2015310_19515_1_oscilacoes

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Oscilações 
Física Ondas e Ótica
Universidade do Vale do Rio dos Sinos - Unisinos
•Introdução
•Movimento Harmônico Simples
•MHS – Velocidade e Aceleração
•MHS – Energia
•MHS – Pêndulos
•Analogia MHS e MCU
Introdução
• Movimento Periódico: É aquele que se repete após um
intervalo de tempo. O menor Δt para a repetição do
movimento chama-se “Período” (T).
Exemplo: a Terra girando em torno do Sol.
O corpo volta a uma dada posição depois de um certo intervalo de tempo fixo.
Introdução 
• Movimento Oscilatório ou Vibratório: É um
movimento PERIÓDICO, onde a trajetória é confinada
e a partícula descreve um vai-e-vem em torno de
uma posição de equilíbrio central.
Exemplos:
- Sistema massa-mola;
- Corda de um violino;
- Átomos em um sólido;
- Moléculas de ar vibrando 
(som!);
- Elétrons oscilando numa 
antena de rádio ou de 
TV, etc...
Movimento Harmônico Simples (MHS)
É um movimento oscilatório onde a posição da
partícula como função do tempo é dada por:
x(t) = A.cos (ω.t + f) (1)
Esta função x(t) é solução da equação diferencial:
F = m.a = -k.x (Lei de Hooke!)
m.d²x/dt² = -k.x
d².x/dt²+k.x/m = 0 (2)
Movimento Harmônico Simples (MHS)
• Todo sistema vibrante que atender às 
condições (2) e (1) é dito um OSCILADOR 
HARMÔNICO SIMPLES.
• A equação (1) satisfaz (2), como se pode 
verificar muito facilmente.
Movimento Harmônico Simples (MHS)
x(t) = A.cos (ω.t + f)
• x(t)= deslocamento da posição 
de equilíbrio no instante t.
• A = Amplitude = maior 
afastamento da posição de 
equilíbrio.
• ω = Frequência Angular. 
(Relaciona-se com a 
FREQUÊNCIA).
• t = tempo (variável 
independente).
• ø = constante de fase, ou 
ângulo de fase.
A, ω e f são constantes!!
Movimento Harmônico Simples (MHS)
ω = 2π.f
ω = frequência angular (unidade SI: rad/s).
f = frequência (unidade SI= Hertz 
1 Hz = 1osc/s).
Movimento Harmônico Simples (MHS)
Definições
• O período T, é o intervalo de 
tempo necessário para que a 
partícula faça um ciclo completo 
do seu movimento.
• O inverso do período chama-se frequência.
• A frequência representa o nº de oscilações executadas pela partícula 
por unidade de tempo.
2
T



1
ƒ
2T


 
Movimento Harmônico Simples (MHS)
1ª Pergunta
Como visualizar a amplitude A?
Movimento Harmônico Simples (MHS)
2ª Pergunta
Qual é o significado físico de ω?
Para simplificar, seja f = 0 na equação (1): 
x(t) = A.cos (ω.t)
A posição x(t) se repetirá após T segundos (T = período) ou seja:
x(t) = x(t + T)
Então: A.cos (ω.t) = A.cos (ω.t+ω.T)
Mas o cosseno se repete após 2π radianos, então:
ω = 2π ou ω = 2π.f pois, T = 1
T f
Movimento Harmônico Simples (MHS)
3ª Pergunta
Qual o significado físico de f ?
• o f especifica a posição inicial da partícula, isto é, em t = t0.
• Consideremos 3 sistemas massa-mola idênticos, mas que iniciam suas 
oscilações em pontos diferentes de uma mesma trajetória:
POSIÇÕES DAS MASSAS EM t = t0
Dizemos que:
f 1 = 0
f 2 = π/2
ou*
f 2 = (3π)/2
f 3 = π
* Conforme o sentido do 
movimento da massa!!
Movimento Harmônico Simples (MHS)
Atentemos ao esquema:
Movimento Harmônico Simples (MHS)
Velocidade e Aceleração
Sabemos que a posição instantânea de uma partícula em MHS 
pode ser conhecida pela equação (1): 
x(t) = A.cos (ωt+f)
Derivando (1) em relação ao tempo, encontramos uma equação 
para as velocidades instantâneas da partícula:
v(t) = dx(t) = d [A.cos (ω.t + f)]
dt dt
a(t) = d²x(t) = d [-ω.A.sen (ω.t + f)]
dt² dt
2
2
2
( ) cos ( )
sin ( t )
cos( t )
x t A t
dx
v A
dt
d x
a A
dt
 f
  f
  f
 
   
   
Movimento Harmônico Simples (MHS)
Velocidade e Aceleração
Ao longo da trajetória da oscilação, a 
velocidade da partícula será máxima 
quando ela passar na posição de 
equilíbrio. Já a aceleração terá valor 
máximo nos extremos da trajetória!
Vemos ainda que podemos escrever: 
a(t) = -ω².x(t)
Ora, se F= -k.x(t) = m.a = -m.ω².x(t)
Então vemos que k = m. ω² → 
COMBINANDO COM ω= 2π
T
Vem imediatamente: 
Movimento Harmônico Simples (MHS)
Energia
A energia mecânica de um oscilador harmônico simples se divide 
alternadamente entre energia cinética e energia potencial, mas a 
SOMA das duas permanece constante!
• Energia Potencial (Elástica)
• Energia Cinética
• Energia Total
  221
2
2
1 cos f  tAkkxU
  221
2
2
1 sin f  tAmmvK
→ Independente do tempo → CONSTANTE!!!2
2
1 kAUKE
M

 f  tkAU 2221 cos
 f  tkAK 2221 sin
Movimento Harmônico Simples (MHS)
Energia
- A energia potencial será
máxima quando x(t) = 
máximo, ou seja nos
extremos da trajetória! 
- A energia cinética será 
máxima na posição de 
equilíbrio, porque ali a 
velocidade será maior!
- Para x = 0, a energia é toda 
cinética e para x = ±A, ela é 
toda potencial.
Movimento Harmônico Simples (MHS)
Energia
Movimento Harmônico Simples (MHS)
Pêndulos
Pêndulos são osciladores harmônicos onde 
a força-restauradora é a força da 
gravidade. 
Ver: http://www.walter-fendt.de/ph14br/pendulum_br.htm
Movimento Harmônico Simples (MHS)
1. Pêndulo Simples
É um dispositivo constituído por uma partícula de massa m
suspensa por meio de um fio fino e inextensível de 
comprimento L. 
θmgsenF =
No pêndulo simples, a força 
restauradora é a componente 
tangencial do peso!
Se
0~0~  sen
θmgF =
Massa desprezível!!!
Movimento Harmônico Simples (MHS)
1. Pêndulo Simples
Mas,
:
Χ
=

θ
( )Χ.=
Χ
=
!!tan
 
tecons
mg
mgF
!!!!=

mg
κ
mg
m
π
κ
m
πT 2=2=

g
πT

2=

Lei de Hooke com
Então, o período de oscilação poderá ser escrito como:
Período do 
Pêndulo 
Simples
Movimento Harmônico Simples (MHS)
2. Pêndulo Físico
Na maioria das vezes, os pêndulos não são simples, isto é, 
podem ter formas diversas, não puntiformes.
Se um objeto pendurado oscila em torno de um eixo fixo que não 
passa pelo centro de massa e o objeto não pode ser 
aproximado por uma partícula, o sistema é chamado de 
pêndulo físico.
• A força gravitacional proporciona um 
torque em em relação a um eixo que 
passa por O.
Movimento Harmônico Simples (MHS)
2. Pêndulo Físico
Quando o pêndulo físico for deslocado da sua posição de equilíbrio, 
surgirá um torque restaurador.
Se , e fica:
 hmgsen . 
0~θ 0~θsen
  ...
tan
kmgh
tecons

(Lei de Hooke 
Angular!!!)
Movimento Harmônico Simples (MHS)
2. Pêndulo Físico
Portanto o período será:
mgh
T
m
T

 

 22
lSeh  ²=Ι m
gmg
m
mgh
T


  2²22 
Movimento Harmônico Simples (MHS)
3. Pêndulo de Torção
É um oscilador harmônico angular 
simples.
Uma vez torcido o fio, o disco oscilará 
entre –θm e +θm, onde |θm| = 
amplitude angular do movimento.
Quando o fio é torcido, surgirá um 
torque restaurador:
0
-θm +θm
 .K
Fórmula angular da Lei de 
Hooke
Constante que dependerá do fio, ou 
seja, seu diâmetro, composição, etc
O período deste pêndulo pode ser 
escrito como:
K
I
T 2
PERÍODO DO PÊNDULO DE TORÇÃO
Analogia entre MHS e MCU
O MHS é o Movimento Circular Uniforme (MCU) 
visto de lado, ou seja, o MHS é a projeção do 
MCU sobre um diâmetro do círculo no qual 
ocorre movimento circular.
Analogia entre MHS e MCU
a) Projeção da partícula P’, realizando MCU, no eixo x, resulta em um MHS.
b) A partícula move-se ao longo do círculocom velocidade angular constante . 
Os pontos P e Q têm sempre a mesma coordenada x. Portanto, o ponto Q 
move-se com MHS ao longo do eixo x. 
c) Projeção da velocidade da partícula de referência é a velocidade do MHS.
d) A projeção da aceleração radial da partícula de referência é a aceleração no 
MHS.
Analogia entre MHS e MCU
• Daqui surge uma nova interpretação para a FREQUÊNCIA ANGULAR:
→ Ela é a velocidade angular da partícula P’, que realiza MCU.
o A velocidade de P’ é : v = ω.A
o Sua projeção sobre o eixo do x é: v(t) = ω.A.sen (ωt + f) 
o A aceleração de P’ é: ac = ω
2.R
o E sua projeção sobre o eixo x é: a(t) = -ω2.A.cos (ωt + f)
MOMENTOS DE INÉRCIA de alguns corpos. O 
‘M’, em cada caso, é a massa total do objeto.
HASTE 
DELGADA
Eixo passando 
pelo centro.
Eixo até o 
final.
PLANO 
RETANGULAR
Eixo passando 
pelo centro.
Eixo ao longo 
da borda.
ESFERA Oco de 
paredes finas.
Sólido 
CILINDRO Oco Sólido 
CILINDRO Oco de 
paredes finas.