 3 0 3 4 8 9 0 6 4 1 8 7 5 8 9 9 8 6 6 5 7 2 1 5 0 3 3 9 2 5 1 9 8 3 8 6 9 6 6 6 3 7 3 3 3 1 2 4 8 5 7 9 3 0 6 9 2 4 5 8 5 6 7 2 3 9 4 6 2 7 7 7 4 3 1 1 9 3 5 7 0 3 4 5 5 1 4 1 8 9 9 4 5 0 0 7 8 6 1 0 5 5 6 4 6 3 2 9 2 1 8 0 4 0 8 7 4 9 4 0 7 6 0 9 3 2 5 0 1 1 7 9 5 5 6 2 3 8 5 9 0 6 2 2 7 2 4 8 0 2 2 0 7 9 4 5 2 8 0 0 2 9 7 2 3 4 1 9 5 2 9 0 1 Agora pegando número de dois dígitos da esquerda para direita a partir da 1ª linha encontraremos os seguintes números: 25 90 03 13 27 03 06 89 07 62 27 05 81 94 50 Para obtermos os elementos da amostra usando a tabela, iremos considerar números de dois, três ou mais algarismos, conforme nossa necessidade. Os números assim obtidos irão indicar os elementos da amostra ( no nosso exemplo os números sorteados tinha 2 algarismos pois a amostra iria escolher do 1 ao 90). A leitura da tabela pode ser feita horizontalmente (da direita para a esquerda ou vice-versa), verticalmente (de cima para baixo ou vice-versa), diagonalmente (no sentido ascendente ou descendente) ou formando o desenho de uma letra qualquer. A opção, porém, deve ser feita antes de iniciado o processo. Assim, para o nosso exemplo, tomamos os números de dois em dois algarismos (usamos a quantidade de algarismos igual ao maior número da população, neste exemplo o maior é 90, portanto iremos de dois em dois) começando na 1ª linha da esquerda para direita, obtendo: 25 90 03 13 27 03 06 89 07 62 Evidentemente, que se algum número sorteado for acima do maior ele será desprezado, pois não consta da população (que neste exemplo vai do número 01 ao 90), como será também abandonado um numeral que já tenha aparecido, neste caso o número 03. Temos, então: 25 90 03 13 27 06 89 07 62 Medindo as alturas dos alunos correspondentes aos números sorteados,obteremos uma amostra das estaturas dos noventa alunos. 18 Estatística – Professor Mestre Matusalém Vieira Martins Visite o meu site www.professormatusalem.com Assista agora a Vídeo Aula: Amostragem aleatória Assista agora a Vídeo Aula: Como gerar uma tabela de números aleatórios no Excel Amostragem proporcional estratificada Muitas vezes a população se divide em subpopulações - estratos. Como é provável que a variável em estudo apresente, de estrato em estrato, um comportamento heterogêneo e, dentro de cada estrato, um comportamento homogêneo, convém que o sorteio dos elementos da amostra leve em consideração tais estratos. E exatamente isso que fazemos quando empregamos a amostragem proporcional estratificada, que, além de considerar a existência dos estratos, obtém os elementos da amostra proporcional ao número de elementos dos mesmos. Exemplo: Supondo, no exemplo anterior, que, dos noventa alunos, 54 sejam meninos e 36 sejam meninas, vamos obter a amostra proporcional estratificada. São, portanto, dois estratos (sexo masculino e sexo feminino) e queremos uma amostra de 10% da população. Logo, temos: SEXO POPULAÇÃO 10% AMOSTRA M 54 5,4 5 F 36 3,6 4 TOTAL 90 9 9 b) Numeramos os alunos de 01 a 90, sendo que de 01 a 54 correspondem meninos e de 55 a 90, meninas. Tomando na Tabela de Números Aleatórios a primeira e a segunda colunas da esquerda, de cima para baixo, obtemos os seguintes números: 57 28 90 80 22 56 79 53 18 03 27 05 40 Temos, então: 28 22 53 18 03 - para os meninos; 57 90 80 56 - para as meninas. Assista agora a Vídeo Aula: Amostragem proporcional e estratificada Amostragem sistemática Quando os elementos da população já se acham ordenados, não há necessidade de construir o sistema de referência. São exemplos os prontuários médicos de um hospital, os prédios de uma rua, as linhas de produção etc. Nestes casos, a seleção dos elementos que constituirão a amostra pode ser feita por um sistema imposto pelo pesquisador. A esse tipo de amostragem denominamos sistemática. Assim, no caso de uma linha de produção, podemos, a cada dez itens produzidos, retirar um para pertencer a uma amostra da produção diária. Neste caso, estaríamos fixando o tamanho da amostra em 10% da população. 19 Estatística – Professor Mestre Matusalém Vieira Martins Visite o meu site www.professormatusalem.com Exemplo: Suponhamos uma rua contendo novecentos prédios, dos quais desejamos obter uma amostra formada de cinquenta prédios. Podemos, neste caso, usar o seguinte procedimento: como 900 50 = 18, escolhemos por sorteio casual um número de 1 a 18 (inclusive), o qual indicaria o primeiro elemento sorteado para a amostra; os demais elementos seriam periodicamente considerados de 18 em 18. Assim, se o número sorteado fosse o 4, tomaríamos, pelo lado direito da rua, o 4° prédio, o 22º, o 40 etc., até voltarmos ao início da rua, pelo lado esquerdo. Assista agora a Vídeo Aula: Amostragem Sistemática Exercício 1) Em uma escola existem 250 alunos, sendo 35 na 1 série, 32 na 2, 30 na 3, 28 na 4, 35 na 5, 32 na 6, 31 na 7 e 27 na 8. Obtenha uma amostra de 40 alunos e preencha o quadro da página seguinte. Como, neste caso, foi dado o número de elementos da amostra, devemos, então, calcular o número de elementos de cada estrato proporcionalmente ao número de elementos da amostra. Assim, para a 1ª série, temos: (usando a regra de três) 250 40 35 X 𝑥 = 35 .40 250 = 5,6 x = 6 Logo: SÉRIES POPULAÇÃO CÁLCULO PROPORCIONAL AMOSTRA 1ª 35 35 . 40 250 = 5,6 6 2ª 32 5,12 5 3ª 30 4,80 5 4ª 28 4,48 4 5ª 35 5,60 6 6ª 32 5,12 5 7ª 31 31 . 40 250 = 4,96 5 8ª 27 4,32 4 Total 250 40,00 40 Assista agora a Vídeo Aula: Amostragem – Exercício 1 2) Uma escola de 1º grau abriga 124 alunos. Obtenha uma amostra representativa correspondendo a 15% da população. Sugestão: use a 8, 9 e 10ª colunas, a partir da 1ª linha, da Tabela de Números Aleatórios (de cima para baixo). 20 Estatística – Professor Mestre Matusalém Vieira Martins Visite o meu site www.professormatusalem.com TABELA DE NÚMEROS ALEATÓRIOS 2 5 9 0 0 3 1 3 2 7 0 3 0 6 8 9 0 7 6 2 2 7 0 5 8 1 9 4 5 0 8 0 4 6 5 6 0 6 1 6 8 8 3 9 1 7 2 8 4 7 4 1 1 6 2 9 9 6 8 3 3 1 4 3 3 8 7 9 9 5 3 6 0 9 6 9 6 9 2 6 1 7 7 3 4 6 1 7 2 7 1 1 7 5 3 7 7 1 7 6 0 4 5 3 2 2 1 3 8 4 9 7 4 3 3 9 1 8 7 8 0 9 6 5 8 4 8 5 5 4 2 7 7 1 7 6 2 3 8 1 4 5 8 1 9 5 5 3 2 1 6 6 2 1 6 8 1 4 6 2 1 0 2 4 1 7 6 0 0 3 4 4 0 1 7 3 7 5 1 1 3 4 3 2 8 6 6 5 3 8 6 2 5 9 8 9 9 4 7 9 7 8 6 1 0 9 3 4 1 7 5 9 8 7 1 2 5 8 3 1 9 0 1 4 5 2 6 4 2 8 4 8 6 4 8 2 9 7 0 1 3 7 1 0 3 7 2 9 4 4 8 5 4 5 6 0 8 4 4 9 1 0 7 4 5 4 8 5 6 8 2 9 8 2 7 7 0 0 1 0 0 5 6 7 5 4 1 4 5 9 2 4 7 8 0 9 5 7 9 9 8 6 5 6 1 1 2 2 9 5 0 2 5 2 6 6 9 7 9 7 4 4 1 5 2 8 6 4 8 6 4 3 4 6 9 1 7 3 3 4 5 9 0 8 6 7 3 4 5 0 7 8 6 1 0 9 3 4 1 7 5 9 8 7 1 2 5 8 3 1 9 0 1 4 5 2 6 4 2 8 4 8 6 4 8 2 9 7 0 1 3 7 1 0 3 7 2 9 4 4 5 4 3 9 4 2 0 4 7 5 0 1 0 5 8 6 1 1 7 2 7 1 2 0 8 3 1 8 6 5 4 8 1 6 8 9 1 9 9 2 6 9 3 0 4 0 6 9 9 7 0 7 2 9 3 5 0 9 2 9 3 5 0 0 6 5 8 3 5 2 5 8 3 0 4 6 1 6 2 7 8 6 8 6 1 2 0 6 4 5 8 5 6 4 1 1 9 2 0 2 4 6 2 4 9 7 6 0 6 1 8 9 7 6 5 9 7 7 5 7 5 2 5 9 0 9 2 5 6 5 4 5 4 9 2 9 6 6 7 7 0 6 4 5 4 2 9 4 6 9 3 1 1 9 3 5 7 0 3 4 5 5 1 4 1 8 9 9 4 5 0 0 7 8 6 1 0 5 5 6 4 6 3 2 9 2 1 8 0 4 0 8 7 4 9 4 0 7 6 0 9 3 2 5 0 1 1 7 9 5 5 6 2 3 8 5 9 0 6 2 2 7 2 4 8 0 2 2 0 7 9 4 5 2 8 0 0 2 9 7 2 3 4 1 9 5 2 9 0 1 Resposta: alguns estão marcados na tabela 61, 34, 30, 102, 107, 25, 10, 65, 76, 117, 66, 36, 58, 96, 17, 21, 124, 114, 105. Assista agora a Vídeo Aula: Amostragem – Exercício 2 3) Em uma escola há oitenta alunos. Obtenha uma amostra de doze alunos. Sugestão: decida, juntamente com a classe e seu professor, o uso da Tabela de Números Aleatórios. TABELA DE NÚMEROS ALEATÓRIOS 2 5 9 0 0 3 1 3 2 7 0 3 0 6 8 9 0 7 6 2 2 7 0 5 8 1 9 4 5 0 8 0 4 6 5 6 0 6 1 6 8 8 3 9 1 7 2 8 4 7 4 1 1 6 2 9 9 6 8 3 3 1 4 3 3 8 7 9 9 5 3 6 0 9 6 9 6 9 2 6 1 7 7 3 4 6 1 7 2 7 1 1 7 5 3 7 7 1 7 6 4 9 0 2 7 7 6 3 9 9 9 1 9 6 0 1 7 9 7 0 6 6 5 3 7 7 6 7 3 2 4 2 0 5 1 6 1 9 7 0 4 7 6 8 9 1 7 3 5 3 0 4 5 3 2 2 1 3 8 4 9 7 4 3 3 9 1 8 7 8 0 9 6 5 8 4 8 5 5 4 2 7 7 1 7 6 2 3 8 1 4 5 8 1 9 5 5 3 2 1 6 6 2 1 6 8 1 4 6 2 1 0 2 4 1 7 6 0 0 3 4 4 0 1 7 3 7 5 1 1 3 4 3 2 8 6 6 5 3 8 6 2 5 9 8 9 9 4 7 9 7 8 6 1 0 9 3 4 1 7 5 9 8 7 1 2 5 8 3 1 9 0 1 4 5 2 6 4 2 8 4 8 6 4 8 2 9 7 0 1 3 7 1 0 3 7 2 9 4 4 8 5 4 5 6 0 8 4 4 9 1 0 7 4 5 4 8 5 6 8 2 9 8 2 7 7 0 0 1 0 0 5 6 7 5 4 1 4 5 9 2 4 7 8 0 9 5 7 9 9 8 6 5 6 1 1 2 2 9 5 0 2 5 2 6 6 9 7 9 7 4 4 1 5 2 8 6 4 8 6 4 3 4 6 9 1 7 3 3 4 5 9 0 8 6 7 3 4 5 0 5 3 1 4 1 2 5 5 8 5 3 9 6 1 7 9 8 6 9 4 2 1 2 9 7 5 9 6 0 5 4 5 8 4 6 8 0 3 5 9 5 3 7 3 0 1 4 1 9 9 2 9 9 8 8 7 4 7 4 1 6 6 1 9 6 1 2 4 7 0 3 6 8 1 4 3 2 3 0 3 4 8 9 0 6 4 1 8 7 5 8 9 9 8 6 6 5 7 2 1 7 8 6 1 0 9 3 4 1 7 5 9 8 7 1 2 5 8 3 1 9 0 1 4 5 2 6 4 2 8 4 8 6 4 8 2 9 7 0 1 3 7 1 0 3 7 2 9 4 4 5 4 3 9 4 2 0 4 7 5 0 1 0 5 8 6 1 1 7 2 7 1 2 0 8 3 1 8 6 5 4 8 1 6 8 9 1 9 9 2 6 9 3 0 4 0 6 9 9 7 0 7 2 9 3 5 0 9 2 9 3 5 0 0 6 5 8 3 5 2 5 8 3 0 4 6 1 6 2 7 8 6 8 6 1 2 0 6 4 5 8 5 6 4 1 1 9 2 0 2 4 6 2 4 9 7 6 0 6 1 8 9 7 6 5 9 7 7 5 7 5 2 5 9 0 9 2 5 6 5 4 5 4 9 2 9 6 6 7 7 0 6 4 5 4 2 9 4 6 9 9 6 2 8 3 3 3 4 8 2 8 6 6 9 7 8 5 0 0 5 1 4 0 2 1 1 1 4 3 5 6 8 2 5 6 6 8 6 0 7 3 9 6 3 5 9 0 0 1 1 5 0 3 3 9 2 5 1 9 8 3 8 6 9 6 6 6 3 7 3 3 3 1 2 4 8 5 7 9 3 0 6 9 2 4 5 8 5 6 7 2 3 9 4 6 2 7 7 7 4 3 1 1 9 3 5 7 0 3 4 5 5 1 4 1 8 9 9 4 5 0 0 7 8 6 1 0 5 5 6 4 6 3 2 9 2 1 8 0 4 0 8 74 9 4 0 7 6 0 9 3 2 5 0 1 1 7 9 5 5 6 2 3 8 5 9 0 6 2 2 7 2 4 8 0 2 2 0 7 9 4 5 2 8 0 0 2 9 7 2 3 4 1 9 5 2 9 0 1 Resposta: Primeira linha da esquerda para direita, indo de dois em dois. 25, 03, 13, 27, 06, 07, 62, 05, 50, 80, 46, 56. Assista agora a Vídeo Aula: Amostragem – Exercício 3 21 Estatística – Professor Mestre Matusalém Vieira Martins Visite o meu site www.professormatusalem.com 4) Uma população é formada por 140 notas resultantes da aplicação de um teste de inteligência: (as notas estão organizadas em colunas da esquerda para a direita) 62 129 95 123 81 93 105 95 96 80 87 110 139 75 123 60 72 86 108 120 57 113 65 108 90 137 74 106 109 84 121 60 128 100 72 119 103 128 80 99 149 85 77 91 51 100 63 107 76 82 110 63 131 65 114 103 104 107 63 117 116 86 115 62 122 92 102 113 74 78 69 116 82 95 72 121 52 80 100 85 117 85 102 106 94 84 123 42 90 91 81 116 73 79 98 82 69 102 100 79 101 98 110 95 67 77 91 95 74 90 134 94 79 92 73 83 74 125 101 82 71 75 101 102 78 108 125 56 86 98 106 72 117 89 99 86 82 57 106 90 Obtenha uma amostra com 14 notas Sugestão: Neste exercício fomos escolhendo de três em três algarismos da esquerda para direita a partir da 1ª linha. TABELA DE NÚMEROS ALEATÓRIOS 2 5 9 0 0 3 1 3 2 7 0 3 0 6 8 9 0 7 6 2 2 7 0 5 8 1 9 4 5 0 8 0 4 6 5 6 0 6 1 6 8 8 3 9 1 7 2 8 4 7 4 1 1 6 2 9 9 6 8 3 3 1 4 3 3 8 7 9 9 5 3 6 0 9 6 9 6 9 2 6 1 7 7 3 4 6 1 7 2 7 1 1 7 5 3 7 7 1 7 6 4 9 0 2 7 7 6 3 9 9 9 1 9 6 0 1 7 9 7 0 6 6 5 3 7 7 6 7 3 2 4 2 0 5 1 6 1 9 7 0 4 7 6 8 9 1 7 3 5 3 0 4 5 3 2 2 1 3 8 4 9 7 4 3 3 9 1 8 7 8 0 9 6 5 8 4 8 5 5 4 2 7 7 1 7 6 2 3 8 1 4 5 8 1 9 5 5 3 2 1 6 6 2 1 6 8 1 4 6 2 1 0 2 4 1 7 6 0 0 3 4 4 0 1 7 3 7 5 1 1 3 4 3 2 8 6 6 5 3 8 6 2 5 9 8 9 9 4 7 9 7 8 6 1 0 9 3 4 1 7 5 9 8 7 1 2 5 8 3 1 9 0 1 4 5 2 6 4 2 8 4 8 6 4 8 2 9 7 0 1 3 7 1 0 3 7 2 9 4 4 8 5 4 5 6 0 8 4 4 9 1 0 7 4 5 4 8 5 6 8 2 9 8 2 7 7 0 0 1 0 0 5 6 7 5 4 1 4 5 9 2 4 7 8 0 9 5 7 9 9 8 6 5 6 1 1 2 2 9 5 0 2 5 2 6 6 9 7 9 7 4 4 1 5 2 8 6 4 8 6 4 3 4 6 9 1 7 3 3 4 5 9 0 8 6 7 3 4 5 0 5 3 1 4 1 2 5 5 8 5 3 9 6 1 7 9 8 6 9 4 2 1 2 9 7 5 9 6 0 5 4 5 8 4 6 8 0 3 5 9 5 3 7 3 0 1 4 1 9 9 2 9 9 8 8 7 4 7 4 1 6 6 1 9 6 1 2 4 7 0 3 6 8 1 4 3 2 3 0 3 4 8 9 0 6 4 1 8 7 5 8 9 9 8 6 6 5 7 2 1 7 8 6 1 0 9 3 4 1 7 5 9 8 7 1 2 5 8 3 1 9 0 1 4 5 2 6 4 2 8 4 8 6 4 8 2 9 7 0 1 3 7 1 0 3 7 2 9 4 4 5 4 3 9 4 2 0 4 7 5 0 1 0 5 8 6 1 1 7 2 7 1 2 0 8 3 1 8 6 5 4 8 1 6 8 9 1 9 9 2 6 9 3 0 4 0 6 9 9 7 0 7 2 9 3 5 0 9 2 9 3 5 0 0 6 5 8 3 5 2 5 8 3 0 4 6 1 6 2 7 8 6 8 6 1 2 0 6 4 5 8 5 6 4 1 1 9 2 0 2 4 6 2 4 9 7 6 0 6 1 8 9 7 6 5 9 7 7 5 7 5 2 5 9 0 9 2 5 6 5 4 5 4 9 2 9 6 6 7 7 0 6 4 5 4 2 9 4 6 9 9 6 2 8 3 3 3 4 8 2 8 6 6 9 7 8 5 0 0 5 1 4 0 2 1 1 1 4 3 5 6 8 2 5 6 6 8 6 0 7 3 9 6 3 5 9 0 0 1 1 5 0 3 3 9 2 5 1 9 8 3 8 6 9 6 6 6 3 7 3 3 3 1 2 4 8 5 7 9 3 0 6 9 2 4 5 8 5 6 7 2 3 9 4 6 2 7 7 7 4 3 1 1 9 3 5 7 0 3 4 5 5 1 4 1 8 9 9 4 5 0 0 7 8 6 1 0 5 5 6 4 6 3 2 9 2 1 8 0 4 0 8 7 4 9 4 0 7 6 0 9 3 2 5 0 1 1 7 9 5 5 6 2 3 8 5 9 0 6 2 2 7 2 4 8 0 2 2 0 7 9 4 5 2 8 0 0 2 9 7 2 3 4 1 9 5 2 9 0 1 Buscando as posições da 1ª para última coluna temos: Resposta: posição nota posição nota posição nota 3º 109 138º 94 10º 125 132º 106 34º 100 56º 121 68º 67 109º 101 61º 105 14º 91 47º 90 137º 102 45º 116 103º 80 Assista agora a Vídeo Aula: Amostragem – Exercício 4 5) O diretor de uma escola, na qual estão matriculados 280 meninos e 320 meninas, desejoso de conhecer as condições de vida extraescolar de seus alunos e não dispondo de tempo para entrevistar todas as famílias, resolveu fazer um levantamento, por amostragem, em 10% dessa clientela. Obtenha, para esse diretor, quantos elementos irão compor da amostra de maneira estratificada. 22 Estatística – Professor Mestre Matusalém Vieira Martins Visite o meu site www.professormatusalem.com Resposta: M F Total Alunos 280 320 = 600 Amostra 28 32 = 60 Assista agora a Vídeo Aula: Amostragem – Exercício 5 6) Uma cidade X apresenta o seguinte quadro relativo às suas escolas de 1º grau: Obtenha uma amostra proporcional estratificada de 120 estudantes. Escola Número de Estudantes Masculino Feminino A 80 95 B 102 120 C 110 92 D 134 228 E 150 130 F 300 290 Total 876 955 Resposta: Primeiramente vamos saber o percentual de alunos de cada sexo: 876 + 955 = 1831 Fazendo: 876 1831 . 100 = 47,84% ≅ 48% 𝑑𝑜 𝑠𝑒𝑥𝑜 𝑚𝑎𝑠𝑐𝑢𝑙𝑖𝑛𝑜 𝑒 𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 52% 𝑓𝑒𝑚𝑖𝑛𝑖𝑛𝑜 Agora vamos ver quantos de cada sexo teremos ao todo: 120 . 48 100 = 57,60 ≅ 58 𝑑𝑜 𝑠𝑒𝑥𝑜 𝑚𝑎𝑠𝑐𝑢𝑙𝑖𝑛𝑜 𝑒 𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 62 𝑑𝑜 𝑓𝑒𝑚𝑖𝑛𝑖𝑛𝑜 Usando a regra de três vamos calcular a amostra. Para escola A e estudantes masculinos temos por exemplo: 876 80 58 X 𝑥 = 58.80 876 = 5,3 x = 5 e assim por diante até calcularmos toda amostra. Escola Número de Estudantes Masculino Amostra Feminino Amostra A 80 5 95 6 B 102 7 120 8 C 110 7 92 6 D 134 9 228 15 E 150 10 130 8 F 300 20 290 19 Total 876 58 955 62 23 Estatística – Professor Mestre Matusalém Vieira Martins Visite o meu site www.professormatusalem.com Assista agora a Vídeo Aula: Amostragem – Exercício 6 7) Uma população encontra-se dividida em três estratos, com tamanhos, respectivamente, n1= 40, n2 = 100 e n3 = 60. Sabendo que, ao ser realizada uma amostragem estratificada proporcional, nove elementos da amostra foram retirados do 3° estrato, determine o número total de elementos da amostra. Resposta: Como foram retirados 9 de 60, temos: 9 60 . 100 = 15% Calculando agora 15% dos estratos 1 e 2 temos: 15 100 . 40 = 6 e 15 100 . 100 = 15 n1 = 40 n2 = 100 n3 = 60 a1 = 6 a2 = 15 a3 = 9 Amostra Total = 30 Assista agora a Vídeo Aula: Amostragem – Exercício 7 8) Mostre como seria possível retirar uma amostra de 32 elementos de uma população ordenada formada por 2.432 elementos. Na ordenação geral, qual dos elementos abaixo seria escolhido para pertencer à amostra, sabendo-se que o elemento de ordem 1.420 a ela pertence? 1.648°, 290º, 725°, 2.025°, 1.120°. Resposta: Amostra tem 32 elementos. População 2432 O elemento posicionado na posição 1420º já pertence a amostra, logo: 1º) fazendo a divisão 𝟐𝟒𝟑𝟐 𝟑𝟐 = 𝟕𝟔 Isso diz que a cada 76 elementos temos uma amostra. Como a posição 1420 pertence a amostra fazemos: 𝟏𝟒𝟐𝟎 𝟕𝟔 = 𝟏𝟖, 𝟔𝟖 ⇒ 𝟏𝟖, 𝟔𝟖 − 𝟏𝟖 = 𝟎, 𝟔𝟖 𝟎, 𝟔𝟖 . 𝟕𝟔 = 𝟓𝟐 Isso significa que o 1º elemento é 52 Agora vãos fazer 1648 – 52 = 1596 ⇒ 𝟏𝟓𝟗𝟔 𝟕𝟔 = 𝟐𝟏 Como deu exato, o elemento 1648 pertence a sequência. Com os outros números fazendo isto não irá dar exato, logo não pertencem a sequência. Assista agora a Vídeo Aula: Amostragem – Exercício 8 24 Estatística – Professor Mestre Matusalém Vieira Martins Visite o meu site www.professormatusalem.com 9) Supondo que gostaríamos de fazer uma pesquisa em uma escola com 840 alunos, pegue uma amostra aleatória de 10 alunos (use a tabela de números aleatórios da esquerda para a direita da 4ª linha para frente) OBS.: Você deve escolher números de 01 à 840. Temos que separar os números de 3 em 3 algarismo e escolher aqueles que estiverem no intervalo do 1 até o 840. Perceba que foi marcado na tabela números de 3 em 3 algarismos da 4ª linha da esquerda para a direita. Assim os números são: 045 – 322 - 138 – 497 - 433 – 918(descartado, superior a 840) - 780 – 965(descartado, superior a 840) - 848(descartado, superior a 840) – 554 – 277 - 176 – 238de maneira organizadajá com os descartes os 10 números escolhidos são: 045 – 322 - 138 – 497 - 433 –780 –554 – 277 - 176 – 238 TABELA DE NÚMEROS ALEATÓRIOS 2 5 9 0 0 3 1 3 2 7 0 3 0 6 8 9 0 7 6 2 2 7 0 5 8 1 9 4 5 0 8 0 4 6 5 6 0 6 1 6 8 8 3 9 1 7 2 8 4 7 4 1 1 6 2 9 9 6 8 3 3 1 4 3 3 8 7 9 9 5 3 6 0 9 6 9 6 9 2 6 1 7 7 3 4 6 1 7 2 7 1 1 7 5 3 7 7 1 7 6 4 9 0 2 7 7 6 3 9 9 9 1 9 6 0 1 7 9 7 0 6 6 5 3 7 7 6 7 3 2 4 2 0 5 1 6 1 9 7 0 4 7 6 8 9 1 7 3 5 3 0 4 5 3 2 2 1 3 8 4 9 7 4 3 3 9 1 8 7 8 0 9 6 5 8 4 8 5 5 4 2 7 7 1 7 6 2 3 8 1 4 5 8 1 9 5 5 3 2 1 6 6 2 1 6 8 1 4 6 2 1 0 2 4 1 7 6 0 0 3 4 4 0 1 7 3 7 5 1 1 3 4 3 2 8 6 6 5 3 8 6 2 5 9 8 9 9 4 7 9 7 8 6 1 0 9 3 4 1 7 5 9 8 7 1 2 5 8 3 1 9 0 1 4 5 2 6 4 2 8 4 8 6 4 8 2 9 7 0 1 3 7 1 0 3 7 2 9 4 4 8 5 4 5 6 0 8 4 4 9 1 0 7 4 5 4 8 5 6 8 2 9 8 2 7 7 0 0 1 0 0 5 6 7 5 4 1 4 5 9 2 4 7 8 0 9 5 7 9 9 8 6 5 6 1 1 2 2 9 5 0 2 5 2 6 6 9 7 9 7 4 4 1 5 2 8 6 4 8 6 4 3 4 6 9 1 7 3 3 4 5 9 0 8 6 7 3 4 5 0 5 3 1 4 1 2 5 5 8 5 3 9 6 1 7 9 8 6 9 4 2 1 2 9 7 5 9 6 0 5 4 5 8 4 6 8 0 3 5 9 5 3 7 3 0 1 4 1 9 9 2 9 9 8 8 7 4 7 4 1 6 6 1 9 6 1 2 4 7 0 3 6 8 1 4 3 2 3 0 3 4 8 9 0 6 4 1 8 7 5 8 9 9 8 6 6 5 7 2 1 7 8 6 1 0 9 3 4 1 7 5 9 8 7 1 2 5 8 3 1 9 0 1 4 5 2 6 4 2 8 4 8 6 4 8 2 9 7 0 1 3 7 1 0 3 7 2 9 4 4 5 4 3 9 4 2 0 4 7 5 0 1 0 5 8 6 1 1 7 2 7 1 2 0 8 3 1 8 6 5 4 8 1 6 8 9 1 9 9 2 6 9 3 0 4 0 6 9 9 7 0 7 2 9 3 5 0 9 2 9 3 5 0 0 6 5 8 3 5 2 5 8 3 0 4 6 1 6 2 7 8 6 8 6 1 2 0 6 4 5 8 5 6 4 1 1 9 2 0 2 4 6 2 4 9 7 6 0 6 1 8 9 7 6 5 9 7 7 5 7 5 2 5 9 0 9 2 5 6 5 4 5 4 9 2 9 6 6 7 7 0 6 4 5 4 2 9 4 6 9 9 6 2 8 3 3 3 4 8 2 8 6 6 9 7 8 5 0 0 5 1 4 0 2 1 1 1 4 3 5 6 8 2 5 6 6 8 6 0 7 3 9 6 3 5 9 0 0 1 1 5 0 3 3 9 2 5 1 9 8 3 8 6 9 6 6 6 3 7 3 3 3 1 2 4 8 5 7 9 3 0 6 9 2 4 5 8 5 6 7 2 3 9 4 6 2 7 7 7 4 3 1 1 9 3 5 7 0 3 4 5 5 1 4 1 8 9 9 4 5 0 0 7 8 6 1 0 5 5 6 4 6 3 2 9 2 1 8 0 4 0 8 7 4 9 4 0 7 6 0 9 3 2 5 0 1 1 7 9 5 5 6 2 3 8 5 9 0 6 2 2 7 2 4 8 0 2 2 0 7 9 4 5 2 8 0 0 2 9 7 2 3 4 1 9 5 2 9 0 1 Assista agora a Vídeo Aula: Amostragem – Exercício 9 10) A Escola São Leopoldo, para estudar a preferência em relação a refrigerantes, sortearam-se 150 estudantes, entre os 1000 matriculados. Responda: a) Qual é a população envolvida na pesquisa? Os 1000 que estão matriculados b) Que tipo de amostragem foi utilizado e qual é a amostra considerada? Amostragem aleatória, pode ter sido sorteando-se os 150 números entre os 1000 ou usando a tabela de números aleatórios. Amostra de 150 pessoas. Assista agora a Vídeo Aula: Amostragem – Exercício 10 25 Estatística – Professor Mestre Matusalém Vieira Martins Visite o meu site www.professormatusalem.com Determinação do tamanho da amostra para a pesquisa Para Triola (2002), a determinação do tamanho de uma amostra é um problema de grande importância, porque amostras desnecessariamente grandes acarretam desperdício de tempo e de dinheiro; e amostras demasiadamente pequenas podem levar a resultados não-confiáveis. E ainda, “[...] dados coletados de forma imprecisa ou descuidada podem ser totalmente destituídos de valor, mesmo que a amostra seja suficientemente grande”. Para que os dados obtidos num levantamento sejam significativos, é necessário que a amostra seja constituída por um número adequado de elementos. A estatística dispõe de procedimentos para estimar esse número no caso da estratificação (GIL, 2002). Segundo Triola (2002), “quando temos uma população relativamente pequena, de tamanho N, e a amostragem é sem reposição” – que é caso desta pesquisa – modificamos E, sendo este: 𝐸 = 𝑍𝛼 2 . √ �̂�. �̂� 𝑛 . √ 𝑁 − 𝑛 𝑁 − 1 para incluir o fator de correção para população finita, que estabelece: 𝑛 = 𝑁. �̂�. �̂�. [𝑍𝛼 2 ] 2 �̂�. �̂�. [𝑍𝛼 2 ] 2 + [𝑁 − 1]. 𝐸2 onde: n = é o numero de elementos da amostra a ser definido N = população da pesquisa 𝑍𝛼 2 = valor crítico resultante do grau de confiança da pesquisa E = margem de erro �̂� = proporção ou percentagem amostral (favorável) �̂� = 1 − �̂� (proporção ou percentagem amostral (desfavorável)) Segundo Triola (2002), um “intervalo de confiança é uma amplitude (ou um intervalo) de valores que tem probabilidade de conter o verdadeiro valor” do parâmetro populacional investigado. Este intervalo está associado a um grau (ou nível) de confiança (comumente expressa como valor percentual), que é uma medida da nossa certeza de que o intervalo representa adequadamente uma população. Ainda segundo este mesmo autor, são escolhas comuns para o nível de confiança: 90%, 95% e 99%, sendo a mais comum a opção de 95% (o que estabelece um valor crítico Zα/2 = 1,96), porque proporciona bom equilíbrio entre a precisão (refletida na amplitude do intervalo de confiança) e a confiabilidade (expressa pelo grau de confiança). Nível de confiança da amostra Percentual de confiança (%) valor crítico Zα/2 90 1,645 95 1,960 99 2,575 Em geral, são aceitos como estatisticamente significativos os níveis de 1% a 5% para margem de erro. Na prática, considera-se satisfatório o limite de 5% de probabilidade de erro, não sendo significativas às diferenças que tiverem uma probabilidade acima desse limite. 26 Estatística – Professor Mestre Matusalém Vieira Martins Visite o meu site www.professormatusalem.com Triola (2002) ressalta que, na impossibilidade de recursos prévios para a determinação da proporção amostral – que é o caso – podemos tanto a �̂� como a �̂�, o que torna o valor máximo possível do produto de ambos igual a 0,25, de forma estabelecer o valor 0,5 que tamanho da amostra resultante seja no mínimo tão grande quando devia ser. Então temos o seguinte quadro para os valores de �̂� 𝑒 �̂� 𝑒 (�̂� . �̂�): Proporção populacional �̂� �̂� (�̂� . �̂�) 0,1 0,9 0,09 0,2 0,8 0,16 0,3 0,7 0,21 0,4 0,6 0,24 0,5 0,5 0,25 0,6 0,4 0,24 0,7 0,3 0,21 0,8 0,2 0,16 0,9 0,1 0,09 Em destaque a linha que traz o maior valor para a proporção, que deverá ser usada sempre que desconhecemos �̂� 𝑒 �̂� (proporção favorável e proporção desfavorável, respectivamente). Exemplo: 1) Tomemos uma cidade com população de 120.000 habitantes. Deseja-se saber o tamanho da amostra que mede a aprovação do atual prefeito, lembrando que existe impossibilidade de recursos prévios para a determinação da proporção amostral e usando: Erro: E = 3% Nível de confiança: 95% (que estabelece um valor crítico 𝑍𝛼 2 = 1,96) �̂� = 0,5 �̂� = 0,5 (�̂� . �̂�) = 0,25 N = 120.000 Vamos ao cálculo: 𝑛 = 𝑁.𝑝.�̂�.[𝑍𝛼 2 ] 2 𝑝.�̂�.[𝑍𝛼 2 ] 2 +[𝑁−1].𝐸2 𝑛 = 120000 .0,25.[1,96]2 0,25 .[1,96]2+[119999].(0,03)2 𝑛 = 120000 .0,25 .3,8416 0,25 . 3,8416 + [119999] .0,0009 𝑛 = 1152248 0,9604 + 107,99 𝑛 = 1152248 108,96 𝑛 = 10574,96 Como não temos fração para este tipo de pesquisa o tamanho da amostra será 10.575 pessoas. 27 Estatística – Professor Mestre Matusalém Vieira Martins Visite o meu site www.professormatusalem.com 2) Vamos agora determinar o tamanho de uma amostra de uma pesquisa que será feita sobre a expectativa de vendas dos lojistas em relação ao de natal do ano corrente de uma cidade A, que possui 3540 pontos comerciais. Usaremos para esta pesquisa os seguintes dados: Erro: E = 2% Nível de confiança: 95% (que estabelece um valor crítico 𝑍𝛼 2 = 1,96) �̂� = 0,7 (pois já temos dados de pesquisas feitas em anos anteriores, que nos dizem que a expectativa favorável é boa) �̂� = 0,3 (�̂� . �̂�) = 0,21 N = 3540 Vamos ao cálculo: 𝑛 = 𝑁.𝑝.�̂�.[𝑍𝛼
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