Capítulo 1 REVISÃO Cálculo 2

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Cálculo 2 – Profa. Elizabete Silva (elizabete.silva@fmu.br) 
REVISÃO 
Vamos iniciar essa revisão abordando o tema de limite. 
 LIMITE 
Definição: Seja f uma função definida sobre um intervalo aberto que contém o número 
a, exceto possivelmente o próprio a. Dizemos que o limite de quando x tende a a é 
L, e escrevemos 
 
 
 
se para todo , existe um tal que 
 | | | | 
 
Propriedades: 
Antes de falarmos das propriedades, é importante falarmos sobre a unicidade do 
limite. 
Proposição: Se e , então . 
Esta proposição nos diz que o limite é único, ou seja, se temos dois limites 
dando um determinado valor, obrigatoriamente esses valores são iguais. 
Propriedades: 
Sejam a, m, n e c números reais e consideremos que e 
existam, então: 
a) 
 
 
b) 
 
[ ] 
 
 
 
 
Cálculo 2 – Profa. Elizabete Silva (elizabete.silva@fmu.br) 
c) 
 
 
 
 
d) 
 
[ ] 
 
 
 
 
e) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
, desde que 
 
 
f) 
 
 [ ] * 
 
 +
 
 
g) 
 
√ 
 
 √ 
 
 , se 
 
 e n inteiro ou se 
 
 e n é 
um inteiro positivo ímpar 
h) 
 
 [ ] [ 
 
 ], se 
 
 
i) 
 
 [ ] * 
 
 + 
j) 
 
 [ ] * 
 
 + 
k) 
 
 
 
 
 
 
 
Proposição: Se para todo x em um intervalo aberto contendo a, 
exceto possivelmente em x = a, e se 
 
 
 
 
 
então, 
 
 
 
 Limites laterais 
Definição: Seja f uma função definida em um intervalo aberto (a, c). Dizemos que um 
número L é o limite à direita da função f quando x tende para a e escrevemos 
 
 
 
se para todo , existe um tal que | | sempre que 
 . 
Se 
 
 , dizemos que f(x) tende para L quando x tende para a pela 
direita. 
Analogamente, 
Cálculo 2 – Profa. Elizabete Silva (elizabete.silva@fmu.br) 
Definição: Seja f uma função definida em um intervalo aberto (d, a). Dizemos que um 
número L é o limite à esquerda da função f quando x tende para a e escrevemos 
 
 
 
se para todo , existe um tal que | | sempre que 
 . 
Se 
 
 , dizemos que f(x) tende para L quando x tende para a pela 
esquerda. 
Teorema: Se f é definida em um intervalo aberto contendo a, exceto possivelmente no 
ponto a, então 
 
 
 
se, e somente se, 
 
 
 e 
 
 
Dando continuidade a nossa revisão, vamos rever agora um pouco sobre o 
conceito de derivada. 
 DERIVADA 
Definição: Seja f uma função real de variável real e seja x, tal que existe uma 
vizinhança completa de x contida no domínio de f. A derivada da função f no ponto de 
abscissa x, que se indica por , é: 
 
 
 
 
 
se e somente se, esse limite existe e é finito. 
 Regras de derivação 
 Regra da Constante: 
Se f é a função constante definida por , , então 
 
 
 
 
Cálculo 2 – Profa. Elizabete Silva (elizabete.silva@fmu.br) 
Exemplo: Seja então . 
 Regra da Potência: 
Se , onde , então 
 
 
 
 
Exemplo: Seja então . 
 Regra da multiplicação por uma constante: 
Seja c uma constante e uma função derivável no ponto x. Então 
 também é uma função derivável, ou seja, 
 
 
 
( ) 
 Exemplo: Seja , então . 
 Regra da Soma: 
Se e são duas funções deriváveis no ponto x, a soma 
também é derivável, ou seja, 
( ) 
 
 
[ 
 
 
 [ ] 
 
 
 [ ] 
Exemplo: Seja e , então ( ) 
 ( ) 
 
 Regra da Subtração: 
 Idem a soma, isto é: 
( ) 
 
 
[ ] 
 
 
 [ ] 
 
 
 [ ] 
 Regra do Produto: 
Se e são duas funções deriváveis no ponto x, o produto 
também é derivável, ou seja, 
Cálculo 2 – Profa. Elizabete Silva (elizabete.silva@fmu.br) 
( ) [ ] [ ] 
 
 
 
 
[ ] [ 
 
 
 [ ] ] [ 
 
 
 [ ]] 
Exemplo: Sejam e . Então 
( ) [ ] [ ] 
( ) [ ] [ ] 
( ) [ ] [ ] 
( ) 
( ) 
 Regra do Quociente: 
Se e são duas funções deriváveis no ponto x, com , o 
quociente 
 
 
 também é derivável, ou seja 
(
 
 
) 
[ ] [ ]
[ ] 
 
 
 
 
[
 
 
] 
* 
 
 
[ ] + * 
 
 
[ ]+
[ ] 
 
Exemplo: Sejam e . Então 
(
 
 
)
 
 
[ ] [ ]
[ ] 
 
(
 
 
)
 
 
[ ] [ ]
[ ] 
 
(
 
 
)
 
 
[ ] [ ]
[ ] 
 
Cálculo 2 – Profa. Elizabete Silva (elizabete.silva@fmu.br) 
(
 
 
)
 
 
 
[ ] 
 
(
 
 
)
 
 
 
[ ] 
 
 Regra da cadeia 
Usamos quando queremos derivar uma função composta. Sejam duas funções deriváveis f e g, 
onde F = g(f(x)). Então 
 ( ) 
Exemplos : 
1) Seja √ , calcule . 
u = f(x) = f´(x) = 2x 
g (f (x)) = g (u) = √ = 
 
 g´(u) = 
 
 
 
 
 = 
 
 √ 
 
Assim, pela regra da cadeia temos que: 
 
 
 
 √ 
 
 
 
 √ 
 
 
 
√ 
 
2) Seja , calcule . 
u = f (x) = f´(x) = 
g ( f(x)) = = g´(u) = 
Assim, pela regra da cadeia temos que: 
 
 . 
 . 
 
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 Derivada de funções elementares 
Proposição (Derivada de função exponencial): Se , , então 
 
Proposição (Derivada de função logarítmica): Se , então 
 
 
 
 
Além destas, existem outras derivadas importantes: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Por fim, para finalizarmos nossa revisão, vamos abordar o conteúdo de integral. 
 INTEGRAL 
Definição: Uma função F será chamada de antiderivada (primitiva) de uma função f 
num intervalo I se para todo x em I. 
Definição: Seja f uma função definida num intervalo I. Se é uma primitiva de 
 , a expressão é chamada integral indefinida da função e é 
denotada por 
∫ 
De acordocom essa notação, o símbolo é chamado sinal de integração, função 
integrando e integrando. 
Propriedades: 
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 Sejam e k uma constante, então: 
a) 
b) ( ) 
Tabela de Integrais 
1) 8) | | 
2) 
 
 
 9) | | 
3) 
 
 
 | | 10) | | 
4) 
 
 
 11) 
5) 12) 
6) 13) 
7) 14) 
8) | | 
 
Além disso, as identidades trigonométricas são frequentemente usadas quando 
calculamos integrais envolvendo funções trigonométricas. As oito identidades 
fundamentais a seguir são cruciais: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Integração por Substituição 
Teorema (Regra da cadeira para a integral): Seja g uma função diferenciável e seja o 
intervalo I a imagem de g. Suponha que f seja um função definida em I e que F seja uma 
primitiva de f em I. Então, 
Cálculo 2 – Profa. Elizabete Silva (elizabete.silva@fmu.br) 
 ( ) ( ) 
Ou ainda, 
Com isso, exploramos essa ideia de mudança de variável a fim de reduzir uma 
dada integral a uma integral de forma mais simples. Vamos voltar a nosso exemplo: 
∫√ ∫ 
 
 
Neste caso, basta fazermos uma mudança de variável observando quem é a 
função que está presa, assim como fazemos na Regra da cadeia. 
{
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim, aplicando essa substituição na integral, teremos: 
∫ 
 
 ∫ 
 
 
 
 
 ∫ 
 
 
 
 
 
 
 
∫ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
√ 
Por fim, voltamos à substituição: 
∫ 
 
 
 
 
√ 
 
 
√ 
Exemplos: 
1) 
 
 
 
 
 
 
,
 
 
 
2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
,
 
 
 
 
 
3) 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo 2 – Profa. Elizabete Silva (elizabete.silva@fmu.br) 
{
 
 
 
 
 
 
4) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 | | 
 
 
 | | 
{
 
 
 
 
 
 
5) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
{
 
 
 
 
 
 
 
 Integração por Partes 
Quando escrevemos a fórmula da derivada de um produto (a regra do produto 
 na notação de diferencial, temos: 
 
 
 
e, por integração, obtemos: 
∫ ∫ ∫ 
Portanto teremos, 
 
Essa fórmula nos fornece mais um método de calcular no caso em que a segunda 
integral é mais fácil de calcular. Esse método chama-se integração por partes, e com frequência, 
funciona quando todos os outros métodos falharam. 
Devemos fazer a escolha correta para “u”, da seguinte forma: 
L – logaritmo 
I – inversa trigonométrica 
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A – algébrica 
T – trigonométrica 
E – exponencial 
Exemplos: 
1) 
Temos então ,
 
 
e ,
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) 
Temos então ,
 
 
 
 
 e ,
 
 
 
 
 
 
 
 
3) 
Temos então {
 
 
e ,
 
 
 
 (essa integral necessita 
aplicarmos o método de partes novamente) 
 Temos então , 
 
 
e ,
 
 
 
 [ ] 
 [ ] 
 
 
 
Cálculo 2 – Profa. Elizabete Silva (elizabete.silva@fmu.br) 
 
 
4) 
Temos então ,
 
 
e ,
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5) 
Temos então ,
 
 
e ,
 
 
 
 
 
 
 * 
 
 
 
 
 
 
*Observação: Para facilitar, também poderíamos nesse momento ter substituído a 
integral , e teríamos, portanto: 
 
 
 
 
 
 
___________________________________________________________________________ 
Exercícios: 
1) 
2) 
 
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3) 
 
 
 
4) √ 
5) 
 
 
 
6) 
 
 
 
 
7) Derive as seguintes funções: 
a) 
b) 
c) √ 
 
 
d) 
 
 
 
e) 
f) 
 
 
 
g) 
 
 
 
h) √ 
i) 
j) (
 
 
)
 
 
k) 
8) Calcule as seguintes integrais indefinidas: 
a) 
b) 
c) 
 
 
 
 
 
 
d) 
 
 
 
e) 
f) ( 
 
 
) 
g) 
h) 
i) 
j) 
k) 
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___________________________________________________________________________ 
Gabarito: 
1) 
2) 
 
 
 
3) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) √ √ 
 
 √ √ 
5) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6) 
 
 
 
 
 
( )7) a) 
b) 
c) 
 
 √ 
 
 
 √ 
 
d) 
 
 
 
e) 
f) 
 
 
 
g) 
 
 
 
h) 
 
 √ 
 
i) 
j) 
 
 
 
k) Neste caso fazemos uma substituição (para usara regra da cadeia), ou seja, 
 , e assim, 
Assim, 
 
 
 [ 
 
 
 ] 
 
8) a) 
 
 
 
 
 
 
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b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) 
 
 
 
 
f) ( 
 
 
) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
g) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
{
 
 
 
 
 
 
h) 
 
 
 
 
 
 
 
{
 
 
 
 
 
 
i) 
Temos então ,
 
 
 
 
 e ,
 
 
 
 
 
 
 
 
j) 
Temos então ,
 
 
 
 
 e ,
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo 2 – Profa. Elizabete Silva (elizabete.silva@fmu.br) 
∫ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
k) 
Temos então { 
 
e ,
 
 
 
 
 (Necessitamos aplicar o 
método de partes novamente para resolver essa nova integral) 
Temos então ,
 
 
e ,
 
 
 
 
