CI SEGUNDO SEMESTRE-I INTEGRAL TRIPLO COORDENADAS CARTESIANAS

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I . INTEGRAL TRIPLO. COORDENADAS CARTESIANAS 
 
Consideremos por analogia, com as regiões rectangulares de R2 , o 
sólido Q de R3 , determinado por um produto cartesiano 
[ ] [ ] [ ] RQfefedcba →×× :,,, integrável em Q, assim como uma das 
integrais iteradas correspondentes, então:
 
( ) ( )∫∫∫ ∫ ∫ ∫=
Q
b
a
d
c
f
e
dzzyxfdyfdxdxdydzzyxf ..,,
 
 z 
 
 e 
 f 
 c d 
0 y 
 b 
 a 
 
 x 
EXEMPLOS:
 
1.Calcular ∫∫∫
E
zdxdydz , sendo dada pela expressão
( )






−−≤≤≤≤≤≤ℜ∈= 223 10;2;
2
1
0:,, yxzxyxxxzyxE
 
Resolução: 
 
 
 
 
( )∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫∫∫
=



−−=−−=
=
−−
==
−−
2
1
0
2 2
1
0
3222
2
1
0
2 1
0
2
1
0
2 22
2
2
3
1
2
1
1
2
1
0
1
2
1
22
x
x
x
x
yx x
xE
dx
x
x
yyxydyyxdx
dy
yx
zdxdzzdydxzdxdydz
2. Calculara integral 
4;0;0 −+== yxyx
 
Resolução: 
 
O sólido dado por V estão limitados por coordenadas no plano XOZ e 
YOZ, a cima e em baixo, está 
expressões 
( ) zeyxz =+= ,4
2
1
Respectivamente. Achemos as linhas de intersecção destes planos, ou 
seja:
(
( )
042
64
2
1
6
4
2
1
=−+
−=+




−−=
+=
yx
ou
yx
ou
yxz
yxz
Vamos construir no plano XOY o uma região D apartir da expressão 
( )xy −= 4
2
1
 
 
 
0
2
1
6
5
2
1
2
1
3
8
22
2
1
43
2
1
0
3




−=



−−= ∫
xx
xx
 
 
 
 
 
 
. Calculara integral dzdydxx
V
∫∫∫ , sendo V limitado pelos planos 
0602 =−++=− zyxez 
O sólido dado por V estão limitados por coordenadas no plano XOZ e 
YOZ, a cima e em baixo, está limitado pelos planos dados pelas 
yx −−6
 
. Achemos as linhas de intersecção destes planos, ou 
)
−− yx
y
 
Vamos construir no plano XOY o uma região D apartir da expressão 
 
192
7
16
1
6
5
8
1
2
1
0
2
1
3
10
2
1
3
1
3
8
2
1
0
3333
=





⋅−=






−=


++− ∫ dxxxdxxxxx
V limitado pelos planos 
O sólido dado por V estão limitados por coordenadas no plano XOZ e 
limitado pelos planos dados pelas 
. Achemos as linhas de intersecção destes planos, ou 
Vamos construir no plano XOY o uma região D apartir da expressão 
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
∫
∫∫
∫ ∫ ∫
∫∫
∫ ∫ ∫∫ ∫∫∫∫
=





+−=





+−⋅=





+−
=





+−=














−−−⋅−−⋅
=
−






−−=





−−
=



+−−−
=
+
−−
==
−
−
−−
−−
+
4
0
43
2
32
2
4
0
24
0
2
4
0
2
1
0
4
0
4
2
1
0
4
0
4
0
4
0
4
2
1
0
4
2
1
0
6
4
2
1
88
3
64
163
0
4
4
1
8
1
3
1
2
23
8
1
23
8
1
234
2
1
2
1
4
2
1
2
1
4
2
1
23
0
4
2
1
2
1
2
1
233
2
3
6
4
2
1
6
4
2
1
6
xx
x
dxxxx
dxxxxxxxxxdx
x
yxyyxdxdyyxxdx
yxyxdyxdx
yx
yx
zdyxdxdzdyxdxdzdydxx
xa
x
xx
yx
yx
V
 
 
3. Calcular ∫∫∫
E
dzdydxyzx
2 , sendo a região E limitada pelos planos
( ){ }0;0;0;02:,, 3 ====−++ℜ∈= zyxzyxzyxE 
 
Resolução: 
 
A região E está limitada por cima pelo plano 02 =−++ zyx , e por baixo, 
pelo plano 0=z . A projeção do corpo no plano x0y é o triângulo formado 
pelas retas x = 0, y = 0 e y = 2 – x. Desta forma teremos: 
 
( )
( ) ( ) ( ) ( )∫∫
∫ ∫∫ ∫ ∫∫∫∫
=−=




 −
−
−
+
−
⋅=
=
−−
⋅==
−− −−
2
0
42
2
0
444
2
2
0
2
0
2
2
2
0
2
0
2
0
22
315
16
2
24
1
3
22
4
2
2
2
2
1
2
2
dxxxdx
xxx
x
dy
yx
ydxxdzzdyydxxdzdydxyzx
xx yx
E
 
 
4. Calcular ∫∫∫
E
dzdydxz , sendo a região E a parte superior do elipsoide
1
49
2
22
≤++ z
yx
 
 
 
 
Resolução: 
 
A projecção do corpo no plano x0y é a elipse 149
22
≤+
yx
 
Assim sendo, tem – se: 
 
( ) ( )
( ) ( )∫ ∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫∫∫
=
+
==




 −=
=




 −=










 −⋅⋅−−⋅





−=
=





−−==
− −
−
−





−





−
−−
−
−





−





−
3
0
2
0
2
0
2
432
3
3
3
3
32322
2
3
3
9
3
2
9
3
2
49
1
0
3
3
9
3
2
9
3
2
22
4
2cos1
8cos81
81
8
9
81
8
9
81
4
9
27
16
12
1
9
3
4
9
1
2
1
49
1
2
1
2
2
22
2
2
π π
dt
t
dttdxx
dxxdxxx
x
dy
yx
dxdzzdydxdzdydxz
x
x
yx
x
x
E
 
2
3
22
3
2
0
24
8
1
2
22
πππ
=⋅⋅=



+++⋅ tsen
t
tsent 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS PARA RESOLVER 
 
 
1. Calcular ∫∫∫
E
xdxdydz , sendo 
( ){ }0;0;0;2;2:,, 3 ≥≥≥≤+≤+ℜ∈= zyxzxyxzyxE 
2. Calcular ∫∫∫ −
E
dxdydz
y
z
24
, sendo 
( ){ }23 40;0;262:,, yzyyxyzyxE −≤≤≥−≤≤−ℜ∈= 
 
3. Calcular ∫∫∫ −
E
xydxdydzye , sendo [ ] [ ] [ ]1,01,01,0 ××=E 
 
4. Sabe – se que ( )∫ ∫∫∫∫∫
+−
=
1
0 0
1
0
,,
yxx
E
dzzyxfdydxdxdydz , desenhe o sólido E, 
mostrando as suas projecções no eixo x0y. Expresse a integral tripla 
como uma ou mais integrais iteradas sendo a primeira em ordem a y. 
 
 
5.Calcular o volume do sólido dado pela expressão
( )






≥≤≤≤≤
+
ℜ∈= 0;20;4
8
:,,
22
3 zyxy
xz
zyxE 
 
6. Calcular ∫∫∫
E
dxdydz , sendo o sólido limitado por três planos 
coordenados e as superfícies: 
( ){ }1;:,, 223 =++=ℜ∈= yxplanooeyxxzyxE 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
II. INTEGRAL TRIPLO: COORDENADAS CILÍNDRICAS 
 
 
Coordenadas cilíndricas: Seja P(x, y, z) um ponto qualquer da superfície de 
um cilindro circular reto de raio r cujo eixo é o 0z. a equação da superfície é 
claramente 
222 ryx =+ 
Uma parte da superfície que se localiza no primeiro octante está representada 
na figura abaixo. Pelo ponto P e eixo 0z faz – se passar um plano que corta 
numa geratriz cujo ponto de intersecção com o plano x0y é o ponto P´. 
Seja OP´= r, e designamos por θ o ângulo formado por OP` e a parte positiva 
do eixo 0x. Então teremos as relações: 
zzsenryrx === ,,cos θθ
 
Para que as coordenadas cilíndricas (r, θ, z) um único ponto do espaço, 
restringi – se os valores de r, θ e z aos intervalos: 
 r ≥ 0 , 0 ≤ θ ≤ 2π 
Os valores de x, y e z em coordenadas cilíndricas, podem bem representar – 
se em coordenadas cartesianas ou seja: 
2222
22
cos;,;
yx
x
yx
y
sen
x
y
arctgyxr
+
=
+
==+= θθθ 
 
 
 z 
 
 
 P(x,y,z) 
 
 
 
 
 
 y 
 0 y 
 xθ 
 P´ 
 
 
 
 x 
 
 
 
III. INTEGRAL TRIPLO: COORDENADAS ESFÉRICAS: Seja o ponto P (x, y, z) um 
ponto qualquer da superfície esférica de centro na origem e raio r. a equação 
da superfície esférica é evidentemente: 
2222 rzyx =++ 
Observemos a porção da esfera compreendida no primeiro quadrante ilustrado 
na figura abaixo. Pelo ponto P e o eixo 0Z passa um plano que corta o plano 
x0y na reta l. Denotemos por θ o ângulo formado pela reta l e a parte positiva 
do eixo 0x, e por φ o ângulo formado pelo raio OP e a parte positiva do eixo 0z. 
Designemos por P’, A, B e C respetivamente, as projeções do ponto P sobre o 
plano x0y e sobre os eixos 0x, 0y e 0z. 
Seja OP´=CP=s 
A partir do triangulo OPC teremos que s=rsen φ 
A partir dos triângulos OAP´, OBP´, e OP´P, teremos respetivamente: 
 X=s cos θ=r sen φcos θ 
Y=s sen θ =r sen φ sen θ 
Z=P´P = r sem (90º- φ)= r cos φ 
Destas relações, é possívellocalizar qualquer ponto P na superfície esférica 
quando se conhecem os valores de r,φ eθ. Para que as coordenadas esféricas 
(r,φ , θ) representem um ponto único no espaço, deve – se restringir os seus 
valores nos intervalos: 
 r ≥ 0; 0 ≤ φ ≤ π; 0 ≤ θ ≤ 2π 
as relações anteriores podem considerar – se como a transformação de 
coordenada cartesianas em esféricas. Se isolarmos r, φ e θ obteremos: 
222 zyxr ++=
222
cos
zyx
z
arc
++
=ϕ
x
y
tgarc=θ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 z 
 
 
 
 
 
 
 
 0 B y 
 
 A 
 
 
 
 x 
 
 EXEMPLOS:
 
 
5.Calcular dxdydzyxz
V
22 +∫∫∫ , onde V estás limitada pela parte do cone 
22 yxz += e o plano 3=z 
 
Resolução:
 
 z 
 z = 3 
 
 
 
 r y 
 r=3 
 x 
 
 
Utilizemos as coordenadas cilíndricas para caracterizar o volume V, a 
projecção sobre o plano x0y é um círculo fechado de raio 3 e a variação no 
eixo z, na direcção em que se desenvolve o sólido, vai desde a superfície do 
cone atéao plano z=3, por tanto em coordenadas cilíndricas teremos: 
 
ρρ
ρ
ρ
πθ
=⇒+=
≤≤
≤≤
≤≤
Jyxde
z
22
3
30
20
 
Logo: 
∫ ∫ ∫
∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫∫∫
===





−=





−
=





−=





−=⋅
==⋅⋅=+
π π π
ππ π
π ρ
ρ
π
ρ
π
π
θθθρρθ
ρ
ρ
ρθρ
ρ
ρθ
ρ
ρρθ
ρρθρρρθ
2
0
2
0
2
0
53
2
0
3
0
4
2
2
0
3 2
0
3
0
2
2
2
2
2
0 0
3 2
0^
3
0
3
222
5
162
0
2
5
81
5
81
10
243
2
81
0
3
10
1
2
3
22
9
22
93
2
ddd
dddd
z
dd
dzzdddzzdddxdydzyxz
o
V
 
 
6.Calcular o valor do integral ∫∫∫
D
dxdydz, sendo a região D limitada pelas 
esferas 0, 22222222 〉〉=++=++ baabzyxazyx 
 
Resolução: Vamos utilizar coordenadas esféricas para caracterizar D, a 
projecção sobre o plano xoy, serão os círculos concêntricos fechados de 
raios a e b (a > b), que geram a região limitada põe esferas mediante as 
coordenadas esféricas dadas na forma: 
 
B ≤ ρ ≤ a 
0 ≤ θ ≤ 2π 
0 ≤ φ ≤ π 
 
Aqui, J=ρ2|senφ|. Com efeito, fazendo a troca de variáveis teremos: 
 
( )
( ) ( ) ( ) ( )33
2
0
2
0
3333
2
0 0
2
0 0
33
32
0 0
2
3
4
3
2
0
cos
3
1
3
1
3
badbadba
dsenbad
b
a
dsendsendddxdydz
a
bD
−=−=−−
−=⋅==
∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫∫∫
π
θθ
π
ϕ
ϕϕθ
ρ
ϕϕρϕρϕθ
π π
π π π ππ π
 
 
 z 
 
 
 
 
 bb a y 
 
 
 x 
 
7.Calcularo volume do corpo limitado pelas seguintes superfícies
xzyxz ;2;2 22 =+=
 
Resolução: 
O corpo em causa está limitado em baixo pela superfície
a baixo pela superfície de equação
No plano XOY podemos observar a região D
 
Passando para coordenadas cilíndricas, teremos:





=
=
=
zz
seny
x
ϕρ
ϕρ cos
 
A equação do paraboloide terá a forma:
20
cos2 222
≤≤
+=
ρ
ρϕρ
ouzonde
senz
A amplitude do ângulo 
 
o volume do corpo limitado pelas seguintes superfícies
xyx 2;0 == 
O corpo em causa está limitado em baixo pela superfície z
superfície de equação 2=z . 
No plano XOY podemos observar a região D- 
 
Passando para coordenadas cilíndricas, teremos: 
A equação do paraboloide terá a forma: 
20
2
2
2
22
≤≤
=⇒=
ρ
ρ
ρϕ
ou
zzousen
 
A amplitude do ângulo φ observa-se na figura 
 
o volume do corpo limitado pelas seguintes superfícies:
( )22
2
1
yx += , e 
πϕ
θϕθθ
852,0º4349,153;º4349,1530:
º4349,153º904349,632
2
=≤≤
=+==⇒====
assim
e
x
x
x
y
OC
DC
tg
 
Isto significa que: 
∫
∫∫ ∫∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫∫∫∫∫∫∫∫
==
=





−⋅=





−=





−
====
π
πππ
π π
ρ
π
π
ϕϕ
ρρ
ϕρ
ρ
ρϕρ
ρ
ρϕ
ρρρϕρρϕϕρρ
852,0
0
852,0
0
42852,0
0
2
0
32852,0
0
2
0
852,0
0
2
0
852,0
0
2
0
2
2
2
704,1
0
852,0
22
0
2
42
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
d
ddddd
zdddzdddzdddzdydx
VV
 
 
 
8. Calculara ∫∫∫
E
dxdydzzxy
32 , sendo E limitada pela superfície
01 ==−= zexplanososeyxz 
 
Resolução: 
 
 
z 
 
 
 
0 y 
 
 
x 
 
Para caracterizar a região de integração deve – se projectar o sólido 
num dos planos, por exemplo o plano xoy, assim, teremos: 
 
xyz
xy
x
≤≤
≤≤
≤≤
0
0
10
 
 
364
1
1
0^
1
0 0
3232 == ∫ ∫ ∫∫∫∫ dzzxydydxdxdydzzxy
xy
E 
 
9. Calcular dzyddxx
E
∫∫∫ 2 , sendo E, a esfera 222 Rzyx ≤++ 
 
Resolução: 
 
Na troca de coordenadas cartesianas (x, y, z) para esféricas (ρ, φ, θ), 
vamos considerar que 0≤ ρ ≤ R; 0 ≤ φ ≤ 2π; 0 ≤ θ ≤ π. Assim sento, 
teremos: 
 
( ) ( )∫ ∫
∫∫∫ ∫ ∫ ∫∫∫∫
=−=



+
===
π π
π π
θ
π
θθ
ππ
ϕϕθθ
ρρϕϕθθθϕρϕρ
0 0
5
2
5
2
5
0
2
0 0
422242
15
4
cos1cos
50
2
2
2
1
5.2
coscos
R
d
R
sendsen
R
dddsendddsendzyddxx
E
R
E
 
 
76. Calculara ∫∫∫ +
E
dzdydxyxz 22 , sendo a região E limitadapelocilindro 
xyx 222 =+ e pelos planos y = 0, z = 0 e z = a. 
 
Resolução: 
 
Passando para coordenadas cilíndricas, a equação do cilindro terá a 
seguinte forma: 
 
ρ2cos2φ+ρ2 sem2 φ = 2 ρ cosφ ou ρ2 (cos2 φ + sem2 φ) = 2 ρcosφ. Logo 
ρ = 2 cosφ. Nesta base, a região E em coordenadas cilíndricas terá a 
forma: 0 ≤ ρ ≤ 2cosφ; 0 ≤ φ ≤ 
�
�
; 0 ≤ z ≤ a. 
Calculando o integral, temos: 
 
( ) ( )∫ ∫
∫ ∫∫∫∫ ∫ ∫ ∫∫∫∫
=



−=−=
===⋅=+
2
0
2
0
2222232
2
0
cos2
0
22
2
0
cos2
0 0
222
9
8
0
2
3
1
3
4
1
3
4
cos
3
4
2
1
π π
π
ϕ
π
ϕ
π
ϕϕϕϕϕϕ
ρρϕρρϕϕρρρ
asensenasendsenada
ddadzzdddzddzdzdydxyxz
E
a
E
 
10. Calcular ( )∫∫∫ +
E
dzdydxyx
22 , sendo a região E a parte superior da 
metade da esfera de equação 2222 rzyx =++ . 
Passando para coordenadas esféricas teremos que: 
0 ≤ ρ ≤ r; 0 ≤ φ ≤ 	2�; 0 ≤ θ≤ 
�
�
. Desta forma: 
 
( )
( ) ( )
15
4
0
2coscos
3
1
2cos1cos2
5
0
34
0
2
0
24
0
2
0
2
0
343422
r
ddd
ddsenddddsendzdydxyx
rr
r
EE
π
π
θθρρπθθρρπ
ϕθθρρθϕρθρ
π
π
π
=



−=−=
===+
∫∫ ∫
∫ ∫ ∫∫∫∫∫∫∫
 
 
11. Calcular o volume do corpo limitado pela superfície hzyxhz =+= ;22 
 
 
 z 
 
 
 
 
 
 h 
 0 y 
 
 
 x 
 
O corpo dado é limitado por baixo pelo paraboloide � =
(	
��
)
�
enquanto 
por cima é limitado pelo plano z = h e a projecção no plano x0y é a 
circunferência de equação 222 hyx ≤+ 
Passando para coordenadas cilíndricas, onde o paraboloide terá a forma
h
z
2ρ
= , o volume do corpo será igual a: 
 
242042
32
0
2
0
3242
2
0 0
22
0 0 2
h
d
hh
d
h
h
h
d
h
hddzdddzdddzdydxV
h
E
h h
h
E
π
ϕϕ
ρρ
ρρ
ρ
ϕρρϕϕρρ
π π
ππ
ρ
=





−=





−
=





−====
∫ ∫
∫ ∫∫∫∫ ∫ ∫ ∫∫∫∫
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS PARA RESOLVER 
 
 
7. Calcular ∫∫∫
E
dxdydzyxf ),( , sendo 
( ){ })0;0(,;0;:,, 2223 〉〉==+=ℜ∈= hrhzzyxrzyxE 
 
8. Calcular ∫∫∫
E
dxdydz , sendo a parte comum entre as esferas 
;2222 rzyx =++ ;2222 rzzyx =++ 
 
9. Calcular ∫∫∫ 











++−
E
dxdydz
c
z
b
y
a
x
2
2
2
2
2
2
1 , sendo E, o interior do elipsoide 
( )0,0,0,1
2
2
2
2
2
2
〉〉〉=++ cba
c
z
b
y
a
x
 
 
10. Calcular ∫∫∫
E
dxdydz , sendo E, o sólido limitado pelo cilindro 
0;1;0;3:1622 =====+ xyyzplanososeyx 
11. Calcular ∫∫∫
E
dxdydz , sendo E, o sólido limitado pela esfera 
5
5
0,2,,0:1
222 ≤≤====++ xxyxyzplanospelosezyx 
 
 12.Calcular ( )∫∫∫ +
E
dxdydzyx 22 , sendo 
( ){ }0;0;0;1;9:,, 222223 ≥≥≥≤+≤++ℜ∈= zyxyxzyxzyxE 
13. Calcular ( )∫∫∫ +
E
dxdydzyx 22 , sendo 
( ){ }0;1;4:,, 22223 ≥≤+−≤+ℜ∈= zyxzyxzyxE 
14. Calcular ∫∫∫
E
xdxdydz , sendo 
( ) ( ){ }4;44:,, 223 ≤≤+≤−−ℜ∈= zyxzzyxE 
15. Calcular∫∫∫
E
ydxdydz , sendo 
( ){ }4;40;9:,, 223 ≤≤≤≤+≤ℜ∈= zzyxzzyxE 
16. Calcular ∫∫∫
E
dxdydz , sendo ( ){ }22223 :,, rzyxzyxE ≤++ℜ∈= 
17. Calcular ∫∫∫
++E zyx
dxdydz
222
, sendo 
( ){ }0;0;91:,, 2223 ≥≤≤≤++≤ℜ∈= zyxzyxzyxE 
18. Calcular ∫∫∫
++E zyx
dxdydz
222
, sendo 
( ){ }1;0;0;;9:,, 222223 ≥≥≥≤+≤++ℜ∈= zyxzyxzyxzyxE 
19. Calcular ∫∫∫
E
zdxdydz , sendo 
( )






≤≤≤++ℜ∈= xyxzyxzyxE 3
3
1
;4:,, 2223 
20. Calcular ∫∫∫
E
dxdydz , sendo 
( ){ };0;0;1;0:,, 223 ≥≥≤++≤≤ℜ∈= yxyxyxzzyxE 
21. Calcular ∫∫∫
E
dxdydz , sendo 
( ) ( ){ }0;0;0;4;4:,, 22223 ≥≥≥≥++−≤−ℜ∈= zyxyxyxzzyxE 
22. Calcular ∫∫∫
E
dxdydz , sendo 
( )








≥≥≥≥
+
≤++ℜ∈= 0;0;0;
3
;9:,,
22
2223 zyxz
yx
zyxzyxE 
23. Calcular ∫∫∫
E
dxdydz , sendo 
( ){ }0;164:,, 2223 ≥≤+≤+ℜ∈= zyxxzyxE 
24. Calcular ∫∫∫
E
dxdydz , sendo 
( ) ( ) ( ){ }0;0;0;94:,, 223 ≥≥≥−−≤+≤−−ℜ∈= zyxzyxzzyxE 
25. Calcular ∫∫∫
E
dxdydz , sendo 
( ){ }xyxzyxzzyxzyxE 3;3;164:,, 22222223 ≤≤≤+≤≤++≤ℜ∈= 
26. Calcular ∫∫∫
E
dxdydz , sendo ( ){ }1;4:,, 22223 ≥−≤+≤ℜ∈= zzyxzzyxE 
27. Calcular ∫∫∫
E
dxdydz , sendo 
( ) ( ){ }0;0;30;44:,, 2223 ≥≥≤≤−−≤+≤−ℜ∈= yxzzyxzzyxE 
28. Calcular ∫∫∫
E
dxdydz , sendo 
( ){ }yxxyxzyxzyxE ≤≤≤≤−−≤≤−−ℜ∈= 0;40;84:,, 22223 
29. Calcular ∫∫∫
E
dxdydz , sendo 
( ){ }0;20;4:,, 223 ≥+≤≤≤+ℜ∈= xyzyxzyxE 
30. Calcular ∫∫∫
E
dxdydz , sendo 
( ) ( ){ }0;0;4;11:,, 222223 ≥≥≤++≤+−ℜ∈= zyzyxyxzyxE 
 
 
IV. APLICAÇÃO DO INTEGRAL TRIPLO 
 
Calcule a massa de cada uma das seguintes regiões, sendo que para 
cada caso é indicada a densidade de massa. 
 
12. Calcular a massa do corpo limitado pela superfície do cone
( ) 2222 yxz +=− , no plano ( ) .,,,0 zzyxcorpodoplanoosez == δ 
 
Resolução 
 
O vértice cone encontra – se no ponto O (0, 0, 2) e a intersecção do 
cone com plano z = 0 é igual a circunferência de equação: 422 =+ yx 
 
 
 z 
 
 
 2 
 
 
 
 
 
 
 y 
 2 
 
 
 x 
 
A superfície do corpo em análise é : 222 yxz +−= , sendo assim 
termos: 
( )
π
ρ
ρρπ
ρρρπρρϕϕρρ
π ρ
3
4
0
2
43
4
2
2
4
32
2
0
2
0
2
0
2
0
2
=





+−=
−==== ∫∫∫ ∫∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫
−
V V
ddzzdddzddzdzdydxzm
 
 
 
Nota: Para Calcular as coordenadas do centro de massa de um dado 
corpo, no espaço R3 cujo volume em relação a densidade ( )zyx ,,δδ = , 
utilizam – se as fórmulas: 
 
( )
( )∫∫∫
∫∫∫
=
V
V
C
dvzyx
dvzyxx
x
,,
,,
δ
δ
; 
( )
( )∫∫∫
∫∫∫
=
V
V
C
dvzyx
dvzyxy
y
,,
,,
δ
δ
; 
( )
( )∫∫∫
∫∫∫
=
V
V
C
dvzyx
dvzyxz
z
,,
,,
δ
δ
 
As grandezas: 
 
( )∫∫∫=
V
x dvzyxxM ,,δ ; ( )∫∫∫=
V
y dvzyxyM ,,δ ; ( )∫∫∫=
V
z dvzyxzM ,,δ 
Denominam – se momento estatístico do corpo em relação as 
coordenadas dos planos x0y, y0z e x0z, se ( ) constzyx =,,δ , ou seja, as 
coordenadas do centro de massa não dependem da densidade do corpo 
V. 
 
13. Calcular as coordenadas do centro de massa do sólido V limitado 
pela superfície dada pela equação: 4;22 =+= xzyx 
 
 
 z 
 
 
 y 
 x = y2 +z2 
 
 
 
 
 0 x 
 
 
 
 
 
Resolução: 
 
A região V está limitada pela superfície de um paraboloide em relação 
ao plano x = 4. A sua projeção no plano y0z é representada pela 
circunferência de equação 422 =+ zy . Calculemos primeiro a massa do 
sólido usando coordenadas cilíndricas, considerando que a sua 
densidade é: 1=δ 
 
( ) πρρπρρρπρρϕ
π
ρ
8
0
2
4
2242
2
0
2
0
4 2
0
4
22
2
=





−=−=== ∫∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫
V
ddxdddzdydxm
 
Logo: 
 
( )
3
8
0
2
6
8
8
1
16
8
1
4
2
1
2
8
1
8
11
6
2
2
0
2
4 2
0
2
2
2
0
2
0 2
=





−=−
=





⋅===
∫
∫∫∫ ∫ ∫∫ ∫
ρ
ρρρρ
ρ
ρ
ρπ
π
ρρϕ
π
ρ
π
d
dxdxxdddzdydxx
m
x
V
C
 
Analogamente se determina CC zey . Mas o corpo é uniforme e 
simétrico em relação ao eixo 0x, então pode – se imediatamente 
considerar que 00 == CC zey 
Nota: Para determinar o momento de inércia de um dado corpo V ϵ R3 
de densidade δ(x, y, z) define – se pela fórmula: 
( ) ( )∫∫∫ ++=
V
dzdydxzyxzyxI ,,2220 δ 
O momento de inércia em relação aos eixos 0x, 0y e 0z, determinam – 
se da seguinte forma: 
( ) ( )∫∫∫ +=
V
x dzdydxzyxzyI ,,
22 δ 
( ) ( )∫∫∫ +=
V
y dzdydxzyxzxI ,,
22 δ 
( ) ( )∫∫∫ +=
V
z dzdydxzyxyxI ,,
22 δ 
O momento de inércia em relação aos planos 0xy, 0yz e 0xz, 
determinam – se da seguinte forma: 
( )∫∫∫=
V
xy dzdydxzyxzI ,,
2 δ 
( )∫∫∫=
V
yz dzdydxzyxxI ,,
2 δ 
( )∫∫∫=
V
xz dzdydxzyxyI ,,
2 δ 
14. Calcular o momento de inércia de uma esfera uniforme de raio R e 
peso P em relação ao seu centro e diâmetro. 
Tendo em conta que o volume da esfera é igual a 
3
3
4
3
3
4
Rg
p
Rv
π
δπ =⇒= 
Juntemos o centro da esfera na origem das coordenadas, logo a 
superfície esférica fica dada pela expressão: 
2222 Rzyx =++ 
Assim sendo o momento de inércia em relação ao centro da esfera, 
calcula – se preferencialmente pelas coordenadas esféricas: 
( ) ( )
∫ ∫ ∫
∫∫∫∫∫∫
=⋅⋅==
==++=
π π
πδθθϕδ
θϕθδδ
2
0 0 0
2
5
4
4222
0
5
3
5
22
,,
R
VV
R
g
PR
drrdsend
dddrsenrdzdydxzyxzyxI
 
Em consideração ao facto de que a esfera é uniforme e simétrica em 
relação a origem das coordenadas, então os momentos de inércia em 
relação a qualquer diâmetro, são iguais. Desta forma, vamos calcular por 
exemplo o momento de inércia em relação ao diâmetro adjacente ao 
eixo 0z. 
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2
0
3
5
2
52
0 0 0
43
2222222
5
2
cos
3
1
cos
5
2coscos1
5
2
,,
R
g
P
R
d
R
drrdsend
dddrsenrsenrdzdydxyxdzdydxzyxyxI
R
V VV
z
⋅⋅=
=





−⋅−=−−=
==+=+=
∫∫ ∫ ∫
∫∫∫ ∫∫∫∫∫∫
ππ π
θθπδθθπδθθϕδ
θϕθθδδδ
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS PARA RESOLVER 
Calcule a massa de cada uma das seguintes regiões, sendo que a 
densidade da massa é indicada em cada caso. 
31. ( ){ } ( ) yzzyxdyxyxyxzzyxW 3,,;0;0;42;60:,, 3 =≥≥≤+−−≤≤ℜ∈= 
32. ( ){ } ( ) 1,,;0:0;2363:,, 3 +=≥≥−−≤≤+ℜ∈= xyzyxdyxyxzyxzyxW 
33. ( ){ } ( ) 2,,;20;;4:,, 3 −+=≤≤≥≤++ℜ∈= yxzyxdzxyzyxzyxW 
34. ( ) ( ) ( ) 1,,;0;0;3
9
1
;9:,, 22223 −=






≥≥≤≤+≤+ℜ∈= zzyxdyxzyxyxzyxW 
35. ( ){ } ( ) 4,,;4;162:,, 22223 =≥+−−≤≤ℜ∈= zyxdyxyxzzyxW 
Calcule o momento de inércia em relação ao eixo Oz, por cada um dos 
sólidos definidos pelas seguintes regiões, sendo que em todos os casos 
se considera que d(x, y, z) = k. 
36 ( ){ }0;0;1:,, 3 ≥≥≤≤+ℜ∈= yxzyxzyxW 
37. ( ){ }0;:,, 2223 ≥≤+≤ℜ∈= zayxzzyxW 
38. ( )






≤≤≤++ℜ∈= xyzyxzyxW
3
1
0;9:,, 2223 
39. Calcule o momento de inércia em relação ao eixo Ox, do sólido 
definido pela região, comum com os cilindros. A densidade de massa de 
cada ponto é considerada constante. 
222
222
azx
ayx
=+
=+
 
 
 
 
 
 
 
 
V. INTEGRAL AO LONGO DE UMA CURVA OU DE LINHA 
 
Esta integral recebe o nome a partir do domínio de integração. Já conhecemos 
as integrais definidas em R, ( )∫
b
a
dxxf donde o domínio de integração é 
constituído por intervalos acotados em R2 e integra – se no plano,
 ( )∫∫
R
dxdyyxf , . Em R2 se pode integrar também sobre curvas. 
Existem dois problemas da física que se caracterisam pelas integrais ao longo 
de uma linha: 
 
1. Conhecer a massa de um arame fino a partir da densidade de cada 
ponto. 
2. Conhecer o trabalho realizado por uma força ao transladar uma partícula 
entre dois pontos por um caminho perfilado. 
A resolução do primeiro caso, gerou o conceito de integral de linha do 
primeiro tipo e o segundo, de integral de linha do segundo tipo. 
O primeiro conceito necessário e que deve ser dominado é relativo a Curva. 
Curva: é todo conjunto K 
 
 
 
 
 
 
14 Calculara integral curvilínea 
( ) ( ) ( ) ( )∫ +=+=+ yxyxQeyxyxPondedyyxQdxyxP24,22,:,,, Sendo 
 a trajetória C(OABO), limitada pelas linhas 
0:;16:;4: 2 === xBOyABxyOA 
 
 
 
Calculando o valor do integral ao longo da sua tragectória, no sentido 
anti horário, teremos: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( )[ ] ( )
( ) ( )
( ) ( )
3
128
256644256
3
320
4
16
0
2
0
32
0
2
64
3
40
232264402
202161622162
4422422422
22432
2
0
0
2
0
16
32
222
−+−





++=+++





++
=+++++
=+⋅+++++
+++=+++
∫ ∫ ∫
∫∫
∫ ∫
yxxxxx
dyydxxdxxxx
dyydydxdxx
xdxxdxxxdyyxdxyx
BOAB
OABO OA
 
Calculando o valor do integral aplicando o Teorema de Green, teremos: 
( ) ( ) ( )
( )
3
128
3
8
88
0
2
3
48482
4
16
2
224,,
3
0
2
2
2
0
16
4
2
0 2
=





−=





−=−=⋅
==−=





∂
∂
−
∂
∂
=+
∫∫
∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫
x
xdxx
x
ydx
dydxdydxdydx
y
P
x
Q
dyyxQdxyxP
xD D
 
15. Calcular o valor do integral curvilíneo ao longo sua trajectória, a linha 
C e utilizando o Teorema de Green. 
( ) ( )∫ −+++=
C
dzzdyzydxzxJ 122242 , sendo:





≤≤=
=
=
π206
42
4cos2
:
ttz
tseny
tx
C 
Resolução 
( ) ( )
( )( ) ( ) ( )[ ]
( )
( )∫ ∫∫ ∫
∫
∫
∫








−+−=−+−
=−+⋅+−−
=⋅⋅⋅−⋅⋅++⋅−+
=−+++=
π ππ π
π
π
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
94cos24448274cos641216
274cos64cos424124cos4216
66124cos421244442244cos4
122242
tdtdtttdttsentdtttttsent
dttttttsentsentttsen
dttdttttsendttsentt
dzzdyzydxzxJ
C
 
Avaliemos este exercício em duas formas, as quais fluem pelo método 
de integração por partes. 
( )
( )
( )
( )∫
∫ ∫
∫
∫∫
===
==
+=⋅−==
−===
==
+−=⋅+−==
tsentdtvdttdv
dtdutufazendo
ttsenttdtsentsentdtttJ
ttdtsenvdttsendv
dtdutufaçamos
tsen
tttdtttdttsentJ
4
4
1
44cos
4
1
;4cos
;
4cos
16
1
4
4
1
44
4
1
4
1
4
4
1
4cos
4cos
4
1
44
4
1
;4
;
416
1
4cos
4
1
44cos
4
1
4
1
4cos
4
1
4
2
1
 
Voltando a integrar J, incorporando estes cálculos em duas integrais, 
teremos: 
ππ
ππ
18
8
1
248
4
1
8cos248
4
1
4cos48
cos
4
1
448
2


−+=






−=



−=






−−=
sentt
tJ
 
16 Calcular (∫ −
C
yx
ate B(3,4). 
A equação da recta definida pelos pontos A e B tem a forma 
4
3
;
4
3
== dyxy Assim sendo: 
( )∫ ∫

−=−
4
0
xdSyx
C
17 Calcular ∫
C
ydyx
∫ −
==
C
xdxyydyxLogo
senytx
22
:
;cos
 
( )ππ
πππππ
π
9196
8
1
4
2
9
8cos
8
1
82
2
1
8
4
1
0
2
2
9
4cos
8
1
4
2
1
4
2
9
4cos
16
1
4
4
1
24
16
1
4cos
2
2
−=


−



−


−+⋅⋅+
=


−++
−





++


+
sensen
ttttsentsen
tttsenttsent
)dSy , sendo C o segmento de recta que vai de A(0,0), 
A equação da recta definida pelos pontos A e B tem a forma 
Assim sendo: 
∫ ===+

4
0
2
2
5
0
4
32
5
16
5
16
9
1
4
3
xxdxdxx 
− xdxyydy 2 , sendo C dada pela expressão: 
∫ 


⋅⋅+⋅=
=−=≤≤
ttsen
tsen
t
tsentxdx
sen
dy
t
tsen
dxassimttsen
π
π
2
0 2
cos
2
cos
cos
2
cos
;
cos2
:,
2
0,
π
0cos
8
1
0
2
2
=








=


t
 
C o segmento de recta que vai de A(0,0), 
 
A equação da recta definida pelos pontos A e B tem a forma 
Assim sendo: 
 
=



dt
t
tsen
tsen
t
π
4cos2
cos
 
18. Calcular
(
(
∫=
3,2
1,1
I
trajectória porque 
:
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
y
P
sejaou
x
Q
y
P
Neste caso, escolhemos como trajectória de integração, a linha paralela 
ao eixo de coordenadas. Assim teremos na primeira parte 
10.1 ≤⇒== xdyy
10;2 ≤⇒== ydxx
( ) (
5,435,062
3
3
1
2
1
+−−+=
++= ∫∫ ydxxI
19. Calcularutilizando a fórmula de Green
( )∫ ++=
C
dxyxI 222
vértices são: A (1,1), B (2,2) e C (1,3), percorrido no sentido anti horário. 
Verificar o resultado achando o valor do integral ao longo do contorno.
 
( ) ( )
)
)
+++
3
1
33 dyxydxyx .Este integral não depende da sua 
 
( ) ( ) 3333 =+
∂
∂
=
∂
∂
=+
∂
∂
=
∂
xy
xx
Q
eyx
yy
P
Neste caso, escolhemos como trajectória de integração, a linha paralela 
ao eixo de coordenadas. Assim teremos na primeira parte 
2≤x , na segunda parte 
3≤y , por conseguinte: 
)
5,2065,0185
1
3
6
21
2
3
2
6
22
=−−+
=





++





+=+ y
y
x
x
dyy
 
 
utilizando a fórmula de Green 
( )+ dyyx 2 , sendo C os contornos de um triângulo cujos 
vértices são: A (1,1), B (2,2) e C (1,3), percorrido no sentido anti horário. 
Verificar o resultado achando o valor do integral ao longo do contorno.
.Este integral não depende da sua 
 
Neste caso, escolhemos como trajectória de integração, a linha paralela 
ao eixo de coordenadas. Assim teremos na primeira parte 
da função 
 o integral 
C os contornos de um triângulo cujos 
vértices são: A (1,1), B (2,2) e C (1,3), percorrido no sentido anti horário. 
Verificar o resultado achando o valor do integral ao longo do contorno. 
 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )∫ ∫∫ −=+++=
−=−+=
∂
∂
−
∂
∂
+=
∂
∂
⇒+==
∂
∂
⇒+=
C C
dydxyxdyyxdxyxI
entãoyxyyx
y
P
x
Q
formadesta
yx
x
Q
yxyxQy
y
P
yxyxP
22
:;242
2)(,;42,
222
222
 
De realçar que a região C é o triângulo ABC. A equação da recta AB: y = 
x; a recta BC: y = - x+4. Expressemos o integral de acordo com a região 
descrita, ou seja, calculemos a área do triangulo do ponto de vista 
verticalmente simples. 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
3
4
1
2
4
3
1
24444
2
1
4
2
1
42
4
2
1
2222
2
1
322
2
1
22
2
1
4 2
1
2222
−=



−−=−−=



+−−−−=
=
−




−=−=−=+++=
∫∫
∫ ∫ ∫∫ ∫∫
−
xxxdxxxdxxxxxx
dx
x
x
yxydyyxdxdydxyxdyyxdxyxI
x
xC C
 
Determinemos agora o valor do integral ao longo das linhas AB,BC e CA 
sendo que: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
13,01:
;12,4:
;21,:
:
222
222222222
≥≥=⇒=
≥≥−=⇒+−=
≤≤=⇒=
+++++++++++= ∫∫ ∫
ydxxCA
ydxdyxyBC
xdxdyxyAB
aqui
dyyxdxyxdyyxdxyxdyyxdxyxI
CAAB BC
Desta forma teremos que: 
( ) ( )[ ] ( )[ ] ( ) ( ){ } ( )
( ) ( ) ( )
3
4
3
1
1
3
1
1
2
168
3
4
3
8
1161648
14422
2
1
1
2
1
3
3233222
1
3´
2
2
1
1
2
222222
−=
=



++



−+−=+++−+=
=++−+−+−+++++=
∫ ∫ ∫
∫∫ ∫
yxxxxdyydxxxdxx
dyydxxxdxxxdxxxdxyxI
 
21. Calcular o integral ∫ +−
C
dyxyydxx 22 , sendo C dada pela equação da 
circunferência x2 +y2 = 4, percorrida no sentido anti-horário. 
 
( )
∫∫
∫
⋅=
≤≤



=
=
+−=
−=
ρ
θ
θρ
θρ
2
22
2
:
0;
cos
:
,,
IqueDaí
seny
x
circunferêumaRSendo
dyxyydxxI
formaDesta
yxyxPAqui
R
C
22. Encontrar o valor do
circunferência de equação
Resolução: 
( )
( ) 1,
1
,
yx
yxQ
yx
yxP
∂
∂
⇒
+
=
∂
∂
⇒
+
=
O valor deste integral não depende da sua trajectória porque
Assim sendo: 
 
( )
( )
∫∫ ∫
∫∫
=⋅===
≤
+=
+=
∂
∂
−
∂
∂
⇒=
ππ
πθρρρθθρρ
π
2
0
4
2
0
2
0
3
22
222
24
0
2
4
1
2
,
,;
ddddd
polaresscoordenadaparapassamosnciacircunferê
dxdyyxdy
yx
y
P
x
Q
xyyxQy
R
Encontrar o valor do integral curvilíneo ∫ +
+
C
yx
dydx
, 
circunferência de equação 2522 =+ yx . 
( )
( )2
2
1
1
yxx
Q
yxy
P
+
−=
∂
∂
+
−=
∂
∂
 
O valor deste integral não depende da sua trajectória porque
= π8
:, sejaoupolares 
, ao longo da 
O valor deste integral não depende da sua trajectória porque
x
Q
y
P
∂
∂
=
∂
∂
 
Assim sendo, escolhemos outra trajectória mais sensível ao cálculo do 
integral que se pretende. Tomamos como curva C, a poligonal que une 
os segmentos de recta 
( )
( )
5:
5:
5:
5:
4
3
2
1
−=
+−=
+=
−−=
xyK
xyK
xyK
xyK
 
Desta forma: +
+
∫
C
x
dx
Expressamos estes integrais em função de uma única variável e para 
isso elegemos a variável 
( )
( )
5:
5:
5:
5:
4
3
2
1
=⇒−=
⇒+−=
=⇒+=
⇒−−=
dyxyK
dyxyK
dyxyK
dyxyK
Consequentemente:
Integrando, teremos:
Assim sendo, escolhemos outra trajectória mais sensível ao cálculo do 
integral que se pretende. Tomamos como curva C, a poligonal que une 
os segmentos de recta K1, K2, K3, K4, cujas equações são: 
=
+
+
y
dy
+
+
+
∫
1K
yx
dydx
+
+
+
∫
2K
yx
dydx
+
+
+
∫
3K
yx
dydx
∫
4K
Expressamos estes integrais em função de umaúnica variável e para 
isso elegemos a variável x. Assim teremos: 
0
0
→=
−=
→=
−=
dx
dxdy
dx
dxdy
 
Consequentemente: =+
+
∫
C
yx
dydx
∫ ∫∫
+
=
−+
+
=
++
+
−− 5
0
5
0
5
0
55
x
dx
xx
dydx
xx
dydx
Integrando, teremos: 
 
Assim sendo, escolhemos outra trajectória mais sensível ao cálculo do 
integral que se pretende. Tomamos como curva C, a poligonal que une 
, cujas equações são: 
+
+
yx
dydx
 
Expressamos estes integrais em função de uma única variável e para 
∫
−
=
+
5
0
2
5
2
5
x
dxdx
 
=
+
+
∫
C
yx
dydx
ln
0
5
2
5
ln −+
−
+ xx
23 Calcular o integral 
os pontos A(0,0), B(1,2) e C(5,3) no sentido 
ordem. 
:
74:
2:
:
Logo
dxyxBC
dyxyAB
Aqui
⇒−=
=⇒=
( ) ( )[
( ) ([
2
23
0
1
2
2
22
1
0



−+





=
−++=
−++
∫
∫
yx
xdxxx
yxdxyx
C
 
 
 
0ln
2
5
5ln
2
5
0ln
2
5
5ln
0
5
2
5
−−−++−+−=
integral ( ) ( )[ ]∫ −++
C
dyyxdxyx , sendo C a poligonal que une 
os pontos A(0,0), B(1,2) e C(5,3) no sentido directo, ou seja na mesma 
;32,4
;10,2
ydydx
xdx
≥≥=
≤≤
 
) ] ( ) ( )[ ] ( )[
) ] ( ) ( )[
23
2
45
2
1
2
3
35
7447422
3
2
=+=


+−++−+−
+++−++=
∫
∫ ∫
y
dyyydyyydxx
dxyxdyyxdxyxdy
AB BC
0
2
5
= 
C a poligonal que une 
directo, ou seja na mesma 
 
( ) ]
] ( )3523
1
0
3
2
−+=
=−+
∫ ∫ dyyxdxdy
dyyx
EXERCÍCIOS PARA RESOLVER 
Calcular os seguintes integrais de linha: 
164.Calculara integral ( )∫∫ +−
AB
dyxydxyx 22 , sendo a trajetória percorrida 
desde o ponto A(1,1) até ao ponto B(3,4), um segmento de reta. 
165. Calculara integral ( ) ( )∫∫ ++−
OAB
dyyxdxyx
22 , sendo a trajetória 
percorrida ao longo da linha OAB, onde O (0,0); A (2,0) e B (4, 2). 
166. Calculara integral ( )∫∫ +−
K
dyxyydx 2 , sendo K a parábola 22 xxy −=
percorrida no sentido anti-horário. 
167. Calculara integral ∫∫ +
K
dyxydx 2 , sendo K percorrida no sentido anti 
horário ao longo da figura limitada pelas linhas 1
23
;1
23
±=−±=+
yxyx
 
168. Calculara integral ∫∫ −
K
ydxxdy 32 , sendo K contorno do triangulo de 
vértices A(1,2), B(3,1) e C(2,5) percorrido no sentido anti-horário. 
169. Calculara integral ∫∫ −
K
y
dx
x
dy
, sendo K o IºQ da circunferência 
trxtrseny cos; == percorrida no sentido anti-horário. 
170. Calculara integral ∫∫ +
K
dyxdxyx 22 , sendo K a linha que limita as 
parábolas yxxy == 22 ; 
171. Calcularusando a fórmula de Green o integral 
( )[ ] ( )dyyxydxyxx
C
2222 lnln ++++∫ , sendo C os limites da região D. 
172. Calcular o integral ∫ +
K
ydxxdy , por duas trajetórias diferentes: 
a. Ao longo da circunferência txsenty cos; == 
b. Pelos contornos de uma porção da parábola 12 == ylinhadaexy . 
173. Calculara integral ( )∫∫ +−
K
dyxyydx 2 , sendo K a parábola 22 xxy −=
percorrida no sentido anti-horário. 
174. Calculara integral ( )∫∫ +−
K
dyxyydx 2 , sendo K a parábola 22 xxy −=
percorrida no sentido anti-horário. 
175. Calculara integral ( )∫∫ +−
K
dyxyydx 2 , sendo K a parábola 22 xxy −=
percorrida no sentido anti-horário. 
176. Calculara integral ( )∫∫ +−
K
dyxyydx 2 , sendo K a parábola 22 xxy −=
percorrida no sentido anti-horário. 
177. Calculara integral ( )∫∫ +−
K
dyxyydx 2 , sendo K a parábola 22 xxy −=
percorrida no sentido anti-horário. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TEOREMA DE STOKES 
 
Este teorema relaciona a integral de linha de um campo vetorial ao redor de 
uma curva fechada simples C em IR3, com a integral sobre uma superfície S da 
qual C vem sendo sua fronteira. 
Teorema de Stokes 
 Seja S a superfície orientada definida por uma função C2, z = f (x, y) donde 
(x, y) está em D, e seja F um campo vetorial C1 em S. Então, se C é a curva 
fronteira orientada de S tem se que ∫∫∫∫∫ ⋅=⋅∇=⋅
CSS
ds d )x ( d rot FSFSF 
A última integral corresponde a integral ao redor de C da componente 
tangencial de F, enquanto a segunda integral corresponde a componente 
normal da rotacional do campo vetorial F sobre a superfície S. 
Exemplo: 
 Seja F(x,y,z) = (y ez, + xez, xyez), mostrar que a integral ao redor de 
uma curva fechada simples orientada C, que é a fronteira de uma superfície S 
é 0. 
Solução: 
 ∫ =⋅=∂
∂
∂
∂
∂
∂
=∇
C
0 F 0
kji
F dsque modo de 
xyexeye
zyx
 
 x 
zzz
 
 Exemplo 
 Use o teorema de Stokes para avaliar a integral de linha 
)z - x (-y
C
333∫ + dzdydx onde C é a interseção do cilindro x2 + y2 = 1 e o plano x + 
y + z = 1, com C orientada no sentido anti horário no plano xy. 
 
Solução: 
 A curva C contém a superfície S definida por z = 1 – x – y = f(x,y), com 
(x,y) tal que x2 + y2 ≤ 1 y F(x,y,z) = (-y3 , x3 , -z3 ), cujo rotor es ∇x F = (0, 0, 
3x2 + 3y2 ), usando o teorema de Stokes: )z - x (-y
C
333∫ + dzdydx = 
2
32π
0
1
0
drdθ
3
3r 
C
dydx ) 
2
3y 
2
(3x
π
=∫ ∫=∫∫ + podemos verificar este resultado 
avaliando directamente a integral de linha, parametrizando a fronteira de C por 
x(t) = cos t , y(t) = sen t , z(t) = 0 , para 0 ≤ t ≤ 2π, tem se que a curva C fica 
parametrizada por x = cós t, y = sem t , z = 1 – sen t – cós t, para 0 ≤ t ≤ 2π, 
então: 
)(
C
3
z - 
3
 x 
3
-y∫ + dzdydx = [ ]
2
3π
d sentcost(
3
cost)sent(1(cost)
3
(cost)sent)(
3
sent)(
2π
0
t =+−−−−+−−∫ 
 
Teorema de Stokes para superfícies parametrizadas 
Seja S uma superfície orientada definida por uma parametrização biunívoca Φ: 
D ⊂ IR2�S se C é a fronteira orientada de S, F um campo vetorial C1 em S 
então 
 
∫∫∫ ⋅=⋅∇
CS
ds d )x ( FSF 
 
Ejemplo: 
24. Seja S a superficie esférica de raio 1, con D = {(x,y)/ x2 + y2 ≤ 1}, 
percorrida no sentido anti horario y F = ( y ,-x , exz) 
 
Solucção: 
∫∫∫∫∫ =⋅∇==




−=⋅
S
2
0
22
2π
0
2- dx( portanto ,2- dt t)cos - t (-sen dt 
dt
dy
x 
dt
dx
y d π
π
π SF)sF
C
 
 
Com o teorema de Stokes é possível dar uma interpretação física do rotor de 
uma função. Por exemplo se V é um campo de velocidade num fluido, então a 
circulação d∫ ⋅
C
sV é a velocidade do fluido ao redor da fronteira de S, de modo 
que o rot V ⋅ n representa o efeito de giro ou rotação do fluido ao redor do eixe 
que contém n. 
 
Definição (Circulação e rotacional) 
 Rot V(P) ⋅ n(P) é a circulação de V por unidade de área em P em uma 
superfície perpendicular a n(P) 
 
Exemplo 
25. Sejam E e H os campos magnéticos e elétrico que dependem do tempo 
respetivamente, no espaço. Seja S uma superfície com fronteira C, define se a 
voltagem ao redor de C e o fluxo magnético através de S como 
∫∫∫ ⋅∧⋅
SC
d d SHsE respectivamente, a Lei de Faraday afirma que a voltagem 
ao redor de C é igual ao oposto da razão da troca de fluxo magnético através 
de S. Mostre que a lei de Faraday se deduz da seguinte equação diferencial 
i
 - x 
∂
∂
=∇
H
E 
 
Solução: 
 
 d ) x ( d Stokes, de teoremao usando , x 
i
 - 
C S
SEsE E
H
⋅∇=⋅∇=
∂
∂
∫ ∫∫ 
 Se derivarmos em ordem a t a integral ∫∫ ⋅
S
dSH , e supondo que se pode inter 
cambiar 
t∂
∂
 
∫∫∫∫∫ ∫∫ ∫∫∫ ⋅∂
∂
−=⋅⋅=⋅∇=⋅
∂
∂
=⋅
∂
∂
−
SCS S CS
 d
t
d integrando dd)x(d
t
- d
t
SHsEsESES
H
SH
 tem se a lei de Faraday. 
 
CAMPOS CONSERVATIVOS 
 
Teorema (Campos Conservativos) 
Seja F um campo vectorial C1 definido em IR3 exceto eventualmente num 
número finito de pontos, as seguintes condições sobre F são equivalentes: 
i) 0 d
C
=⋅∫ sF para qualquer curva fechada simples orientada C. 
ii) ∫∫ ⋅=⋅
21 CC
d d sFsF , para qualquer par de curvas C1 e C2 que tenham os 
mesmos pontos finais. 
iii) F = ∇f, isto é, F é o gradiente de alguma função f( se F não está 
definida em algum ponto tão pouco f está definida nesse ponto) 
iv) ∇x F = 0 
Um campo vectorial que satisfaça uma das condições i, ii, iii, iv, se denomina 
Campo vectorial Conservativo. A função f se chama potencial para F. 
 
As interpretações físicas da integral de linha∫ ⋅
C
dsF , como o trabalho realizado 
por uma força F ao mover uma partícula ao longo de C, outra é o conceito de 
Circulação, no qual F é o campo de velocidade de um fluido, F ⋅∆s é 
aproximadamente a componente tangencial de F por ||∆s|| , a circulação ∫ ⋅
C
dsF 
é a componente tangencial ao redor de C, por exemplo, una pequena roda com 
aspas colocadas num fluido girará se está centralizada num ponto onde F se 
anula e se a circulação do fluido é diferente de zero, ou ∫ ⋅
C
dsF ≠0 para 
pequenos laços C, similarmente, na teoria eletromagnética , se F representa 
um campo elétrico então uma corrente fluirá ao redor de um lasso si ∫ ⋅
C
dsF ≠ 0 
 
Um campo F não tem circulação se e só se rot F = ∇ x F = 0 , daqui que um 
campo vectorial F com rot F = 0 se denomine irrotacional. 
 
 
 
Teorema 
 Um campo vetorial F em IR3 é irrotacional se e só se é um campo gradiente 
para alguma função f , quer dizer, se e só se F = ∇f. 
 
Exemplo 
 
26. Considere o campo vectorial F em IR3 dado por F(x,y,z) = (y, zcos(yz) + x, 
y cos(yz), demonstrar que este campo é irrotacional e determine um potencial 
escalar para F 
 
Solução 
 
O rotor de F é zero (calcule-o), de modo que o campo F seja irrotacional , 
portanto existe um potencial f , sabemos que se pode resolver o sistema de 
equações: 
yz cosy 
z
f
 , yz zcos x 
y
f
 y, 
x
f
=
∂
∂
+=
∂
∂
=
∂
∂
 estas equações são equivalentes a: 
f(x,y,z) = xy + h1(y,z) , f(x,y,z) = sen yz + xy + h2(x,z) , f(x,y,z) = sen yz + 
h3(x,y) para funções h1 , h2 , h3 , independentes de x, y , z respetivamente. 
Seja f(x,y,z) = xy + h1(y,z) (*) y yz cosy 
z
f
=
∂
∂
, se determina que 
ycosyz
z
z)(y,
1
h
=
∂
∂
, integrando h1(y,z) = ∫ +=+ g(y)senyzg(y)ycosyzdz , 
substituindo em (*) se tem que f(x,y,z) = xy + sen yz + g(y), mas por f(x,y,z) = 
sen yz + xy + h2(x,z) se tem que g(y) = h2(x,z), como o lado esquerdo 
depende da variável y, o lado direito depende de x ∧ z é claro que deve ser 
uma constante C, então se tem que f(x,y,z) = xy+sen yz+C, 
 
Teorema 
 Se F é um campo vectorial C1 em IR2 da forma (Pi + Qj ) com 
xy
P
∂
∂
=
∂
∂ Q
, 
então F = ∇f , para alguma função f definida em IR2 ( F deve ser suave em todo 
ponto, para IR2 não se permitem excepções como no caso de IR3) 
 
Exemplo 
27. Determinar se o campo vectorial: a) F= i exy + j ex + y b) F = (2 x cosy, 
x2sen y) 
 
Solução: 
 a) P(x,y) = exy , Q(x,y) = ex +y , de modo que calculamos, 
yx
e
Q +=
∂
∂
=
∂
∂
x
, xe
y
P xy 
 Dado que 
xy
P
∂
∂
≠
∂
∂ Q
 , se tem que F não tem função de Potencial. 
 b) Neste caso : 
x
y2xsen - 
y
P
∂
∂
==
∂
∂ Q
, de modo que F tem uma função de 
Potencial f, a qual é f(x,y) = x2 cos y + C . Porquê? 
 
Exemplo 
 28. Calcular a integral dyseny x-dx cosy x 2 d
c
2
c
∫∫ =⋅ sF , si c(t) = (et-1 , sen (
t
π
)), 1 ≤ t ≤ 2. 
Solução: 
 Como os pontos finais são c(1) = (1,0) y c(2) = (e,1), F é irrotacional. 
Porquê? logo F é um campo vectorial gradiente, logo c é substituível por 
qualquer curva C1 a pedaços que tenha os mesmos pontos finais, em 
particular, pela trajectória poligonal de (1,0) a (e,0) a (e,1) , portanto: 
 ∫ ∫∫ −+=⋅
e
1
1
0
2
c
dtsent edt 2tcos0dsF = (e2 – 1) + e2(cos1 – 1) = e2 cos 1 – 1 
Avaliar a integral usando o teorema fundamental (obter previamente a 
função potencial 
para F) 
 
 
Teorema: 
 
 Se F é um campo vectorial C1 em IR3 com div F = 0, então existe um campo 
vectorial G de classe C1 tal que F = rot G. 
 
TEOREMA DE GAUSS 
 
 
 O teorema de Gauss assegura que o fluxo de um campo vectorial para fora de 
uma superfície fechada é igual a integral de la divergência desse campo 
vectorial sobre o volume fechado pela superfície, este é um resultado paralelo 
ao teorema de Stokes e ao teorema de Green, no sentido que relaciona uma 
integral sobre um objeto geométrico fechado (curva ou superfície) com uma 
integral sobre uma região contida (superfície o volume) 
 
 
 
 
 
Teorema de Gauss da Divergencia 
 
Seja U uma região elementar simétrica no espaço, e seja ∂U a superficie 
fechada orientada que acota a U, F um campo vectorial suave definido em U. 
Então: 
( ) ∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫
∂∂
⋅=⋅=⋅∇
UUU
U
dS )( dV ) (divbien o d dV nF FSFF 
 
Exemplo 
 Sea F = 2xi + y2j +z2k y S a esfera unitaria dada por x2 + y2 + z2 = 1 avaliar 
∫∫
∂
⋅
U
dS )( nF 
Solução 
 Pelo teorema de Gauss ∫∫ ∫∫∫
∂
=⋅
U U
dV ) (div dS )( FnF donde U é a bola 
acotada pela esfera, a integral da direita é 
3
8
 z)dVy(12
U
π
=++∫∫∫ . 
Exemplo 
29. Usar o teorema da divergencia para avaliar ∫∫
∂
++
U
2
dS ) zy (x com U a 
bola sólida x2 + y2 + z2 ≤ 1 
 
Solução: 
 
 Para aplicar o teorema de Gauss da Divergencia, debemos encontrar algum 
campo vectorial F = F1 i + F2 j + F3 k em U com F⋅⋅⋅⋅n = x
2 + y + z em qualquer 
ponto (x,y,z) em ∂U, a normal unitaria exterior n a ∂U é n = xi + yj + zk 
(qualquer raio vector r é normal a esfera), portanto fazemos xF1= x
2 , yF2 = y , 
zF3 = z, resolvemos para F1, F2, F3 encontrando que F1= x , F2 = 1 , F3 = 1, 
cuya divergencia é 1, logo pelo teorema da divergencia se tem que 
∫∫
∂
++
U
2
dS ) zy (x = 
3
4π
 (U) volumedV
U
==∫∫∫ 
 
Nota: Se div F(P) > 0 existe um fluxo para o exterior próximo do ponto P 
considerado uma fonte de F . 
 Se div F(P) < 0 o ponto P se considera um sumidero de F 
 Se div F(P) = 0 numa superficie fechada se diz que o fluido é 
incompressível ali. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
VI. INTEGRAL DE SUPERFÍCIE 
 
Seja ( )zyxf ,, , uma função contínua e ( )yxfz ,= superfície plana S, 
onde ( )yxf , é dada num determinado domínio D do plano xOy. O 
integral de superfície de primeira espécie denomina-se o limite da soma 
com a condição de que 0max →kd : 
( ) ( )∑ ∫∫
=
→
=∆
n
k S
kkkk
d
dSzyxFSF
k 1
0max
,,,,lim ζηξ 
Onde →∆ kS é a área em que o elemento de superfície S no ponto
( )kkk ζηξ ,, , pertence a este elemento, →kd é o diâmetro deste elemento, 
Seja ( )zyxf ,, ,uma função contínua uma função definida em cada ponto 
da superfície S. 
O valor da integral de superfície não depende do lado em que se realiza 
a integração. Ela calcula – se pela fórmula: 
( ) ( )[ ] dydx
y
z
x
z
yxfyxFdSzyxF
S D
∫∫ ∫∫ 





∂
∂
+





∂
∂
+=
22
1,,,,, 
Nota: Observamos os dois lados da superfície S e escolhemos entre 
eles o lado S+. A função ( )zyxF ,, , ficará definida nos pontos de S+. 
O limite de integração da soma ( ) ( ) ( ) →∆Π∆Π∑
=
yxondeyxF k
n
k
kkkk ,,,,,
1
ζηξ é 
a projeção no plano XOY na qual o elemento de superfície S, tem a área
kS∆ ,na condição de que 0max →kd ,denomina – se Integral de superfície 
de segunda espécie e define – se no lado escolhido da superfície S, 
representa – se simbolicamente na forma: 
( )∫∫
+
S
dxdyzyxF ,, 
Se ( ) ( ) ( ) →zyxRezyxQzyxP ,,,,,,, funções contínuas e s+ - o lado da 
superfície plana S, e a direção característica da normal é 
( )γβα cos;cos;cosn então a correspondente integral de segunda espécie 
terá a forma: 
( )∫∫∫∫ ++=++
SS
dSRQPRdxdyQdzdxPdydz γβα coscoscos 
Ao passarmos para o outro lado da superfície S-, esta integral muda para 
o sinal contrário. 
Se a superfície S for dada na forma implícita, ( ) 0,, =Φ zyx , a direção do 
cosseno da normal a esta superfície, define – se pela formula: 
222
cos






∂
Φ∂
+





∂
Φ∂
+





∂
Φ∂
±
∂
Φ∂
=
zyx
xα 
222
cos






∂
Φ∂
+





∂
Φ∂
+





∂
Φ∂
±
∂
Φ∂
=
zyx
y
β 
222
cos






∂
Φ∂
+





∂
Φ∂
+





∂
Φ∂
±
∂
Φ∂
=
zyx
zγ 
Onde o sinal antes do radical deve ser de acordo com o lado da 
superfície. 
Nota: O momento de inércia da parte da superfície em relação ao eixode coordenadas, expressa – se pelo integral de superfície: 
( )∫∫ +=
S
ox dSzyI
22
 ; ( )∫∫ +=
S
oy dSzxI
22
; ( )∫∫ +=
S
oz dSyxI
22
 
Nota: As coordenadas do centro de massa da parte da superfície, pode 
– se determinar pelas fórmulas: 
∫∫=
S
xdS
S
x
1
; ∫∫=
S
ydS
S
y
1
; ∫∫=
S
zdS
S
z
1
 
Onde S, é a área da parte dada da superfície. 
Nota: A massa material da superfície é calculada pela fórmula: 
∫∫=
S
dSm γ 
Onde γ é a área da superfície. 
Nota: O momento estatístico da superfície em relação as coordenadas 
definem – se pelas fórmulas: 
∫∫=
S
xy dSzM γ ; ∫∫=
S
yz dSxM γ ; ∫∫=
S
zx dSyM γ 
Exemplos: 
30. Calcular ( )dSyxI
S
∫∫ += 22 , onde S – é a parte da superfície cónica 
dada pela expressão 10;222 ≤≤+= zondeyxz 
Resolução: 
Temos que 
( )
dxdydxdy
yx
yx
dxdy
yx
y
yx
x
dxdy
y
z
x
z
dS
yx
y
y
z
yx
x
x
z
yxz
2
2
11
;
22
22
22
2
22
2
22
2222
22
=
+
+
+
+
+
+=





∂
∂
+





∂
∂
+=
+
=
∂
∂
+
=
∂
∂
⇒+=
 
Assim sendo: 
( ) ( )∫∫∫∫ +=+=
DS
dydxyxdSyxI 22222 
A região de integração D será o círculo dado pela expressão 122 ≤+ yx 
Por isso 
( ) ( ) ∫ ∫ ∫∫∫∫∫ ===+=+=
2
0
1
0
2
0
32222
2
2
2242
π π
π
θρρθ ddddydxyxdSyxI
DS
 
 
 
31. Calcular ∫∫=
S
dydxzyxI 22 , pela parte superior da metade superior da 
esfera 2222 Rzyx =++ 
 
 
Resolução: 
A projeção da esfera no plano x0y é uma circunferência dada pela 
equação .222 Ryx =+ 
A equação da parte superior de esfera tem a forma 222 yxRz −−= 
Por esta razão dydxyxRyxdydxzyxI
SS
∫∫∫∫ −−== 2222222 
Passando para coordenadas polares, teremos: 
( )∫ ∫∫ ∫
∫∫∫∫∫∫
=−
−
=−
=−=−−==
2
0 0
72222
2
0 0
22522
222252222222
105
2
2
4cos1
cos4
cos
ππ
πθ
θ
ρρρθθθ
θρρθθρ
RR
DSS
RdtttRddRdsen
ddRsendydxyxRyxdydxzyxI
Nota: No cálculo de ρρρ
π
dR∫ −
2
0
225 , fez – se a substituição do tipo 
( )22422222 ;: tRdttdquedaítRtR −=−==−⇒=− ρρρρ 
 
32. Calcularo momento de inércia da metade superior de esfera
222 yxaz −−= , em relação ao eixo Oz. 
Resolução: 
Temos que
222 yxa
x
x
z
−−
−=
∂
∂
,
222 yxa
y
y
z
−−
−=
∂
∂
 
( ) ( )∫∫∫∫
−−
+=+=
−−
=
−−
+
−−
+=





∂
∂
+





∂
∂
+=
SS
oz dydx
yxa
a
yxdSyxI
yxa
dydxa
dydx
yxa
y
yxa
x
dydx
y
z
x
z
dS
22
2
2222
222222
2
222
222
11
A região de integração considera – se a projeção na metade da esfera 
no plano XOY, ou seja, 222 ayx ≤+ , por isso, passando para 
coordenadas polares obteremos: 
∫ ∫∫∫ =
−
=
−
=
2
0 0
4
22
3
22
2
3
4
4
π
π
ρ
ρρ
θθρρ
ρ
ρ
a
D
oz a
a
d
dadd
a
a
I 
33. Calcularas coordenadas do centro de massa da parte da superfície z 
= x limitada pelos planos 0,0,1 ===+ xyyx 
Resolução: 
Achemos a área da parte eleita da superfície :. Termosxz = 
0;1 =
∂
∂
=
∂
∂
y
z
x
z
 
 
Consequentemente 
( ) ( )
2
2
0
1
1
2
2
1221
1
0
2
1
0
1
0
22
=
=−−=−==





∂
∂
+





∂
∂
+= ∫∫ ∫∫∫
−
xdxxdydxdxdy
y
z
x
z
S
x
D
 
Finalmente: 
( )
3
1
0
1
3
1
2
1
2122
2
21
1
0
1
0
1
0
32 =



−=−=== ∫∫ ∫ ∫ ∫
−
S
x
xxdxxxdyxdxxdS
S
x 
( ) ( )[ ]
3
1
0
1
1
3
1
12
2
21
1
0
1
0
1
0
32
=−−=−=== ∫∫ ∫ ∫ ∫
−
S
x
xdxxdyydxydS
S
y 
3
111
=== ∫∫∫∫
SS
xdS
S
zdS
S
z 
(usando a equação do plano xz = ) 
34. Achar a massa da superfície esférica e o momento estatístico mxy, da 
parte superior da esfera, se a área da superfície em cada ponto é igual a 
distancia deste ponto ao diâmetro vertical. 
Resolução: 
Juntamente com a origem de coordenadas e o centro da esfera, 
orientamos o eixo Oz verticalmente passando para coordenadas 
esféricas: .cos;;cos θϕθϕθ RzsenRsenyRsenx === 
Desta forma ϕθθϕθ ddsenRddJdS 2== ,a área da superfície 
θγ Rsenyx =+= 22 logo tem – se que: 
∫ ∫∫∫ ∫∫ =



−====
π π
π
π
θ
θ
πρθθϕθθγ
0
32
2
0
32323
0
2
2
4
1
2
RsenRddsenRddsenRdsm
S S
 
∫ ∫∫∫ =



===
π
π
π
π
πρθθθγ
2
0
42
0
3424
3
2
0
2
3
2cos
Rsen
RddsenRdszM
S
xy 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS PARA RESOLVER 
 
178.Calcularas coordenadas do centro de massa da parte da superfície 
( )
2
2
22
yx
z
+
−= , distribuído pelo plano xOy. 
193.Determinar ∫∫
S
dSxyz , sendo S a parte da superfície zyx =+ 22
distribuído pelos planos 1;0 == zz 
179.Achar o momento de inércia do paraboloide 2
22
yx
z
+= ,em relação 
ao eixo 0z sendo 10 ≤≤ z 
180.Determinar ∫∫ +
S
dSzyx )( 22 , sendo S definida pela expressão
,4222 −++ zyx .1≥z 
181.Determinar ∫∫ +−S
dS
yz 1
1
, sendo S: 10;10;22 2 ≤≤≤≤+= yxyxz 
182.Determinar ∫∫ +
S
dSzyx )( , sendo S a superfície do cilindro 
1622 =+ yx situado no primeiro quadrante, entre 5;0 == zz 
183.Determinar ∫∫
S
xydS , sendo S a superfície do semi – cone 
22 yxz += limitado pelo plano .2=z 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 
Noções gerais 
Denominam – se equações diferenciais a uma equação que liga a variável 
independente x, a função ( )xyy = e as suas derivadas ( )nyyy ,,, L′′′ , ou seja, 
uma equação na forma: ( )( ) .0,...,,,, =′′′′′′ nyyyyxF 
Se a equação diferencial depende de uma só variável ( )xyy = , então trata – 
se de uma equação diferencial ordinária, isto é: xxyy cos=+′+′′ 
A ordem de uma equação diferencial, é a ordem da derivada de de maior 
ordem que figura na equação. Por exemplo, a equação diferencia
2xyxyIX =′′− l, é de nona ordem. 
Denomina – se solução da equação diferencial, uma função Y = φ (X), 
determinada no intervalo (a, b) juntamente com as suas derivadas sucessivas 
até a ordem n, inclusive, tal que ao fazer a substituição Y = φ (X), na equação 
diferencial, esta se converte numa identidade com relação a x no intervalo (a, 
b). 
EXEMPLOS: 
35. A função xsenxy cos+= é solução da equação 0=+′′ yy . Com efeito a 
segunda derivada desta função, se tiver, tem – se. 
xxsenyxsenxy cos;cos −−=′′−=′ 
Substituindo na equação diferencial yey ;′′ pelas respetivas equações, 
obteremos a identidade 0coscos =++−− xxsenxxsen 
Graficamente, a solução de uma equação diferencial denomina – se curva 
integral da equação. A forma geral de uma equação de primeira ordem é
0),,( =′yyxF 
Nesta equação, se for possível isolar y′ resultará ),( yxfy =′ , que representa 
uma equação de primeira ordem resolvida em ordem a sua derivada. 
 
Equações diferenciais de variáveis separáveis 
 
As variáveis da equação ( ) ( ) 0,, =+ dyyxNdxyxM são separáveis se a 
equação admite a forma ( ) ( ) ( ) ( ) 01221 =+ dyygxfdxygxf em que o factor 
integrante
( ) ( )ygxf 22
1
, determinado por inspecção, reduz a equação à forma
( )
( )
( )
( )
0
2
1
2
1 =+ dy
yg
yg
dx
xf
xf
, da qual a primitiva pode ser obtida por integração, isto 
é
( )
( )
( )
( )
Cdy
yg
yg
dx
xf
xf
=+ ∫∫
2
1
2
1 
EXEMPLOS: 
36. Resolver ( ) 0sec23
2 =−+ dyyedxytge xx 
Resolução: 
Dividindo ambos os membros da equação pelo produto ( )xeytg −⋅ 2
 
0
sec
2
3 2
=+
− ytg
dyy
e
dxe
x
x
 
Obtivemos uma equação diferencial de variáveis separáveis. Integrando 
teremos: 
C
ytg
dyy
e
dxe
x
x
=+
− ∫∫
2sec
2
3
 
1ln2ln3 Cytge
x =+−−
 
Efetuando a potenciação obteremos 
( )
11
33
2
:
2
C
x
C
x
e
e
ytg
sejaoue
e
ytg
=
−
=
−
 
A partir daqui: 
( )
1
3
2
C
x
e
e
ytg
=
−
 
Designando CeC =± 1 tem – se que ( )
C
e
ytg
x
=
−
3
2 ,ou seja ( ) 02 3 =−− xeCytg
obtivemos a integral geral da equação dada. Ao dividirmos pelo produto
( )xeytg −⋅ 2 se supunha que nenhum dos fatores se convertia em zero. 
Igualando cada fator a zero, obteremos respetivamente:
( ) 2ln,...2,1,0 =±±== xkky π . 
Substituindo na equação inicial, comprovaremos que representa que
2ln== xeky π são soluções da equação. Estas podem obter – se 
formalmente da integral geral, fazendo C = 0 e C = ∞ . Isto significa que a 
constante C se substitui por 1/C2 depois do qual a integral geral toma a 
forma:( ) ( ) 02021 2
2
=−−=−− xx eytgCsejaoue
C
ytg
 
Fazendo na última igualdade C2 = 0 o que corresponde a C = ∞ , teremos
( ) 02 3 =− xe daí têm a solução 2ln=x da equação inicial. Como 
consequência, as funções ( ),...2,1,0 ±±== kky π e 2ln=x , são 
soluções particulares da equação dada. Por conseguinte, o resultado final 
é: ( ) 02 3 =−− xeCytg 
 
37. Achar a solução particular da equação ( ) xx eyye =′+1 :que satisfaça a 
condição inicial 10 ==xy 
Resolução: 
( ) ( )x
x
xx
e
dxe
dyye
dx
dy
ye
+
=⇒=+
1
1
 
Integrando, obteremos a integral geral 
( ) CteremosxfazendoCey x +==++= 2ln
2
1
:,01ln
2
2
 
De onde achamos que 
2ln
2
1
−=C
 , pondo este valor de C na equação 
anterior, obteremos a integral particular 
1
2
1
ln
2
2 +




 +
=
xe
y
 
Assim sendo a solução particular que se pretende é:
1
2
1
ln
2
+




 +
=
xe
y
 
38. Achar a solução particular da equação yyxseny ln=′ : que satisfaça as 
condições iniciais 
1).).
22
==
==
ππ
xx
ybeya
 
Resolução: 
Tem – se que: 
xsen
dx
yy
dy
yyxsen
dx
dy
=⇒=
ln
ln
 
Integrando, obtêm – se a integral geral 
C
x
tgy ln
2
lnlnln +=
 
Potencializando teremos:
 
2
2
ln
x
tgC
ey
x
tgCy
⋅
=⇒⋅=
 
Que é a solução geral da equação dada. 
a. Ponhamos agora 
⇒== eyx ,
2
π
4
π
tgC
ee
⋅
= isto significa que C = 1. Assim sendo 2
x
tgC
ey
⋅
= 
b. Achemos em seguida a solução particular da equação que satisfaz a 
condição: 
1
2
=
=
π
x
y
 
 fazendo C = 0 na solução geral, obteremos a solução particular que se 
pretende. 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS PARA RESOLVER: 
Verificar se as soluções dadas correspondem as respectivas equações 
diferenciais: 
184. 25;2 xyyyx ==′ 
185. 
x
yyxy
1
;22 =+=′′ 
186. ( )
x
xc
yxdydxyx
2
;0
22 −
==++ 
187. xsenxyyy cos43;0 −==+′′ 
188. 1;1 =−=+′ − Cxeeyx yy 
189. 2
332 1;
x
C
x
y
x
dx
dxydyxy +==+
 
190. 222 2;12 CCxyyyxyy =++=′+′ 
Formar as equações diferenciais das famílias de curvas dadas. 
191. cxy 22 = 
192. xcey = 
193. 222 cyx =+ 
194. ay
y
x
+= 1ln
2
 
Resolver as equações diferenciais 
195. ( ) yyyxx +=′− 22 
196. 0cos22 =⋅+⋅ dyyctgxysentgx 
197. 3yyyx =−′ 
198. 21 xyxy −=′ 
199. ( )yxayxy ′+=′− 21 
200. ( ) 0sec13 2 =−+ ydyetgydxe xx 
201. ytgxy =′ 
202. 
2
2
1
1
x
y
y
−
−
=′ 
203. Achar a solução particular de ( ) 01 23 =−+ ydxxdyx , satisfazendo a 
condição inicial 2,1 == yx . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
VI. Equações diferenciais homogéneas. 
 Equações transformáveis em homogéneas 
 
Dada uma equação diferencial ( ) ( ) 0,, =+ dyyxNdxyxM na sua forma 
canónica, considera-se homogénea se ( ) ( )yxNeyxM ,, são funções 
homogéneas do mesmo grau. Assim, a equação dada na forma canónica 
pode reduzir-se à forma 





=′
x
y
fy e por meio da substituição xty = onde t é 
uma nova função incógnita, se transforma em Equação de Variáveis 
Separáveis. Aqui, pode-se também aplicar a substituição da forma ytx = . 
Se 





++
++
=′
222
111
cybxa
cybxa
fy onde f é contínua e 0
22
11 ≠=
ba
ba
δ supondo-se que 
na equação βα +=+=∗ vyeux onde as constantes βα e são 
determinadas pelo sistema de equações ;0111 =++ cba βα ,
;0222 =++ cba βα obtemos uma equação diferencial homogénea, quanto as 
variáveis veu , se 0=δ supondo-se que na equação ;111 uybxa =+∗ obtém-
se uma equação de variáveis separáveis. 
 EXEMPLOS: 
39. Achar a solução da equação yyxyx +−=′ 22 : 
Resolução: 
Escrevemos a equação na forma
x
y
yxy +−=′ 22
 
Como a equação é homogénea fazemos a substituiçãoy=uxy=uxy=uxy=ux....Então: 
x
dx
u
du
u
dx
du
x =
−
⇒−=
2
2
1
1 
Integrando teremos: 
( )
CxuarcsenteremosCCnotaçãoafazendoxCxCquesabendo
xCuarcsensejaouCCxuarcsendx
x
du
u
ln:,
ln0lnln
1
1
1
111
1112
==±±=
=〉+=⇒=
−
∫ ∫
 
Donde 22:,
2
ln
ππ
π
eCxeéistoCx ≤≤≤
−
substituindo teremos
x
y
poru teremos 
A integral geral .ln Cx
x
y
arcsen = e consequentemente a solução geral é: 
Cxsenxy ln= 
Nota: Neste exercício, no processo de separação de variáveis dividimos 
ambosos membros da equação pelo produto 21 ux − com o qual de poderiam 
perder as soluções que convertem em zero os seus factores. Se fizermos
010 2 =−= uex teremos que ;0=x não é solução da equação devido ao 
facto de que ;01
2
2
=−
x
y
de onde xy ±= . Com uma verificação directa nos 
convencemos de que as funções xyexy =−= são as soluções da equação. 
Estas são as soluções singulares da equação dada. 
40. Achar a solução da equação ( ) ( ) 042 =+−+−+ dyyxdxyx : 
Resolução: 
Examinemos a equação dada formando a partir dela um sistema de duas 
equações algébricas lineares, ou seja: 
02
11
11
:,.det
04
02
≠−=
−
=∆



=+−
=−+
teremossistemadesteobuscando
yx
yx
 
O sistema tem solução única 3,1 00 =−= yx fazendo a substituição do tipo 
31 +=−= ηξ yex 
Logo a equação dada toma a forma: 
( ) ( ) 0=−++ ηηξξηξ dd 
Esta é uma equação homogénea. Fazendo ξη u= e substituindo na 
equação anterior obteremos ( ) ( )( ) 0=+−++ ξξξξξξξ duduudu de onde
( ) ( ) 0121 2 =−+−+ duuduu ξξ separando variáveis teremos:
0
21
1
2
=
−+
−
+ du
uu
ud
ξ
ξ
. Integrando, teremos: 
Cuu ln21ln
2
1
ln 2 =−++ξ 
( ) Cuu =−+ 22 21ξ 
Voltando As variáveis x e y, obteremos: 
( ) ( )
( ) 12
2
2
1
3
1
1
211 C
x
y
x
y
x =





+
−
−
+
−
⋅++ 
Ou seja: 
( )14
842
1
22
+=
=+−−+
CC
Cyxyxyx
 
41. Achar a solução da equação ( ) ( ) 01221 =−++++ dyyxdxyx 
Resolução: 



==∆⇒
−+
++
0
22
11
122
1
yx
yx
 
Neste caso, para integrar a equação faz – se a substituição:
( ) ( )
0
2
12
:
0122;
=
−
−
−
=−+−⇒−==+
dz
z
z
dxdaí
dzzdxzdxdzdyzyx
 
Integrando: 
Czzx =−−− 2ln32 
Voltando as variáveis x e y, obteremos a integral geral da equação 
diferencial dada, isto é: Cyxyx =−+++ 2ln32 
 
42. Achar a solução da equação ( ) 021 322 =+− dxxydyyx : 
Resolução: 
 Vamos fazer a substituição do tipo dzzdyzy 1; −== αα α onde de princípio 
α é um número arbitrário. Substituindo dyey na equação dada pelas 
respectivas expressões, teremos: ( ) 021 3122 =+− − dxxzdzzzx ααα α Isto é: 
( ) 02 31132 =+− −− dxzxdzzzx ααα α . 
De nota que o grau de 132 −αzx é 13132 +=−+ αα , o grau de 11 −− αα éz e o 
grau de αα 313 +éxz . Esta equação obtida será homogénea se os graus de 
todos os termos forem iguais ou seja, se se cumprir a condição 113 −=+ αα . 
Dai que 1−=ε de onde xy ±= . 
Por conseguinte, teremos que com
z
y
1
= a equação inicial toma a forma. 
02
1
34
2
2
=+





− dx
z
x
dz
z
x
z
ou seja: ( ) 0222 =+− dxzxdzxz 
Façamos em seguida 
z
y
1
= , a equação inicial terá a forma: 
( ) 02:021 22
32
2
2
=+−=+





− dxxzdzxzéistodx
z
x
dz
z
x
z
. 
Façamos agora duxdxudzuxz +== , então esta equação toma a forma: 
( )( ) 0212 =++− dxuduxdxuu . A partir daqui tem – se ( ) ( ) 011 22 =−++ duuxdxuu 
separando as variáveis obteremos: 0
1
1
3
2
=
+
−
− du
u
u
x
dx
Integrando temos: 
( ) ( ) C
u
uu
Cuux =
+
⇒=−++
1
ln1lnln
2
2 
Vamos substituir 
xy
poru
1 e obteremos a integral geral da equação 
diferencial em estudo. Além disso, a equação tem a solução trivial 0=y que se 
obtêm da integral geral escrevendo a na forma: 
C
yx
y
221+
= e passando depois 
os limites para ∞→C . Consequentemente a função 0=y é a solução particular 
da equação diferencial dada. 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS PARA RESOLVER: 
Resolver as equações: 
204. ( ) 0222 =+− xydydxyx 
205. ( ) xyyyxyx 26 22 −=′+ 
206. 22 yxyxy +=′− 
207. 
x
yx
y
+
−=′ 
208. ( ) 02 =−− dyxydxyx 
209. 
12
74
−+
+−
=′
yx
yx
y 
210. ( ) ( ) 032542 =+−+′+− yxyyx 
211. 
yx
yx
y
++
−−
=′
1
331
 
212. 
yx
yx
y
++
−−
=′
1
331
 
213. 
342
12
++
++
=′
yx
yx
y
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Bibliografia 
 
1. Análise Matemática. José Luis Fernández Muñiz y Graciella de la Torre 
Molné.Tomo III. Editorial Pueblo y Educación.1983. 
2. Análise Matemática. José Luis Fernández Muñiz y Graciella de la Torre 
Molné.Tomo IV. Editorial Pueblo y Educación. 1984. 
3. Problemas de equacões diferenciais ordinárias. A. Kiseliov, M. Krasnov, 
G.Makarenko. Editorial Mir. quarta edición 1984. 
4. Cálculo e Geometria Analítica. Al Shenk. Vol.1 Editora Campus Ltda. 1984. 
5. Cálculo e Geometria Analítica. Al Shenk. Vol.2 Editora Campus Ltda. 1984. 
6. Curso de Análise Matemática. L.D.Kudriátsev. Tomo 1. Editorial Mir. 
Primeira edição 1984. 
7. Curso de Análise Matemática. L.D.Kudriátsev. Tomo 2. Editorial Mir. 
Primeira edição 1984. 
8. The Fundamentals of Mathematical Analysis. G.M.Fikhtengol´ts. Volume 1. 
Firstedition 1965. 
9. The Fundamentals of Mathematical Analysis. G.M.Fikhtengol´ts. Volume 2. 
First edition 1965. 
10. Matemática superior – exercícios e problemas. P.E. Dako e A,G. Papov. 
Volume 1. Edições Mir 6ª edição 2007 
11. Matemática superior – exercícios e problemas. P.E. Dako e A,G. Papov 
Volume 2. Edições Mir 6ª edição 2007 
12. Equações diferenciais e suas aplicações. P.Leyva Machin, Otilio 
Anoceto,Maria Antónia Araguren e Maria Sofia Duyos, editorial Pueblo y 
educacion 1987 
13. Integrais Múltiplas. José M. Aromi, José A. D. Duque, Eugénio C. 
Rodriguesz, editorial pueblo e educacion1974 
14. Problemas de equações diferenciais ordinárias. A. Kiseliov, M. Krasmov, G. 
makarenko, editorial Felix Varela La Habana 2004 
15. Geometría analítica. Charles H. Lehmann editorial instituto do libro, la 
havana 1968 
16. Trabalhos individuais de matemática Superior. A.P. Riabushk, Minsk editor 
2007