Prova2

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Universidade Federal de Vic¸osa
Departamento de Matema´tica
2a Prova de MAT138 - Noc¸o˜es de A´lgebra Linear - 13/07/2013
Nome: Matr´ıcula:
[ ]Turma 1 [ ]Turma 2 [ ]Turma 20
Edson Walter Filipe
1a Questa˜o: Seja o seguinte sistema de equac¸o˜es lineares x + 2y + 4z = 0x + 2z = 0
2x − y + 3z = 0
(a) (2 pontos) Escreva o sistema acima na forma matricial.
(b) (3 pontos) Encontre o seu conjunto soluc¸a˜o.
Soluc¸a˜o:
(a)
 1 2 41 0 2
2 −1 3
 .
 xy
z
 =
 00
0

(b) Escalonando a matriz dos coeficientes deste sistema, temos 1 2 41 0 2
2 −1 3
 L2 ← L2 − L1−→
L3 ← L3 − 2L1
 1 2 40 −2 −2
0 −5 −5
 L3 ← L3 − 52L2−→
 1 2 40 −2 −2
0 0 0
 ,
ou seja, temos o seguinte sistema equivalente{
x + 2y + 4z = 0
− 2y − 2z = 0
Desta forma, temos que
y = −z e x = −2y − 4z = 2z − 4z = −2z.
Logo, o conjunto soluc¸a˜o e´ dado por
S = {(x, y, z); x = −2z, y = −z e z ∈ IR}
= {(−2z,−z, z); z ∈ IR}
1
2a Questa˜o: Seja B = {(1, 2, 1), (1, 3, k), (−1, k, 3)}.
(a) (3 pontos) Para quais valores de k o conjunto B e´ L.I.? E para quais e´ L.D.? Justifique sua resposta.
(b) (2 pontos) Para k = 2, escreva o vetor (−1, k, 3) como combinac¸a˜o linear dos outros dois vetores de B.
Soluc¸a˜o:
(a) Primeiramente escrevemos o vetor nulo de IR3 como combinac¸a˜o linear dos vetores acima, ou seja,
α1(1, 2, 1) + α2(1, 3, k) + α3(−1, k, 3) = (0, 0, 0).
Para discutr se B e´ L.I. ou L.D. devemos resolver o seguinte sistema α1 + α2 − α3 = 02α1 + 3α2 + kα3 = 0
α1 + kα2 + 3α3 = 0
.
Como o sistema e´ linear homogeˆneo, basta escalonar a matriz dos coeficientes. Assim, 1 1 −12 3 k
1 k 3
 L2 ← L2 − 2L1−→
L3 ← L3 − L1
 1 1 −10 1 k + 2
0 k − 1 4
 L3 ← L3 − (k − 1)L2−→
 1 1 −10 1 k + 2
0 0 −(k − 2)(k + 3)
 .
Com a matriz dos coeficientes na forma escalonada, podemos fazer a ana´lise do nu´mero de soluc¸o˜es do sistema.
Neste caso, se k = 2 ou k = −3, temos que o sistema possui infinitas soluc¸o˜es, ou seja, existe escalares α1, α2, α3
na˜o todos nulos que verificam a combinac¸a˜o linear. Logo, para k = 2 ou k = −3, B e´ L.D. Nos demais casos,
ou seja, para k 6= 2 e k 6= −3, o sistema possui apenas a soluc¸a˜o trivial, caracterizando que B e´ um conjunto
L.I.
(b) Aproveitaremos as contas do ı´tem (a). Note que para colocar o terceiro vetor como combinac¸a˜o linear dos
dois primeiros, basta encontrar uma soluc¸a˜o para o sistema com α3 6= 0.
Basta fazer k = 2 e teremos o seguinte sistema equivalente{
α1 + α2 − α3 = 0
α2 + 4α3 = 0
,
que nos fornece
α2 = −4α3
e
α1 = α3 − α2 = α3 + 4α3 = 5α3.
Podemos fazer α3 = 1 e obter α2 = −4 e α1 = 5 como uma soluc¸a˜o para a combinac¸a˜o, ou seja,
5(1, 2, 1)− 4(1, 3, 2) + (−1, 2, 3) = (0, 0, 0).
Isolando o terceiro vetor de B, temos
(−1, 2, 3) = −5(1, 2, 1) + 4(1, 3, 2),
que e´ a combinac¸a˜o linear.
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3a Questa˜o: Verifique em cada um dos casos abaixo, se W e´ um subespac¸o vetorial de V.
(a) (2 pontos) V = IR2 e W = {(x, y) ∈ IR2; y = x3}.
(b) (2 pontos) V = IR3 e W = {(x, y, z) ∈ IR3;x− 2y + 3z = 0}.
Soluc¸a˜o:
(a) Na˜o e´ subespac¸o vetorial de IR2. De fato, devemos mostrar que W na˜o satisfaz umas das treˆs condic¸o˜es que
tornam um conjunto um subespac¸o. Sejam u = (1, 1), v = (2, 8) ∈W. Temos que u+ v = (3, 9) /∈W, pois
33 = 27 6= 9.
Logo, W na˜o e´ subespac¸o vetorial de IR2.
(b) Neste caso temos que W e´ um subespac¸o vetorial de IR3. Vamos verificar que W satisfaz as treˆs condic¸o˜es
que o tornam subespac¸o.
• W 6= ∅, pois (0, 0, 0) ∈W.
Para os pro´ximos dois ı´tens sejam u = (u1, u2, u3), v = (v1, v2, v3) ∈ W e α ∈ IR. O fato de que u, v ∈ W
garante que
u1 − 2u2 + 3u3 = 0 e v1 − 2v2 + 3v3 = 0.
Desta forma, temos que
• u+ v ∈W, pois
(u1 + v1)− 2(u2 + v2) + 3(u3 + v3) = (u1 − 2u2 + 3u3) + (v1 − 2v2 + 3v3) = 0 + 0 = 0.
• αu ∈W, pois
(αu1)− 2(αu2) + 3(αu3) = α(u1 − 2u2 + 3u3) = α.0 = 0.
Logo, W e´ subespac¸o vetorial de IR3.
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4a Questa˜o Julgue cada ı´tem abaixo como verdadeiro ou falso, justificando com uma argumento lo´gico ou com um
contra-exemplo. Respostas sem justificativas na˜o sera˜o consideradas.
(a) (2 pontos)(V) Se X1 e X2 sa˜o soluc¸o˜es do sistema linear AX = B, enta˜o X1 − X2 e´ soluc¸a˜o do sistema
AX = 0.
(b) (2 pontos)(V) Os vetores u = (2,−1, 0) e v = (1, 2, 3) sa˜o ortogonais (ou perpendiculares).
(c) (2 pontos)(V) O conjunto {(1, 2, 3), (−1, 2,−1)} e´ L.I.
Soluc¸a˜o:
(a) Se X1 e X2 sa˜o soluc¸o˜es de AX = B, enta˜o verificam tal igualdade, ou seja,
AX1 = B e AX2 = B.
Logo, X1 −X2 e´ soluc¸a˜o de AX = 0, pois
A(X1 −X2) = AX1 −AX2 = B −B = 0.
(b) Os vetores sa˜o ortogonais, pois o produto escalar e´ zero,
u.v = (2,−1, 0).(1, 2, 3) = 0.
(c) O conjunto possui somente dois vetores e este conjunto sera´ L.D. se, e somente se, um for mu´ltiplo escalar do
outro. Como um vetor na˜o e´ mu´ltiplo escalar do outro, temos que o conjunto e´ L.I.
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