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Resolução dos exercícios do TrabalhoResolução dos exercícios do Trabalho
Efetivo DiscenteEfetivo Discente – – TED TED
LiLi stst a de exa de exercercíícicios os 1.1.
01) 01) Determine Determine os os elementos elementos dos dos conjuntos:conjuntos:
a) a) A A = = { { x x | | xx22= 9 }= 9 }
Solução:Solução:
xx22= 9= 9                   
A = {-3, 3}A = {-3, 3}
b) b) B B = = { { x x | | x x é é letra letra da da palavra palavra "arara"}"arara"}
B = {a, r}B = {a, r}
c) c) C C = = { { x x | | xx  R e x R e x22< 0 }< 0 }
C =C = 
d) d) D D = = { { x x | | xx  N e x N e x 3 }3 }
D = {0,1,2,3}D = {0,1,2,3}
02) 02) Descreva por Descreva por meio meio de de uma uma propriedade característica de propriedade característica de seus seus elementos os elementos os conjuntos:conjuntos:
a) a) A A = = { { a, a, e, e, i, i, o, o, u u }}
A = { x | x é vogal}A = { x | x é vogal}
b) b) B B = = { { 2, 2, 4, 4, 6, 6, 8, 8, ....}....}
B= { x | x é natural par}B= { x | x é natural par}
c) c) C C = = { { r, r, s, s, t, t, u, u, v, v, x, x, z}z}
C = { x C = { x | x são as 7 | x são as 7 últimas letras do alfabeto}últimas letras do alfabeto}
03) 03) Sejam Sejam A= {xA= {x, y, , y, z} e z} e B={x}. B={x}. Escrever Escrever com sícom símbolos mbolos as seas seguintes guintes sentenças sentenças classificando-as classificando-as emem
falsas ou falsas ou verdadeiras:verdadeiras:
a) a) x x é é elemento elemento de de AA
xx A verdadeiraA verdadeira
b) b) y y não não pertence pertence a a BB
yy    verdadeira verdadeira
c) c) B B é é subconjunto subconjunto de de AA    verdadeira  verdadeira
d) d) B B pertence pertence a a AA
Está não é uma relação válidaEstá não é uma relação válida
e) e) B B está está contido contido em em AA    verdadeira  verdadeira
LiLi stst a de exa de exercercíícicios os 2.2.
04) 04) Se A = {a} Se A = {a} , B = {a, b} , B = {a, b} , C = {c, d, C = {c, d} , D = { a} , D = { a, b, c} e E , b, c} e E = { b, c, d}= { b, c, d}, determinar , determinar quais das squais das seguinteseguintes
sentenças são verdadeiras, justificando as falsas:sentenças são verdadeiras, justificando as falsas:
a) Aa) A   D ( D ( VV ))
b) Bb) B   E  E (( FF ) ) pois em apois em a  D D
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c) c) D D = = E E (( FF )) pois possuem elementos diferentespois possuem elementos diferentes
d) Cd) C D (D ( FF ) ) pois apois a   e be b  
e) Be) B   C ( C ( VV ))
f) Bf) B  D (D ( FF ) ) pois os elementos de ppois os elementos de pertencem também a Dertencem também a D
05) 05) Dados Dados A= A= {x{x  R | 0 R | 0  x x  4} e B = {x 4} e B = {xR | 1R | 1  x x  3} determinar A - B. 3} determinar A - B.
AA  – – B = { x B = { x  R |0 R |0 x x 1 e 3 1 e 3 x x4}4}
06) 06) Numa escola Numa escola com 517 com 517 alunos, 290 alunos, 290 estudam Matemática, 210 estudam Matemática, 210 estudam Física estudam Física e e 112 não 112 não estudamestudam
nem Matemática nem Física. Pede-se:nem Matemática nem Física. Pede-se:
 quantos quantos alunos alunos estudam estudam MatemáticMatemática a ou ou Física?Física? 405405
 quantos quantos alunos alunos estudam estudam MatemáticMatemática a e e Física?Física? 9595
 quantos quantos alunos alunos estudam estudam MatemáticMatemática a e e não não estudam estudam Física?Física? 195195
Como a escola tem 517 e 112 não estudam nem matemática e nem física, temos:Como a escola tem 517 e 112 não estudam nem matemática e nem física, temos:
517517  – – 112 = 405 112 = 405
Portanto 405 alunos estudam matemática e/ou física.Portanto 405 alunos estudam matemática e/ou física.
Como 290 estudam matemática e 210 estudam física, Como 290 estudam matemática e 210 estudam física, temos:temos:
290 + 210 = 500290 + 210 = 500
Mas como vimos temos apenas 405 alunos, logo a diferença são os alunos Mas como vimos temos apenas 405 alunos, logo a diferença são os alunos que estudam as duasque estudam as duas
matérias.matérias.
500- 405 = 95500- 405 = 95
Veja a representação no diagrama de Venn.Veja a representação no diagrama de Venn.
LiLi stst a de exa de exercercíícicios os 3.3.
07) 07) Dado o Dado o conjunto A conjunto A = {a, c, = {a, c, e, g, ie, g, i}, indique }, indique quais dquais das seguintes as seguintes sentenças sentenças são verdasão verdadeiras:deiras:
a) a) e e AA VV
b) b) hh FF
c) c) ii FF
d) d) cc VV
e) e) dd VV
08) 08) Represente, Represente, através através da da enumeração enumeração dos dos elementos, elementos, os seos seguintes guintes conjuntos:conjuntos:
a) a) O conjunO conjunto A, dos to A, dos números números primos primos menores menores que 10.que 10.
 A = { A = { 2,3,5,7} 2,3,5,7}
b) b) O conO conjunto junto B, dos B, dos pólos pólos geográficos.geográficos.
B = {norte, sul, lB = {norte, sul, leste, oeste}este, oeste}
c) c) O conjunto O conjunto C, dos C, dos números múltiplos positivos de números múltiplos positivos de 3 3 menores que menores que 15.15.
C = C = {3,6,9,12}{3,6,9,12}
d) d) O conjunO conjunto D, to D, dos didos divisores visores positivos positivos de 9.de 9.
D= {1,3,9}D= {1,3,9}
e) e) O conjunO conjunto E, dos to E, dos números números pares mapares maiores que iores que 7.7.
E = E = {8,10,12,14,...}{8,10,12,14,...}
MM
FF
UU
195195 1151159595
112112
 A A
 A A
 A A
 A A
33
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09) 09) Determine Determine os os elementos elementos dos dos seguintes seguintes conjuntos:conjuntos:
a) a) A = A = {x | x {x | x é número de é número de uma das uma das faces do dado}faces do dado}
A = {1,2,3,4,5,6}A = {1,2,3,4,5,6}
b) b) B = B = {x | x {x | x é dia da é dia da semana cujo nome semana cujo nome começa por s}começa por s}
B = B = { segunda-feira, sexta-feira, sábado}{ segunda-feira, sexta-feira, sábado}
c) c) C = C = {x | {x | x é x é numero ímpar compreendido entre 12 numero ímpar compreendido entre 12 e 18}e 18}
C = C = {13,15,17}{13,15,17}
d) d) D = {x D = {x | x é | x é consoante dconsoante da palava palavra conjunto}ra conjunto}
D = {c,n,j,t}D = {c,n,j,t}
10) 10) Represente os Represente os seguintes conjuntos seguintes conjuntos através de através de uma uma propriedade comum propriedade comum a a seus seus elementos:elementos:
a) a) A A = = {1,3,5}{1,3,5}
A = { x | x é impar e x<7}A = { x | x é impar e x<7}
b) b) B B = = {1,2,4,8,16,32}{1,2,4,8,16,32}
B = { x | x éB = { x | x é  com com  xx }}
c) c) C = C = {cheia, {cheia, nova, nova, minguante, minguante, quarto cquarto crescente}rescente}
C = { x | x fases da lua}C = { x | x fases da lua}
d) d) D = {trapézD = {trapézio retânguloio retângulo, trapézio i, trapézio isósceles, trapézsósceles, trapézio escalenoio escaleno}}
D = { x | x tipos de trapézio }D = { x | x tipos de trapézio }
11) 11) Verifique Verifique se cada se cada um dos um dos seguintes seguintes conjuntos conjuntos é unitárié unitário ou vo ou vazio, JUSazio, JUSTIFICANDO SUTIFICANDO SUA RESPOSTA:A RESPOSTA:
a) a) A = {x A = {x | x é | x é número nanúmero natural e tural e xx – – 2 = 5} 2 = 5}
É unitário pois só existe um valor para x, x = 7É unitário pois só existe um valor para x, x = 7
b) b) B = {x | x B = {x | x é número paé número par compreendidr compreendido entre 6 o entre 6 e 8}e 8}
É vazio pois não existe par entre 6 e 8É vazio pois não existe par entre 6 e 8
c) c) C = C = {x | {x | x é x é número natural primo e número natural primo e par}par}
É unitário pois só existe o número 2É unitário pois só existe o número 2
d) d) D = D = {x | {x | x é x é número natural e x número natural e x . 0 = . 0 = 2}2}
É vazio pois todo Évazio pois todo número multiplicado por 0 dá como resultado 0número multiplicado por 0 dá como resultado 0
LiLi stst a de exa de exercercíícicios os 4.4.
12) 12) Dados os conjuntos A Dados os conjuntos A = {0, 2, = {0, 2, 4, 6}, B 4, 6}, B = {0, 4}, C = {0, 4}, C = {4} e = {4} e D = D = {0, 2} assinale as {0, 2} assinale as sentenças verdadeirassentenças verdadeiras,,
JUSTIFICANDO SUA RESPOSTA:JUSTIFICANDO SUA RESPOSTA:
a) Aa) A  C C VV
b) b) DD BB VV
c) c) CC BB F pois em 0F pois em 0CC
d) Ad) A DD VV
13) 13) Dados Dados os os conjuntosconjuntos
 A = {1, 3, 5, 7, 9} A = {1, 3, 5, 7, 9}
B = {x | x é número natural e xB = {x | x é número natural e x – – 5 = 2} 5 = 2}
C = {x | x é número inteiro compreendido entre 5 e 8}C = {x | x é número inteiro compreendido entre 5 e 8}
 Assinale as senten Assinale as sentenças verdadeiças verdadeiras, JUSTIFICANDras, JUSTIFICANDO SUA RESPOSTA:O SUA RESPOSTA:
a) a) AA CC F pois 6F pois 6   
b) b) BB V pois todos elementos de B também são de AV pois todos elementos de B também são de A
14) 14) Determine o Determine o número número de de elementos de elementos de P(A) P(A) nos nos seguintes casos:seguintes casos:
 A A
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a) a) A A = {x = {x | | x é x é número primo número primo entre 4 entre 4 e 8}e 8} onde n é o onde n é o número de elementos do conjunto,número de elementos do conjunto,
Logo como A tem 2 Logo como A tem 2 elementos, temoselementos, temos  
b) b) B = {x | x B = {x | x é numero naé numero natural ímpar metural ímpar menor do nor do que 8}que 8} onde n é o onde n é o número de elementos do conjunto,número de elementos do conjunto,
Logo como A tem 4 Logo como A tem 4 elementos, temoselementos, temos  
15) 15) Sabendo que Sabendo que o o conjunto das conjunto das partes de partes de um conjunto um conjunto tem 32 tem 32 elementos, determine o elementos, determine o número denúmero de
elementos do conjunto A.elementos do conjunto A.      
16) 16) Dado Dado A =A ={4, {4, 6}, 6}, temos temos que que P(A) P(A) = = { { , {4}, {4}, {, {6}, 6}, A}. A}. Classifique Classifique como como verdadeira verdadeira (V) (V) ou ou falsa falsa (F) (F) cadacada
afirmação, justificando cada afirmação:afirmação, justificando cada afirmação:
a) a) 44 VV
b) b) 44 F, pois 4 é elemento do conjunto AF, pois 4 é elemento do conjunto A
c) P(A)c) P(A) VV
d)d) F, pois está contido nas partes de AF, pois está contido nas partes de A
e) e) AA P(A)P(A) VV
LiLi stst a de exa de exercercíícicios os 5.5.
17) 17) Hachure Hachure nos nos diagramas diagramas a a região região que que representa representa os os seguinte seguinte conjuntos:conjuntos:
a) Aa) A  B B b) b) AA  BB  CC
18) 18) Dados Dados os conjuos conjuntos A ntos A = {a, = {a, e}, B e}, B = {b, = {b, c, d, c, d, f}, C f}, C = {a, = {a, c, e, c, e, g} g} e D e D = {b, = {b, d, f}, ded, f}, determine:termine:
a) a) AA B=B= {a,b,c,d,e,f}{a,b,c,d,e,f}
b) b) AAC=C= {a,c,e,g}{a,c,e,g}
c) c) BBDD={b,c,d,f}={b,c,d,f}
d) (Ad) (A  B)B) C =C = {a,b,c,d,e,f,g}{a,b,c,d,e,f,g}
19) 19) Dados os Dados os conjuntos conjuntos A = A = {1, 3, 5, {1, 3, 5, 7}, B 7}, B = {2, 4, = {2, 4, 6, 8} e 6, 8} e C = {3C = {3, 4, 5}, , 4, 5}, obtenha:obtenha:
a) Aa) A – – B = B = {1, 3, 5, 7}{1, 3, 5, 7}
b) Bb) B – – C = C = {2, 6, 8}{2, 6, 8}
c) Cc) C – – B = B = {3, 5}{3, 5}
d) Ad) A – – C = C = {1, 7}{1, 7}
20) 20) Indique Indique se se é é verdadeira verdadeira (V) (V) ou ou falsa falsa (F) (F) cada cada afirmação:afirmação:
a) Aa) A – – B = B B = B – – A A FF
b) (Ab) (A – – B) B) (A(AB)B) VV
c) (Ac) (A – – B) B)  A A VV
AA BB A A BB
 A A
P(A)P(A)
 A A
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21) Numa comunidade são consumidos três produtos A, B e C. Feita uma pesquisa de mercado sobre o
consumo foram obtidos os resultados da tabela abaixo:
Produtos A B C A e B B e C A e C A e B e C Nenhum
No.
Consumidor 
es
100 150 200 20 40 30 10 130
Determine quantas pessoas:
a) foram consultadas.
É só somar todos os valores do diagrama
60+10+10+20+100+30+140+130 = 500
b) consomem somente dois produtos.
É só somar as interseções entre dois conjuntos
10+20+30=60
c) não consomem o produto B.
é só somar os pedaços fora de B
60+20+140+130= 350
d) não consomem A ou não consomem B.
É só somar as partes fora de A e de B
140+ 130 = 270
Li st a de exer cícios 6:
22) Verdadeiro ou falso?
a) ( F ) Vetor é uma grandeza escalar.
b) ( V ) Norma de um vetor é sinônimo de tamanho de um vetor.
c) ( F ) Um vetor é uma flecha.
d)( V ) Duas flechas de mesmo comprimento, mesma direção e mesmo sentido são representantes de um
mesmo vetor.
e) ( V ) A norma de um vetor e a de seu oposto são iguais: // - u // = // u  //
f ) ( V ) Se // u  // = 1 então u  é chamado versor.
g) ( V ) O único vetor de norma zero é o vetor nulo.
h) ( V ) Para todo vetor u  tem-se 0u .
i ) ( V ) Se u  é um vetor qualquer e A um ponto qualquer, tem-se A  – A // u .
 j ) ( V )  A AB  B
 A B
U
60 10010
140
10
3020
130
C
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Li st a de exer cícios 7:
23) Decida se é verdadeira ou falsa cada uma das afirmações referentes à Figura 01, justificando sua
resposta:
FIGURA 01
a) O – F = C – O ( V )
Pois representam o mesmo vetor
b) E – O = B – O ( F )
Não pois são vetores opostos
c) B – O = C – O ( F )
Não pois são vetores de mesmo tamanho mas sentido e direção diferentes
d) D – O = O – A ( V )
Pois representam o mesmo vetor
e) A – O = O – D ( V )
Pois representam o mesmo vetor
f) E – O = -(O – E) ( V )
Pois representam o mesmo vetor
g) C – O = -(F – O) ( V )
Pois representam o mesmo vetor
h) C – F = D – E ( F )
Não pois tem tamanho diferentes
i) C – B = D – O ( V )
Pois representam o mesmo vetor
24) Na figura 06 estão representados os vetores paralelos u e v   e estão indicadas suas normas.
Calcule a norma de vu em cada caso e desenhe uma flecha que representa vu .
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FIGURA 06
Li st a de exer cícios 8:
A1) (u + v) + w = u + (v + w)
A2) u + v = v + u
A3) u + 0 = u
A4) u +(-u) = 0
M1) ().u = (.u)
M2) ( + ).u = .u + .u
M3) (u + v) = .u + .v
M4) 1.u = u
Nos problemas seguintes, apresenta-se, em cada um deles, um conjunto com as operações de adição e
multiplicação por escalar nele definidas. Verificar quais deles são espaços vetoriais. Para aqueles
que não são, citar os axiomas que não se verificam.
25) {(x, 2x, 3x); x   }: com as operações usuais
u = (x1, 2x1, 3x1), v = (x2, 2x2, 3x2) e w = (x3, 2x3, 3x3),
A1) (u + v) + w = u + (v + w)
[(x1, 2x1, 3x1)+ (x2, 2x2, 3x2)] + (x3, 2x3, 3x3) = (x1, 2x1, 3x1) + [(x2, 2x2, 3x2) + (x3, 2x3, 3x3)]
[(x1+x2, 2x1+2x2, 3x1+3x2)] + (x3, 2x3, 3x3) = (x1, 2x1, 3x1) + [(x2+x3, 2x2+2x3, 3x2+3x3)]
(x1+x2+x3, 2x1+2x2+2x3, 3x1+3x2+3x3) = (x1+x2+x3, 2x1+2x2+2x3, 3x1+3x2+3x3)
(x1+x2+x3, 2(x1+x2+x3), 3(x1+x2+x3)) = (x1+x2+x3, 2(x1+x2+x3), 3(x1+x2+x3))
Este axioma se verifica
A2) u + v = v + u
(x1, 2x1, 3x1)+ (x2, 2x2, 3x2) = (x2, 2x2, 3x2) + (x1, 2x1, 3x1)
(x1+x2, 2x1+2x2, 3x1+3x2) = (x2+x1, 2x2+2x1, 3x2+3x1)
(x1+x2, 2(x1+x2), 3(x1+x2)) = (x2+x1, 2(x2+2x1), 3(x2+x1))
Este axioma se verifica
A3) u + 0 = u
(x1, 2x1, 3x1) + (0,0,0) = (x1, 2x1, 3x1)
(x1, 2x1, 3x1) = (x1, 2x1, 3x1)
Este axioma se verifica
A4) u +(-u) = 0
(x1, 2x1, 3x1) + (-x1, -2x1, -3x1) = (0,0,0)
(0,0,0) = (0,0,0)
Este axioma se verifica
u + v = 0u + v = 10 u + v = 4
8
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M1) ().u = (.u)
(). (x1, 2x1, 3x1) = (. (x1, 2x1, 3x1))
( x1, 2  x1, 3  x1) = ( x1, 2  x1, 3  x1)
( x1, 2  x1, 3  x1) = ( x1, 2  x1, 3  x1)
Este axioma se verifica
M2) ( + ).u = .u + .u
( +). (x1, 2x1, 3x1) = . (x1, 2x1, 3x1) + . (x1, 2x1, 3x1)
(( + )x1, ( + )2x1, ( + ) 3x1) = ( x1,  2x1,  3x1) + ( x1,  2x1,  3x1)
( x1+ x1,  2x1+ 2x1,  3x1+  3x1) = ( x1+  x1,  2x1+  2x1,  3x1+  3x1)
Este axioma se verifica
M3) (u + v) = .u + .v[(x1, 2x1, 3x1) + (x2, 2x2, 3x2)] = . (x1, 2x1, 3x1) + . (x2, 2x2, 3x2) [(x1+x2, 2x1+2x2, 3x1+3x2)] = ( x1,  2x1, 3  x1) + ( x2, 2  x2, 3  x2) [(x1+x2, 2(x1+x2), 3(x1+x2))] = ( x1+  x2,  2x1+2  x2, 3  x1+3  x2)
( (x1+x2), 2  (x1+x2), 3  (x1+x2)) = ( (x1+x2), 2  (x1+x2), 3  (x1+x2))
Este axioma se verifica
M4) 1.u = u
1. (x1, 2x1, 3x1) = (x1, 2x1, 3x1)
(x1, 2x1, 3x1) = (x1, 2x1, 3x1)
Este axioma se verifica
Como todos os 8 axiomas foram verificados positivamente, logo este é um espaço vetorial.
26)  2, com as operações: (a, b) + (c, d) = (a, b)
  (a, b) = ( a,  b)
u = (a,b), v = (c,d) e w=(e,f)
A1) (u + v) + w = u + (v + w)
[(a,b) + (c,d)] + (e,f) = (a,b) + [(c,d) + (e,f)]
[(a,b))] + (e,f) = (a,b) + [(c,d)]
(a,b) = (a,b)
Este axioma se verifica
A2) u + v = v + u
(a,b) + (c,d) = (c,d) + (a,b)
(a,b)   (c,d)
Este axioma não se verifica
A3) u + 0 = u
(a,b) + (0,0) = (a,b)
(a,b) = (a,b)
Este axioma se verifica
A4) u +(-u) = 0
(a,b)+ (-a,-b) = (0,0)
(a,b)   (0,0)
Este axioma não se verifica
M1) ().u = (.u)
().(a,b) = (. (a,b))
( a,  b) = ( a,  b)
( a,  b) = ( a,  b)
Este axioma se verifica
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M2) ( + ).u = .u + .u
( + ).(a,b) = . (a,b) + . (a,b)
(( + )a, ( + )b) = ( a,  b) + ( a ,  b)
( a+ a, b + b) = ( a+  a,  b+  b)
Este axioma se verifica
M3) (u + v) = .u + .v(a,b) + (c,d)] = .(a,b) + .(c,d) (a,b) +  (c,d) =. ( a,  b) +(  c,  d )
( a,  b)+(  c,d ) = ( a+  c ,  b+  d )
( a+  c ,  b+  d ) = ( a+  c ,  b+  d )
Este axioma se verifica
M4) 1.u = u
1.(a,b) = (a,b)
(a,b) = (a,b)
Este axioma se verifica
Como pelo menos um axioma não foi verificado positivamente, logo este não é um espaço vetorial.
27) A = {(x, y)   2 | y = 5x}: com as operações usuais
u = (x1,5x1) , v = (x2, 5x2) e w = (x3,5x3)
A1) (u + v) + w = u + (v + w)
[(x1,5x1) + (x2, 5x2)] + (x3,5x3) = (x1,5x1) + [(x2, 5x2) + (x3,5x3)]
[(x1+ x2,5x1+5x2)] + (x3,5x3) = (x1,5x1) + [(x2+ x3, 5x2+5x3)]
(x1+ x2+ x3,5x1+5x2+5x3) = (x1+ x2+ x3,5x1+5x2+5x3)
Este axioma se verifica
A2) u + v = v + u
(x1,5x1) + (x2, 5x2) = (x2, 5x2) + (x1,5x1)
(x1+ x2,5x1+5x2) = [(x2+ x1,5x2+5x1)
Este axioma se verifica
A3) u + 0 = u
(x1,5x1) + (0,0) = (x1,5x1)
(x1,5x1) = (x1,5x1)
Este axioma se verifica
A4) u +(-u) = 0
(x1,5x1) + (-x1,-5x1) = (0,0)
(0,0) = (0,0)
Este axioma se verifica
M1) ().u = (.u)
(). (x1,5x1) = (. (x1,5x1))
( x1,5  x1) = (. x1,5 .x1))
( x1,5  x1) = ( x1,5  x1)
Este axioma se verifica
M2) ( + ).u = .u + .u
( + ). (x1,5x1) = . (x1,5x1) + . (x1,5x1)
(( + ). x1, ( + ). 5x1) = (.x1,5 .x1) + (.x1,5 .x1)
( x1+  x1,  5x1+ . 5x1) = ( x1+  x1,  5x1+ . 5x1)
( x1+  x1, 5.( x1+ . x1)) = ( x1+  x1, 5.( x1+ . x1))
Este axioma se verifica
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M3) (u + v) = .u + .v((x1,5x1) + (x2, 5x2)) = .( x1,5x1) + . (x2, 5x2) (x1+ x2,5x1+5x2) = (. x1,5 .x1) + (.x2, 5 .x2)
( (x1+ x2),  (5x1+5x2)) = (. x1+ .x2, 5 .x1+5 .x2)
(. x1+ .x2, 5 .x1+5 .x2) = (. x1+ .x2, 5(.x1+ .x2))
(. x1+ .x2, 5(.x1+ .x2)) = (. x1+ .x2, 5(.x1+ .x2))
Este axioma se verifica
M4) 1.u = u
1. (x1,5x1) = (x1,5x1)
(x1,5x1) = (x1,5x1)
Este axioma se verifica
Como todos os 8 axiomas foram verificados positivamente, logo este é um espaço vetorial.
28)  2, com as operações: (x, y) + (x', y') = (x + x', y + y')
   (x, y) = ( x,0)
u =(x, y), v =(x', y') e w =(x”,y”)
A1) (u + v) + w = u + (v + w)
[(x, y) + (x', y')] + (x”,y”) = (x, y) + [(x', y') + (x”,y”)]
(x+ x', y+ y') + (x”,y”) = (x, y) + (x'+ x”, y'+ y”)
(x+ x'+ x”, y+ y'+ y”) = (x+ x'+ x”, y+ y'+ y”)
Este axioma se verifica
A2) u + v = v + u
(x, y) + (x', y') = (x', y') + (x, y)
(x+ x', y+ y') = (x'+x, y'+y)
Este axioma se verifica
A3) u + 0 = u
(x, y) + (0,0) = (x,y)
(x,y) = (x,y)
Este axioma se verifica
A4) u +(-u) = 0
(x,y) + (-x,-y) = (0,0)
(0,0) = (0,0)
Este axioma se verifica
M1) ().u = (.u)
().(x,y) = (.(x,y))
( x,0) = (.x,0))
( x,0) = ( x,0)
Este axioma se verifica
M2) ( + ).u = .u + .u
( + ).(x,y) = .(x,y) + .(x,y)
(( + ).x,0) = ( .x,0) + (.x,0)
( x+ .x,0) = ( x+ .x,0)
Este axioma se verifica
M3) (u + v) = .u + .v [(x, y) + (x', y')] = .(x,y) + .( x', y') (x+ x', y+ y') = (.x,0) + . x', 0)
( (x+ x'),  (y+ y')) = (.x+ . x',0)
( x+  x'),  y+  y')) (.x+ . x',0)
Este axioma não se verifica
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M4) 1.u = u
1. (x, y) = (x, y)
(x, 0)  (x, y)
Este axioma não se verifica
Como pelo menos um axioma não foi verificado positivamente, logo este não é um espaço vetorial.
Li st a de exercícios 9: 
29) Abaixo são apresentados subconjuntos de ². Verifique quais deles são subespaços vetoriais do ²
relativamente as operações de adição e multiplicação por escalar:
a) S = {(y ,y ); y  }
u = (y1, y1) e v = (y2, y2)
u+v =
(y1, y1) + (y2, y2)
(y1+ y2 , y1+ y2) u = (y1, y1)
( y1,  y1)
Logo é um subespaço vetorial
b) b) S = {(x , y) | x=0}
u = (0, y1) e v = (0, y2)
u+v =
(0, y1) + (, y2)
(0 , y1+ y2) u = (0, y1)
(0,  y1)
Logo é um subespaço vetorial
30) Agora são apresentados subconjuntos do ³, verifique quais são subespaços do ³.
a) S = {(x, y, z)| x = 4y e z = 0}
u = (4y1, y1,0) e v = (4y2, y2,0)
u+v =
(4y1, y1,0) + (4y2, y2,0)
(4y1+4y2, y1+ y2, 0)
(4(y1+y2), y1+ y2, 0) u = (4y1, y1,0)
(4  y1,  y1,0)
Logo é um subespaço vetorial
b) S = {(x, y, z)| z = 2x –y}
u = (x1, y1, 2x1 – y1) e v = (x2, y2, 2x2 – y2)
u+v =
(x1, y1, 2x1 – y1) + (x2, y2, 2x2 – y2)
(x1+ x2, y1+ y2, 2x1 – y1+2x2 – y2)
(x1+ x2, y1+ y2, 2x1 +2x2 – y1 – y2)
(x1+ x2, y1+ y2, 2(x1 + x2) – (y1 + y2)) u = (x1, y1, 2x1 – y1)
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( x1,  y1,  (2x1 – y1))
( x1,  y1, 2  x1 –  y1))
Logo é um subespaço vetorial
Li st a de exercícios 10.
31) Escreva o vetor v = (1, -2, 5) como combinação linear dos vetores e1=(1, 1, 1) , e2=(1, 2, 3) e
e3=(2,-1,1).
(1, -2, 5) = a(1, 1, 1) + b(1, 2, 3)+ c(2,-1,1)
(1, -2, 5) = (a,a,a) + (b, 2b, 3b)+ (2c,-c,c)
(1, -2, 5) = (a+b+2c, a+2b-c, a+3b+c)
 Agora montamos o sistema:
                        por escalonamento temos:                       
                       
                     
                  
                 
Com isso temos b = 3, c = 2 e a = -6
Então o vetor v pode ser escrito como:                 
32) Para qual valor de K o vetor u = (1, -2, K) em  ³ é uma combinação linear dos vetores v = (3, 0, -2) e
w = (2, -1, -5)?
(1, -2, K) = a. (3, 0, -2) + b. (2, -1, -5)
(1, -2, K) = (3a, 0, -2a) + (2b, -b, -5b)
(1, -2, K) = (3a+2b, -b, -2a-5b)
                  
Se b = 2                
a = -1
logo temos:       
2 – 10 = k
K = -8
33) Mostre que os vetores u = (1, 2, 3), v = (0, 1, 2) e w = (0, 0, 1) geram o ³.
(x,y,z) = a. (1, 2, 3) + b(0, 1, 2) + c. (0, 0, 1)
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(x,y,z) = (a, 2a, 3a) + (0, b, 2b) + (0, 0, c)
(x,y,z) = (a, 2a+b, 3a+2b+c)
                
Como a = x, temos:
2x + b = y
b = -2x + y
e para z temos:
3x+2(-2x+y) + c = z
3x -4x +2y + c = z
c = x -2y + z
                   
Logo os vetores geram o ³.
34) Sendo os vetores u = (-3, 2 , 1) e v = (0, 5, 4), escrever o vetor w = (15, 0 ,3)como combinação
linear de u e v.
(15, 0 ,3) = a. (-3, 2 , 1) + b (0, 5, 4)
(15, 0 ,3) = (-3a, 2a , a) + (0, 5b, 4b)
(15, 0 ,3) = (-3a, 2a +5b , a +4b)
                 
Sendo a = -5
Temos :
-10 + 5b = 0
5b = 10
b =2
Substituindo a e b na última equação para verificar igualdade, temos:
-5 + 8 = 3
3 = 3
Portanto w é uma combinação linear u e v       
35) Dados os vetores v1 = (0 ,1 ,2) e v2 = (3 ,-5 ,7), para que valor de K o vetor v = (6 ,K ,8) é
combinação linear de v1 e v2?
(6 ,K ,8) = a(0 ,1 ,2) + b(3 ,-5 ,7)
(6 ,K ,8) = (0 ,a ,2a) + (3b ,-5b ,7b)
(6 ,K ,8) = (3b , a -5b, 2a +7b)
               
Sendo b = 2, temos:
2a + 14 = 8
2a =6
a = 3
assim substituindo na segunda equação temos o valor de k:
3 – 10 = k
K = -7
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Lista de exercícios 11.
36) Determine os subespaços do ³ gerados pelos seguintes conjuntos:
a) A = {(2, -1,3)}
                )
                
             
                         
                  
b) A = {(-1, 3, 2), (2, -2,1)}
                       
                         
                        
                   
                       
             
        
                      
Voltando e substituindo:     
         
         
                     
                     
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c) A = {(1, 0, 1), (0, 1, 1), ( -1, 1,0)}
                         
                           
                   
             
                  
            
           
                  
37) Verificar se os vetores v = (2 ,2) e u = (-3 ,2) geram o  2:
              
                   
                
                
        
     
          
        
                      
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      
Logo             
Portanto gera.  .
38) mostrar que os vetores u = (2, 1) e v = (1, 1) geram o  2.
            
              
             
              
     
      
      
          
Logo gera  2.
39) Dado o conjunto A = {v1 = (-1,3,-1), v2 = (1,2,4)}  IR3, determinar o subespaço G(A).                        
                        
                        
                  
      
     
          
        
                         
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          
      
Substituindo na 3° equação:
      
                
                    
          
                      
40) Determinar o subespaço G(A) para A = {(1, -2), (-2, 4)}   2  e dizer o que representa
geometricamente esse subespaço.
               
                   
              
                
     
     
     (É uma reta).
           
41) Mostrar que os vetores v1 = (1, 1, 1), v2 = (0, 1, 1) e v3 = (0, 0,1) geram o  3.                    
                          
                   
               
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        
        
    
             
Logo gera  3.
Lista de exercícios 12.
42) Classificar os seguintes subconjuntos do 2 e  3 em LI ou LD, justificando sua resposta:
a) A = {(2 ,3 ,5)}
R:Único vetor e não nulo, logo é LI.
b) B= {(-6 ,4), (9 ,-6)}
Se
    e    , logo um vetor é múltiplo do outro, então é LD.
c) C = {(1 ,0 ,0), (2 ,3 ,0), (5 ,1 ,1)}
                 
                              
                     
                          
                
Logo se        é LI.
d) D = {(2 ,3) , (5 ,4), (1 ,1)}
Como estamos no 2 e a dimensão é 2 e temos 3 vetores, logo é LD.
e) E = {(0 ,1 ,2), (0 ,0 ,0), (2, 3, 5)}
Como é vetor nulo pertence a E, logo é LD.
43) Classificar os seguintes conjuntos em LI ou LD, justificando sua resposta:
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a) A={(2, -5, 3)}
LI – Único vetor e não nulo.
b) B={(1, -1, -2), (2, 1, 1), (-1, 0, 3)}
                      
                               
                            
        –                                   
                                          
                   
      
         
Como a=b=c=0 logo é LI.
c) {(2, -1), (3, 5)}
    , Como temos dois vetores e lês não são múltiplos, logo é LI .
d) {(1, 0), (-1, 1), (3, 5)}
Como são vetores do 2, a dimensão é 2 e temos 3 vetores, logo é LD.
44) Determine k para que
a                      
                      
                 
                                     
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          
                                   
Temos:              
Se k = 1, c será cancelado logo LD
Lista de exercícios 13.
45) Verificar se o conjunto A = {v1=(4, 5), v2=(-2, 3)} forma uma base do  2:       
I – verificar se é LI
            
                
             
                  
                     
             
Se a = b = 0, logo LI
II- Verificar se gera  2.
            
                 
                
                  
                                
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                       
                            
                            
Logo:               e gera  2,
então é uma Base.
46) Verificar quais dos conjuntos formam uma base do  2:
a) {(1, 2), (-1, 3)}
I – verificar se é LI:
Como são dois vetores e umnão é múltiplo do outro logo é LI.     
II – Verificar se gera  :
                                          
                                    
                               
            , logo gera  
e então é Base.
b) {(0, 0), (2, 3)}
I- Verificar se é LI:
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Como possui o vetor nulo é LD, Logo não é base.
47) Verificar se o conjunto A = {v1=(1, 4, 5), v2=(0, -2, 3), v3=(0, 0, 1)} forma uma base do  3:
I- Verificar se é LI:
                                                  
                              
             
Logo é LI
II- Verificar se gera o espaço:
                                                      
                                
                                                                 
Logo:                        , GERA  3.
Por fim, se é LI e gera  3 , então é BASE.
48) Verificar quais dos conjuntos formam uma base do  2:
a) {(1, 2, 3), (0, -1, 3), (1, 1, 1)}
I- Ver se é LI                                                                                                    
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             
          
   
              
Se a=b=c=0 logo é LI
II- Verificar se gera  3 .                                                     
         
   
        
Logo             
Gera o  3 e portanto é Base.
b) {(1, 3, -1), (2, 3, 2), (3, 6, 1)}             
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                                                       
                        
                  
                 
            
Como temos uma variável livre é LD, Logo não é Base.
Lista de exercícios 14.
Os 3 problemas seguintes se referem às bases do  2:
 A = {(2,-1), (-1,1)}, B = {(1,0), (2,1)}, D = {(1,1), (1,-1)} e G = {(-1,-3), (3,5)}
49) Calcular vB sabendo que v A = (4,3)
           
            
            
          
      
                 
           =  
        
50) Calcular v A sabendo que vB = (7,-1)                                       )     
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      
               
          =   
       
51) Calcular vG sabendo que vD = (2,3)
       
           
           
            
       
                   
      
    
            
       
52) Sabendo que A = {(1,3), (2,-4)} é base do  2 e que a matriz M de mudança de base de A para B é:
M = 







811
67
 determinar a base B.
                           
                  
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             
            
        
                     
                                
                  
53) Considerar, no  3, as bases A = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} e B = {(1, 0, -1), (0,1,-1), (-1, 1, 1)}.
a) Determinar a matriz M de mudança de base de A para B;
      como   , Temos    
             
                                               
1° Linha 2° Linha 3° Linha
             
               
               
b) Calcular vB sabendo que v A = (1,2,3)
              
  
 
          
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c) Calcular v A sabendo que vB = (7,-4,6)
    , temos    
            
Logo,
               
   

         
Lista TED 15:
Nos 12 problemas seguintes, dentre as funções (transformações) dadas, verificar quais delas são lineares.
54)                 
I)              2   1 1    2, y2)     1  2 1 2)      1, 1) 1  2 1 2)     1  2)1 2)   1  2    1 2))   1  2 1 2) 1  2 1 2) 1 1 + 2, y2)    11 1 1    2 2   22)                   
OK
II)           
                                                    
É UMA TRASNFORMAÇÃO LINEAR.
55)           
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I)I)                  
       11 11       2,2, yy22))          11   22 11 22))            11,, 11))
                  ,,                       
 11 11 + + 2,2, yy22))                    
NÃO É NÃO É UMA TRASNFORMAÇÃUMA TRASNFORMAÇÃO LINEAR.O LINEAR.
56)56)                   
       11 11       2,2, yy22))          11   22 11 22))            11,, 11))                       
                                                                              
NÃO É UMA TRASNFORMAÇÃO LINEAR.NÃO É UMA TRASNFORMAÇÃO LINEAR.
57)57)              
       11 11       2,2, yy22))          11   22 11 22))            11,, 11))
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2929
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II)II)                 
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É UMA TRASNFORMAÇÃO LINEAR.É UMA TRASNFORMAÇÃO LINEAR.
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COMOCOMO            
NÃO É UMA TNÃO É UMA TRASNFORMRASNFORMAÇÃO LINEAR.AÇÃO LINEAR.
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3030
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NÃO É UMA TRASNFORMAÇÃO LINEAR.NÃO É UMA TRASNFORMAÇÃO LINEAR.
60)60)                         
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É UMA TRASNFORMAÇÃO LINEAR.É UMA TRASNFORMAÇÃO LINEAR.
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3131
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                    
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É UMA TRASNFORMAÇÃO LINEAR.É UMA TRASNFORMAÇÃO LINEAR.
62)62)               
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==    
NÃO É UMA TNÃO É UMA TRASNFORMRASNFORMAÇÃO LINEAR.AÇÃO LINEAR.
63)63)                          
       11 11       2,2, yy22))          11   22 11 22))            11,, 11))
I)I)                  
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II) )II) )                 
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             
É UMA TRASNFORMAÇÃO LINEAR.
64)      
   1 1    2, y2)     1  2 1 2)      1, 1)
I)              
                           
II)          
                     
É UMA TRASNFORMAÇÃO LINEAR.
65)   2 ->  4
             
   1 1    2, y2)     1  2 1 2)      1, 1)
I)              
                                                                  
II)           
                          
                            
É UMA TRASNFORMAÇÃO LINEAR.
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Lista TED 16:
Nos 6 problemas seguintes, dada a transformação linear f :  2   2 , definida em cada um deles,
a) fazer um gráfico de um vetor genérico   = (x, y) e de sua imagem f(   );
b) dizer que transformação linear plana os gráficos representam.
66) f (x, y ) = (2x, 0)
  2   2        
   
        
67) f (x, y ) = (-2x, 2y)                   
68) f (x, y ) = (-y, x)            
69) f (x, y ) = (2x, y)   
        
70) f (x, y ) = (3x, -2y)            
18) f (x, y ) = -2 (x, y),
   
        
b) R: Para todos. Uma reta que passa pela origem.
71) Seja f:  3 W a projeção ortogonal do  3 sobre o plano y0z, indicado por W.  3   3
a) Determine a lei que define f;                           
b) Calcular f (3, -4, 5).               
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72) Dada a transformação linear f:  3   2 tal que f(1, 0, 0) = (2, 1), f(0, 1, 0) = (-1, 0) e f(0, 0, 1) = (1,
-2)  3   2                             
a) determinar a matriz canônica de f;       
b) calcular f(3, 4, 5);                               
                                                              
c) calcular f(x, y, z).
                                        
                                                                           
Lista TED 17:
73) Uma transformação linear f:  2   3 é tal que f(-1, 1) = (3, 2, 1) e f(0, 1) = (1, 1, 0)
Determinar:
a) f(2, 3)                                  
                    
  
                                                  
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         
b) f(x, y)                                                                        
                                                         
c)     2 tal que f (   ) = (-2, 1, -3)                                       
                                        
74) Seja ƒ:  ³ →  ² a transformação linear definida por ƒ (1,1,1) = (1,2), ƒ (1,1,0) = (2,3) e ƒ (1,0,0) =
(3,4). Determinar:
a) ƒ (x,y,z);                                                                  
                              
                                                                                                            
b) υ 1   ³ tal que ƒ (υ1 ) = (-3,-2);                        
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                                                                                                               
                                          
c) υ 2   ³ tal que ƒ (υ 2 ) = (0,0).                                                             
                                                         
75) Dado o operador linear ƒ :  ², ƒ (x,y) = (2x + y, 4x + 2y), dizer quais dos seguintes vetores
pertencem a N (ƒ): 2   2                                                
2x=y logo y=-2x             
a) υ 1  = (1,-2)      Sim, pois se x=1 então y=-2.
b) υ 2  = (2, -3)       Não, pois se x=2 então y= -4.
c) υ 3  = (-3,6)     Sim, pois se x=-3 então y= 6.
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Lista TED 18:
76) Para o mesmo operador linear do problema anterior, verificar quais dos seguintes vetores
pertencem à Im (ƒ):                ²| 
a) 1  = (2,4)       
   
Ok.
b)  2  = (-
2
1
, -1)
         
Ok.
c)  3  = (-1,3)        
Não é.
Nos 4 problemas seguintes são apresentadas transformações lineares. Para cada uma delas determinar:
a) o núcleo, uma base desse subespaço e sua dimensão;
b) a imagem, uma base desse subespaço e sua dimensão.
Verificar ainda, em cada caso, a propriedade 3, item 3.5, relativa à dimensão.
77) ƒ:  ² →  ², ƒ (x,y) = (3x-y, –3x + y)
a) T: ² →  ²       
               
b)  
                        
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             
78) ƒ:  ² →  ³, ƒ (x,y) = ( x + y, x, 2y)
a)                
                           
b)                 
              
                              ³ |                    
79) ƒ:  ² →  ², ƒ (x,y) = (x – 2y, x + y)
a)                                                              
b)           
              
                                            
39
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                                       
80) ƒ:  ³ → 2, ƒ (x,y,z) = (x + 2y –z, 2x –y +z)
a)                                                                                                         
b)                                    
       
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Lista TED 22:
Conjuntos
103) Numa escola com 557 alunos, 295 estudam Matemática, 205 estudam
Física e 120 não estudam nem Matemática nem Física. Pede-se:
a) quantos alunos estudam Matemática ou Física? 437 alunos
b) quantos alunos estudam Matemática e Física? 63 alunos
104) Numa escola foi feita uma pesquisa com todos os alunos sobre os times
de futebol para os quais os eles torcem e tiveram o seguinte resultado:
130 estudantes torcem pelo Flamengo, 105 torcem pelo Corinthians e 50 torcem
pelo Atlético Mineiro. Foi verificado também que 50 torcem simultaneamente
para Flamengo e Corinthians, 30 torce simultaneamente para Flamengo e
Atlético e 25 torcem simultaneamente para Corinthians e Atlético. Lembramos
ainda que 20 torcem pelos três times e 80 não torcem para ninguém. Pede-se:
a)Quantos alunos estudam na escola? 200
b)Quantos alunos torcem para dois times? 45
c) Quantos alunos não torcem pelo Flamengo?70
d)Quantos torcem exclusivamente para o Flamengo?70
105)Em uma pesquisa eleitoral, o candidato D deve 350 votos, o candidato S deve
139. Além disso também foram apurados que 200 pessoas não querem votar
em nenhum deles. Se ao todo foram entrevistados 650 pessoas, pergunta-se.
a)Quantas pessoas estão indecisas entre os dois candidatos?
b)Quantas pessoas só vão votar no candidato D?
c) Quantas pessoas só vão votar no candidato S?
557 120 500 437 205 295
-500 -57 -63 -295 -142 -63
57 63 437 142 63 232
U=557 Mat.
Fis.
NEstuda.120
142 232
63
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T=650
N/V=200
T-N/V=450
D= 350S=139
D+S= 489
489-450=39
D= 450-139= 311
S= 450-350= 100
A) 39
B) 311
C) 100
106)Numa comunidade são consumidos três produtos A, B e C. Feita uma pesquisa
de mercado sobre o consumo foram obtidos os resultados da tabela abaixo:
Produtos A B C A e B B e C A e C A e B e C Nenhum
No. Consumidores 10 15 20 20 40 30 10 130
Determine quantas pessoas:
a) foram consultadas.
370 ssoas.
b) consomem somente dois produtos.
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60 essoas.
c) não consomem o produto B.
350 ssoas.
d) Não consomem A ou não consomem B.
270 pessoas.
107)Uma fabrica pretende produzir motos de três cores (amarela, vermelha e
preta). Desejando saber a preferência dos consumidores encomendou uma
pesquisa sobre as cores e obteve o seguinte resultado:
Cores A V P A e V A e P V e P A e V e P Nenhum
Votos 209 25 178 90 64 77 57 29
a) Quantos gostam só de moto amarela? 112
b) Quantos gostam só de moto vermelha? 145
c) Quantos gostam só de moto preta? 94
d) Quantos foram entrevistados? 497
108)Para determinar em qual veículo de comunicação uma empresa iria investir a
propaganda de seu novo produto foi feita uma pesquisa que obteve o seguinte
resultado:
Veículo Rádi TV
Jorn Rádio e
TV
Rádio e
Jornal
TV e
Jorn
al
Rádio/Jornal
 /TV
Nenhu
m
Pessoas 380 19 120 60 45 30 22 432
Pergunta-se:
a) Quantas pessoas ouvem só rádio? 297
432
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b) Quantas pessoas leem só jornal? 67
c) Quantas pessoas foram entrevistadas ao todo? 1009
109)No concurso para o CPCAR foram entrevistados 979 candidatos, dos quais 527
falam a língua inglesa, 251 a língua francesa e 321 não falam nenhum desses
idiomas. Qual é o número de candidatos que falam as línguas inglesa e
francesa?

R: O número de candidatos que falam a língua inglesa e francesa é 120
Lista TED 23:
Sistemas lineares
110)Resolva o seguinte sistema, pelos três métodos de resolução (escalonamento,
cramer da matriz inversa):
Método de Escalonamento
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

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
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3
1642
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2/3
142
0
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 z  y x
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407 131120
321
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Método de Cramer
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3
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 z  y x
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Método de Matriz Inversa
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
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1ª Linha 2ª Linha 3ª Linha                                                  
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             
      

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           
       
      
   
          
           
   
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     
            
 
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 
 
          
111)Resolva o seguinte sistema, pelos três métodos de resolução (escalonamento,
cramer e da matriz inversa):
Cramer:



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


12
3
12
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 z  y
 y x
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    = 2+2= 4
       
    = 2-2+12=12    x= 3
         
    = 6-1-1=4     y=1
        
    = 1+6+1=8    z= 2
      
Matriz inversa:








12
3
12
 z  x
 z  y
 y x
       
    det A = (2+2)-0 = 4      
         
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    
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.  = 
              
 =   S = (3,1,2)
Escalonamento:
                
 -  -   -
-     
- –    -
                         
                          
                  
S = (3,1,2)
112)Resolva o seguinte sistema, pelos três métodos de resolução (escalonamento,
cramer e da matriz inversa):
Escalonamento:








0
0
032
 z  y
 y x
 z  y x








 z  y
 y x
 z  y x
/
0
032








 z  y
 y
 z  y x
0
032
X+2.(0)+3.(0)=0
X=0
-2x = -6 .(-1)
x = 6/2 = 3
-3 + 2z = 1
2z = 1+3
z = 4/2 = 2
-3 + 2y = -5
-2y = -5+3
-2y = -2 .(-1)
y = 2/2 = 1
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S=(0,0,0)
Cramer:            
   
-1+0-3 –(2+0+0)
-4-2
-6               
   
0+0+0-(0+0+0)
0             
   
0+0+0-(0+0+0)
0              
   
0+0+0-(0+0+0)
0
S=(0,0,0)
Matriz inversa:
            
   
-1+0-3 –(2+0+0)
-4-2
-6
1ºlinha 2ºlinha 3ºlinha
(-1)-(0)=-1 (-2)-(3)=-5 (3)-(0)=3
(0)-(1)=-1 -1(-0)=-1 (-3)-(0)=-3
0-(-1)=1 0-(1)=-1 (1)-(-2)=2
                  
       
   
           
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   
          
  
           
   
  S=(0,0,0)
113)Resolva o seguinte sistema, pelos três métodos de resolução (escalonamento,
cramer e da matriz inversa).
Solução pelo método do escalonamento:
                                             =        
                                          =     =    
                                  
Solução pelo método de Cramer:
                        Det = 
         
    = (4 + 1) (     
           
                         
             
                         
           
              
                             
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Solução pelo método Matriz Inversa
          
                  
Rascunho
1ª linha 2ª linha 3ª linha                 —                   —        
                  
          
                
  
                
     

  
    
            
114)Resolva o seguintesistema, pelos três métodos de resolução (escalonamento,
cramer e da matriz inversa):








32
322
0
 z  y x
 z  y x
 z  y x
Cramer








32
322
0
 z  y x
 z  y x
 z  y x
12
21
11
112
221
111





2))2(1-1)-2(1-1)1((-1--1))1(12)-2(-1-1)2((1 
-6=
(3)-(-3)=

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-6=
(-3)-(-9)=
-32(1+-1)-2(0+-1)3((-1--1))3(1+-3)-2(-1+-1)2((0=


-18=
(12)-(-6)=
-2))3(1+-3)-2(1+-1)1((0--3))1(1+-2)-2(0+-1)3((1=


-12=
(0)-(-12)=
2))2(0+-1)3(1+-3)1((-1--1))1(0+2)3(-1+-3)2((1=


2=
16-
12-
==
3=
6-
18-
==
1=
6-
6-
==









s={1,3,2}
Matriz inversa
12
21
11
112
221
111





2))2(1-1)-2(1-1)1((-1--1))1(12)-2(-1-1)2((1 
-6=.det
(3)-(-3)=

1°ordem 2°ordem 3°ordem
-2-(2)=-4 1-(-1)=2 2-(2)=0
-1-(-4)=3 -1-(2)=-3 -2-(1)=-3
-1-(4)=-5 -1-(-2)=1 2-(-1)=3
330
132
534
,



cof  
13
23
10
113
223
110





32
31
01
132
231
101


12
21
11
312
321
011




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315
333
024
, 1



cof  
2
3
1
6
12
6
18
6
6
6
9
6
3
0
6
9
6
9
0
0
6
6
0
3
3
0
6
3
6
1
6
5
6
3
6
3
6
3
6
0
6
2
6
4
6
3
6
1
6
5
6
3
6
3
6
3
6
0
6
2
6
4
1 























S{1,3,2}
Escalonamento











32
2
322
0
 z  y x
 z  y x
 z  y x
 
    2020310
3
2
6
62
3323233213
323
32
0
32
0
133
322
0222

























 z  z  z  z  y x
 y y y
 y y y
 y x
 z  y x
 z  y x
 z  y x
 z  y x
 x x
 z  y x
 z  y x
S{1,3,2}
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115)Resolva o seguinte sistema, pelos três métodos de resolução (escalonamento,
cramer e da matriz inversa):
2
832
33
z y x 
z y x 
z y x 
Método do Escalonamento:
 


   
                                         
 


   
                         
S= (5,2,4)
Método de Cramer:
          
                         
           
                           
              
                         
           
                  —         
5
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      
       S= (5,2,4)
      
Método da Matriz Inversa:
   


   
             
          
                        
            
         
 

       
             
           
  
                  

                  
                
                
      
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S= (5,2,4)
Lista TED 24:
Espaço vetorial
116)Abaixo é dado um conjunto com as operações de adição e multiplicação por
escalar nele definidas, verificar se ele é ou não espaço vetorial, se acaso não
for, citar os axiomas que não se verificam.
 2
 (x1 , y1) + (x2 , y2) = (x1 , y1 )
  (x1 , y1) = ( x1 , y1)
u = (x1, y1) v = (x2, y2) w = (x3, y3)
A1) (u + v) + w = u + (v + w)
[(x1, y1)+ (x2, y2)] + (x3, y3) = (x1, y1) + [(x2, y2) + (x3, y3)]
(x1+y1) + (x3, y3) = (x1, y1) + (x2+x3, y2+y3)
(x1+x3, y1+y3) = (x1+x3, y1+y3)
Este axioma se verifica
A2) u + v = v + u
(x1, y1) + (x2, y2) = (x2, y2) + (x1, y1)
(x1, y1) = (x1, y1)
Este axioma se verifica
A3) u + 0 = u
(x1, y1) + (0,0) = (x1, y1)
(x1, y1) = (x1, y1)
Este axioma se verifica
A4) u +(-u) = 0
(x1, y1) + (-(x1, y1)) = (0,0)
(x1, y1) - (x1, y1) = (0,0)
(0,0) = (0,0)
Este axioma se verifica
M1) ().u = (.u)
().(x1, y1) = (.(x1, y1))
(x1,1)= ( x1, 1)
(x1, 1)= ( x1, 1)
Este axioma se verifica
M2) ( + ).u = .u + .u
( + ).(x1, y1) = .(x1, y1) + .(x1, y1)
((+ )x1, ( + )yx1= ( x1, y1) + ( x1, y1)
(x1+ x1,y1) = (x1+ x1, y1)
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Este axioma se verifica
M3) (u + v) = .u + .v[(x1, -2x1, -x1) + (x2, -2x2, -x2)] = .(x1, -2x1, -x1) + .(x2, -2x2, -x2) [(x1+x2, -2x1-2x2, -x1-x2)] = ( x1, - 2x1, -  x1) +( x2, -2  x2, -  x2) [(x1+x2, -2(x1+x2), -(x1+x2))] = ( x1+  x2,-  2x1-2  x2, -  x1-  x2)
( (x1+x2), -2  (x1+x2), -  (x1+x2)) = ( (x1+x2), -2  (x1+x2), -  (x1+x2))
Este axioma se verifica
M4) 1.u = u
1.(x1, -2x1, -x1) = (x1, -2x1, -x1)
(x1, -2x1, -x1) = (x1, -2x1, -x1)
Este axioma se verifica
Como todos os 8 axiomas foram verificados positivamente, logo este é um
espaço vetorial.
117)Abaixo é dado um conjunto com as operações de adição e multiplicação por
escalar nele definidas, verificar se ele é ou não espaço vetorial, se acaso não
for, citar os axiomas que não se verificam.
  2
 (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2)
   (x1, y1) = ( x1, y1)
u + v = v + u
(x1, y1)+(x2, y2) = (x2, y2)+(x1, y1)
(x1+x2, y1+y2) = (x2+x1, y2+y1)
Este axioma se verifica logo
u + (v + w) = (u + v) + w
(x1, y1)+[(x2, y2) + (x3, y3)]=[(x1, y1)+(x2, y2)]+(x3+y3)
(x1, y1)+(x2+x3, y2)=(x1+x2,y1)+(x1+x2,y1)+(x3,y3)
(x1+x2+x3,y1+y2+y3) = (x1+x2+x3,y1+y2+y3)
Este axioma se verifica
u + 0 = u
(x1, y1)+ (0, 0) = (x1, y1)
(x1, y1)= (x1, y1)
Este axioma se verifica
u+(-u) = 0
x1, y1)+ (-x1, -y1) = (0, 0)
(0,0) = (0,0)
Este axioma se verifica
(.(x1,y1) =.(x1,y1)(x1,y1) = (x1,y1)
(x1,y1 =x1, y1)
Este axioma se verifica
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(+).u =  u + u
(+)(x1, y1) = (x1, y1) + (x1, y1)
(+x1,+y1 = +x1, +y1)
Este axioma se verifica
 (u+v) = u + v (x1, y1) + (x2, y2) = (x1, y1) + (x2, y2)(x1+x2, y1+y2)  (α1, y1) + (x2, y2)(x1+x2), (y1+y2) = (x1α2, y1+y2)
(x1+x2, y1+y2 = x1+x2, y1+y2)
Este axioma se verifica
1. u=u
1(x1, y1) = (x1, y1)
(x1, y1) = (x1, y1)
Este axioma se verifica
Como todos os 8 axiomas foram verificados positivamente, logo este é um espaço
vetorial.
118)A seguir apresenta-se um conjunto com as operações de adição e multiplicação
por escalar nele definidas. Verificar se é um espaços vetorial. Se não for espaço,
citar os axiomas que não se verificam.
{(x, 2x, 3x); x  IR} com as operações usuais
u = (x1, 2x1, 3x1), v = (x2, 2x2, 3x2) e w = (x3, 2x3, 3x3),
A1) (u + v) + w = u + (v + w)
[(x1, 2x1, 3x1)+(x2, 2x2, 3x2)]+(x3, 2x3, 3x3) = (x1,2x1,3x1)+[(x2, 2x2, 3x2) + (x3,
2x3, 3x3)]
[(x1+x2, 2x1+2x2, 3x1+3x2)] + (x3, 2x3, 3x3) = (x1, 2x1, 3x1) + [(x2+x3, 2x2+2x3,
3x2 + 3x3)]
(x1+x2+x3, 2x1+2x2+2x3, 3x13x2-3x3) = (x1+x2+x3, 2x1+2x2+2x3, 3x1+3x2+3x3)
(x1+x2+x3, 2(x1+x2+x3), 3(x1+x2+x3)) = (x1+x2+x3, 2(x1+x2+x3), 3(x1+x2+x3))
Este axioma se verifica
A2) u + v = v + u
(x1, 2x1, 3x1)+ (x2, 2x2, 3x2) = (x2, 2x2, 3x2) + (x1, 2x1, 3x1)
(x1+x2, 2x1+2x2, 3x1+3x2) = (x2+x1, 2x2+2x1, 3x2+3x1)
(x1+x2, 2(x1+x2), 3(x1+x2)) = (x2+x1, 2(x2+x1), 3(x2+x1))
Este axioma se verifica
A3) u + 0 = u
(x1, 2x1, 3x1) + (0,0,0) = (x1, 2x1, 3x1)
(x1, 2x1, 3x1) = (x1, 2x1, 3x1)
Este axioma se verifica
A4)u +(-u) = 0
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(x1, 2x1, 3x1) + (-x1, -2x1,-3x1) = (0,0,0)
(0,0,0) = (0,0,0)
Este axioma se verifica
M1) ().u = (.u)
(). (x1, 2x1, 3x1) = (. (x1, 2x1, 3x1))
( x1, 2  x1, 3  x1) = ( x1, 2  x1, 3  x1)
( x1, 2  x1, 3  x1) = ( x1, 2  x1, 3  x1)
Este axioma se verifica
M2) ( + ).u = .u + .u
( + ). (x1, 2x1, 3x1) = . (x1, 2x1, 3x1) + . (x1, 2x1, 3x1)
(( + )x1, ( + )2x1, ( + ) 3x1) = ( x1,  2x1, 3 x1) + ( x1,  2x1,
3 x1)
( x1+ x1,  2x1+ 2x1, 3 x1 + 3  x1) = ( x1+  x1,  2x1+  2x1, 3
x1+  x1)
Este axioma se verifica
M3) (u + v) = .u + .v[(x1, 2x1, 3x1) + (x2, 2x2, 3x2)] = . (x1, 2x1, 3x1) + . (x2, 2x2, 3x2) [(x1+x2, 2x1+2x2, 3x1+3x2)] = ( x1,  2x1, 3  x1) + ( x2, 2 
x2, 3  x2) [(x1+x2, 2(x1+x2), 3(x1+x2))] = ( x1+  x2,  2x1+2  x2, 3 
x1+3  x2)
( (x1+x2), 2  (x1+x2), 3  (x1+x2)) = ( (x1+x2), 2  (x1+x2), 3 
(x1+x2))
Este axioma se verifica
M4) 1.u = u
1. (x1, 2x1, 3x1) = (x1, 2x1, 3x1)
(x1, 2x1, 3x1) = (x1, 2x1, 3x1)
Este axioma se verifica
119)A seguir apresenta-se um conjunto com as operações de adição e multiplicação
por escalar nele definidas. Verificar se é um espaços vetorial. Se não for espaço,
citar os axiomas que não se verificam.
 
 com as operações: (a, b) + (c, d) = (a, b)
  (a, b) = ( a,  b)
A1)                                        NÃO
A2)                                                                             OK
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A3)                 OK
A4)             NÃO
M1)            OK
M2)                                   OK
M3)                                              OK
M4)                OK
NÃO É ESPAÇO VETORIAL, NAO VERIFICANDO NOS AXIOMAS A1 E A4.
120)A seguir apresenta-se um conjunto com as operações de adição e multiplicação
por escalar nele definidas. Verificar se é um espaços vetorial. Se não for espaço,
citar os axiomas que não se verificam.
 2
 com as operações (x, y) + (x', y') = (x + x', y + y')
    (x, y) = ( x,0)
u =(, ), v (', ') e w (”,”)
A1) (u + v) + w = u + (v + w)
[(, )  (', ')]  (”,”) = (, )  [(', ')  (”,”)]
( ',  ')  (”,”) = (, )  (' ”, ' ”)
( ' ”,  ' ”) = ( ' ”,  ' ”)
ok
A2) u + v = v + u
(x, y) + (x', y') = (x', y') + (x, y)
(x+ x', y+ y') = (x'+x, y'+y)
ok
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A3) u + 0 = u
(x, y) + (0,0) = (x,y)
(x,y) = (x,y)
ok
A4) u +(-u) = 0
(x,y) + (-x,-y) = (0,0)
(0,0) = (0,0)
ok
M1) ().u = (.u)
().(x,y) = (.(x,y))
( x,0) = (.x,0))
( x,0) = ( x,0)
ok
M2) ( + ).u = .u + .u
( + ).(x,y) = .(x,y) + .(x,y)
(( + ).x,0) = ( .x,0) + (.x,0)
( x+ .x,0) = ( x+ .x,0)
ok
M3) (u + v) = .u + .v [(x, y) + (x', y')] = .(x,y) + .( x', y') (x+ x', y+ y') = (.x,0) + . x', 0)
( (x+ x'),  (y+ y')) = (.x+ . x',0)
( x+  x'),  y+  y'))  (.x+ . x',0)
Este não se verifica
M4) 1.u = u
1. (x, y) = (x, y)
(x, 0)  (x, y)
Este não se verifica
Como pelo menos um axioma não foi verificado, logo este não é um espaço
vetorial.
121)A seguir apresenta-se um conjunto com as operações de adição e multiplicação
por escalar nele definidas. Verificar se é um espaços vetorial. Se não for espaço,
citar os axiomas que não se verificam.                 Com as operações usuais                 
A1)                                                          
A2)                                                                                        
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                                           
A3)                                
A4)                                 
M1)                                                                      
M2)                                                                                  
M3)                                                                                                   
M4)                             
122)A seguir apresenta-se um conjunto com as operações de adição e multiplicação
por escalar nele definidas. Verificar se é um espaços vetorial. Se não for espaço,
citar os axiomas que não se verificam.
A = {(x, y,z) 3 | y = 5x e z = 0} com as operações usuais         ,           e          
Adição
I)                                                                                                 //ok
II)                                                                                                                                                                                                       //ok
61
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III)              //ok
IV)                   //ok
Multiplicação
I)              //ok
II)                             //ok
III)                                       //ok
IV)           //ok
Logo A é Espaço Vetorial
Lista TED 25:
Subespaço vetorial
123)Agora é apresentado um subconjunto, verifique se ele é subespaço.
S = {(x, y, z)| x = 4y e z = 0}
u = (4y, y, 0) v = (4y1, y1, 0)
u + v=(4y, y, 0) + (4y1, y1, 0)
=(4y +4y1, y+y1, 0+0) ok
(u)=(4y, y, 0)
= (4y, y, 0) ok Logo é subespaço vetorial
124)Agora é apresentado um subconjunto, verifique se ele é subespaço.
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Professor Mestre Matusalém Vieira Martins
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S = {(x, y, z)|x