Análise Diferencial Mecânica dos Fluidos II

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Mecânica dos Fluidos - ME5320/NM6320 Análise Diferencial 
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ANÁLISE DIFERENCIAL DOS ESCOAMENTOS 
 
 CINEMÁTICA DOS FLUIDOS 
 Meio Contínuo 
 Partícula Fluida 
 Descrições Lagrangiana e Euleriana 
 Volume de Controle 
 Campo de Velocidades 
 Trajetórias e Linhas de Corrente 
 Campo de Aceleração 
 Derivada Material 
 Exercícios 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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CINEMÁTICA DOS FLUIDOS 
 
Meio Contínuo 
 Hipótese (idealização) onde desconsidera os comportamentos individuais das 
moléculas e considera os efeitos médios, ou macroscópicos, de muitas moléculas. 
 O conceito de meio contínuo é válido quando as dimensões do sistema é muito 
maior que a distância média entre as moléculas. 
 A ordem de grandeza do espaçamento médio intermolecular para líquidos e gases 
nas condições normais de pressão e temperatura são: 
 Líquidos: distância ≈ 10-7 mm → ≈ 1021 moléculas/mm3 
 Gases: distância ≈ 10-8 mm → ≈ 1018 moléculas/mm3 
 Num meio contínuo, o número de moléculas que ocupam um volume muito pequeno 
é enorme. Assim, a idéia de utilizar o valor médio avaliado neste volume é adequado, e as 
propriedades variam continuamente através do fluido. 
 
Partícula Fluida 
 Seja um sistema para o qual deseja-se definir a massa específica num ponto P 
(figura). Adota-se um volume ∆V, que contém uma massa ∆m, em torno do ponto P. A 
massa específica média será definida por: ρ=∆m/∆V 
 A massa específica no ponto será o limite de ∆V tendendo a zero em torno do ponto 
P. Entretanto, quando o volume chega a um valor ∆Vo ocorre uma descontinuidade na 
função. 
 
 
 
 
 
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 Partícula fluida é a de volume ∆Vo para o qual o gráfico da figura não sofre 
descontinuidade. Isto é: ρ
P
= lim∆V→∆Vo
∆m
∆V
 
 Cada partícula contém muitas moléculas, porém, em decorrência da hipótese de 
meio contínuo, o fluido será composto por partículas fluidas compactas que interagem 
entre si e com o meio. Assim, as propriedades do fluido (massa específica, pressão, 
temperatura, velocidade e aceleração) são consideradas como tendo um valor definido em 
cada ponto e são funções contínuas da posição da partícula e do tempo. 
 
Descrições LAGRANGIANA e EULERIANA 
 
Lagrangiano 
 
Joseph Louis Lagrange (Turim 1736 – Paris 1813). 
 
• Identifica e segue as partículas fluidas no escoamento; 
• Informações sobre o que acontece com a partícula ao longo do tempo; 
•O movimento do fluido é descrito pela especificação dos parâmetros em função do tempo: 
 - Posição, P = P(x,y,z,t) 
 - Pressão, p = p(t) 
 - Velocidade, V = V(t) 
 - Massa específica, ρ = ρ(t) 
 
 
 
 
 
 
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Euleriano 
 
Leonhard Paul Euler (Basiléia 1707 – São Petersburgo 1783). 
 
•Usa o conceito de campo; 
• Informações sobre o escoamento a partir de pontos fixos em instantes diferentes; 
• O movimento do fluido é descrito pela especificação dos parâmetros em função das 
coordenadas espaciais: 
 - Pressão, p = p(x,y,z,t); 
 - Velocidade, V = V(x,y,z,t); 
 - Massa específica, ρ = ρ(x,y,z,t). 
 
Exemplo: 
 
Euleriano Lagrangiano 
Termômetro fixo no ponto Termômetro fixo na partícula 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Volume de Controle 
 Volume de controle (VC) é um volume arbitrário no espaço (uma entidade 
geométrica e independente da massa) através do qual o fluido escoa. A fronteira 
geométrica do volume de controle é chamada de superfície de controle (SC). Esta pode ser 
real ou imaginária; pode estar em repouso ou em movimento. 
 
 
Campo de Velocidade 
 
 
 
 
 
 
 
Volume de controle diferencial 
 
 
 
 
 
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Campo de Velocidades 
 A cada instante a descrição de qualquer propriedade (velocidade, aceleração, 
pressão, temperatura e massa específica) pode ser formulada em função da posição da 
partícula. A apresentação das propriedades do fluido em função das coordenadas 
espaciais é denominado campo de escoamento. O campo de escoamento pode ser 
diferente a cada instante, assim, para descrever totalmente o escoamento é necessário a 
apresentação das propriedades do fluido em função das coordenadas espaciais e do 
tempo. 
 A derivada temporal do vetor posição fornece a velocidade da partícula. Como 
exemplo, a figura mostra a posição de uma partícula "A"em movimento, a velocidade da 
partícula "A" será: 
 𝑉 𝐴 = 𝑑𝑟 𝐴 𝑑𝑡 
 
 
 
 
 
 A especificação da velocidade de todas as partículas fluidas descreve o campo 
vetorial de velocidades, ou seja: 
𝑉 = 𝑢 𝑥,𝑦, 𝑧, 𝑡 𝑖 + 𝑣 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 𝑗 + 𝑤 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 𝑘 
 𝑉 é um campo de velocidades, ou seja, ele descreve o escoamento inteiro e não 
somente o movimento individual de uma partícula fluida. 
 
 u = componente de velocidade cartesiano na direção x; 
 v = componente de velocidade cartesiano na direção y; 
 w = componente de velocidade cartesiano na direção z; 
 𝑖 , 𝑗 ,𝑘 = versores (vetores unitários) nas direções x, y e z. 
 
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Trajetórias e Linhas de Corrente 
 Trajetória é a linha traçada por uma partícula fluida em movimento. A trajetória é um 
conceito Lagrangiano e fornece o "histórico" das localizações da partícula. 
 Linhas de corrente são linhas contínuas que, num dado instante, são tangente ao 
vetor velocidade em cada ponto do campo de escoamento. 
 No regime permanente as linhas de corrente são fixas no espaço e são coincidentes 
com a trajetória (nada muda com o tempo num ponto fixo). 
 No regime transitório os formatos das linhas de corrente podem variar com o tempo. 
 Para os escoamentos bidimensionais, a inclinação da linha (𝑑𝑦 𝑑𝑥 ) precisa ser igual 
a tangente do ângulo que o vetor velocidade faz com o eixo x, ou seja: 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑣
𝑢
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Esta equação pode ser integrada para 
fornecer as equações das linhas de corrente de 
um campo de velocidade dado em função de x e 
y ( e t se o escoamento for transitório). Em alguns 
casos simples a equação pode ser resolvida 
analiticamente; no caso geral ela deve ser 
resolvida numericamente. 
 
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Exemplo - Um campo de velocidade bidimensional e em regime permanente é dado por 
𝑉 = 0,5 + 0,8𝑥 𝑖 + 1,5 − 0,8𝑦 𝑗 
onde as coordenadas x e y estão em metros e a velocidade está em m/s. Determine: 
a) A equação para as linhas de corrente no plano xy; 
b)Trace várias linhas de corrente do escoamento para x>0. 
 Para escoamento bidimensional: 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑣
𝑢
=
1,5 − 0,8𝑦
0,5 + 0,8𝑥
 
𝑑𝑦
1,5 − 0,8𝑦
=
𝑑𝑥
0,5 + 0,8𝑥
 
 
𝑑𝑦
1,5 − 0,8𝑦
= 
𝑑𝑥
0,5 + 0,8𝑥
 
𝑦 =
𝐶
0,4 + 0,64𝑥
+ 1,875 
 
-15
-10
-5
0
5
10
15
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4
Y
X
Linhas de Corrente 
C=0
C=1
C=-1
C=2
C=-2
C=3
C=-3
C=4
C=-4
C=5
C=-5
𝑉 = 0,5 + 0,8𝑥 𝑖 + 1,5 − 0,8𝑦 𝑗 
𝑦 =
𝐶
0,4 + 0,64𝑥
+ 1,875 
x C=1 y 
0 1 4,375 
0,5 1 3,263889 
1 1 2,836538 
1,51 2,610294 
2 1 2,470238 
2,5 1 2,375 
3 1 2,306034 
3,5 1 2,253788 
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Campo de Aceleração 
Para aplicar a segunda lei de Newton é necessário especificar a aceleração de uma 
partícula fluida. Obter a aceleração de uma partícula simplesmente através de 𝑎 = 𝜕𝑉 𝜕𝑡 
é incorreto, porque 𝑉 é um campo de velocidades, ou seja, ele descreve o escoamento 
inteiro e não somente o movimento individual de uma partícula. 
Para escoamentos em regime transitório, a velocidade numa dada posição (ocupada 
por diferentes partículas) pode variar com o tempo e, deste modo, proporcionar uma 
aceleração local. Mas uma partícula também pode ser acelerada enquanto escoa de um 
ponto para outro devido a variação de sua velocidade. 
Para obter o campo de aceleração (função da posição e do tempo) a partir do 
campo de velocidade, vamos inicialmente considerar uma partícula “A” que se move ao 
longo da trajetória como mostrado na figura. 
No instante t, a partícula “A” está na posição (𝑥,𝑦 , 𝑧) e a sua velocidade coincide 
com a velocidade no ponto do campo de velocidade, ou seja: 𝑉 𝐴 𝑡 ≡ 𝑉 (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
No instante t+dt, a partícula “A” foi deslocada para uma nova posição (𝑥 + 𝑑𝑥, 𝑦 +
𝑑𝑦 , 𝑧 + 𝑑𝑧) e a sua velocidade muda para: 𝑉 𝐴(𝑡+𝑑𝑡 ) = 𝑉 𝑥 + 𝑑𝑥,𝑦 + 𝑑𝑦, 𝑧 + 𝑑𝑧, 𝑡 + 𝑑𝑡 
Por definição, a aceleração de uma partícula é igual a taxa de variação de sua 
velocidade, assim, a aceleração da partícula "A" será: 𝑎 𝐴 = 𝑑𝑉 𝐴 𝑑𝑡 
 
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A variação na velocidade da partícula "A" (𝑑𝑉 𝐴), no deslocamento da posição 𝑟 para 
a posição 𝑟 + 𝑑𝑟 , é dada pela regra da cadeia: 
𝑑𝑉 𝐴 =
𝜕𝑉 
𝜕𝑥
𝑑𝑥𝐴 +
𝜕𝑉 
𝜕𝑦
𝑑𝑦𝐴 +
𝜕𝑉 
𝜕𝑧
𝑑𝑧𝐴 +
𝜕𝑉 
𝜕𝑡
𝑑𝑡 
 A aceleração da partícula "A" será: 
𝑎 𝐴 =
𝑑𝑉 𝐴
𝑑𝑡
=
𝜕𝑉 
𝜕𝑥
𝑑𝑥𝐴
𝑑𝑡
+
𝜕𝑉 
𝜕𝑦
𝑑𝑦𝐴
𝑑𝑡
+
𝜕𝑉 
𝜕𝑧
𝑑𝑧𝐴
𝑑𝑡
+
𝜕𝑉 
𝜕𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
 
 Como : 
 𝑢𝐴 = 𝑑𝑥𝐴 𝑑𝑡 𝑣𝐴 = 𝑑𝑦𝐴 𝑑𝑡 𝑤𝐴 = 𝑑𝑧𝐴 𝑑𝑡 
 Temos: 
𝑎 𝐴 =
𝑑𝑉 𝐴
𝑑𝑡
= 𝑢𝐴
𝜕𝑉 
𝜕𝑥
+ 𝑣𝐴
𝜕𝑉 
𝜕𝑦
+ 𝑤𝐴
𝜕𝑉 
𝜕𝑧
+
𝜕𝑉 
𝜕𝑡
 
 Finalmente, em qualquer instante t, o campo de aceleração deve ser igual à 
aceleração da partícula fluida que ocupa o local (𝑥,𝑦 , 𝑧) naquele instante t. Dessa forma, 
podemos generalizar a equação (removendo a referência a partícula "A") porque ela é 
válida para qualquer partícula fluida, assim, a aceleração de uma partícula fluida expressa 
como variável de campo será: 
𝑎 𝑥,𝑦, 𝑧, 𝑡 = 𝑢
𝜕𝑉 
𝜕𝑥
+ 𝑣
𝜕𝑉 
𝜕𝑦
+ 𝑤
𝜕𝑉 
𝜕𝑧
+
𝜕𝑉 
𝜕𝑡
 
 A expressão anterior é uma equação vetorial, portanto, ela pode ser escrita na forma 
de suas componentes escalares, assim: 
𝑎𝑥 = 𝑢
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+ 𝑣
𝜕𝑢
𝜕𝑦
+ 𝑤
𝜕𝑢
𝜕𝑧
+
𝜕𝑢
𝜕𝑡
 
𝑎𝑦 = 𝑢
𝜕𝑣
𝜕𝑥
+ 𝑣
𝜕𝑣
𝜕𝑦
+ 𝑤
𝜕𝑣
𝜕𝑧
+
𝜕𝑣
𝜕𝑡
 
𝑎𝑧 = 𝑢
𝜕𝑤
𝜕𝑥
+ 𝑣
𝜕𝑤
𝜕𝑦
+ 𝑤
𝜕𝑤
𝜕𝑧
+
𝜕𝑤
𝜕𝑡
 
 
 
 
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Derivada Material 
 A equação da aceleração recebe uma notação especial (D/Dt), chamada de 
derivada material, ou derivada total, ou derivada substancial, ou derivada de partícula. 
Assim: 
𝑎 =
𝐷𝑉 
𝐷𝑡
= 𝑢
𝜕𝑉 
𝜕𝑥
+ 𝑣
𝜕𝑉 
𝜕𝑦
+ 𝑤
𝜕𝑉 
𝜕𝑧
+
𝜕𝑉 
𝜕𝑡
 
 Esta notação no cálculo da aceleração é usada para enfatizar que ele é formado 
seguindo uma partícula fluida à medida que ela se movimenta através do campo de 
escoamento, ou seja, seguindo uma partícula de "substância" (ou material). 
 O produto escalar do vetor velocidade, 𝑉 , com o operador gradiente ∇ (nabla), 
∇=
𝜕( )
𝜕𝑥
𝑖 +
𝜕( )
𝜕𝑥
𝑗 +
𝜕( )
𝜕𝑥
𝑘 (é um operador vetorial), fornece uma notação conveniente para as 
derivadas espaciais que aparecem na representação cartesiana da derivada material. A 
notação 𝑉 .∇ representa o operador 𝑉 . ∇( ) = 𝑢
𝜕( )
𝜕𝑥
+ 𝑣
𝜕( )
𝜕𝑦
+
𝜕( )
𝜕𝑧
. Assim: 
𝑎 =
𝐷𝑉 
𝐷𝑡
=
𝜕𝑉 
𝜕𝑡
+ (𝑉 .∇)𝑉 
 Uma partícula fluida movendo-se num campo de escoamento pode sofrer 
aceleração por dois motivos: 
 a) Aceleração convectiva: são os termos da derivada material que apresenta 
derivadas espaciais. Representa o efeito de uma partícula fluida que se move por 
convecção de um ponto para outro no escoamento. 
 b) Aceleração local: são os termos da derivada material que apresenta derivadas 
temporais. Representam os efeitos transitórios no escoamento. 
𝑎 =
𝐷𝑉 
𝐷𝑡
→ 𝑎𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎çã𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 
 𝑉 .∇ 𝑉 = 𝑢
𝜕𝑉 
𝜕𝑥
+ 𝑣
𝜕𝑉 
𝜕𝑦
+ 𝑤
𝜕𝑉 
𝜕𝑧
→ 𝑎𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎çã𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎 
𝜕𝑉 
𝜕𝑡
→ 𝑎𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎çã𝑜 𝑙𝑜𝑐𝑎𝑙 
 
 
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Resumo 
𝑉 𝑥,𝑦, 𝑧, 𝑡 = 𝑢 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 𝑖 + 𝑣 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 𝑗 + 𝑤 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 𝑘 
𝑎 𝑥,𝑦, 𝑧, 𝑡 = 𝑢
𝜕𝑉 
𝜕𝑥
+ 𝑣
𝜕𝑉 
𝜕𝑦
+ 𝑤
𝜕𝑉 
𝜕𝑧
+
𝜕𝑉 
𝜕𝑡
 
𝑎 =
𝐷𝑉 
𝐷𝑡
=
𝜕𝑉 
𝜕𝑡
+ (𝑉 .∇)𝑉 
 
𝜕𝑉 
𝜕𝑥
=
𝜕𝑢
𝜕𝑥
𝑖 +
𝜕𝑣
𝜕𝑥
𝑗 +
𝜕𝑤
𝜕𝑥
𝑘 
𝜕𝑉 
𝜕𝑦
=
𝜕𝑢
𝜕𝑦
𝑖 +
𝜕𝑣
𝜕𝑦
𝑗 +
𝜕𝑤
𝜕𝑦
𝑘 
𝜕𝑉 
𝜕𝑧
=
𝜕𝑢
𝜕𝑧
𝑖 +
𝜕𝑣
𝜕𝑧
𝑗 +
𝜕𝑤
𝜕𝑧
𝑘 
𝜕𝑉 
𝜕𝑡
=
𝜕𝑢
𝜕𝑡
𝑖 +
𝜕𝑣
𝜕𝑡
𝑗 +
𝜕𝑤
𝜕𝑡
𝑘 
 
𝑎 = 𝑢
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+ 𝑣
𝜕𝑢
𝜕𝑦
+ 𝑤
𝜕𝑢
𝜕𝑧
+
𝜕𝑢
𝜕𝑡
 𝑖 + 𝑢
𝜕𝑣
𝜕𝑥
+ 𝑣
𝜕𝑣
𝜕𝑦
+ 𝑤
𝜕𝑣
𝜕𝑧
+
𝜕𝑣
𝜕𝑡
 𝑗 + 𝑢
𝜕𝑤
𝜕𝑥
+ 𝑣
𝜕𝑤
𝜕𝑦
+ 𝑤
𝜕𝑤
𝜕𝑧
+
𝜕𝑤
𝜕𝑡
 𝑘 
 
𝑎𝑥 = 𝑢
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+ 𝑣
𝜕𝑢
𝜕𝑦
+ 𝑤
𝜕𝑢
𝜕𝑧
+
𝜕𝑢
𝜕𝑡
 
𝑎𝑦 = 𝑢
𝜕𝑣
𝜕𝑥
+ 𝑣
𝜕𝑣
𝜕𝑦
+ 𝑤
𝜕𝑣
𝜕𝑧
+
𝜕𝑣
𝜕𝑡
 
𝑎𝑧 = 𝑢
𝜕𝑤
𝜕𝑥
+ 𝑣
𝜕𝑤
𝜕𝑦
+ 𝑤
𝜕𝑤
𝜕𝑧
+
𝜕𝑤
𝜕𝑡
 
 
 
 
 
 
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Exercícios - Campo de Velocidade e Aceleração 
1- Para os campos de velocidade dados, determine: 
a) Se o campo de escoamento é uni, bi ou tridimensional, e o motivo; 
b) Se o escoamento é permanente ou não permanente, e o motivo. 
1) 𝑉 = 𝑎𝑒−𝑏𝑥 𝑖 2) 𝑉 = 𝑎𝑥2 𝑖 + 𝑏𝑥 𝑗 3) 𝑉 = 𝑎𝑥2𝑒−𝑏𝑡 𝑖 
4) 𝑉 = 𝑎𝑥2 𝑖 + 𝑏𝑦 𝑗 5) 𝑉 = 𝑎𝑥 + 𝑡 𝑖 + −𝑏𝑦2 𝑗 6) 𝑉 = 𝑎𝑥 𝑖 + −𝑏𝑥𝑧 𝑗 
6) 𝑉 = 𝑎𝑥𝑦 𝑖 + −𝑏𝑦𝑧𝑡 𝑗 7) 𝑉 = 𝑥 + 𝑦 𝑖 + 1/𝑧2 𝑘 
 
2 - O campo de velocidade de um escoamento é dado por 
𝑉 = 3𝑦 + 2 𝑖 + 𝑥 − 8 𝑗 + 5𝑧 𝑘 
onde as coordenadas x, y e z estão em metros e a velocidade está em m/s. Determine a 
velocidade do fluido na origem, coordenadas (0,0,0) e no ponto (1,2,1). 
R. u=8 m/s ; v=-8m/s ; V=11,3m/s u=5 m/s ; v=-7m/s ; V=9,95m/s 
 
3 - O campo de velocidade de um escoamento é dado por 
𝑉 = 2𝑥2𝑡 𝑖 + 4𝑦 𝑡 − 1 + 2𝑥2𝑡 𝑗 
onde as coordenadas x e y estão em metros, a velocidade está em m/s e o tempo em 
segundos. Determine a velocidade e a direção das partículas fluidas localizadas no eixo x 
(ou seja, y=0). Faça uma tabela atribuindo valores para t. 
 
4 - O campo de velocidade de um escoamento é dado por 
𝑉= 𝑥 − 𝑦 𝑖 + 𝑥2𝑦 − 8 𝑗 
onde as coordenadas x, y e z estão em metros e a velocidade está em m/s. Localize os 
pontos de estagnação deste escoamento. 
R. x=2 m ; y=2 m 
 
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5- Um campo de velocidade bidimensional e incompressível é dado por 
𝑉 = 0,5 + 0,8𝑥 𝑖 + 1,5 − 0,8𝑦 𝑗 
onde as coordenadas x e y estão em metros e a velocidade está em m/s. Determine: 
a) se há pontos de estagnação neste campo de escoamento e, neste caso, onde? 
b) o módulo da velocidade e aceleração no ponto de coordenadas (2,3). 
R. x=-0,625 m ; y=1,875m ; V=2,28m/s ; a=1,83m/s2 
 
6 - Um campo de velocidade é dado por 
𝑉 = 𝑐𝑥2 𝑖 + 𝑐𝑦2 𝑗 
onde c é uma constante. Determine os componentes do vetor aceleração nas direções x e 
y (𝑎𝑥 𝑒 𝑎𝑦 ). Determine o módulo da aceleração na posição (2,1). Em que local a aceleração 
é nula (𝑎𝑥 = 0 𝑒 𝑎𝑦 = 0) ? 
R. a=16,12 c2 m/s2 ; x=0 e y=0 
 
7- Água escoa uniformemente num tubo de seção constante. O campo de velocidade do 
escoamento é dado por 
𝑉 = 
8
𝑡
+ 5 𝑗 
onde a velocidade está em m/s e o tempo em segundos. Determinar: 
a) o campo de aceleração; 
b) o módulo da velocidade e aceleração no instante t = 1s, t=2s e t=10s. 
R. V=13m/s ; a=-8m/s2 V=9m/s ; a=-2m/s2 V=5,8m/s ; a=-0,08m/s2 
 
 
 
 
 
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8- O campo de velocidade de um escoamento é dado por 
𝑉 = 3𝑦 𝑖 + 2 𝑗 
Determinar: 
a) o campo de aceleração; 
b) os módulos da velocidade e aceleração no ponto de coordenadas (3,4). 
R. V=12,16m/s ; a=6m/s2 
 
9- O campo de velocidade de um escoamento é dado por 
𝑉 = 3𝑥𝑦 𝑗 
Determinar: 
a) o campo de aceleração; 
b) os módulos da velocidade e aceleração no ponto de coordenadas (2,2). 
R. V=12m/s ; a=72m/s2 
 
10- O campo de velocidade de um escoamento é dado por 
𝑉 = −2𝑦 𝑖 + 3𝑥 𝑗 
Determinar: 
a) o campo de aceleração; 
b) os módulos da velocidade e aceleração no ponto de coordenadas (2,3). 
R. V=8,49m/s ; a=21,6m/s2 
 
11- O campo de velocidade de um escoamento é dado por 
𝑉 = 2 1 + 𝑡 𝑖 + 3 1 + 𝑡 𝑗 + 4 1 + 𝑡 𝑘 
Determinar os módulos da velocidade e aceleração no ponto de coordenadas (3,1,4) no 
instante t=2s. 
R. V=16,2m/s ; a=5,4m/s2 
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12- Num escoamento bidimensional e variado, o campo de velocidade é dado por 
𝑉 = 2𝑥𝑡 𝑖 + 𝑦2𝑡 𝑗 
onde as coordenadas x e y estão em cm e a velocidade está em cm/s. Determine a 
aceleração na origem (0,0) e no ponto (1,2) no instante t=5s. 
R. V=22,4cm/s ; a=416,7cm/s2 
 
13- O campo de velocidade de um escoamento bidimensional é dado por 
𝑉 = 3 + 2𝑥𝑦 + 4𝑡2 𝑖 + 𝑥𝑦2 + 3𝑡 𝑗 
Determinar o módulo da aceleração no ponto de coordenadas (2,1) no instante t=5s. 
R. a=368m/s2 
 
14- Após a abertura de uma válvula , o campo de velocidade de um escoamento de água 
num tubo é dado por 𝑢 = 10 1 − 𝑒−𝑡 , 𝑣 = 0 e 𝑤 = 0 (onde a velocidade está em m/s e 
o tempo em segundos). Determine a velocidade e a aceleração mínima e máxima deste 
escoamento (ou seja, quando t=0 e t=∞). 
R. V=0 ; a=10m/s2 e V=10m/s ; a=0 
 
15- Água escoa num bocal convergente. A velocidade na seção de entrada (seção 1) é 
dada por 𝑉1 = 0,5𝑡 𝑖 e a velocidade na seção de saída (seção 2) 𝑉2 = 1,0𝑡 𝑖 (onde a 
velocidade está em m/s e o tempo em segundos). Determine a aceleração local nas 
seções de entrada e saída do convergente. 
R. a1 =0,5m/s
2 ; a2 =1m/s
2 
 
16- Ar escoa num bocal divergente. A velocidade na seção de entrada (seção 1) é dada 
por 𝑉1 = 1,22𝑡 𝑖 e a velocidade na seção de saída (seção 2) 𝑉2 = 0,61𝑡 𝑖 (onde a 
velocidade está em m/s e o tempo em segundos). Determine a aceleração local nas 
seções de entrada e saída do divergente. 
R. a1 =1,22m/s
2 ; a2 =0,61m/s
2 
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Exercícios - Linhas de Corrente 
17- O campo de velocidade de um escoamento é dado por 
𝑉 = 0,3𝑥𝑖 − 0,3𝑦𝑗 
onde as coordenadas x e y estão em metros e a velocidade está em m/s. Obtenha a 
equação para as linhas de corrente do escoamento. Trace várias linhas de corrente do 
escoamento para x>0 (não usar x=0 no gráfico). 
 
18- O campo de velocidade de um escoamento é dado por 
𝑉 = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 
onde as coordenadas x e y estão em metros e a velocidade está em m/s. Obtenha a 
equação para as linhas de corrente do escoamento. Trace várias linhas de corrente do 
escoamento para x>0. 
 
19- O campo de velocidade de um escoamento é dado por 
𝑉 = 𝑥𝑦𝑖 − 0,5𝑦2𝑗 
onde as coordenadas x e y estão em metros e a velocidade está em m/s. Obtenha a 
equação para as linhas de corrente do escoamento. Trace algumas linhas de corrente do 
escoamento para valores positivos de y. 
 
20- O campo de velocidade de um escoamento é dado por 
𝑉 = 6𝑦𝑖 − 3𝑗 
onde as coordenadas estão em metros e a velocidade está em m/s. Obtenha a equação 
para as linhas de corrente do escoamento. Trace algumas linhas de corrente do 
escoamento no plano de valores positivos de y. 
 
 
 
 
Mecânica dos Fluidos - ME5320/NM6320 Análise Diferencial 
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Prof.Rossetti 
21- O campo de velocidade de um escoamento é dado por 
𝑉 = 𝑥𝑖 + 𝑥 𝑥 − 1 (𝑦 + 1)𝑗 
onde as coordenadas estão em metros e a velocidade está em m/s. Obtenha a equação 
para as linhas de corrente do escoamento. Trace algumas linhas de corrente do 
escoamento no plano xy. 
 
22- O campo de velocidade de um escoamento é dado por 
𝑢 =
𝑥
1 + 𝑡
 ; 𝑣 = 1 𝑒 𝑤 = 0 
onde as coordenadas estão em metros e a velocidade está em m/s. Obtenha a equação 
para as linhas de corrente do escoamento no instante inicial, ou seja, para t=0. Trace 
algumas linhas de corrente do escoamento no plano xy.