DERIVADAS COM RESPOSTAS

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Lista de Exercícios Cálculo I 
 
Lista de Exercícios Cálculo I (Derivada de Funções Reais) Professor: Willian Leal 
 
I) Derive as funções abaixo: 
 
1)
144)( 2  xxxf
 
( )f x
= 8x + 4 
2)
xxf 38)( 
 
( )f x
= 
3
 
3)
221)( xxxf 
 
( )f x
= –2 –2x 
4)
144)( 42  xxxf
 
( )f x
= 8x + 16
3x
 
5)
253)( 23  xxxxf
 
( )f x
= 
23 6 5x x 
 
6)
153)( 24  xxxf
 
( )f x
= 
312 10x x
 
7)
48
8
1
)( xxxf 
 
( )f x
= 
7 34x x
 
8)
xxxxxf 752)( 357 
 
( )f x
= 
6 4 27 10 15 7x x x  
 
9)
56
5
)(
x
xf 
 
6
25
'( )
6
f x
x


 
10)
2
1
2
1
64)(

 xxxf
 1 3
2 2'( ) 2 3f x x x
 
 
 
11)
33
1
)(
x
xxf 
 2 4
3 3
1 1
'( )
3 3
f x x x
 
 
 
12)
  14.52)( 2  xxxf
 
( )f x
= 
224 4 20x x 
 
13)
3
2
)(


x
x
xf
 
 
2
6
'( )
3
f x
x


 
14)
3 2
2
)(
x
x
xf 
 
5
3
4
9
4
3'( )
x
f x
x

 
15)
ax
ax
xf


)(
 
1 1 1 1
2 2 2 2
1
22
1 1
( ) ( )
2 2'( )
( )
x x a x a x
f x
x a
 
  


 
16)
x
x
xf
1
)( 
 
3
2
1
'( )
2
f x x


 
17)
  56.142)( 2  xxxxf
 
'( )f x 
236 68 26x x 
 
18)
)14).(52()( 2  xxxf
 
'( )f x 
224 4 20x x 
 
19)
2 4( ) (3 7 2)f r r r r  
 
'( )f r 
5 218 21 4r r r 
 
20)
)12).(95()( 3  xxxxf
 
'( )f x 
3 28 3 20 13x x x  
 
21)
23
54
)(



x
x
xf
 
 
2
23
'( )
3 2
f x
x


 
22)
1
1168
)(
2



x
xx
xf
 
 
2
2
8 6 5
'( )
1
x x
f x
x
 


 
23)
x
xx
xf
92
38
)(
2



 
 
2
2
27 42 70
'( )
2 9
x x
f x
x
 


 
 
 Lista de Exercícios Cálculo I 
 
Lista de Exercícios Cálculo I (Derivada de Funções Reais) Professor: Willian Leal 
24)
)413).(58()( 22  xxxg
 
3'( ) 416 66f x x x 
 
25)
2
2 1)(
t
ttf 
 
3
2
'( ) 2f t t
t
 
 
26)
x
x
xf
2
12
)(


 
2
2
'( )
4
f x
x


 
27)
1
1
)(
3
3



v
v
vf
 
 
2
2
3
6
'( )
1
v
f v
v


 
28)
32
111
1)(
xxx
xf 
 
2 3 4
1 2 3
( )f x
x x x

  
 
29)
1
2
1
5
3
)(
2



t
ttf 
 
 
2 2 1 3
2
2
3 3
(2 1) 1 4
5 5
'( )
2 1
t t t t
f t
t
   

  
    
 

 
30)
1)23( 2  xy
 
' 18 12y x 
 
31)
322  xxy
 
 
1
2 21' 2 3 (2 2)
2
y x x x

   
 
32)
3 2 9
1


x
y
 
4
2 3
1
' ( 9) 2
3
y x x

  
 
33)
3
5
2 

x
y
 
 
2
2
10
'
3
x
y
x



 
34)
3)52(4)52(3 343  xxxxy
 
3 3 2 2' 12( 2 5) (3 2) 12 8y x x x x     
 
35)
5)1(6)1(3)1( 2252  xxxy
 
2 4' 5( 1) 2 6y x x x   
 
36)
52 )13(  xy
 
2 4' 30 ( 3 1)y x x    
 
37)
52
1
3 

xx
y
 
 
2
2
3
3 2
'
2 5
x
y
x x
 

 
 
38)
22
423
)53(
)4()14(



x
xx
y
 
 2 2 4 3 2 3 2 2 3 3 2 4
2 4
12(4 1) ( 4) 8 (4 1) ( 4) (3 5) (36 60 ) (4 1) ( 4)
'
(3 5)
x x x x x x x x x x
y
x
           


 
39)
835 )74(  xxy
 
5 3 9 4' 8( 4 7) (5 12 )y x x x x     
 
40)
5 3 126  xxy
 
   
4
3 251' 6 2 1 18 2
5
y x x x

   
 
41)
14
3
2 

x
y
 
   
3
2 21' 4 1 8
2
y x x

 
 
42)
42 )1( x
x
y


 2 4 2 2 3
2 8
(1 ) 8 (1 )
'
(1 )
x x x
y
x
  


 
 
 Lista de Exercícios Cálculo I 
 
Lista de Exercícios Cálculo I (Derivada de Funções Reais) Professor: Willian Leal 
43)
12
13



x
x
y
 
 
1
2
2
1 3 1 5
'
2 2 1 2 1
x
y
x x

  
  
  
 
44)
6353 )27.()2( xxxxy  
 
 
2 5 3 6 3 5 3 5 4 4' 3( 2) .(7 2 ) ( 2) 6(7 2 ) (35 6 1)y x x x x x x x x x x            
 
 
45) 72
2
3









x
xx
y
 62 2
2
3 4 6
' 7
2 (2 )
x x x x
y
x x
    
  
  
 
 
46)
5
22
)42(
)3(
)(




x
xx
xf
 
 2 3 5 2 2 4
10
( 4 6)( 3 ) (2 4) 10( 3 ) (2 4)
'( )
(2 4)
x x x x x x x
f x
x
       


 
47)
xxf  99)(
 
 
1
1 2
2
1
'( ) 9 (9 )
2
f x x

  
 
48)
763 23)(  xxexf
 
23 6 7'( ) 3 (6 6)x xf x e x   
 
49)
xexf  3
3
1
)(
 
31'( )
3
xf x e  
 
50)
xxxxf 643
23
4)( 
 
3 23 4 6 2'( ) 4 ln 4 (9 8 6)x x xf x x x     
 
51)
xexxxf 332 2)167()( 
 
2 2 3'( ) 3(7 6 1) (14 6) 6 xf x x x x e     
 
52)
)5()( 22 ttetf
t

 
22 2
1
'( ) ( 5 ) (2 5)
2
t t
f t e t t e t   
 
53)
)(xf
= xe 
'( )f x
=1
2
1
2
xe x


 
54)
t
e
tf
t 1
)(
2


    
2 2
2
2 1
'( )
t te t t e
f t
t
 

 
55)
1
1
)(



x
x
e
e
xf
 
 
1
2
2
1 1 ( 1) ( 1)
( )
2 1 1
x x x x x
x
x
e e e e e
f x
e e
  
           
 
 
56)
)423sen()( 2  xxxf
 
2'( ) cos(3 2 4) (6 2)f x x x x    
 
57) 
2( ) cos( 4 2 4)f x x x   
 
2'( ) sen( 4 2 4) ( 8 2)f x x x x       
 
58)
xexf x 3cos.)( 2
 
2 2'( ) 2 cos3 3sen3x xf x e x e x  
 
59)
bxaxf cos)( 
 
1
2'( ) (cos ) sen 
2
ab
f x bx bx

 
 
60) 
 4235 34232)(   xxxxxf
 
 
 
3
5 3 2 6 2'( ) 4 2 3 2 4 3 ( 10 9 4 4)f x x x x x x x x          
 
 
61) 
42223 )162()35()(  xxxxxxf
 
3 2 2 2 4 3 2 2 2 3'( ) 2(5 3 )(15 6 1) (2 6 1) (5 3 ) 4(2 6 1) (4 6)f x x x x x x x x x x x x x x              
 
 
 Lista de Exercícios Cálculo I 
 
Lista de Exercícios Cálculo I (Derivada de Funções Reais) Professor: Willian Leal 
62) 6
23
2
5
13
)( 








xxx
xx
xf
 
   5 3 2 2 22
3 2 3 2 2
(2 3)( 5 ) 3 1 3 10 13 1
'( ) 6
5 ( 5 )
x x x x x x x xx x
f x
x x x x x x
          
   
       
 
 
63) 
1
1
4)( 


x
x
e
e
xf
 1
1
2
( 1) ( 1)
'( ) 4 ln 4
( 1)
x
x
e x x x x
e
x
e e e e
f x
e


   
   
 
 
64) 
xxx
xx
xf



23
2
2
35
)(
 
 12 3 2 2 22
3 2 3 2 2
1 5 3 (2 5)( 2 ) ( 5 3)(3 4 1)
'( )
2 2 ( 2 )
x x x x x x x x x x
f x
x x x x x x

            
    
      
 
 
65) 3
2
2
( ) ln
1
x x
f x
x
 
  
 
 4 2
5 3
4 14 2
'( )
4 2 2
x x
f x
x x x
 

 
 
66) 
23 32)( xxexf 
 
 
3 2 12 3 3 2 221'( ) 2 3 (6 6 )
2
x xf x e x x x x

   
 
67) 
 134sen)( 2  xxxf
 
   
1
2 2 21'( ) cos 4 3 1 4 3 (8 3)
2
f x x x x x x

     
 
 
68) 
    1223cos)( 234  xxxxf
 
 
      4 3 2 5 4 3 2'( ) sen 3 2 2 1 36 20 12 6f x x x x x x x x        
 
 
69) 
 134)( 2  xxtgxf
 
 2 2'( ) sec 4 3 1 (8 3)f x x x x    
 
70) 











1
1
sec)(
x
x
e
e
xf
 
 1 1
'( ) sec tg
1 1
x x
x x
e e
f x
e e
    
    
         
1
2
2
1 1 ( 1) ( 1)
2 1 1
x x x x x
x
x
e e e e e
e e
  
           
 
 
71) 4
3
56
23
42
)( 





 xx
xx
xf
 
 3
3 2
6 5 7 6
2 4 12 20
'( ) 4 3 2 9 2f x x x x
x x x x
   
          
   
 
 
72) 
)ln()( xexf 
 
'( )
xe
f x
x

 
73) 2
23 24
1
)( 







xxx
xf
 
 
 Lista de Exercícios Cálculo I 
 
Lista de Exercícios Cálculo I (Derivada de Funções Reais) Professor: Willian Leal 
 
 
2
23 2
3 2
1 3 8 2
'( ) 2
4 2 4 2
x x
f x
x x x x x x
 
             
 
 
 
74) 
3 21)( xx
x
xf 
 
3 11
32 2
1 1 2
'( )
2 2 3
f x x x x
 
  
 
75) 
   22323 35434)( xxxxxxf 
 
 
        
2 2 3
2 3 2 2 3 2 3 2'( ) 36 18 12 4 3 4 5 3 4 3 4 100 90 18f x x x x x x x x x x x x x x            
 
76) 
4( ) 2
t
f t e


 
4
1
'( )
2
t
f t e



 
 
77) 
    3232 1923735)(  xxxxxxf
 
 
         
2
2 3 2 3 2 2 2( ) 3 5 3 7 3 2 9 1 (10 3) 3 2 9 1 5 3 7 9 4 9f x x x x x x x x x x x x x x                 
 
 
 
78) 
)5ln( 22)( xxxf 
 
2ln(5 )
2
10 1
'( ) 2 ln 2
5
x x xf x
x x
   

 
 
79) 
   2323)( 2434   xxxxxxf
 
 
         
1 13 4
4 3 5 4 2 4 3 22 21'( ) 4 3 2 12 6 1 3 2 3 2 3 2 (2 3)
2
f x x x x x x x x x x x x x x

                    
 
80) 
x
xx
xf
sen
cos
)(
5 

 4 5
2
(5 sen )sen ( cos )cos
'( )
sen
x x x x x x
f x
x
  

 
 
II) 
1) Dada a receita R(x) = -2x
2
 + 10x, obtenha o valor de x que a maximiza. x = 5/2 
 
2) Dada a função de demanda p = 40 – 2x, obtenha o preço que deve ser cobrado para maximizar a receita. p = 20 
 
3) Com relação ao exercício anterior, qual o preço que deve ser cobrado para maximizar o lucro, se a função custo 
for C = 40 + 2x? p = 21 
4) A função custo mensal de fabricação de um produto é C =
10102
3
2
3
 xx
x
, e o preço de venda é p = 13. 
Qual a quantidade que deve ser produzida e vendida mensalmente para dar o máximo lucro? x = 4,65 
aproximadamente 
 
5) Dada a função custo anual de uma empresa C(x) = 40x – 10x
2
 + x
3
: 
a) Ache o custo médio Cme (x) = 
x
xC )(
. Cme =40 – 10x + x
2
 
b) Ache os intervalos de crescimento e decrescimento do custo médio, indicando eventuais pontos de máximo e 
mínimo. x < 5 decres; x > 5 cresc.; 5 é MIN 
 
6) A função demanda mensal de um produto é p = 40 – 0,1x, e a função custo mensal é C = 
50607
3
2
3
 xx
x
. 
Obtenha o valor de x que maximiza o lucro, e o correspondente preço. x = 12,16 
 
 
 Lista de Exercícios Cálculo I 
 
Lista de Exercícios Cálculo I (Derivada de Funções Reais) Professor: Willian Leal 
7) Uma empresa opera num mercado em que o preço de venda é constante e igual a $ 20,00. Seu custo marginal 
mensal é dado por Cmg = 3x
2
 – 6x + 15. Qual a produção mensal que dá o máximo lucro? x = 2,63 
 
8) Uma empresa produz um produto com custo mensal dado por C(x) = 
20102
3
2
3
 xx
x
. Cada unidade do 
produto é vendida a $ 31,00. Qual a quantidade que deve ser produzida e vendida para dar o máximo lucro 
mensal? x = 7 
 
9) Dada a função receita R(x) = -2x
2
 + 1000x, obtenha a receita marginal no ponto x = 50. R’(50) = 800 
 
10) Dada a função custo C(x) = 0,1x
3
 – 18x
2
 + 1500x + 10000, obtenha: 
a) o custo marginal Cmg; C’(x) = 0,3x
2
 – 36x + 1500 
b) Cmg(65) e a interpretação do resultado; C’(65) = 427,5 
c) Cmg(150) e a interpretação do resultado. C’(150) = 2850 
 
11) O custo de fabricação de x unidades de um produto é C(x) = 2x
2
 + 5x + 8. Atualmente o nível de produção é de 
25 unidades. Calcule, aproximadamente, usando diferencial de função, quanto varia o custo se forem produzidas 
26 unidades. df = 105 
 
12) A receita mensal de vendas de um produto é R(x) = 26x – 5x
2
 e seu custo é C(x) = 14 + 6x. Obtenhaa 
quantidade x que maximiza o lucro e o seu correspondente preço. xmáx = 2 e p = $ 16 
 
13) A função receita de uma empresa é R(x) = 6x
2
 + 2x +1, em que x é o número de unidades produzidas. 
Atualmente o nível de produção é de 6 unidades, e a empresa pretende reduzir a produção em 0,5 unidades. 
Usando a diferencial de função, dê aproximadamente a variação da receita. E interprete os resultados. df = - 37 
 
14) Em uma fábrica de ventiladores, o preço de um tipo de ventilador é dado por p = -2x + 800, onde 0  x  400. 
Suponha que o custo para a produção dos ventiladores seja dado por C(x) = 200x + 25000. 
a. Obtenha a função lucro marginal L’(x) = -4x + 600 
b. Obtenha o valor de x que dá o lucro máximo xmáx. = 150 
c. Obtenha o preço que deverá maximizar o lucro. p(150) = $ 500 
 
15) Um monopolista (produtor único de um certo bem) tem um custo mensal dado por C(x) = 5 +2x + 0,01x
2
. A 
função de demanda mensal é p = - 0,05x + 400. 
a. Qual o preço que deve ser cobrado para maximizar o lucro?; $ 234,17 
b. Analise a situação. E se a capacidade máxima de produção for de 2000 unidades por mês, qual o preço 
a ser cobrado?; $ 300,00 
c. Analise a situação. E se a capacidade máxima de produção for de 4000 unidades por mês, qual o preço 
a ser cobrado?; $ 234,17 
 
12. Um fabricante de doces produz balas por R$ 0,05 cada e estima que, se a bala for vendida por x reais, os 
consumidores comprarão aproximadamente 
xe 1,0.1000 
 balas por semana. Qual deverá ser o preço da bala para 
maximizar o lucro? R: x = 15 
 
13. A demanda de certo produto é D(p) = 160 -2p , onde p é o preço de venda do produto. Qual o preço que torna maior 
a despesa do consumidor , isto é, seu gasto? R: p = 40 
 
14. Suponha que o custo total em reais , pela fabricação de q unidades de um certo produto, seja dado por C(q) = 3q² 
+ q + 48 : 
 
a) Expresse o custo médio de fabricação por unidade do produto como função de q. R: C (q) = 3q + l + 48/q 
b) Para qual valor de q é menor o custo médio? R: q = 4 
 
15. Uma firma de produtos plásticos recebeu uma ordem de produção de 8.000 unidades. A firma possui 10 máquinas, 
cada uma produzindo 30 unidades por hora. O gasto em eletricidade é de R$20,00 por máquina e o custo de operação é 
de R$4,80 por hora. 
 
 Lista de Exercícios Cálculo I 
 
Lista de Exercícios Cálculo I (Derivada de Funções Reais) Professor: Willian Leal 
 
a) Quantas máquinas devem ser utilizadas para minimizar o custo? R: 8 
b) Os intervalos em que a função custo cresce ou decresce; R: cresce em |8, 10| 
c) A produção para que a Receita seja máxima; R: x = 5 
 
19. Uma indústria está aumentando a fabricação de um produto à razão de 25 unidades por semana. As funções 
demanda e custo para o produto são p = 50 - 0,01x e C =
40004002,0 2  xx
. Ache a taxa de variação do lucro 
em relação ao tempo quando as vendas semanais são de 800 unidades. 
R: R$650,00 por semana. 
 
20. 0 custo anual (em milhões de dólares) para um departamento do governo apreender p % de droga ilegal é 
1000,
100
528


 p
p
p
Cp
. o objetivo do departamento é aumentar p 5% ao ano. Ache a taxa de variação do custo 
quando p = 30%. R: US$ 53,88 milhões por ano. 
 
21. Numa certa fábrica, o custo total de fabricação de q unidades é C(q) = 0,2q² + q + 900 reais. Sabe-se que, 
aproximadamente, q(t) = t² + 100t unidades produzidas às t primeiras horas de jornada de trabalho. Qual será a taxa de 
variação do, custo total de fabricação, em relação ao tempo uma hora após o início dos trabalhos? 
R: R$ 4.222.80 por hora. 
22. Um Importador de café brasileiro calcula que consumidores locais comprarão aproximadamente 
2
4374
)(
p
pD 
 
quilogramas de café por semana, quando o preço brasileiro for de p dólares por quilograma. Estima-se que daqui a t 
semanas o preço do café brasileiro importado será 
61,002,0)( 2  tttp
 dólares por quilograma. Qual será a taxa 
de variação da demanda semanal de café daqui a 10 semanas? 
R: 6 unidades semanais. 
 
23. Numa indústria automobilística, se C é o custo total da produção de s unidades, então C(s)=1/4s²+2s+1000 . Além 
disso, se s carros são produzidos durante t horas desde o início da produção, então s(t) =3t² + 50t. Determine a taxa de 
variação de custo em relação ao tempo, 2 horas após o início da produção. 
R: R$ 3.596,00 por hora. 
 
 
24. Estima-se que a receita anual de uma empresa seja de R(x)=(0,5x²+3x+160) milhões de reais, quando 1.000x 
produtos são vendidos. A quantidade atual de produtos vendidos e de 10.000 unidades e está crescendo a uma taxa de 
2.000 por ano. Qual é a taxa de crescimento anual da receita? 
R: R$ 26.000.000,00 por ano. 
 
III)Achar a velocidade e a aceleração no instante 
3t
 segundos onde 
4223 23  ttts
 é a função que 
informa a posição (em metros) de um corpo no instante t. 
 
IV) Vamos encontrar os intervalos nos quais a função 
xx)x(f 22 
 é crescente ou decrescente. 
 
V) Vamos encontrar os intervalos abertos nos quais a função 
13 23  xx)x(f
 tem a concavidade para cima 
e para baixo. 
 
VI) 1)Vamos encontrar, se houver, pontos de inflexão de 
910 24  xx)x(f
. 
 
 2) Vamos encontrar, se houver, pontos de inflexão de 
4x)x(f 
. 
VII) Para cada função f(x), determine a derivada f’(x) no ponto x0 indicado: 
 
 Lista de Exercícios Cálculo I 
 
Lista de Exercícios Cálculo I (Derivada de Funções Reais) Professor: Willian Leal 
643)()
5
5
935
)()
2
1
)()
04965)()
04)()
23)()
13)()
332)()
4)()
0
2
02
2
0
0
234
0
2
0
2
0
0
0
2












xparaxxxfi
xpara
x
xx
xfh
xpara
x
xfg
xparaxxxxxff
xparaxxfe
xparaxxxfd
xparaxxfc
xparaxxfb
xparaxxfa
 
Respostas: a) 8 b)2 c) - 3 d) 1 e) 0 f) 9 g) - 1/4 h) 14/45 i) 9 
 
VIII) Calcule as derivadas abaixo através da definição    
.lim 00
0 x
xfxxf
x 


 
a) f(x) = 3x + 2 
c) f(x) = 1 – 4x2 
b) f(x) = 
2
1
x
 
d) f(x) = 2x2 – x – 1 
 
Respostas: 
a) 3 b) - 8x c) 
 22
1


x
 d) 4x - 1 
e) 
  34  xxf
 
f) 
  xxf 25
 
g) 
  32  xxf
, no ponto x = 2 
h) 
  xxxf 22 
, no ponto x = 3 
 i)
  3xxf 