Capítulo IV - Centróides e Baricentros

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Capítulo 13 Relações Termodinâmicas
5 Forças Distribuídas Centróides e Baricentros
Centro de Gravidade de um corpo bidimensional: 
Capítulo 5 – Centróides e Baricentros
=
A placa horizontal abaixo pode ser dividida em n pequenos elementos. As coordenadas do primeiro elemento são x1 e y1, assim como para o segundo elemento pode se escrever x2 e y2. As forças exercidas pela Terra sobre os elementos da placa são ΔP1, ΔP2, ..., ΔPn que podem ser consideradas como paralelas, ou seja, sua resultante é uma única força numa única direção. O módulo P dessa força é dada por:
o 
z
x
y
G
o 
z
x
y
ΔP
P
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Capítulo 13 Relações Termodinâmicas
5 Forças Distribuídas Centróides e Baricentros
Coordenadas e do ponto G, onde a resultante P deve ser aplicada: 
e,
Aumentando-se o número de elementos, no limite, tem-se que: 
 ;
 ;
Tais equações definem o peso P e as coordenadas e do baricentro G da placa.
Capítulo 5 – Centróides e Baricentros
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Capítulo 13 Relações Termodinâmicas
5 Forças Distribuídas Centróides e Baricentros
O mesmo procedimento pode ser adotado para um arame no plano y e, neste caso, o baricentro G não está sobre o arame. Esta fato também ocorrerá em placas com furos: 
x
y
z
P
x
y
z
ΔP
 ;
=
Capítulo 5 – Centróides e Baricentros
G
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Placa homogênea de espessura uniforme: 
Centróides de Superfícies Curvas: 
Módulo do Peso 
de um elemento de placa
 
γ : peso específico do material;
t : espessura da placa;
ΔA: Área do elemento.
Para a placa inteira, o módulo P do peso é dado por 
A: Área total da placa.
Introduzindo-se ΔP e P na equação de momentos My e Mx 
Então,
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e,
assim,
Simplificando-se as equações de x e y,
e,
Para um número elevado de elementos,
 ;
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Capítulo 13 Relações Termodinâmicas
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Estas equações definem as coordenadas e do baricentro para uma placa homogênea.
o 
y
x
C
=
o 
x
ΔA
y
 ;
No caso de placas não-homogêneas as integrais não podem ser empregadas para determinar o baricentro, mas definem o centróide da superfície.
Capítulo 5 – Centróides e Baricentros
A
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Arames homogêneos: 
Centróides de Superfícies Curvas: 
γ : peso específico do material;
a : área da seção transversal do arame;
Δl : comprimento do elemento.
Assim, o baricentro do arame é coincidente com o centróide da curva L associada à forma do arame, isto é,
o 
y
x
C
o 
y
x
ΔL
=
Capítulo 5 – Centróides e Baricentros
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Capítulo 13 Relações Termodinâmicas
As integrais ∫xdA e ∫ydA denotam os momentos de primeira ordem da superfície A em relação aos eixos y e x, respectivamente. Desta forma,
 ;
onde,
Qy : Momento de primeira ordem de A (superfície) em relação ao eixo y;
Qx : Momento de primeira ordem de A (superfície) em relação ao eixo x. 
Uma vez que,
 ;
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As coordenadas e do centróide podem ser obtidas, reciprocamente, por
 ;
Observa-se que se o centróide de uma superfície estiver situado sobre um eixo, os momentos de primeira ordem serão nulos.
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 Superfícies com um eixo de simetria: 
Eixos de Simetria: 
o 
y
x
A
C
Cada elemento dA referente a uma abscissa x corresponde a um elemento dA’ com abscissa –x, desta forma,
 ou
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 Superfícies com dois eixos de simetria: 
B
x
D
C
D’
Dois Eixos de simetria não ortogonais não têm centro de simetria
B
B’
D
D’
Dois Eixos de simetria perpendiculares. O ponto de interesse dos eixos é um centro de simetria
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C
B’
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 Superfícies com um centro de simetria: 
y
x
o 
Figuras com um centro de simetria não tem, necessariamente, um eixo de simetria como se observa abaixo,
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A 
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o 
z
x
G
∑ P
y
o 
z
x
G1 
P1
y
P2
 P3
G2 
G3 
=
A placa abaixo pode ser dividida em retângulos e triângulos para a determinação das coordenadas e de seu baricentro. 
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Assim,
ou,
;
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Se a placa for homogênea e apresentar espessura constante, haverá a coincidência entre o baricentro e o centróide. Neste caso, utilizando-se os momentos de 1ª ordem, será possível determinar as coordenadas e do centróide.
 Coordenada : Duas opções para determinação 
i. 
ii. 
Subdivisão da placa em triângulos e retângulos
 Coordenada : Duas opções para determinação 
i. 
ii. 
Subdivisão da placa em triângulos e retângulos
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o 
x
C
∑ A
y
o 
x
C1 
A1
y
A2
A3
C2 
C3 
=
Então, graficamente, 
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Capítulo 13 Relações Termodinâmicas
Ex: Determine, para a superfície plana abaixo, ( a ) os momentos estáticos com relação aos eixos x e y, e ( b ) a posição do centróide. 
x
y
60 mm
40 mm
120 mm
80 mm
60 mm
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Solução: Basta subdividir a placa em várias partes mais simples, 
x
y
60 mm
40 mm
x
y
40 mm
-20 mm
+
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x
y
60 mm
60 mm
80 mm
4r/3π = 25 mm
x
y
40 mm
60 mm
80 mm
_
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+
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Calculando as figuras individualmente, 
Retângulo: 
Triângulo: 
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Semi-Círculo: 
Círculo: 
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Capítulo
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Posição do Centróide: 
Desta forma, 
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Capítulo 13 Relações Termodinâmicas
Devem ser escolhidos retângulos estreitos, faixas finas ou triângulos como elementos diferenciais de área dA. Desta forma, utilizando-se os momentos estáticos em relação às coordenadas xel e yel do elemento dA, obtém-se,
;
x
y
;
x
y
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Capítulo 5 – Centróides e Baricentros
;
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Capítulo 13 Relações Termodinâmicas
Devem ser escolhidos retângulos estreitos, faixas finas ou triângulos como elementos diferenciais de área dA. Desta forma, utilizando-se os momentos estáticos em relação às coordenadas xel e yel do elemento dA, obtém-se,
;
x
y
Área de um setor circular
Obs.: As coordenadas e são expressas em função das coordenadas de um ponto localizado sobre a curva limitante desta superfície.
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Para uma linha definida por uma equação algébrica, o centróide pode ser calculado por,
;
Para o elemento dL,
Estas equações dependem do tipo de expressão que define a linha
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Teoremas de Pappus – Guldin associados a superfícies e corpos de revolução:
Conceito de Superfície de Revolução: 
É aquela obtida a partir da rotação de uma curva plana em torno de um eixo fixo, conforme apresentado abaixo,
C
A
B
A superfície de uma esfera é obtida pela rotação de uma semi-circunferência ABC em torno de eixo AC.
C
A
B
A superfície lateral de um cone é determinada pela rotação da reta AB em torno do eixo AC.
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Capítulo 5 – Centróides e Baricentros
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Capítulo 13 Relações Termodinâmicas
É aquela obtida a partir da rotação de uma curva plana em torno de um eixo fixo, conforme apresentado abaixo,
C
A
B
A superfície de um toróide é obtida pela rotação de uma circunferência B em torno de eixo AC.
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Capítulo 5 – Centróides e Baricentros
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Conceito de um corpo de Revolução: 
É aquele gerado pela rotação de uma superfície plana em torno de um eixo fino. Assim, uma esfera sólida é obtida pela rotação de um semi-círculo e um cone pela rotação de uma superfície triangular.
Teorema I : “A área de uma superfície de revolução é igual ao comprimento da curva geratriz multiplicado pela distância percorrida pelo centróide da curva durante a revolução”
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Capítulo 5 – Centróides e Baricentros
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Considere o elemento dL da linha L girando ao redor do eixo x, 
x
C
x
A curva geratriz não intercepta o eixo x!
Área, , então 
Todavia, . Logo, 
Distância percorrida pelo centróide de L.
Ordenada do centróide C.
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Teorema II : “O volume de um corpo de revolução á igual à área da superfície geratriz vezes a distância percorrida pelo centróide durante a revolução”
x
x
C
A superfície geratriz não intercepta o eixo x!
Volume gerado:
Mas,
 Ordenada do centróide C.
 Denota a distância percorrida pelo centróide de A.
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Ex: A partir dos teoremas de Pappus-Guldin, determinar: (a) o centróide de uma superfície semi-circular, e (b) o centróide de uma semi-circunferência.
Dados: 
 
e
Solução: 
 
r
x
Lembrando que, 
 
, então , o que produz, 
 
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r
x
Lembrando que, 
 
, assim 
 
No caso do item (b), tem-se, 
 
O que fornece, 
 
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 Baricentros e Centróides de Sólidos:
A representação esquemática abaixo mostra que o baricentro G do sólido é obtido dividindo-se o mesmo em pequenos elementos de forma que o peso P seja associado aos incrementos ΔP de cada elemento individual.
x
z
y
Δ P = -ΔP j
G
r 
P = -P j
x
z
y
ΔP
r 
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Assim,
Desta forma, reescrevendo a última equação,
Portanto,
; 
 
E, no caso limite,
; 
 
Estas relações independem do eixo adotado, ou seja, da orientação do corpo!
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Capítulo 13 Relações Termodinâmicas
Expandindo os dois vetores posição em termos das componentes cartesianas,
Tem-se que, 
; 
 
ou,
Assim, verifica-se a equivalência,
equivalente a
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Para corpos homogêneos de peso específico γ,
O que resulta, após a relação com os vetores posição,
então, 
 
Em termos de componentes escalares,
; 
 
Estas últimas equações são momentos estáticos do sólido em relação aos planos yz, zx, xy, respectivamente.
; 
 
, fornecendo, 
 
e 
 
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Capítulo 13 Relações Termodinâmicas
O ponto de coordenadas , e denota o centróide de um sólido de volume V. Caso tal sólido seja homogêneo, há coincidência entre seus centróides e o baricentro do volume. 
As equações integrais anteriores definem apenas o centróide de sólidos não-homogêneos. 
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Capítulo 13 Relações Termodinâmicas
Se um mesmo corpo pode ser divido em formas geométricas ilustradas na tabela anterior, o baricentro G pode ser determinado igualando-se o momento em relação à origem O de seu peso total à soma dos momentos dos pesos de cada figura também em relação ao ponto O, ou seja, 
E, para corpos homogêneos, a coincidência entre o baricentro e o centróide de volume permite escrever,
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Capítulo 5 – Centróides e Baricentros
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